数列构造方法在否定命题中的应用1

艿２一ｍｉｎ｛÷，艿’），ｊ ｚ２，Ｙ２∈Ｕ’（ｚｏ，占２），Ｉｆ（ｚ２）一ｆ（ｙ２）Ｉ≥￡ｏ．
允一ｒａｉｎ｛竹１－－，艿’｝，ｊ。一，ｙ—ＥＵ’（ｚ。，炙），Ｉｆ（ｘ一）－－ｆ（ｙ－）ｌ≥ｃ０·
所以数列｛ｚ。），｛Ｙ。）和￡。＞０，满足ｌｉｍ ｚ。一。ｏ，ｌｉｒａ Ｙ。＝ｚｏ，Ｉ厂（ｚ．）一ｆ（弘）Ｉ≥￡ｏ．
艿ｚ—ｍｉｎ｛丢，６一以｝，ｊ。＇２ ｏｙ２∈（，－（儿艿ｚ），ｌｆ：，（ｚ）ｄｚＩ≥ｅ。；
艿。一ｍｉｎ（告·６一ｎ），ｊ ｚ。。ｙ。∈己＿（日．允），ｌ丘厂（ｚ）ｄｚｌ≥‰
ｒ’
所以数列｛ｚ。｝，｛弘），满足ｌｉｍ ｚ。一ｄ，ｌｉｍ Ｙ。一以，ＪＪ”ｆ（ｘ）ｄｘ Ｉ≥‰．
“一十∞
Ｈ一十‘”
Ｊ１“
再证充分性．若数列｛ｚ。），｛弘）｛ｚ。。Ｙ。＞日）和￡。＞０，满足ｌｉｍ ｚ。一ａ，ｌｉｒａ Ｙ。一ａ，¨”ｆ（ｘ）ｄｘ ｌ≥ｅ。，则
２ ｅ。，因而无
穷积分Ｉ ｆ（ｘ）ｄｘ发散．
对于其它情形的无穷积分和瑕积分也有类似的结论．我们直接写出瑕积分发散的充要条件． 定理９ （瑕积分发散的充要条件）设厂为定义在区间（口，６］上的函数，ａ是瑕点，且厂在任何子区间
…∞■… ＆，６］上可积．瑕积分ｌ厂（ｘ）ｄｘ发散的充要条件是：存在数列（ｚ。），｛弘）和￡。＞０，满足ｌｉｒａｚ．一ａ，｜ｉｍ弘一 Ｊｄ
允一ｍｉｎ｛寺，占’），］ｚ２，ｙ２∈Ｉ，ｌｚ２一ｙ２ ｌ＜赴，Ｉ，（ｚ２）一，（ｙ２）Ｉ≥ｅｏ，
艿。一ｍｉｎ｛音，∥），ｊ ｚ．，Ｙ．∈Ｊ·Ｉｘ．一弘Ｉ＜文，Ｉｆ（ｘ。）一ｆ（Ｙ．）Ｉ≥ｅ。；
所以ｌｉｍ（ｚ。一弘）＝０，Ｉ厂（ｚ．）一ｆ（弘）Ｉ≥￡０． 再证充分性．若存在数列｛ｚ。），｛弘）和￡。＞ｏ，满足ｌｉｍ（ｚ。一弘）＝０，且 Ｊｆ（ｘ．）一，（Ｍ）ｌ≥￡ｏ，则Ｖ艿＞
Ｈ一十∞
＾一十。。
Ｊｉ．
９Ｕ２一蛳＋。．有ｌ鹾厂（ｚ）ｄｚ 对此￡。＞。。Ｖ艿＞。，ｊⅣ∈Ⅳ＋．当”＞Ｎ时，ｚ。，弘∈ｕｌ（口，艿），取摊？一．２：Ｎ＋１
≥ｅ。，所以瑕积分ｃｆ（ｘ）ｄｘ（ｄ为瑕点）发散．
６ 其它
构造数列还可以用来说明很多其它的问题，这里我们仅举一个判断正负的例子，由于问题的特殊性。
定义２ 设，是定义在Ｄ上的函数，若Ｖ Ｍ＞０。ｊ。∈Ｄ，Ｉｆｏ）Ｉ＞Ｍ。称函数厂为Ｄ上的无界函 数，或厂在Ｄ上无界．
定理１ 设，是定义在Ｄ上的函数，厂在Ｄ上无界的充要条件是。存在Ｄ上数列｛ｚ．），使得ｌｉｍｆ（ｚ。）一 ∞．
证明 首先证明必要性．因为厂在Ｄ上无界，所以Ｖ Ｍ＞０，ｊ ｚ∈Ｄ，ｌｆｏ）Ｉ＞Ｍ，则有Ｍｌ一１．ｊ ｚ－ ∈Ｄ，Ｉｆ（ｚ１）ｌ＞Ｍ。；％一２，ｊ ｚ２∈Ｄ，Ｉｆ（ｚ２）ｌ＞％｝…；Ｍ＝挖，ｊ ｚ．∈Ｄ，Ｉｆ（ｚ。）Ｉ＞坛；．．·，这样我 们得到Ｄ上数列｛ｚ。），使得ｌｆ（ｚ。）Ｉ＞，２，因而ｌｉｍ厂（ｚ．）＝ｏｏＩ
万方数据
·２４·
渭南师范学院学报
第２０卷
再证充分性．由数列｛ｚ。｝、数列｛Ｙ。）和ｅｏ＞ｏ。满足ｌｉｒａｚ。一ｎ．．ｉｔｎ．¨一山，１．厂（ｚ。）一／’（弘）Ｉ≥氏．
，，●｝啦
，’
所以．取上述的￡＞Ｏ，Ｖ艿＞Ｏ．ｊ Ｎ∈Ｎ＋，当，ｚ＞Ｎ时有ｚ。一．ｙ，，∈，７（丑，，艿），取ｚ’，一ＸＮ“，ｚ”。一ｗ“使得ｌｆ
Ｊ‘
故存在数列＜ｚ．），｛弘）和ｅ。＞ｏ，满足ｌｉｍｚ。一＋。。，ｌｉｍｙ。一＋ｏ。，Ｉ Ｐ，（ｚ）ｄｚＩ≥ｅ。． 再证充分性．因为数列＜ｚ。），＜弘）和￡。＞ｏ，满足ｌｉｍｚ．一＋ｏ。，ｌｉｍ弘一＋ｏ。，Ｉ Ｐ厂（ｚ）ｄｘ Ｉ≥￡ｏ．
ｒｉｆ（ｚ）ｄｚＩ 所以ｖ Ｇ＞口，ｊ Ｎ∈Ⅳ＋，当咒＞Ⅳ时，ｚ。，弘＞Ｇ取“？一ｚ。＋。，“２一ｙⅣ＋。，则有Ｉ
ｆ』：；厂（ｘ）ｄｘＩ≥ｅ０．
定理８ （无穷积分发散的充要条件）设厂为定义在无穷区间［口，＋ｏｏ）上的函数，且在任何有限区间
Ｈ… ■，“］上可积．无穷积分Ｉ ｆ（ｘ）ｄｘ发散的充要条件是：存在数列｛ｚ。），｛弘）和ｅｏ＞０，满足ｌｉｒａ ｚ．一十ｏｏ， ｄ
ｌｉｍ弘一＋ｏ。，Ｉ Ｐ，（ｚ）ｄｘ Ｉ≥￡。．
证１１１１ 首先证明必要性．无穷积分ｒ。，（ｚ）ｄｚ发散，则有；
ｊ ｅ。＞。，ｖ Ｇ＞４，了“？，摊２＞Ｇ时有ｌｆ；厂（ｘ）ｄｘ Ｉ≥￡ｏ．
所以
Ｇ。一ｍａｘ＜１，口），己ｚ。，ｙ。＞Ｇ，，Ｉ ｒ１，＠）ｄｘＩ≥ｅ。；
ｄ。ｌ
Ｇ。一ｍａｘ｛２，口＞，ｊ ｚ２，ｙ：＞Ｇ：，ｌ ｒ２厂（ｚ）ｄｚｌ≥￡。；
Ｇ．一ｍａｘ｛ｎ。ｎ）。ｊ ｚ．．弘＞Ｇ。，Ｉ ｐ，（ｚ）ｄｚＩ≥￡。；
西准则类似进行．
定理３ （函数极限的柯西准则）设函数厂在点ｚ。的某个空心领域【厂‘（ｚ。，艿’）内有定义，极限ｌｉｍｆ（ｚ）
ｐ＝０
．
存在的充要条件是：Ｖ￡＞ｏ，ｊ占＞ｏ，当ｚ７，ｚ”∈Ｕ’（ｚ。，艿）时有Ｉｆ（ｚ’）一ｆ（ｚ”）ｌ＜ｃ．
定理４ （函数极限的柯西准则的否定形式）设函数厂在点ｚ。的某个空心领域Ｕ。（鼽，艿’）内有定义，极
（。ｒ ７，）～厂（ｚ”ｏ）Ｉ：兰ｅｏ，
５ 反常积分
反常积分的柯西准则是函数极限的柯西准则的直接推论。因而相应的否定形式和不发散的充要条件 也是上述相关命题的推论．由于此类问题的复杂性。我们另外列出讨论．
定理６（无穷积分收敛的柯西准则）设ｆ为定义在无穷区间（口，＋ｏ。）上的函数，且在任何有限区间
ｒ＋∞ｒ■ｏ
０，ｊ Ｎ∈Ｎ＋，当ｎ＞Ⅳ时有Ｉｚ．一弘ｌ＜艿，取一ｏ＝ｚｗ＋，，ｚ，，０一鲫＋－，则有ｌｚ７ ｏ—ｚ，，ｏ Ｉ＜艿且ｌｆ（一ｏ）一，（。，，ｏ）Ｉ ≥ｅ。，所以函数厂在区间Ｊ上不一致连续．
４ 柯西准则
柯西准则针对各种极限问题有很多结果，它们都是以数列极限的柯西准则为基础，以函数极限的柯西
准则为定理的直接推论，因而这里我们先讨论函数极限的柯西准则的否定命题的验证。对于其它概念的柯
｛ｙ．｝和￡。＞ｏ。满足ｌｉｍ（ｚ。一弘）一０，ｌｆ（ｚ。）一ｆ（弘）ｌ≥￡ｏ．
证明 首先证明必要性．函数厂在区间Ｊ上不一致连续，则 ｊ ｅｏ＞０。Ｖ ａ＞０。了ｚ’ｏ，ｚ，，ｏ∈，满足Ｉｚ７ ｏ—ｚ，，ｏ Ｉ＜艿，有ｆ厂（ｘｔ ０）一厂（ｚ，，０）Ｉ≥ｅｏ，
因而有
艿ｌ—ｍｉｎ｛１，艿’），３ ｚｌ，Ｙ１∈Ｉ，Ｊｚｌ～ｙｌ Ｊ＜艿ｌ，ｌｆ（ｚ１）一ｆ（ｙ１）ｌ≥ｅｏ；
定义３ 设厂为定义在区间，上的函数．若Ｖ￡＞０，ｊ艿＞０，当ｚ’，ｚ”∈Ｊ，只要｝ｚ’一ｚ”Ｉ＜占时有
ｆ厂（ｚ ７）一ｆｏ”）ｆ＜￡．则称函数厂在区间，上一致连续．
定义４ 设厂为定义在区间，上的函数．若ｊ￡。＞ｏ，Ｖ艿＞ｏ，了ｚ７。，ｚ，，０∈Ｊ满足Ｉ一。一ｚ，，０ ｌ＜艿，有
Ｉｆ（ｚ’。）一ｆ（ｚ’，ｏ）Ｉ≥ｃ０，则称函数ｆ在区间，上不一致连续． 定理２ 设厂为定义在区间，上的函数．函数厂在区间，上不一致连续的充要条件是；存在数列＜ｚ．｝，
（用实数和逻辑语言直接描述的概念）和相关的定理的时候，该方法的优点更加明显．文章针对函数有界、极限的否定定义
形式、一致连续的否定形式和无穷积分、瑕积发的不收敛等等一系列问题的讨论，给出相关概念的否定概念的一个充分必
要条件，从而使得这个命题的判断变得更加清晰和易于操作．
关键词：数列；有界；极限；一致连续；反常积分
。—’ｚ０
。ｌｉｒａｚ。＝ｚｏ，ｌｉｒａ弘一ｚｏ，Ｉｆ（ｚ。）～厂（弘）Ｉ≥￡ｏ．
证明
首先证明必要性．因为ｌＨｉ０ｍｆ（ｚ）不存在，则有
ｊ ｅｏ＞ｏ，Ｖ艿＞ｏ，ｊ ｚ’ｏ，ｚ”ｏ∈Ｕ。（ｚｏ，占）使得ｌｆ（ｚ７ ｏ）一ｆ（ｚ，，０）Ｉ≥￡ｏ．
因而有
艿１一ｍｉｎ｛１，艿７），ｊ ｚ１，ｙ１∈Ｕ‘（ｚｏ，艿１），Ｉｆ（ｚ１）一ｆ（ｙ１）Ｉ≥ｅｏ．
２００５年９月 第２０卷第５期
渭南师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｅｉｎａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｓｅｐｔ．２００５ Ｖ０１．２０ Ｎｏ．５
数列构造方法在否定命题中的应用
赵正波，牛怀岗
（渭南师范学院，陕西渭南７１４０００）
摘要：在数学分析诸多函数性质讨论中，构造适当的数列，常常可以把问题的讨论过程简化．尤其在处理初级命题
中图分类号：０１７
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９—５１２８（２００５）０５－－００２２－－０４
收稿日期：２００５一０３一０９
作者简介：赵正波（１９６６一），男。陕西华县人，渭南师范学院数学系讲师，理学硕士．
数学分析的概念都是建立在严格的逻辑语言基础上，而且在概念的叙述上多用到谓词语言，因而它的 概念的否定形式也是用严格的逻辑语言来描述的．而命题的否定形式常常有更多的存在性验证，这给否 定形式的验证带来了不便，我们通过否定形式的定义的等价命题，把这个问题通过构造适当的数列转化为 存在性的判定问题，使得这些命题的判定变得更易于操作．
１ｚ帆Ｓｌｎ 我们不再建立相关的定理，单就由极限的保号性就能得到结论．
，ｚ７￡０。
例１证明函数ｆ（ｚ）一．《
ｚ
在ｕ．＋（ｏ，占）内不单调．
【０．
ｚ一０
证明 因为ｆ＇（ｘ）－－－－４ｘ３ｓｉｎ２丢一２２２ｓｉｎ丢ｃｏｓ １ｚ一－２Ｘ２ＳｉⅣ１ｚ一（２ｘ—ｃ。ｔ丢），
令础）－２…。ｔ丢＇取剡一磊１啪霹１—１＇２’…删有ｌ…ｉｒａ—ｏ．１…ｉｍｙ＾一ｌ…ｉｍｇ
限ｌｉｍｆ（ｘ）不存在的充要条件是：ｊ ｅ。＞ｏ，Ｖ占＞ｏ，ｊ ｚ７。，ｚ”。∈【，’（ｚｏ，艿）使得Ｉ厂（Ｘｔ ｏ）一ｆ（ｚ”ｏ）Ｉ≥ｅｏ．
。一～
定理５ （函数极限不存在的充要条件）设函数，在点ｚ。的某个空心领域Ｕ’（ｚ。，艿’）内有定义，极限
ｌｉｍｆ（ｚ）不存在的充要条件是：存在数列｛ｚ。）、数列｛弘）和ｅｏ＞０，满足
再证充分性．因为ｌｉｍｆ（ｚ。）一ｏｏ，所以Ｖ Ｍ＞０，ｊ Ｎ∈Ⅳ＋，当以＞Ｎ时，有Ｉｆ（ｚ。）Ｉ＞Ｍ，而又由于 ｛ｚ．｝ｃ Ｄ，因而满足无界的定义，所以厂在Ｄ上无界．