习题1 梯形面积计算公式的推导

合集下载

梯形面积公式怎么推导来的

梯形面积公式是由平行四边形推导来的。

因为平行四边行的面积是底×高÷2

那么由两完全相等梯形能拼成一个平行四边形,那么所拼成的平行四边形的底就是梯形的上底加下底。

高不变,那么要求一个梯形的面积,就应该是所以拼成的平行四边形的面积÷2

由此可推出：S梯=（上底+下底）×高÷2

梯形的面积公式的推导过程(1)

方法三：分割法
沿梯形的一条对角线剪开，得到两个三角形，利用两个三角形和原梯形之间的关系，推导出梯形的面积计算公式。
方法四：割补法
找到梯形一条腰上的中点，沿梯形的对角线剪开，通过旋转、平移，拼成了一个大三角形，利用大三角形和原梯形之间的关系，推导出梯形的面积计算公式。
课堂练习
〔难点稳固〕
我们已推导出了梯形的面积公式，那么我们就用梯形的面积公式解决一些实际问题吧!
课件出例如3主题图
同学们知道这是哪儿吗？〔三峡水电站〕三峡水电站是我国最大的水电站，
它的的横截面的一局部是梯形，现在我们要求这个横截面的面积。谁知道横截面是什么意思？
同学们请看图，你能求出这个梯形的面积吗？学生试做，二生板书。
订正时，让学生评价，重在理顺学生的解题思路。
〔通过动手操作，自主探究，学生获得梯形面积的计算公式后，出示了课本的例题，求梯形大坝的横截面面积。通过实际问题的解决，将学生探究发现的数学知识转化为自身的能力， “学以致用〞，来解决生活的实际问题。〕
教学环节
教学过程
导入
一、复习旧知。
首先，引导学生复习了什么是梯形的面积？又认识了梯形，知道了梯形各局部之间的名称。接着，又通过同学们熟知的曹冲称象的故事加深了转化的数学思想，激起了学生学习的兴趣。
二、动手操作
1.让学生先用梯形学具等自主探索梯形的面积计算公式。

梯形公式推导过程

梯形公式是计算梯形面积的常用公式，它的推导过程相对简单，我们来一起了解一下。

我们需要明确梯形的定义。梯形是一个四边形，其中两边是平行的，另外两边不平行。我们假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。

接下来，我们来推导梯形的面积公式。

根据梯形的定义，我们可以将梯形分成一个矩形和两个直角三角形。如图所示，其中矩形的长为b，宽为h，两个直角三角形的底分别为a和b，高都为h。

根据矩形的面积公式，矩形的面积可以表示为S1 = b * h。

而两个直角三角形的面积分别为S2 = 0.5 * a * h 和 S3 = 0.5 * b * h。

那么，整个梯形的面积可以表示为S = S1 + S2 + S3 = b * h + 0.5 * a * h + 0.5 * b * h。

我们可以对公式进行合并和化简，得到梯形面积公式：S = 0.5 * (a + b) * h。

至此，我们成功推导出梯形的面积公式。

需要注意的是，梯形公式适用于所有的梯形，无论上底和下底的长度如何。同时，梯形的高也可以是负数或零，但这在实际应用中并不常见。

梯形面积公式的推导过程相对简单，但是应用范围非常广泛。无论是在日常生活中还是在工程设计中，我们都可以通过梯形公式来计算梯形的面积，为实际问题提供解决方案。因此，熟练掌握梯形公式是非常重要的。

除了梯形面积公式，我们还可以通过梯形的边长和角度等信息来计算其他属性，如梯形的周长、对角线的长度等。这些计算方法在实际应用中也非常常见。

梯形公式是计算梯形面积的重要工具，它的推导过程简单明了。通过理解和掌握梯形公式，我们可以更好地解决与梯形相关的实际问题。希望通过本文的介绍，读者们对梯形公式的推导过程有了更深入的了解和理解。

梯形面积公式的推导方法

梯形是一种拥有两个平行底边的四边形，它的面积可以通过梯形面积公式来计算。本文将详细介绍梯形面积公式的推导方法。

我们需要明确梯形的定义和特点。梯形是一种四边形，它有两个平行的底边和两条不平行的侧边。梯形的面积可以看作是两个平行底边之间的平均高度与底边长度的乘积。我们可以通过将梯形分割成两个三角形来推导梯形面积公式。

假设梯形的上底边长为a，下底边长为b，高为h。我们可以将梯形分割成一个上底边为a，下底边为b，高为h的小三角形和一个上底边为a，下底边为b，高为0的大三角形。

我们计算小三角形的面积。小三角形的面积等于底边长度乘以高再除以2，即S1 = (a * h) / 2。

接下来，我们计算大三角形的面积。大三角形的面积等于底边长度乘以高再除以2，即S2 = (b * h) / 2。

将小三角形和大三角形的面积相加，即可得到整个梯形的面积。即S = S1 + S2 = (a * h) / 2 + (b * h) / 2 = (a + b) * h / 2。梯形的面积公式可以表示为S = (a + b) * h / 2。其中，a和b分别代表梯形的上底边和下底边的长度，h代表梯形的高。

通过这种推导方法，我们可以清晰地理解梯形面积公式的来源和计算过程。梯形面积公式是数学中的基本公式之一，在解决实际问题中具有广泛的应用。无论是计算几何还是实际工程中的面积计算，梯形面积公式都是必备的知识点。

在实际应用中，我们可以根据梯形的具体参数，直接套用梯形面积公式进行计算。通过掌握和理解梯形面积公式的推导方法，我们可以更好地应用它解决各种实际问题。

梯形面积计算公式推导方法

梯形面积计算公式推导方法（四种）

方法一：两个一样的梯形拼成一个平行四边形（图1）

推导：

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

方法二：把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（图2）

推导：

平行四边形的底等于梯形的上底，三角形的底等于梯形的下底与上底之差；平行四边形的高与三角形的高都等于梯形的高；所以

梯形面积

=平行四边形面积+三角形面积

=平行四边形的底×高+三角形的底×高÷2

=（平行四边形的底+三角形的底÷2）×高

=（平行四边形的底×2+三角形的底÷2×2）×高÷2

=（平行四边形的底+平行四边形的底+三角形的底）×高÷2

=（上底+下底）×高÷2。

方法三：把一个梯形剪成两个三角形（图3）

推导：

梯形的面积=三角形1的面积+三角形2面积

=梯形上底×高÷2+梯形下底×高÷2

=(梯形上底+梯形下底)×高÷2

方法四：把梯形沿中位线剪成两个梯形后拼成一个平行四边形（图4）推导：

平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的高的一半；所以

梯形面积=平行四边形面积

=平行四边形的底×高

=(梯形上底+梯形下底)×高÷2

（图1）（图2）

（图3）（图4）

北师大版五年级上册数学 4-5 练习一探索公式并运用公式计算知识点梳理重点题型练习课件

4．一个直角梯形，它的下底是20 cm，如果上底增加5 cm，那么这个直角梯形就变成了一个正方形。原直角梯形的面积是多少平方厘米？(先按题意画图再解答) (20－5＋20)×20÷2＝350(cm2) 答：原直角梯形的面积是350 cm2。
解析：由题意可以得到梯形的高是20cm，上底是20 －5＝15(cm)。
5．两个相同的直角梯形重叠在一起(如下图)，求涂色部分的面积。(单位：cm)
(10－3＋10)×4÷2＝34(cm2) 答：涂色部分的面积是34 cm2。
解析：两个直角梯形除去重叠部分，剩下的空白部分的面积与涂色部分的面积相等。要求涂色部分的面积，只需求剩下的空白部分的面积。剩下的空白部分是一个上底是(10－3)cm，下底是10 cm，高是4 cm的直角梯形。
知识点 2 运用梯形的面积公式进行计算
2．计算下面梯形的面积。(单位：dm)
(1)
(4.5＋14.5)×10÷2＝95(dm2)
(2)
(12＋21)×12÷2＝198(dm2)
解析：根据梯形面积公式进行计算，注意排除多余条件。
提升点 1 梯形面积公式的变式应用
3．(易错题)“江南可采莲，莲叶何田田。”李伯伯利用浮标绳和池塘边的堤岸围成如图所示的梯形区域(如下图)。已知浮标绳长240 m，梯形区域的面积是多少？
(3)如(1)(2)，如果用S表示梯形的面积，a、b、h分别表示梯形的上底、下底与高，那么梯形的面积公式用字母表示是(S＝(a＋b)×h÷2)。

梯形公式的推导过程

1. 引言

1.1前言

前言

梯形公式是数学中常用的一种数值积分方法，用于估计曲线下面积。它的推导过程基于将曲线所围成的区域近似为若干个梯形，并对每个梯形的面积进行求和。本节将介绍梯形公式的推导过程，从而让读者对该公式有一个更加深入的理解。

推导过程如下：

1.首先，我们考虑将曲线所围成的区域分割为若干个矩形。对于每个矩形，我们可以使用矩形面积的公式来估计其曲线下的面积。

2.接下来，我们将每个矩形进一步分割为两个三角形和一个矩形。对于每个三角形，我们可以使用三角形面积的公式来近似其曲线下的面积。

3.然后，我们可以将每个矩形和三角形的面积相加，得到区域内的总面积近似值。

4.为了提高精确度，我们可以继续将每个矩形和三角形进一步分割为更小的区域，然后按照相同的方法计算其面积近似值。

5.最后，我们将所有小区域的面积近似值相加，得到整个区域的面积近似值。这就是梯形公式。

通过以上推导过程，我们可以得出梯形公式的表达式：

梯形公式是一种较为简单但有效的数值积分方法，可以被广泛应用于

科学计算和工程领域。其推导过程的理解对于进一步研究和应用数值积分方法具有重要意义。

1.2目的和重要性

梯形公式的推导过程是数学中的一个重要内容，其目的在于推导出计

算梯形面积的公式并解释其重要性。梯形公式可以用于计算梯形的面积，不仅在数学中有广泛的应用，也在现实生活中有许多实际意义。

梯形公式的推导过程可以开始于定义梯形。梯形是指具有两条平行边

的四边形，其两条平行边分别称为上底和下底。梯形的高是连接两条平行边的垂直距离。在推导过程中，可以引入梯形的底边平均数的概念。

梯形面积计算公式的推导过程

通过以上试验，你发现了什么？
1、两个完全一样的梯形都可以拼成：
一个平行四边形
2、每个梯形的面积等于：
拼成的平行四边形面积的一半
3、这个平行四边形的底等于：
梯形的上底和下底的和
4、这个平行四边形的高等于：
梯形的高Hale Waihona Puke Baidu
想一想：怎样计算梯形的面积?
h
b
a
梯形的面积=所拼成的平行四边形的面积 ÷ 2
梯形的面积=
底
2 × ÷ 高
梯形的面积=
（上底+下底）
× 梯形的高 ÷ 2
所以：梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2 S ＝ (a＋b) h ÷ 2
1、你能不能用已经学过的本领想办法求出梯形的面积？ 2、你如果想不出办法，可以通过操作手中的学具想一种求梯形面积的办法？
a
b
h
b
a
两个完全一样的直角梯形能拼成什么图形呢？
a h b
b
a
两个完全一样的等腰梯形能不能也拼成一个平行四边形呢？
a
h b
b
a
两个完全一样的普通的梯形能不能拼成一个平行四边形呢？

经典：梯形面积计算公式的推导

教学课件:
梯形面积计算公式的推导
1
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2
梯形的各部分名称: 上底
腰
腰
高
下底
3
比一比：两个梯形有什么关系？
试一试吧！
4
5
通过旋转、平移能拼成一个什么图形
Байду номын сангаас
两个梯形完全相同。
再试一试
6
7
8
9
10
11
上底
上底
下底
高
高
下底
下底
上底
平行四边形的底
通过实验可看出，两个完全一样的梯形都可以拼成一个（平行四边形）。
13
8.5
12.5
10
(1) (13+10) ×8.5÷2
(2) (8.5+12.5) ×13÷2
(3) (13+10) ×12.5÷2
√ (4) (8.5+12.5) ×10÷2
16
(3+7)×5÷2 =12 ×5÷2 =30(根）答：这堆木材共有30根。
17
这是靠篱笆围成的一块菜地。篱笆总长是30米。这块菜地占地多少平方米？
14
任选一个图形计算它的面积。（图中单位：分米）
35
30
20 (35+20)×30÷2 =55×30÷2 =825(平方分米) 答：这个梯形的面积是825平方分米。

梯形面积的计算练习题

梯形面积的计算

一、复习旧知

（一）求出下面图形的面积

（二）回忆三角形面积公式的推导过程（演示课件：拼摆三角形）

（三）学生讨论：在日常生活中你见过哪些物品是梯形的？

二

（一）梯形面积公式的推导。

1．小组合作操作讨论

（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个形。

（2）这个平行四边形的底等于；高等于。（3）每一个梯形的面积等于平行四边形面积的。

（4）梯形的面积等于。

3．学生概括总结，归纳公式

梯形面积=（+ ）×÷2

S= ( + )×÷2

(二)教学例1。

例3：我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形（如下图），求它的面积。

1．教师提问：已知什么？求什么？怎样解答？

（二）计算下面梯形的面积

（二）动手测量学具（梯形）的相关数据，并计算梯形学具的面积。

（三）下面是一个水电站拦河坝的横截面图，求它的面积。

【基础知识自主学习】

一、填空题.

1.两个( )的梯形可以拼成一个( )。梯形的上底和下底的和等于( )，梯形的高等于( )的高，每个梯形的面积等于拼成的( )的面积的一半，用字母公式表示是( )。

2.求梯形的面积，必须知道( )个条件，它们分别是( )。

3.一个梯形的面积是

4.2平方分米，它的下底与一个平行四边形的底边相等，高等于平行四边形的高，这个平行四边形的面积是( )平方分米。

4.一个梯形的面积是76平方厘米，下底是12厘米，上底是8厘米，梯形的高是( )厘米。

5.一个梯形的面积是28平方米，它的高是7米，上底是3米，下底是( )米。

二、计算下面每个梯形的面积(单位：米)

【基本能力达标学习】

一、判断.(对的打“√”，错的打“×”)

梯形面积公式的推导过程

字母表示：S=(a+b)×h÷2
2.已知梯形的上底、下底和高，可以直接利用梯形的面积公式求出梯形的面积。
用S表示梯形面积，用a表示梯形上底长，用b 表示梯形下底长，用h表示梯形的高，则梯形
的面积可以用字母表示为：
S=(a+b)×h÷2
S＝(a＋b)h÷2 ＝(36＋120) ×135÷2 ＝156 ×135÷2 ＝21060÷2 ＝10530(m2)
答：大坝的横截面积是10530平方米。
归纳总结
1.梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2
五年级数学上册人教版
梯形面积公式的推导过程
难点名称：理解梯形面积计算公式
的推导过程，体会转化的数学思想。
你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗？
车窗的玻璃是梯形的！
怎样求出它的面积呢？
尝试拼摆
两个完全相同的普通梯形能拼成一个平行四边形吗？能
尝试拼摆两个完全一样的特殊梯形呢？
梯形的面积=所拼成的平行四边形的面积
÷2
梯形的面积=
底
×
高
÷2
梯形的面积= （上底+下底） × 梯形的高 ÷ 2
所以：梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2
用分割法计算梯形的面积
上底
高
分割成一个平行四边形和一个三角形

梯形面积推导公式

梯形的面积可以通过以下公式推导得到：

设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。将梯形切割成一个矩形和两个直角三角形，如图所示。

```

┌───────────┐

/ \

└───────────┘

```

矩形的面积为S1 = a * h，两个直角三角形的面积分别为S2 = (a - b) * h / 2和S3 = b * h / 2。

所以，梯形的面积为S = S1 + S2 + S3 = a * h + (a - b) * h / 2 + b * h / 2 = (a + b) * h / 2。

这就是梯形面积的推导公式。

拓展:

除了上述的梯形面积公式，还可以通过梯形的对角线长度来计算梯形的面积。

设梯形的上底长为a，下底长为b，对角线长度分别为d1和d2，高为h。可得以下关系：

d1 = √(h^2 + (b - a/2)^2) (根据勾股定理)

d2 = √(h^2 + (b + a/2)^2) (根据勾股定理)

利用上述两个等式，我们可以解得高h的值：

h = √(d1^2 - (b - a/2)^2)或h = √(d2^2 - (b + a/2)^2)

将高h的值代入梯形面积公式S = (a + b) * h / 2，即可计算出梯形的面积。

这个公式的拓展适用于已知梯形的对角线长度和上底、下底长度的情况，可以更灵活地求解梯形的面积。

梯形面积计算公式的推导大全

的图形的面积呢？
3、根据拼成图形的面积公式，怎样求梯形的面积？
a
6
梯形面积公式的推导过程：
a
7
梯形面积公式的推导过程：
a
8
梯形面积公式的推导过程：旋转
a
9
梯形面积公式的推导过程：
a
10
梯形面积公式的推导过程：
a
11
梯形面积公式的推导过程：
a
12
梯形面积公式的推导过程：
平移
a
13
梯形面积公式的推导过程：
a
22
梯形面积公式的推导过程：
梯形的高÷2 下底
上底
一个梯形的面积=所拼成的平行四边形的面积
底 ×高
（上底+下底） × 梯形的高÷2
所以：梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2
a
23
梯形的面积公式是：
梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2
如果用S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形的面积公式是：
上底×高＋（下底－上底）× 高 ÷ 2
所以：梯形的面积=（上底+下底）× 高 ÷ 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a
18
梯形面积公式的推导过程：
a
19
梯形面积公式的推导过程：

梯形面积计算公式的推导

我能行、我最棒
1、一个梯形上底与下底的和是15厘米，高是8.8厘米，面积是（ 66 ）平方厘米。 2、一个梯形上底是5厘米，下底是2分米，高是上底和下底和的1.2倍，它的面积是（ 375 ）平方厘米。 3、梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，高不变，面积（不变）。 4、有一堆圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有 7根，一共堆了5层，这堆圆木共有（ 25 ）根。
灵活运用
• 我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形（如下图），求它的面积。
36m
135m 120m
求下面梯形的面积。 3.2dm 4cm
3cm 2cm
5dm
6.4dm
• 判断题（1）平行四边形的面积大于梯形面积。( × ) （2）梯形的上底下底越长，面积越大。( × ) （3）任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形。( √ ) （4）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。( √ )
旋转
梯形面积公式的推导过程：
梯形面积公式的推导过程：
梯形面积公式的推导过程：
梯形面积公式的推导过程：
平移
梯形面积公式的推导过程：
梯形面积公式的推导过程：
两个完全相同的梯形拼成了一个平行噢！
四边形。
一个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系
梯形面积公式的推导过程：
高高下底上底

梯形面积计算公式推导

梯形面积计算公Hale Waihona Puke Baidu推导
通过旋转、平移能拼成一个什么图形？
两个梯形完全相同。
上底
上底
下底
高下底
高下底上底
通过实验可看出，两个完全一样的梯形都可以拼成一个（平行四边形）。拼成的平行四边形的底=梯形的（上底）+（下底）拼成的平行四边形的高=梯形的（高）。
拼成的平行四边形的面积 =(上底+下底)×高所以, 梯形的面积 =(上底+下底)×高÷2 s=(a+b) ×h ÷2

计算梯形面积的公式

梯形是一种特殊的四边形，它有两个平行的底边和两条不平行的侧边。计算梯形的面积可以使用以下公式：

面积 = (上底 + 下底) × 高÷ 2

其中，上底和下底分别指梯形的两个平行底边的长度，高指梯形两个底边之间的垂直距离。

梯形面积公式的推导过程如下：

假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。我们可以将梯形划分为两个三角形和一个矩形。

我们计算矩形的面积，即底边的平均长度乘以高，得到矩形的面积为ab×h。

然后，我们计算两个三角形的面积。每个三角形的面积都可以表示为底边乘以高再除以2，即ah/2和bh/2。

将矩形和两个三角形的面积相加，得到梯形的总面积为(ab×h) + (ah/2) + (bh/2)。

化简上述表达式，得到梯形的总面积为(ab+ah+bh)/2，进一步化简为(a+b)×h/2。

根据以上推导，我们可以得出梯形面积的公式为(上底 + 下底) × 高÷ 2。

下面我们通过一个例子来演示如何使用梯形面积的公式进行计算。

假设某个梯形的上底长度为5 cm，下底长度为10 cm，高为8 cm。我们可以根据公式进行计算：

面积= (5 + 10) × 8 ÷ 2

= 15 × 8 ÷ 2

= 120 ÷ 2

= 60 平方厘米

因此，该梯形的面积为60平方厘米。

通过以上例子，我们可以看到使用梯形面积的公式可以快速准确地计算梯形的面积。只需要知道梯形的上底、下底和高，就可以使用这个公式进行计算。

需要注意的是，公式中的长度单位要保持一致。在计算过程中，如果是以厘米为单位，那么计算结果也应该以平方厘米为单位。