高考数学文科试题解析(北京卷)

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普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，解析版）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么UP =(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞【答案】D【解析】：2111x x ≤⇒-≤≤，UP =()()11-∞,-,+∞，故选D（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。

（3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【答案】D【解析】：1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题【答案】D 【解析】：或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D （5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162 (C)48 (D)16322+【答案】B 【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622⨯⨯⨯+=+故选B 。

（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+= 1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C （7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

年北京高考文科数学试题及答案解析

2０１7年北京市高考文科数学试卷逐题解析数学(文)(北京卷）本试卷共５页,１5０分。

考试时长120分钟。

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第一部分(选择题共4０分)一、选择题1. 已知全集U R =,集合{|2A x x =<-或2}x >，则U C A = A ．()2,2-ﻩ B. ()(),22,-∞-+∞ﻩＣ. []2,2- D. (][),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】{|2A x x =<-或}()()2=,22,x >-∞+∞,[]2,2U C A ∴=-，故选C .2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是 ﻩＡ. (),1-∞ B ． (),1-∞-C ． ()1,+∞ﻩ D. ()1,+-∞【答案】B【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在第二象限.1010a a +<⎧∴⎨->⎩得1a <-.故选B . ﻬ3. 执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 ﻩ A. 2ﻩ B. 32C ． 53ﻩD .85【答案】C【解析】0,1k S ==. 3k <成立,1k =,2S =21=. 3k <成立,2k =,2+13S =22=. 3k <成立,3k =,3+152S =332=. 3k <不成立,输出5S 3=.故选C .4.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为A ． 1ﻩ B. 3ﻩ C. 5ﻩ D. 9 【答案】D【解析】设2z x y =+，则122z y x =-+,当该直线过()3,3时，z 最大. ∴当3,3x y ==时，z 取得最大值9,故选D .5.已知函数1()3()3xxf x =-,则()f xＡ．是偶函数，且在R 上是增函数 B. 是奇函数，且在R 上是增函数Ｃ. 是偶函数,且在R 上是减函数 D. 是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】11()3()()3()33xx x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .()f x ∴为奇函数．3x y =在R 上单调递增，1()3xy =在R 上单调递减1()3xy ∴=-在R 上单调递增.1()3()3x x f x ∴=-在R 上单调递增,故选B .6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ． 60 Ｂ． 30 Ｃ． 20 D. 10【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下:S ABC -113541032S ABCV -∴=⨯⨯⨯⨯=,故选D ．7．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ,使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的A. 充分而不必要条件ﻩB. 必要而不充分条件C. 充分必要条件ﻩD. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数λ，使得m n λ=,且,m n 为非零向量.∴m 与n 方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π⋅=⋅⋅=-⋅<∴“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分条件.若0m n ⋅<,则||||cos 0m n m n θ⋅=⋅⋅<，则cos 0θ<.∴(,]2πθπ∈，∴m 与n 不一定反向．∴不一定存在负数λ,使m n λ=．故选A8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是 (参考数据：lg30.48≈） ﻩA ． 3310ﻩﻩＢ. 5310C. 7310ﻩD. 9310【答案】D【解析】3613M ≈,8010N ≈，36180310M N ≈,两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310M N ≈=-=⨯-≈ 9310MN∴≈ 第二部分(非选择题共１10分)二、填空题共6小题，每小题５分，共３0分。

2021年高考北京卷文数试题解析(精编版)(解析版)

绝密★本科目考试启用前本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]-（D ）(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】试题分析：因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞（D ）(1,)-+∞【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋b i(a，b∈R ) 平面向量OZ.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B）3 2（C）53（D）85【答案】C【考点】程序框图【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9【答案】D 【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值 max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如 ()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20（D ）10【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是如下图所示的三棱锥P ABC -.由图中数据可得该几何体的体积是115341032V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 【考点】三视图，几何体的体积【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线. （7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-，所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=，故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===，故2251,a a =+解得211,42a a ==，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数，若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+，所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ，根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=，所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1，焦点F 到准线l 的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线，若m αP ，则l m ⊥；故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯，故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤；故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++，解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-；（Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125；（III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ，故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形，而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面；（Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=；（II ）设()()1122,,,P x y Q x y ，则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+，解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++，将直线y=kx+t 与椭圆方程联立，得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++，故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程；（II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =，则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-，整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=；（II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6，则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==，故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦，所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤；构造函数h （x ）=f （x ）-x ，则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤，综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--，则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==，故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷

2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将【答案】答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出旳四个选项中，选出符合题目要求旳一项。

〔1〕集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，那么A B =〔A 〕{|2<<5}x x 〔B 〕{|<45}x x x >或〔C 〕{|2<<3}x x 〔D 〕{|<25}x x x >或〔2〕复数12i =2i+- 〔A 〕i 〔B 〕1+i 〔C 〕i -〔D 〕1i -〔3〕执行如下图旳程序框图，输出旳s 值为〔A 〕8〔B 〕9〔C 〕27〔D 〕36〔4〕以下函数中，在区间(1,1)-上为减函数旳是〔A 〕11y x=-〔B 〕cos y x =〔C 〕ln(1)y x =+〔D 〕2x y -= 〔5〕圆〔x +1〕2+y 2=2旳圆心到直线y =x +3旳距离为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〔D 〕〔6〕从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中旳概率为〔A 〕15〔B 〕25〔C 〕825〔D 〕925〔7〕A 〔2，5〕，B 〔4，1〕.假设点P 〔x ，y 〕在线段AB 上，那么2x −y 旳最大值为〔A 〕−1〔B 〕3〔C 〕7〔D 〕8〔8〕某学校运动会旳立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个时期.下表为在这10名学生中，进入立定跳远决赛旳有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛旳有6人，那么〔A 〕2号学生进入30秒跳绳决赛〔B 〕5号学生进入30秒跳绳决赛〔C 〕8号学生进入30秒跳绳决赛〔D 〕9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕向量=a b ，那么a 与b 夹角旳大小为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔10〕函数()(2)1x f x x x =≥-旳最大值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔11〕某四棱柱旳三视图如下图，那么该四棱柱旳体积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(12)双曲线22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕旳一条渐近线为2x +y =0〕，那么a =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏；b =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(13)在△ABC 中，23A π∠=，，那么b c =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. (14)某网店统计了连续三天售出商品旳种类情况：第一天售出19种商品，翌日售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出旳商品有3种，后两天都售出旳商品有4种，那么该网店①第一天售出但翌日未售出旳商品有﹏﹏﹏﹏﹏﹏种；②这三天售出旳商品最少有﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏种.【三】解答题〔共6题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程〕〔15〕〔本小题13分〕{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.〔Ⅰ〕求{a n }旳通项公式；〔Ⅱ〕设c n =a n +b n ，求数列{c n }旳前n 项和.〔16〕〔本小题13分〕函数f 〔x 〕=2sin ωx cos ωx +cos2ωx 〔ω>0〕旳最小正周期为π.〔Ⅰ〕求ω旳值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕旳单调递增区间.〔17〕〔本小题13分〕某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米旳部分按4元/立方米收费，超出w 立方米旳部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月旳用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：〔I 〕假如w 为整数，那么依照此次调查，为使80%以上居民在该月旳用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？〔II 〕假设同组中旳每个数据用该组区间旳右端点值代替，当w=3时，可能该市居民该月旳人均水费.〔18〕〔本小题14分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥〔I 〕求证：DC PAC ⊥平面；〔II 〕求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 旳中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由.〔19〕〔本小题14分〕椭圆C ：22221x y a b+=过点A 〔2,0〕，B 〔0,1〕两点. 〔I 〕求椭圆C 旳方程及离心率；〔II 〕设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 旳面积为定值.〔20〕〔本小题13分〕设函数()32.f x x ax bx c =+++ 〔I 〕求曲线().y f x =在点()()0,0f 处旳切线方程；〔II 〕设4a b ==，假设函数()f x 有三个不同零点，求c 旳取值范围；〔III 〕求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点旳必要而不充分条件.。

2019年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)

2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1. 已知集合A={x|−1<x<2},B={x|x>1}，则A∪B=( )A.(−1,1)B.(1,2)C.(−1,+∞)D.(1,+∞)2. 已知复数z=2+i，则z⋅z¯=()A.√3B.√5C.3D.53. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12 B.y=2−x C.y=log12x D.y=1x4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.1B.2C.3D.45. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率是√5，则a=()A.√6B.4C.2D.126. 设函数f(x)=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.18. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ二、填空题9. 已知向量a→=(−4,3),b→=(6,m)，且a→⊥b→，则m=________.10. 若x，y满足{x≤2,y≥−1,4x−3y+1≥0,则y−x的最小值为________,最大值为________.11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_______.12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.13. 已知l，m是平面α外的两条不同直线. 给出下列三个论断：①l⊥m；②m//α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_______.三、解答题15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=−12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B+C)的值.16. 设{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10,a3+8, a4+6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC=60∘，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由.19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l经过定点.20. 已知函数f(x)=14x3−x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[−2，4]时，求证：x−6≤f(x)≤x；(3)设F(x)=|f(x)−(x+a)|(a∈R)，记F(x)在区间[−2，4]上的最大值为M(a). 当M(a)最小值时，求a的值.参考答案与试题解析2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题 1.【答案】 C【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：A ={x|−1<x <2},B ={x|x >1}，2\},由图可知A ∪B ={x|x >−1}. 故选C. 2.【答案】 D【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：z =2+i ，z ¯=2−i ，则 z ⋅z ¯=(2+i)(2−i) =4−i 2 =4+1 =5. 故选D . 3.【答案】 A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，要求函数在(0,+∞)上为增函数， A ：y =x 12=√x 在(0,+∞)为增函数； B:y =2−x =(12)x在(0,+∞)为减函数； C ：y =log 12x 底数为12，在(0,+∞)为减函数；D:y =1x 在(0,+∞)为减函数. 故选A . 4.【答案】 B【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知：k =1，s =1，s =2⋅123⋅1−2=2，第一步：k =2，s =2⋅223⋅2−2=2，第二步：k =3，s =2⋅223⋅2−2=2，输出值s =2，故选B . 5. 【答案】 D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a 2−y 2=1可知b 2=1，c 2=a 2+b 2=a 2+1， e =ca =√5，即√c 2a 2=√a 2+1a 2=√1+1a 2=√5，解得a=12，故选D.6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：证明充分条件：因为当b=0时，f(x)=cos x,x∈R. 所以f(x)为偶函数，则充分条件成立.证明必要条件：因为f(x)=cos x+b sin x，而f(−x)=cos(−x)+b sin(−x)=cos x−b sin x，因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，则cos x−b sin x=cos x+b sin x，所以b=0，则必要条件成立.所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.7.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1. 故选A.8. 【答案】B【考点】三角形的面积公式扇形面积公式【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，由圆的几何性质可知，∠AOB=2β，∴∠AOP+∠BOP=2π−2β，S阴影=S△AOP+S△BOP+S扇形AOB=2sin∠AOP+2sin∠BOP+4π⋅2β2π=2(sin∠AOP+sin∠BOP)+4β，∵∠APB=β，∴S扇形AOB与|AB|为定值，当P在AB垂直平分线上，即∠AOP=∠BOP=π−β时，取得阴影部分面积的最大值，即4β+4sinβ，故选B.二、填空题9.【答案】8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积的坐标表达式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a→=(−4,3),b→=(6,m)且a→⊥b→，∴a→⋅b→=−24+3m=0，∴m=8，故答案为：8.10.【答案】−3,1【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：可行域为图中阴影部分，如图所示，设y−x=z，所以y=x+z，所以当直线y=x+z过A(2, 3)时，得到z max=3−2=1;当直线y=x+z过C(2,−1)时，得到z min=−1−2=−3,故答案为：−3；1.11.【答案】(x−1)2+y2=4【考点】抛物线的性质直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点F(1,0)，准线l为x=−1.∵F为圆心，l与圆相切，∴圆的半径为2，∴所求圆的方程为：(x−1)2+y2=4. 故答案为：(x−1)2+y2=4.12.【答案】40【考点】由三视图求体积（组合型）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图得该几何体如图所示，∴ 该几何体的体积为V=4×4×2+12×2×2×4=40. 故答案为：40.13.【答案】②③⇒①【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设m在α中的投影为m′，∵ m//α，l⊥α，m′⊂α，∴ l⊥m′，m//m′，∴ l⊥m.即②③⇒①.故答案为：②③⇒①.14.【答案】130,15【考点】不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①买草莓和西瓜共：60+80=140元，∵140元>120元即总价达到120元，∴顾客少付x元即少付10元，∴需要支付140−10=130元.②设促销前总价为m元.当m<120时，李明得到0.8m元，一定大于0.7m元，此时x为0元；当m≥120时，李明得到0.8(m−x)元，促销前总价的七折0.7m元. ∴0.7m≤0.8(m−x)，∴x≤18m对于m≥120恒成立，∴x≤15，∴x最大值为15.故答案为：130；15.三、解答题15.【答案】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A =bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.【考点】诱导公式余弦定理正弦定理同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A=bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.16.【答案】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30. 【考点】等比数列的性质等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30.17.【答案】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人, A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 【考点】统计表概率的应用用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人,A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B 的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 18.【答案】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘，即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ，又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形， ∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ，∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点，使CF//平面PAE . 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘，即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ，又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形，∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ， ∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点，使CF//平面PAE . 19. 【答案】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由韦达定理得， x 1+x 2=−4kt 2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1，k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y2−1.所以N (−x 2y2−1,0).所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y 2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理，可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt−k)−4kt2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0，所以y =kx .所以直线过定点(0，0).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由韦达定理得，x 1+x 2=−4kt2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1， k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y 2−1.所以N (−x 2y 2−1,0). 所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理，可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt −k)−4kt 2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0，所以y =kx .所以直线过定点(0，0). 20. 【答案】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)， ∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)， ∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0，设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0，即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3，当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3，当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3，所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.第21页共22页 ◎ 第22页共22页【考点】利用导数证明不等式利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性简单复合函数的导数【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)，∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)，∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0，设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0，即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3，当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3，当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3，所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.。

高考文科数学北京卷解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2013北京，文1)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B ＝( )．A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 答案：B解析：集合A 中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A ，B 的公共元素为－1,0，故选B.2．(2013北京，文2)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )．A ．ac ＞bcB ．11<a bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 答案：D解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.3．(2013北京，文3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．1y x=B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x | 答案：C解析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A. 5．(2013北京，文5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )．A ．15 B ．59C ．3D ．1答案：B解析：根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin B ＝b a sin A ＝515339⋅=，故选B. 6．(2013北京，文6)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1B ．23C ．1321D ．610987 答案：C解析：i ＝0时，向下运行，将212213S S +=+赋值给S ，i 增加1变成1，经判断执行否，然后将21132121S S +=+赋值给S ，i 增加1变成2，经判断执行是，然后输出1321S =，故选C. 7．(2013北京，文7)双曲线x 2－2y m＝1的充分必要条件是( )． A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2 答案：C解析：该双曲线离心率1e =m ＞1，故选C. 8．(2013北京，文8)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个答案：B解析：设正方体的棱长为a .建立空间直角坐标系，如图所示．则D (0,0,0)，D 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，P 221,,333a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则|PB u u u r |3a =，|PD u u u r |a =，|1PD u u u u r |3a =，|1PC u u u u r |＝|1PA u u u r |a =，|PC uuu r |＝|PA u u u r |＝3a =，|1PB u u u r |=，故共有4个不同取值，故选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013北京，文9)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__________；准线方程为__________．答案：2 x ＝－1解析：根据抛物线定义12p =，∴p ＝2，又准线方程为x ＝2p-＝－1，故填2，x ＝－1. 10．(2013北京，文10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V＝13×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.11．(2013北京，文11)若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和S n＝__________.答案：22n＋1－2解析：根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴S n＝21212n(-)-＝2n＋1－2.12．(2013北京，文12)设D为不等式组0,20,30xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0=13．(2013北京，文13)函数f (x )＝12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________．答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜2x ＜2；故f (x )的值域为(－∞，2)．14．(2013北京，文14)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．答案：3解析：AP u u u r ＝λAB u u u r ＋μAC u u u r ，AB u u u r＝(2,1)，AC u u u r ＝(1,2)．设P (x ，y )，则AP u u u r＝(x －1，y ＋1)．∴12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得23,323,3x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得629,023,x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩如图．可得A 1(3,0)，B 1(4,2)，C 1(6,3)， |A 1B 1|=，两直线距离d ==， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(2013北京，文15)(本小题共13分)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝πsin 424x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2.(2)因为f (α)＝2，所以πsin 414α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，所以4α＋π4∈9π17π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以π5π442α+=.故9π16α=.16．(2013北京，文16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.所以CD ⊥平面P AD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .18．(2013北京，文18)(本小题共13分)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )． (1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ， f (0)＝1＜b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：24x ＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =.所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k-. 因为k ·14k ⎛⎫-⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列； (3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1. 因此d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． (3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d ＞B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1＞A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。

高考北京卷文数试题解析(正式版)(解析版)

绝密★启用前本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或（C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点：集合交集（2）复数12i=2i+-（A）i（B）1+i（C）i-（D）1i-【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1（B ）2（C ）2（D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知22d ==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25（C ）825（D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B. 考点：古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1（B ）3（C ）7（D ）8 【答案】C考点：函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米）1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市高考数学文科试卷及答案解析

C.8
B .4
D. 16
C.

6
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则（）
A. CE·CB=AD·DB
C. ADAAB CD2
B. CE·CB=AD·AB
D. CEAEB CD2
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(
15．（本小题共13分）已知函数 f (x) (sin x cos x) sin 2x 。（1）求f（x）的定义域及最小正周期； sin x
（2）求f（x）的单调递增区间。
16. （本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上
的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使 A1C⊥CD,如图2.
x 3cos

y

3
sin
a1

1 2
(
，
为参数)的交点个数为
S2
12.在直角坐标系xOy中，直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线 l 的倾斜角为60º.则 AOAF 的面积为
13.己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则 DEACB 的值为
4
D.
4
开始 k=0,S=1
k=k+1
S=S· 2k
是 k<3
否输出 S
结束（第 4 题图）
)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

2019年北京市高考数学试卷(文科)以及答案解析 2019高考语文试卷北京卷答案

2019高考语文试卷北京卷答案绝密★本科目考试启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

2019高考语文试卷北京卷答案。

2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)

绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒，每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持方案一 200 人 400 人 300 人 100 人方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增，所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ）求椭圆 C 的方程：（II ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

高考文科数学北京卷试题与答案word解析版

普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：24x ＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题共40分)17．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ，f (0)＝1＜b ，所以存有x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b . 因为函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+.所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．所以，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.所以d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d ＞B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1＞A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．所以A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n －1.所以a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .所以对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)解析版

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A. 12y x =B. y =2x -C. 12log y x =D. 1y x= 【答案】A【解析】【分析】根据函数图像性质可得出结果. 【详解】函数122,log x y y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0 则a =A. B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A 的方程求解.【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率c e a== ，c =，=，解得12a =，故选D.【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1 【答案】D【解析】【分析】先求出12lg E E ，然后将对数式换指数式求12E E ，再求12E E . 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=, 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g ( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E E E E -=⋅= ，故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积S=S△P AB+ S1- S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△P AB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+12|OP||OB|s in（π-β）+12|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Si nβ，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷)(解析版)

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考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.5. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O x 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

完整word版北京高考数学文科试题及答案

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第一局部〔选择题共40分〕一、选择题：共8个小题，每题5分，共40分。

在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕假设集合A x 5 x 2,B x 3 x 3,那么A B 〔〕(A) x 3 x 2 (B) x 5 x 2 (C) x 3 x 3 (D) x 5 x 3〔2〕圆心为〔1，1〕且过原点的圆的方程是〔〕A〕x1（C〕x1222y12 y11〔B〕x11222y12 y12〔D〕x12〔3〕以下函数中为偶函数的是〔〕〔A〕y x2sinx〔B〕y x2cosx〔C〕y lnx〔D〕y2x〔4〕某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，那么该样本的老年人数为〔〕A〕90〔B〕100〔C〕180〔D〕300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300〔5〕执行如下图的程序框图，输出的k值为〔〕A〕3〔B〕4(C)5(D)6〔6〕设a,b是非零向量，“ab ab〞是“a//b〞的〔〕（〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件C〕充分必要条件D〕既不充分也不必要条件〔7〕某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥最长棱的棱长为〔〕(A)1〔B〕错误！未找到引用源。

〔B〕错误！未找到引用源。

(D)2〔8〕某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为〔〕加油时间加油量〔升〕加油时的累计里程〔千米〕2021年5月1日12350002021年5月15日4835600注：“累计里程〞指汽车从出厂开始累计行驶的路程〔A〕6升〔B〕8升〔C〕10升〔D〕12升第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕复数i1i的实部为．1〔10〕23,32,log25三个数中最大数的是．〔11〕在ABC中，a3,b6,A2,那么B．3〔12〕2,0是双曲线x2y21b0的一个焦点，那么bb2．〔13〕如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D Px,y为D中任意一点，那么z2x3y的最大值，为．14〕高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如以下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

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