第三章_LSI系统的时域分析和信号卷积

4. 对所有的你重复上述2-4
的步骤。
1 a n 1 , n0 y ( n) 1 a 0, n 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
y(n)
…
0
1
n
2. LSI系统的卷积及性质
习题：假定 x(t) 和 h(t) 均为矩形脉冲信号，试求 y(t)= x(t)*h(t)
一个信号 y(t) 或 y(n) 的相关运算，可以让该信号通过单位冲激
响应为 y(-t) 或 y(-n)的 LSI 系统来实现。 匹配滤波器：
x(t) 匹配滤波器 h(t)=x(-t) 或 h(n)=x(-n) rx(t) 判 决 器 结果
或 x ( n)
3. 卷积的收敛和周期卷积
卷积收敛条件： 如果参与卷积运算的两个信号或序列分别是模可积或模可和 的，则它们的卷积积分与卷积和必定收敛。
电器信息工程学院 蔡超峰
引言
如果某个 LSI 系统对离散时间信号 ϕ(n) 的响应为 φ(n)，则基于 时不变性有：
(n k ) (n k )
LSI
再根据 LSI 系统的线性性质，系统对输入
x(n) ak (n k )
k
的响应为：
y(n) ak (n k )
涉及单位冲激的卷积
x(t ) (t ) (t ) x(t ) x(t ) x(n) (n) (n) x(n) x(n)
这就表明任何信号和序列与单位冲激卷积，将分别等于原信号
和原序列。此外，任何信号和序列都可以用单位冲激激励一个
LSI系统来获得，只要该系统的单位冲激响应是所需信号本身。
y (t ) x(t ) h(t )
y (t )



x( )h(t )d


x( ) d h(t ) d


如果参与卷积运算的两个信号或序列中一个是有界的，而另
外一个满足模可积或模可和，则它们的卷积积分与卷积和必定
收敛。
y(n) x(n) h(n)
x ( n)
k
x(k ) (n k )

假设 x(n) 是某离散 LSI 系统的一个输入信号，y(n) 是相应的输 出信号。
2. LSI系统的卷积及性质
假设该 LSI 系统的单位冲激响应为 h(n)，根据系统的时不变性 有： 再根据叠加性质有：
k
( n k ) h( n k )
k
连续情况下与此类似。
引言
如果能够找到一类基本信号 ϕ(t) 或 ϕ(n)，它满足： 用它们能构成相当广泛的信号； LSI系统对每个 ϕ(t) 或 ϕ(n) 的响应十分简单。 则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。 单位冲激信号 δ(t) 或 δ(n)、复正弦信号 ejΩt 或 ejωt、复指数信号 est 和 zn 同时具有上述两个性质。 如果 ϕ(n) 为单位冲激信号，即为时域分析方法。
rxy (n) x(n) y(n)
rx (n) x(n) x(n)
如果限于实信号和实序列，则有：
rxy (t ) x(t ) y(t )
rx (t ) x(t ) x(t )
对于实信号和实序列的自相关函数，则有： 卷积与相关之间的这种关系表明，一个信号 x(t)、 x(n) 与另外
如果 φ (n) 为复正弦信号和复指数信号，即为变换域分析方法。
第三章 LSI 系统的时域分析和信号卷积
1. 单位冲激响应
2.
3. 4.
LSI 系统的卷积及性质
卷积的收敛和周期卷积 单位冲激响应与 LSI 系统的特性之间的关系
1. 单位冲激响应
系统对冲激信号 δ(t)、δ(n) 的响应 h(t)、h(n)称为单位冲激响应。
这一性质表明，若干个 LSI 系统的并联系统仍是 LSI 系统，它 的单位冲激响应是各个并联的 LSI 系统单位冲激响应的代数和。 时移性质 若有 x(t ) h(t ) y(t ) ，则
x(t t0 ) h(t ) x(t ) h(t t0 ) y(t t0 )
a n , n 0 h( n) 0, n 0
此类系统称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response, IIR）系统。
1. 单位冲激响应
习题2：求系统
y ( n) b( k ) x ( n k )
k 0 2
的单位冲激响应。其中 b(0)、b(1) 、b(2) 为常数。
这一性质表明，一方面，若干个 LSI 系统级联的系统仍是一个
LSI 系统，总系统的单位单位冲激响应等于级联的所有 LSI 系 统的单位冲激响应的逐次卷积。另一方面，任意改变 LSI 系统
级联的先后次序是无关紧要的。
2. LSI系统的卷积及性质
分配律
x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
LSI
x(k ) (n k ) x(k )h(n k )
k

LSI

离散时间LSI系统的输入输出信号变换关系表现为一个无限求 和，称为卷积和：
y(n)
连续情况下：
k
x(k )h(n k ) x(n) h(n)


y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d
t T / 2 t T / 2 d u (t T ) d u (t ) T / 2 T / 2 t T / 2 t T / 2 d u ( t ) T / 2 T / 2 d u (t T ) (t T )u (t T ) 2tu (t ) (t T )u (t T )
卷积与相关的关系 相关函数：
rxy (t ) x( ) y ( t )d
*
卷积：
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d



rxy (m)
n
x(n) y (n m)
*
x ( n ) y ( n)
k
解答： 由定义，将 x(n) 换成 δ(n)
h(n) b(0) (n) b(1) (n 1) b(2) (n 2)
所以
b(0), b(1), h( n) b(2), 0, n0 n 1 n2 Otherwise
此类系统称为有限冲激响应（Finite Impulse Response, FIR）系统。
1 -T/2 0 T/2 t
解答：不难写出
x(t ) h(t ) u(t T / 2) u(t T / 2)
2. LSI系统的卷积及性质
则有：
y (t ) x( )h(t )d

[u ( T / 2) u ( T / 2)][u (t T / 2 ) u (t T / 2 )]d

u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d


u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d
2. LSI系统的卷积及性质
上述结果表明，无论是连续还是离散 LSI 系统，只要知道该系 统的单位冲激响应 h(t) 和 h(n)，则它们分别对任意输入 x(t) 和 x(n)的响应 y(t) 和 y(n) ，就可以分别用两个信号 x(t) 与 h(t) 的卷 积极分和 x(n)与 h(n) 卷积和直接计算出来。
2. LSI系统的卷积及性质
卷积积分的微分与积分性质：
d d d [ x(t ) h(t )] x(t ) [ h(t )] [ x(t )] h(t ) dt dt dt

t

[ x( ) h( )]d x(t ) [ h( )d ] [ x( )d ] h(t )
x(n) B

n
h( n )
k

y(n)
k
h(k ) x(n k ) h(k ) x(n k ) B h(k )
2. LSI系统的卷积及性质
用时移单位冲激信号的线性组合表示离散信号：
x(n) x(3) (n 3) xห้องสมุดไป่ตู้2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2） x(3) (n 3)
1. 将 x(n) 和 h(n) 的自变量 换成 k;
h(k)
-1
1 0 1 -1 0 1 2 1 2
…
k
x(k)
…
k
2. 将 h(k) 翻转并右移 n 得
到h(n-k)； 3. 将 x(k) 和 h(n-k) 相乘得
…
n
1
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
h(n-k), n≥0
计算步骤：
3. 求和; n<0时，
y ( n) 0
h(k)
-1
1 0 1 -1 0 1 2 1 2
…
k
x(k)
…
k
…
n
k
1
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
n≥0时， n
1 a n1 y(n) a 1 a k 0
h(n-k), n≥0
…
2. LSI系统的卷积及性质
卷积的计算方法：
图解法 解析法
习题：已知某离散时间LSI系统的输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)
分别为
x(n) a nu (n), 0 a 1 h(n) u (n)
求系统输出 y(n)，并画出它的序列图形。
2. LSI系统的卷积及性质
计算步骤：


-T
0
T
t
2. LSI系统的卷积及性质
卷积的性质（只给出连续情况，离散情况下类似）： 交换律：
x(t ) h(t ) h(t ) x(t )
这一性质表明，参与卷积运算的两个函数或序列的作用可以相 互替代。 结合律：
[ x(t ) h1 (t )] h2 (t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )]
习题1：求系统
y(n) ay(n 1) x(n)
的单位冲激响应，其中 a 为常数，初始条件为 h(−1) = 0。
解答： 由定义及初始条件可知:
h(n) ah(n 1) (n) h(0) 0 (0) 1 h(1) ah(0) 0 a h(2) ah(1) 0 a 2 h( n) a n
x( k ) y ( n k )
从上述公式可以看出，卷积与相关函数非常类似：这两种运算 过程都包含时移、相乘和无限积分（或求和）三个步骤；只有
一个差别，即卷积运算要对第二个信号先进行翻转然后再时移，
而相关运算无此步骤。
2. LSI系统的卷积及性质
卷积与相关存在如下关系：
rxy (t ) x(t ) y* (t ) rxy (n) x(n) y* (n)
…
到被求和序列 x(k)h(n-k)
n<0时，
x ( k ) h( n k ) 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
n≥0时，
a k , 0 k n x ( k ) h( n k ) 0, k 0, k n
y(n)
…
0
1
n
2. LSI系统的卷积及性质

t
t
卷积和的差分与累加性质：
[ x(n) h(n)] x(n) [h(n)] [x(n)] h(n)
n n n
k
[ x(n) h(n)] x(n) [ h(n)] [ x(n)] h(n)
k k
2. LSI系统的卷积及性质