角的概念的推广习题课
辽宁省庄河市第六高级中学高二数学《三角函数的概念》教案
高中数学-打印版精校版教学目标：⑴较好的掌握三角函数的相关概念：角的概念的推广；弧度制；任意角的三角函数；单位圆中的三角函数线。
⑵能灵活的运用同角三角函数的基本关系式和正弦、余弦的诱导公式解决问题。
教学重点：⑴理解任意角的概念、弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。
⑵掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义、并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义。
⑶掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1,sin α/cos α=tan α,tan αcot α=1；掌握正弦、余弦的诱导公式。
教学难点：⑴对三角函数的相关概念的理解与运用。
⑵灵活的运用同角三角函数的基本关系式、正弦、余弦的诱导公式解决问题。
教学过程：㈠三角函数的概念：(1)角的概念推广，正角、负角、零角，终边相同的角；(2)弧度制：一弧度角的定义（长度等于半径长的弧所对的圆心角）；弧长公式为：l ＝｜α｜r (其中l 为弧长，r 为半径，α为圆弧所对圆心角的弧度数)； 角度制与弧度制的换算（π=0180弧度）；(3)任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角函数的定义，定义域，三角函数线，三角函数值在各个象限的符号；(4)同角三角函数间的基本关系式、平方关系、商数关系、倒数关系； (5)诱导公式：主要包括π±α，2π±α，2π±α，23π±α与α角三角函数间的关系； ㈡例题讲解： 例一 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边为射线y=34-x （x ＞0），求sin α（sin α+cot α）+cos 2α的值；若将射线改为直线，则值是多少？例二 化简：()()()()()()o o o o sin 180sin tan 360tan 180cos cos 360-α+-α-+α+α+-α--α例三 已知长方形的四个顶点的坐标分别是A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），一质点从AB 中点P 0沿与AB 夹角为α的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD ，DA ，和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）。
角的画法和角的巩固练习数学教案设计
角的画法和角的巩固练习數學教案設計
标题：角的画法和角的巩固练习数学教案设计
I. 引言
- 教案的目标
- 为什么学习角的画法和角的巩固练习是重要的
II. 角的定义和类型
- 定义：角是由两条射线在一点相交形成的图形
- 类型：锐角、直角、钝角、平角、周角
III. 角的画法
- 工具：直尺、量角器
- 步骤：
- 使用直尺画出一条直线
- 在直线上选择一个点作为角的顶点
- 使用量角器从顶点出发，沿任意方向画一条射线
- 根据需要的角度大小，调整量角器并再次从顶点出发画出另一条射线
IV. 角的巩固练习
- 练习1：画出指定度数的角（例如30°、60°、90°、120°等）
- 练习2：识别给出的角属于哪种类型（锐角、直角、钝角、平角、周角）- 练习3：比较两个角的大小
- 练习4：计算多个角的总和（如三个角的总和等于180°）
V. 教学策略
- 小组活动：分组进行角的画法和巩固练习，增强学生的团队协作能力
- 实践操作：让学生亲自动手画角，提高他们的实践操作能力
- 反馈与评估：教师对学生的作品进行反馈和评估，帮助学生理解自己的错误和不足
VI. 结论
- 总结本次课程的主要内容
- 鼓励学生在日常生活中寻找和使用角的概念
VII. 附录
- 学生作业样本
- 教师反馈和评估表
希望这个大纲对您有所帮助！。
人教版高中数学三角函数全部教案
人教版高中数学三角函数全部教案The manuscript was revised on the evening of 2021第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1 角有正负之分如：=210 =150 =6602 角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）3 还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 330是第Ⅰ象限角 300 60是第Ⅳ象限角 585 1180是第Ⅲ象限角 2000是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zk∈个周角的和k390=30+360 )1k(=330=30360 )1(=k=k 30=30+0×360 )0(-1470=30+4×360 )4k(=1770=305×360 )5=k(-3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4．例一（P5 略）五、小结： 1 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
角的概念推广教案
角的概念推广优秀教案第一章：角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。
能够识别和比较不同类型的角。
能够用角度来描述角的大小。
1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
角的性质：角的内部是两条射线的公共部分，外部是不共线的两条射线的夹角。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
1.3 教学方法通过实物演示和图形展示，引导学生直观地理解角的概念。
利用几何模型和练习题，让学生亲手操作，加深对角的认识。
1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。
实物模型和图片，如剪刀、三角板等。
1.5 教学步骤1.5.1 导入：利用实物或图片，引导学生观察和描述角的存在。
1.5.2 新课引入：讲解角的定义和性质，通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。
1.5.3 实例分析：展示不同类型的角，让学生区分和比较它们的大小。
1.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的概念进行解答。
1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的概念的理解程度。
第二章：角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。
学会使用量角器测量角的大小。
2.2 教学内容角的大小比较：通过观察角的内部或外部，比较角的大小。
量角器的使用：量角器的结构和如何测量角的大小。
2.3 教学方法通过实际操作量角器，让学生学会正确测量角的大小。
提供练习题，让学生运用比较角大小的方法。
2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。
练习题和答案。
2.5 教学步骤2.5.1 导入：复习上一章的内容，引导学生回顾角的概念。
2.5.2 新课引入：讲解如何比较角的大小，通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。
2.5.3 实例分析：提供一些角的大小比较实例，让学生实践和理解比较方法。
2.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的大小比较方法进行解答。
2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的大小比较的理解程度。
怎样求函数最值 2005
课题：5.1角的概念的推广-2 课型：习题课教学目标：1.理解正角、负角、零角的定义2.熟记终边相同角的公式并会应用教学重点：终边相同角公式教学难点：终边相同角公式应用教学方法：精讲多练教具：电教板书设计：课后记：一．组织教学：二．复习提问：1.锐角钝角2.正角负角零角3.终边相同角4.练习P3.2三.新授：1.终边相同角：前提条件：①角的顶点和坐标原点重合；②角的始边和x轴的正半轴重合。
结论：①这时角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角；②如果这个角的终边也落在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限。
③有相同的始边和终边的角，叫做终边相同的角。
一般地，所有和α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示成α（k∈Z）+k⋅360α，k∈Z }即：与α终边相同的角的集合为{β|β=+k⋅360α（k∈Z），那么α与β就始终边相同的角，◆如果β=+k360⋅因此他们或同属于某一个象限，或终边同在坐标轴的某一条半轴上.。
360之间找出与下列各角终边相同的角,并判断各角所在象限。
例1.在 0~①1000②573解：①∵1000 =280 +2×360∴1000 角和280 角的终边也相同又∵280 角在第四象限∴1000 角也在第四象限②∵573 =213 +360∴573 角和213 角的终边也相同又∵213 角在第三象限∴573 角也在第三象限三．练习：P3. 2四．作业：P7. CT-1。
1.1.1角的概念
角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，{β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.终边落在x 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=90°+k·360°,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴的角的集合为：{α|α=180°+k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴负半轴的角的集合为：{α|α=270°+k·360°,k ∈Z }；5.第一象限角的集合为：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k ∈Z }；第二象限角的集合为：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k ∈Z }；第三象限角的集合为：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z }；第四象限角的集合为：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k ∈Z }.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2kπ+23π＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }.4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ,k ∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k ∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π,k ∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°=180πrad≈0.017 45 rad ； 1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r （其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.题组一：基础概念．【题目】．在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360°（2）－270°（3）390°（4）－540°【解】．【题目】．设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系. （2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.．【题目】．下列各命题正确的是( )A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C．【题目】．下列命题中，正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．锐角都是第一象限角C．第一象限的角都是锐角D．小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B．【题目】．给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。
角的概念的推广(教学设计)
§2 角的概念的推广【教学目标】1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角；2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法；3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念；2.初步学会终边相同的角的表示方法.【教学难点】终边相同的角的集合的表示方法.【教学方法】六环节分层导学法【课前准备】（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查.学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线.（小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。
（检查反馈）学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题：1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写；2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件；3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练；4)概念辨析缺乏方法.完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.【教学过程】一、导入新课初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念.教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角.【板书】角的概念的推广二、展示评价学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价.展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题.三、导引探究教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.探究1：判断角所在象限例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（1）480°；（2）-760°；（3）932°；归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限.跟踪训练1：象限角的概念：第一象限角的集合可表示为____________ ______；第二象限角的集合可表示为_________ ________ _；第三象限角的集合可表示为；第四象限角的集合可表示为.跟踪训练2：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？探究2：终边相同的角的表示方法例2写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.归纳小结：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟踪训练3：在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°~360°表示）四、当堂检测学生独立完成导学案巩固提高部分，教师巡视学生完成情况，检测学生学习效果.五、课堂小结师生共同回顾本节课的相关概念，总结解题方法1.正角、负角、零角2.象限角和终边相同的角3.角所在象限的判定和终边相同的角的表示方法六、作业布置习题1-2 第2，3题【教学反思】本节课是北师大版必修4第一章第二节的内容，是在初中的基础上进一步学习角的概念，是学好三角函数的基础. 本节课使用的方法是六环节分层导学法，由学生先课前预习，完成导学案，小组进行交流学习，课堂由学生展示和教师引导的课堂探究以及当堂检测组成. 由于学生课前预习的过程中存在较大的问题，自主学习能力较差，学习的主动性不够，获取信息的能力较弱，导致学生课前完成的导学案问题较多，影响了课堂展示评价环节的进行，再加上教师对六环节分层导学模式的应用不够熟练，导致课堂评价展示环节流于形式，变成教师的“满堂解释”，导引探究部分，教师引导学生对角所在象限的判断和终边相同的角的表示方法进行探究，学生基本能掌握两种方法，但理解不够，动手能力还不好. 最后由于时间把握不好，当堂检测部分未能按时完成. 这节课基本上完成了教学任务，但是没能很好的体现六环节分层导学模式，今后在教学中将会对这种教学模式进行进一步的探究，以期能熟练应用这种教学模式进行教学，提升教学效率.。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
-12-
知识梳理 双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
《角的概念推广》 学历案
《角的概念推广》学历案一、学习目标1、理解角的概念推广的必要性，掌握正角、负角和零角的概念。
2、掌握终边相同角的表示方法，能熟练进行角的终边相同的判断与计算。
3、理解象限角的概念，能准确判断给定角所在的象限。
二、学习重难点1、重点（1）正角、负角和零角的概念。
（2）终边相同角的表示方法。
2、难点（1）对任意角概念的理解。
（2）终边相同角的集合表示及应用。
三、知识链接1、初中所学角的定义：由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
2、角的度量：角的度量单位是度、分、秒，1 度＝ 60 分，1 分＝60 秒。
四、学习过程（一）角的概念推广在平面内，一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
例 1：经过 10 分钟，时针转了多少度？时针按顺时针方向旋转，所以转过的角度是负角。
因为时针转一圈（360°）需要 12 小时，即 720 分钟，所以每分钟转过的角度为 360°÷720 ＝ 05°。
经过 10 分钟，时针转过的角度为－05°×10 ＝－5°。
（二）象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
例 2：判断下列角是第几象限角：（1）420°；（2）－150°解：（1）因为 420°＝ 360°＋ 60°，所以 420°的终边与 60°的终边相同，而 60°是第一象限角，所以 420°是第一象限角。
推广一道课本习题 解决一类求角问题
ｃ ｓＺ． ｏ ＡＯＤ ＝ ＣＯＳ
１ （ １ ＝ ； １９
ｃｏ。
棱Ｏ Ｃ与平面 Ａ Ｂ所成角 ０ 的余弦值 为 Ｏ ，
ｃｓ１ ｏ０ ！！ ±！ 色二 ！ ！！ ！塑
￣Ｄ Ｃ＝ ， ４ Ｏ 卢一 于 是 Ｏ 贝 ／Ｄ Ｂ＝ ．
ｃ ｓｐ ’ｃ ｓ ｏ‘ ｏ ０＝ ｃ ｔ， ｏｓ
图３
Ａｏ ＝，ｃ ＝ ／ｏ ＝ ＿ ｏ 。 孚，ｃ ． ｃ ｓ ｓ ｙ
由推 论 ２可 得
（） １
（） ２
ｃｓ ！！ ！ ： ！ 。 ＝ ： 竺 二 ！ 旦±
维普资讯
２０ ０ ８年 第 １ 期
中 学教 研 （ 学 ） 数
・３ ・
推 广 一 道 课 本 习 题 解 决 一 类 求 角 问 题
●郭兴 甫 （ 云南会泽县第一中学 ６４０ ） ５２０
而 ｃｓ ：ｃｓ／一（ ） ｏ ｏ［ ３ 卢一 ］
ｃｏ。
例 １ 如 图 ４ 在 体积 为 １的直三棱 柱 Ａ ＣＡ Ｂ Ｃ ， Ｂ — 。 中，
￣Ａ Ｂ＝９ 。Ａ Ｃ ０ ， Ｃ＝Ｂ Ｃ＝１求 直 线 Ａ 与 平 面 Ｂ 。 ， Ｂ Ｃ Ｃ所 成
的角 的大小 （ 结果用反三角 函数值表示 ） ．
（ ０ ７年上 海市数 学高考试题 ） ２０
ｓｎｏ ｉ ｔ
推 广 １ 在 原 题 设 条 件 不 变 的 情 况 下 ， ６ 。 广 为 把 ０推
棱Ｏ Ｂ与平面 Ａ Ｃ所成 角 的余 弦值 为 Ｏ
ｃ 日 ：坐 … ｓ 一 ！ ！ ±！！ 二 ！ ！ ！ ！ ｏ ！ ！
角的概念推广教案
角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
中职教育数学《角的概念推广》教案
中职教育数学《角的概念推广》教案一、教案背景角是初中数学中的重要知识点，是理解几何图形的基础。
然而，学生在初中阶段对角的理解多停留在基本概念上，对于角的推广应用能力不足。
本教案旨在通过设计一系列的教学活动，帮助学生深入理解角的概念，并能够将角的概念推广应用于实际问题解决中。
二、教学目标1. 理解角的概念及其性质；2. 掌握角的度量方法，并能够正确使用度计量角；3. 掌握角的推广应用，能够灵活运用角的概念解决实际问题。
三、教学内容与重点1. 角的概念与性质：a. 角的定义及其元素：顶点、始边、终边；b. 角的分类：锐角、直角、钝角、平角；c. 角的性质：对顶角相等、补角和为直角、邻角互补；d. 角的度量：度、弧度制及转化。
2. 角的度量方法与工具：a. 度的定义及度量方法；b. 度量角的工具：度规、直尺、三角板；c. 度与弧度的转换关系。
3. 角的推广应用：a. 角的旋转：角的终边和始边不变，角度变化；b. 角的平分线：通过构造角的平分线，推导出角度相等的性质；c. 三角形内角和：利用角的概念解决三角形内角和的问题。
四、教学方法与手段1. 情境式教学法：通过构建生活实际和实用化情境，引导学生主动参与学习，加深对角概念的理解。
2. 合作学习: 通过小组合作、互动探究的方式，培养学生的思维能力，提高解决问题的能力。
3. 多媒体教学手段: 结合计算机辅助教学软件，呈现图形和角度变化演示，增加教学内容的可视性与直观性。
五、教学步骤1. 角的概念与性质的引入：a. 引导学生观察身边事物中的角，并描述其特征；b. 介绍角的概念及其元素；c. 呈现不同类型的角，并引导学生进行分类讨论；d. 探究角的性质，引导学生发现并总结。
2. 角的度量方法与工具的介绍：a. 通过实际测量，引导学生理解度的概念；b. 介绍度的定义及其度量方法；c. 利用度规、直尺、三角板等工具度量角，让学生掌握使用方法；d. 演示角度转化的过程，引导学生体会度与弧度之间的转换关系。
【中职专用】(高教版2021十四五基础模块上册)数学4.1角的概念的推广 课件
4.1 角的概念的推广
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射 线构成的图形.
4.1 角的概念的推广
角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形.
4.1 角的概念的推广
已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等， 它们都在0° ~ 360°范围内.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
规定：一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角称为正角,如图(1) 所示；按顺时针方向旋转形成的角称 为负角,如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也 认为形成了一个角,这个角称为零角.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.2 终边相同的角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
若角α是第一象限角，试写出角 α 的集合.
4.1.2 终边相同的角
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限. 2 .与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____.
GO
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求时钟从8点到9点15分, 如图 所示, 分针和时针旋转所成的角.
解 时钟8点到9点15分, 分针顺时针旋转450° , 因此, 分针旋 转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了37.5° , 因此, 时针 旋转形成的角为−37.5°.
分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720°，如图(2)所示.
任意角概念及练习题
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．－378°是第________象限角( )
A．一
B．二
C．三
D．四
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限
角，所以－378°是第四象限角．
答案 D
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为 ________． 解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋ k·360°(0°≤α<360° ， k∈Z) 的 形 式 为 144° ＋ ( － 3)×360°． 答案 144°＋(－3)×360°
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂达标
1．下列说法正确的是( ) A．三角形的内角一定是第一、二象限角 B．钝角不一定是第二象限角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限 角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角． 答案 D
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋ 210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°， k∈Z}． (2) 终 边 落 在 阴 影 部 分 ( 含 边 界 ) 角 的 集 合 是 {α|k·360° ＋ 210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
2020_2021学年高中数学第一章三角函数2.1角的概念推广2.2象限角及其表示课后习题含解析北师
§2任意角2.1角的概念推广2.2象限角及其表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)下列说法不正确的是()A.终边在x轴非负半轴上的角是零角B.钝角一定大于第一象限的角C.第二象限的角不一定大于第一象限的角错,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错,390°是第一象限的角,大于任一钝角;C对,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错,285°为第四象限角,但不是负角.可以是()2.(多选)已知角α是第四象限角,则角-α2A.第一象限角B.第二象限角D.第四象限角α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),<k×180°(k∈Z),所以k×180°-45°<α2所以-k×180°<-α<-k×180°+45°(k∈Z),2是第一或第三象限角.所以角-α23.已知角α,β的终边相同,则角(α-β)的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上α,β的终边相同,得α=k·360°+β,k∈Z.α-β=k·360°,k∈Z,得α-β的终边在x轴的非负半轴上,故选A.4.终边在第二象限的角的集合可以表示为()A.{α|90°<α<180°}B.{α|90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z}C.{α|-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z}D.{α|-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z},而选项,故选项D正确.5.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()° B.143° C.379° D.-143°37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.6.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为()A.B⫋AB.A⫋BD.A⊆BA中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.°角的终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是.2016°终边相同的角为2016°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,216°为最小正角;当k=-6时,-144°为绝对值最小的角.°-144°α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60=1440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为3606-0.5分钟,所以一昼夜时针和分针重合14403606-0.5=22(次).(2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为360360-6分,而由于360360-6与3606-0.5的最小公倍数为720分钟,即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.能力提升练1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是()A.B=A∩CB.B∪C=CD.A=B=CB⊂A∩C,故A错误;B⊂C,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误.2.(多选)在-180°~360°范围内,与2 000°角终边相同的角为()A.-160°B.200°° D.160°°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个.°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是.-885°÷360°=-3……195°,且0°≤α<360°,所以k=-3,α=195°,故=195°+(-3)·360°.°+(-3)·360°β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=.°与150°的终边关于y轴对称,故β的终边与150°角的终边相同.故°+k·360°,k∈Z.°+k·360°,k∈Z2α的终边在x轴的上方,那么α是第象限角.k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),α在第一象限;当k=2n+1(n ∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),α在第三象限.故α在第一或第三象限.6.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.因为α,β都是锐角,所以0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①因为α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,所以-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.素养培优练如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处出发,以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟又回到出发点A,求θ,并判断θ所在的象限.,14秒钟后,点P在角14θ+45°的终边上,所以45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z.又180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,所以67.5°<k·180°7<112.5°.又k∈Z,所以k=3或4,所以所求的θ的值为540°7或720°7.因为0°<540°7<90°,90°<720°7<180°,所以θ在第一象限或第二象限.。
5.1.1 任意角教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《5.1.1 任意角》教学设计教材内容：任意角是在初中所学的角的范围上为了满足高中阶段的学习对于角的进一步推广，也是为之后学习半角、倍角、三角函数奠定基础。
为后续学习几何、复数等相关内容提供了研究工具。
本节课的学习可借助角与现实生活的联系，借助由特殊到一般的数学思想，归纳总结出本节课的知识点。
教学目标：1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.教学重点与难点：1、教学重点：终边相同的角的表示；2、教学难点：终边相同的角的含义及其表示方法。
教学过程：1、新课导入︒︒范围的角.例如，体操中有“前空翻转体现实生活中随处可见超出0~360︒︒范围540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0~360的角，而且旋转的方向也不相同，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，那么这节课我们就来学习一下任意角的相关知识.2、探索新知知识点1 角的分类、任意角正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.知识点2 相等角、角的加减（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ=.（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.知识点3 象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.知识点4 终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例题点拨例1 在0~360︒︒范围内，找出与95012-︒'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解：95012129483360''-=-⨯︒︒︒，所以在0~360︒︒范围内，与95012-︒'角终边相同的角是12948︒'，它是第二象限角.例2 写出终边在y 轴上的角的集合.解：在0~360︒︒范围内，终边在y 轴上的角有两个，即90︒，270︒角.因此，所有与90︒角终边相同的角构成集合1|90{}360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，而所有与270︒角终边相同的角构成集合2|270360,{}S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，于是，终边在y 轴上的角的集合12S S S ={|902180,}|90180218}0{,k k k k ββββ==︒+⋅︒∈=++⋅︒︒∈︒Z Z{{|902180,}|90(21)1}80,k k k k ββββ==+⋅∈︒︒︒︒=++∈Z Z|90180,{}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .例3 写出终边在直线y x =上的角的集合S ，S 中满足不等式360720β-<︒︒的元素β有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线y x =，可以发现它与x 轴的夹角是45︒，在0~360︒︒范围内，终边在直线y x =上的角有两个：45︒，225︒.因此，终边在直线y x =上的角的集合{|45360,}{|225360,}S k k k k ββββ=︒︒=︒︒+⋅∈=+⋅∈Z Z{|45180,}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .S 中适合不等式360720β-<︒︒的元素β有452180315-⨯=-︒︒︒，451180135-⨯=-︒︒︒，45018045︒︒+⨯=︒，451180225+⨯=︒︒︒，452180405+⨯=︒︒︒，453180585+⨯=︒︒︒.3、课堂练习1.如果角α与45x +︒的终边相同，角β与45x -︒的终边相同，那么α与β的关系是( )A.0αβ+=︒B.0αβ-=︒C.360()k k αβ+=⋅︒∈ZD.36090()k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 答案：D解析：由题意知()()1145360x k k α=++⋅︒︒∈Z ，()()2245360x k k β=-+⋅︒︒∈Z ， ()123609036090()k k k k αβ∴-=-⋅+=⋅+︒︒︒∈︒Z .故选D.2.下列角的终边位于第二象限的是( )A.450°B.860°C.1060°D.1260°答案：B解析：42036060=+，终边位于第一象限；=⨯+，终边位于第二象限；8602360140=⨯+，终边位于第四象限；10602360340=⨯+，终边位于x轴非正半轴.故选B.126033601803.有下列结论：①小于90°的角是锐角；②30°与-30°角的终边方向相反；③经过1小时，时针转过了30°；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的结论为___________（填序号）.答案：①②③④解析：①小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30°与-30°角的夹角为60°，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经过1小时，时针转过了-30°，故③不正确；④0°小于180°，但0°角既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.4、小结作业小结：本节课学习了任意角、象限角的概念，用集合表示象限角以及终边相同的角的含义及其表示方法.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计5.1.1 任意角1.角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；③零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.2.任意角：包括正角、负角和零角.3.相等角、角的加减：=.（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.5.终边相同的角：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
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2.平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，习惯上规定：__________叫做正角；__________叫做
负角；__________叫做零角。
画图时，常用_________来表示旋转的方向和旋转
的绝对量；由旋转生成的角，又常叫做_________。
4.设θ是任意角，所有与θ终边相同的角以及θ角本身组
成的集合可记为_______________。
_____重合，角的始边与_____重合，角的终边在第几象限内，就把这个角叫做______；如果角的终边在坐标轴上，则认为这个角______，也称为象限界角。
6.终边在x+轴、x-轴、x轴上的角的集合可以分别记为
______________、____________、____________；终边在y+轴、y-轴、y轴上的角的集合可以分别记为
______________、____________、____________;终边在坐标轴上的角的集合可记为____________。
8.终边落在x轴上方、y轴右侧的角的集合可以分别记为___________________、____________________。
____________、____________、_____________.
、
10.若α是第四象限角，则1800－α是第几象限角?
12.判断下列命题的真假：
(2).在坐标系中讨论角时，第一象限的角都是锐角，
锐角都是第一象限的角；
(4).第二象限的角一定大于第一象限的角；
称，α与1800-α角的终边关于y轴对称.
14.若角α与β的终边互为反向延长线，则α、β应满足的关系式为_________________。
为_________________。
系式为_________________。
16.若角α与β的终边关于y 轴对称，则α、β应满足的关系式为_________________。
17.若角α与x ＋450有相同的终边，β与x －450有相同的终
18.若角α的终边过点(,
-1)
，写出角
α
的集合；当
3
19.已知-9900<x<-6300，且角x 与1200角的终边相同，
求x.
21.已知集合A={x|x=600+k·
120
, k
∈
Z}
，
B={y|y=600
+n
·
240
, n∈
Z};
试判断
A
与
B
的关系
.。