数学:2.1.1《曲线与方程的概念》教案(3)(新人教B版选修2-1)

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高中数学人教B版选修2-1第二章《2.1.1 曲线与方程的概》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

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高中数学人教B版选修2-1第二章《2.1.1 曲线与方程的概》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与能力:通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

2.过程与方法:理解曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系、渗透转化与化归的思想与数形结合的思想。

3.情感态度与价值观:培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神。

2学情分析
新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的发展背景,过程和本质,揭示人们探索真理的道路。

本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”,“圆的方程”入手,以集合相等,辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”,进一步强化了概念理解的深刻性。

无论是判断、证明,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准则。

3重点难点
1.教学重点:理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

2.教学难点:对曲线与方程对应关系的理解。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】曲线与方程
1.通过投影呈现几个教材内容的片断,为新课的学习作一些必要的铺垫.
片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语:
……通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法。

高中数学选修2-1精品教案1:2.1.1 曲线与方程教学设计

高中数学选修2-1精品教案1:2.1.1 曲线与方程教学设计

2.1.1曲线与方程(一)教学目标1、知识与技能:能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义,并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程,画出简单方程的曲线.2、过程与方法:把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流,获得更好的理解和方法的改进.3、情感、态度与价值观:加深对数形结合的理解.(二)教学重点与难点重点:通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念.难点:对曲线与方程的概念的理解.教具准备:与教材内容相关的资料.教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.(三)教学过程一.问题引入在必修2中我们过直线和圆,然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究,那么,与初中相比,高中研究的方法有什么不同呢?借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题?老师引导学生得出:用解析的方法,研究直线的位置关系(如平行、相交、重合),直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升:第一,对比初、高中对直线和圆的研究,我们发现,研究的问题都是相似的,但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题,而高中是利用方程,凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二,在今后的学习中,我们会发现方程的作用很强大,利用方程我们可以研究更多的几何图形(曲线),对几何图形的认识会更加深入、更加细致.本节课,我们将继续研究一般曲线与方程的关系,进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.二.思考分析在平面直角坐标系中:问题1:直线x=5上的点到y轴的距离都等于5,对吗?提示:对.问题2:到y轴的距离都等于5的点都在直线x=5上,对吗?提示:不对,还可能在直线x=-5上.问题3:到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么?提示:直线x=±5.三.抽象概括曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现.条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性);而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的必要条件,第二个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的充分条件.因此,在判断或证明f(x,y)=0为曲线C的方程时,必须注意两个条件同时成立.四.例题分析及练习[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解;但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x +y =0;反之,以方程x +y =0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x +y =0.[感悟体会](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件,正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则.(2)判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形.变形过程中一定要注意与原方程的等价性,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.另外,变形的方法还有配方法、因式分解法.训练题组11.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”是真命题,下列命题中正确的是( )A .方程f (x ,y )=0的曲线是CB .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是CC .f (x ,y )=0是曲线C 的方程D .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上解析:“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”,但“以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上,故A 、C 、D 都不正确,B 正确.答案:B2.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形是( )A .直线2x -y =0B .直线2x +y +3=0C .直线2x -y =0或直线2x +y +3=0D .直线2x +y =0和直线2x -y +3=0解析:方程可化为(2x -y )(2x +y +3)=0,即2x -y =0或2x +y +3=0.∴表示两条直线2x -y =0或2x +y +3=0.答案:C[例2] 已知方程x 2+(y -1)2=10.(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M (m 2,-m )在此方程表示的曲线上,求m 的值. [思路点拨] 对于(1),只需判断点P ,Q 的坐标是否满足方程即可;对于(2),就是把点M 的坐标代入方程,从而得到关于m 的方程,进而求出m 的值.[精解详析] (1)∵12+(-2-1)2=10,(2)2+(3-1)2=6≠10,∴点P (1,-2)在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,点Q (2,3)不在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上.(2)∵点M (m 2,-m )在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,∴x =m 2,y =-m 适合上述方程,即(m 2)2+(-m -1)2=10.解之得m =2或m =-185,∴m 的值为2或-185. [感悟体会](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.训练题组23.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( )A .在直线l 上,但不在曲线C 上B .在直线l 上,也在曲线C 上C .不在直线l 上,也不在曲线C 上D .不在直线l 上,但在曲线C 上解析:将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上,也在曲线C 上. 答案:B4.如果曲线ax 2+by 2=4过A (0,-2),B (12,3),则a =________,b =________. 解析:曲线过A (0,-2),B (12,3)两点, ∴A (0,-2),B (12,3)的坐标就是方程的解.∴⎩⎪⎨⎪⎧4b =4,14a +3b =4,∴b =1,a =4. 答案:4 15.若曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a )(a ∈R),求k 的取值范围.解:∵曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a +k =0.∴k =-2a 2-2a =-2(a +12)2+12.∴k ≤12,∴k 的取值范围是(-∞,12]. 五.课堂小结与归纳1.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.2.求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图形的形状、位置等.六.当堂训练1.“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =-2x ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析:∵y =-2x ≤0,而y 2=4x 中y 可正可负,∴点M 在曲线y 2=4x 上,但M 不一定在y =-2x 上.反之点M 在y =-2x 上时,一定在y 2=4x 上.答案:B2.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析:A 中方程x 2+y 2=1表示的是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,故A 错;B 中方程x 2-y 2=0可化为(x -y )(x +y )=0,表示两条直线x -y =0,x +y =0,故B 错;C 中方程lg x +lg y =1可化得y =1x(x >0),此方程只表示第一象限的部分,故C 错;D 中的方程y =|x |去绝对值得y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,表示两条射线,所以D 正确. 答案:D3.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( )A .在直线l 上,但不在曲线C 上B .在直线l 上,也在曲线C 上C .不在直线l 上,也不在曲线C 上D .不在直线l 上,但在曲线C 上解析:选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程,由于2+1-3=0,(2-3)2+(1-2)2=2,所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上,故选B.4.直线x -y =0与曲线xy =1的交点是( )A .(1,1)B .(-1,-1)C .(1,1)、(-1,-1)D .(0,0)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x ,xy =1,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1. 5.方程x +|y -1|=0表示的曲线是( )解析:选B.方程x +|y -1|=0可化为|y -1|=-x ≥0,∴x ≤0,因此选B.6.若点P (2,-3)在曲线x 2-ky 2=1上,则实数k =________.解析:将P (2,-3)代入曲线方程得4-9k =1,∴k =13.答案:137.给出下列结论:①方程y x -2=1表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线; ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y =2;③方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示四个点.其中正确的结论的序号是__________.解析:①不正确.方程等价于y =x -2(x ≠2),∴原方程表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线,但除去点(2,0);到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y -0|=2,即y =2或y =-2,故②不正确;对于③,原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-4=0y 2-4=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =±2y =±2,∴方程表示四个点,所以③正确.答案:③8.已知曲线C 的方程为x =4-y 2,说明曲线C 是什么样的曲线,并求该曲线与y 轴围成的图形的面积.解:由x =4-y 2,得x 2+y 2=4.又x ≥0,∴方程x = 4-y 2表示的曲线是以原点为圆心,2为半径的右半圆,从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆,其面积S =12π·4=2π,所以所求图形的面积为2π.。

高中数学2.1曲线与方程教案(1)(新人教B版选修2-1)

高中数学2.1曲线与方程教案(1)(新人教B版选修2-1)

2.1曲线与方程(3课时)一、教学目标使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养学生综合运用各方面知识的能力.二、教学重难点:1.重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.(解决办法:对每种方法用例题加以说明,使学生掌握这种方法.) 2.难点:作相关点法求动点的轨迹方法.(解决办法:先使学生了解相关点法的思路,再用例题进行讲解.) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验.四、教学过程(一)复习引入大家知道,平面解析几何研究的主要问题是:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2 (a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.对(1)分析:动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P 的运动规律:|OP|=2R或|OP|=0.解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析:题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:设弦的中点为M(x,y),连结OM,则OM⊥AM.∵kOM·kAM=-1,其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).2.定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.分析:∵点P在AQ的垂直平分线上,∴|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上.∴|PO|+|PQ|=2.由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.3.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y)的变动而变动,且x、y可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).例3 已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程.分析:P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB的内分点.4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析:因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在y轴上,所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根.∴△=1664-4a2b2=0,即a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得:即a2b2=4b2-a2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验,检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出.1.△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的2.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?3.求抛物线y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.答案:义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法,还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法,这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1.两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2.动点P到点F1(1,0)的距离比它到F2(3,0)的距离少2,求P点的轨迹.3.已知圆x2+y2=4上有定点A(2,0),过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|,求动点P的轨迹方程.作业答案:1.以两定点A、B所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,得点M的轨迹方程x2+y2=42.∵|PF2|-|PF|=2,且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x<1,轨迹是一条射线六、板书设计课后反思:求轨迹方程一节难度较大,通过学习圆锥曲线前的学习,学生对求轨迹方程所遵循的五个基本步骤掌握的很好,在心理上战胜了困难,这一节课在原有的基础上难度有所加大,学生掌握的比预计的理想,说明学生的兴趣及信心非常重要,在平时教学过程中一定要注意培养学生的学习积极性。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.1.1 曲线与方程的概念》

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.1.1 曲线与方程的概念》

§曲线与方程授课教师:王爽●教学目标一知识教学点:使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念,从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.二能力训练点:在形成曲线和方程概念的过程中,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.三学科渗透点:从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育.●教学重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.解决办法:通过例子,揭内涵;讨论归纳,得出定义;变换表达,强化理解;初步运用,巩固提高;给出推论,升华定义.●教学难点难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑,原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延.据此可用举反例的方法来突破难点,促使学生对概念表述的严密性进行探索,自然地得出定义.●教学过程Ⅰ知识引入:和学生共同探讨圆锥曲线的形成过程以及如何研究圆锥曲线的性质。

由此提出用代数方法即方程的思想研究曲线问题,引出曲线和方程的关系。

Ⅱ讲授新课1.曲线与方程关系举例:(由最简单,学生最熟悉的直线和圆作为引例来研究)师:我们知道,两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是-=0这就是说,如果点M(0,0)是这条直线上的任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即0=0,那么它的坐标(0,0)是方程-=0的解;反过来,如果(0,0)是方程-=0的解,即0=0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上(如左图有)一、三象限的平分线上的点(0,0)−−→←−−0=0−−→←−−(0,0)是方程-=0的解引例2:以坐标原点为圆心,半径等于1的圆的方程22 = 1由学生解释2.曲线与方程概念一般地,在直角坐标系中,如果其曲线c上的点与一个二元方程f,=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线3.引用实例,加深认识下列各题中,图所示的曲线C 的方程为所列方程,对吗?如果不对,是不符合关系⑴还是关系⑵? 曲线C 为△ABC 为中线AO,方程:X=0 曲线C 是过点(4,1)的反比例曲线图像4.例题讲解:例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。

(教师用书)高中数学 2.1 曲线与方程课件 新人教B版选修2-1

(教师用书)高中数学 2.1 曲线与方程课件 新人教B版选修2-1
2.1
曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)了解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;
(2)了解两曲线交点的求法; (3)初步掌握由曲线的几何条件求曲线方程; (4)初步学会由曲线方程研究曲线的几何性质. 2.过程与方法 (1)通过直线方程的引入,加强学生对方程的解和曲线上 的点的一一对应关系的认识; (2)在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察、 分析、讨论等数学活动过程,探索出结论,并能有条理的阐 述自己的观点;
1. 分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的 定义. 2.定义中有两个条件,这两个条件必须同时满足,缺一 不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件 f(x,y)=0; 条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上,前者是说这样 的轨迹具有纯粹性,后者是说轨迹具有完备性.两个条件同 时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少,才能保证曲 线与方程间的相互转化.
坐标系
,用有序实数对(x,y)
表示曲线上任一点 M 的坐标; (2)设点:写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M |P(x)}; (3)列式:用坐标表示条件 P(x),列出方程 F(x,y)=0; (4)化简:化方程 F(x,y)=0 为最简形式; (5)检验:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上.
2.以(a,b)为圆心,r 为半径的圆和方程(x-a)2+(y-b)2 =r2 有什,y0)的坐标是方程(x-a)2 +(y-b)2=r2 的解;反之,若(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2 =r2 的解,则以(x0,y0)为坐标的点在圆上.
1.曲线的轨迹方程 一般地, 一条曲线可以看成动点 依某种条件运动的轨迹, 所以 曲线的方程 又常称为满足某种条件的点的 轨迹方程 . 2.曲线的方程与方程的曲线的定义 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之 间具有如下关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解; (2)以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 那么,曲线 C 叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程 F(x,y) =0 叫做

新人教B版高中数学2.1.1曲线与方程的概念课件11选修2-1

新人教B版高中数学2.1.1曲线与方程的概念课件11选修2-1

(2)方程 ax2 by2 25所表示的曲(1,1),则a=
,b=
.
典例分析巩固定义
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,
那么( ) D
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
(2)、如果M (x0, y0 )是方程(x a)2 ( y b)2 r2 的解,那么以它为坐标
的点一定在圆上。
分析特例归纳定义
(3)、说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
练习:1、已知直角三角形ABC中A(2,0) B(-1,2),则直角顶点C的轨迹方程为 _________________。 2、方程 y 1 x2 所表示的曲线__________。
典例分析巩固定义
例2:解答下列问题,并说明理由: (1)判断点A(-4,3),B (3 2, 4) ,C ( 5, 2 5) 是 否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
归纳总结
本节,我们学习了曲线的方程.方程的曲线 的概念.利用这两个重要概念,就可以借助 于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满 足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上 点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示 曲线,通过研究方程的性质间接地来研究 曲线的性质.即几何问题化为代数问题,以 数助形正是解析几何的思想,本节课正是 这一思想的基础。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B版选修21

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B版选修21

学习 目 标核 心 素 养1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与方程的关系,强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程概念学习,培养学生的数学抽象素养. 2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线,提升学生的直观想象和逻辑推理素养.高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B 版选修211.曲线与方程的概念一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.一个二元方程总可以通过移项写成F (x ,y )=0的形式,其中F (x ,y )是关于x ,y 的解析式.在平面直角坐标系中,如果曲线C 与方程F (x ,y )=0之间具有如下关系: ①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解; ②以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上.那么,方程F (x ,y )=0叫做曲线的方程;曲线C 叫做方程的曲线.思考1:如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上”,会出现什么情况?举例说明.[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上”,有可能扩大曲线的边界.如方程y =1-x 2表示的曲线是半圆,而非整圆.思考2:如果曲线C 的方程是F (x ,y )=0,那么点P (x 0,y 0)在曲线C 上的充要条件是什么?[提示] 若点P 在曲线C 上,则F (x 0,y 0)=0;若F (x 0,y 0)=0,则点P 在曲线C 上,所以点P (x 0,y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0,y 0)=0.2.两条曲线的交点坐标曲线C 1:F (x ,y )=0和曲线C 2:G (x ,y )=0的交点坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ,y )=0,G (x ,y )=0的实数解.1.方程xy2-x2y=2x所表示的曲线( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x-y=0对称C[将(-x,-y)代入xy2-x2y=2x方程不变,故选C.]2.下列各组方程中表示相同曲线的是( )A.x2+y=0与xy=0B.x+y=0与x2-y2=0C.y=lg x2与y=2lg xD.x-y=0与y=lg 10x[答案] D3.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是( )A B C D[答案] D曲线与方程的概念(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解;但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5;但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的“两性”是否都满足,并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.1.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”是真命题,下列命题中正确的是( )A .方程f (x ,y )=0的曲线是CB .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是C C .f (x ,y )=0是曲线C 的方程D .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上B [“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”,但“以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上,故A 、C 、D 都不正确,B 正确.]2.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形是( ) A .直线2x -y =0 B .直线2x +y +3=0C .直线2x -y =0或直线2x +y +3=0D .直线2x +y =0和直线2x -y +3=0 C [方程可化为(2x -y )(2x +y +3)=0, 即2x -y =0或2x +y +3=0.∴表示两条直线2x -y =0或2x +y +3=0.]曲线与方程关系的应用(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2,-m 在此方程表示的曲线上,求m 的值. [解] (1)∵12+(-2-1)2=10, (2)2+(3-1)2=6≠10,∴点P (1,-2)在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上, 点Q (2,3)不在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上.(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2,-m 在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,∴x =m2,y =-m 适合上述方程,即⎝⎛⎭⎪⎫m22+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-185,∴m的值为2或-185.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.3.若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(a∈R),求k的取值范围.[解] ∵曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a),∴a2+a2+2a+k=0.∴k=-2a2-2a=-2⎝⎛⎭⎪⎫a+122+12.∴k≤12,∴k的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12.由方程判断其表示的曲线如何证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0?[提示]用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0,证明中分两个步骤:第一步,设M(x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解;第二步,设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的任一解,证明点M(x0,y0)在曲线C上.【例3】方程(2x+3y-5)(x-3-1)=0表示的曲线是什么?[思路探究] 将方程转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x+3y-5=0x-3≥0或x-3-1=0,再判断曲线形状.[解] 因为(2x+3y-5)(x-3-1)=0,所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x+3y-5=0,x-3≥0,或者x-3-1=0,也就是2x+3y-5=0(x≥3)或者x=4,故方程表示的曲线为一条射线2x+3y-5=0(x≥3)和一条直线x=4.1.(变换条件)把方程换成“2x -3-1(2x +3y -5)=0”,其表示什么曲线?[解] 由2x -3-1(2x +3y -5)=0得2x +3y -5=0(x ≥3)表示一条射线.2.(变换条件)把方程换成“(2x +3y -5)[log 2(x +2y )-3]=0”,其表示什么曲线? [解] 由(2x +3y -5)[log 2(x +2y )-3]=0得⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y -5=0,x +2y >0,或者x +2y =8,也就是2x +3y -5=0(x <10)或者x +2y =8,故方程表示的曲线为一条射线2x +3y -5=0(x <10)(去除端点)和一条直线x +2y =8.方程表示的曲线的判断步骤提醒:(1)方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线. (2)当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.1.思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y =±x .( ) (2)方程x -y =0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线.( )(3)条件甲:“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”,条件乙:“曲线C 是方程f (x ,y )=0的图形”,则条件甲是条件乙的充要条件.( )[提示] (1)√(2)× x -y =0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线. (3)× 必要不充分条件.2.若P (2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a 的值为( ) A .2 B .3 C.12 D.13D [因为点P (2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,代入曲线方程可得a =13,故选D.]3.方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示的图形是________.4个点 [由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4=0,y 2-4=0,表示四个点.]4.方程1-|x|=1-y表示的曲线是________.两条线段[由已知得1-|x|=1-y,1-y≥0,1-|x|≥0,∴y=|x|,|x|≤1.∴曲线表示两条线段.]。

数学2.1.1《曲线与方程的概念》教案(4)(新人教B版选修2-1)

数学2.1.1《曲线与方程的概念》教案(4)(新人教B版选修2-1)

§2.5.2求曲线的方程●教学目标1.了解解析几何的基本思想;2.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点;3.初步掌握求曲线的方程的方法.●教学重点求曲线的方程●教学难点求曲线方程一般步骤的掌握.●教学过程Ⅰ.复习回顾:师:上一节,我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节,我们就来学习这一方法.Ⅱ.讲授新课1.解析几何与坐标法:我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2.平面解析几何研究的主要问题:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.说明:本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.例2 设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点(图7—29),也就是点M属于集合-,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.师:由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y )表示曲线上任意一点M 的坐标;(2)写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P (M )};(3)用坐标表示条件P (M ),列出方程f (x,y )=0;(4)化方程f (x,y )=0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2),直接列出曲线方程.师:下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.例3 已知一条曲线在x 轴的上方,它上面的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.解:如图所示,设点M (x,y )是曲线上任意一点,MB ⊥x 轴,垂足是B (图7—31),那么点M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P由距离公式,点M 适合的条件可表示为:2)2(22=--+y y x ①将①式移项后再两边平方,得x 2+(y -2)2=(y +2)2,化简得:281x y = 因为曲线在x 轴的上方,所以y >0,虽然原点O 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程是281x y = (x ≠0) 。

《曲线与方程的概念》教案5(新人教B版选修2-1)

《曲线与方程的概念》教案5(新人教B版选修2-1)

§2.5.1曲线与方程●教学目标1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2.会判定一个点是否在已知曲线上. ●教学重点 曲线和方程的概念 ●教学难点 曲线和方程概念的理解 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾师:在本章开始时,我们研究过直线的各种方程,讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.Ⅱ.讲授新课1.曲线与方程关系举例:师:我们知道,两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x -y =0.这就是说,如果点M (x 0,y 0)是这条直线上的任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即x 0=y 0,那么它的坐标(x 0,y 0)是方程x -y=0的解;反过来,如果(x 0,y 0)是方程x -y =0的解,即x 0=y 0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上.(如左图)又如,以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-。

这就00那么它到圆心的距离一定等于半径,即r b y a x =-+-2020)()(,也就是22020)()(r b y a x =-+-,这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解;反过来,如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解,即22020)()(r b y a x =-+-,也就是r b y a x =-+-2020)()(,即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ,它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。

(如右图).2.曲线与方程概念一般地,在直角坐标系中,如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线3.点在曲线上的充要条件:如果曲线C 的方程是f (x ,y )=0,那么点P 0=(x 0,y 0).在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0. 4.例题讲解:例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。

高中数学 2.1.1曲线与方程学案 新人教B版选修2—1

高中数学 2.1.1曲线与方程学案 新人教B版选修2—1
C不在直线l上,也不在曲线C上;D不在直线l上,但在曲线C上合作探究
例1.已知两定点A,B的距离为6,动点M满足条件 求点M的轨迹方程
变式:已知点M与X轴的距离和它到点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程,并研究曲线的对称性。
例2:证明与两条坐标轴的距离的积是常数K(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k
当堂检测
1、“曲线C上点的坐标都是f (x, y)=0的解”是“曲线C的方程是f (x, y)=0”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么( )
A.点P在直线l上,但不在圆M上B.点P在圆M上,但不在直线l上
山东省文登第一中学高中数学2.1.1曲线与方程学案新人教B版选修2—1
授课类型:新授课
学习目标
1.通过自学课本,知道曲线的方程与方程的曲线的概念.
2.通过自学课本,知道曲线交点和方程组解的关系.
3.能够根据已知条件求曲线方程,并由方程来研究曲线。
课堂内容展示
自学指导
自学课本33至34页。解决以下问题:
A.曲线C的方程是F(x,y)=0; B.方程F(x,y)=0的曲线是C;
C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上;
D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上.
2.已知直线l:x+y-3=0及曲线C:(x-3)2+ (y-2)2=2则点M(2,1)()
A在直线l上,但不在曲线C上;B在直线l上,也在曲线C上;
本节反思
反思一下本节课,你收获到了什么?
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;

2018版高中数学人教B版选修2-1学案:2.1.1 曲线与方程的概念

2018版高中数学人教B版选修2-1学案:2.1.1 曲线与方程的概念

2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与方程的关系,强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P,属于下列集合的点组成什么图形?(1){P|P A=PB}(A,B是两个定点);(2){P|PO=3cm}(O为定点).思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么?梳理一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的____________.一个二元方程总可以通过移项写成F(x,y)=0的形式,其中F(x,y)是关于x,y的解析式.在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:①________________________都是方程F(x,y)=0的解;②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在________C上.那么,方程F(x,y)=0叫做______________;曲线C叫做______________.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.思考2方程x-y=0能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线?方程x-y=0呢?梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x,y)=0的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的方程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程;条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系,通过曲线上的点与实数对(x,y)建立了______________关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0的曲线是CB.方程f(x,y)=0的曲线不一定是CC.f(x,y)=0是曲线C的方程D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的“两性”是否都满足,并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy =±k .反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.跟踪训练2 写出方程(x +y -1)x -1=0表示的曲线.类型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2+(y -1)2=10.(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2,-m 在此方程表示的曲线上,求m 的值.反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时,可以利用曲线与方程的定义;也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a )(a ∈R ),求k 的取值范围.1.曲线f (x ,y )=0关于直线x -y -3=0对称的曲线方程为( )A .f (x -3,y )=0B .f (y +3,x )=0C .f (y -3,x +3)=0D .f (y +3,x -3)=02.方程xy 2-x 2y =2x 所表示的曲线( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .关于直线x -y =0对称3.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形为________.4.若曲线ax 2+by 2=4过点A (0,-2),B (12,3),则a =________,b =________. 5.方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示的图形是________.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.提醒:完成作业第二章 2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线;(2)以O为圆心,3cm为半径的圆.思考2y=±x.在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理轨迹方程①曲线C上点的坐标②曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能.还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心,以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2+y2=4”,曲线上的点都满足方程,但曲线的方程不是x2+y2=4.思考2方程x-y=0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x-y=0的解.例如,点A(-2,-2)不满足方程,但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x-y=0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(2)一一对应题型探究例1 B跟踪训练1 D例2证明①如图,设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|,与y轴的距离为|x0|,所以|x0|·|y0|=k,即(x0,y0)是方程xy=±k的解.②设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy=±k的解,则x1y1=±k,即|x1|·|y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线上的点.由①②可知,xy=±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.跟踪训练2 解 由方程(x +y -1)·x -1=0可得⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x +y -1=0或x -1=0.即x +y -1=0(x ≥1)或x =1,∴方程表示直线x =1和射线x +y -1=0(x ≥1).例3 解 (1)∵12+(-2-1)2=10, (2)2+(3-1)2=6≠10,∴P (1,-2)在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,Q (2,3)不在此曲线上.(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2,-m 在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,∴⎝⎛⎭⎫m 22+(-m -1)2=10.解得m =2或m =-185. 跟踪训练3 解 ∵曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a +k =0.∴k =-2a 2-2a =-2⎝⎛⎭⎫a +122+12. ∴k ≤12, ∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,12. 当堂训练1.D 2.C 3.两条相交直线4.4 1 5.4个点。

人教版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程》教学设计

人教版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程》教学设计

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程(杨军君)一、教学目标(一)学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;3.学会根据已有的情景资料找规律,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. (二)学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(三)学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计(一)预习任务设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第34页至第35页.(2)想一想:什么是曲线的方程与方程的曲线?(3)写一写:以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=,则下面说法正确的是()A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断,条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解,满足了曲线和方程的概念条件,而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点,故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C(二)课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例,认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程与直线的对应关系:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1:作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会:必须同时满足:(1)直线上的点的坐标都是方程的解和(2)以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点,即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系,那么直线(图形)方程(数量)变式:作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢?(按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.)。

人教B版高中数学选修曲线与方程的概念教案(1)(1)

人教B版高中数学选修曲线与方程的概念教案(1)(1)

2.2.1双曲线的标准方程【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】:新授课【课时安排】:1课时【教具】:多媒体、实物投影仪【教学过程】:一.情境设置(1)复习提问:(由一位学生口答,教师利用多媒体投影)问题 1:椭圆的定义是什么?问题 2:椭圆的标准方程是怎样的?问题3:如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化?它的方程又是怎样的呢?(2)探究新知:(1)演示:引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象,并利用课件进行双曲线的模拟实验,思考以下问题。

(2)设问:①|MF1|与|MF2|哪个大?②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示?③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系?(请学生回答:应小于|F1F2| 且大于零,当常数等于|F1F2| 时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数大于|F1F2| 时,无轨迹)二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义:定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(投影)概念中几个关键词:“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程,请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法,随即引导学生给出双曲线标准方程的推导(教师使用多媒体演示)(1)建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》示范教案

最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》示范教案

第二章圆锥曲线与方程本章概览教材分析“圆锥曲线与方程”是理科选修21的第二章内容,是必修教材中解析几何的延续,在那里我们研究了直线和圆,选修教材在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程.对于这段内容,文科与理科的处理基本相同,只有细微的区别.笛卡儿的坐标系,开启了变量数学的大门.学了距离公式、直线和圆的方程这些入门功夫,算是品尝了数形结合的思想.要进一步感受这种思想的奥妙和威力,就来探索如何用解析几何的方法研究圆锥曲线吧!地球和宇宙飞船的轨道,子弹的飞行路线,一去不返的彗星的遗迹,放到直角坐标系里原来都是二次方程.用了代数方法,古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线的奥秘,就水落石出真相大白了.圆锥曲线是一个重要的数学模型,课本章前图讲了圆锥曲线可以由平面截圆锥得到,讲了它的广泛应用,“天上地下,圆锥曲线无处不在”.因此,无论从数学的进一步学习和研究,还是从今后在日常生活和实践的应用来看,学习这部分内容都是非常重要的.“圆锥曲线与方程”这部分内容研究的对象是圆锥曲线,其中圆锥曲线的几何性质可以从动手实验和直观的观察得到,而进一步深入的定量研究就要依靠对曲线与方程之间对应关系的了解,通过对方程这样一个代数对象的分析研究获得对圆锥曲线的几何性质的认识.因此,对这部分内容的学习,就不只是为获得对圆锥曲线性质的了解,而是要进一步体会数形结合的重要数学思想.历史上,正是这一重要的数学思想推动了数学跨越式的革命.事实上,在解析几何诞生后不久,微积分便产生了,这在数学发展的进程中是件里程碑价值的事件.我们说,学生在数学上的进步本质不单靠数学知识的积累,而是数学思想与数学方法的提升.数学从实践中来,建立了数学模型之后,又返回到实践中去,应用的范围得到了极大的扩展,这才显示出数学的力量.圆锥曲线正是对此有效诠释的一个极好的素材.从2000多年以前古希腊人研究圆锥曲线,到笛卡儿、开普勒、牛顿,直到今天的航天飞行,学生从数学文化的角度,从圆锥曲线的应用的角度都能受到很好的数学教育.因此,“圆锥曲线与方程”是一部分很有挖掘价值的素材,我们期望学生通过这部分内容的学习获得更多的收获.新教材在教材的选择与编排上力图体现知识的发展过程,丰富学生的数学活动,突出数学模型的建立,体现数形结合的思想,介绍圆锥曲线的重要应用与文化背景.希望给学生展现出更加生动活泼的数学,并给学生留有更多的思考空间.其主要特色:1.数学实验丰富了学生的数学活动;2.知识的呈现体现出层次性(先从几何直观想性质,再从方程进行研究).课标要求1.曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想.2.圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质.④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题.⑤通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想.教学建议1.把握教学要求本章理科共分四大节,前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤.后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质.并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.教学时力求突出主干知识,精选内容:研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程,不涉及一般方程;在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时,只讨论最简单、最主要的性质,满足基本的需要,并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法;对有兴趣的学生可鼓励自主探究,并通过“思考”“探究”“探究与发现”“阅读与思考”等栏目,以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间.另外,根据问题的难易度及学生的认知水平,只要求掌握椭圆、抛物线的定义,对双曲线只要求“了解双曲线的定义”.2.突出基本思想解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系;突出用方程研究曲线,用代数方法研究曲线的性质.由于教材是先通过特殊曲线,从感性上认识曲线方程的意义,再建立一般的曲线方程的概念,因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时,可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面,重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上.曲线方程的概念比较抽象,教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括,并通过具体问题让学生适当感受,并在应用中加深体会,不要在定义的两个方面作过多研究.本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法,《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”,应在本章中得到较好的落实.3.重视引入过程在椭圆的学习过程中,教材从圆出发,给出“探究”栏目,通过把细绳的两端分开,让学生观察轨迹的形状,建立与已有知识的联系与区别;由画图的过程,探究形成轨迹的动点满足的几何条件,展现曲线的典型几何特征;在此基础上,给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称:椭圆;通过观察椭圆的形状,引导学生建立适当的直角坐标系,用点的坐标表示距离,建立椭圆的标准方程.教材意在突出知识的发生、发展过程,引导学生自主学习探索,既动手又动脑,获得体验;在感性认识的基础上,把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”,形成理性认识.其他两种圆锥曲线:双曲线与抛物线,虽然它们的几何特征与椭圆不同,但其引入过程以及标准方程的建立过程,都可与椭圆相类比展开.课时分配2.1曲线与方程整体设计教材分析“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径,这正体现了解析几何这门课的基本思想,对全部解析几何教学有着深远的影响.学生只有透彻理解了曲线和方程的意义,才算是寻得了解析几何学习的入门之径.如果认为学生不真正领悟曲线和方程的关系,照样能求出方程、照样能计算某些难题,因而可以忽视这个基本概念的教学,这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见,应该认识到这节“曲线与方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”!根据以上分析,确立教学重点是:“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;难点是:怎样利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.课时分配本节共安排两个课时,第一课时讲解曲线与方程的概念和简单的求曲线方程,第二节讲解求曲线方程的方法与步骤.2.1.1曲线与方程教学目标知识与技能1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;3.学会根据已有的情景资料找规律,进而分析、判断、归纳结论;4.强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.过程与方法1.通过直线方程的引入,加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识;2.在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程,探索出结论,并能有条理地阐述自己的观点;3.能用所学知识理解新的概念,并能运用概念解决实际问题,从中体会转化化归的思想方法,提高思维品质,发展应用意识.情感、态度与价值观1.通过概念的引入,让学生感受从特殊到一般的认知规律;2.通过反例辨析和问题解决,培养合作交流、独立思考等良好的个性品质,以及勇于批判、敢于创新的科学精神.重点难点教学重点:“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;教学难点:利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.教具准备三角板、多媒体教学设备.教学过程引入新课在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程与直线的对应关系:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.下面看一个具体的例子:问题1:画出方程x-y=0表示的直线,同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解,另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上?借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论:1.直线上的点的坐标都是方程的解;2.以这个方程的解为坐标的点都在直线上.即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系.也即引导学生类比、推广并思考相关问题:类比:推广:即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢?也即方程F(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x,y)=0表示曲线C,同时曲线C也表示着方程F(x,y)=0?为什么要具备这些条件?以上问题就是本节课的内容:曲线与方程(板书课题).探究新知在上面的讨论中,有的同学提到了应具备关系:“曲线上的点的坐标都是方程的解”;有的同学提到了应具备关系:“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”;还有的同学虽用了不同的提法,但意思不外乎这两个.现在的问题是:上述的两种提法一样吗?它们反映的是不是同一事实?有何区别?究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来?为了弄清这些问题,首先提出如下的问题:问题2:用下列方程表示如图所示的曲线C,对吗?为什么?请同学们思考:(1)x-y=0;(2)x2-y2=0;(3)|x|-y=0.活动设计:学生独立思考,教师巡视指导.活动成果:方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C 的方程.第(1)题中曲线C 上的点不全是方程x -y =0的解;例如点A(-2,-2)、B(-3,-3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论.第(2)题中,尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”,但是以方程x 2-y 2=0的解为坐标的点却不全在曲线上;例如D(2,-2)、E(-3,3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论.第(3)题中既有以方程|x|-y =0的解为坐标的点,如G(-3,3)、H(-2,2)等不在曲线上,又有曲线C 上的点,如M(-3,-3)、N(-1,-1)等的坐标不是方程|x|-y =0的解.事实上,(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况.教师点评:以上我们观察分析了问题1、问题2,发现问题1完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程;而问题2不能完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程.如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话,那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了.问题:在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时,针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定?学生思考活动:“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”.老师再提问:针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定?学生思考回答:“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”.这样,我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.理解新知教师提出问题:大家熟知,曲线可以看作是由点组成的集合,记作C ;一个二元方程的解可以作为点的坐标,因此二元方程的解集也描述了一个点集,记作F.请大家思考:如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系,进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义.启发学生得出:关系(1)指点集C 是点集F 的子集;关系(2)指点集F 是点集C 的子集.这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为:.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明:另外从充要条件的角度看,关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,只有两者都满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.运用新知1.初步应用、突出内涵1下列各小题中,如图所示的曲线C的方程为所列方程,对吗?如果不对,是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动:思考.成果:(1)错.不符合定义中的关系(2),即C F但F C.(2)错.不符合定义中的关系(1),即F C但C F.(3)错.不符合定义中的关系(1)和(2),即C F且F C.2.变式训练解答下列问题,且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系?(1)点A(3,-4)、B(-25,2)是否在方程x2+y2=25表示的圆上?(2)已知方程为x2+y2=25的圆过点C(7,m),求m的值.学生回答:(1)依据关系(2)点A在圆上,依据关系(1)点B不在圆上.(2)依据关系(2)求得m=±3 2.2证明:以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.教师提出问题:请同学思考,证明应从何着手?学生活动:思考应从以下两方面:(1)圆上的点的坐标都满足方程:x2+y2=25;(2)以方程x2+y2=25的解为坐标的点都在圆上.教师点评:(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素,怎样解决全体问题?(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法.(请同学们完成证明过程,同桌间交流,参照课本例1的证明步骤纠正错误,完善证题过程,加强证明题的严密性.)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义,在领会定义时,要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.曲线和方程之间一一对应的确立,进一步把“曲线”与“方程”统一了起来,在此基础上,我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题.布置作业1.教材习题2.1A组第1题.2.思考题:如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点为M(x0,y0),求证:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线,应用了特殊到一般,一般到特殊的方法,研究了曲线的方程和方程的曲线的定义.在领会定义时,要注意关系1、2缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性.曲线与方程一一对应关系的确立,进一步把曲线与方程统一了起来,通过数研究形,同时形也为数提供了直观背景.我们要有数形结合的意识.笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点,用方程表示曲线,通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大.设计中注重了概念的形成过程,注重了学生的认识规律.备课资料近代数学本质上可以说是变量数学,而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明.解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596~1650,哲学名言:“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601~1665).笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶,贵族家庭的后裔,父亲是个律师.他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究,曾于1617年和1619年两次从军,离开军营后旅行于欧洲,他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说:一个传说讲,笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯,他在一次“晨思”时,看见一只苍蝇正在天花板上爬,他突然想到,如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系,就能描述它的路线,这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念;另一个传说是,1619年冬天,笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄,在圣马丁节的前夕(11月10日),他作了三个连贯的梦,笛卡儿后来说,正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”,虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么,但这三个梦从此成为佳话,给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩.人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示,不是不可能的事情,但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何,主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法,同时批判地继承前人的成就的结果.华罗庚论数形结合:数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,割裂分家万事非.切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.随着学习的逐步深入,同学们可以进一步做到形与数的密切结合;体会到数学基础知识与实际应用的密切联系;体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富;并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神.(设计者:赵中华)。

高中数学2-1-1曲线与方程的概念课件新人教B版选修

高中数学2-1-1曲线与方程的概念课件新人教B版选修

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这样一来,一个二元方程也就可以看作它的解所对应 的点的全体组成的曲线;二元方程所表示的 x 、y之间的关 系,就是以(x,y)为坐标的点所符合的条件.这样的方程就
叫做曲线的方程;反过来,这条曲线就叫做方程的曲线.
在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间
一的思想.
重点:曲线和方程的概念.
难点:曲线与方向的关系.
1.坐标法:借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看
成满足某条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y) 所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间 接地来研究曲线的性质,这就叫坐标法. 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几
何,解析几何研究的主要问题是:
①根据已知条件,求出表示曲线的方程; ②通过曲线的方程,研究曲线的性质.
解析几何是在坐标系的基础上,用代数方法研究几何
问题的一门数学学科,解析几何开创了数、形结合的研究 方法,使数学的发展进入了一个新阶段,解析几何成为进 一步学习数学、物理和其他一些学科的基础.
Байду номын сангаас
2.在建立了直角坐标系之后,平面内的点和有序实数
题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离, 结合几何图形利用几何意义去解决.
3.直线与圆锥曲线的位置关系:①有关直线与圆锥曲
线的公共点的个数问题,应注意数形结合;②有关弦长问 题,应注意运用弦长公式及韦达定理;③有关垂直问题, 要注意运用斜率关系及韦达定理,简化运算. 直线和圆锥曲线的位置关系,可转化为直线和圆锥曲
2.对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义
解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如① 在求轨迹中,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根 据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;②涉及椭圆、 双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义

最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计

最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教学设计

曲线与方程教材分析:曲线属于“形”的范畴,方程则属于“数”的范畴,它们通过直角坐标系而联系在一起,曲线的方程是曲线几何的一种代数表示,方程的曲线则是代数的一种几何表示。

在直角坐标系中,点可由它的坐标来表示,而曲线是点的轨迹,所以曲线可用含x、y的方程来表示。

“曲线和方程”这节教材,揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础,对解析几何教学有着深远的影响,曲线与方程的相互转化,是数学方法论上的一次飞跃。

由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。

求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该认识到,本节内容是解析几何的重点内容之一。

本节中提出的曲线与方程的概念,它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论基础,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性质,是几何的研究实现了代数化。

数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现。

曲线与方程学情分析:新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的发展背景,过程和本质,揭示人们探索真理的道路。

同时结合高二学生特点,本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”,“ 圆的方程”入手,以集合相等,辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”,进一步强化了概念理解的深刻性。

无论是判断、证明,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准则。

曲线与方程课标分析"圆锥曲线与方程"是选修课程系列1选修1-1和系列2选修2-1中的内容,其中选修1-1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的;选修2-1是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

高中数学 2.1.1曲线与方程的概念配套课件 新人教B版选修21

高中数学 2.1.1曲线与方程的概念配套课件 新人教B版选修21

第十一页,共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课
堂更高效 探究点二 由方程判断曲线
2.1.1
例 2 下列方程表示如图所示的直线,对吗?为
什么?不对请改正.
(1) x- y=0;(2)x2-y2=0;
(3)|x|-y=0.
解 (1)中曲线上的点不全是方程 x- y=0 的解,如点(-1, -1)等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一
第十四页,共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂 更高效
2.1.1
跟踪训练 2 方程 x2+xy=x 的曲线是
A.一个点
B.一个点和一条直线
C.一条直线
D.两条直线
(D )
解析 ∵方程可化为 x(x+y)=x,即 x(x+y-1)=0, ∴x=0 或 x+y-1=0,因此方程的曲线是两条直线.
2.1.1
跟踪训练 3 (1)已知方程(x-a)2+(y-b)2=36 表示的曲线经
过点 O(0,0)和点 A(0,-12),求 a、b 的值;
(2)若曲线 y2-xy+2x+k=0 过点(a,-a) (a∈R),求 k 的
取值范围.
解 (1)∵点 O、A 都在方程(x-a)2+(y-b)2=36 表示的曲线
2.在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间
具有如下关系:
(1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解; (2)以方程 F(x,y)=0 的解(x,y)为坐标的点都在曲线 C 上.那 么,曲线 C 叫做___方__程__F__(x_,__y__)=__0_的__曲__线_______,方程 F(x, y)=0 叫做_曲__线___C__的__方__程____.
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2.6.1曲线与方程求曲线的轨迹方程(第一课时)
一、教学目标:
1、理解曲线的方程和方程的曲线.
2、掌握求曲线方程的方法直接法和代入法
3、通过本节内容的教学,培养学生分析问题和转化的能力.
二、教学重点、难点:求曲线的方程.
三、教学方法:启发引导法,讨论法.
四、教学过程:
引入:曲线C :符合某种条件的点的集合(或点的轨迹),这从形状上描述,由点和坐标建
立对应关系动点),(y x ,定点),(b a ,这样可以从方程0),(=y x f 数的角度研究曲线。

如:
1、一三象限的角平分线C 与2
2y x =(曲线上找不到不满足这个方程的点,称纯粹性)
2、单位圆C 与方程21x y -=(满足方程的解的点都在曲线C 上,称完备性) 同时满足1、2称C 与0),(=y x f 等同的,曲线称为方程的曲线,方程为曲线的方程
(一)新授
1、研究方程的曲线
2、如何求曲线的方程,三种方法:定义法,直接法,代入法。

3、直接法求点的轨迹步骤:建系设点→满足条件→列出方程→化简→证明,通常第三和五部
可省略,但要注意有无遗漏增生一些点,常见的ABC ∆中三点不共线,直线点斜式要满足斜
率存在等。

(二)实例
例1:《名师》P32例1
例2:方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线
例3求)7,3(),1,1(B A --的中垂线的方程(课本P35例2)
例4A 为定点,线段C B ,在定直线l 上滑动,已知3=BC ,求A B C ∆的外心的轨迹方程
(《名师》P33变式2)
例5过点)4,2(P 作两条互相垂直的直线交y x ,轴于B A ,两点,设M 为线段AB 的中点,求
点M 的轨迹方程。

(直接法)
例6点)0,3(A 为单位圆外一点,P 为圆上任意一点,若AP 的中点为M ,当P 在圆上运动时,
求点M 的轨迹方程。

(代入法、定义法)
五、总结及作业:这节课我们学习了曲线的方程和方程的曲线,且学会定义法、直接法、代
入法求轨迹方程,要注意纯粹性和完备性。

课本P37练习2,3及AB 组。

椭圆及标准方程(第一课时)
一、教学目标:
1、能正确运用椭圆的定义与标准方程解题
2、学会用待定系数法与定义求椭圆的方程
3、帮助学生树立运动变化的观点,培养学生的探索能力和进取精神
二、教学重点:对椭圆定义的理解及其标准方程记忆 ;难点:椭圆标准方程的推导。

三、教学过程:
引入:曲线与方程同时具有纯粹性和完备性,通俗将是动点按照某种规律运动形成的轨迹叫
曲线。

问:(1)在画图的过程中,绳子长度变化了吗?(2)动点与两个定点有什么关系,
如何表述椭圆的定义? (一)
新授:
1、椭圆的定义:平面内与两定点的距离等于常数c F F a 2221=>的点的轨迹。

两定点称为
焦点,c 2为焦距。

注意:
①21,F F 为两个定点 ② 21PF PF +为常数 ③c F F a 2221=>才是椭圆 ④如果c a 22=则P 点的轨迹是线段21F F ⑤如果c a 22<则点P 的轨迹不存在
2、求椭圆的标准方程 解:以21F F 所在直线为x 轴,线段21F F 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系。

(如
图2-14).设c F F 221=,),(y x P 为椭圆上任意一点,则有)0,(),0,(21c F c F -. 由a PF PF 221=+得方程为a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ )()(2
2222222c a a y a x c a -=+-整理得:122
22=+b y a x ① 焦点在x 轴上122
22=+b
y a x (),0222c b a b a +=>> ② 焦点在y 轴上122
22=+b
x a y (),0222c b a b a +=>>分母谁大焦点就在哪个轴上,只要两个条件就能得方程,且c b a ,,在图中能找到相应的线段
③ 焦点位置不知在哪个轴上),0,0(12
2B A B A By Ax ≠>>=+
3、方法:①定义法②待定系数法 (二)例题讲解
1、判定下列椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,写出焦点坐标及焦距 (1)116
252
2=+y x (2)116914422=+y x
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(-4,0),(4,0)椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10;
(2)52,10==+c b a
(3)与椭圆442
2=+y x 有公共焦点,且经过点)1,2(A
3、化简方程:()()10332222=-++++y x y x
4、方程1422=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,求k 的取值范围
5、过椭圆116
252
2=+y x 的一个焦点M 的直线与椭圆交于B A ,,求B A ,与椭圆的另一个焦点N 围成ABN ∆的周长
6、已知ABC ∆的一边BC 为8,周长为20,求顶点A 的轨迹方程
四、小结:1、椭圆的定义限制及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系2、巩固求曲线方程的步骤与方法,要学会用运动变化的观点研究问题
五、布置作业:《名师一号》P35
一、教学目标:
1、能正确运用椭圆的定义与标准方程解题
2、会处理有关椭圆焦点三角形问题并与正余弦定理结合
3、掌握用定义法求与两定圆相内外切的动圆的圆心轨迹方程问题
二、教学重点:对椭圆标准方程理解及应用 ;难点:焦点三角形
三、教学过程:
(一)复习回顾
1、椭圆的定义
2、椭圆的标准方程及一般方程
(二)新授
1、记11r PF =,22r PF =,θ=∠21PF F 则
121222)2()2(2)2(cos 22
2122121222122221-≥-=--=-+=a
b r r b r r r r
c a r r c r r θ (当且仅当a r r ==21时取等号,这时候θcos 最小,θ最大),
2、点与椭圆的位置关系类比点与圆的位置关系即当12
2≤+By Ax 时为在椭圆内或椭圆上 3、
(三)实例
例1一动圆与圆05622=+++x y x 外切,同时与圆091622=--+x y x 内切,求动圆圆心的轨迹方程。

例2已知P 是椭圆116
252=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左右焦点,求θ=∠21PF F 最大时角的余弦值及此时点P 的坐标
例3已知21,F F 为椭圆1641002=+y x 的左右焦点,P 是椭圆上的点,且3
21π=∠PF F ,求此时21PF F ∆的面积
四、总结及作业
一、教学目标:
1、掌握椭圆的范围、对称性、特殊点
2、掌握e c b a ,,,及准线c
a 2
±,理解e 对椭圆形状的影响及椭圆的第二定义 3、掌握椭圆的焦半径公式及最近点,最远点。

二、教学重点:椭圆
三、教学过程:
(一)复习回顾
①焦点在x 轴上122
22=+b
y a x (),0222c b a b a +=>> ②焦点在y 轴上122
22=+b
x a y (),0222c b a b a +=>>分母谁大焦点就在哪个轴上 (二)新授 曲线与方程建立一一对应关系,因此由方程我们考虑曲线具有哪些特征以122
22=+b
y a x 为例 1、范围a x a ≤≤-,b y b ≤≤-,椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中. 顶点)0,(a ±、),0(b ±焦点)0,(c ±
长轴长a 2,短轴长b 2,焦距c 2。

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