高等数学第20讲_
高等数学第20课直角坐标系下二重积分的计算38
20直角坐标系下二重积分的计算第课课题直角坐标系下二重积分的计算课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握先对y、后对x的二次积分的计算方法；（2）掌握先对x、后对y的二次积分的计算方法；（3）掌握特殊情形下二重积分的计算方法思政育人目标：通过讲解直角坐标系下二重积分的计算，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：先对y、后对x的二次积分，先对x、后对y的二次积分的计算方法教学难点：特殊情形下二重积分的计算方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】讲解先对y、后对x的二次积分的计算，并通过例题讲解其应用如图11-2所示，如果区域D由直线x a x b==，与连续曲线12()()y x y xϕϕ==，围成，则称D为X-型区域，即12{()|()()}D x y a x b x y xϕϕ=，，．学习先对y、后对x的二次积分的计算，先对x、后对y的二次积分的计算。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课直角坐标系下二重积分的计算202图11-2按照二重积分的几何意义，二重积分()dDf x yσ⎰⎰，是以D为底，以曲面()z f x y=，为顶的曲顶柱体体积．下面来计算这个曲顶柱体的体积．如图11-3所示，在区间[]a b，上任意取定一点x，用平面0x x=去截曲顶柱体．设截面面积为()A x，则曲顶柱体的体积为()dbaA x x⎰，所以00()d()dbaDf x y A x xσ=⎰⎰⎰，．图11-3由图11-3可知，()A x是一个曲边梯形的面积．对于固定的x，此曲边梯形的曲边是由方程()z f x y=，确定的y的一元函数曲线，而底边沿着y轴方向从10()xϕ变到20()xϕ．因此，由曲边梯形的面积公式得2010()00()()()dxxA x f x y yϕϕ=⎰，．一般地，过区间[]a b，上任一点x，且平行于面yOz的平面，截曲顶柱体所得截面的面积为20直角坐标系下二重积分的计算 第 课321()()()()d x x A x f x y y ϕϕ=⎰，，于是得曲顶柱体的体积为21()()()d [()d ]d ，b bx aax V A x x f x y y x ϕϕ==⎰⎰⎰．从而21()()()d [()d ]d ，，bx ax Df x y f x y y x ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰．上式右端的积分称为先对y 、后对x 的二次积分（或累次积分），通常写成21()()()d d ()d bx ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰，，，于是，二重积分的计算就化成了计算两次定积分．第一次计算单积分21()()()()d x x A x f x y yϕϕ=⎰，时，把x 看成常量，y 是积分变量；第二次积分时，x 是积分变量．例1 计算下列二重积分：（1）22()d Dx y σ-⎰⎰，其中{()|0π0sin }D x y x y x =，，；（2）(1)sin d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是以(00)(10)(12)(01)，，，，，，，为顶点的梯形闭区域．解 （1）πsin π222223001()d d ()d (sin sin )d 3x Dx y x x y y x x x x σ-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ ππ2220140sin d (1cos )d(cos )π39x x x x x =+-=-⎰⎰． （2）由题意可知{()|0101}D x y x y x =+，，，所以第课直角坐标系下二重积分的计算204111000(1)sin d d(1)sin d(1)[1cos(1)]dxDx y x x y y x x xσ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰，令1t x=+，则原式213(cos)d cos1sin1cos22sin22t t t t=-=++--⎰．⏹【学生】掌握先对y、后对x的二次积分的计算方法⏹【教师】讲解先对x、后对y的二次积分的计算，并通过例题讲解其应用若积分区域可表示为12{()|()()}D x y y x y c y dψψ=，，，其中，12()()y yψψ，在区间[]c d，上连续，则称D为Y-型区域，如图11-4所示．与上节类似，如图11-5所示，用平行于坐标平面xOz的平面去截以区域D为底、以曲面()z f x y=，为顶的曲顶柱体，则可以得到21()()()d d()dd yc yDf x y y f x y xψψσ=⎰⎰⎰⎰，，，即将二重积分化为先对x、后对y的二次积分．图11-420直角坐标系下二重积分的计算 第 课5图11-5例 2 将二重积分()d Df x y σ⎰⎰，化为二次积分，其中积分区域D 是由抛物线2y x =与直线y x =所围成的闭区域．解 抛物线与直线的交点为(00)(11)，，，，画出积分区域D ，如图11-6所示，它可表示为2{()|01}D x y x x yx =，，，于是21()d d ()d xxDf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰，，；D 也可表示为{()|01}D x y y xy y =，，，于是1()d d ()d y yDf x y y f x y x σ=⎰⎰⎰⎰，，．图11-6⏹ 【学生】掌握先对x 、后对y 的二次积分的计算方法 课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第课直角坐标系下二重积分的计算206⏹【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解特殊情形下二重积分的计算方法，并通过例题介绍其应用（1）若区域D是一个矩形，即{()|}D x y a x b c y d=，，，则()d d()d d()db d d ba c c aDf x y x f x y y y f x y xσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，．（2）若区域D是一个三角形区域，二重积分()dDf x yσ⎰⎰，的计算见例3．例 3 计算二重积分dDxyσ⎰⎰，其中D是由直线12y x y x===，，所围成的闭区域．解法一求得三条直线的交点分别为(21)(11)(22)，，，，，，若把D看成X-型区域，则{()|121}D x y x y x=，，，于是2 2222342111111111119d d d d d222848xxDxy x xy y xy x x x x x x σ⎡⎤⎛⎫⎡⎤===-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰．解法二求得三条直线的交点分别为(21)(11)(22)，，，，，，若把区域D看成Y-型区域，则{()|212}D x y y x y=，，，于是222222232411111119d d d d2d2288yyDxy y xy x x y y y y y y yσ⎡⎤⎛⎫⎡⎤===-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）若函数12()()()f x y f x f y=，可积，且区域{()|}D x y a x b c y d=，，，则()()12()d()d()db da cDf x y f x x f y yσ=⎰⎰⎰⎰，．例4计算二重积分e sin dxDyσ⎰⎰，其中D是由学习特殊情形下二重积分的计算方法。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
高等数学知识点归纳
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
5
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
x0
x
x0 x
(2)左右导:
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
考研数学第20讲
第20讲第20讲. 论证不能想当然微积分的基本概念“连续”，“可导”，都是逐点定义的，微局部意义的。
一元微分学讨论问题最讲究条件分析，目的在于夯实基础。
定义是最基本的游戏规则。
要揣测摩其微局部意义，尽可能深入理解定义，按定义思考，用定义推理。
切记不能想当然。
较简单而又较深刻的一个题目含于第9讲例46，值得重复一下.问题1 下两命题”谁是谁非？（A）函数f（x）在任意区间（0，b）连续，则f（x）在（0，+∞）连续。
（B）函数f（x）在任意区间（0，b）有界，则f（x）在（0，+∞）有界。
分析连续是逐点定义的。
“每点连续，区间连续。
区间连续则逐点连续。
”要证f（x）在（0，+∞）连续，必须且只需证明，在其内任取一点，f（x）连续。
在（0，+∞）内任取一点x 0 ，它必在某个区间（0，b）内。
（A）对。
“有界”的背景是区间。
不是微局部意义的概念。
虽然函数f（x）在任意区间（0，b）有界，但对于不同的b，相应的“界”可以不同。
显然，随着b的增大，“界”可能会越来越大。
（决不会减小。
）“问题连无穷，主动想极限。
”这就生成一个新的数列极限问题。
有可能没有极限，是无穷大。
例 199已知函数f（x）在x≥b 时连续，且当 x → +∞ 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界。
分析用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣≤ C大家只学过，“闭区间上连续的函数一定有界。
”随便选一个充分大的数x 0，函数在有限（长）的 [b，x 0]上有界。
在那无穷的尾巴上，怎么估计函数的绝对值呢？已知条件表明，需要从数值上体念极限。
（高级动作！）x → +∞ 时函数有极限A ，即x → +∞ 时，函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。
这就是说，我们可以取到充分大的数x 0 ，使x＞x 0 时，恒有∣f（x）∣≤∣A∣ + 1 （潜台词：没什么理论！只需捉摸，体验“无限靠近”。
）在闭区间 [b，x 0] 上函数有最大值M，最小值m ，三个正数，∣A∣ + 1，∣M∣，∣m∣中，最大的那个就是我们需要的C（画外音：啊，我们“构造”出了函数的一个上界。
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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲 等差数列初步
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -“数列”就是一列数，也就是一些数排成一列．“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等．特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，…和1，0，1，0，1，0，…的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况．在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，……依此类推． 我们把等差数列第1项称为首项，最后1项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的的差则被称为公差．在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系．请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？ 第5项比第2项大几个公差呢？ 第7项比第1项大几个公差呢？ 第17项比第9项大几个公差呢？在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔m n -个公差．首项 第2项 第3项 第4项 第5项 +公差+公差+公差+公差+公差末项…… 第二十讲 等差数列初步如下图所示：更重要的是，首项其实就是第1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于()1-项数．由此，我们就知道末项减去首项等于()1-项数个公差的和，因此()1=+-⨯末项首项项数公差由此可以得到等差数列的通项公式：()1=+-⨯末项首项项数公差同时我们还可以得到以下这些公式：()1=--⨯首项末项项数公差 ()()1=-÷-公差末项首项项数 ()1=-÷+项数末项首项公差在运用这些公式时，有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数．抓住这个关键点，很多问题便能迎刃而解．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1（1）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？练习1一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？…第m 项… …第n 项…第1项末项相隔m n -个公差练习2一个等差数列共有12项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？相当于几个公差？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？练习4已知等差数列2、9、16、23、30，……那么709是其中的第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？例题6下面的各算式是按规律排列的：11，23，35，17，29，311，113，215，317，……请写出其中所有结果为98的算式．分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？课堂内外高斯生平高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称．18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法．通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果．在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）．其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用．高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上．高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉．1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克（Braunschweig）学院．在那里，高斯开始对高等数学作研究．独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理（prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)．1795年高斯进入哥廷根大学．1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世．作业1.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是几？2.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是几？3.一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为几？第20项为几？4.一个等差数列的第5项为47，第15项为87，这个等差数列的公差等于几？63是第几项？5.如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……．按照这个规律，第19层有多少块砖？第二十讲 等差数列初步1. 例题1答案：（1）57；（2）9 详解：如下图：2. 例题2 答案：（1）62；（2）188 详解：如下图：3. 例题3答案：（1）6；（2）9 详解：如下：4. 例题4答案：（1）12；（2）13 详解：如下：5. 例题5答案：21；389；15 详解：如下图：总差：93588-= 公差数：88811÷= 项数：11112+= 总差：1305080-= 公差数：80810÷= 项数：101213++=总差：61754-=公差数：1019-=（个） 公差：5496÷= 总差：61754-=公差数：1046-=（个） 公差：5469÷=_62_，……， 125 ① ⑩_188_，……， 125 ① ⑩差1019-=（个）公差9763⨯= 12563188+=差1019-=（个）公差9763⨯= 1256362-= 33， 35， 37，……，_57_ ① ○13差13112-=个公差12224⨯=332457+=33， 31， 29，……，_9_ ① ○13差13112-=（个）公差12224⨯=33249-=6. 例题6答案：197+；395+详解：可能是1___98+=，2___98+=，3___98+=，则等差数列中可能是97、96、95，排除96，若为95，应是等差数列1、3、5……中的第48项，对应的周期数列1、2、3、1、2、3、……第48个数为3，395+等于98，所以这个算式395+．若为97，也满足，是197+． 7. 练习1答案：30简答：如下图：8. 练习2答案：100简答：如下图：9. 练习3 答案：6简答：如下：10. 练习4答案：102简答：项数=()709271102-÷+=． 11. 作业1答案：57总差：912566-=公差数：16511-=（个） 公差：66116÷= __， ……， 56 ① ○12差12111-=（个）公差11444⨯=5644100+=21， 22， 23，……，_30_ ① ○21 差1019-=（个）公差919⨯= 21930+=第1项到第10项：1019-=（个）公差 总差：20011189-= 公差：189921÷=总差：30511294-= 公差数：2942114÷=（个） 14115+=（个）200 ，……， ____ ⑩ ○19 差19109-=（个）公差921189⨯= 200189389+=简答：公差为2，首项与末项相差1019-=个公差，首项为759257-⨯=． 12.作业2 答案：93简答：首项与末项相差1019-=个公差，首项为759293+⨯=． 13.作业3答案：2；51简答：第9项与首项相差918-=个公差，公差为(2913)82-÷=．第20项为13(201)251+-⨯=． 14.作业4答案：4，9简答：第15项与第5项相差10个公差，公差为(8747)104-÷=．(6347)44-÷=，63与第5项差4个公差，所以是第9项． 15.作业5 答案：73简答：每层的砖数构成一个等差数列，首项是1，公差是4．第19项为118473+⨯=．。
高等数学讲义及答案
专题二 导数与微分........................................................................................ 11
一、导数................................................................................................................................. 11 1、函数在一点的导数.................................................................................................... 11 2、导函数........................................................................................................................ 12 3、高阶导数.................................................................................................................... 13 4、可导与连续................................................................................................................ 13
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
高等数学教材辅导讲义
高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。
微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
高等数学 -多元函数的极值及其求法
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方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y x , 故有 dx y
23
例5：某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售
广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用
x 万元, 报纸广告费用 y 万元, 之间的关系公式：
R 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2
1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。
2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略
x y 1.5
x 0
y
1.5
即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
32
例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本
不同，第一个工厂生产 x 件产品和第二个工厂生产 y
件产品时的总成本是; Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总
解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润
函数 Lx, y 最大。由题意可知： Lx, y 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2 x y
15 13x 31y 8x y 2 x2 10y2
Lx 13 8 y 4 x 0 Ly 31 8 x 20 y 0
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10
《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程
一、单项选择题
1．以 y c1e2x c2e3x 为通解的二阶线性常
系数齐次微分方程为
()
A． y y 6 y 0
B． y y 6 y 0
C． y y 6 y 0
D． y y 6 y 0
解： r1 2, r2 3
r 2r 3 0, r2 r 6 0.
y0 1, 1 9 2c2 , c2 4 特解: y e3x 3cos 2x 4 sin 2x
16．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程
的根为 r1,2 1 2i ,求此微分方程.
解：(1)特征方程:
r 1 2ir 1 2i 0 r 12 2i2 0 , r 12 4i2 0
11． y 2 y 2 y ex 2x 的待定特解 y 解：(1) r2 2r 2 0
r1,2
2
48 2
1 i
r1,2 10
100 4 34 2
5 6 i 5 3i 2
通解 y e5x Acos 3x B sin 3x
9． y 6 y 9 y xe3x 的待定特解 y 解：(1) r2 6r 9 0 .
Ax3 Bx2 Cx y 3Ax2 2Bx c1 y 6Ax 2B 代入原方程:
i2 1 , r2 2r 1 4 0
r2 2r 5 0 (2)微分方程: y 2 y 5y 0
17．求 y 3y 9x2 的通解. 解：(1) r2 3r 0 ， r1 3, r2 0
y x c1 c2e3x
(2) 0 是特征单根.
y x Ax2 Bx C
A． Ax2 Bx c B． x Ax2 Bx c
C． Ax2 B
D． x Ax2 B
高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲等差数列初步
o6 <依此类推 而相邻两项称为末项 首项 第5项 第17项比第9项大几个公差呢?第5项比第2项大几个公差呢?第7项比第1项大几个公差呢?在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即 最后1 liii 儿秋中北五事少离捱事少囁 j 蚤少載睛第少腿宪？ /在上图中，你能看出第 3项比第1项大几个公差吗?项的的差则被称为公差首项、末项、项数和公差）之间的关系•请看下图 第二十讲等差数列初步大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况在等差数列中，称第1个数为第1项，第一只Ittt-张瞬’两只眼睛四条腿卜 晋貝高吐两张嘴，四只駁睛八奈腿； 三只有吐三张HL 亢只眼睛十二衆胪 四只片魁四张喷，八貝臥隔I 人象亚2个数为第2项，第3个数为第3项 别要注意的是，类似于 1 , 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1,…和1, 0, 1 , 0, 1, 0,…的数列，虽然相邻两 个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列， 因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项 数列中所有数的个数称为 项数 在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔n m 个公差我们把等差数列第1项称为首项公差 末项 公差公差 公差 公差 第2项 第3项 第4项一 数列”就是一列数，也就是一些数排成一列.“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等. 特就等于 项数1 •由此，我们就知道末项减去首项等于 项数1个公差的和，因此 末项首项 项数1 公差 由此可以得到等差数列的通项公式：末项首项 项数1 公差 同时我们还可以得到以下这些公式：首项 末项 项数 1公差公差 末项 首项项数1 项数 末项 首项 公差1在运用这些公式时， 有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数.抓住这个关键点，很多 问题便能迎刃而解.例题1(1) 一个等差数列共有 13项•每一项都比它的前一项大 2，并且首项为33,那么末项是多少？(2) 一个等差数列共有 13项•每一项都比它的前一项小 2，并且首项为33,那么末项是多少？ 分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？练习1一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大 例题2分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢?更重要的是，首项其实就是第 1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数1,并且首项为21,那么末项是多少?(1) 一个等差数列共有 10项•每一项都比它的前一项大7,并且末项为 125,那么首项是多少? (2) —个等差数列共有 10项•每一项都比它的前一项小 7,并且末项为 125,那么首项是多少?一个等差数列共有12项•每一项都比它的前一项小4,并且末项为56,那么首项是多少? 例题3（1）一个等差数列首项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少？（2）—个等差数列第4项为7,第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？相当于几个公差？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91,那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5,末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50,末项为130,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项？分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？练习4已知等差数列2、9、16、23、30,……那么709是其中的第几项？例题5一个等差数列的首项为11,第10项为200,这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+ 1 , 2+ 3 , 3+ 5 , 1+ 7 , 2+ 9 , 3+ 11 , 1+ 13 , 2+ 15 ,3+ 17 ,……请写出其中所有结果为98的算式.分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？咼斯生平高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世•高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家•高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称.18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法•通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果•在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线) •其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布)，并在概率计算中大量使用.高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上.高斯(Johann Carl Friedrich Gauss) (1777 年4 月30 日- 1855年2 月23 日),生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家•高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉.1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克(Braunschweig )学院.在那里，高斯开始对高等数学作研究.独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互反律” (Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理 (prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean).1795年高斯进入哥廷根大学.1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世.作业一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项小2,并且末项为75,那么首项是几?1. 一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大2,并且末项为75,那么首项是几?3. 一个等差数列首项为13,第9项为29,这个等差数列的公差为几？第20项为几?4. 一个等差数列的第5项为47,第15项为87,这个等差数列的公差等于几？63是第几项?1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9 5. 如图所示，有一堆按规律摆放的砖•从上往下数，第（块砖，…….按照这个规律，第19层有多少块砖?188_ ,……, 125 差10 1 9 （个）公差 9 7 63 125 63 188 3. 例题3 答案：（1） 6; （2） 9 详解：如下：4. 例题4答案：（1） 12 ; （2） 13详解：如下： 总差： 93 5 88总差： 130 50 80 公差数: :88 8 11公差数: :80 8 10 项数： 11 1 12项数： 10 1 2 13 5. 例题5答案：21; 389; 15详解：如下图：详解：如下图:第二十讲等差数列初步33 , 35 ,37 ,①33, 31, 29, ① 差13 1 12个公差12 2 2433 24 57差13 1 12 （个）公差 12 2 24 33 24 9 _62_,… •…, 125① ⑩差10 1 9 （个）公差9 7 63总差：61 7 54总差：61 7 54 公差数：10 1 9 （个）公差数：10 4 6 （个） 公差：54 9 6公差：54 6 9 2.例题2答案：（1） 62 ； （2） 188详解：如下图：125 63 62第二十讲 等差数列初步 1. 例题 1答案： （1）57；（2）9详解： 如下图：33, 35, 37, …… , _57_ 33, 31, 29,… … , _9_① ①3. 例题 3答案：（ 1 ）6；（ 2） 9 详解：如下：4. 例题 4 答案：（1）12；（2）13 详解：如下：总差： 93 5 88 总差： 130 50 80公差数 ： 88 8 11 公差数 ： 80 8 10项数： 11 1 12 项数： 10 1 2 135. 例题 5答案： 21；389；15详解：如下图：差13 1 12个公差 12 2 24 33 24 57 2. 例题 2 答案：（1）62；（2）188详解：如下图：_62_, …… , 125①⑩ 差10 1 9（个）公差9 7 63 125 63 62 差13 1 12（个）公差 12 2 2433 24 9188_, …… , 125①⑩差10 1 9（个）公差 9 7 63125 63 188总差： 61 7 54 总差： 61 7 54公差数： 10 1 9 （个） 公差数： 10 4 6 （个） 公差： 54 9 6 公差： 54 6 9第二十讲 等差数列初步 1. 例题 1答案： ( 1 ) 57 ；( 2) 9 详解： 如下图： 33, 35, 37, …… , _57_33, 31, 29,… … , _9_ ①① 3. 例题 3答案：(1) 6；(2) 9 详解：如下：4. 例题 4答案：(1) 12；(2) 13 详解：如下：总差： 93 5 88 总差： 130 50 80 公差数 ： 88 8 11 公差数 ： 80 8 10 项数： 11 1 12 项数： 10 1 2 13 5. 例题 5答案： 21；389；15 差 13 1 12 个公差 12 2 2433 24 572. 例题 2答案：(1) 62；(2) 188 详解：如下图：_62_,……,125①⑩差10 1 9(个)公差 9 7 63125 63 62差13 1 12(个)公差 12 2 24 33 24 9 188_, …… , 125 ①⑩ 差10 1 9(个)公差 9 7 63 125 63 188 总差： 61 7 54 总差： 61 7 54 公差数： 10 1 9 (个) 公差数： 10 4 6 (个) 公差： 54 9 6 公差： 54 6 9详解：如下图：。
高等数学-函数
用以表示函数关系，称为表格法.
解析法 自变量和因变量之间的关系用数学表达式表
示，这种表示函数的方法称为解析法（也叫公式法）.
16
03 函数的表示方法
注
用解析法表示函数，不一定总是用一个式子表示，
也可以分段用几个式子来表示一个函数.
分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则
上式称为函数 = ()的反函数.习惯上写为 = −1 ().
注 反函数的定义域等于直接函数的值域，反函数的值域
等于直接函数的定义域.
32
05 反函数
定理1.1
如果直接函数 = ()， ∈ 是
y = x , x∈[0, +
y
2
1
)
y = x , x∈[0, + )
的奇偶性.
解 因为 ∈ (−∞， + ∞)，且 (−) = ( − + 2 + 1)
=
(− + 2 + 1)( + 2 + 1)
+
2
+1
=
1
+ 2 + 1
= ( + 2 + 1)−1 = − ( + 2 + 1) = −()，
周期.
30
01 预备知识
02 函数的定义
本节内容
03 函数的表示方法
04 函数的几种特性
05 反函数
06 初等函数
07 建立函数关系举例
31
05 反函数
定义1.4 设函数 = ()的定义域为 ，值域为 .如
高等数学一元函数积分学
（四） 分部积分法
分析：(uv) uv uv
uv uv uv
uvdx (uv)dx uvdx
udv uv vdu 分部积分公式： udv uv vdu
例 7：求 x cos xdx
解：设u x,dv cos xdx d(sin x),v sin x
原式= xd(sin x) x sin x sin xdx
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
考试点津：
• 本讲出题在10分—18分之间，考点不多， 一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
2
a2
例 5：求 dx
x2 a2
(a 0)
解：设x a tan t
t
22
原式=
a sec2 t
a sect dt sectdt ln(sect tan t) C
由 x a tan t,得 tan t x ,sect x2 a2
a
a
所以
原式=ln
x2 a2 x a a C
例：计算
e
ex x
1
dx
2008年解答、8分
解：原式=
e
1 x
1
(ex
)dx
e
1 x
1
d
(e
x
)
1 ex 1
d(ex
1)
u ex 1 1 du ln u C ln ex 1 C
u
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第二十讲高阶导数
高阶导数的定义
1. 高阶导数的定义
在变速直线运动中，不但需要了解物体运动的速度v （t ）=ds dt
，有时还需要了解速度的变化，即物体运动的加速度，从变化率的角度看，就是速度关于时间的变化率，即a （t ）=dv dt =()d ds dt dt
.这就是说，对一个可导函数求导之后，还需研究其导函数的导函数。
定义2 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍是x 的可导函数时，则称y '=f '(x )的导数为做函数y =f (x )的二阶导数, 记作
y ''， f ''(x ) 或
22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dx dy dx d dx y d =.或22()()()d f x d df x dx dx dx
= 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n
n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.
y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义，当质点作变速直线运动时，位移函数s=s （t ）的一阶导数,()s t 是瞬时速度v （t ）对时间t 的变化率，等于,()v t ，即位移函数s （t ）的二阶导数,,()s t 为变速直线运动的加速度a(t).
2. 高阶导数的运算
由高阶导数的定义可知，求函数的高阶导数只要连续运用求导的方法逐次求导即可，无须建立新的运算法则.
例1．y =ax +b , 求y ''.
解: y '=a , y ''=0.
例2．s =sin ω t , 求s ''.
解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .
例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.
证明: 因为2
2212222x x x x x x y --=--=',
22222222)
1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.
例4．求函数y =e x 的n 阶导数.
解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,
一般地, 可得
y ( n )=e x ,
即 (e x )(n )=e x .
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.
解: y =sin x ,
)2
s i n (c o s π+=='x x y , )2
2s i n ()2 2 s i n ()2 c o s (ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )2
3s i n ()2 2 2s i n ()2 2c o s (ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )2
4sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得
)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2
sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π⋅+=n x x n . 例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数
解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,
y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,
一般地, 可得
y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n
n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 n
n n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.
解: y '=μx μ-1,
y ''=μ(μ-1)x μ-2,
y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,
y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,
一般地, 可得
y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,
即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .
当μ=n 时, 得到
(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .
而 (x n )( n +1)=0 .
如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处
具有n 阶导数, 且
(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .
(uv )'=u 'v +uv '
(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',
(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明
∑=-=n
k k k n k n
n v u C uv 0)()()()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.
例8．y =x 2e 2x , 求y (20).
解: 设u =e 2x , v =x 2, 则
(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),
v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20), 代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v '' =220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).。