6-5常系数线性齐次微分方程
第6章-微分方程
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2
u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0
第六章微分方程
处的切线斜率等于2x的曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y f (x).
积分
dy 2x, dx
其中曲线过（3,5）点
y x2 C 求得C 4,
所求曲线方程为 y x2 4.
例 2 在直线轨道上，一个物体以 20m/s 的速度运动,
制动获得的加速度为 0.4m/s2,求开始制动后物体的运
g( y)
第二步
两边积分
1 g( y)
dy
f
(x)dx.
第三步 求出积分 G( y) F( 1 ，f (x)的原函数，C为任意常数. g( y)
分离变量，得 dy 2xdx y 0.
y
两边积分，得
1dy y
2
xdx,
即 y ex2 C1 eC1e ， x2
注意 如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微 分方程就是求微分方程的通解.
例 3 、 验 证 : 函 数 x cos kt sin kt 是 微 分 方 程
d2 dt
x
2
k
2
x
0
的解.
解 求导，得 dx k sin kt k cos kt, dt
d2x dt 2
k 2
cos
kt
k2
sin
定义
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任 意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的 解叫做微分方程的通解.
例如 函数y x2 C C为任意常数是 dy =2x的通解.
dx
函数s
0.2t 2
C1t
C2(C1,C2为任意常数)是
d 2s dt 2
0.4的通解.
定义、如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解 是微分方程的某一个特定条件下的解，简称为特解.
微分方程习题及答案
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
组合数学第六章递推关系
h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n ＝ ＋ 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通 ＋
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 解特征方程， 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解 • 关于微分方程求解的已知结论: 关于微分方程求解的已知结论 微分方程求解的已知结论
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 1202年提出的 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（ 雄各一只） 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中， 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 每对新兔每个月也生出一对新兔， 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雄各一只。 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 这是一个数学模型的形象表示， 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。 正用来表示兔子的繁殖规律。
方程 xk-c1xk-1-c2xk-2-……-ck=0 • 递推关系的特征根 特征方程的k个根q1 ， q2……qk(可能有重根)，其中qi (i=1,2,……,k)是复数。 • 递推关系的解与特征根的关系？ 递推关系的解与特征根的关系？
引理6.2.1 设q是非零复数.则f(n)=qn是常系数线 引理 性齐次递推关系的解，当且仅当q是它的特征根. 证明 设f(n)=qn是递推关系(6.2.2)的解，即
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
第六节 线性微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y
1 x
(
c1e
x
c2e x
)
ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
常微分方程的起源与发展
"" 许多有关 微 分 方 程 的 教 材 都 会 提 到 发 现 海 王星的故事 $ 海王星的发现是人类智慧的结晶 " 也 是微分方程巨大作 用 的 体 现 " 体现了数学演绎法 的强大 威 力 $ 人们注意到 3 $ ? 3 年 发 现 天 王 星 后" 它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结 果不符 $ 于是有人怀疑万有引力定律的正确性 % 但 这可 能 是 受 另 外 一 颗 尚 未 发 现 的 行 也有人认为 " 星吸引所致 $ 当时虽有不少人相信后一种假设 " 但 缺乏去寻找这颗未知行 星 的 办 法 和 勇 气 $ 6 "岁的 英国剑桥大学的学 生 亚 当 斯 承 担 了 这 项 任 务 $ 他 利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分 方程 " 来 求 解 和 推 算 这 颗 未 知 行 星 的 轨 道$ 3 ? ! " 年3 #月6 3 日他把计算结果寄给格林威治天文台 台长艾利 " 但艾利不相信& 小 人 物 ’的 成 果 " 置之 两年后 " 法国青年勒威耶也开始从事这项研 不理 $ 究$ 他把 计 算 结 果 告 诉 了 柏 林 3 ? ! G年%月3 ?日" 天文台助理员 卡 勒 " 卡勒果然在勒威耶 6 " 日 晚" 预言的位置上发现了海王星 $ 对于数学 " 特别是数学的应用 " 微分方程所具 有的重大意义主要 在 于 ( 很多物理与技术问题可 本文以此为契机 " 以化归为微分方程的求解问题 $ 阐述常微分方程发展过程中所经历的四个重要时 期及微分方程的应用意义 $ ! 常微分方程的经典阶段 $ $ $ 以通解为主要研究内容 就像微积分在 3 $ 世纪后期与 3 ? 世纪前期的
高等数学专升本教材目录
高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。
无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。
这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。
高数-微分方程总结
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
六种特殊的一阶微分方程解法
六种特殊的一阶微分方程解法1.常系数齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=ay+b，其中a、b都是常数，通常可以使用积分法解决。
根据定义，将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=ay+b，然后把y'看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=a，接着对两边求积分，可以得到： y=ay'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式： y=ay^2/2+by+C。
2.常系数非齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=f(x)，其中f(x)是一个非常数函数，一般采用积分法解决。
将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=f(x)，此时将f(x)看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=1，接着对两边求积分，可以得到： y=y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=∫f(x)dx+C。
3.变系数齐次方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=p(x)y+q(x)，其中p(x)、q(x)都是非常数函数，一般采用积分法解决。
将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=p(x)y+q(x)，此时将p(x)、q(x)看作一个新的函数，那么方程可以写成：dy/dy'=1/p(x)，接着对两边求积分，可以得到：y=1/p(x)*y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=e^(∫p(x)dx)*∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx+C。
4.可积方程：这种一阶微分方程的形式为：dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是可积函数，一般采用积分法解决。
将y的导数表示为另一个函数y'，并将它代入方程，我们就有： y'=f(x,y)，此时将f(x,y)看作一个新的函数，那么方程可以写成： dy/dy'=1，接着对两边求积分，可以得到： y=y'+C，其中C是一个常数，根据上面的公式，我们可以得到y的表达式：y=∫f(x,y)dx+C。
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
经济数学微分方程
1 0.04
1 0.1
逆矩阵V
1
0.1/ 0.14 0.04 / 0.14
1/ 0.14
1/ 0.14
定义z
V
1
y，即
z1 z2
V
1
y1 y2
原系统变为：
求解微分方程得到：
z&(t)=Dz(t)+V-1x(t) z&1 0.1z1 10 /14 z&2 0.04z2 9.6 /14
因此，方程有两个 0 稳态。稳态0是不 稳定的，稳态y*是 稳定的。
y*
y
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6
微分方程稳定性总结
❖ 对于微分方程： y& f y t
❖ 当 y&0时，可以找出稳态值y*。
❖若
y &
0
y y y*
，即函数在稳态处的
斜率为正，则y是局部不稳定的。
❖ 若斜率为yy& 负y， 则y *y是0局，部即稳函定数的在。稳态处的
2020/6/1
微分方程是研究动态经济 学的基本工具。通过计算微分 方程来分析变量的具体时间路 径，以及能否收敛于均衡。
1
❖ 一、导论
❖ 变量为导数的方程称为微分方程。
❖ 例如： y&(t) f [ y(t)] y&是 dy 的简写 dt
如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。 常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。 宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。
的导数，因此，y&为正时，意味着y随着时间 的变化而增加；y&为负则减少。
2020/6/1
4
❖ 图形为直线。
❖ 在纵轴的截距为-x，在 横轴的截距为-x/a。
大学数学_6_6 二阶常系数齐次线性微分方程
当系数 P( x), Q( x) 分别为常数 p , q 时，方程 y py qy 0 （3） 称为二阶常系数齐次线性微分方程. 类似的，方程 y py qy f ( x) ( f ( x) 0) （4） 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 为了求解二阶常系数齐次线性微分方程， 我们先对二 阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构作一些讨论.
1 x
1 x
1 x
所以 y2 e 2 x , y3 e1 x 也是原微分方程的解.
由定理 1 可得，C1 y1 C2 y2 （C1 , C2 是任意常数）是原 方程的解.又因两个任意常数C1 , C2 不可能合并为一个任意 常 数 ， 而 所 给 方 程 是 二 阶 的 ， 因 此 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. 而 C1 y1 C3 y3 e x (C1 C3e) Cy1 ( 其中C C1 C3e) 实 质上只含有一个任意常数 , 故C1 y1 C3 y3 是原微分方程的 解，但不是原微分方程的通解. y1 e x 由例 1 可见， 2 x e 3 x 常数 （称 y1 e x , y2 e 2 x y2 e 是线性无关的） ，所以 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. y3 e1 x 而 x e 常数（称 y1 e x , y3 e1 x 是线性相关的） ， y1 e 这就使得 C1 y1 C3 y3 中的常数可以合并成一个常数，从而 它不能构成原方程的通解.
ds 满足初始条件 s t 0 1, t 0 3 的特解. dt 2 2 解 特征方程 4r 4r 1 0 ，即 2r 1 0 , 1 特征根为 r1 r2 ，因此，所给方程的通解为 2
6-6二阶常系数线性微分方程和Euler方程
. 例2 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得 r1， = −1 ± 2 j , 2 故所求通解为
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
例3. 求 程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解 的通解. 方 特征根: 1 解: 特征方程 r 2 − 2r − 3= 0, 特征根 r = −1, r2 = 3 , 因此原方程的通解为
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含
. 例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0的通解
解 特征方程为 解得
r 2 + 4r + 4 = 0 ,
r1 = r2 = −2 ,
y = (C1 + C 2 x )e − 2 x . 故所求通解为
解
r 2 − 3 r + 2 = 0, 特征方程 特征根 r1 = 1，r2 = 2，
对应齐次方程通解 Y = c1 e x + c 2 e 2 x ,
于是 y = x( x − 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y = C1e + C2e + x( x − 1)e .
1 A = 2 , 代入方程, 代入方程 得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ B = −1 1 2x
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
常系数齐次微分方程求解
C2e r2x ;
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2. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
x Aent sin(t )
运动周期:
振幅: A ent 衰减很快,
随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.
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大阻尼解的特征:
(n>k)
其中 r1, 2 n n2 k 2 n n2 k 2 0
1) 无振荡现象;
2) 对任何初始条件
lim x(t) 0.
t
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
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例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动,
取其平衡位置为原点建
立坐标系如图,
设 t = 0 时物体的位置为
求物体的运动规律
初始
解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足
自由振动方程 ,
因此定解问题为
d2x dt2
2n
dx dt
k
2
x
0
o x
x
此图参数:
n 1.5, k 1 x0 1.5 v0 5.073
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临界阻尼解的特征 :
(n=k)
任意常数由初始条件定,
无论 C1,C2 取何值都有
1) x(t) 最多只与 t 轴交于一点;
2) 无振荡现象 ;
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.
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例 4 设 y = e x ( C 1 sin x + C 2 cos x ) (C 1 , C 2 是任意常数) 为某一二阶常系数齐次线性微分方程的通解,写 出该方程.
解 由通解知,特征根为: 1 ± i 特征方程为 微分方程为
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 )e rx
eαx [(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 ) cos βx + ( D0 + D1 x + L + Dk 1 x k 1 ) sin βx]
若 α ± iβ 是 k 重共轭复根
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y = C1 e r1 x + C 2 e r2 x
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2. 当 p 2 4 q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r1 = r2 则微分方程有一个特解 y1 = e . r1 x 设另一特解 y2 = y1u ( x ) = e u ( x )
r1 x
( u (x) 待定)
所以令①的解为 y = e r x ( r 为待定常数 ),代入①得 ( r 2 + pr + q ) e r x = 0
r 2 + pr + q = 0
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 1. 当 p 2 4 q > 0 时, ②有两个相异实根 r1 , r2 , 则微分 方程有两个线性无关的特解: y1 = e r1 x , y2 = e r2 x , 因此方程的通解为
因此原方程的通解为
y = ( C1 + C 2 x ) e r1 x
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3. 当 p 4 q < 0 时, 特征方程有一对共轭复根 r1 = α + i β , r2 = α i β 这时原方程有两个复数解:
2
y1 = e
(α + i β ) x
=e
αx
(cos β x + i sin β x )
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例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 的通解 . 解 特征方程为 r 2 + 4r + 4 = 0 , 解得 r1 = r2 = 2 , 故所求通解为
y = (C1 + C 2 x )e
2 x
.
例 2 求 y′′ + 3 y′ + 2 y = 0 的通解.
y2 = e ( α i β ) x = eα x (cos β x i sin β x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 1 y1 = ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 2 1 = eα x sin β x y2 = ( y1 y2 ) 2i 因此原方程的通解为 y = eα x (C1 cos β x + C 2 sin β x )
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小结:
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 + pr + q = 0 , 特征根 : r1 , r2 特征根
r1 ≠ r2 实根 p r1 = r2 = 2 r1 ,2 = α ± i β
通
y = C 1e y=e
αx
第五节
第六章
常系数线性齐次微分方程
一,二阶常系数齐次线性微 分方程解法 二,n 阶常系数齐次线性微 分方程解法
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一,定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y ( n ) + P1 y ( n1) + L + Pn1 y′ + Pn y = f ( x )
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
通解 z = e
∫
2 dx y
[ ∫ 2 y ln ye
∫
2 dx y
= y 2 [(ln y )2 + C1 ] dx + C1 ]
即 ( y′ )2 = P 2 = y 2 [(ln y )2 + C1 ]
很繁!
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2 求微分方程 yy′′ ( y′ ) = y ln y 的通解. 例6 2
代入方程得: r1 x ′′ + 2 r1u′ + r12 u ) + p( u′ + r1u ) + q u ] = 0 e [ (u
′′ + ( 2 r1 + p ) u′ + ( r12 + p r1 + q ) u = 0 u
注意 r1 是特征方程的重根 u′′ = 0 y2 = x e r1 x , 取 u = x , 则得
解
+ C 2e
r2 x r1 x
y = ( C1 + C 2 x ) e
y = eα x (C1 cos β x + C 2 sin β x )
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y ( n ) + P1 y ( n1) + L + Pn1 y′ + Pn y = 0
特征方程为 r n + P1 r n 1 + L + Pn 1r + Pn = 0 特征方程的根
r 2 2r + 2 = 0 y′′ 2 y′ + 2 y = 0
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例5 解
求方程 y′′ + a y = 0 的通解 .
r2 + a = 0 , 特征方程为
a = 0:
通解为 y = C1 + C 2 x
a x
a > 0 : 通解为 y = C1 cos a x + C 2 sin a x a < 0 : 通解为 y = C1 e
r1 x
解
+ C 2e
r2 x r1 x
y = ( C1 + C 2 x ) e
(C1 cos β x + C 2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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三,举例
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
( r 1)2 ( r 2 + 4) = 0 因此特征方程为
即
r4 2r3 + 5r2 8r + 4 = 0 y ( 4 ) 2 y′′′ + 5 y′′ 8 y′ + 4 y = 0
故所求方程为
y = (C1 + C 2 x ) e x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x 其通解为
+ C2 e
a x
第九节
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yy′′ ( y′ ) = y 2 ln y 的通解. 例6 求微分方程
2
解1 令 y′ = P ( y ) , y′′ = P
dP , dy
dP 1 P = y ln yP 1 , 代入原方程得 dy y dz 2 2 z = 2 y ln y , 令 z=P 得 dy y
∴ ln y = C 1 e x + C 2 e x .
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四,n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) + P1 y ( n1) + L + Pn1 y′ + Pn y = 0
特征方程为 r + P1 r 1r + Pn = 0
特征方程的根
若 r 是 k 重实根
解2 Q y ≠ 0 ,
y′ ′ y′ (ln y )x = , ∴ (ln y )〃 = ln y , = ln y , Q y y
令 z = ln y
x
′
yy ′′ ( y ′ ) ∴ = ln y , 2 y
2
则 z ′′ z = 0,
x
特征根 r = ±1
通解 z = C1e + C 2 e
解 特征方程为 r 2 + 3r + 2 = 0 解得 r1 = 1, r2 = 2
x 2 x 故所求通解为 y = C1e + C 2 e
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例3 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 的通解 .
特征方程为 r + 2r + 5 = 0 ,
2
解得 r1, = 1 ± 2i , 2 通解为
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = f ( x )
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二,二阶常系数齐次线性微分方程解法:
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为常数 )