例题_向量的物理背景与概念及其向量的几何表示-优质公开课-人教A版必修4精品
人教A版高中数学必修4第二章 向量的物理背景与概念
量。
生活中许多事物都有这样的性质．．．
抽 象 概 括
向 量: 既有大小又有方向的量
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示.
有向线段的长度表示向量的大小（向量的模）
记作：│AB│或┃a┃
A
Ｂ
a
有向线段的方向表示向量的方向.
②代数表示： a 、b、 c、 d …. 或以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ.
知识与技能目标
了解向量 的实际背景， 掌握向量的有 关概念及几何 表示。
过程与方法目标
通过解决 实际问题，提 高依据具体问 题背景分析问 题、解决问题 的能力。
情感态度价值观目标
体会数学 在生活中重要 作用，培养严 谨的思维习惯。 培养学生数形 结合的思想。
教学重点、难点
重点 掌握向量的有关概念及几何表示。
2.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b
其中正确的个数是( B )
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
3.把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量
的终点将落在（B ）
A.同一个圆上
B.同一个点上
C.同一条直线上 D.以上都有可能
②平行向量也叫共线向量
类比演练
ef
那么向量e与f是否是平行向量？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行 有什么区别？
两向量的共线与平面几何里两线段的共线 是否一样？
2.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量.
D
A
记作：AB DC
B
新人教数学A版必修4教案 2.1.1《向量的物理背景与概念》
新人教数学A 版必修4 教案 2.1.1《向量的物理背景
与概念》
一.学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.
一.学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几。
高中数学必修四1：2.1.1 向量的物理背景与概念
他们都是有大小和方向的量 叫向量
新课引入
现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、 速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、 区分这些量，我们引进向量的概念.
在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？ 力的大小和力的方向
探究点1
物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别 如何？受力的大小分别与哪些因素有关？
F G
探究点1
力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能 指出哪些物理量是矢量吗？
数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有 大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、 面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？
探究点2
问题1：向量的概念是什么？举例说明。 问题2：向量与数量的区别是什么？
第一章 平面向量 § 2.1.1平面向量的实际背景及基本概念
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景. 2、掌握向量的基本概念，解决简单的向量问题．
新课引入
请问：猫以每秒5米的速度逃窜,猎狗以每秒8米的速 度追,猎狗一定能追上猫吗？ 为什么？
新课引入
S F
课堂练习
把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么
这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
课堂练习
列举出生活中常见的向量和数量，并且进行比较？
归纳小结
1 向量的概念包含大小和方向两个要素，数量只 有大小一个要素。 2 向量与起点、终点的位置没有关系，只与起点、 终点的相对位置有关。
典例精讲：题型一：
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 2.所有单位向量的大小相等（ ）
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.1.1 向量的物理背景与概念4
第二十五页，编辑于星期日：四点 十七分。
（读作向量 AB 的模）
向量也可以用一个小写字母 来表示，例如： a， b, c， 大小记作： a , b , c ,
请注意印刷体和手写体的区别！
第十页，编辑于星期日：四点 十七分。
知识构建
三.两种特殊的向量 根据向量的模所出现的特殊值进行定义： ①.如果向量的模为0，我们称之为
零向量 ，记作：0 方向是任意的
a
记作：α / /b / /c
b
c
规定：零向量与任一向量都是一
组平行向量
第十四页，编辑于星期日：四点 十七分。
知识构建
讨论：这两个向量是平行向量吗？
a
b
α / /b
咦！
在一条直线上！
注意：任何平行向量都可以平移到
同一条直线上，即平行向量就是共线 向量，共线向量就是平行向量！
第十五页，编辑于星期日：四点 十七分。
第五页，编辑于星期日：四点 十七分。
知识构建
练习：下列哪些是向量、哪些数量？
年龄、位移、身高、加速度、面积、体积
向量： 位移、加速度 数量： 年龄、身高、面积、体积
第六页，编辑于星期日：四点 十七分。
知识构建
讨论：数量能比较大小吗？向量呢？
1.数量只有大小，是一个代数量。
可以比较大小
2.向量有方向、大小，双重属性， 因为方向没有大小可言，
有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向
第九页，编辑于星期日：四点 十七分。
知识构建
二.向量的表示方法
．
a
A 起点
AB
．
B 终点
记法： 以A为起点，B为终点的有向线段表示的向量记为 AB。
2012高二数学教案人教A版必修42.1.1《向量的物理背景与概念及向量的几何表示》
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上 都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小―长度称为向量的模，记作|AB |.A B C D A(起点)B （终点） a3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1.1向量的物理背景与概念PPT(人教A版必修4)
讲授新课
5. 零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小.
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
讲授新课
6.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b
c
说明：
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义； (2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
讲授新课
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、 C两地的位移，并求 出A地至B、C两地的 实际距离(精确到1km).
第二章 平面向量 第一节 平面向量的实际背景及基本概念 第一课时 向量的物理背景与概念
情境设置
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？
C
AB
D
情境设置
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？
C
结论：
猫的速度再快 也没用，因为方向 错了.
AB
D
讲授新课
A B
C
讲授新课
例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什(1) 平行向量是否一定方向相同？ 不一定 (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？
练习_向量的物理背景与概念及其向量的几何表示-优质公开课-人教A版必修4精品
2．如图，设O是正六边形 ABCDEF 的中心， 分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等 的向量。 解：
OA CB DO;
OB DC EO; OC AB ED FO;
１: 下列各量中，哪些是向量？哪些不是向 量？
(1)密度 温度 (2)浮力 (3)风速 (4)
分析：抓住向量的两个特征： 大小和方向进行辨析。
解：浮力与风速既有大小又有方向，所 以是向量，密度和温度只有大小没有方向， 所以不是向量.
Hale Waihona Puke 点拨：实际问题中的一些量，如温度、电 量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向， 故表示数量.而向量是一个既有大小又有方向 的量，如位移、速度、力等.向量和数量是有 本质区别的两个概念.
人教版高中数学必修四向量在物理中的应用举例公开课优质课件
反思小结 用向量解力学问题的步骤：
画出受力分析图 转化为向量问题
求解相关参数（模、夹角） 解释物理现象
提升总问题转化为向量问题，即实际 问题转化为数学模型。 2.求解参数:求向量的模、夹角、数量积等。 3.问题回馈：解释相关的物理现象。
课程版本：人教版《数学》必修四第二章
向量在物理中的应用举例
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、 速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与 物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的 问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中， 如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得 探讨的课题.
探究（三）：向量在物理做功中的应用
已知力 与水平方向的夹角为 （斜向上），大
小为50N,一个质量为8kg的木块受力 的作用在动摩
擦系数
的水平平面上运动了20m，问力 和摩
擦力
所做的功分别是多少？
ur
ur
F
f
30o
ur G
1、向量解决物理问题的一般步骤：
问题转化 （物理问题数学化）
求解参数 （模.夹角.数量积
探究（二）：向量在运动学中的应用
一条河的两岸平行，河宽d=30m，一艘船从A处 出发到河对岸，已知船在静水中的速度 V1 = 5m/s， 水流速度 V2 = 3m/s。 （1）小船渡河的最短时间是多少？ （2）小船渡河的最短航程是多少？
A
思考：若将题干条件改为V1 = 3m/s,V2 = 5m/s 呢？
探究（一）：向量在力学中的应用
两个人共提一桶水，或在单杠上做引体向上运 动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力 气的大小有什么关系？
高中数学人教A版必修4教学案：2.1.1-向量的物理背景和概念
2.1.1向量的物理背景与概念教学目标：1.知识与技能目标了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。
2.过程与方法目标通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。
问题提出1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念。
探究（一）：向量的物理背景与概念思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？力的大小和力的方向思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？1.向量(1)数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，向量的大小，也叫做向量的模。
(2)向量的两个要素：向量的大小和向量的方向。
思考5：向量与数量有什么联系和区别？思考6：数量之间有大小关系，如5＞3 ，0＞﹣2；如何定义向量之间的大小？问题1：判断题1.身高是一个向量。
﹙﹚2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（）问题2：下列物理量中，不能称为向量的是（）A.质量B.速度C.位移D.力2.1.1向量的物理背景与概念教学目标：1.知识与技能目标了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。
2.过程与方法目标通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。
问题提出1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念。
人教版高中数学必修4精品课件：2.1平面向量的实际背景及基本概念
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
C
向量平行
向量的相反向量
平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
uuuv uuuv
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按 一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头 表示向量的方向。
B（终点）
有向线段：在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起点，
B为终点，我们就说线段AB具有方
A（起点）
向。具有方向的线段叫做有向线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
( ×)
(6)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反;
( ×)
(7)相等向量一定是平行向量。
(√ )
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD
的形u状uur： uuur
uuur uuur uuuur uuuur
（1）AD BC ； （2）AB DC 且 AB AD
高中数学必修四人教版2.1.1向量的物理背景与概念1ppt课件
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段 按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大 小，箭头的指向表示向量的方向
思考3：如图，以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记 uuu r 作 ，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ AB
B（终点） A（起点）
起点、长度、方向 uuu r 思考4：用有向线段 表示向量，向量 的大小和方 A B uuu r 向是如何反映出来的？ AB
拉长的是向左的，压缩的是向右的， 在弹性限度内弹簧拉长或压缩的长度 越大，弹力越大
思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你 还能指出哪些物理量是矢量吗？
力、速度、加速度、冲量等.
思考5：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把 只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、 面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？
探究（一）：向量的物理背景与概念 思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？
力的大小和力的方向
思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向 分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？
向下，质量越 大，受到的重 力越大
F
G
竖直向上，浸 入的体积越大 受到的浮力越 大
思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力 方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？
uuu r 思考5：有向线段 的长度就是指线段 AB 的长度，也 AB uuu r 称为向量 的长度或模，它表示向量 的大小，记 AB uuu r uuu r 作| |，两个不同的向量可以比较大小吗？ AB AB
思考6：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点 字母，向量也可以用黑体字母a，b， c，…，或 r r r a, b , c, L 表示，如图. 此时向量的模怎样表示？ a
人教A版高中数学必修四第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 (共13张PPT)
2.向量的表示
B. 终点
(1).有向线段表示向量： . A 几何表示，直观 起点 (2). 字母上方加箭头表示向量： a b c e AB 3.向量的长度(或称模)
| a |,| AB |
4.两个特殊的向量:(从模的角度出发)
(1).零向量： 长度为零的向量叫零向量。 记作：0 规定零向量的方向是任意方向 (2).单位向量： 长度等于1的向量叫单位向量。
5.平行向量
方向相同或相反的非零向量。
规定：零向量与任意向量平行。
记作a // b
平行向量又叫做共线向量
6.相等向量： 长度相等且方向相同的向量。
思考:相等向量与共 线向量是什么关系？
相等向量一定是共线向量， 共线向量不一定是相等向量
三.练习 1.下列叙述正确的是________ ④ 。 ①. 向量AB与CD共线，则A、B、 C、D四点必在同一直线上。 ②.单位向量都相等。 ③.任一向量与它的反向向量不相 等。 ④四边形ABCD是平行四边形当 且仅当AB=DC
二.向量的概念及表示：
1.向量与数量：
既有大小，又有方向的量叫向量。
只有大小，没有方向的量叫数量。
思考:时间,路程,功是向量 吗?速度,加速度是向量吗?
2.向量的表示：
由于实数与数轴上的点 一一对应，所以数量常常用 数轴上的一个点表示，如3， 2，-1，…而且不同的点表 示不同的数量。
-1 0 1 2 3
⑤.一个向量方向不确定当且仅当 模为0。 ⑥.共线的向量，若起点不同，则 终点一定不同。 ⑦.两个向量相等，则它的起点相 同，终点相同。 b c ，则 a c 。 ⑧若 a b ， ⑨若 a // b ，b // c ，则 a // c 。
人教a版数学必修四2.1平面向量的物理背景及基本概念(共36张ppt)
5.下列说法正确的是 ( B )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
6.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
（1）单位向量都是相等的向量 (不正确)
（2）向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上。 （不正确）
（3）若|a| =3 ，|b| = 4 则 a < b .
（不正确）
（4）四边形ABCD 中 AB = DC 四边形ABCD是
平行 四边形
（正确）
练习：
(1)与任何向量都平行的向量是零向量； √
P
K
QL
思 考
在四边形ABDC中，如果AB CD，
与
那么四边形ABDC是平行四边形吗？是
讨 论
如果四边形ABDC是平行四边形，
那么AB CD吗？ 是
C A
D B
变
式
如果四边形ABCD是平行四边形，
：
那么AB CD吗？
不是
D A
C B
例题
如图，表示平面上的六个平
行四边形，问图中哪些向量分别
能判定向量a与b平行的是①__③__④_.
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
uuuv uuuv
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
人教版高中数学必修4精品PPT课件-.1平面向量的物理背景及其含义-【完整版】
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
=2
人教版高 中数学 必修4课 件：.1 平面向 量的物 理背景 及其含 义-精 品课件p pt(实 用版)
人教版高 中数学 必修4课 件：.1 平面向 量的物 理背景 及其含 义-精 品课件p pt(实 用版)
当k为何值时，k a b 与 k a + b 互 相 垂 直
k4 3
人教版高 中数学 必修4课 件：.1 平面向 量的物 理背景 及其含 义-精 品课件p pt(实 用版)
人教版高 中数学 必修4课 件：.1 平面向 量的物 理背景 及其含 义-精 品课件p pt(实 用版)
思考：用向量方法证明：直径所对的圆
a ·b =| a | | b| cosθ
((2(3 1 )))当 当 a aa a r r 与 与 ab b r b r 反 同 |ara |r或 2b |向 a向 r0 a ra r | b r b r a r时 ||a 时 r a a r r||b |r b |r||;ar， ;2，
证明运算律(3)
证 明 ： 任 取 一 点 O ， 作 O A = a ， A B = b ， O C = c .
因 为 a（ b即 O B ） 在 c方 向 上 的 投 影A b 2 B
等 于 a、 b 在 c方 向 上 的 投 影 的 和 ， 即a 1
a b c o s a c o s1 b c o s2 O
人教版高 中数学 必修4课 件：.1 平面向 量的物 理背景 及其含 义-精 品课件p pt(实 用版)
引申：
2 ab =a2 2a b+b2 =|a|2 2|a||b|cos+|b|2
人教版必修四2.2.1向量物理背景与概念课件
[化解疑难]
向量与有向线段的区别和联系 (1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素， 而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个 不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自 由平移的． (2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量 就是有向线段．
[导入新知] 1．向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模)： 向量 AB的大小，也就是向量 AB的长度(或模)，记作 | AB| . (2)两个特殊向量： ①零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ，零向量 的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向 线段表示出来． ②单位向量：长度等于 1个单位 的向量，叫做单位向量．
(3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
7.混淆向量的模与绝对值
[典例] 给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若
(2)[解] ①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上 点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又| OA |＝ 4 2 ，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向 小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 OA 如图所 示．