角平分线与三角形综合应用与拓展

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三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质与关系对于数学学科的发展至关重要。

本文将重点讨论三角形的角平分线、相似三角形、形对称性、角度关系以及面积计算等方面的内容。

一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的直线。

在三角形中，我们可以通过连接三角形的一个内角的顶点和对边上的一点来构造角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 任意三角形的内部角的三条角平分线交于一点，即内心。

内心到三角形的三边的距离相等，且与三边的夹角成正比。

2. 三角形的外角的三条角平分线也交于一点，即外心。

外心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

3. 三角形的三个外角平分线的交点被称为垂心。

垂心到三个顶点的距离相等，且与三个顶点的夹角成比例。

二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件是对应角相等，并且对应边成比例。

三角形的相似性质具有以下特点：1. 如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2. 如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3. 相似三角形的边长度之比等于对应边上的高的比例。

相似三角形的研究在解决实际问题时具有重要意义，例如在实际测量中利用相似三角形可以计算出难以测量的高度或距离。

三、形对称性与角度关系形对称性是指图形相对于某点、某线或某面的旋转或反射对称。

在三角形中，常见的形对称性有以下几种：1. 线对称：当一个三角形沿着一条称为对称轴的直线折叠时，三角形的两个部分重合。

2. 点对称：当一个三角形沿着一个称为对称中心的点旋转180度时，三角形的两个部分重合。

3. 面对称：当一个三角形沿着一个称为对称平面的面折叠时，三角形的两个部分重合。

四、面积计算计算三角形的面积是解决三角形相关问题的基础。

常用的计算三角形面积的方法有以下几种：1. 高度与底边的关系：已知三角形的底边长度和高度，可以通过底边长度乘以高度再除以2来计算三角形的面积。

三角形角平分线定理

三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。

本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。

2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。

根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。

这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。

三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解4--- 角平分线模型在三角形中的应用

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题04 角平分线模型在三角形中的应用【专题说明】在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现OP为OAB⊥于点M时，辅助∠的角平分线、PM OA线的作法大都为过点P作PN OB∆等，∆≌ONP⊥即可.即有PM PN=、OMP利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间角平分线+内垂直当已知条件中出现OP为AOB⊥于点P时，辅助线∠的角平分线,PM OP的作法大都为延长MP交OB于点N即可.即有OMN∆是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当已知条件中出现OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌∆，利用相关结论解决问题.ONP【模型】四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线当已知条件中出现OP为AOB∠的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P作PM//OB或PM//OA即可.即有OMP∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN⊥于点D,∠=∠, P为BN上的一点，并且PD BC2BAP BCP∠+∠=︒.AB BC BD+=,求证：180【思路点拔】已知条件中出现BP为ABC⊥于点D，∠的角平分线,PD BC属于角平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点P 作PE AB ⊥，即有PE PD =, BPE ∆≌BPD ∆等，利用相关结论解决问题.证明过点P 作PE AB ⊥于点E .,,PE AB PD BC ⊥⊥且ABP CBP ∠=∠,PE PD ∴=.在Rt PBE ∆和Rt PBC ∆中， BP BP =,PE PD =Rt PBE ∴∆≌Rt PBC ∆,BE BD ∴=.2,,,AB BC BD BC CD BD AB BE AE +==+=-AE CD ∴=.,,PE AB PD BC ⊥⊥90PEB PDB ∴∠=∠=︒.在PAE ∆和Rt PCD ∆中, PE PD =PEB PDC ∠=∠AE DC =∴Rt PAE ∆≌Rt PCD ∆,PCB EAP ∴∠=∠.180BAP EAP ∠+∠=︒,180BAP BCP ∴∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【思路点拨】已知条件中出现CD 为ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ，属于角平分线基本模型二.辅助线的作法可尝试延长AD 交BC 于点F ，即有CAF ∆是等腰三角形、CD 是三线，利用相关结论解决问题.证明延长AD 交BC 于点F . CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=∆,AD FD∴∆≌FDCADC∴=.又DE∥BC,EA EB∴=.3、已知:如图7,2,,⊥.=∠=∠=，求证:DC ACAB AC BAD CAD DA DB【思路点拨】已知条件中出现AD为BAC∠的角平分线，DC不具备特殊位置，属于角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在AB上截取AE AC=，连结∆DE.即有ACD≌AED∆，利用相关结论解决问题.证明在AB上截取AE AC=，连结DE.=，且AE AC= , EA EB2AB AC∴=.又,=∴⊥.DA DB ED AB又,,,∠=∠==BAD CAD AE AC AD ADACD ∴∆≌AED ∆,AED ACD ∴∠=∠,即有DC AC ⊥.4、如图8,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【思路点拨】已知条件中出现AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠，点E 为角平分线上任一点时，猜侧属于角平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点E 作EM //AB ，或EM //CD .即有MDE ∆(MAE ∆)是等腰三角形，利用相关结论解决问题.解过点E 作EM //AB . EM ∥AB ,MEA BAE ∴∠=∠.又AE 平分BAD ∠,MAE BAE ∴∠=∠即MEA MAE ∠=∠,AM EM ∴=.又AB ∥CD ,EM ∴∥CD ,同理可得DM EM =.又,2AM DM AD AD EM +=∴=.∴线段AD 上存在点M ，使得2AD EM =.以上四个例题并不复杂，但对研究含有角平分线的几何证明题具有指导意义.在教学过程中，要利用基本模型将复杂的几何证明简单化，要真正看透问题的本质，并将课本知识内化为自己的知识，从而提高自己探究问题的能力和数学绘合素养.。

三角形角平分线地结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的、外角平分线的夹角的问题和关于三角形、外角平分线的交点问题。

关于三角形的、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的差。

（3）三角形一个角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个角的一半（4）三角形两角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

专题角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

三角形的角平分线与相似三角形综合

三角形的角平分线与相似三角形综合三角形是几何学中重要的概念，它具有许多特性和性质。

本文将探讨三角形中的角平分线和相似三角形之间的关系以及其综合应用。

一、角平分线的概念和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，角平分线有如下性质：1. 角平分线将角分为两个相等的角：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则∠BAD = ∠DAC。

2. 角平分线与对边的关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则BD/DC = AB/AC。

3. 角平分线的唯一性：在一个三角形中，每个角都有唯一的角平分线。

二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在相似三角形中，角度相等且对应边的比例相等。

相似三角形的性质如下：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似。

3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们相似。

三、角平分线与相似三角形的关系在三角形中，角平分线与相似三角形之间存在一定的关系。

具体如下：1. 角平分线分割相似三角形：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D，令AD与角平分线交BC的延长线于点E。

则有∆ABD ∼ ∆ACE。

2. 相似三角形的角平分线：设∆ABD ∼ ∆ACE，∠BAD的角平分线交BD于点F，∠CAE的角平分线交CE于点G。

则有∆ABF ∼∆ACG。

通过以上关系，我们可以在解决三角形相关问题时应用角平分线和相似三角形的知识。

四、综合应用1. 证明角平分线的长度关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D。

通过角平分线与对边的关系可得BD/DC =AB/AC。

进一步利用相似三角形的性质，我们可以得到如下结论：AD/DC = AB/BC。

2. 判断角平分线存在问题：当一个三角形的三个内角都被其角平分线平分时，可以推断该三角形是等边三角形。

三角形角平分线有关的定理

三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。

它由三条边和三个顶点组成。

而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。

角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。

在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。

这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。

首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。

通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。

同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。

其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。

通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。

这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。

通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。

最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。

通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。

同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。

通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。

同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。

希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。

1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。

在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。

文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。

此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。

正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系三角形是几何学中的一个重要概念，研究三角形的性质有助于我们深入理解几何学的基本原理。

本文将探讨三角形的角平分线与相似三角形之间的综合关系以及与形对称性与角度关系的联系。

一、角平分线的概念及性质角平分线是指一个三角形内角的平分线，将该角分成两个大小相等的角。

我们以△ABC为例来探究角平分线的性质。

首先，设角A的平分线交边BC于点D，根据角平分线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：∠BAD = ∠CAD。

即角A的平分线BD将角A分成两个大小相等的角BAD和CAD。

性质2：BD和CD分别是∠BAD和∠CAD的角平分线。

性质3：三角形的内部每个角都有一条平分线。

二、角平分线与相似三角形的联系接下来，我们来讨论角平分线与相似三角形之间的关系。

相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的三角形。

定理1：如果一条射线与一条光线在一侧交角相等，则这两条射线是相似三角形的角平分线。

证明：设∠BAD = ∠CAD，则根据角平分线的性质1可得∠BAD = ∠CAD，因此△ABD相似于△ACD。

所以BD/AD = CD/AD，即BD/CD = AD/AD = 1。

因此，△ABD与△ACD是相似的。

定理2：如果一条直线平分一个三角形的一个角，并且与另外两边的中点连线，这两条连线所得线段的比等于三角形的两个边的比值，则该直线是相似三角形的角平分线。

证明：设∠BAC被直线DE平分，且DE与BC的中点连线EF满足DF/EF = AB/AC。

根据角平分线的性质可知∠BAE = ∠EAC，由此可得△BAE相似于△EAC。

因此，由线段的比值可得：BE/EC = BA/AC。

以上定理说明了角平分线与相似三角形之间的紧密关系，通过角平分线的构造，我们可以找到两个相似三角形，并有助于推导出相似三角形的性质。

三、形对称性与角度关系形对称性是指具有对称性质的图形。

在三角形中，形对称性与角度关系有着密切的联系。

《角平分线》第二课时

拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和探究活动的照片、记录、分析等内容，向全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可以解决与角平分线有关的距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线的定义，将给定角平分为两个相等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小，并标记出来。
注意事项

角平分线的拓展应用

角平分线的拓展应用我们学习角平分线的概念及角平分线的性质和判定，在解答相关题目时，经常用到上述知识．不过有时遇到一些相关的题型时，只用上面的知识有时并不能解决问题，还需要借助一些其他的相关知识,比如有时需借助三角形的内角和定理，三角形的外角定理，中垂线的性质，垂直的性质等等．1.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC ＝3，求BE．分析：首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE ＝CF，继而求得答案．解：连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝6，AC＝3，∴BE＝1.5．2.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝700，∠D＝100，求∠P的度数．分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P＝（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．解：如图，延长PC交BD于E，∵BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝700，∠D＝100，∴∠P＝（700﹣100）＝300．3.已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC交于点D，AE平分∠BAC，试说明：∠EAD＝（∠C﹣∠B）．分析：由图不难发现∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，再根据三角形的内角和定理及其推论结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC．解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC∵∠BAC＝1800﹣（∠B+∠C），∴∠EAC＝[1800﹣（∠B+∠C）]，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝900，∴∠DAC＝1800﹣∠ADC﹣∠C＝900﹣∠C，∵∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，∴∠EAD＝[1800﹣（∠B+∠C）]﹣（900﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．4.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ．（1）延长BA 至点E ，求证：PA 平分∠CAE ；（2）若∠BPC ＝40°，求∠CAP 的度数．分析：（1）如图，作辅助线；证明PE ＝PF ，即可解决问题．（2）如图，设∠ABC ＝2α，∠ACD ＝2β；证明β＝α+∠BPC ，而β＝，得到∠BAC ＝2∠BPC ，即可解决问题．解：（1）如图，过点P 作PD ⊥BD 、PE ⊥BE 、PF ⊥AC ；∵∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 平分线BP 交于点P ，∴PD ＝PE ，PD ＝PF ，∴PE ＝PF ，∴PA 平分∠CAE ．（2）设∠ABC ＝2α，∠ACD ＝2β；∵∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 平分线BP 交于点P ，∴β＝α+∠BPC ，而β＝，∴∠BAC ＝2∠BPC ＝800，∴∠CAP ＝＝500．5.在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于点P ．（1）求证：P 在∠A 的平分线上；（2）若AB+AC ﹣BC ＝l ，△ABC 的面积为S ，点P 到BC 的距离为d ，试探索s 、l 、d 之间的关系．分析：（1）如图，作辅助线，证明PM ＝PQ ，即可解决问题；（2）首先把S 表示为边长和d 的代数式的形式，化简、整理即可解决问题．解：（1）如图，过点P 作PM ⊥BD 、PN ⊥BC 、PQ ⊥CE ，垂足分别为M 、N 、Q ；∵∠ABC 、∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于点P ．∴PM ＝PN ，PQ ＝PN ，∴PM ＝PQ ，∴P 在∠A 的平分线上．（2）由题意得：＝（AB+AC ﹣BC ），而AB+AC ﹣BC ＝l ，∴S= d.．6.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2， EG ⊥AD 于M ，交BC 的延长线于G ，分别交AB 、AC 于E 、F ，求证： ∠G=21（∠ACB-∠ABC ）证明：过C 作CN ∥EG 交AB 于N ，∵∠1=∠2，EG ⊥AD ，∴AN=AC ，∴∠ANC=∠ACN ，∵∠ANC=∠BCN+∠ABC, ∠BCN=∠G,∴∠ANC=∠G+∠ABC,∵∠ANC=∠ACB-∠NCB=∠ACB-∠G,∴∠ACB-∠G=∠G+∠ABC,∴∠G=21（∠ACB-∠ABC ）1.已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝15，AC＝9，求CF的长．2.如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，求∠P的度数3.在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝3、PE＝2，S△ABC＝5，求△ABC的周长．4.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于E，AD⊥BC于D，若∠B＝400，∠C＝800，求∠EAD的度数．5.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．6.如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝250，求∠CAP的度数．1.（1）证明：作DK⊥BC于K．∵DK垂直平分线段BC，∴BD＝DC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠DAE＝∠DAF，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，（2）∵AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝2AE＝15+9＝24，∴AE＝AF＝12，∴CF＝AF﹣AC＝12﹣9＝3．2.解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．3.解：如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，连接AP，∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，∴PF＝PG＝PE＝2，∵S△BPC＝3，∴BC•2＝3，解得BC＝3，∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP，＝×（AB+AC）×2﹣3＝5，∴AB+AC＝8，∴△ABC的周长＝11．4.解：∵∠B＝400，∠C＝800，∴∠BAC＝1800﹣∠B﹣∠C＝1800﹣400﹣800＝600，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠BAC＝×600＝300，∵∠B＝400，AD⊥BC，∴∠BAD＝900﹣∠B＝900﹣400＝500，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝500﹣300＝200．5.（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，∴∠B＝80°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝30°，∵AD ⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．6.解：延长BA，作PN⊥BD于点N，PF⊥BA于点F，PM⊥AC于点M，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝25°，∴∠ABP＝∠PBC ＝（x﹣25）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣25°）﹣（x°﹣25°）＝50°，∴∠CAF＝130°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝650．。

三角形的角平分线应用利用角平分线解决实际问题

三角形的角平分线应用利用角平分线解决实际问题三角形的角平分线应用——利用角平分线解决实际问题三角形是几何学中的基本图形之一，而角平分线是三角形研究中的一个重要概念和应用技巧。

利用角平分线可以解决许多实际问题，包括测量、建筑、导航、工程设计等多个领域。

本文将介绍角平分线的定义与性质，并重点讨论其在实际问题中的应用。

一、角平分线的定义与性质在三角形ABC中，如果线段AD是∠BAC的平分线，则称线段AD为∠BAC的角平分线。

角平分线的定义是基于角的平分概念，即将一个角分为两个相等的角。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线将一个角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC。

2. 角平分线平分对应的弧，即弧BD = CD。

3. 角平分线与三角形的另外两边相交于不同的点，即BD不等于CD。

二、角平分线在实际问题中的应用1. 土地测量在土地测量中，利用角平分线可以测量无法直接测量的距离。

例如，对于一个无法直接测量的山坡高度AB，我们可以先找到平面上一个位置C，使得∠ABC=∠ACB=45°，然后测量AC的长度，再应用三角函数关系计算出AB的长度。

2. 建筑设计在建筑设计中，角平分线可以用于确定建筑物各个部分的位置和角度。

例如，在设计一个房间的角度时，可以利用角平分线来确保每个角都是相等的，使得房间看起来更加对称美观。

3. 导航在导航中，利用角平分线可以确定方向和位置。

例如，当我们只知道自己位于两个已知地点A和B之间的某一点C时，可以通过找到∠ACB的角平分线来确定自己的准确位置。

4. 工程设计在工程设计中，角平分线可以应用于测量和定位。

例如，在道路设计中，可以利用∠ACB的角平分线来确保道路的曲率和转弯度合理，从而保证交通的安全和流畅。

5. 几何问题解决角平分线也可以应用于解决一些几何问题，例如确定三角形的中位线、垂心、外心等特殊点的位置。

综上所述，三角形的角平分线在实际问题中具有广泛的应用。

通过研究角平分线的性质和应用技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的实际问题，提升我们的数学思维能力和几何应用能力。

三角形角平分线地结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

1∠Ａ。

七年级下册三角形拓展 5 角平分线专题

三角形拓展五、角平分线专题角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

⑵角平分线的性质定理：➢如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。

➢在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

➢角平分线的性质与判定：⑶角平分线的判定定理如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

角分线的常见作辅助线方法：1、向角两边作垂线。

2、有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形。

3、在角的一边上截取相等的线段，构造全等三角形。

如图1所示，OP平分∠MON ，A为OM上一点，C为OP上一点。

连接AC，在射线ON上上截取OB＝OA，连接BC(如图2)，易证△AOC≌△BOC。

【例1】已知：如图，在四边形中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC。

求证：∠A＋∠C＝180°方法一：【例1】已知：如图，在四边形中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC。

求证：∠A＋∠C＝180°方法二：方法三：【例2】已知：∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。

【例3】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＋CE＝9，则线段DE之长为_____。

【例4】如图，在△ABC中，BD、CD分平分∠ABC和∠ACB。

ED∥AB，FD∥AC。

如果BC＝6cm ，则△DEF的周长_____。

【例5】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，AD是内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，求证：PC－PB＜AC－AB。

【例6】】已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC ，CE⊥BE。

求证：CE＝1BD。

2【例7】如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

角平分线和相似三角形的比例关系证明

角平分线和相似三角形的比例关系证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述角平分线和相似三角形的比例关系是几何学中一个重要的概念，它揭示了角平分线和相似三角形之间的密切联系。

在本文中，我们将深入研究角平分线和相似三角形的定义、性质以及它们之间的比例关系，并通过证明来进一步加深对这一关系的理解。

在几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

它具有许多有趣的性质，如角平分线和角的边相互垂直、角平分线上的点到角的两个边的距离相等等。

相似三角形是指具有相等角度但边长比例不同的三角形。

它们在形状上相似，但大小可能不同。

本文的目的是探讨角平分线和相似三角形之间的比例关系，并通过严密的证明来验证这一关系。

我们将通过证明来论述角平分线将相似三角形的两个对应边分成相等比例的线段。

具体而言，我们将重点讨论证明角平分线将相似三角形的两个对应边之间的比例等于相似三角形其他两个边之间比例的定理。

为了证明这一结论，我们将分为以下几个证明要点来展开讨论。

首先，我们将证明角平分线的定义和性质，包括角平分线和角边垂直、角平分线上的点到角边的距离相等等。

其次，我们将介绍相似三角形的定义和性质，包括相似三角形的角度对应相等、边长比例等。

然后，我们将讨论角平分线和相似三角形之间的联系，如角平分线将相似三角形的两个对应边分成相等比例的线段。

最后，我们将通过严谨的证明来验证角平分线和相似三角形的比例关系。

通过本文的研究，我们将深入了解角平分线和相似三角形的定义、性质以及它们之间的比例关系，并能够准确地证明角平分线将相似三角形的两个对应边分成相等比例的线段的定理。

这一结论在几何学的应用中具有广泛的意义，可以用于解决诸如测量、设计、建模等问题。

最后，本文将总结证明过程，强调结论的重要性，并讨论可能的进一步研究方向和结论的应用。

通过深入研究角平分线和相似三角形的比例关系，我们将能够更好地应用这一概念解决实际问题，并为几何学领域的进一步研究提供一定的指导和参考。

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)本文介绍了一道昆明市统测解三角形的思考题目。

题目分为文科和理科两个版本，其中文科版本中D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC；理科版本中D是BC的中点，AB=4，AC=1，∠BAC=60°，求AD的长度。

文章介绍了角平分线的性质和中点的性质，并提供了两种解题方法：方程思想和余弦定理。

其中，方程思想需要进行较多的计算，而余弦定理则需要使用三边求角的方法。

在三角形ABC中，已知cosB=27/50.在三角形ABD中，其中D在BC上，求AD的长度。

解法1：利用余弦定理根据余弦定理，有AD²=AB²+BD²-2ABBDcosB。

已知AB=BD=3，cosB=27/50，代入得AD²=16/25，因此AD=4/5.解法2：利用面积法根据正弦定理的面积公式，有S(△ABC)=S(△ACD)+S(△ABD)。

已知AB=3，AC=1，∠BAC=60°，因此S(△ABC)=√3/4.又因为AD平分∠BAC，所以S(△ACD)=S(△ABD)，即S(△ACD)=√3/8.根据面积公式S=1/2×底×高，可以得到AD=4/5.解法3：利用坐标法将△ABC放到坐标系中，A放在坐标原点，AC在X轴上，则B坐标为(2,2)。

由于AD平分∠BAC，所以D的坐标为(5/3,0)。

因此AD=2/3×AD=4/5.解法4：利用向量法根据向量的定义，有AD=AB+BD/3.已知AB=3，BD/DC=3/1，因此BD=9/4，DC=3/4.代入得AD=4/5.以上四种解法都可以解决这道题目，其中余弦定理和面积法比较常用，而坐标法和向量法则更加高效。

在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，已知AB=3，AC=1，∠BAC=60°，求AD的长度。

方法六：构造法过点B作AC的平行线交AD的延长线于点E，则△ABD为等腰三角形，且AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°。

三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

1∠Ａ。

角平分线的性质kejia

02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形，每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线，它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小的角，再通过计算得到原角的度数。

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算与内外接圆与周长计算

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算与内外接圆与周长计算三角形是几何学中的基本图形之一，其角平分线、相似三角形、形对称性（对称轴）、角度关系、面积计算、内外接圆以及周长计算是研究三角形性质时常用的重要概念和方法。

1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个等大的角的线段。

对于一个三角形ABC，如果从顶点A出发的线段AD将角BAC平分成两个等大的角，那么AD即为角BAC的平分线。

同样地，对于角ABC和角ACB，它们的平分线分别为BE和CF。

2. 相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

设有两个三角形ABC和DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且对应边的长度之比恒定，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，则称三角形ABC与DEF相似。

3. 形对称性（对称轴）形对称性是指一个图形相对于某一条轴线（对称轴）对称。

对于三角形来说，如果三角形的每个顶点关于某条线对称，那么这个三角形具有形对称性。

形对称性可以通过将三角形的每个顶点关于对称轴做镜像来实现。

4. 角度关系在三角形中，角度关系是指三个内角之和等于180度。

无论三角形的形状如何，其内角之和始终保持不变，即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

5. 面积计算计算三角形的面积是几何学中的常见问题。

对于任意三角形ABC，可以利用海伦公式或直接计算底边乘以高的一半来确定三角形的面积。

具体而言，当已知三角形的三边长度a、b、c时，可以使用海伦公式：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长（s = (a + b + c)/2）。

6. 内外接圆内接圆是指一个圆恰好与三角形的三边相切。

对于任意三角形ABC，可以通过三角形的三边唯一确定一个内切圆，该圆的圆心与三个顶点的连线相交于一点，且与三边相切。

外接圆是指一个圆正好通过三角形的三个顶点。

角平分线与三角形综合应用与拓展

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算

三角形角平分线定理

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解4--- 角平分线模型在三角形中的应用

三角形角平分线地结论及应用

专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

三角形的角平分线与相似三角形综合

三角形角平分线有关的定理

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系

《角平分线》第二课时

角平分线的拓展应用

三角形的角平分线应用利用角平分线解决实际问题

三角形角平分线地结论及应用

七年级下册 三角形拓展 5 角平分线专题

角平分线和相似三角形的比例关系证明

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

三角形角平分线的结论及应用

角平分线的性质kejia

三角形的角平分线与相似三角形综合与形对称性与角度关系与面积计算与内外接圆与周长计算

专题角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

七年级下册三角形拓展 5 角平分线专题