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2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题5《等分图形面积》(02)

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2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(解析版)

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(解析版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编二、四边形中的计算和证明综合题1.（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=√2AG．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AEDC =AF DF，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得a=1+√52或1−√52（舍去），∴AE=1+√5 2．（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠P AG＝∠P AD+∠DAG＝∠P AD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△P AG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．2.（2020黑龙江七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝45°，∴∠EAN＝∠MAC＝45°，同理∠NAG＝45°，∴∠EAN＝∠NAG，∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，∴AE＝AB＝AC＝AG，∴EN＝GN．（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAM ＝180°﹣90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，{∠ABM =∠EAP∠AMB =∠P =90°AB =AE，∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，{∠P =∠NQG∠ENP =∠GNQ EP =GQ，∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．如图2，∠BAC ≠90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAM ＝180°﹣90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，{∠ABM =∠EAP∠AMB =∠P =90°AB =AE，∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，{∠P =∠NQG∠ENP =∠GNQ EP =GQ，∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．3.（2020黑龙江绥化）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴∠ADE +∠DAE ＝90°，∵∠BAF +∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BF ；（2）在Rt △DEF 和Rt △EFB 中，tan α=EF DE ，tan β=EF BF ，∴tanαtanβ=EF DE ⋅BF EF =BF DE ．由①可知∠ADE ＝∠BAG ，∠AED ＝∠GBA ＝90°，∴△AED ∽△GBA ，∴AE GB =DE AB ，由①可知，AE ＝BF ，∴BF GB=DE AB ， ∴BF DE=GB AB ， ∵BG BC=k ，AB ＝BC ， ∴BF DE =BG AB =BG BC =k ，∴tanαtanβ=k ．∴tan α＝k tan β．（3）∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．∵AB＝AD＝4，∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．4.（2020湖南长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β，求tanα+tanβ的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC ＝x ，由翻折可知，AD ＝AF ＝4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ，∴2√32=2x， ∴x =2√33，∴EC =2√33． （3）∵△ABF ∽△FCE ，∴AF EF =AB CF ，∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，∴AE ＝DE +2CE ＝x +2（a ﹣x ）＝2a ﹣x ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝x ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2＝AE 2，∴b 2+x 2＝（2a ﹣x ）2，∴a 2﹣ax =14b 2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC， ∴22=√b 2−a 2a−x ，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2， 整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0，∴（4a 2﹣3b 2）2＝0，∴b a =2√33， ∴tan α+tan β=BC AB =2√33．5.（2020江苏连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若BE ＝2，PF ＝6，△AEP 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，则S 1+S 2＝ 12 ；（2）如图2，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PFCG 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（3）如图3，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作EF ∥AD ，HG ∥AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PGCF 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、BĈ围成的封闭图形的面积为S1，P A、PD、AD̂围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△P AC 的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．【解答】解：（1）如图1中，过点P作PM⊥AD于M，交BC于N．∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC=12×PF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，故答案为12．（2）如图2中，连接P A，PC，在△APB中，∵点E是AB的中点，∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD=12（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=12（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=12（S2﹣S1）．（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．理由：设线段PB，线段P A，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可证：图4﹣2中，有结论：S1﹣S2=S3+S4．图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．6.（2020江苏苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，P A＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，P A＝PD，∠APD＝90°．求AB+CD的值．BC【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP +∠APB ＝90°，∠APB +∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC ，又P A ＝PD ，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BAP ≌△CPD （AAS ），∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP +PC ＝AB +CD ；（2）如图2，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由（1）可知，EF ＝AE +DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB =√2AE ，CD =√2DF ，∴BC ＝BE +EF +CF ＝2（AE +DF ），∴AB+CD BC =√2(AE+DF)=√22． 7.（2020江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为6，M 为AB 的中点，△MBE 为等边三角形，过点E 作ME 的垂线分别与边AD 、BC 相交于点F 、G ，点P 、Q 分别在线段EF 、BC 上运动，且满足∠PMQ ＝60°，连接PQ ．（1）求证：△MEP ≌△MBQ ．（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，∵△MBE是等边三角形，∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，∴∠BMQ＝∠PME，又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，∴△MBQ≌△MEP（ASA）；（2）PF+GQ的值不变，理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，∵ME＝MB，MG＝MG，∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，∴MB=√3BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，∴GE=√3，∠FGH＝60°，∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，∴四边形DCHF是矩形，∴FH＝CD＝6，∵sin∠FGH=FHGF=√32=6FG，∴FG＝4√3，∵△MBQ≌△MEP，∴BQ＝PE，∴PE＝BQ＝BG+GQ，∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2√3+GQ+PF，∴GQ+PF＝2√3；（3）如图2，当点B'落在PQ上时，∵△MBQ≌△MEP，∴MQ＝MP，∵∠QMP＝60°，∴△MPQ是等边三角形，当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，∴△MBQ≌△MB'Q，∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°∴∠QME＝30°∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，如图3，当点B'落在MP上时，同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，∴当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．8.（2020江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形P ADE的面积为S．（1）若DE=√33，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．【解答】解：（1）当DE=√3 3，∵AD＝1，∴tan∠AED=√3，AE=2√3 3，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE为等边三角形，∴S=√34×（2√33）2+12×√33×1=√32；（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，∴AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+1 2x，∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．9.（2020辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是AF＝AE；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．【解答】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠F AD，∴△EAB≌△F AD（AAS），∴AF＝AE；故答案为：AF＝AE．（2）AF＝kAE．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠F AD+∠F AB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠F AB＝90°，∴∠EAB＝∠F AD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴AB AD =AE AF ，∵AD ＝kAB ，∴AB AD=1k ， ∴AE AF =1k， ∴AF ＝kAE ．（3）解：①如图1，当点F 在DA 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AD ＝2AB ＝4，∴AB ＝2，∴CD ＝2，∵CF ＝1，∴DF ＝CD ﹣CF ＝2﹣1＝1．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+12=√17，∵DF ∥AB ，∴∠GDF ＝∠GBA ，∠GFD ＝∠GAB ，∴△GDF ∽△GBA ，∴GF GA =DF BA =12，∵AF ＝GF +AG ，∴AG =23AF =23√17．∵△ABE ∽△ADF ，∴AE AF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×√17=√172．在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG =√AE 2+AG 2=(172)2+(2173)2=5√176， ②如图2，当点F 在DC 的延长线上时，DF ＝CD +CF ＝2+1＝3，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+32=5．∵DF ∥AB ，∵∠GAB ＝∠GFD ，∠GBA ＝∠GDF ，∴△AGB ∽△FGD ，∴AG FG =AB FD =23，∵GF +AG ＝AF ＝5，∴AG ＝2，∵△ABE ∽△ADF ，∴AE AF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×5=52，在Rt △EAG 中，∠EAG＝90°， ∴EG =√AE 2+AG 2=√(52)2+22=√412．综上所述，EG 的长为5√176或√412． 10.（2020山东菏泽）如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD +CD ．（1）过点A 作AE ∥DC 交BD 于点E ，求证：AE ＝BE ；（2）如图2，将△ABD 沿AB 翻折得到△ABD '．①求证：BD '∥CD ；②若AD '∥BC ，求证：CD 2＝2OD •BD ．【解答】（1）证明：∵AE ∥DC ，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠AEB，∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，∵AD '∥BC ，BD '∥AE ，∴四边形AD 'BF 为平行四边形．∴∠D '＝∠AFB ，∵将△ABD 沿AB 翻折得到△ABD '．∴∠D '＝∠ADB ，∴∠AFB ＝∠ADB ，又∵∠AED ＝∠BEF ，∴△AED ∽△BEF ，∴AE DE =BE EF ，∵AE ＝CD ，∴CD DE =BE EF ，∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BDC ，∴BE EF=BD DC ， ∴CD DE =BD CD ，∴CD 2＝DE •BD ，∵△AOE ≌△COD ，∴OD ＝OE ，∴DE ＝2OD ，∴CD 2＝2OD •BD ．11.（2020山东济宁）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E ，F ，G 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CG ，AF 平分∠EAG ，点H 是线段AF 上一动点（与点A 不重合）．（1）求证：△AEH ≌△AGH ；（2）当AB ＝12，BE ＝4时．①求△DGH 周长的最小值；②若点O 是AC 的中点，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出AH AF 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=12∠BCD＝60°＝∠ABC，∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF，∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）；（2）①如图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE＝DG＝12﹣4＝8，由（1）知，△AEH≌△AGH，∴EH＝HG，∴l△DGH＝DH+GH+DG＝DH+HE+8，要是△AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在Rt △DCM 中，∠DCM ＝180°﹣120°＝60°，CD ＝AB ＝12，∴CM ＝6，∴DM =√3CM ＝6√3，在Rt △DME 中，EM ＝CE +CM ＝14，根据勾股定理得，DE =√EM 2+DM 2=√142+(6√3)2=2√51，∴△DGH 周长的最小值为2√51+8；②Ⅰ、当OH 与线段AE 相交时，交点记作点N ，如图2，连接CN ，∴点O 是AC 的中点，∴S △AON ＝S △CON =12S △ACN ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △AONS △AEC =14， ∴S △CEN ＝S △ACN ，∴AN ＝EN ，∵点O 是AC 的中点，∴ON ∥CE ，∴AH AF =12；Ⅱ、当OH 与线段CE 相交时，交点记作Q ，如图3，连接AQ ，FG ，∵点O 是AC 的中点，∴S △AOQ ＝S △COQ =12S △ACQ ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △COQS △ACE =14，∴S △AEQ ＝S △ACQ ，∴CQ ＝EQ =12CE =12（12﹣4）＝4，∵点O 是AC 的中点，∴OQ ∥AE ，设FQ ＝x ，∴EF ＝EQ +FQ ＝4+x ，CF ＝CQ ﹣FQ ＝4﹣x ，由（1）知，AE ＝AG ，∵AF 是∠EAG 的角平分线，∴∠EAF ＝∠GAF ，∵AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴FG ＝EF ＝4+x ，过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，CG ＝4，∴CP =12CG ＝2，PG =√3CP ＝2√3，∴PF ＝CF +CP ＝4﹣x +2＝6﹣x ，在Rt △FPG 中，根据勾股定理得，PF 2+PG 2＝FG 2，∴（6﹣x ）2+（2√3）2＝（4+x ）2，∴x =85，∴FQ =85，EF ＝4+85=285， ∵OQ ∥AE ，∴AH AF=EQ EF =4285=57， 即AH AF 的值为12或57．12.（2020四川南充）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A ，C 作BK 的垂线，垂足分别为M ，N ，点O 是正方形ABCD 的中心，连接OM ，ON ．（1）求证：AM ＝BN ．（2）请判定△OMN 的形状，并说明理由．（3）若点K 在线段AD 上运动（不包括端点），设AK ＝x ，△OMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（写出x 的范围）；若点K 在射线AD 上运动，且△OMN 的面积为110，请直接写出AK 长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；（2）△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；（3）在Rt△ABK中，BK=√AK2+AB2=√x2+1，∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，∴AM=AK⋅ABBK=x√x2+1，∴BN＝AM=x√x2+1，∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，∴BM=AB⋅ABBK=1√x2+1，∴MN＝BM﹣BN=x2+1∵S△OMN=14MN2=(1−x)24x2+4，∴y=x2−2x+14x2+4（0＜x＜1）；当点K 在线段AD 上时，则110=x 2−2x+14x 2+4， 解得：x 1＝3（不合题意舍去），x 2=13，当点K 在线段AD 的延长线时，同理可求y =x 2−2x+14x 2+4（x ＞1）， ∴110=x 2−2x+14x 2+4， 解得：x 1＝3，x 2=13（不合题意舍去），综上所述：AK 的值为3或13时，△OMN 的面积为110．13.（2020浙江杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设CE EB =λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长．（2）连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点．②求λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE =√AB 2+BE 2=√5，∴EF =√5，∴CF ＝EF ﹣EC =√5−1；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中{∠D =∠GCF ∠AGD =∠FGC AG =FG，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，由①知，CF ＝DA ＝2a ，∵EG ⊥AF ，∠GDF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC GC =GC FC ，∵GC ＝a ，FC ＝2a ，∴GC FC=12， ∴EC GC =12，∴EC =12a ，BE ＝BC ﹣EC ＝2a −12a =32a ，∴λ=CE EB =12a 32a =13．14.（2020浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知OB ＝8．（1）求证：四边形AEFD 为菱形．（2）求四边形AEFD 的面积．（3）若点P 在x 轴正半轴上（异于点D ），点Q 在y 轴上，平面内是否存在点G ，使得以点A ，P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形AEFD 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分别是OC，OB的中点，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：如图1中，连接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，S△EOD=12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝2√2，∵AO＝8√2，∴AK＝6√2，∴AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．∵菱形P AQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位线，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH ＝∠PHN ＝90°﹣∠AHM ，∠PNH ＝∠AMH ＝90°，∴△HMA ∽△PNH ，∴AM NH =MH PN =AH PH =13，∴HN ＝3AM ＝3t ，∴MH ＝MN ﹣NH ＝8﹣3t ，∵PN ＝3MH ，∴8﹣t ＝3（8﹣3t ），∴t ＝2，∴OP ＝2ON ＝2（8﹣t ）＝12，∴P （12，0）．如图3中，过点H 作HI ⊥y 轴于I ，过点P 作PN ⊥x 轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：△AMH ∽△HNP ，∴AM HN =MH PN =AH HP =13，设MH ＝t ，∴PN ＝3MH ＝3t ，∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，∵HI是△OPQ的中位线，∴OP＝2IH，∴HIHN，∴8+t＝9t﹣24，∴t＝4，∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，∴P（24，0）．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．∵MH是△QAC的中位线，∴MH=12AC＝4，同法可得：△HPN∽△QHM，∴NPHM =HNMQ=PHQH=13，∴PN=13HM=43，∴OM ＝PN =43，设HN ＝t ，则MQ ＝3t ， ∵MQ ＝MC ，∴3t ＝8−43，∴t =209， ∴OP ＝MN ＝4+t =569，∴点P 的坐标为（569，0）．如图5中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥x 轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN ⊥HM 于N ．∵IH 是△ACQ 的中位线，∴CQ ＝2HI ，NQ ＝CI ＝4，同法可得：△PMH ∽△HNQ ，∴MH NQ =PM HN =PH HQ =13，则MH =13NQ =43， 设PM ＝t ，则HN ＝3t ，∵HN ＝HI ，∴3t ＝8+43，∴t =289， ∴OP ＝OM ﹣PM ＝QN ﹣PM ＝4﹣t =89，∴P （89，0）． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H 作HM ⊥y 轴于于点M ，交AB 于I ，过点P 作PN ⊥HM 于N ．∵HI ∥x 轴，AH ＝HP ，∴AI ＝IB ＝4，∴PN ＝IB ＝4，同法可得：△PNH ∽△HMQ ，∴PN HM =HN MQ =PH HQ =13，∴MH ＝3PN ＝12，HI ＝MH ﹣MI ＝4，∵HI 是△ABP 的中位线，∴BP ＝2IH ＝8，∴OP ＝OB +BP ＝16，∴P （16，0），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）．15.（2020浙江宁波）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2＝AD •AB ．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，又∵∠BFE ＝∠A ，∴∠BFE ＝∠C ，又∵∠FBE ＝∠CBF ，∴△BFE ∽△BCF ，∴BF BC =BE BF ，∴BF 2＝BE •BC ，∴BC =BF 2BE =423=163，∴AD =163．（3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∠BAC =12∠BAD ，∵AC ∥EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形，∴AC ＝EG ，CG ＝AE ，∠EAC ＝∠G ，∵∠EDF =12∠BAD ， ∴∠EDF ＝∠BAC ， ∴∠EDF ＝∠G ，又∵∠DEF ＝∠GED ， ∴△EDF ∽△EGD ， ∴ED EG =EF DE ， ∴DE 2＝EF •EG ， 又∵EG ＝AC ＝2EF ， ∴DE 2＝2EF 2， ∴DE =√2EF ，又∵DG DF =DE EF ， ∴DG =√2DF =5√2， ∴DC ＝DG ﹣CG ＝5√2−2．。

几何中等分面积问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

几何中等分面积问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

线段分三角形面积问题.当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图 当S △ABD ∶S △ADC ＝m ∶n 时，则BD CD ＝m n .【例1】．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG ：GD ＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 ．➢变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝8cm 2，则S △BEF 的面积是（ ）模型介绍例题精讲A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．➢变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD 上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm22．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠F AG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．7．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x 轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC 的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH 分成面积相等的两部分，求P点的坐标．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（x A，y A）、B（x B，y B），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD＝S△BCD．试说明AO ＝CO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．。

2020年九年级数学中考复习：二次函数压轴题—与面积有关的问题(含解析)

2020年九年级数学中考复习：二次函数压轴题—与面积有关的问题(含解析)

中考复习二次函数压轴题——与面积有关的问题（含答案解析）一、典型例题分析例1．（2019·辽宁初三月考）如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解析】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【答案解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE＝CE，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE（SSS），∴∠BOE＝∠COE，∴点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，得m＝m2﹣2m﹣3，解得m∵点E在第四象限，∴E）；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．例2: 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，103b cc+⎨⎩+⎧＝＝，解得：b=-4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，，∴∴P 1（0，，P 2（0，；②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3，∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2-t ，则DN=2t ，∴S △MNB =12×（2-t ）×2t=-t 2+2t=-（t-1）2+1， 即当M （2，0）、N （2，2）或（2，-2）时△MNB 面积最大，最大面积是1。

2020-2021中考数学 平面图形的认识(二)压轴解答题(附答案)

2020-2021中考数学 平面图形的认识(二)压轴解答题(附答案)

2020-2021中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠( 为折痕)，使点与点重合，平分交于，过点作交于点，（1）求证:（2）若，求的度数2．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.3．如图（1）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。

求∠PAB+∠PCD的度数。

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________。

（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。

（4）问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1-B1-A2-…-B n-1-A n，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________ 。

4．如图，，，，点D，C，E在同一条直线上.（1）完成下面的说理过程∵，（已知）∴，（垂直的定义）.∴ .∴，（________）.∴ .（________）又∠B=∠D，∴∠B=∠BCE，∴AB//CD. （________）（2）若∠BAD=150°，求∠E的度数.5．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）12题22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．。

中考数学压轴题真题系列——面积问题【附解析】

中考数学压轴题真题系列——面积问题【附解析】

中考数学压轴题真题系列——面积问题（含答案）1．（2020•眉山）如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•绵阳）如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为(3B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为43，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．3．（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点(1,0)A -、(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C ，点P 是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S ，求S 的最大值．4．（2020•泰安）若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为(3,0)，二次函数2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上(y 轴左侧），若BC 恰好平分DBE ∠．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，BFP BAF S mS ∆∆=． ①当12m =时，求点P 的坐标； ②求m 的最大值．5．（2019•东营）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使CMG ∆的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -，点(4,0)B ，与y 轴交于点(0,8)C ，连接BC ．又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得PEA ∆和AOC ∆相似的点P 的坐标；（3）作PF BC ⊥，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt PFD ∆面积的最大值．7．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求21S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM 21=S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b 21+，当2AM +2DM 的最小值为4227时，求b 的值．9．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△P AB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．答案：1．（2020•眉山）如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上， ∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2）点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+， 22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+， ∴当32m =时，PBC S ∆有最大值， ∴点3(2P ，15)4； （3）存在N 满足条件， 理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点， ∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -， 4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=， 2MQ NQ MN ∴==， 设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()MN AN ∴=， 222(|4|)4n n ∴-=+， 2880n n ∴+-=， 426n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,426)-+或(1,426)--．2．（2020•绵阳）如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为(3B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为43，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， (0,1)A ，(3B ，0)， 设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴301k m m ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得31k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为31y x =-+， 点F 的横坐标为43， F ∴点纵坐标为343113-⨯+=-， F ∴点的坐标为4(33，1)3-， 又点A 在抛物线上，1c ∴=， 对称轴为：32b x a=-=， 23b a ∴=-， ∴解析式化为：2231y ax ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181()33a a a ∴-+=-+--， 解得1a =-，∴抛物线的解析式为2231y x x =-++；（2）设2(,231)P n n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+， 2733PP n n '∴=-， 2213737493)322624ABP S OB PP n n ∆'==-+= ∴当736n ABP ∆493247(36P 47)12．。

2020届中考数学二轮重难题型突破五 图形面积问题(含答案)

2020届中考数学二轮重难题型突破五 图形面积问题(含答案)

2020届中考数学二轮重难题型 类型五 图形面积问题例1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】：宽6米，长10米【解析】：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x∵104340≤-<x ，∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例2、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 【答案】：（1）四边形EFGH 是正方形 （2）当CE =CF =0.1米时，总费用最省． 【解析】：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．x∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+)24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1． 答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．例3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】：（1）y=200)10(22+--=x （2）187.5 【解析】：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．例4、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？【答案】：（1）25（2）25 【解析】：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．例5、如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．【答案】：x x y 34612+-=． 【解析】：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=． 例6、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 【答案】：0.5【解析】：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=c a c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．例7、小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 【答案】：（1）（2）15,225【解析】：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-= 自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．例8、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 【答案】：（1）关于投资量的函数关系式是=，2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =（2）当8=x 时，z 的最大值为32 【解析】：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +== ∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润． 因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．例9、如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面积为cm2【解析】：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．例10、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．【答案】：（1）抛物线的表达式是（2）5.5（3）能通过【解析】：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。

中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)

中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。

（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。

（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（ ）A. (—2，3） B 。

（2，—3） C 。

（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。

(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。

71 B 。

61 C 。

51 D 。

41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

等分法(图形面积)

等分法(图形面积)

等分法知识与方法：通过在课本中面积地学习，我们已经知道了，连接三角形地一个顶点和对边地中点，可以把一个三角形分成两个面积相等地三角形，即等底等高地三角形面积相等.今天我们主要学习等分法在面积中地实际应用.例题1、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC地面积是12 △ABC地面积是18 △ABC地面积是48【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE地面积是4，求△ABC地面积（单位：平方厘米）（2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF地面积是3，求△ABC地面积（单位：平方厘米）例题2、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）长方形地面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点，已知长方形地面积是16【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）平行四边形地面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形地面积是16例题3、梯形ABCD地对角线相交于O，BC=3AD，三角形地面积是9平方厘米，求梯形地面积.【模仿练习】：在下列地梯形中，所标注部分为三角形地面积，求梯形地面积（单位：平方厘米）例题4、△ABC地面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF地面积.（单位：平方厘米）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途【模仿练习】：三角形ABC地面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF地面积.例题5、三角形ABC地面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分地面积.【模仿练习】：BD=2CD ，AE=DE ，将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 地面积是15平方厘米，求阴影部分地面积.变量之间地关系一、 基础知识回顾：1、表示两个变量之间关系地方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系地特点是（ ）３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向地数轴（横轴）上地点表示（ ），用竖直方向地数轴（纵轴）上地点表示（ ）．专题一、速度随时间地变化1、 汽车速度与行驶时间之间地关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢. （ ）（2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变. （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快. （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢. （ ）2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系地图象大致是（ ）3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时时间速度 Ao速度D速度时间C速度 时间Booo OOVOVOVｔVｔ间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家地距离，t 为时间．在下面给出地表示s 与t 地关系图6—41中，符合上述情况地是 ( ) 4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目地地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( )5、“龟兔赛跑”讲述了这样地故事：领先地兔子看着缓慢爬行地乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行地路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合地是（ ）6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家地距离s （米）与散步所用地时间t （分）之间地关系，依据图象下面描述符合小红散步情景地是（ ） 从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回.7、A 、B 两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时地速度由A 地驶向B 地.汽车距B 地地距离y(千米)与stS 1S 2 AstBS 1S 2 stS 1S 2 CstS 2S 1D行驶时间t(之间)地关系式为 .在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 .8、下表是春汛期间某条河流在一天中涨水情况记录表格：时间/时 0 4 8 12 16 20 24 超警戒水位/米+0.2+0.25+0.35+0.5+0.7+0.9+1.0⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从 上升到 ; ⑵借助表格可知，时间从 到 水位上升最快 某机动车辆出发前油箱中有油42升，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干.油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时) 之间地关系如图，请根据图像填空： ⑴机动车辆行驶了 小时后加油.⑻中途加油 升.⑵加油后油箱中地油最多可行驶 小时.⑶如果加油站距目地地还有230公里，机动车每小时走40公里，油箱中 地油能否使机动车到达目地地？答： .10、.声音在空气中传播地速度y （米/秒）（简称音速）与气温x （℃）之间地关系如下：气温（x ℃） 0 5 10 15 20 音速y （米/秒）331334337340343从表中可知音速y 随温度x 地升高而__________.在气温为20 ℃地一天召开运动会，某人看到发令枪地烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米.11、如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程地图象，两地间地距离是100千米，请根据图象回答或解决下面地问题.（1）谁出发地较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶地速度分别是多少？· · · · · · ·· · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7 8 6 18 24 3012 Q/升· · · · 36 42（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？12、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家地距离与时间地变化情况（如图6－32所示）.（1）图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远地地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远地地方返回时地平均速度是多少？13、小明上午6时起床，7时30分上学，他有意描绘了他自己离家地距离与时间地变化情况，如图10所示.(h )(1)图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)小明什么时间离家最远？最远距离是多少？(3)在哪段时间离家地距离增加？在哪段时间离家地距离减少？哪段时间离家地距离 不变？(4)在7:30~7:45之间，小明运动地平均速度是多少？(5)你能结合上面地图象，编写一则故事，反映小明离家距离和时间地关系吗？请你动手把它写出,并与同学交流专题二、温度与时间地关系1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水地水温T 与时间t 地函数关系地是（ ）2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t (℃)与高度h (km)之间地关系式：________.3、.下面是某人某一天正常体温地变化图(如图7).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2437 36.5 36 35.8 35.5AB时间(时)(1)大约什么时间其体温最高？最高体温是多少？(2)大约什么时间其体温最低？最低体温是多少？ (3)在什么时间内其体温在降低？(4)在什么时间内其体温在升高？(5)A 、B 两点分别表示什么？(6)从大体上说说体温在24小时内地变化情况. 4、大山在一天中地体温变化情况如图6-44：(1)大约在_______时，大山地体温最高，这时最高体温是_________.(2)大约在_______时，大山地体温最底，最低体温是__________.(3)大山地体温在升高地时段是_________；(4)大山地体温在降低地时段是_________.专题三、高度（深度）与时间地变化1、如图是某蓄水池地横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定地流量注水，下面哪个图象能大致表示水地最大深度h 和时间t 之间地关系？( )A B C D第10题图2、如图：向放在水槽底部地烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间地关系大致是下列图象中地（ ）3、气温随高度而变化地过程中，________是自变量，_______因变量4、一圆锥地底面半径是5cm ，当圆锥地高由2cm 变到10cm 时，圆锥地体积由________3cm 变到_________3cm ．5、.弹簧地长度与所挂物体地质量地关系如图6－29所示，由图可知不挂重物时弹簧地长度为6、.在弹性限度内，某弹簧伸长地总长度y (cm)与所挂重物质量x (g)之间地关系如下表.重物质量x (g) 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长地总长度y (cm)88+0.28+0.48+0.68+0.88+1.0(1)上表反映了________和________两个量之间地关系；(2)关于y 与x 之间地关系式是________.7、△ABC 地底边BC ＝8 cm,当BC 边上地高线从小到大变化时，△ABC 地面积也随之变化.(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)△ABC 地面积y (cm 2)与高线x (cm)地关系式是什么？(3)用表格表示当x 由5 cm 变到10 cm 时(每次增加1cm),y 地相应值.(4)当x 每增加1 cm 时，y 如何变化？专题四、数学与生活1、我国从1949年到1999年地人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：t hAt hBt hCt hD时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59(1)如果用x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着x 地变化，y 地变化趋势是什么？(2)X 和y 哪个是自变量?哪个是因变量(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样地变化？(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？2、研究表明，当钾肥和磷肥地施用量一定 时，土豆地产量与氮肥地施用量有如下关系： (1)上表反映了哪两个变量之间地关系？ 哪个是自变量？哪 个是因变量？(2)当氮肥地施用量是101千克/公顷时，土豆地产量是多少？ 如果不施氮肥呢？(3)根据表格中地数据，你认为氮肥地施用量是多少时比较适宜？说说你地理由(4)粗略说一说氮肥地施用量对土豆产量地影响.3、一年中，每天日照（从日出到日落）地时间是不同地，下图表示了某地区从1998年1月1日到1998年12月26日地日照时间.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途⑴右图描述是哪两个变量之间地关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ ⑵哪天地日照时间最短？这一天地日照 时间约是多少？⑶哪天地日照时间最长？这一天地日照 时间约是多少？ ⑷大约在什么时间段内，日照时间在增 加？在什么时间段内，日照时间在减少？ 4、某人用新充值地50元IC 卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加收一元钱地方式缴纳话费.若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w 可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元5、在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧地长度与所挂物体地质量之间地关系如下表：所挂物体地质量/千克 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧地长度/cm1212.51313.51414.51515.516⑴弹簧不挂物体时地长度是多少？⑵如果用x 表示弹性限度内物体地质量，用y 表示弹簧地长度，那么随着x 地变化，y 地变化趋势如何？写出y 与x 地关系式.⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧地长度是多少？ 5、一种豆子每千克售2元，豆子总地售价y (元)与所售豆子地质量x (kg)之间地关系如下表.日照时间/时 30 60 90 1201518212427303336910 11 12 1314 1516 17一年之中第几天所售豆子地质量/kg0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 总价/元123456810(1)在这个表中反映哪两个变量之间地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当豆子卖出5 kg 时，总价是多少？(3)如果用x 表示豆子卖出地质量，y 表示总价，按表中给出地关系,用一个式子把x 和y 之间地关系表示出来.(4)当豆子卖出20 kg 时，总价是多少？6、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶地时间为x(h)，两车之间地距离为 y(km)，图中地折线表示y 与x 之间地函数关系，根据图像进行以下探究，信息读取（1）、甲、乙两地之间地距离为 km （2）、请解释图中B 点地意义:(3)、求慢车和快车地速度，（4）、求线段BC 所表示地y 与x 之间地函数关系式，并写出自变量x 地取值范围；（5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？x/hy/kmDC BA900124O专题五：中考真题1、（2013•重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔地车顺利回到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家地距离．下面能反映y 与x 地函数关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A ．B ．C ．D ．2、（2013•湘西州）小芳地爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远地公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家地距离y （米）与时间x （分钟）之间地关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B．C．D．3、（2013•东营）若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如f（1，2）=（-1，2），g（-4，-5）=（-4，5），则g（f（2，-3））=（）A．（2，-3）B．（-2，3） C．（2，3）D．（-2，-3）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途4、（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）地关系如图所示，则下列说法正确地是（）A．甲、乙两人地速度相同B．甲先到达终点C．乙用地时间短D．乙比甲跑地路程多文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途5、（2013•潍坊）用固定地速度如图所示形状地杯子里注水，则能表示杯子里水面地高度和注水时间地关系地大致图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．6、（2013•邵阳）如图是我市几个旅游景点地大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山地位置，用（1，5）表示隆回花瑶地位置，那么城市南山地位置可以表示为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．（2，1） B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）7、（2013•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t地变化规律如图所示，则这个瓶子地形状是下列地（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．8、（2013•乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出地速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间地函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要地时间是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．8.4小时B．8.6小时C．8.8小时D．9小时9、（2013•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车地速度为100千米/小时，特快车地速度为150千米/小时，甲乙两地之间地距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间地距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间地函数图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途10、（2013•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”地示意图，在壶内盛一定量地水，水从壶底地小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面地位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面地高度，则y与x地函数关系式地图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．B．C．D．11、（2013•天津）如图，是一对变量满足地函数关系地图象，有下列3个不同地问题情境：①小明骑车以400米/分地速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分地速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地地距离为y千米；②有一个容积为6升地开口空桶，小亮以1.2升/分地速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分地速度匀速倒空桶中地水，设时间为x 分，桶内地水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P地运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系地问题情境地个数为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．0 B．1 C．2 D．312、（2013•新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本地部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x（单位：本）之间地函数关系．文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途19．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛地兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中地函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”地故事（x表示乌龟从起点出发所行地时间，y1表示乌龟所行地路程，y2表示兔子所行地路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”地路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确地说法是．（把你认为正确说法地序号都填上）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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等分法巧求图形面积

等分法巧求图形面积

例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。

中考数学压轴题分类试卷(2020江苏版)专题02 二次函数与面积的最值定值问题

中考数学压轴题分类试卷(2020江苏版)专题02 二次函数与面积的最值定值问题

2020年中考数学压轴题（江苏版）专题02 二次函数与面积的最值定值问题【真题再现】1．（2019年常州27题）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A 的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝2；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式．设点P 横坐标为t ，则能用t 表示点P 、M 、N 、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长．以PM ＝MN 为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证∠EPQ ＝∠OBD ，所以cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55，即在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55；在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55，进而得PQ =2√55PE ，PR =√52PF ．设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR ．又由S △PQB ＝2S △QRB 易得PQ ＝2QR ．要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围．【解析】（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0） ∴﹣1﹣b +3＝0 解得：b ＝2 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ． ∵二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3 当x ＝0时y ＝3， ∴C （0，3）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0 解得：x 1＝﹣1，x 2＝3 ∴A （﹣1，0），B （3，0） ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3 ∵点D 为OC 的中点， ∴D （0，32）∴直线BD 的解析式为y =−12x +32，设P （t ，﹣t 2+2t +3）（0＜t ＜3），则M （t ，﹣t +3），N （t ，−12t +32），H （t ，0）∴PM ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ，MN ＝﹣t +3﹣（−12x +32）=−12t +32，NH =−12t +32 ∴MN ＝NH ∵PM ＝MN ∴﹣t 2+3t =−12t +32解得：t 1=12，t 2＝3（舍去） ∴P （12，154）∴P 的坐标为（12，154），使得PM ＝MN ＝NH ．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E∵OB ＝3，OD =32，∠BOD ＝90° ∴BD =√OB 2+OD 2=3√52 ∴cos ∠OBD =OB BD =3352=2√55∵PQ ⊥BD 于点Q ，PF ⊥x 轴于点F ∴∠PQE ＝∠BQR ＝∠PFR ＝90° ∴∠PRF +∠OBD ＝∠PRF +∠EPQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠OBD ，即cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55 在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55∴PQ =2√55PE 在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55∴PR =PF255=√52PF∵S △PQB ＝2S △QRB ，S △PQB =12BQ •PQ ，S △QRB =12BQ •QR ∴PQ ＝2QR设直线BD 与抛物线交于点G ∵−12x +32=−x 2+2x +3，解得：x 1＝3（即点B 横坐标），x 2=−12∴点G 横坐标为−12设P （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＜3），则E （t ，−12t +32）∴PF ＝|﹣t 2+2t +3|，PE ＝|﹣t 2+2t +3﹣（−12t +32）|＝|﹣t 2+52t +32| ①若−12＜t ＜3，则点P 在直线BD 上方，如图2， ∴PF ＝﹣t 2+2t +3，PE ＝﹣t 2+52t +32 ∵PQ ＝2QR ∴PQ =23PR ∴2√55PE =23•√52PF ，即6PE ＝5PF ∴6（﹣t 2+52t +32）＝5（﹣t 2+2t +3） 解得：t 1＝2，t 2＝3（舍去） ∴P （2，3）②若﹣1＜t ＜−12，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3，此时，PQ ＜QR ，即S △PQB ＝2S △QRB 不成立． ③若t ＜﹣1，则点P 在x 轴下方，如图4，∴PF ＝﹣（﹣t 2+2t +3）＝t 2﹣2t ﹣3，PE =−12t +32−（﹣t 2+2t +3）＝t 2−52t −32∵PQ ＝2QR ∴PQ ＝2PR ∴2√55PE ＝2•√52PF ，即2PE ＝5PF ∴2（t 2−52t −32）＝5（t 2﹣2t ﹣3） 解得：t 1=−43，t 2＝3（舍去） ∴P （−43，−139） 综上所述，点P 坐标为（2，3）或（−43，−139）． 点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点P 的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．2．（2018年徐州27题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接P A 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． （1）求点P ，C 的坐标；（2）直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△P AC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x ＝0，可得y ＝﹣5，推出C （0，﹣5）；（2）直线PC 的解析式为y ＝3x ﹣5，设直线交x 轴于D ，则D （53，0），设直线PQ 交x 轴于E ，当BE＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△P AC 的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题． 【解析】（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4， ∴顶点P （3，4）， 令x ＝0得到y ＝﹣5， ∴C （0．﹣5）．（2）令y ＝0，x 2﹣6x +5＝0，解得x ＝1或5， ∴A （1，0），B （5，0），设直线PC 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =−53k +b =4，解得{k =3b =−5，∴直线PC 的解析式为y ＝3x ﹣5，设直线交x 轴于D ，则D （53，0），设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△P AC 的面积的2倍， ∵AD =23， ∴BE =43， ∴E （113，0）或E ′（193，0），则直线PE 的解析式为y ＝﹣6x +22， ∴Q （92，﹣5），直线PE ′的解析式为y =−65x +385， ∴Q ′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q （92，﹣5），Q ′（212，﹣5）．点睛：本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019年淮安26题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（1，3）． （1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED ＝EF ，求点E 的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；（2）可通过点B ，点D 求出线段BD 所在的直线关系式，点E 在线段BD 上，即可设点E 的坐标，利用点与点的关系公式，通过EF ＝ED 即可求解；（3）分两种情形分别求解，求出直线DG 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可． 【解析】（1）依题意，设二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3 将点B 代入得0＝a （5﹣1）2+3，得a =−316 ∴二次函数的表达式为：y =−316（x ﹣1）2+3（2）依题意，点B （5，0），点D （1，3），设直线BD 的解析式为y ＝kx +b ，代入得{0=5k +b 3=k +b ，解得{k =−34b =154 ∴线段BD 所在的直线为y =−34x +154， 设点E 的坐标为：（x ，−34x +154） ∴ED 2＝（x ﹣1）2+（−34x +154−3）2， EF 2=(−34x +154)2 ∵ED ＝EF ， ∴（x ﹣1）2+（−34x +154−3）2=(−34x +154)2， 整理得2x 2+5x ﹣25＝0， 解得x 1=52，x 2＝﹣5（舍去）． 故点E 的纵坐标为y =−34×52+154=158∴点E 的坐标为(52，158) （3）存在点G ，当点G 在x 轴的上方时，设直线DG 交x 轴于P ，设P （t ，0），作AE ⊥DG 于E ，BF ⊥DG 于F ．由题意：AE ：BF ＝3：5， ∵BF ∥AE ，∴AP ：BP ＝AE ：BF ＝3：5， ∴（﹣3﹣t ）：（5﹣t ）＝3：5， 解得t ＝﹣15，∴直线DG 的解析式为y =316x +4516，由{y =316x +4516y =−316(x −1)2+3， 解得{x =0y =4516或{x =1y =3，∴G （0，4516）．当点G 在x 轴下方时，如图2所示， ∵AO ：OB ＝3：5∴当△ADG 与△BDG 的高相等时， 存在点G 使得S △ADG ：S △BDG ＝3：5，此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y ＝kx ， 将点D 代入得k ＝3， 故y ＝3x ，则有{y =3xy =−316(x −1)2+3 整理得，（x ﹣1）（x +15）＝0， 得x 1＝1（舍去），x 2＝﹣15 当x ＝﹣15时，y ＝﹣45， 故点G 为（﹣15，﹣45）． 综上所述，点G 的坐标为（0，4516）或（﹣15，﹣45）．点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．（2019年无锡27题）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣4（a ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 左侧，且OA ＜OB ），与y 轴交于点C ． （1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC 相交于点D ，已知DC ：CA ＝1：2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．①若△BCE 的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出OA 的取值范围．【分析】（1）确定C （0，﹣4），则OA ＜OB ，则对称轴在y 轴右侧，即−b2a ＞0，即可求解； （2）①过点D 作DM ⊥Oy ，则DC CA=DM OA=MC CO=12，DM =12AO ，求出D （m ，﹣6），B （4m ，0）、OE ＝8，由S △BEF =12×4×4m ＝8，即可求解；②分∠CDB 为锐角、当∠BCD 为锐角时，两种情况，分别求解即可．【解析】（1）令x ＝0，则y ＝﹣4，∴C （0，﹣4）， ∵OA ＜OB ，∴对称轴在y 轴右侧，即−b2a ＞0 ∵a ＞0，∴b ＜0；（2）①过点D 作DM ⊥y 轴，则DC CA=DM OA =MC CO=12，∴DM =12AO ，设A （﹣2m ，0）m ＞0，则AO ＝2m ，DM ＝m ∵OC ＝4，∴CM ＝2， ∴D （m ，﹣6），B （4m ，0）， 则MD BO=ME OE=OE−6OE，∴OE ＝8，S △BEC =12×4×4m ＝8， ∴m ＝1，∴A （﹣2，0），B （4，0）， 设y ＝a （x +2）（x ﹣4）， 即y ＝ax 2﹣2ax ﹣8a ， 令x ＝0，则y ＝﹣8a ， ∴C （0，﹣8a ）， ∴﹣8a ＝﹣4，a =12， ∴y =12x 2−x −4；②由①知B （4m ，0）C （0，﹣4）D （m ，﹣6），则∠CBD 一定为锐角， CB 2＝16m 2+16，CD 2＝m 2+4，DB 2＝9m 2+36， 当∠CDB 为锐角时，CD2+DB2＞CB2，m2+4+9m2+36＞16m2+16，解得﹣2＜m＜2；当∠BCD为锐角时，CD2+CB2＞DB2，m2+4+16m2+16＞9m2+36，解得m＞√2或m＜−√2(舍)，综上：√2＜m＜2，2√2＜2m＜4；故：2√2＜OA＜4．点睛：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例、勾股定理运用等，其中（1），用平行线分线段成比例，是本题解题的关键．5．（2018年盐城27题）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B （3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（Ⅰ）若点P的横坐标为−12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ ＝﹣2x 2+6x +72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +3），则点E 的坐标为（x ，﹣2（t +1）x +t 2+4t +3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ ＝﹣2x 2+4（t +2）x ﹣2t 2﹣8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3，得： {a −b +3=09a +3b +3=0，解得：{a =−1b =2，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3．（2）（I ）当点P 的横坐标为−12时，点Q 的横坐标为72，∴此时点P 的坐标为（−12，74），点Q 的坐标为（72，−94）．设直线PQ 的表达式为y ＝mx +n ，将P （−12，74）、Q （72，−94）代入y ＝mx +n ，得：{−12m +n =7472m +n =−94，解得：{m =−1n =54， ∴直线PQ 的表达式为y ＝﹣x +54．如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +3），则点E 的坐标为（x ，﹣x +54）， ∴DE ＝﹣x 2+2x +3﹣（﹣x +54）＝﹣x 2+3x +74，∴S △DPQ ＝S △DPE +S △DQE =12DE •（x Q ﹣x P ）＝﹣2x 2+6x +72=−2（x −32）2+8． ∵﹣2＜0，∴当x =32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32，154）．（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，∴点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t +3），点Q 的坐标为（4+t ，﹣（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y ＝﹣2（t +1）x +t 2+4t +3．设点D 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +3），则点E 的坐标为（x ，﹣2（t +1）x +t 2+4t +3），∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q﹣x P）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．∵﹣2＜0，∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ＝﹣2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t．6．（2018年泰州24题）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．【分析】（1）与x轴相交令y＝0，解一元二次方程求解；（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围．（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求m．【解析】（1）当m ＝﹣2时，抛物线解析式为：y ＝x 2+4x +2 令y ＝0，则x 2+4x +2＝0 解得x 1＝﹣2+√2，x 2＝﹣2−√2抛物线与x 轴交点坐标为：（﹣2+√2，0）（﹣2−√2，0） （2）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2+2m +2＝（x ﹣m ）2+2m +2 ∴抛物线顶点坐标为A （m ，2m +2）∵二次函数图象的顶点A 在直线l 与x 轴之间（不包含点A 在直线l 上） ∴当直线l 在x 轴上方时 {2m +2＜m −1m −1＞02m +2＞0不等式无解当直线l 在x 轴下方时 {2m +2＞m −12m +2＜0m −1＜0解得﹣3＜m ＜﹣1 （3）由（1）点A 在点B 上方，则AB ＝（2m +2）﹣（m ﹣1）＝m +3 △ABO 的面积S =12（m +3）（﹣m ）=−12m 2−32m ∵−12＜0∴当m =−b2a =−32时，S 最大=98点睛：本题以含有字母系数m 的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、数形结合的数学思想．【专项突破】 【题组一】1．（2019秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A （﹣1，0）．过点A 作直线y ＝x +c 与抛物线交于点D ，动点P 在直线y ＝x +c 上，从点A 出发，以每秒√2个单位长度的速度向点D 运动，过点P 作直线PQ ∥y 轴，与抛物线交于点Q ，设运动时间为t （s ）． （1）直接写出b ，c 的值及点D 的坐标；（2）点E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE 的面积为6时，求出点E 的坐标；（3）在线段PQ 最长的条件下，点M 在直线PQ 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点D 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N 的坐标．【分析】（1）将点A 的坐标分别代入抛物线和直线的表达式即可求解； （2）求出直线CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3，则点H （32−m，0），△CBE 的面积=12BH ×（x C ﹣y E ）=12×（3−32−m）（3+m 2﹣2m ﹣3）＝6，即可求解； （3）PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，故PQ 有最大值，点P （12，32），①当∠DMN 为直角时，（Ⅰ）当点M 在x 轴上方时，如图2，证明△DGM ≌△MHN （AAS ），则GD ＝MH ，NH ＝GM ，即可求解（Ⅱ）当点M 在x 轴下方时，同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ），即可求解；②当∠DNM 为直角时，同理可解． 【解答】解：（1）将点A 的坐标代入y ＝﹣x 2+bx +3得：0＝﹣1﹣b +3， 解得：b ＝2，将点A 的坐标代入y ＝x +c 并解得：c ＝1，故抛物线和直线的表达式分别为：y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝x +1； 联立上述两式得：{y =−x 2+2x +3y =x +1，解得：{x =2y =3，故点D （2，3）；（2）如图1，设直线CE 交x 轴于点H ，设点E （m ，﹣m 2+2m +3），而点C （0，3），将点E 、C 坐标代入一次函数表达式y ＝sx +t 得：{−m 2+2m +3=ms +t t =3，解得：{s =−m +2t =3，故直线CE 的表达式为：y ＝（2﹣m ）x +3， 令y ＝0，则x =32−m ，故点H （32−m ，0）， △CBE 的面积=12BH ×（x C ﹣y E ）=12×（3−32−m）（3+m 2﹣2m ﹣3）＝6， 解得：m ＝2，故点E （2，3）；（3）点C 、E 的纵坐标相同，故CD ∥x 轴，t 秒时，AP =√2t ，则点P 在x 轴和y 轴方向移动的距离均为t ，故点P （t ﹣1，t ）， 当x ＝t ﹣1时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣t 2+4t ，故点Q （t ﹣1，﹣t 2+4t ）， 则PQ ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t ，∵﹣1＜0，故PQ 有最大值，此时，t =32，则点P （12，32），故直线PQ 表达式为：x =12；设点M （12，m ），点N （n ，0），而点D （2，3）；①当∠DMN 为直角时，（Ⅰ）当点M 在x 轴上方时，如图2，设直线PQ 交x 轴于点H ，交CD 于点G ，∵∠DMG +∠GDM ＝90°，∠DMG +∠HMN ＝90°， ∴∠HMN ＝∠GDM ，MN ＝MD ，∠DGM ＝∠MHN ＝90°， ∴△DGM ≌△MHN （AAS ）， ∴GD ＝MH ，NH ＝GM ，即：{m =2−123−m =n −12，解得：{m =32n =2， 故点N （2，0）；（Ⅱ）当点M 在x 轴下方时，如图3，过点M 作x 轴的平行线交过点与y 轴的平行线于点H ，交过点N 与y 轴的平行线于点E ， 同理可得：△MEN ≌△DHM （AAS ）， 故：NE ＝MH ，EM ＝DH ，即{1−m =2−1212−n =3−m ，解得：{m =−32n =−4，故点N（﹣4，0）；②当∠DNM为直角时，（Ⅰ）当点N在x轴左侧时，如图4，过点N作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点M与x轴的平行线于点R，同理可得：△DHN≌△NRM（AAS），∴RM＝NH，即3=12−n，解得：n＝﹣2.5；（Ⅱ）当点N在x轴右侧时，如图5，过点N作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，同理可得：△MHN≌△NGD（AAS），∴MH＝GN，即n−12=3，解得：n＝3.5，综上，N的坐标为：（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2.5，0）或（3.5，0）．2．（2019秋•海州区校级期末）在平面直角坐标系中，直线y ＝x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）经过点A 、B ． （1）求c 的值及a 、b 满足的关系式；（2）当x ＜0时，若y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）如图，当a ＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积为32？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；（2）当x ＜0时，若y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴x =−b2a≥0，而b ＝3a +1，即：−3a+12a ≥0，即可求解；（3）过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，S △P AB =12×AB ×PH =12×3√2×PQ ×√22=32，则|y P ﹣y Q |＝1，即可求解． 【解答】解：（1）y ＝x +3，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c ＝3， 则函数表达式为：y ＝ax 2+bx +3，将点A 坐标代入上式并整理得：b ＝3a +1；（2）当x ＜0时，若y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴x =−b2a ≥0，而b ＝3a +1， 即：−3a+12a ≥0，解得：a ≥−13， 故：a 的取值范围为：−13≤a ＜0；（3）当a ＝﹣1时，b ＝3a +1＝﹣2二次函数表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝∠PQH ＝45°， S △P AB =12×AB ×PH =12×3√2×PQ ×√22=32， 则PQ ＝|y P ﹣y Q |＝1，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：|y P ﹣y Q |＝1，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点Q （x ，x +3）， 即：﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3＝±1， 解得：x =−3±√52或−3±√132， 故点P （−3+√52，5+√52）或（−3−√52，5−√52）或（−3+√132，1+√132）或（−3−√132，1−√132）． 3．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．过点A 的直线y ＝kx +2k （k ≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F ，与该图象的对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，且DE ＝EF ． （1）求点A 的坐标；（2）若△BDF 的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P ，连接PF ，PC ，若∠CPF ＝2∠DAB ，求此时二次函数的表达式．【分析】（1）当y ＝0时，kx +2k ＝0，解得x ＝﹣2，则A （﹣2，0）；（2）函数的对称轴为直线x ＝1，则B 点坐标为（4，0），则抛物线解析式为y ＝﹣ax 2+2ax +8a ，S △BDF ＝S △F AB ﹣S △DAB ，即可求解；（3）证明△PCF 为等腰三角形，故PG 平分∠CPF ，即∠CPF ＝2∠CPG ，则Rt △ADO ∽Rt △PCG ，即可求解．【解答】解：（1）当y ＝0时，kx +2k ＝0，解得x ＝﹣2，则A （﹣2，0）；（2）∵二次函数y ＝﹣ax 2+2ax +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x ＝1， ∴B 点坐标为（4，0），把A （﹣2，0）代入y ＝﹣ax 2+2ax +c 得﹣4a ﹣4a +c ＝0， ∴c ＝8a ，∴抛物线解析式为y ＝﹣ax 2+2ax +8a ， ∵DE ＝EF ，∴F 点的横坐标为2， ∴F （2，8a ），把F （2，8a ）代入y ＝kx +2k 得8a ＝2k +2k ，解得k ＝2a ， ∴y ＝2ax +4a ，当x ＝0时，y ＝4a ，则D （0，4a ）， ∵S △BDF ＝S △F AB ﹣S △DAB ，∴12•（4+2）•8a −12•（4+2）•4a ＝12，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +8；（3）如图，连接CF 交对称轴于G ，过点D 作DH ⊥PG 交函数对称轴于点H ，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：c ＝﹣8a ， 故抛物线的解析式表示为y ＝ax 2﹣2ax ﹣8a ， 则点C （0，﹣8a ），点P （1，﹣9a ）， ∵DE ＝EF ，∴△EHD ≌△EGF （AAS ），故DH ＝GF ＝GC ， 即点F 、C 关于抛物线对称轴对称，故点F （2，﹣8a ）， ∴CF ∥x 轴，G （1，﹣8a ）， ∴△PCF 为等腰三角形，∴PG 平分∠CPF ，即∠CPF ＝2∠CPG ， ∵∠CPF ＝2∠DAB ， ∴∠DAB ＝∠CPG ， ∴Rt △ADO ∽Rt △PCG ， ∴AO PG=OD CG，2−a=−4a1，解得a =±√22（舍去负值）（舍去），∴抛物线的解析式表示为y =−√22x 2+√2x +4√2．4．（2019秋•溧阳市期末）如图，直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5相交于A 、D 两点．抛物线的顶点为C ，连结AC ．（1）求A ，D 两点的坐标；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点A 、D 不重合），连接P A 、PD ． ①当点P 的横坐标为2时，求△P AD 的面积； ②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）由于A 、D 是直线直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；（2）①要求△P AD 的面积，可以过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，求得PE ，再用△P AE 和△PDE 的面积和求得结果；②分两种情况解答：过D 点作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，求出AC 的解析式，进而得PD 的解析式，再解PD 的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P 点坐标；当P 点在AD 上方时，延长DP 与y 轴交于F 点，过F 点作FG ∥AC 与AD 交于点G ，则∠CAD ＝∠FGD ＝∠PDA ，则FG ＝FD ，设F 点坐标为（0，m ），求出G 点的坐标（用m 表示），再由FG ＝FD ，列出m 的方程，便可求得F 点坐标，从而求出DF 的解析式，最后解DF 的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P 点坐标． 【解答】解：（1）联立方程组{y =x −1y =−x 2+6x −5，解得，{x 1=1y 1=0，{x 2=4y 2=3，∴A （1，0），D （4，3），（2）①过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，∵点P 的横坐标为2， ∴P （2，3），E （2，1）， ∴PE ＝3﹣1＝2，∴S △P AD =12PE （x D ﹣x A ）=12×2×（4﹣1）＝3；②过点D 作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，则∠PDA ＝∠CAD ，∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4， ∴C （3，4），设AC 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）， ∵A （1，0）， ∴{k +b =03k +b =4， ∴{k =2b =−2， ∴AC 的解析式为：y ＝2x ﹣2， 设DP 的解析式为：y ＝2x +n ， 把D （4，3）代入，得3＝8+n ， ∴n ＝﹣5，∴DP 的解析式为：y ＝2x ﹣5， 联立方程组{y =2x −5y =−x 2+6x −5，解得，{x 1=0y 1=−5，{x 2=4y 2=3，∴此时P （0，﹣5），当P 点在直线AD 上方时，延长DP ，与y 轴交于点F ，过F 作FG ∥AC ，FG 与AD 交于点G ，则∠FGD ＝∠CAD ＝∠PDA ， ∴FG ＝FD ， 设F （0，m ），∵AC 的解析式为：y ＝2x ﹣2， ∴FG 的解析式为：y ＝2x +m ， 联立方程组{y =2x +m y =x −1，解得，{x =−m −1y =−m −2，∴G （﹣m ﹣1，﹣m ﹣2），∴FG =√(m +1)2+(2m +2)2，FD =√16+(m −3)2， ∵FG ＝FD ，∴√(m +1)2+(2m +2)2=√16+(m −3)2， ∴m ＝﹣5或1， ∵F 在AD 上方， ∴m ＞﹣1， ∴m ＝1， ∴F （0，1），设DF 的解析式为：y ＝qx +1（q ≠0）， 把D （4，3）代入，得4q +1＝3， ∴q =12，∴DF 的解析式为：y =12x +1，联立方程组{y =12x +1y =−x 2+6x −5∴{x 1=4y 1=3，{x 2=32y 2=74， ∴此时P 点的坐标为(32，74)，综上，P 点的坐标为（0，﹣5）或(32，74)．【题组二】5．（2019秋•越秀区期末）如图，抛物线y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ，点D 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．【分析】（1）先求出点C 的坐标，由OC ＝2OB ，可推出点B 坐标，将点B 坐标代入y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4可求出a 的值，即可写出抛物线的解析式；（2）设点D 坐标为（x ，0），用含x 的代数式表示出矩形DEFH 的周长，用函数的思想求出取其最大值时x 的值，即求出点D 的坐标，进一步可求出矩形DEFH 的面积；（3）如图，连接BH ，EH ，DF ，设EH 与DF 交于点G ，过点G 作BH 的平行线，交ED 于M ，交HF 于点N ，则直线MN 将矩形DEFH 的面积分成相等的两半，依次求出直线BH ，MN 的解析式，再求出点M 的坐标，即可得出m 的值．【解答】解：（1）在抛物线y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4中， 当x ＝0时，y ＝﹣4，∴C （0，﹣4）， ∴OC ＝4， ∵OC ＝2OB ， ∴OB ＝2， ∴B （2，0），将B （2，0）代入y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4， 得，a =12，∴抛物线的解析式为y =12x 2+x ﹣4； （2）设点D 坐标为（x ，0）， ∵四边形DEFH 为矩形， ∴H （x ，12x 2+x ﹣4），∵y =12x 2+x ﹣4=12（x +1）2−92， ∴抛物线对称轴为x ＝﹣1， ∴点H 到对称轴的距离为x +1， 由对称性可知DE ＝FH ＝2x +2，∴矩形DEFH 的周长C ＝2（2x +2）+2（−12x 2﹣x +4）＝﹣x 2+2x +12＝﹣（x ﹣1）2+13， ∴当x ＝1时，矩形DEFH 周长取最大值13， ∴此时H （1，−52）， ∴HF ＝2x +2＝4，DH =52， ∴S 矩形DEFH ＝HF •DH ＝4×52=10；（3）如图，连接BH ，EH ，DF ，设EH 与DF 交于点G ，过点G 作BH 的平行线，交ED 于M ，交HF 于点N ，则直线MN 将矩形DEFH 的面积分成相等的两半， 由（2）知，抛物线对称轴为x ＝﹣1，H （1，−52）， ∴G （﹣1，−54），设直线BH 的解析式为y ＝kx +b ， 将点B （2，0），H （1，−52）代入， 得，{2k +b =0k +b =−52，解得，{k =52b =−5，∴直线BH 的解析式为y =52x ﹣5， ∴可设直线MN 的解析式为y =52x +n ， 将点（﹣1，−54）代入，得n =54， ∴直线MN 的解析式为y =52x +54， 当y ＝0时，x =−12， ∴M （−12，0）， ∵B （2，0），∴将抛物线沿着x 轴向左平移52个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ，则MN 恰好平分矩形DEFH 的面积， ∴m 的值为52．6．（2019秋•丹阳市期末）如图，顶点为P （2，﹣4）的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过原点，点A （m ，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．【分析】（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx 即可求表达式；（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2=12，即可求A（52，−154）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD 是平行四边形；②四边形由OBCD是平行四边形，n＜0，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【解答】解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP ⊥PO ， ∵A （m ，m 2﹣4m ）， ∴m ﹣2=12， ∴m =52， ∴A （52，−154）；（3）①由已知可得C （4﹣m ，n ），D （﹣m ，n ），B （4，0）， ∴CD ∥OB ， ∵CD ＝4，OB ＝4，∴四边形OBCD 是平行四边形；②∵四边形OBCD 是平行四边形，n ＜0， S 平行四边形ABCD ＝OB ×|y D |， ∴12＝4×（﹣n ）， ∴n ＝﹣3，∴A （1，﹣3）或A （3，﹣3）．7．（2019秋•徐州期末）如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4，3），抛物线y =−38x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C ，E 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒53个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP 、DQ 、PQ ，设运动时间为t （秒）． ①当t 为何值时，△DPQ 的面积最小？②是否存在某一时刻t ，使△DPQ 为直角三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A （0，3），点C （4，0），将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：b =12，c ＝4，即可求解；（2）①△DPQ 的面积＝S △ABC ﹣（S △ADQ +S △PQC +S △BPD ），即可求解；②分DQ 、PQ 、DP 为斜边三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）点A （0，3），点C （4，0），将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式{c =3−38×42+4b +c =0，解得：b =34，c ＝3，故抛物线的表达式为：y =−38x 2+34x +3；（2）y =−38x 2+12x +3=−38（x ﹣4）（x +2），故点E （﹣2，0）； 抛物线的对称轴为：x ＝1，则点D （2，3）， 由题意得：点Q （43t ，3﹣t ），点P （4，t ），①△DPQ 的面积＝S △ABC ﹣（S △ADQ +S △PQC +S △BPD ）=12×3×4−12[2×t +2（3﹣t ）+（5−5t 3）×t ×45]=23t 2﹣2t ．∵23＞0，故△DPQ 的面积有最小值，此时，t =32；②点D （2，3），点Q （43t ，3﹣t ），点P （4，t ），（Ⅰ）当PQ 是斜边时，如图1，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则MQ ＝t ，MD ＝2−43t ，BD ＝4﹣2＝2，PB ＝3﹣t ， 则tan ∠MQD ＝tan ∠BDP ，即3−t 2=2−43t t，解得：t =17±√1456（舍去17+√1456）； （Ⅱ）当PD 为斜边时，过点Q 作y 轴的平行线交AB 于点N ，交过点P 于x 轴的平行线于点M ，则ND ＝2−43t ，QN ＝t ，MP ＝4−43t ，QM ＝3﹣t ﹣t ＝3﹣2t ，同理可得：3−2t 4−43t =2−43t t，解得：t =32或2417；（Ⅲ）当QD 为斜边时， 同理可得：故t =176； 综上，t =17−√1456或32或2417或176． 8．（2019秋•常熟市期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为A （﹣2，0），且经过点B （﹣5，9），与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ． （1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上点A 与点B 之间的一动点． ①若S △P AB =15S △ABC ，求点P 的坐标．②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ．连接BP 并延长，交AD 于点N ．试说明DN （DM +DB ）为定值．【分析】（1）利用顶点式设出抛物线解析式，再将点B 坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出直线BC解析式，进而求出三角形ABC的面积，得出三角形ABP的面积为3，设出点P坐标，表示出点G坐标，利用三角形ABP的面积为3建立方程求解即可得出结论；②先设出直线BN的解析式y＝k（x+5）+9①，得出DN，再设出直线AM的解析式为y＝k'（x+2）②，进而得出DM，再联立①②求出点P坐标，再将点P坐标代入抛物线解析式中，得出k＝k'﹣3，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2，将点B（﹣5，9）代入y＝a（x+2）2中，得，9＝a（﹣5+2）2，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2＝x2+4x+4；（2）①如图①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+4x+4，∴C（0，4），∵B（﹣5，9），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，过点A作AH∥y轴，交直线BC于H，过P作PG∥y轴，交直线BA于HG，∵A（﹣2，0），∴H（﹣2，6），∴S△ABC=12AH×（x C﹣x B）=12×6×5＝15，∵S△P AB=15S△ABC，∴S△P AB=15×15＝3，∵A（﹣2，0），B（﹣5，9），∴直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣6设点P（p，p2+4p+4），∴G（p，﹣3p﹣6），∴S△P AB=12PG×（x A﹣x B）=12[﹣3p﹣6﹣（p2+4p+4）]×（﹣2+5）＝3，∴p＝﹣3或p＝﹣4，∴P（﹣3，1）或（﹣4，4）；②如图②，∵BD⊥x轴，且B（﹣5，9），∴D（﹣5，0），设直线BN的解析式为y＝k（x+5）+9①，令y＝0，则k（x+5）+9＝0，∴x=−5k+9k=−5−9k，∴N（﹣5−9k，0），∴DN＝﹣5−9k+5=−9k，∵点A（﹣2，0），∴设直线AM的解析式为y＝k'（x+2）②，当x＝﹣5时，y＝﹣3k'，∴M（﹣5，﹣3k'），∴DM ＝﹣3k '，联立①②得{y =k(x +5)+9y =k′(x +2)，解得，{x =−2−3×k+3k−k′y =−3k′×k+3k−k′， ∴P （﹣2﹣3×k+3k−k′，﹣3k '×k+3k−k′）， ∵点P 在抛物线y ＝（x +2）2上， ∴（﹣2﹣3×k+3k−k′+2）2＝﹣3k '×k+3k−k′， ∴3k+9k−k′=−k′，∴k ＝k '﹣3，∴DN （DM +DB ）=−9k （﹣3k '+9）＝27×1k （k '﹣3）＝27×1k ×k ＝27； 即：DN （DM +DB ）为定值27．【题组三】9．（2020•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4，又P 是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交x 轴于点F ，交直线AP 于点E ，AE ：EP ＝1：2．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）直线AP 交y 轴于点G ，若CG =5√33，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点D 是射线AP 上一动点，沿着DF 翻折△ADF 得到△A ′DF （点A 的对应点为A ′），△A ′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的14，求此时△ADB 的面积．【分析】（1）根据对称轴的位置以及AB 的长度即可解决问题；（2）如图1中所示：过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ．设G （m ，0），求出点P 坐标，利用待定系数法构建方程组即可解决问题；（3）分两种情形：如图2中，作DM ⊥AB 于M ，设A ′F 交BD 于N ．求出DM 的长度即可解决问题．如图3中，当点A ′在AB 的下方时，设DA ′交AB 于N ，观察图象可知：点N 不可能是BF 中点，此种情形不存在；【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x ＝1，AB ＝4， ∴AF ＝FB ＝2，∴A （﹣1，0），B （3，0）；（2）如图1中所示：过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ．设G （m ，0），∵EG ∥PF ，AE ：EP ＝1：2， ∴AG AP=AO AF=16．又∵A 0＝1， ∴AF ＝6， ∴F （5，0）， ∵OG ∥PF ，∴OG ：PF ＝OA ：AF ， ∴PF ＝6m ， ∴P （5，6m ），由题意：{3a +c=015a +c =6mm −c =5√33，解得{a =√33c =−√3m =2√33∴抛物线的解析式为y =√33x 2−2√33x −√3．（3）如图2中，作DM ⊥AB 于M ，设A ′F 交BD 于N ．当DN ＝BN 时，△A ′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的14．∵AF ＝FB ，BN ＝ND ， ∴AD ∥F A ′，∴∠ADF ＝∠DF A ′＝∠FDA ′， ∴DA ′＝A ′F ＝AD ＝AF ， ∴四边形ADA ′F 是菱形， ∴AD ＝AF ＝2， ∵OG ∥DM ， ∴AM DM=OA OG=2√33，设AM ＝x ，则DM =2√33x ， 在Rt △ADM 中，∵AD 2＝DM 2+AM 2， ∴4＝x 2+43x 2， ∴x =2√217，∴DM =4√77， ∴S △ADB =12×4×4√77=8√77．如图3中，当点A ′在AB 的下方时，设DA ′交AB 于N ，观察图象可知：点N 不可能是BF 中点，此种情形不存在．∴当△A ′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的14时△ADB 的面积为8√77． 10．（2020•营口模拟）如图1，抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴于点C （0，2）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 在抛物线上，且S △AOM ＝2S △BOC ，求点M 的坐标；（3）如图2，设点N 是线段AC 上的一动点，作DN ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DN 长度的最大值．【分析】（1）把A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式求解即可；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2，则易得B （1，0）．然后依据S △AOM ＝2S △BOC 列方程求解即可；（3）设直线AC 的解析式为y ＝kx +t ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入可求得直线AC 的解析式，设N 点坐标为（x ，x +2），（﹣2≤x ≤0），则D 点坐标为（x ，﹣x 2﹣x +2），然后列出ND 与x 的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．【解答】解：（1）A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式y ＝﹣x 2+mx +n ， 得{−4−2m +n =0n =2，解得{m =−1n =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2，则易得B （1，0），设M （m ，n ）然后依据S △AOM ＝2S △BOC 列方程可得：12•AO ×|n |＝2×12×OB ×OC ，∴12×2×|﹣m 2﹣m +2|＝2， ∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0， 解得x ＝0或﹣1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（−1+√172，﹣2）或（−1−√172，﹣2）．（3）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入 得到{−2k +b =0b =2，解得{k =1b =2，∴直线AC 的解析式为y ＝x +2，设N （x ，x +2）（﹣2≤x ≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x +2）， ND ＝（﹣x 2﹣x +2）﹣（x +2）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1， ∵﹣1＜0，∴x ＝﹣1时，ND 有最大值1． ∴ND 的最大值为1．11．（2020春•渝中区校级月考）平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点A ，C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x ＝﹣1交x 轴于点E ，点D 为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点K 是直线AC 下方的抛物线上一点，且S △KAC ＝S △DAC 求点K 的坐标；（3）如图2若点P 是线段AC 上的一个动点，∠DPM ＝30°，DP ⊥DM ，则点P 的线段AC 上运动时，D 点不变，M 点随之运动，求当点P 从点A 运动到点C 时，点M 运动的路径长．。

2020年中考数学压轴题： 图形面积计算

2020年中考数学压轴题： 图形面积计算

2020年中考数学压轴题：图形面积计算【例1】（2019·南阳模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B 的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π﹣9 B．9π﹣63C．9π﹣18 D．9π﹣123【答案】D.【解析】解：连接OD，由折叠的性质知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝30°，∴OC＝33OB＝23，∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBCS△BDC＝S△OBC＝12×OB×OC＝12×6×23＝63，S扇形AOB＝9π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC=9π﹣63﹣63＝9π﹣123．所以答案为：D．【变式1-1】（2019·开封模拟）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（）A．3B．3C．23D．43【答案】C．【解析】解：过O作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO，∴OD＝12AO＝1，AD＝12AC3∴∠OAD＝30°，∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°，∴S阴＝2S△AOC＝2×34×22＝23， 所以答案为：C ．【变式1-2】如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】326π-． 【解析】解：设折痕为AB ，连接OM 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，由题意知，OM ⊥AB ，且OC =MC =12，在RT △AOC 中，OA =1，OC =12，∴∠AOC =60°，AC =3，AB =2AC =3， ∴∠AOB =2∠AOC =120°， S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM=12π×12﹣2（2120111336022π⨯-⨯⨯）=36π-． 故答案为：36π-． 【例2】（2019·郑州外外国语测试）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，若图中阴影部分面积为3π，则AB =【答案】2.【解析】S 阴影=S △ADE +S 扇形BAD －S △ABC ∵S △ADE = S △ABC ∴S 阴影= S 扇形BAD =3π，∴230360AB π⨯=3π,解得：AB =2， 故答案为：2.【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）D MA . 3B .C .D . 【分析】求线段的长度，常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如图作出辅助线，通过分析可知，△ADM ≌△ABF ≌△AEM ，可得DM =EM =1，AE =AD =AB =3，进而利用△AEK ∽△EMH ，求得EH ，MH 的长，再计算出EG ，FG 的长，在Rt △EFG 中，利用勾股定理求EF 的长度即可.【解析】过点E 作EG ⊥BC 于G ，作EH ⊥CD 于H ，延长HE 交AB 于K ，如图所示，D FMH由题意知，△ADM ≌△ABF ≌△AEM ，∴DM =EM =1，AE =AD =AB =3， 由△AEK ∽△EMH ， 得：AE AK EKEM EH MH===3，∴设EH=x，则AK=3x，即DH=3x，MH=3x－1，在Rt△EMH中，由勾股定理得：()22311x x-+=，解得：x=0（舍）或x=35，∴MH=45，AK=DH=95，CH=3－DH=65，KE=BG=3MH=125，∴FG=BF+BG=175，EG=CH=65，在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=22221761355FG EG⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：C.【变式2-2】（2019·洛阳二模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点C的运动路径为弧CC′，当点B′落在CD上时，则图中阴影部分的面积为．【答案】532 12π+-.【解析】解：连接AC’，AC，过点B’作B’E⊥AB于E，如图图所示，由旋转性质，得：AC=AC’，AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’，∵BC=B’E=1，∴∠B’AB=30°，∴∠C’AC=30°，∴AE=3，B’C=2－3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=5, ∴S阴影=S扇形C’AC－S△AB’C’－S△B’CA=()()23051121231 36022π⨯-⨯⨯-⨯-⨯=532 122π+-.故答案为：532 12π+-.【例3】（2019·河南南阳一模）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D为AC的中点，以D为圆心，以DB的长为半径作圆心角为90°的扇形EDF，则图中阴影部分的面积为.【分析】设DE与BC交于M，DF与AB交于N，S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN，根据△DBM≌△DAN，得S四边形DMBN=S△BDA，再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.【解析】解：设DE与BC交于M，DF与AB交于N，∵AB=BC，∠ABC=90°，D是AC中点，∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°，∵∠EDF=90°，∴∠BDM=∠ADF，∴△DBM≌△DAN，即S△DBM=S△DAN，∴S四边形DMBN=S△BDA，S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN=213602n rAD BD π-⋅⋅=2902122 3602π⨯-⨯⨯=π－2，故答案为：π－2.【变式3-1】（2018·洛阳三模）如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA=6，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为.【答案】93 32π+.【解析】解：连接OD，交弧CE于F，连接AD，∵OC=AC=3，CD⊥OA，∴CD是线段OA的垂直平分线，∴OD=AD，∵OD=OA，∴△OAD是等边三角形，∵∠AOB=120°，∴∠DOA=∠BOD=60°，∴CD33∴S阴影=S扇形BOD－S扇形EOF+S△COD－S扇形COF=222 6066031603333 3603602360πππ⨯⨯⨯-+⨯⨯=3π93.即答案为：3π93.【变式3-2】（2018·河南第一次大联考）如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（）A ．13a 2 B ．14a 2 C ．12a 2 D ．14a 【答案】B .【解析】解：如图，过O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥CD 于F ，∴OE =OF ，∠EOF =90°，∴四边形OEDF 是正方形，OF =12a ，∵扇形的圆心角为直角， ∴△OME ≌△ONF ， ∴S 阴影=S 正方形OEDF =214a ， 故答案为：B ．1.（2018·河南师大附中模拟）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A =120°，则图中阴影部分（△BDF ）的面积等于.3【解析】解：由题意得：S △BDF =S 菱形ABCD +S 菱形ECGF －S △BGF －S △EDF －S △ABD 菱形ECGF 边CG 边上的高为：GF ·sin 60°33，菱形ECGF 边CE 边上的高为：EF ·sin 60°=332， ∴S △BDF =222331331333235122222224⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯ =3，故答案为：3.2.（2019·济源一模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以A ，C 为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为【答案】12π-.【解析】解：连接BD ， S 阴影=2（S 扇形BAD －S △ABD ）=2（29011113602π⨯-⨯⨯）=12π-， 故答案为：12π-.3.（2019·偃师一模）如图，正方形ABCD 中，AB =1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE ，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF ，连接 EF ，则图中阴影部分的面积是【答案】32－4π.【解析】解：过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，由勾股定理得：BD=2，由旋转性质得：∠DCE=90°，BF=BD=2，∠FBE=90°－45°=45°，∴BM=FM=1，即C点与M点重合，ME=1，∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE－S扇形DBF=12+1+2901360π⨯－()2902360π⨯=32－4π，故答案为：32－4π．4.（2019·洛阳三模）如图，已知矩形ABCD的两条边AB=1，AD=3，以B为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分面积为．15 3212π-.【解析】解：连接CE，由CD=AB=1，AD3BD=2，∴∠DBC =30°，由旋转知∠DBE =60°，BE =BD =2， ∴∠DBC =∠EBC =30°， 此时D 、C 、E 共线，∴S 阴影=S 扇形DCF +S △BCD +S △BEF －S 扇形DBE=()22901160113131236022360ππ⨯+⨯⨯+⨯+⨯-⨯ =153212π+-.故答案为：153212π+-.5.（2019·周口二模）如图，△AOB 中，∠AOB =90°，AO =3，BO =6，△AOB 绕点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处，此时线段A ′B ′与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段B ′E 的长度为（ ）A ．35B ．95C ．65D ．35A′B′OB AE【答案】B .【解析】解：过O 作OF ⊥A ’B ’于F ，由旋转性质得：OA =OA ’=3，OB =OB ’=6， ∴F 为A ’E 的中点， ∵E 为OB 中点，在Rt△A’OB’中，由勾股定理得：A’B’=35，∴OF=6535=，在Rt△A’OF中，由勾股定理得：A’F=35，∴A’E=65∴B’E=A’B’－A’E=95，故答案为：B.6.（2019·周口二模）如图，等腰直角三角形ABC，绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，AB′所在的直线经过A′C的中点时，若AB=2，则阴影部分的面积为_________．A′B′A【答案】4313π--.【解析】解：延长AB’交A’C于E，由题意知E为A’C的中点，∵A’B’=B’C=AB=BC=2，∴B’E⊥A’C，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2，∴CE=A’E2，∴∠CAE=30°，∠ACE=60°，∴S阴影=S扇形ACA’－S△ACE－S△A’B’E=()26022112622 36022π⨯-⨯⨯-⨯⨯=431 3π--.故答案为：431 3π--.7.如图，在扇形OAB中，∠O=60°，OA=43，四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形，其中点E，C，F分别在OA，弧AB，OB上，则图中阴影部分的面积为．【答案】8π﹣83.【解析】解：连接EF、OC交于点H，则OH=12OC3FOH=∠AOC=30°，在Rt△FOH中，FH=OH×tan30°=2，∴菱形FOEC的面积=12×33扇形OAB的面积=(26043360π⨯=8π，则阴影部分的面积为8π﹣3故答案为：8π﹣38.（2019·开封二模）如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为弧AB的中点，D为OA 上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为．【答案】23π．【解析】解：连接OC，BC，由题意知∠BOC＝∠AOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠OCB＝∠COA＝60°，∴BC∥OA，∴S△BOC=S△BCD，∴S阴影＝S弓形BC+S△BCD＝S弓形BC+S△BOC＝S扇形BOC＝23π，故答案为：23π.9.（2019·安阳一模）如图，在正方形ABCD中，AD=3，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分的面积是___________．AB CF【答案】27924π-.【解析】解：由图知：S阴影=S扇形ABE+S△BEF－S弓形AFS弓形AF=S扇形ACF－S△ACF由题意知，AD=3，AC=CF=32，AB=BC=BF=BE=3，∠EBA=∠ACF=90°，∴S弓形AF=S扇形ACF－S△ACF=()29032360π⨯－132322⨯⨯=92π－9，S阴影=S扇形ABE+S△BEF－S弓形AF=2903360π⨯+1332⨯⨯－（92π－9）=279 24π-.10.（2019·省实验一模）如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是．【答案】3 2π-.【解析】解：连接O′D、B′D，∵∠B′AB＝30°，∴∠AO′D＝120°，∵AB′是直径，∴∠ADB′＝90°，由∠B ′AB ＝30°，得B ′D ＝12AB ′＝1，在Rt △ADB ’中，由勾股定理得，AD ＝3，∴S 阴影＝S 扇形BAB ’－S △AO ’D －S 扇形DO ’B ’+S 扇形AO ’D －S △AO ’D=222223023601120131136043603604πππ⨯⨯⨯-⨯-+-⨯ =322π- 故答案为：322π-．11.（2019·叶县一模）如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙A 相交于点F ．若弧EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】22π-.【解析】解：连接AC ，∵DC 是⊙A 的切线， ∴AC ⊥CD ， ∵AB ＝AC ＝CD ，∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB ＝∠B ＝45°， ∴∠F AD ＝∠B ＝45°， ∵弧EF 的长为2π，∴45=2180rππ， 解得：r ＝2，∴S 阴影＝S △ACD ﹣S 扇形ACE＝21452222360π⨯⨯⨯- =22π-．故答案为：22π-．12.（2019·濮阳二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧CE 交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧CD 交AB 于点D ，则阴影部分的面积为 ．【答案】π﹣2．【解析】解：S 阴影＝S △ABC ﹣S 空白， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝2，S 扇形BCD ＝2452360π⨯＝12π，S 空白＝2×（2﹣12π）＝4﹣π，S 阴影＝S △ABC ﹣S 空白＝2﹣4+π ＝π﹣2， 故答案为：π﹣2．13.（2019·南阳模拟）如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】4﹣π．【解析】解：连接AD∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∵∠EPF＝45°，∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝12×4×2﹣2902360π⨯＝4﹣π．故答案是：4﹣π．14.（2019·商丘二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OB的中点，CD⊥OB交弧AB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．【答案】23 3π【解析】解：连接DO，则OD＝OA＝OB＝2，∵CD∥OA，∠AOB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵C为OB的中点，∴CO＝12OB＝12DO，∴∠CDO=30°，∠COD＝60°，则CD＝3，∴S阴影＝S扇形BOD－S△OCD=2602113 3602π⨯-⨯⨯=233π-，故答案为：23 32π-．15.（2019·开封二模）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若弧EF的长为π，则图中阴影部分的面积为．【答案】8﹣2π．【解析】解：连结AC，∵CD是圆A的切线，∴AC⊥CD，即∠ACD＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAF＝90°，∠F AE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠F AE＝∠EAC＝45°，∵弧EF的长为π，设圆A的半径为r，∴45180rππ⨯=，得：r＝4，∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形CAE=12×4×4﹣2454360π⨯＝8﹣2π．故答案为：8﹣2π．16.（2019·安阳二模）如图，点C为弧AB的三等分点（弧BC<弧AC），∠AOB＝90°，OA＝3，CD⊥OB，则图中阴影部分的面积为．【答案】393 28π-．【解析】解：连接OC，AC，由题意知：∠COD＝30°，∠AOC＝60°，∵CD⊥OB，∴S△OCD＝S△ACD，∵∠CDO＝90°，OC＝OA＝3，∠COD＝30°，∴CD＝32，OD＝332，S阴影＝S△ACD+S弓形AC ＝S△OCD+S弓形AC＝12×332×32+2603360π⨯－34×32=393 28π-.故答案为：393 28π-．17.（2019·平顶山三模）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是．【答案】134π－6．【解析】解：由图可知：S阴影=2903360π⨯+2902360π⨯－S矩形ABCD= 94π+π－6=134π－6，故答案为：134π－6．18.（2019·名校模考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为．【答案】233π．【解析】解：过A作AF⊥BC于F，∵∠ABC＝45°，∴AF＝BF＝22AB＝2，在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，AC＝2AF＝22，FC＝6，由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，S阴影＝S扇形DCB+S△EDC﹣S△ABC﹣S扇形ACE＝S扇形DCB﹣S扇形ACE＝()()22 60266022360360ππ⨯+⨯-=233π,故答案为：233π．19.（2019·枫杨外国语三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D，连接A′B，则图中阴影部分的面积为.【答案】25144π-．【解析】解：连接BD，B’D，由题意知：∠BDB’=90°，A’C=A’D－CD=1，由勾股定理得：BD=B’D=5，∴S阴影=S扇形DBB’－S△BCD－S△A’B’D－S△A’BC=2905111343414 360222π⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=2514 4π-.故答案为：2514 4π-.20.（2019·中原名校大联考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAC＝30°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，点D的对应点为点D′，则图中阴影部分的面积为．【答案】83π．【解析】解：连接BD，与AC相交于点O，则BD＝2BO＝2，AC3AD＝3S扇形＝S扇形CAC′+S△ABC+S△AC′D′﹣S菱形ABCD﹣S扇形DAD′＝S扇形CAC′﹣S扇形DAD′＝(22 120231202360360ππ⨯⨯-=83π．故答案为：83π．21.（2019·三门峡一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD 的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是__________．ACE30°【答案】33－3π．【解析】解：∵∠A=30°，AD=2，∴平行四边形AB边上的高为：AD·sin30°=3，∵AB=4，∴BE=2，S阴影=S平行四边形ABCD－S扇形AED－S△BEC=43－2302360π⨯－1232⨯⨯=33－3π故答案为：33－3π.22.（2019·周口二模）如图，P A、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB＝60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D．阴影部分的面积是（结果保留π）．【答案】6π.【解析】解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∠POA＝60°，由AP=BP，OA=OB得：OP垂直平分AB，∴AC=BC，∴S△AOC＝S△BOC，∴S阴影部分＝S扇形OAD＝26013606ππ⨯=．故答案为：．6。

2020年中考复习讲义设计 用面积解决几何问题大全

2020年中考复习讲义设计 用面积解决几何问题大全

用面积解决几何问题许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。

面积法的常用解题思路：1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

一、用面积法证线段不等1. 如图，在△ABC 中，已知AB>AC ，∠A 的平分线交BC 于D. 求证：BD>CD证明：过点D 作DE ⊥AB, DF ⊥AC, 垂足分别为E 、F 。

∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF.∵S △ADB =21AB ·DE, S △ADC =21AC ·DF,又 AB>AC,∴S △ADB >S △ADC .即21BD ·h>21DC ·h∴BD>DC. 二、用面积法证比例式或等积式2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线。

求证：DCBD =AC AB 证明 ：过D 作DE ⊥AB,DF ⊥AC, AH ⊥BC,垂足分别为E 、F 、H.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DE=DF.∵S △ABD =21AB ·DE, S △ACD =21AC ·DF. ∴AC AB =S S ADC ΔABD Δ. 又∵S △ABD =21BD ·AH, S △ACD =21DC ·AH,∴DC BD =S S ADC ΔABD Δ. ∴ACAB =DC BD . 三、用面积比求线段的比3.如图，在△ABC 中，已知BC 、AC 边上的中线AD 、BF 交于M 。

求证：MD=21AM 。

证明:作BG ⊥AD 垂足为G ，连接CM 。

∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ABF =S △BCF ,S △MAF =S △MCF ,∴S △ABM =S △BCM .∵DB=DC,∴S △DBM = 21 S △BCM =21 S △BAM .∵S △BAM =21AM ·BG,S △BDM =21DM ·BG,∴21×21AM ·BG=21DM ·BG, ∴DM=21AM. 4.已知菱形的边长为a 同两条对角线长为m ，n 且a 2=mn 。

2020年中考《数学》解题方法：面积法

2020年中考《数学》解题方法：面积法

2020年中考《数学》解题方法：面积法面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A. B.C. D.2．已知二次函数y ＝x 2﹣3x+m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m ＝0的两实数根是( )A ．x 1＝1，x 2＝﹣1B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝3 3．我们探究得方程x+y ＝2的正整数解只有1组，方程x+y ＝3的正整数解只有2组，方程x+y ＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z ＝10的正整数解得组数是（ ）A ．34B ．35C ．36D ．374．如图，B 是线段AP 的中点，以AB 为边构造菱形ABCD ，连接PD ．若tan ∠BDP ＝12，AB ＝13，则BD 的长为（ ）A ．5132B ．313C ．7132D ．4135．如图，在等腰ABC ∆中，3,310,sin 5AB AC BC A ===,则AB 的长为（）A ．15B ．510C ．20D ．1056．下列说法错误的是A ．Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，则AC=5；B ．极差能反映一组数据的变化范围；C ．经过点A （2，3）的双曲线一定经过点B （-3，-2）；D ．连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．7．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）A.12πB.6πC.12π+D.6π+ 8．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sin θ的值为（ ）A.313B.513 C.512 D.1213 9．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ） x …-1 0 3 … y… -5 1 -5 … A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线0x =C ．在1x >时，y 随x 增大而减小D ．抛物线与x 轴只有一个交点10．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x 轴的距离为( )A.3B.－3C.4D.－411．如图，等腰直角ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 在斜边AB 上，且满足:1:3BO OA =，将BOC ∆绕C 点顺时针方向旋转到AQC ∆的位置，则AQC ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．120︒D ．135︒ 12．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <），其对称轴是1x =，与x 轴的一个交点在()2,0，()3,0之间.有下列结论：①0abc <；②0a b c -+=；③若此抛物线过()12,y -和()23,y 两点，则12y y <，其中，正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题13．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是_____14．关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是__________．15．从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_____．16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝CB ＝12，∠ABC ＝90°，点D 为AC 上一点，tan ∠ADB ＝3，过D 作ED ⊥BD ，且DE ＝BD ，连接BE ，AE ，EC ，点F 为EC 中点，连接DF ，则DF 的长为______．17．计算：02019=__________．18．如图，将一块30°角的直角三角板ACB （∠B ＝30°）绕直角顶点C 逆时针旋转到△A′CB′的位置，此时点A′刚好在AB 上，若AC ＝3，则点B 与点B'的距离为_____．三、解答题19．某学校需要购买A 、B 两种品牌的篮球，购买A 种品牌的篮球30个，B 种品牌的篮球20个，共花费5400元，已知购买一个B 种品牌的篮球比购买一个A 钟品牌的篮球多花20元．（1）求购买一个A 种品牌、一个B 种品牌的篮球各需多少元？（2）学校为了响应习“篮球进校园”的号召，决定再次购进A 、B 两种品牌球共45个，正好是上商场对商品的促销活动，A 品牌篮球售价比第一次购买时降低19元，B 品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A 、B 两种品牌篮球的总费用不超过第一次花费的80%，且保证这次购买的B 种品牌篮球不少于15个，则这次学校有几种购买方案？（3）学校在第二次购买活动中至少需要多少资金？20．（1）计算：（12）﹣2+38+（π+2019）0+3tan60°． （2）先化简，再求值：21(1)11a a a -÷+-，其中a ＝2020． 21．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y k x'=（x>0)的图象交于点A(a ，3)和B(3，1）．（1）求一次函数的解析式．（2）观察图象，写出反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围．（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点Q，连接OP、OQ，若△POQ的面积为12，求P点的坐标。

中考数学面积问题压轴题

中考数学面积问题压轴题

中考数学⾯积问题压轴题§2.2由⾯积产⽣的函数关系问题图形运动的过程中,求⾯积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题.计算⾯积常见的有四种⽅法,⼀是规则图形的⾯积⽤⾯积公式;⼆是不规则图形的⾯积通过割补进⾏计算;三是同⾼(或同底)三⾓形的⾯积⽐等于对应边(或⾼)的⽐;四是相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅.前两种⽅法容易想到,但是灵活使⽤第三种和第四种⽅法,可以使得运算简单.⼀般情况下,在求出⾯积S关于⾃变量x的函数关系后,会提出在什么情况下(x为何值时),S取得最⼤值或最⼩值.关于⾯积的最值问题,有许多经典的结论.1.周长⼀定的矩形,当正⽅形时,⾯积最⼤.2.⾯积⼀定的矩形,当正⽅形时,周长最⼩.3.周长⼀定的正多边形,当边数越⼤时,⾯积越⼤,极限值是圆.4.如图1,锐⾓△ABC的内接矩形DEFG的⾯积为y, AD=x,当点D是AB的中点时,⾯积y最⼤.5.如图2,点P在直线AB上⽅的抛物线上⼀点,当点P位于AB的中点E的正上⽅时,△PAB的⾯积最⼤.6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的⾯积最⼤.图1图2 图3x2+bx+c的图象与如图所⽰,在平⾯直⾓坐标系中,⼆次函数y=-14坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0, 8),点B的坐标为(-4, 0).(1) 求该⼆次函数的表达式及点C的坐标;(2) 点D的坐标为(0, 4),点F为该⼆次函数在第⼀象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平⾏四边形CDEF.设平⾏四边形CDEF的⾯积为S.①求S的最⼤值;②在点F的运动过程中,当点E落在该⼆次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.请打开⼏何画板⽂件名“16淮安27”,拖动点F在第⼀象限内的抛物线上运动,观察△CDF的⾯积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的⾯积最⼤;当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上.1.把点F的横坐标x设为⾃变量,⽤x表⽰△CDF的⾯积.2.连结OF“割补”△CDF⽐较简便.3.如果设点F的坐标为(m, n),根据FE与CD平⾏且相等,通过坐标平移可以表⽰点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代⼊抛物线的解析式,联⽴⽅程组求m的值.如图1,在平⾯直⾓坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三⾓形AOB,抛物线l: y=ax2+bx+c经过O、A、B三点.(1) 当m=2时,a= ,当m=3时,a= ;(2) 根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3) 如图2,在(1)的基础上,作x轴的平⾏线交抛物线l于P、Q 两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直⾓三⾓形时,a与n的关系式为;(4) 利⽤(2)、 (3)中的结论,求△AOB与△APQ的⾯积⽐.图1 图2请打开⼏何画板⽂件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的⼆次项系数a 在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a的反⽐例函数.1.点A和点B的坐标可以⽤m表⽰,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以⽤m表⽰抛物线的解析式.2.点Q的坐标可以⽤m、n表⽰,代⼊抛物线的解析式可以得到m、n的关系.如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 33), B(9, 53), C(14, 0).动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC ⽅向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB —BC运动,在OA、AB、BC上运动的速度分别为3、3、52(单位长度/秒).当P、Q中的⼀点到达点C时,两点同时停⽌运动.(1) 求AB所在直线的函数表达式;(2) 如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的⾯积S关于t的函数表达式及S的最⼤值;(3) 在P、Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t的值.图1 图2请打开⼏何画板⽂件名“17⾦华24”,拖动点P运动,可以体验到,PQ的垂直平分线4次经过四边形OABC的顶点.1.先求线段OA、AB、BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来.2.直线OA、BC与x轴的夹⾓为60°,直线AB与x轴的夹⾓为30°.3.点Q在AB上时,AQ=速度×时间=3(t-2).点Q在BC上时,BQ=速度×时间=52(t-6), CQ=52(10-t).点P从点C出发,沿射线CB⽅向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴⽅向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒.(1) 当t=1秒时,求经过O、P、A三点的抛物线的解析式;(2) 当t=2秒时,求tan∠QPA的值;(3) 当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值;(4) 连结CQ,当点P、Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的⾯积为S,求S与t的函数关系式.请打开⼏何画板⽂件名“17黄冈24”,拖动点Q由点O向右运动,可以体验到,△CQP与矩形OABC重叠部分的形状依次是△CQP、四边形CQMB和△CBN.1.第(1)题:设交点式⽐较简便,代⼊点P的坐标求⼆次项系数a 就好了.2.第(2)题:点P恰好与点B重合,∠QPA就在直⾓三⾓形中.3.第(3)题:根据“8字型”相似列⽅程,为第(4)题提供⽅法依据.4.第(4)题:分三种情况讨论.的速度匀速运动,到达点B停⽌运动.在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB 于点F,连结MF.将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm, BC=4cm.设点M的运动时间为t(s), △ENF与△ANF 重叠部分的⾯积为y(cm2).(1) 在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正⽅形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2) 求y关于t的函数解析式及相应的t的取值范围;(3) 当y取得最⼤值时,求sin∠NEF的值.请打开⼏何画板⽂件名“17绵阳25”,拖动点M运动,观察y随t变化的函数图象,可以体验到,当重叠部分的⾯积最⼤时,点E恰好落在AB的中点.1.⽤含t的式⼦可以把线段CM、CN、BM、FN的长都表⽰出来.2.△MNC和△MNE保持等腰直⾓三⾓形的形状,MN、EN、EM也可以⽤t表⽰.3.当EN与AB交于点D时,可以⽤t表⽰出⾼DG.。

备战2020中考数学一轮专项训练：面积平分问题(含解析)

备战2020中考数学一轮专项训练：面积平分问题(含解析)

备战2020中考数学一轮专项训练：面积平分问题前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

1. 问题探究在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b (b >a )，P 为AB 边上一点，且PB ＝m (m <a )，在CD 边上有两点M 、N .(1)如图①，求证：△MPB 的面积与△NPB 的面积相等；(2)如图②，延长AB 到点S ，使BS ＝PB ，以BS 为边在直线AB 上方作正方形BSRQ ，连接AR 、AQ 、AC 、CR ，若△ACR 的面积等于矩形ABCD 面积的14，试确定a 、b 、m 的关系；第1题图问题解决(3)如图③，有一片矩形绿地ABCD ，现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地△ABE ，按照施工要求，高速公路的边缘AE 不能超过BC 的中点，为补偿占用的绿地，试在AE 的延长线上找出一点F ，使四边形ADCF 的面积与原矩形ABCD 的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由． (1)证明：如解图①，∵△MPB 与△NPB 同底等高， ∴S △MPB ＝S △NPB ；第1题解图①(2)解： S △ACR ＝S △ACQ ＋S △AQR ＋S △CQR ＝12b (a －m )＋12m 2＋12m (a －m )＝12(ab ＋am －bm )，∵S △ACR ＝14S 矩形ABCD ，∴12(ab ＋am －bm )＝14ab ，∴ab ＋2am －2bm ＝0；(3)解：如解图②，连接AC ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ，连接CF .第1题解图②设AC 到BF 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，S △ACF ＝12AC ·h ， ∴S △ABC ＝S △ACF ， ∴S △ABE ＝S △CEF ， ∴S 矩形ABCD ＝S 四边形ADCF .2. 问题探究(1)如图①，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABC 的面积为S ，则△ACD 的面积为________；(2)在图②中，当点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 的中点时，记四边形BEDF 的面积为S 1；当点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AB 、BC 上时，且满足AE ＝13AB ，BF ＝13BC ，记此时的四边形BEDF 的面积为S 2.证明：S 1＝S 2； (3)如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝nBC (n 为常数，且n ＞0)，点E 是AB 边上任意一点，点F 是BC 边上任意一点，若四边形BEDF 的面积始终等于矩形面积的12，请探究线段AE 、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．第2题图(1)解：12S ；【解法提示】∵ AD 为△ABC 中BC 边的中线， ∴DC 为BC 的一半，由图可知△ABC 与△ADC 同高，又知△ABC 的面积为S ，∴S △ACD ＝12S ； (2)证明：如解图①，连接BD, 当点E 、F 分别为AB 、BC 上的中点，第2题解图①由(1)可知S △BED ＝12S △ABD ， S △BDF ＝12S △BCD ，又∵根据平行四边形的性质可知S △ABD ＝S △BCD ＝12S ▱ABCD ， ∴S 1＝S △BED ＋S △BDF ＝12S ▱ABCD ，当点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AB 、BC 上时，且满足AE ＝13AB ，BF ＝13BC ，∴BE ＝23AB ，则S △BDE ＝23S △ABD ，S △BFD ＝13S △BCD ， 又∵S △ABD ＝S △BCD ＝12S ▱ABCD ， ∴S 2＝S △BDE ＋S △BFD ＝12S ▱ABCD . 综上所述，可证：S 1＝S 2；(3)解：如解图②，连接BD ，第2题解图②由题意可知四边形BEDF 的面积始终等于矩形面积的12，即根据等面积可知：AB ·BC ＝2(12BE ·AD ＋12BF ·AB )， ∵AB ＝nBC ，∴AB ·BC ＝2(12BE ·1n AB ＋12BF ·AB )＝BE ·1n AB ＋BF ·AB ，∴BC ＝1n BE ＋BF ， ∴1n AB ＝1n BE ＋BF ， ∴AE ＝nBF .。

2024中考数学总复习冲刺专题：利用平行线解决函数中的面积问题 通用版

2024中考数学总复习冲刺专题：利用平行线解决函数中的面积问题 通用版

《用平行线解函数中的三角形面积问题》一、考点梳理：函数与三角形面积相结合的综合题常常出现在中考的压轴题中，是中考压轴题的难点之一。

主要考查学生的综合分析问题能力，考察学生数形结合思想，分类讨论思想、转化思想等。

热点考题是：面积比问题，面积定值问题、面积最值问题，面积之间的和、差、比值等问题。

常见的解题方法有多种，例如：1、利用铅垂高、水平宽解决问题；2、利用割补法解决问题；3、利用面积比等于相似比的平方解决问题；4、利用平行线转移面积解决问题等。

在二次函数与一次函数相结合的题目中求面积或者与面积相关的问题时，我们通常过三角形的某个已知顶点作对边的平行线，利用平滑定理来求解，问题就会变得简单许多，近年来，多地的中考试题中也出现了这样的题目，值得我们重视。

二、本节课学习目标：1.利用平行线转移三角形面积，并解决问题；2.利用平行线把面积比转化为线段比；3.通过直线与曲线相切求面积的最值；三、新课学习：知识铺垫：知识铺垫：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等；（1）如图1，若直线a∥b，则有MN＝PQ=S△BCD（2）如图2，直线a∥b，则S△ABC我们先来了解什么是平滑定理：两个三角形共用同一底，且顶点都在与底平行的同一条直线上，那么由三角形的面积公式可知，这两个三角形的面积必然相等。

所以平滑定理需要两个条件：（1）共底或者底在同一直线上但相等；（2）三角形的顶点都在与底平行的同一条直线上知识铺垫2：一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行则可以推出k1=k2反之若k1=k2则可推出一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行，其中b1≠b2.模块一（利用平行转换面积）典例精讲：如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+x +4的图象与y 轴交于点A （0，4）．与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积等于5时，求此时点N 的坐标；解法1：A （0，4），B （-2，0）,C （8，0）b 1b2y=kx+b 1y=kx y=kx+b 2设NC=m ，连接MC ，MH BC⊥作∵MNB ACB∆∆∽∴MH BN AO BC =∴10m 410MH -=∴2(10m)5MH -=∵NM ∥AC∴S △AMN ＝S △CMN=12NC MH ⨯=12(10m)25m -⨯(10m)5m -=∴当△AMN 面积是5时，m ＝5，此时N 点坐标为（3，0）学生练习：已知：如图，抛物线y ＝x 2+4x +3交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，若Q 为抛物线上一点，连接QE ，QA ，设点Q 的横坐标为t （t ＜﹣3），△QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；【解答】解:易得A （0，3），E （-3，0），AE:y ＝x+3．作QH//AE ，交y 轴于点H ，设Q （t ，t 2+4t +3），设HQ ：y ＝x+b把Q 点坐标代入y ＝x+b可得HQ:2y=33x t t +++∴H （0，233t t ++），AH=23t t +，2212139(3)3222AEQ AEP S S AH OE t t t t ∆∆==⨯⨯=⨯+⨯=+模块二（同底三角形面积比问题）典例精讲：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-x 2+2x+3与交x 轴于点A ，与y 轴交于点C ．点M 的坐标为（4，-5），在抛物线上是否存在点P （不与点A 重合），使△PMC 的面积与△AMC 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0），当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）设直线CM的解析式为y＝mx+n，把C（0，3），M（4，﹣5）代入得m＝﹣2，n＝3，∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3，∵△PMC的面积与△AMC的面积相等，∴AP∥MC，设AP的解析式为y＝﹣2x+p，把A（3，0）代入得p＝6，∴AP的解析式为y＝﹣2x+6，解方程组得或，此时P点坐标为（1，4）；直线AP的解析式为y＝﹣2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），∵6﹣3＝3，把直线CM向下平移3个单位得到y＝﹣2x，解方程得或，此时P点坐标为（2+，﹣4﹣2），（2﹣，﹣4+2），综上所述，P点坐标为（1，4）或（2+，﹣4﹣2）或（2﹣，﹣4+2），典例精讲：2.如图，抛物线y＝﹣x2+3x+8与x轴交于点A、B点，与y轴交于点C点，P是抛物线上第一象限上的动点，连接PB，PC，当35PBCABCSS∆∆=时，求点P的坐标．P解：易得A （-2，0），B （8，0），C （0，8）作AD//BC ，交y 轴于D ，易求BC ：y ＝﹣x +8AD ：y ＝﹣x -2，∴CD=10，在C 点上方截取CE=6，过E 作EP//BC,交抛物线于点P ，则P 为所求的点PQ ：y ＝﹣x +14，联立方程组，2141382y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩可得点P 的坐标为（2，12）或P （6，8）例题精讲：如图，在平面直角坐标系内抛物线21y=42x x --与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．过点A 的直线y ＝x +2与抛物线交于点E ．点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．在点P 的运动过程中，是否存在点P 使得△AEP 的面积最大，若存在，请求出点P的坐标．解：存在点P 使得△AEP 的面积最大，理由如下：在直线AE 的下方作MN//AE ，当MN 与抛物线有唯一交点P 时，此时△AEP 的面积最大，P 为所求的点设MN ：y=x b+联立方程组2142y x b y x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩可得212402x x b ---=144(4)02b ∆=-⨯--=解得6b =-联立方程组261382y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩可得P （2，﹣4）．此时S △APE ＝32，学生练习：如图，一次函数y ＝﹣x +4的图象与反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A 、B 两点．点P 在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB 的面积最小，求满足条件的P 点坐标及△PAB 面积的最小值．【解答】解：联立方程组可得：，∴点B（3，1）；如图，将直线AB平移，当与双曲线第三象限的图象只有一个交点P时，此时△PAB的面积有最小值，设平移的直线解析式为y＝﹣x由题意可得：﹣x+b＝，∴x2﹣bx+3＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝b2﹣4×3＝0，∴b＝±2，∵直线y＝﹣x+b与y轴交在负半轴，∴b＝﹣2，∴平移后的解析式为y＝﹣x﹣2，∴﹣x﹣2＝，∴x＝﹣，∴y＝﹣，∴点P（﹣，﹣），过点P作PH⊥AB于H，设直线y＝﹣x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，设直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴点C（0，4），点D（4，0），点E（﹣2，0），点F（0，﹣2），∴CO＝DO＝4，EO＝FO＝2，∴CD＝4，EF＝2，△COD和△EOF是等腰直角三角形，∴点O到EF的距离为，点O到CD的距离为2，∴PH＝+2，∵点A坐标为（1，3），点B（3，1），∴AB＝＝2，∴△PAB面积的最小值＝×2×（+2）＝2+4．三、课后作业1、如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC E，连接PB．抛物线上是否存在一点Q，使△QPB 与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，∴H（1，0），∴PH＝4，BH＝2，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴点E（1，2），如图，过点E作EQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QPB与△PEB的面积相等，由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝﹣2（x﹣3），则直线QE的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）+2②，联立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，解得：x＝2，则点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）；对于直线QE，设QE交x轴于点R，令y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，解得：x＝2，即点R（2，0则BR＝3﹣2＝1，取点R′使BR＝BR′，过点R′作PB的平行线l，如上图，则点R′（4，0），则直线l的表达式为：y＝﹣2（x﹣4），联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，则Δ＝16﹣20＜0，无解，故在点B的右侧不存在点Q，综上，点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）2.已知二次函数与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 轴交于C 点，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边．S △P AC ＝4，求P 点坐标．如图：解当y ＝0时，＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，即A （1，0），B （3，0）．当x ＝0时，y ＝2，即C （0，2）过点P 作PE ∥AC ，则S △P AC =S △EAC =4设点E 为（a ，0）得421a 214OC AE 21=⨯-=⨯）（，即解得a=5，所以E （5，0）设直线y ac =kx+b ，分别代入A （1，0）、C （0，2）得b 2bk 0=+=解得k=-2，b=2.所以y ac =-2x+2因为PE ∥AC ，所以可设y pe =-2x+b 代入E （5，0）得0=-2x5+b ，解得b=10所以y pe =-2x+10，联立方程组得y=-2x+10解得：x 1=4x 2=-3y 1=2y 2=16答：P 点坐标是（4，2）．3．如图，抛物线223y x x =-++的顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B （0，3）.抛物线上第一象限内是否存在一动点P ，使S △PAB ＝98S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

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专题5《等分图形面积》
破解策略
等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：
如图，12l l ∥，点123A A A ，，在1l 上，点B ，C 在2l 上，则123A BC A BC A BC S S S ∆∆∆==． 图形等分面积的常见类型有： （1）已知：△ABC ．
作法：作中线AD ．
结论：直线AD 平分△ABC 的面积．
（2）已知：平行四边形ABCD ．
作法：过对角线交点O 作直线．
结论：过点O 的直线平分平行四边形ABCD 的面积．
（3）已知：梯形ABCD ，AD ∥BC ．
作法：过中位线EF 中点O （或上、下底边中点连线HG 的中点O ）作直线，且与上、下底均相交．
结论：过点O 且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD 的面积．
（4）已知：△ABC ，P 为AC 边上的定点．
作法：作△ABC 的中线AD ，连结PD ，过点A 作AE ∥PD ，交BC 于点E ．
D
2
1
B
结论：直线PE 平分△ABC 面积．
（5）已知：四边形ABCD ．
作法：连结AC ，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，连结AE ，作△ABE 的中线AF ． 结论：直线AF 平分平行四边形ABCD 的面积．
（6）已知：四边形ABCD ，点P 为AD 上的定点．
作法：连结PB ，PC ．作AE ∥PB ，DF ∥PC ，分别交直线BC 于点E ，F ，连结PE ，PF ，作△PEF 的中线PG ．
结论：直线PG 平分四边形ABCD 的面积．
（7）已知：五边形ABCDE ．
作法：连结AC ，AD ，作BF ∥AC ，EG ∥AD ，分别交直线CD 于点F ，G ，连结AF ，AG ，作△AFG 的中线AH ．
结论：直线AH 平分五边形ABCDE 的面积．
进阶训练
1．如图，已知五边形ABOCD 各定点坐标为A （3，4），B （0，2），O （0，0），C （4，0），D （4，2），请你构造一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．
答：如图：
直线的表达式为8
43
y x =
-． 【提示】 连结AO ，作BM ∥AO 交x 轴于点M ，连结AC ，作DN ∥AC 交x 轴于点N ，取MN 中点F ，则直线AF 将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分．作AH ⊥x 轴于点H ，则△BMO ∽△AOH ，可得点M 的坐标．同理可得点N 的坐标．从而求得点F 的坐标．确定直线AF 的表达式． 2．过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1：2的两部分．
答：如图：
【提示】 连结AC ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，取BE 的一个三等分点F 或G ，则直线AF 或AG 即为所求．
3．设w 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w 的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w 的“化方”．
（1）阅读填空
如图1，已知矩形ABCD ，延长AD 到点E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．
理由：连结AH ，EH ．
因为AE 为直径，所以∠AHE ＝90°， 所以∠HAE ＋∠HEA ＝90°．
因为DH ⊥AE ，所以∠ADH ＝∠EDH ＝90°．
所以∠AHD ＝∠HED ，所以△ADH ∽ ． 所以
AD DH DH DE
=，即2
=DH AD DE ⋅ 因为DE ＝DC ，
所以2
DH ＝ ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图2，请作出与平行四边形ABCD 等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）． （3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图3，△ABC 的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． 3．（1）△HDE ；AD ·DC ； （2）作图如下：
图2
图1
1。

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