数学：2.1.1《曲线与方程的概念》教案(3)(新人教B版选修2-1)

2.6.1曲线与方程求曲线的轨迹方程（第一课时）
一、教学目标：
1、理解曲线的方程和方程的曲线．
2、掌握求曲线方程的方法直接法和代入法
3、通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．
二、教学重点、难点：求曲线的方程．
三、教学方法：启发引导法，讨论法．
四、教学过程：
引入：曲线C ：符合某种条件的点的集合（或点的轨迹），这从形状上描述，由点和坐标建
立对应关系动点),(y x ，定点),(b a ，这样可以从方程0),(=y x f 数的角度研究曲线。

如：
1、一三象限的角平分线C 与2
2y x =（曲线上找不到不满足这个方程的点，称纯粹性）
2、单位圆C 与方程21x y -=（满足方程的解的点都在曲线C 上，称完备性） 同时满足1、2称C 与0),(=y x f 等同的，曲线称为方程的曲线，方程为曲线的方程
（一）新授
1、研究方程的曲线
2、如何求曲线的方程，三种方法：定义法，直接法，代入法。

3、直接法求点的轨迹步骤：建系设点→满足条件→列出方程→化简→证明，通常第三和五部
可省略，但要注意有无遗漏增生一些点，常见的ABC ∆中三点不共线，直线点斜式要满足斜
率存在等。

（二）实例
例1：《名师》P32例1
例2：方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线
例3求)7,3(),1,1(B A --的中垂线的方程（课本P35例2）
例4A 为定点，线段C B ,在定直线l 上滑动，已知3=BC ，求A B C ∆的外心的轨迹方程
（《名师》P33变式2）
例5过点)4,2(P 作两条互相垂直的直线交y x ,轴于B A ,两点，设M 为线段AB 的中点，求
点M 的轨迹方程。

（直接法）
例6点)0,3(A 为单位圆外一点，P 为圆上任意一点，若AP 的中点为M ，当P 在圆上运动时，
求点M 的轨迹方程。

（代入法、定义法）
五、总结及作业：这节课我们学习了曲线的方程和方程的曲线，且学会定义法、直接法、代
入法求轨迹方程，要注意纯粹性和完备性。

课本P37练习2，3及AB 组。

椭圆及标准方程（第一课时）
一、教学目标：
1、能正确运用椭圆的定义与标准方程解题
2、学会用待定系数法与定义求椭圆的方程
3、帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神
二、教学重点：对椭圆定义的理解及其标准方程记忆 ；难点：椭圆标准方程的推导。

三、教学过程：
引入：曲线与方程同时具有纯粹性和完备性，通俗将是动点按照某种规律运动形成的轨迹叫
曲线。

问：（1）在画图的过程中，绳子长度变化了吗？（2）动点与两个定点有什么关系，
如何表述椭圆的定义？ （一）
新授：
1、椭圆的定义：平面内与两定点的距离等于常数c F F a 2221=>的点的轨迹。

两定点称为
焦点，c 2为焦距。

注意：
①21,F F 为两个定点 ② 21PF PF +为常数 ③c F F a 2221=>才是椭圆 ④如果c a 22=则P 点的轨迹是线段21F F ⑤如果c a 22<则点P 的轨迹不存在
2、求椭圆的标准方程 解：以21F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系。

(如
图2-14)．设c F F 221=，),(y x P 为椭圆上任意一点，则有)0,(),0,(21c F c F -． 由a PF PF 221=+得方程为a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ )()(2
2222222c a a y a x c a -=+-整理得：122
22=+b y a x ① 焦点在x 轴上122
22=+b
y a x （),0222c b a b a +=>> ② 焦点在y 轴上122
22=+b
x a y （),0222c b a b a +=>>分母谁大焦点就在哪个轴上，只要两个条件就能得方程，且c b a ,,在图中能找到相应的线段
③ 焦点位置不知在哪个轴上),0,0(12
2B A B A By Ax ≠>>=+
3、方法：①定义法②待定系数法 （二）例题讲解
1、判定下列椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，写出焦点坐标及焦距 （1）116
252
2=+y x （2）116914422=+y x
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是（-4，0），（4，0）椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；
（2）52,10==+c b a
（3）与椭圆442
2=+y x 有公共焦点，且经过点)1,2(A
3、化简方程：()()10332222=-++++y x y x
4、方程1422=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围
5、过椭圆116
252
2=+y x 的一个焦点M 的直线与椭圆交于B A ,，求B A ,与椭圆的另一个焦点N 围成ABN ∆的周长
6、已知ABC ∆的一边BC 为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程
四、小结：1、椭圆的定义限制及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系2、巩固求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题
五、布置作业：《名师一号》P35
一、教学目标：
1、能正确运用椭圆的定义与标准方程解题
2、会处理有关椭圆焦点三角形问题并与正余弦定理结合
3、掌握用定义法求与两定圆相内外切的动圆的圆心轨迹方程问题
二、教学重点：对椭圆标准方程理解及应用 ；难点：焦点三角形
三、教学过程：
（一）复习回顾
1、椭圆的定义
2、椭圆的标准方程及一般方程
（二）新授
1、记11r PF =，22r PF =，θ=∠21PF F 则
121222)2()2(2)2(cos 22
2122121222122221-≥-=--=-+=a
b r r b r r r r
c a r r c r r θ （当且仅当a r r ==21时取等号，这时候θcos 最小，θ最大），
2、点与椭圆的位置关系类比点与圆的位置关系即当12
2≤+By Ax 时为在椭圆内或椭圆上 3、
（三）实例
例1一动圆与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆圆心的轨迹方程。

例2已知P 是椭圆116
252=+y x 上的动点，21,F F 为椭圆的左右焦点，求θ=∠21PF F 最大时角的余弦值及此时点P 的坐标
例3已知21,F F 为椭圆1641002=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的点，且3
21π=∠PF F ，求此时21PF F ∆的面积
四、总结及作业
一、教学目标：
1、掌握椭圆的范围、对称性、特殊点
2、掌握e c b a ,,,及准线c
a 2
±，理解e 对椭圆形状的影响及椭圆的第二定义 3、掌握椭圆的焦半径公式及最近点，最远点。

二、教学重点：椭圆
三、教学过程：
（一）复习回顾
①焦点在x 轴上122
22=+b
y a x （),0222c b a b a +=>> ②焦点在y 轴上122
22=+b
x a y （),0222c b a b a +=>>分母谁大焦点就在哪个轴上 （二）新授 曲线与方程建立一一对应关系，因此由方程我们考虑曲线具有哪些特征以122
22=+b
y a x 为例 1、范围a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． 顶点)0,(a ±、),0(b ±焦点)0,(c ±
长轴长a 2，短轴长b 2，焦距c 2。