考研微分5

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考研微分的题型及解题技巧

考研微分的题型及解题技巧考研微分是数学考研中的一个重要部分，它涉及到微分基本概念、微分法、微分方程等内容。

在备考考研微分时，我们需要了解题型及解题技巧，有针对性地进行复习和练习。

下面，我将从题型和解题技巧两个方面进行讲解，帮助大家更好地备考考研微分。

一、题型1.基本概念题：主要考察微分的定义、微分的性质和应用。

例如，求导数、微分的应用等。

2.复合函数求导题：主要考察链式法则、反函数求导、隐函数求导等。

例如，复合函数求导、反函数求导、隐函数求导等。

3.高阶导数题：主要考察高阶导数的概念、求解高阶导数的方法等。

例如，连续可导函数的高阶导数、隐函数高阶导数等。

4.微分方程题：主要考察微分方程的基本概念、解微分方程的方法等。

例如，常微分方程的解、一阶线性微分方程的解等。

二、解题技巧1.理解基本概念：首先要熟悉并理解微分的基本概念，例如导数的定义、微分的性质等。

只有对基本概念有深入的理解，才能够更好地解题。

2.熟练使用求导法则：掌握常见函数的求导公式，并熟练掌握求导法则，例如常数因子法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数求导法则等。

在解题过程中，根据题目给出的函数形式，灵活运用求导法则来求导，将复杂问题转化为简单的求导问题。

3.注意边界条件：在求导过程中，要注意边界条件的处理。

例如，定义域的划分、导数存在与否的判断等。

在解微分方程题中，要特别注意边界条件的使用，以求出满足题目要求的特定解。

4.熟练运用解微分方程的方法：解微分方程是考研微分中的重要内容，需要熟练掌握常见的解微分方程的方法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程的解法等。

在解题过程中，可以根据题目给出的微分方程形式，灵活运用相应的方法进行求解。

5.多练习、多总结：在备考考研微分过程中，要多做题，通过大量的练习，不断强化对知识点的理解和掌握。

通过练习，可以总结出一些常见的解题技巧和思路，提高解题速度和准确度。

总结起来，考研微分的题型主要包括基本概念题、复合函数求导题、高阶导数题和微分方程题等。

考研数学真题大串讲-微积分

例2（0 2012数一）grad

xy
z y
2,1,1
例2（1 1991数一）设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P 1,1,1处指向外侧的法向量,
求u= 6x2 8y2 在P处沿n的方向的方向导数 z
6）几何应用（曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）
例2（ 2 2014数一）曲面z x2 1sin y y2 1sin x在点1,0,1处的切平面方程为
x, y 0,0
A连续,偏导存在 B连续,偏导不存在 C 不连续,偏导存在
D不连续,偏导不存在
注 : 对二重极限的三类情形
xy
1) lim
x, y0,0
x2
y2
不存在
取不同的路径如y kx会有不同的极限值
2） lim x, y0,0
x2
x
y2
不存在
3） lim x, y0,0
2
3) 1
2
例（4 2012数一）如果f x, y在点0, 0处连续,则下列命题正确的是
A若极限lim f x, y 存在,则f x, y在点0, 0处可微
x0 x y
y0
B若极限lim x0
f x
2
x,
y
y2
存在,
则f
x,
y在点0, 0处可微
y0
C 若f x, y在点0, 0处可微,则极限lim f x, y 存在
例1（5 2015数二）已知f x, y满足fxy x, y 2 y 1ex , fx x, 0 x 1ex, f 0, y y2 2y 求f x, y的极值
（2009数二）设z f (x, y)的全微分dz xdx ydy,则点（0, 0）

2024考研高数各章难度排行

2024考研高数各章难度排行
2024年考研数学高等数学各章难度排行如下：
1. 微积分基础 - 相对于其他章节比较简单，但需要掌握好基本
概念和不定积分的计算方法。

2. 微积分进阶 - 难度适中，需要掌握一些高阶的微积分概念和
技巧，比如定积分、微分方程等。

3. 无穷级数 - 难度适中，需要掌握级数的基本概念和性质，以
及判断级数敛散的方法。

4. 矩阵论 - 难度较大，涉及到矩阵的基本性质、变换和运算等，要求了解矩阵的代数和几何特征。

5. 偏微分方程 - 难度较大，需要掌握偏微分方程的基本概念和
求解方法，以及一些较为复杂的变量代换和求解技巧。

6. 复变函数 - 难度大，涉及到复数的性质和运算、复函数的解
析性等，需要运用复分析的方法来求解问题。

7. 常微分方程 - 难度较大，需要掌握微分方程的基本概念和求
解方法，以及一些复杂的变量代换和求解技巧。

总的来说，考研数学高等数学中，微积分基础和进阶是基础难度
较低的章节，其他章节难度较大，需要有较强的数学功底和解题能力。

微分方程理论考研真题

微分方程理论考研真题微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、经济学等。

在考研中，微分方程理论是一个必考的内容，掌握好微分方程的基本理论和解题方法对于考研的成功至关重要。

本文将以真题为例，通过分析和解答真题，帮助考生更好地理解和掌握微分方程理论。

1. 题目分析以下为一道典型的微分方程真题：已知微分方程$\frac{dy}{dx}-(2x-1)y=x$，求其通解。

2. 解答过程首先，我们观察到该微分方程是一阶线性常微分方程，一般形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。

这种类型的微分方程可以通过积分因子法求解。

接下来，我们需要判断给定的微分方程是否为线性常微分方程。

若方程的形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，则为线性常微分方程。

否则，我们需要对方程进行变形，使其满足线性常微分方程的形式。

在本题中，我们可以将方程变形为$\frac{dy}{dx}-(2x-1)y=-x$，得到$P(x)=-(2x-1)$和$Q(x)=-x$，满足线性常微分方程的形式。

接下来，我们需要求解该线性常微分方程的积分因子。

积分因子通常可以通过公式$I(x)=e^{\int P(x)dx}$求得。

在本题中，积分因子为$I(x)=e^{\int -(2x-1)dx}$。

对积分因子进行积分运算，我们有$I(x)=e^{-x^2+x}$。

有了积分因子，我们可以通过将原方程两边乘以积分因子，得到$$e^{-x^2+x}\frac{dy}{dx}-e^{-x^2+x}(2x-1)y=e^{-x^2+x}(-x)$$这样，我们就得到了一个恰好可以通过求导运算解决的方程：$$\frac{d}{dx}(e^{-x^2+x}y)=-x e^{-x^2+x}$$接下来，我们对上述方程两边进行积分运算，得到$$e^{-x^2+x}y=\int -x e^{-x^2+x}dx$$我们对右侧积分进行变量替换，令$t=-x^2+x$，则$dt=(-2x+1)dx$。

考研数学微积分试题及答案

考研数学微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)2. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. eD. e^03. 定积分∫₀^(π/2) sin(x) dx的值是（）。

A. 1B. 2C. π/2D. π4. 已知函数f(x) = 2x - 1，g(x) = x^2 + 3x + 2，这两个函数的和f(x) + g(x)是（）。

A. x^2 + 5x + 1B. x^2 + x + 1C. x^2 + 5x + 3D. x^2 + 4x - 15. 设函数f(x)在区间(a, b)上连续，若∫(a, b) f(x) dx = 2，则∫(a, b) x f(x) dx是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 无法确定6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解是（）。

A. y = x^2B. y = x - 1/xC. y = x + 1/xD. y = e^x7. 若函数f(x)在点x=c处可导，则函数f(x)在点x=c处一定（）。

A. 连续B. 有定义C. 可积D. 有极限8. 函数F(x) = ∫(1, x) e^t dt + 2的主要性质是（）。

A. 单调递增B. 单调递减C. 有界D. 无界9. 设f(x)在区间[a, b]上二阶可导，且f''(x) ≥ 0，则f(x)在[a,b]上是（）。

A. 单调递增B. 单调递减C. 凸函数D. 凹函数10. 利用分部积分法计算定积分∫(0, e) sin(t) dt的结果是（）。

A. 1 - cos(e)B. cos(e) - 1C. e - sin(e)D. sin(e) - e二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3在区间[-1, 2]上的最大值为_________。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则( )A．a=1，b=1，c=1．B．a=1，b=1，c=一2．C．a=一3，b=一3，c=0．D．a=一3，b=1，c=1．正确答案：B解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x 代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B．知识模块：常微分方程2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )A．y’’’+y’’一4y’一4y=0．B．y’’’+y’’+4y’+4y=0．C．y’’’一y’’一4y’+4y=0．D．y’’’一y’’+4y’一4y=0．正确答案：D解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根r=1，r=±2i，所以特征方程为(r一1)(r一2i)(r+2i)=0，即r3一r2+4r一4=0．因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分程为y’’’一y’’+4y’一4y=0．知识模块：常微分方程3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)g(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)g(x)，那么λ一μ=0．综上所述．知识模块：常微分方程4．方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为( )A．y=axex+b+Aexeos2x．B．y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．C．y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)．D．y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．正确答案：C解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0．r2—3r+2=0．特征根为r1=1，r2=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)，故选C．知识模块：常微分方程5．设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为知识模块：常微分方程6．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0．特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx-Im(eik)，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．知识模块：常微分方程7．微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )A．a(eλx+e-λx)．B．ax(eλx+e-λx)．C．x(aeλx+be-λx)．D．x2(aeλx+be-λx)．正确答案：C解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1,2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1’’=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe-λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx)，因此选C．知识模块：常微分方程8．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )A．C[y1(x)一y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B解析：由于y1(x)一y2(x)是对应齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解为y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故应选B．知识模块：常微分方程9．设f(x)具有一阶连续导数f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx一f(x)]dy，则f(x)等于( )A．cosx+sinx一1．B．．C．cosx一sinx+xex．D．cosx一sinx+xe-x．正确答案：B解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy知知识模块：常微分方程填空题10．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_____________．正确答案：解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即知识模块：常微分方程11．微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为____________．正确答案：解析：将已知方程变形整理得，知识模块：常微分方程12．微分方程y’’一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y’’一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数．由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为知识模块：常微分方程13．微分方程y’+y=e-xcosx；满足条件y(0)=0的解为_________________.正确答案：y=e-xsinx解析：原方程的通解为=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)?由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程14．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________．正确答案：y=e-x(C1cosx+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e-x(C1cosx+C2sin2x)．知识模块：常微分方程15．若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________.正确答案：ex解析：由已知，特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，该齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex，解得2C1ex一3C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为____________．正确答案：解析：原方程可等价为知识模块：常微分方程17．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y｜x=1=1的解为___________．正确答案：x=y2解析：对原微分方程变形可得此方程为一阶线性微分方程，所以又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2．知识模块：常微分方程18．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：由，两边积分，得ln｜y｜=一In｜x｜+C，代入条件y(1)=1，得C=0．所以知识模块：常微分方程19．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0．解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x,cosx，sinx．因此通解为y=C1e2c+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．知识模块：常微分方程20．微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=___________．正确答案：x(一e-x+C)解析：微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0，可变形为所以其通解为知识模块：常微分方程21．微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的通解为____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组

第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。

5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。

方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。

考研数学微积分重点整理

考研数学微积分重点整理微积分作为数学的重要分支，是考研数学科目中的重头戏之一。

在备考过程中，积累并掌握重点知识点是非常关键的。

本文将对考研数学微积分的重点内容进行整理和总结，帮助考生更好地备考。

一、函数与极限1. 函数的概念与性质函数是定义域中的每个元素对应到值域中的唯一元素的一种对应关系。

函数有定义域、值域、图像等基本属性。

2. 极限的概念与性质极限描述了函数在某一点附近的变化趋势。

了解极限的性质和计算方法，能够解决函数的连续性、可导性等问题。

3. 极限的判定法与计算掌握极限的推求与计算方法，包括函数极限、无穷极限、空间极限等。

二、导数与微分1. 导数的概念与性质导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。

了解导数的定义、性质和计算方法，能够解决函数的单调性、最值问题。

2. 导数的计算掌握常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3. 高阶导数与微分了解高阶导数的定义和求法，以及微分的概念和计算方法。

三、微分中值定理1. 罗尔定理若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在a和b处取相等的函数值，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

2. 拉格朗日中值定理若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/[(b-a)]=f'(c)。

3. 柯西中值定理若两个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且不变号，则存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

四、积分与反常积分1. 积分的概念与性质积分表示函数与自变量变化区间上各点对应值的乘积之和。

了解积分的定义、性质和计算方法，包括不定积分和定积分。

2. 反常积分当积分的区间为无穷区间或积分函数在某些点无定义时，需要使用反常积分来求解。

考研数学常微分方程题解题方法

考研数学常微分方程题解题方法考研数学常微分方程是数学考研中的一个重要的考点，也是许多考生头疼的地方。

常微分方程的解题方法多样，需要考生在备考过程中掌握和熟练运用。

本文将从常微分方程的一阶方程、二阶方程、变量分离、齐次方程等方面介绍一些解题方法。

一、一阶方程的解题方法对于一阶方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量的方法来求解。

首先将方程重新整理为dy = f(x, y)dx的形式，然后两边同时积分，即可得到方程的通解。

但需要注意的是，有些方程的右端函数f(x, y)可能不易分离变量，这时可以采用常微分方程的可分离变量近似解法，即用一阶泰勒展开式来近似代替右端函数f(x, y)。

同时，在解题过程中，还需要注意初始条件的考虑和对待解方程的变量的合理换元。

二、二阶方程的解题方法二阶方程是一阶方程的推广，其一般形式为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)。

对于二阶齐次线性微分方程，其特征方程为r² + P(x)r + Q(x) = 0。

根据特征方程的解，可以得到二阶齐次线性微分方程的通解。

而对于非齐次线性微分方程，可以通过求非齐次线性微分方程的一个特解，再加上齐次线性微分方程的通解，即可得到非齐次线性微分方程的通解。

在解题过程中，可以采用常系数变异法、未知系数法、特征根法、常数变易法等方法，具体根据题目的要求和形式来选择合适的方法。

三、变量分离的解题方法当微分方程可以经过变量分离变为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以先将等式两边分离变量，然后各自积分，在解方程过程中包含的未知常数可以通过给定的初始条件得到。

变量分离法在一些特定形式的微分方程中使用较为广泛，例如dy/dx = (x+y)/(x-y)，对于这种形式的方程，将x+y和x-y作为一个整体，即可进行变量分离求解。

四、齐次方程的解题方法齐次方程是指微分方程的右端函数为零的情况，即dy/dx = f(x, y)/g(x, y) = 0。

考研高数每章总结知识点

考研高数每章总结知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 一元函数的极限3. 函数的连续性4. 导数与微分5. 多元函数的极限6. 多元函数的连续性7. 偏导数与全微分在这一章节中，我们需要深入理解函数的概念与性质，掌握一元函数的极限和导数与微分的计算方法，以及多元函数的极限、连续性、偏导数与全微分的性质和应用。

二、微分学1. 函数的微分学2. 隐函数与参数方程的微分法3. 高阶导数与微分的应用4. 泰勒公式与函数的逼近5. 不定积分6. 定积分与广义积分7. 定积分的应用在这一章节中，我们需要掌握函数的微分学的相关知识，包括隐函数与参数方程的微分法、高阶导数与泰勒公式的应用，以及不定积分、定积分与广义积分的计算方法及其应用。

三、级数与一些其他杂项1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 傅立叶级数5. 常微分方程在这一章节中，我们需要掌握数项级数、幂级数和函数项级数的相关知识，包括傅立叶级数的表示和计算方法，以及常微分方程的解法和应用。

四、空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 空间点、向量和坐标3. 空间中的直线和平面4. 空间中的曲线5. 空间中的曲面6. 空间曲线和曲面的切线与法线在这一章节中，我们需要掌握空间中的点、向量和坐标的表示和计算方法，以及空间中的直线、平面、曲线和曲面的性质和应用，包括曲线和曲面的切线与法线的计算方法。

五、多元函数微分学1. 函数的极值2. 条件极值与 Lagrange 乘数法3. 二重积分4. 三重积分5. 重积分的应用在这一章节中，我们需要掌握多元函数的极值和条件极值的求解方法，包括 Lagrange 乘数法的应用，以及二重积分和三重积分的计算方法及其应用。

总结起来，考研高数的每个章节都包含了大量的知识点，要想取得好成绩就需要对每个章节的知识点有一个深入的了解和掌握。

在备考的过程中，应该注重理论知识的掌握和应用能力的提升，多做习题和模拟题，以增强对知识点的理解和记忆。

考研数学二多元函数微分学-试卷5_真题-无答案

考研数学二（多元函数微分学）-试卷5(总分74,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 极限( )A. 等于0B. 不存在C. 等于D. 存在，但不等于也不等于02. 设u=arcsin= ( )A. B.C. D.3. 极限( )A. 等于0B. 不存在C. 等于D. 存在且不等于0及4. 设u=f(r)，而r==( )A. B.C. D.5. 考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P退出性质Q，则有( )A. ②→③→①B. ③→②→①C. ③→④→①D. ③→①→④6. 设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，u"1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则u11(x，2x)= ( )A. B.C. D.7. 利用变量替换u=x，v==z化成新方程( )A. B.C. D.8. 若函数u==G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( )A. x+yB. x—yC. x2一y2(13)(x+y)29. 已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( )A. a=2，b=一2B. a=3，b=2C. a=2，b=2D. a=一2，b=210. 设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A. 最大值点和最小值点必定都在D的内部B. 最大值点和最小值点必定都在D的边界上C. 最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D. 最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上11. 设函数z=(1+ey)cos x—yey，则函数z=f(x，y) ( )A. 无极值点B. 有有限个极值点C. 有无穷多个极大值点D. 有无穷多个极小值点2. 填空题1. 设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足az"x+bz"y=___________．2. 设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y—z=ez所确定，则=___________．3. 函数f(x，y，z)=一2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是___________．4. 函数u=arcsin()的定义域___________．5. 设z=esin xy，则dz=___________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后

考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x 垂直，则=A．-1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=-3．C．a=-3，b=1．D．a=-1，b=-1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要.B．充分非必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：A解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=a f(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f’(1)=a．C．可导且f’(1)=b．D．可导且f’(1)=ab．正确答案：D解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．正确答案：同阶；同阶；高阶解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef( x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高数考研全微分及其应用

? z ? [ f x (0,0) ?? x ? f y(0,0) ?? y]?
? x ?? y , (? x)2 ? (? y)2
如果考虑点 P ?(? x, ? y)沿着直线 y ? x 趋近于(0,0) ，
? x ?? y
则
(? x)2 ?
?
(? y)2
?
? x ?? x (? x)2 ? (? x)2
函数在该点连续.
事实上 ? z ? A? x ? B? y ? o( ? ), lim ? z ? 0, ?? 0
lim f ( x ? ? x, y ? ? y) ? lim[ f ( x, y) ? ? z]
? x? 0
?? 0
? y? 0
? f ( x, y)
故函数 z ? f ( x, y)在点( x, y) 处连续.
? f y ( x, y)? y ? ?2? y, 当? y ? 0时，?2 ? 0 , ? z ? f x ( x, y)? x ? ?1? x ? f y ( x, y)? y ? ?2? y
?
?1? x ? ?
?2? y
?
?1
?
?2
? ???? 0?
0,
故函数z ? f ( x, y)在点( x, y) 处可微.
?x ?y
可微分．
证 ? z ? f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y)
? [ f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y ? ? y)]
? [ f ( x, y ? ? y) ? f ( x, y)],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y ? ? y)

考研数学一(一元函数微分学)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学2．设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是A．f(0)是极大值，f(π/2)是极小值B．f(0)是极小值，f(π/2)是极大值．C．f(0)是极大值，f(π/2)也是极大值D．f(0)是极小值，f(π/2)也是极小值．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学3．设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g”(x)0，则下列选项正确的是A．f’(x0)是f’(x)的极大值．B．f(x0)是f(x)的极大值．C．f(x0)是f(x)的极小值．D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则A．f(0)是f(x)的极大值．B．f(0)是f(x)的极小值．C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学9．设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)>0，f(x)>0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x>0，则A．0<dy<△y．B．0<△y<dy．C．△y<dy<0．D．dy<△y<0．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学填空题10．设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)：1，则f”‘(2)=_________.正确答案：2e3 涉及知识点：一元函数微分学11．设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)=_________.正确答案：1/2 涉及知识点：一元函数微分学12．设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为____________.正确答案：x-2y+2=0 涉及知识点：一元函数微分学13．设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.正确答案：y=x. 涉及知识点：一元函数微分学14．已知一个长办形的长l以2cm／s的速率增加，宽ω以3cm／s的速率增加，则当l=12cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为_________.正确答案：3(cm/s) 涉及知识点：一元函数微分学15．若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=__________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学16．曲线y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是__________.正确答案：（3,0）涉及知识点：一元函数微分学17．曲线y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学18．曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学19．曲线y=(x+4sinx)/(5x-2cosx)的水平渐近线方程为_____.正确答案：y=1/5 涉及知识点：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研竞赛凯哥微分中值定理笔记

考研竞赛凯哥微分中值定理笔记【考研竞赛凯哥微分中值定理笔记】1. 导言在数学考研和竞赛中，微分中值定理是一个非常重要的概念。

它不仅在微积分学科中具有重要地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。

本篇文章将围绕微分中值定理展开深入探讨，从概念、原理到应用，帮助读者全面了解和掌握这一重要内容。

2. 概念解析微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它刻画了函数在某一区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

具体来说，对于可导函数f(x)，在区间[a, b]内一定存在一点ξ，使得f'(ξ)等于f(b)-f(a)除以b-a，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

3. 原理探究微分中值定理的证明和理解对于深入学习微积分至关重要。

通过介绍导数的几何意义和连续函数的性质，可以辅助读者更好地理解微分中值定理成立的原因和内在含义。

也可以通过实例和图表加深理解，使读者对微分中值定理有直观的认识。

4. 应用拓展微分中值定理不仅在理论数学中有着重要作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

利用微分中值定理可以证明某些函数的性质，解决一些优化问题，甚至在物理、经济学等领域都有具体的应用。

通过具体的案例分析，我们可以看到微分中值定理在实际问题中的丰富应用。

5. 总结回顾微分中值定理作为微积分领域的重要内容，不仅有着深厚的理论基础，同时也具有广泛的应用前景。

通过本篇文章的深入剖析，相信读者已经对微分中值定理有了更加全面、深刻的理解。

在今后的学习和工作中，让我们善用微分中值定理，去探索更广阔的数学领域和解决实际问题。

6. 个人观点在我看来，微分中值定理不仅是一种数学工具，更是一种思维方式。

它教会我们从平均变化率和瞬时变化率的关系中触发思考，引导我们理解函数变化的规律，并以此解决实际问题。

这种思维方式对于数学学科的深入理解和应用能力的培养都起着重要的作用。

通过以上的分析，相信读者对考研竞赛凯哥微分中值定理已经有了更全面、深入的了解。

微分中值定理在考研数学中的应用示例

微分中值定理在考研数学中的应用示例微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，起着建立函数与其导数之间的桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因此在微分学中的地位十分重要。

同时也是考研数学中的重要考点，学生普遍认为是学习的难点。

本文对考研真题进行剖析，总结中值定理的应用，以便学生能更好地掌握这一知识点。

例1(2011年数一、二)证明：对任意正整数n，都有成立。

证明：根据拉格朗日定理，存在ξ∈(n，n+1)，使得所以若所证不等式中出现函数值差的形式，可考虑用根据拉格朗日定理。

本题中，令则有该结论是一个常用的结论，希望考生熟悉掌握。

例2(2007年数一、二、三)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。

分析：若令F(x)=f(x)-g(x)，本题需要证明存在ξ∈(a，b)，使F″(ξ)=0，又F(a)=F(b)=0，若能证明存在η∈(a，b)，使F(η)=0，对F(x)反复用罗尔定理可证明本题。

证明：令F(x)=f(x)-g(x)，则F(a)=F(b)=0。

设f(x)，g(x)在(a，b)内的最大值为M。

且分别在α∈(a，b)，β∈(a，b)取到，即f(α)=M，g(β)=M。

⑴若α=β，取η=α，则F(η)=0；⑵若α≠β，则F(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0，F(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M0。

此时，由连续函数介值定理知在α与β之间至少存在点η，使F(η)=0。

综上所述，存在η∈(a，b)，使F(η)=0，由罗尔定理知存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得F′(ξ1)=0，F′(ξ2)=0，再由罗尔定理得，存在ξ∈(ξ1，ξ2)⊂(a，b)，使得F″(ξ)=0，即f″(ξ)=g″(ξ)。

一般地，证明存在ξ∈(a，b)，使f(n)(ξ)=0的命题的有效方法是证明f(n-1)(x)在(c，d)⊂[a，b]上满足罗尔定理，对f(n-1)(x)应用罗尔定理即可证得命题。

考研多元函数微分学笔记

多元函数微分学1.概念（5个）2.计算3.极值与最值1.概念（5个，难点）!极限的存在性1.公说公有理理婆说婆有理理——对于⼆二重积分有两种极限定义，⼀一种数学专业（⾃自然排除⽆无定义的路路径）⼀一种是⾮非数学专业（要求任意⽅方向趋向），但考研巧妙地回避了了这个⽭矛盾2.极限的计算除了了洛洛必达，单调有界准则，穷举法不不能使⽤用，⼀一元函数的求极限的⽅方法都可以使⽤用，如：极限的三⼤大性质—唯⼀一性，局部保号性，局部有界性，极限值与⽆无穷⼩小的关系，⽆无穷⼩小量量与有界变量量的乘积仍为⽆无穷⼩小量量，等价⽆无穷⼩小，四则运算，夹逼准则⚠3.做题经验对于上下均是次⽅方的极限，分三种情况1.上下次⽅方相等——⼀一般极限不不存在（利利⽤用反⾯面论证，取不不同路路径）（注意全书P148⻚页的反例例）2.上⾯面次⽅方⾼高于下⾯面——极限存在⼀一般为0（利利⽤用夹逼准则，加绝对值）3.上⾯面次⽅方低于下⾯面——极限⼀一般不不存在为∞#连续性与⼀一元函数的定义相同Note：1.如果极限不不存在，则叫不不连续或间断，但不不讨论间断点的类型2.⼀一元连续函数在闭区间的性质，依然适⽤用于多元连续函数在闭区域上的性质，如有界性，最值定理理，介值定理理$偏导数的存在性——偷懒的概念，实际上是⼀一元极限，是⽚片⾯面的注意定义法求偏导数Note：1.连续不不⼀一定可导（偏导数存在）的反例例（详⻅见查缺补漏漏本）2.可导不不⼀一定连续的反例例3.⼀一元函数的导数的⼏几何意义仍然适⽤用于多元函数偏导数的⼏几何意义如，f'x(x0,y0)表示曲线f(x,y)=0与y=y0（平⾯面）在(x0,y0)处的切线对于x轴的斜率同理理另⼀一个也是4.定理理1:若存在⼆二阶连续偏导数，则其下标可以互换（即可以进⾏行行合并）%可微性可微的定义（与⼀一元微分定义⼀一致），全增量量，线性增量量，求极限（注意两个定义）Note：1.可微的必要条件可微则偏导数存在（⼀一般不不常⽤用），逆否命题——偏导数不不存在⼀一定不不可微（常⽤用于不不可微的情况）2.可微的充分条件偏导数连续则可微，逆否命题——不不可微，则偏导数⼀一定不不连续，注意偏导数不不连续⽆无法推可微还是不不可微3.可微的充要条件判别——定义法求极限（误差）是否为04.由可微可以推出的那个式⼦子。

考研数学微积分复习精要

1、函数①定义：已知两个集合A,B；从A到B的一个函数是一个规则，它对集合A中每个元素指定了集合B中一个唯一的元素，记作：F:A→B；若x∈A,F(x)∈B则可表示为：x⟼F(x)；②复合：f(g(x))=f∘g；③函数代数的单位元：f∘f−1=I；其中f−1表示反函数，即某函数的逆；⑴并非所有函数都存在逆函数的；只有定义了F:A→B是一对一的映射；⑵只有定义了F:A→B的才是一对一的映射关系，才存在函数的逆元；④函数极限性质：limx→a [f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)；lim x→a [f(x)∙g(x)]=[limx→af(x)]∙[limx→ag(x)] ; limx→a[f(x)g(x)]=limx→af(x)limx→ag(x),limx→ag(x)≠0⑤渐近线方程：⑴limx→x0f(x)=∞，其中x0为一个奇点，此时存在垂直渐近线：x=x0；⑵limx→∞f(x)=c，则存在水平渐近线：y=c；⑶limx→∞f(x)x=a ; limx→∞[f(x)−ax]=b ⇒ y=ax+b；此为一般渐近线；⑥f(x)+f(−x)一定为偶函数；而f(x)−f(−x)则一定为奇函数；⑦奇函数证明：⑴定义域关于0对称；⑵f(x)+f(−x)=0；2、连续性、可导性问题①函数连续性，在几何上呈现为不间断的连续曲线，包括角点；满足以下条件：⑴x0必须在函数定义域内，即f(x0)必须有定义；⑵limx→x0f(x)必须存在；⑶limx→x0f(x)=f(x0)；②性质：⑴任何多项式函数在其定义域内都是连续的；⑵在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商，在定义域内也分别是连续的；⑶函数连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件；即可导必连续，反之未必；⑷可导性要求函数在几何上不存在角点，即原函数的平滑性，即导函数的连续性；⑸导数的几何意义为曲线的斜率；③间断点的定义：⑴第一类间断点：左右极限都存在；可去间断点：左右极限相等；跳跃间断点：左右极限不相等；⑵第二类间断点：左右极限至少有一个不存在；无穷间断点：该极限趋于无穷大；④尖点问题：⑴如果一个函数在一点x=c的一个邻域中除去点x=c自身以外均可微，而limx→cf′(x)=±∞，并且f′(x)在x通过c时改变符号，则我们称点x=c是个尖点；⑵由于当我们趋向x =c 时导数变为无穷，故而我们推断出切线在我们趋向尖点时它变为竖直； ⑤两个重要极限：limx→0sin x x=1；lim x→∞(1+1x )x=e ；⑥求f (x,y )在(0,0)点上的连续性，以及可导性：⑴先令x =y ≠0，求出f (x,y )的值；若是常数，则表明在任意小的邻域内总是有 f (x,y )=c ，若 f (0,0)≠c ，则可以判定(0,0)必为一个间断点； ⑵再令f (x,0)={a 1x ≠0a 2x =0⇒ 若a 1=a 2，则必有f x ′(x,0)=f x ′(0,0)=0；同理可判断f y ′(0,0)的情况； 3、导数①定义：f ′(x 0)=lim∆x→0f (x 0+∆x )−f (x 0)∆x=lim∆x→0∆y∆x=lim x→x 0f (x )−f (x 0)x−x 0；② 两个基本公式：⑴ddx [f (x )+g (x )]=f ′+g ′；⑵ddx [f (x )∙g (x )]=f ′g +fg ′； ③易忘公式1： ⑴[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )−f (x )g ′(x )g 2(x )；⑵(arcsinx )′=√1−x 2；⑶(a x )′=a x lna ；⑷(tanx )′=sec 2x ；⑸|x |′=x|x|；⑹(x x )′=(1+lnx )∙x x ；⑺(sinh x )′=cosh x ；⑻(cosh x )′=sinh x ；⑼(tanh x )′=1(cosh x )2；④性质：⑴f (x )>g (x )≠f ′(x )>g ′(x )；⑵F (x )=g (x )φ(x )2；φ(x )在x =ξ3处连续但不可导，而g ′(x )却是存在的，则g (ξ)=0是F (x )在x =ξ处可导的充分必要条件； ⑶如果y =f (x )在(0,∞)内有界且可导，则当lim x→+∞f ′(x )存在时，lim x→+∞f ′(x )=0；⑷f (x )处处可导，则当lim x→+∞f ′(x )=+∞时，则必有lim x→+∞f (x )=+∞；⑤ 链式微分法：d (f∘g )dx=df dg (x )∙dgdx ；⑥反函数微分4法则：⑴反函数性质：f [f −1(x )]=f −1[f (x )]=x ； ⑵dx dy=1dy dx⁄；偏导数则不具有该性质； ⑶df −1(x )dx=1f ′[f −1(x )]；1其他基本的常用公式请参考教材； 2 φ(=∅)念pℎi →/fаi/ 3 ξ念xi →/ksai /4 一般情况下，我们总是约定反函数形式若存在平方根函数时取其正值；在隐函数中亦是如此；4、全微分及偏导数①全微分定义：U =U (x 1,x 2,⋯,x n ) Differential⇒ dU =ðU ðx 1dx 1+ðU ðx 2dx 2+⋯+ðU ðx ndx n ；②全导数：y =f (x,w,z );w =g (x );z =ℎ(x )； ⑴先对x,w,z 求全微分：dy =ðyðx dx +ðyðw dw +ðy ðz dz ； ⑵ 再对x 求微商：dydx =ðyðx +ðy ðw dwdx +ðy ðz dzdx ；③偏全导数：y =f (x,w,z,q );w =g (x,q );z =ℎ(x,q )；方法同上得：dy dx=ðy ðx dx dx+ðy ðw dw dx+ðy ðz dz dx+ðy ðq dq dx; ( dx dx=1; dq dx=0 )⇒dy dx=ðy ðx+ðy ðw dw dx+ðy ðz dz dx；④ 一般隐函数法则：F (y,x 1,x 2,⋯,x m )=0，若隐函数y =f (x 1,x 2,⋯,x m )存在，则有偏导数：ðyðx i=−F xi′F y′,(i =1,2,⋯,m )；⑤ 联立方程组的隐函数法则： ⑴F 1(y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0F 2(y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0⋯F n (y 1,y 2,⋯,y n ;x 1,x 2,⋯,x m )=0⑵雅可比行列式|J |≡|ð(F 1,F 2,⋯,F n )ð(y 1,y 2,⋯,y n)|≡|ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋯⋯⋯ðF n ðy 1⋯ðF n ðy n|≠0则说明，该方程组均具有连续偏导数；⑶使用全微分法则可推导出如下偏导数方程组：[ ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋮⋱⋮ðF n ðy 1⋯ðF n ðy n ] [ ðy 1ðx 1⋮ðy n ðx 1]=[ −ðF 1ðx 1⋮−ðF n ðx 1]Cramer ⇒ðy jðx 1=|J j ||J |⋯[ ðF 1ðy 1⋯ðF 1ðy n ⋮⋱⋮ðF ðy 1⋯ðF n ðy n ] [ ðy 1ðx n ⋮ðy n ðx n ] =[ −ðF 1ðx n ⋮−ðF n ðx n ]Cramer ⇒ðy jðx n =|J j ||J | 5、一元函数①麦克劳林级数（Maclaurin series ）：多项式函数f (x )围绕x =0展开f (x )=f (0)0!+f ′(0)1!x +f ′′(0)2!x 2+⋯+f (n )(0)n!x n②泰勒级数（Taylor series ）：多项式函数f (x )围绕x =x 0+δ展开，δ5为偏差值；然后按g (δ)作为麦克劳林级数展开，然后将δ代换掉，推出P n =f (x )=f (x 0)0!+f ′(x 0)1!(x −x 0)+5δ念delta →/′deltð/f′′(x0)2!x(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n③任意函数的泰勒级数展开，φ(x)=P n+R n；R n称为余项；④余项的拉格朗日（Lagrange）型：R n=φ(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1；⑤拉格朗日（Lagrange）中值定理：⑴f(x)在[a,b]处连续，在(a,b)处可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)；⇒f(b)−f(a)= f′(ξ)(b−a)⑵几何意义：f(b)−f(a)=BC=BCAC∙AC=f′(ξ)(b−a)⑥柯西定理：f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ); g′(ξ)≠0；⑦极值的导数验证：⑴极值的定义：x0最近邻域内的x值，如果f(x)−f(x0)恒为负（正），则f(x)达到极大（小）值；⑵f′(x0)≠0；选择n=0；⇒f(x)−f(x0)=P0+R0=f′(ξ)1!(x−x0)=f′(ξ)(x−x0)因为ξ是x0最近邻域内的值，所以f′(ξ)≠0；因此f(x)−f(x0)正负不确定，故无极值；⇒若f′(ξ)>0，则为单调递增函数；⇒若f′(ξ)<0，则为单调递减函数；单调函数所特有的性质是一对一映射的关系。