1.3.2《杨辉三角与二项式系数的性质》单面大张13份

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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件

一：教材分析二：目标分析三：重点难点四：过程分析五：教法分析
一：教材分析
教材的地位及作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3、第一章第3节、二项式定理第3课时，前面已经学习了组合、组合数及二项式定理。在此基础上继续学习杨辉三角，研究二项式系数的性质。可以进一步深化认识组合数，导出一些组合数的恒等式，进行组合数的计算和变形。又与概率统计中的二项分布有其内在联系。
设计意图：在例1的基础上及时巩固，目的在于对赋值法领会及运用能力；
综合跃升
1、在(x＋y)n的展开式中，第四项与第八项的
系数相同，则展开式中系数最大的项是（）
A 第6项
B 第 5项
C 第5项和第6项 D 第6项和第7项
2、已知(1+2x)10=a0+ a1x+ a2x2+ …+a10x10
求(1) a0+ a1+ a2+… +a9+ a10的值；
质》
特征：
1 、两端都是1
11 121
2 、对称性
1331
3 、中间数最大 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 、除1之外的每一个数都等于“肩上” 两个数的和
2021/1/7
质》
【设计意图：】
由学生自己动手计算、填表、主动去发现规律，可以培养学生观察、分析、比较、归纳、猜想的积极探索能力
4、巩固新知
• 1、求 (a b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数。
• 2、(1 x)n 展开式中只有第十项二项式系数最大，求n的值.
设计意图：对性质1、2及时巩固应用

教学设计5：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法: 引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C rn 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n m n n -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1C C n r rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C n r nn n n n n =++++++四、讲解范例：问题导学一、与杨辉三角有关的问题活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．二、二项式系数的性质活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．三、二项式系数、展开式系数的求和活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________．迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164．【答案】C迁移与应用解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6．迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项．【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210．【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6，令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1．【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出．【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4，令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81，又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1．两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41．【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1．【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6．令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6．而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729．【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r ·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1．【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+，即132171m m +=+．解得m ＝6．【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C·24·2042x-＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项．解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x的系数为，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. 33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略）教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此我们要采用抽象分析法来化简计算.。

课件10：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

∴二项式系数最大的项为第 3,4 两项，
2
2
22
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大，
2
10 4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk－＋11CCk5k5－＋11，， k∈N，

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
提出问题 (a＋b)n 的展开式的二次项系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：
问题 1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．问题 2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为 2n
()
A．64
B．32
C．63
D．31
【解析】Cn0＋2C1n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729， ∴n＝6，∴C61＋C63＋C65＝32. 【答案】B
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若 a2＝80，
则 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝ ( )
A．32
B．1
C．－243
题型二求二项展开式中系数和
例 2 设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值； (2)a1＋a3＋a5 的值； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项：公式中的r n
C 叫做【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1：，即
直线将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当时，二项式系数是逐渐增大的；
当时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第项的二项式系数最大.
③性质3：，即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

k Cn ＝
n(n－1)(n－2)…(n－k＋1) (k－1)！k
ห้องสมุดไป่ตู้－1
＝Ck n
n－k＋1 ， k
n－k＋1 k－1 所以 Ck 决定．由 n相对于 Cn 的增减情况由 k n－k＋1 n＋1 >1 k< k 2 n＋1 可知，当 k< 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小 2 n 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是 2 n－1 n＋1 n－ 1 n＋1 奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 C n＝C n，即 C n，C n 2 2 2 2 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当 n n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同 2 n－1 n＋1 时取得最大值，即 C n＝C n 最大． 2 2 设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据 n 的奇 n 偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是 k＝，从而学生可以 2 比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题 4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知 1 2 2 r r n n (1＋x)n＝C0 n＋Cnx＋Cnx ＋…＋Cnx ＋…＋Cnx ，令 x＝1，则

课件8：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

题型二求展开式的系数和典例设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016·x2 016(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 016 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 016|的值．
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
新知初探
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 Crn＋1＝ Crn－1＋Crn ． 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离 ”的两个二项式系数相等(即 Cmn ＝ Cnn－m)．
8
4 3
k
，
令 8－43k＝0，得 k＝6，故常数项为第 7 项，且 T7
＝(－1)6·122·C68＝7．
类题通法二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n 中的 n 进行讨论．
(1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
类题通法二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈ N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1．

1.3.2__“杨辉三角”与二项式系数的性质

注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)，
且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考） 3 2 解：由题意，知：a C n ，b C n .
n 1 2 n
n 2 n
C
n 1 2 n
知识对接测查2
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C
C
6 11 .
；
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数
7 8 解: 第8、9项的二项式系数 C15 与C15 最大。即6435最大。
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
+
+ + + + + + + + +
+
+
+
+
+
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1

20-21版：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质（创新设计）

Tr
＋
1
＝
C
r n
(
x)n
－
r·－x22
r
＝
(
－
2)rC
r n
x
n－5r 2
n
n
(0≤r≤n，r∈N)，∴T5＝T4＋1＝24C4nx2－10，T3＝T2＋1＝22C2nx2－5.
∵2224CC2n4n＝110， ∴n2－5n－24＝0，解得 n＝8 或 n＝－3(舍去).
(1)令 x＝1，则
x－x228＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为 1.
答案 A
8
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
题型一与杨辉三角有关的问题【例1】如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯
齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值.
9
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
解由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211. ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋ C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1 ＋C211＝274.
@《创新设计》
【训练1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14与第15个数的比为2∶3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第5行1 5 10 10 5 1 ………

课件1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

C nn 1 1
探究一
性质1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
1
C C
r
n
1
n r
n
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
5
1
…
… …10… …
……
…
1 C1n1 C 2n1 … C rn 1 … C nn 12 1
… C rn C rn 1 … C nn 1 1
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
二项式系数与杨辉三角
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
这个表叫做二项
式系数表,也称
“杨辉三角”
1
3
6
10
15
1
4 1
10 5
20 15
1
6
1
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
杨
辉
在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡
+1
2
与
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
10
5
1
…
…
…
…
…
…
…
…
； 1 C1 C 2 … C r … C n 2

1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质

如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的
第 0行第 1行第 2行第 3行第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 ① f (1) a0 a1a2 a3 a7 ②
总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解. 2 3 4 练习（ : 1 x x x ）的展开式中奇次项
系数和是 ______
k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质（2）增减性与最大值由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
m n m n 1
m 1 n
例题分析: 例1．证明：（1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 0 1 2 r n 的和 Cn Cn Cn Cn Cn 2n
令a=b=1，则 2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(共28张)

图象的对称轴： r n 2
第9页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
①若n为偶数
中间一项（第
n 2
1
项）的二项式系数取得
最大值；即C
n 2
最大
。
n
n 当r≤ 2 时， Cnr单调递增；
当r≥
n 2
时，
C
r n
单调递减；
第10页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
类型 ( l èi x ín g ) 一：二项式系数性质的应用
例2 、(
x
1 )n x
的展开式中第8项是常数，
则展开式中系数最大的项是（）
A、第8项
B、第9项
C、第8项或第9项 D、第11项或第12项
第16页，共28页。
练习： (liànxí)
已知 (3 x2 3x2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
第6页，共28页。
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1
②从第二行起，每行除1以外的每一个(yī ɡè)数都等于它肩上的两个数的和
C30C31C32C33