中考数学教案 正多边形和圆
正多边形和圆_九年级数学教案_模板
正多边形和圆_九年级数学教案_模板教学设计示例1教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法．教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．教师组织学生进行，并可以提问学生问题．（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．我们以n=5的情况进行证明．已知：⊙O中，= = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．（五）初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2．求证：正五边形的对角线相等．3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．（六）小结：知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力（七）作业教材P172习题A组2、3．教学设计示例2教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．教学活动设计：（一）提出问题：问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？（二）实践与探究：组织学生自己完成以下活动．实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．) （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（三）拓展、推理、归纳：（1）拓展、推理：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．（2）归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．正五边形的各顶点共圆．正五边形有外接圆．圆心到各边的距离相等．正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．（3）巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．（四）正多边形的性质：1、各边都相等．2、各角都相等．观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．（五）总结知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．能力：探索、推理、归纳等能力．方法：证明点共圆的方法．（六）作业P159中练习1、2、3．教学设计示例3教学目标：（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．教学难点：综合运用知识证题．教学活动设计：（一）知识回顾1．什么叫做正多边形？2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于．5．正多边形的有关的定理．（二）例题研究：例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．求证：五边形ABCDE是正五边形．分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．教师引导学生分析，学生动手证明．证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．∴∠BAO=∠OCB．又∵OB=OB∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．∴五边形ABCDE是正五边形．证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．∠B=∠C ∠1=∠2 = ．同理= = = ，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
24.3 正多边形和圆教学设计
24.3 正多边形和圆正多边形和圆是在学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容，是前一阶段知识的运用和提高．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性．研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．本课时注意培养学生观察、猜想、推理和迁移的能力以及具体到抽象，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．【情景导入】(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？【说明与建议】 说明：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能让学生对古代数学的伟大成就有所了解，增强爱国热情．建议：研究正多边形和圆的时候，可以让学生回顾在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等这两个结论．【复习导入】(1)观察下图中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形，你能说出这些图形的各自特征吗？(2)回顾：等边三角形和正方形的边、角各有什么性质？ (3)正多边形的定义是什么？正多边形和圆有什么关系？【说明与建议】 说明：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：为了明确正多边形的概念，可以请同学们举自己在日常生活中见过的正多边形的例子(正三角形、正方形、正六边形……)．命题角度1 与正多边形有关的计算1．(河池中考)如图，在正六边形ABCDEF 中，AC ＝23，则它的边长是(D)A ．1B. 2C. 3D ．22．(广元中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE ︵的一点，则∠CPD 的度数是(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°3．(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B) A ．2B ．1C. 3D.324．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 3命题角度2 画正多边形5．(兰州中考)如图，已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图所示，四边形ABCD 即为所求作．关于圆周率π我们知道，圆的周长C ＝2πR.但是，你知道公式中的π值是怎样算出来的吗？实际上π＝C2R ，式中圆的周长C 是可以用圆内接正多边形的周长p n 来近似代替的．如图，当圆内接正n 边形的边数不断地成倍增大时，它的周长p n 就不断地增大，并会越来越接近于圆的周长C ，于是p n 2R 的值越来越接近C2R的值．如果半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n ，可以求得它的内接正2n 边形的边长这个公式叫倍边公式，利用它就可以算出半径为R 的圆内接正2n 、4n 、8n 、…边形的边长，进而可计算p 2n 2R 、p 4n 2R 、p 8n 2R 、…，这些值就越来越接近于圆的周长与直径的比值C2R ，这个数就是圆周率π.π的精确值是一个无限不循环小数，就是说，π是一个无理数．π＝3.141 592 653 589 793…，应用时根据实际需要，取π的近似值．我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．下表是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．由于C2R＝π，所以C ＝2πR.另外，根据正n 边形的面积S n ＝12r n p n ，当边数n 无限增大时，r n 趋近于R ，p n 趋近于C ，所以圆的面积S ＝12RC ＝12R ·2πR ＝πR 2.我国许多数学家对圆周率的研究做出过很大贡献．在公元前一世纪的《周髀算经》里，已谈到“周三径一”，称之为古率．西汉末年，刘歆定圆周率为3.1547，后人称做歆率．三国时魏刘徽(公元263年)，始创“割圆求周”的方法，他从圆内接正六边形算起，算到正192边形，他取3.14或15750作为圆周率，我们称3.14为徽率．到南朝祖冲之(公元429～500年)求得圆周率在3.141 592 6～3.141 592 7之间，把π＝355113叫做密率，π＝227叫做约率，后人称之为祖率，他所得的结果，精确到了七位小数，在当时世界上是最好的结果．【探究新知】问题1：针对【课堂引入】的问题进行探究．师生活动：教师演示作图，并引导学生从正多边形的定义入手来证明，让学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程： 如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BAD ︵＝CAE ︵＝3AB ︵. ∴∠C ＝∠D.同理可证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ， ∴五边形ABCDE 是正五边形． ∵点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各等分点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念(如图)．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？ (3)正多边形的面积如何计算？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论： 正n 边形的中心角等于360°n ，边长a ，半径R 和边心距r 的关系为(a 2)2＋r 2＝R 2. 活动二：提出问题：如何把一个圆n 等分呢？师生活动：学生小组内讨论，如果把360°的圆心角n 等分，那么弧也被n 等分，即可得到正多边形． 教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明相邻两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明相邻半径和边构成的三角形是等边三角形.面积．例2 利用手中的工具求作一个边长为3 cm 的正六边形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，教师鼓励学生勇于探索实践，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图1 图2解：方法一：如图1，以3 cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形． 方法二：如图2，以 3 cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3 cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可． 【变式训练】在半径为2 cm 的圆上，用量角器作出它的圆内接正七边形． 解：(1)作⊙O ，使r ＝2 cm ； (2)计算360°7≈51.4°；(3)用量角器在圆上画一个∠AOB ＝51.4°； (4)在圆上依次截取BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FG ︵＝GA ︵＝AB ︵；(5)依次连接AB ，BC ，…，GA ，则七边形ABCDEFG 为所作正七边形.4．如图，正方形的边长为1 dm ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．解：设正八边形的边长为x ，则被剪掉小直角三角形的直角边为22x ， 由题意，得x ＋2·22x ＝1， 解得x ＝2－1.所以小直角三角形的直角边为22(2－1)＝1－22. 所以正八边形的面积为12－4×12×(1－22)2＝1－2×(32－2)＝22－2.答：这个正八边形的边长为(2－1)dm ，面积为(22－2)dm 2.。
九年级数学下册《正多边形与圆》教案、教学设计
2.强调正多边形在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
-总结：“通过今天的学习，我们知道了正多边形与圆之间有很多有趣的关系。这些知识不仅可以解决数学问题，还可以应用于我们的日常生活。”
3.鼓励学生继续探索正多边形与圆的奥秘，为下一节课的学习打下基础。
4.培养学生的空间想象能力，通过观察正多边形与圆的关系，提高学生的图形感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下方法与过程：
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现并提出问题，激发学生的学习兴趣。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在自主探究、合作学习中发现正多边形的性质，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握正多边形与圆的关系：
1.通过动态演示，引导学生观察正多边形与圆的相互关系，发现正多边形的半径、边长、中心角之间的关系。
-解释：“正多边形的每个内角都相等，外角也相等。当我们把正多边形的外接圆画出来时，可以发现圆的半径与正多边形的边长有一定的关系。”
-设计与生活相关的题目，如城市规划中的正多边形地砖铺设，让学生在解决问题的过程中应用所学知识。
4.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-基础题：主要针对正多边形的基本性质和简单计算。
-提高题：涉及正多边形与圆的综合应用，以及解决实际问题的能力。
5.开展课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的思考过程和解题策略，促进知识的内化和深化。
3.培养学生的审美情趣，让学生感受正多边形与圆的和谐美，激发学生对美的追求。
九年级数学上册24.3正多边形和圆(教案)
九年级数学上册24.3 正多边形和圆【知识与技术】认识正多边形和圆的关系，认识正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等观点 .会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题 .会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形 .【过程与方法】联合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，而后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题 .【感情态度】学生经历察看、发现、研究等数学活动，感觉到数学根源于生活、又服务于生活，表现事物之间是互相联系，互相作用的 .【教课要点】正多边形与圆的有关观点及其之间的运算.【教课难点】研究正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系 .一、情境导入，初步认识察看这些漂亮的图案，都是在平时生活中，我们常常能看到的利用正多边形获得的物体 .（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？如何就能作出一个正多边形来？【教课说明】学生经过察看漂亮的图案，赏识生活中正多边形形状的物体 . 让学生感觉到数学根源于生活，并从中感觉到数学美 .问题（ 2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生踊跃研究、研究的热忱，并存心将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思虑研究，获得新知1.正多边形和圆的关系问题 1 将一个圆分红 5 等份，挨次连结各分点获得一个五边形，这五边形必定是正五边形吗？假如是，请你证明这个结论 .教师指引学生依据题意绘图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙ O 中，A 、B、C、D、E 是⊙ O 的五均分点 .挨次连结ABCDE 形成五边形 .问：五边形 ABCDE 是正五边形吗？假如是，请证明你的结论.答案：五边形 ABCDE 是正五边形 .证明：在⊙ O 中，∵AB BC CD DE EA ，∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE C DA 3AB ，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 是正五边形 .【教课说明】教师指引学生从正多边形的定义下手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；指引学生察看、剖析，教师率领学生达成证明过程.问题 2 假如将圆 n 均分，挨次连结各分点获得一个 n 边形，这个 n 边形必定是正 n 边形吗？答案：这个 n 边形必定是正 n 边形 .【教课说明】在这个问题中，教师要点关注学生能否会模仿证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形 .从问题 1 到问题 2 是将结论由特别推行到一般，这切合学生的认知规律，并教育学生一种研究问题的方法，由特别到一般.问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？假如是，说明原因；假如不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等 .各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形 .【教课说明】问题 3 的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判断圆内接多边形是正多边形，一定知足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不行 . 同时教会学生学会举反例.培育学生思想的批评性 .2.正多边形的有关观点综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等观点.正 n 边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（ n-2）n3.正多边形和圆有关的计算问题4m 的正六边形，例 1（课本 106 页例题）有一个亭子，它的地基是半径为求地基的周长和面积（结果保存小数点后一位）.剖析：依据题意作图，将实质问题转变为数学识题.解：如图 .∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ BOC=360°/6=60° .∴△ BOC 是等边三角形 .∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4× 6=24（ m）.过 O 点作 OP⊥ BC，垂足为 P.在 Rt△OCP 中， OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教课说明】例 1 是让学生认识有关正多边形的观点后，掌握正多边形的计算 .同时，经过例 1 指引学生将实质问题转变为数学识题，将多边形化归为三角形来解决 .例 2 经过网格来表现问题，在解决例 2 时，教师指导学生用数形联合的方法来解决问题，加深对有关观点的理解 .4.画正多边形画正多边形，往常是经过均分圆周的方法来画的.均分圆周有两种方式：（1）用量角器均分圆周 .方法一：因为在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，所以作相等的圆心角能够均分圆 .方法二：先用量角器画一个等于 360° /n 的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的 1/n，而后在圆上挨次截取这条弧的等弧，就获得圆的几均分点 .【教课说明】这两种方法能够随意均分圆，但不行防止地存在偏差.（2）用尺规均分圆正方形的作法 :如图（ 1)在⊙ O 中，尺规作两条垂直的直径，把⊙ O 四均分，进而作出正方形 ABCD. 再逐次均分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）随意作一条直径AB ，再分别以 A、 B为圆心，以⊙ O 的半径为半径作弧，与⊙ O 交于 C、D 和 E、F，则 A 、C、 E、B、F、D 为⊙ O 的六均分点，按序连结各均分点，获得正六边形 ACEBFD.方法二：如图（ 3）因为正六边形的半径等于边长.所以在圆上挨次截取等于半径的弦，就将圆六均分，按序连结各均分点即可获得正六边形.【教课说明】尺规作图法是一种比较正确的均分圆的方法，但有较大的限制性，它不可以将圆随意均分.三、运用新知，深入理解1.如图，圆内接正五边形 ABCDE ，对角线 AC 与 BD 订交于点 P，则∠ APB的度数为 _______.2.边长为 2/π的正方形的内切圆与外接圆所构成的圆环的面积为_____.3.假如一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点 M 、N 分别是⊙ O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD ，正五边形 ABCDE ，正 n 边形的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN ，连结 OM 、ON.（1）求图 1 中的∠ MON 的度数；（2）在图 2 中，∠ MON 的度数为 _____，在图 3 中，∠MON 的度数为 _____；（3）尝试究∠ MON 的度数与正 n 边形边数 n 之间的关系 .（直接写出答案）【教课说明】题 1、2 可由学生自主研究达成，题3、4 可先让学生思虑，然后教师加以提示，最后共同解答.达成教材第 106 页、 108 页的练习 .【答案】°4.解：（ 1）连结OB 、 OC. ∵正三角形ABC内接于⊙ O，∴∠ OBM=∠OCN=30°，∠ BOC=120°.又∵ BM=CN ，OB=OC，∴△ BOM ≌△ CON，∠BOM= ∠CON，∴∠ MON= ∠BOC=120°.(2)90° 72°(解法与（ 1）同样 )(3)∠ MON=360° /n.四、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你知道正多边形和圆有如何的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等观点吗？你能画出正多边形吗？【教课说明】教师先提出问题，而后让学生自主思虑并回首，教师再予以增补和评论 .1.部署作业：从教材“习题”中选用 .2.达成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课第一从复习正多边形的定义下手，经过创建问题情境，将正多边形与圆密切联系，让学生发现它们之间的亲密关系，并将结论由特别推行到一般，切合学生的认识规律，经过学习正多边形中的一些基本观点，指引学生将实质问题转变为数学识题，表现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这能够发展学生的作图能力.2.均分圆周法是一种作正多边形的常有方法，经过作简单的正三角形、正方形、正六边形，向来推行到作正八边形的状况，能够向学生灌注极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的观点，它从数目上描绘变量在变化过程中的变化趋向，在高中数学中，极限思想浸透到函数、数列等章节，又连接高等数学，起着承前启后的作用 .。
中考数学教案正多边形和圆
中考数学教案正多边形和圆1．了解正多边形和圆的有关概念．2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．一、情境导入如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？二、合作探究探究点一：正多边形的有关概念和性质【类型一】求正多边形的中心角已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.【类型二】正多边形的有关计算已知正六边形ABCDEF 的半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .解：作半径OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝180°6＝30°，∴AH ＝12R ，∴a ＝2AH ＝R .由勾股定理可得：r 2＝R 2－(12R )2，∴r ＝32R ，∴S ＝12·a ·r ×6＝12·R ·32R ·6＝332R 2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．【类型三】圆的内接正多边形的探究题如图所示，图①，②，③，…，，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON .(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系．(直接写出答案)解：图①中，连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.又∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°，而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°；(2)90° 72°；(3)∠MON ＝360°n.探究点二：作圆的内接正多边形如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．三、板书设计教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.。
(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案
中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（ ）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________； （3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ， 又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。
九年级数学《正多边形和圆》教学设计
29.5正多边形和圆—专题复习滦州三中张梦颖教学目标（一）知识与技能进一步理解正多边形的的概念及正多边形与圆的关系。
.（二）过程与方法经历探索正多边形的有关知识的过程，感受正多边形与圆的密切关系。
（三）情感、态度与价值观培养学生的探究意识和主动参与课堂学习的良好习惯，体会本节课内容的应用价值。
享受一题多解、一题多变的乐趣教学重点：进一步理解正多边形的的概念及正多边形与圆的关系。
.教学难点：运用正多边形的有关知识进行解题。
教学方法：启发诱导法教学过程：导入语：正多边形是近几年河北省中考的热门考点，我们这节课复习正多边形和圆。
一、知识梳理(一）正多边形的定义（学生口述）各边相等，各角相等的多边形叫正多边形。
(二）正多边形中的重要角（课件展示，教师板书）外角、内角、中心角及各角的求法。
(三）正多边形与圆的关系密不可分（课件展示，教师板书）半径---半径边—-弦中心角---圆心角二、闯关训练闯关一基础热身1.如图所示，在平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则度。
1题2题2如图，边长为的正六边形内有两个三角形（数据如图），则（）。
A 3B 4C 5D 6闯关二简单应用3.（2019滦州一模）连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,下列说法中正确的有( )个A ①△AFC是等边三角形B ②连接BF,则BF分别平分∠AFC和∠ABCC ③整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形D ④四边形AFGH与四边形CFED的面积相等A 1B 2C 3D 4学生口述，说理由，再问做错的同学为什么错？追问：∠AFC=_______度4.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON=________度．（学生独立完成）讲解重点：①连接半径构造全等②由特殊到一般推广到正n边形闯关三拓展应用5..用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，（1）思考：用m个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正n边形，直接写出m、n的值。
九年级数学正多边形与圆教案
教案：正多边形与圆一、教学目标:1.知识与技能：了解正多边形的定义和性质，掌握计算正多边形的内角和外角的方法。
了解圆的定义和性质，掌握计算圆的周长和面积的方法。
2.过程与方法：通过让学生观察、归纳和分析，培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
3.情感、态度和价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，激发他们的创造力和思维能力。
二、教学重难点:1.正多边形的定义与性质2.圆的定义与性质三、教学过程:1.正多边形的定义与性质1.1导入新知：教师以图片展示不同的多边形，引导学生观察、分析和归纳，了解正多边形的特点。
1.2引入新知：教师给出正多边形的定义，并解释其中的相关概念：边、顶点、内角、外角等。
1.3学生探究：学生利用教师提供的直尺和量角器，自行绘制正三边形、正四边形、正五边形等，并测量和计算多边形的内角和外角。
1.4解决问题：教师给出一道与正多边形相关的问题，要求学生分析并解答。
例如：一个正多边形的内角和为1080°，那么这个多边形有几条边？2.圆的定义与性质2.1导入新知：教师以实物展示不同的圆形物体，引导学生观察、分析和归纳，了解圆的特点。
2.2引入新知：教师给出圆的定义，并解释其中的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦等。
2.3学生探究：学生利用教师提供的圆规、直尺等工具，自行绘制圆，并测量和计算圆的周长和面积。
2.4 解决问题：教师给出一道与圆相关的问题，要求学生分析并解答。
例如：一个圆的半径为5cm，那么这个圆的周长和面积分别是多少？四、教学资源:1.图片、实物：用于展示正多边形和圆形物体。
2.工具：直尺、量角器、圆规、直尺等。
五、教学评价:1.课堂练习：通过课堂练习，检测学生对正多边形与圆的理解程度。
2.小组合作：让学生分成小组进行讨论和解决问题，培养他们的合作意识和团队精神。
3.个人作业：通过个人作业，巩固学生对正多边形与圆的知识掌握程度。
4.教学反馈：通过课后讲解和解答学生提出的问题，及时了解和纠正学生的错误，提高教学效果。
初四中考数学正多边形和圆新授课教案设计与反思
备课时间
12.1
上课时间
12.14
执教班级
课 题
正多边形和圆
教学课时
第1课时
教学课型（新授、复习、
习题、实验等）
新授课
教学
目标
1.在正多边形和圆中,圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系.
2.正多边形的画法
2.提高我们的数学实践能力与创新能力。
应用信息技术2.0
教学
重点、
难点
讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、 边长之间的关系.
四、归纳小结(学生小结,老师点评)
板书
设计
5.7正多边形和圆
1.正多边形半径
2.中心角、
3.弦心距、
4.边长
教学后记或反思（主要记录课堂设计理念，实际教学效果及改进设想等）
这节课中我认为教材处理恰当，通过故事引入，创设问题情境，激活了学生的思维，激发了学生的探索欲望。让学生自己提出问题，并通过“猜想→实验→得出结论→扩展应用，参与实践”，让每个学生都参与到学习活动的整个过程，有效地突出了学生的主体地位，培养了创新精神，发展了创新能力，是一堂我认为较为成功的“学生主体性学习、问题自主解决”的课堂。但是在学生动手实验环节上，学生提出了正多边形两种情况同半径这种情况这样去讨论时，由于时间关系我只是提出了两者之间的高是否存在有倍数关系，然后再去探讨它们之间的面积关系。这样的处理是否过于简单、草率，对于此在下节课在引导学生去探讨这一方面的问题。
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A= BCF= (BC+CD+DE+EF)=2BC
∠B= CDA= (CD&#理可证:∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
九年级数学第14讲 正多边形和圆_教案
教学过程一、课堂导入观察图片，思考我们学过的正多边形圆本章我们学习的圆的知识有怎样的关系？二、复习预习切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO.三、知识讲解考点/易错点11、与正多边形有关的概念正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点/易错点2正多边形的定义、正多边形的对称性1、定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
4、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
四、例题精析【例题1】【题干】如果一个正多边形的内角和等于900°，那么这个正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正方形D．正三角形【答案】B．【解析】根据正多边形的内角和定义（n-2）×180°列方程求解．解：（n-2）×180°=900°，n-2=5，∴n=7．【例题2】【题干】下面给出五个命题（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形（4）正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形（5）正n 边形的中心角nn ︒=360a ，且与每一个外角相等 其中真命题有（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【答案】A ．【解析】利用正多边形的性质对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数． 解：（1）正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；（2）各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；（3）圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；（4）边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；（5）正n 边形的中心角n n ︒=360a ，且与每一个外角相等． 故正确的是（1）（5）．【例题3】【题干】（1）如图1，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC多少度？；（2）如图2，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC﹦α﹒①如果α﹦45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由﹒②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为？﹒【答案】30°、正方形、n ︒︒180 -90【解析】（1）先根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；（2）①假设AC是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为︒=⨯︒90245，故此多边形是正方形；②根据正多边形内角和定理即可求出答案．解：（1）∵△PAC 是圆O 的内接正三角形，∴∠AOC=2∠APC=2×60°=120°，∵OA=OC ，︒=︒-︒=∠-︒=∠∴3021201802180AOC OAC ； （2）①能﹒∵α=45°，∴圆内接正多边形的一个内角为90°，∴是正方形﹒②∵AC 是圆的内接正n 边形的一边，,180)2(2nn ︒⨯-=∴αn ︒︒=∴180-90α【例题4】【题干】如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n 为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）方法一：连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，∴OA=OB．∵正方形ABCD，∴OM=AB，∴S△ABO=S正方形ABCD．（1分）∵∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45度．（2分）又∵∠A‘OC‘=90°，∠AOF+∠A‘OB=∠A‘OB+∠BOE=90°，∴∠AOF=∠BOE．∴△AOF≌△BOE．（3分）∴S△AOF=S△BOE．∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=S正方形ABCD．∴S阴影=S正方形ABCD．∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）方法二：过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∴OM=ON=AB．（1分）∵∠ABC=90°，∴四边形MBNO为矩形．∵OM=ON，∴四边形MBNO为正方形．∴S正方形MBNO=S正方形ABCD．（2分）∵∠FOE=90°，∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度．∴∠FOM=∠EON．∴△FOM≌△EON．（3分）∴S△FOM=S△EON．∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=S．正方形ABCD∴S阴影=S正方形ABCD．∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）（2）1：2；（5分）（3）n边形的每一个内角度数=，阴影部分对应的中心角=360°-=，两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=：=（n-2）：（n+2）．但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．（7分）【解析】可先根据两个图形的特殊位置得到结果，然后证明一般的情况下结果相同，把问题转化为证明图形全等．【例题5】【题干】如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【答案】解：(1)∠APN=60∘.∵∠APN=∠ABP+∠BAP，且点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动，∴BMˆ=CNˆ，∴∠ABP=∠NBC，∴∠APN=∠ABP+∠NBC，即∠APN=∠ABC=60∘；(2)同理：图2中,∠APN =∠ABC =90∘;图3中,∠APN =∠ABC =108∘；(3)由(1)(2)可知∠APN 的度数等于多边形的内角的度数，当正多边形为n 边形时,其内角和为0180(2)n n-， 所以每个内角的度数为0180(2)n n-， 所以∠APN =0180(2)n n- 【解析】（1）由△ABC 为等边三角形可知∠ABC=60°，再由等速运动可得到∠ABP=∠NBC ，再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP ，代换可得到∠APN=∠ABC ，可求得∠APN 的度数；（2）和（1）同理可得到∠APN 的度数和∠ABC 的度数相等，图③中∠APN 的度数和∠ABC 的度数相等；（3）结合（1）（2）可得到∠APN 的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论．课程小结1．正多边的有关概念，正多边形与圆的关系.2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．3．运用以上的知识解决实际问题．。
九年级数学教案：正多边形与圆(全2课时)
课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.6 正多边形与圆（1）教学目标1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形教学重点正多边形的概念及正多边形与圆的关系．教学难点利用直尺与量角器等作特殊的正多边形．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：1．观察身边的图案，说说有哪些你熟悉的图形？2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？二．探究交流实践探索一：正多边形的概念1．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？3．能否说各边相等的多边形是正多边形？四.拓展提高：．请你思考一下：正六边形与圆有何关系？得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．练一练1．下列说法中正确的是( )．A．平行四边形是正多边形；B．矩形是正四边形；C．菱形是正四边形；D．正方形是正四边形；2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为．3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？拓展思考：如何作正八边形？十六边形？练一练1．正十二边形的每一个外角为___°，每一个内角是°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积．3．用直尺和圆规作一个等边三角形．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记。
【数学(人教版)】初三 正多边形和圆(1) 教学设计
课程基本信息课例编号2020QJ09SXRB065 学科数学年级初三学期第一学期课题24.3正多边形和圆（1）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：了解正多边形和圆的关系,掌握正多边形的中心,半径,边心距,中心角等概念；掌握圆内接正多边形和圆外切正多边形相关计算及运用.教学重点：掌握圆内接正多边形的相关计算问题.教学难点：掌握圆内接正多边形及圆外切正多边形的相关计算与运用.教学过程时间教学环节主要师生活动2min 复习回顾正多边形：各边相等,各角相等的多边形；比如正三角形,正方形等.观察这些图片,你看到了哪些正多边形？有正六边形,正三角形,正方形,正十二边形,正八边形,还有圆,正多边形随着边数的增加,趋近于圆.和你画的图一样吗？以五边形为例,我们来说明这个问题,如图,圆内接五边形ABCDE , 五段弧相等,如何说明这个五边形是正五边形呢？分析：五段弧相等,能推出五条边相等,五个内角相等,因此可以说明这个五边形是一个正五边形.推广到n 边形也是一样的道理.那么圆中的元素和正多边形有什么关系呢？外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多 边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角, 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距练习：找出下列正多边形的中心,并标出正多边形的半径,边心距,中心角.BC DOAE把圆分成n (3)n 等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形.4min 巩固落实如图,若等边△ABC的半径为2,则边长为____,内切圆的半径OD 为____.1min 课堂小结1.正多边形和圆的位置关系：圆内接正多边形,圆外切正多边形；2. 正多边形的相关概念：中心,半径,中心角,边心距；3.在解决正多边形有关计算时,通过作正n边形的半径和边心距,把正n边形分为2n个全等的直角三角形,再利用勾股定理,即可完成一些特殊的正多边形的计算.1min 布置作业请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：1.完成下表中有关正多边形的计算.2. 用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆. 哪种场地的面积最大DOCAB23。
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆(教案)
-正多边形的面积计算：掌握正多边形面积的求解方法，包括分割法和公式法。
-举例：计算正四边形的面积，应用分割法和公式法进行比较。
-实际问题中的应用：将正多边形和圆的知识应用于解决简 Nhomakorabea几何问题。
-举例：设计一个正六边形的花园，计算其面积和周长。
2.教学难点
-实际问题的抽象建模：将实际情境转化为数学模型，运用正多边形和圆的知识解决。
-突破方法：提供多个实际案例，指导学生如何提取关键信息，建立数学模型。
-正多边形与圆的对称性理解：理解正多边形与圆之间的对称关系，以及如何利用对称性简化问题求解。
-突破方法：通过图形变换和折叠等活动，帮助学生体会对称性在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间观念，使其能够理解并运用正多边形的性质及其与圆的关系；
2.提升学生的逻辑推理能力，通过探索正多边形的特征，归纳出一般性规律；
3.增强学生的数学建模意识，将实际问题抽象为数学模型，利用正多边形和圆的相关知识解决；
4.培养学生的数据分析能力，通过对正多边形面积的计算，掌握几何图形的量化关系；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正多边形和圆的基本概念。正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形，而圆是平面上所有与给定点的距离都相等的点的集合。它们在几何学中有着广泛的应用，如建筑、艺术、工程设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以正六边形为例，探讨它如何由圆的内接和外接构造，以及如何计算其面积。
-正多边形内角与外角的关系：理解正多边形内角与外角的补角关系，以及如何通过外角来求解内角。
人教版九年级数学《24.3正多边形和圆》教学设计
人教版九年级数学上《24.3正多边形和圆》教学设计课题24.3正多边形和圆单元第二十四章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标体验数学与生活的紧密相连，感受圆的对称美，正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱生活，珍爱生命。
能力目标在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，开展学生的观察、比拟、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。
知识目标1．理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；2．理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积。
重点正多边形的有关计算问题。
难点正多边形的有关计算问题。
学法自主探索、合作交流、启发引导教法情景教学法、活动探究法；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、创设情境，导入新知1.观察图片，你能否看到正多边形？2.什么样的图形叫做正多边形？你能举出一些生活中这样的例子吗？多媒体出示图片，引导学生答复任务，引出课题。
通过联系实际、创设情境，提出问题，激发学生的学习兴趣。
讲授新课二、探究新知活动1，做一做：正多边形与圆有什么关系呢？等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．活动2：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．我们现以正五边形为例进行证明．活动3：如何三等分圆周呢？思考、交流自己的见解，进行作图，方法不限．(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图：利用做一做的活动引导学生发现问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？根据提出的问题，学生分组进行探究活动，最终解答问题。
展示问题，引导学生思考，并要求不同的方法解答，引导学生思考答复。
问题是数学的心脏，识学生思维和兴趣的开始。
通过这些问题，学生的思维从生活中走进数学，引发学生进一步的学习好奇心与探究意识。
九年级数学专题复习教案：正多边形和圆
己目前还没有解决的问题。
1．学生组际之间讨论交流自己目前还没有解决的问题。
2．教师根据实际情况结合本部分考点，出示以下问题让学生汇报交流，展示其学习成果：
1．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度．
2．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是()．
A．5 cm B．10 cm C．12 cm
D．13 cm
3．现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为()．
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
如图，已知圆锥的底面半径为5 cm ，侧面积为设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图所示)，则sin θ的值为
．513 C ．1013 D ．1213 . 1．(2015山东临沂)如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为( )． A ．1 B ．32 C ． 3 D ．2 3
2．(2015江苏盐城)已知圆锥的底面半径为1 cm ，母线长为3 cm ，则圆锥的侧面积是( )．
A ．6 cm 2
B ．3π cm 2
C ．6π cm 2
D ．3π2
cm 2 学生总结本节课所复习的内容。
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中考数学教案正多边形和圆
1．了解正多边形和圆的有关概念．
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
二、合作探究
探究点一：正多边形的有关概念和性质
【类型一】求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.
【类型二】正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF 的半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .
解：作半径OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝180°6＝30°，∴AH ＝1
2R ，∴a ＝
2AH ＝R .由勾股定理可得：r 2＝R 2－(
1
2
R )2，∴r ＝
3
2R ，∴S ＝12·a ·r ×6＝12·R ·32R ·6＝33
2
R 2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．
【类型三】圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…，，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正
方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接
OM ，ON .
(1)求图①中∠MON 的度数；
(2)图②中∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系．(直接写出答案)
解：图①中，连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠
BOC ＝120°.又∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°，而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，
∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°；
(2)90° 72°；
(3)∠MON ＝360°
n
.
探究点二：作圆的内接正多边形
如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；
(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ；
(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ；
(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作
图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
三、板书设计
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.。