第5讲 第8章-梁的位移分析
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材料力学梁的位移思维导图
材料力学梁的位移思维导图
材料力学梁的位移分析是一种复杂的思维，可以很好地帮助我们研究物理系统中的物理行为.以下是材料力学梁的位移思维导图：
I、定义梁：
1. 梁定义：梁是一种结构，由支撑它的支柱或壁连接到一组顶点，其中顶点可以是拱形形状或悬挂形状，能够承受弯矩外力。
2. 梁位移：梁的位移是指支撑它的支架或壁的相对位移。
它可以是相对位移、平行位移或扭矩位移
II、物理性质：
1. 梁的弯曲性：由于梁作为物体的一部分，它受到来自外界的外力，将会产生弯曲变形。
2. 梁的挠度：梁的挠度是梁的弯曲变形的程度。
它可以在梁的不同部位分布，高挠度会使梁变形更加明显。
III、位移测定：
1. 静力学：静力学方法可以通过对梁外力和顶点位移的测量，来确定梁位移的大小和分布情况，以及如何受到外力的影响。
2. 动态位移：动态位移测量将会提供深入的信息，这些信息会反映梁的动态行为，也就是振动响应。
IV、位移分析：
1. 力/位移关系：通过分析梁的力/位移关系，可以对梁的变形情况有一定的了解，以及梁承受外力时应激变形的状况。
2. 梁模型：通过建立梁模型，可以研究梁受到不同外力大小时的位移反应，并预测梁在某一状况下应受外力的大小。
V、总结：
材料力学梁的位移分析是一种复杂的思考，它主要包括梁的定义、物理性质、位移测定以及位移分析，可以很好地帮助研究者深入了解物理系统中物体的力学行为。
通过研究梁的弯曲性、挠度、力/位移关系以及建立梁模型，可以研究出梁的变形情况、预测梁应遭受的外力范围等，从而提高工件的力学性能和强度。
梁的位移
b1L 2
b0
x0
1 2
L
3 x0 3 L 0.577L
例题 5.4 A
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2 1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
FL2 16 EI z
B
例题 5.7
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
A
q0 L 6
q0
计算C点挠度
B
C
l
q0 L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
查表
5q0 L4 384EIZ
C
1 5q0L4 2 384EIZ
5q0 L4 768EI Z
a A
F b
B
M1x x
Fb L
x
0 xa
C
Fb
l
L
x
y
x
Fa
M 2x
Fb L
x
F x
a
axL
L
AC段
EEIIzz11M2F1Lbxx 2
CF1b L
x
CB段
EI
zz222FMLb2xx2
1FFbx
2L
x
aF2 xC2
A
EI z
aB
L
Me
Cx
共有四个积分常数 边界条件
x 0 A 0
y 连续条件
A 0 x a L C 0
梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值， 故
qmax q A qB
ql3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
18
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax和最大转角qmax。
wC
Fl 3 48 EI
29
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？
l/2
l/4
30
第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均 与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用 时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
19
第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
qmax q A qB
ql3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
18
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax和最大转角qmax。
wC
Fl 3 48 EI
29
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？
l/2
l/4
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第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均 与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用 时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
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第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
粱的位移分析-工程力学-课件-09
y1 0 0 y2 0 0
M1 x y1 x
M2 x
1 x
q B A y l
2 x
y2 x
x＝a， y1 a y2 a
1 a 2 a
建立坐标系xy， 根据外力，梁分两段。
C x
a
M1 x y1 x
电葫芦爬坡，出 现振动、噪音。
1
齿轮轴
轧钢
轧辊 P2 P1
钢板
齿轮轴变形将导致齿轮不能正常 啮合、齿面磨损、轴与轴承配合 不好，出现噪音。
轧辊变形，钢板沿宽度 方向的厚度不均。
2
利用弯曲变形 汽车叠板弹簧 缓冲、减震
测力矩扳手
O
F
刻度
求解静不定梁则必须考虑梁的变形。
3
9.1.2 挠度、转角及相互关系
A x
b RA P l y
a x l
P C
b
B
RB
x
a P l
（2）列出挠曲线微分方程并积分 bP CB 段 EI y x P( x a) bP 2 AC段 EIy1 l x
l bP 2 EIy1 x C1 2l bP 3 EIy1 x C1 x D1 6l EIy 2
B点位移有影响。 yC yB1 yB2
yC
C
B
B= C
C
由于变形微小，由C引起的变形： yB2= C ×a
a
查表：
A a C
qa 4 yC y B1 8 EI
qa 3 C 6 EI
叠加：
qa 3 而： B C 6 EI
7qa 4 y B yB1 C a 24 EI
材料力学 梁位移
1.梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2.材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈
线性关系；
3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠 度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F A
wC 2 0
q 2l 2 A2 B 2
24EI
3
ql 384EI
3
wC wC1 wC 2
5ql 5ql 0 768EI 768EI
4
4
（向下）
A A1 A2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax Fl 3 40 103 45003 l 11.2mm [ w] 11.25mm 3 4 48EI 48 200 10 3400 10 400
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
T 2L V 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B 截面的挠度和转角。
q0 q(x) A B x
dx l
x
y
q(x)dx
(a)
A x l
B
x
dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微 集中荷载为：
q0 x q ( x )d x dx l
w 其中， 与 l
max
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 A F l
线性关系；
3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠 度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F A
wC 2 0
q 2l 2 A2 B 2
24EI
3
ql 384EI
3
wC wC1 wC 2
5ql 5ql 0 768EI 768EI
4
4
（向下）
A A1 A2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax Fl 3 40 103 45003 l 11.2mm [ w] 11.25mm 3 4 48EI 48 200 10 3400 10 400
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
T 2L V 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B 截面的挠度和转角。
q0 q(x) A B x
dx l
x
y
q(x)dx
(a)
A x l
B
x
dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微 集中荷载为：
q0 x q ( x )d x dx l
w 其中， 与 l
max
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 A F l
梁位移
看书讲解 P235。
17
§9-5
1、刚度条件
梁的刚度条件、提高梁刚度的主要措施
最大挠度 : ymax [ y], 最大转角: max [ ]，
[y]=(0.0003~0.0005)l
梁的许用挠度值 梁的许用转角值
l为轴承间距。
对于一般轴，取
[]=（0.001~0.005）rad
EI z
不定积分中，出现两个积分常数C、D。这由支承条件和边界 条件确定，即x=0处 y A 0, A 0 而且对于分段的M z (x) 、或有集中力、集中力偶、间断的 分布力等时， 应该分段积分。每一个分段中都有两个积分常数， 它们要满足连续变形条件。
7
例1：9.1 求挠度方程和转角方程，并确定最大值。 解：确定支座反力：
Pb x P( x a) l
( a x b)
Pb 2 1 2 EI z 2 ( x) x Px Pax C2 2l 2 ( a x b) Pb 3 1 3 1 2 EI z y2 ( x) x Px Pax C2 x D2 6l 6 2
2
线位移 梁轴线上的任一点C（即截面的形心） 在梁变形后将移到 c ，因而有线位移 cc 。 由于梁的变形小，C点沿变形前梁轴方向（x方向）的位移可以 忽略，因此可以认为 cc 垂直于梁变形前轴线AB。 挠度： AB 梁上的一点（横截面上的形心）在垂直于梁变形前 轴线方向的线位移，称为挠度y。 角位移： 梁变形时，其横截面形心不仅有线位移。而且整个横截面 绕其中性轴转动一个角度，因而有角位移 。 转角：梁一横截面绕其中性轴转动的角度。 在工程实际中，挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。
19
17
§9-5
1、刚度条件
梁的刚度条件、提高梁刚度的主要措施
最大挠度 : ymax [ y], 最大转角: max [ ]，
[y]=(0.0003~0.0005)l
梁的许用挠度值 梁的许用转角值
l为轴承间距。
对于一般轴，取
[]=（0.001~0.005）rad
EI z
不定积分中，出现两个积分常数C、D。这由支承条件和边界 条件确定，即x=0处 y A 0, A 0 而且对于分段的M z (x) 、或有集中力、集中力偶、间断的 分布力等时， 应该分段积分。每一个分段中都有两个积分常数， 它们要满足连续变形条件。
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例1：9.1 求挠度方程和转角方程，并确定最大值。 解：确定支座反力：
Pb x P( x a) l
( a x b)
Pb 2 1 2 EI z 2 ( x) x Px Pax C2 2l 2 ( a x b) Pb 3 1 3 1 2 EI z y2 ( x) x Px Pax C2 x D2 6l 6 2
2
线位移 梁轴线上的任一点C（即截面的形心） 在梁变形后将移到 c ，因而有线位移 cc 。 由于梁的变形小，C点沿变形前梁轴方向（x方向）的位移可以 忽略，因此可以认为 cc 垂直于梁变形前轴线AB。 挠度： AB 梁上的一点（横截面上的形心）在垂直于梁变形前 轴线方向的线位移，称为挠度y。 角位移： 梁变形时，其横截面形心不仅有线位移。而且整个横截面 绕其中性轴转动一个角度，因而有角位移 。 转角：梁一横截面绕其中性轴转动的角度。 在工程实际中，挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。
19
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容，本章将详细讨论这一主题。
首先，我们将学习如何计算梁在受力作用下的位移，然后将介绍梁的刚度设计。
梁的位移分析是研究在给定外力作用下梁的变形情况。
梁的位移是描述梁形变的一个重要参数，它可以反映梁的刚度特性。
在计算梁的位移时，我们需要应用位移-力关系。
梁的位移可以通过积分方法求解。
首先，我们可以根据梁的几何形状和外力作用情况建立梁的运动方程。
然后，可以利用平衡方程进行求解。
在求解过程中，我们需要考虑梁的边界条件和材料的力学特性，如杨氏模量和截面积。
一般情况下，我们可以将梁的位移分为两个部分：切向位移和法向位移。
切向位移是梁沿梁轴方向的位移，用u表示。
法向位移是梁在横截面上的位移，用v表示。
通过计算这两个位移，可以得到梁的整体位移。
梁的位移分析对于工程设计非常重要。
它可以帮助我们了解梁的形变情况，从而设计更合理的结构。
此外，梁的位移还可以用于计算应力和应变，进一步分析梁的受力情况。
梁的刚度设计是根据梁的位移要求设计梁的刚度。
刚度是指梁对力的抵抗能力，可以表示梁的刚度特性。
在刚度设计中，我们需要根据梁的应力要求确定梁的截面形状和尺寸。
刚度设计的目标是使梁在承受一定荷载下的变形满足设计要求。
在设计过程中，我们需要考虑梁的强度和刚度，以确保梁的安全性和稳定性。
此外，我们还需要考虑经济性，尽可能减少材料的使用量。
在刚度设计中，我们可以使用材料的力学性质和梁的几何尺寸来计算梁的刚度。
常用的方法有弹性理论法和极限平衡法。
在弹性理论法中，我们可以根据梁的几何形状和外力作用，利用弹性力学公式计算梁的刚度。
在极限平衡法中，我们可以根据荷载条件和材料的破坏特性，计算梁的刚度限制。
总结起来，梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容。
通过位移分析，我们可以了解梁的形变情况，并计算应力和应变。
刚度设计则可以帮助我们设计梁的刚度，确保结构的安全性和稳定性。
梁的位移计算公式
梁的位移计算公式梁在工程结构中可是个常见的角色，咱今天就来聊聊梁的位移计算公式。
先来说说啥是梁的位移。
简单讲，就是梁在受力作用下位置发生的变化。
这就好比你用一根竹竿挑东西，竹竿会弯曲变形，这个变形的程度就是位移啦。
那梁的位移计算公式到底是啥呢？一般来说，我们常用的公式是基于材料力学的知识推导出来的。
比如说，对于简支梁在集中荷载作用下的位移计算公式，就包含了梁的长度、荷载大小、材料的弹性模量以及梁的截面惯性矩等因素。
给您举个例子吧。
有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个钢结构的厂房。
其中有一根大梁，承受着上面传来的各种荷载。
工程师们就在那拿着图纸和计算器，算着这根梁的位移。
我凑过去看了看，他们密密麻麻写了一堆公式和数字，那认真的劲儿，就好像在破解一个超级难题。
咱再深入点说，梁的位移计算可不是个简单事儿。
它得考虑好多因素，像梁的材料特性、受力情况、边界条件等等。
比如说，如果梁是用钢材做的，和用木材做的，那计算可就不太一样啦。
钢材的弹性模量一般比木材大，所以相同情况下，钢梁的位移可能就会小一些。
还有哦，梁的截面形状也会影响位移计算。
如果是个矩形截面的梁，和一个圆形截面的梁，它们的惯性矩就不同，算出来的位移也有差别。
这就好像同样是一根棍子，粗的和细的，承受力的能力肯定不一样。
在实际工程中，梁的位移计算可太重要了。
要是算错了，那后果不堪设想。
比如说，如果位移过大，可能会导致梁的结构不稳定，甚至出现裂缝、垮塌的危险。
所以啊，咱们搞工程的人，在计算梁的位移时，那可得小心谨慎，每个参数都要搞准确，每个公式都要运用得当。
这就像是一场精细的手术，容不得半点马虎。
总之，梁的位移计算公式虽然复杂，但只要我们掌握了其中的原理和方法，结合实际情况认真计算，就能确保梁的结构安全可靠。
这不仅是对工程质量的保障，也是对人们生命财产的负责。
希望大家在今后遇到梁的位移计算问题时，都能胸有成竹，算出准确的结果！。
第8章梁的位移分析与刚度设计ppt课件
▪ 上述方法称为积分法（integration method）。
大连大学
25
8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角
▪ 已知：简支梁受力如图示。FP、 EI、l均为已知。
▪ 求：加力点B的挠度和支承A、
C处的转角。
大连大学
26
8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角
▪ 解：1. 确定梁约束力
大连大学
17
8.2 小挠度微分方程及其积分
大连大学
18
8.2 小挠度微分方程及其积分
▪ 8.2.1 小挠度曲线微分方程 ▪ 8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件
大连大学
19
8.2 小挠度微分方程及其积分—— 8.2.1 小挠度曲线微分方程
大连大学
20
8.2.1 小挠度曲线微分方程
力学中的曲率公式
第8章 梁的位移分析与刚度设计
▪ 在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积 分常数则与约束条件和连续条件有关。
▪ 若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位 移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一 处引起的同一种位移可以相互叠加。
▪ 本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微 分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度 设计准则。
33
8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件
✓确定约束力，判断是否需要分段以及分几段； ✓分段写出弯矩方程； ✓分段建立挠度微分方程； ✓微分方程的积分； ✓利用约束条件和连续条件确定积分常数； ✓确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角。
大连大学
大连大学
25
8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角
▪ 已知：简支梁受力如图示。FP、 EI、l均为已知。
▪ 求：加力点B的挠度和支承A、
C处的转角。
大连大学
26
8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角
▪ 解：1. 确定梁约束力
大连大学
17
8.2 小挠度微分方程及其积分
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8.2 小挠度微分方程及其积分
▪ 8.2.1 小挠度曲线微分方程 ▪ 8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件
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19
8.2 小挠度微分方程及其积分—— 8.2.1 小挠度曲线微分方程
大连大学
20
8.2.1 小挠度曲线微分方程
力学中的曲率公式
第8章 梁的位移分析与刚度设计
▪ 在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积 分常数则与约束条件和连续条件有关。
▪ 若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位 移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一 处引起的同一种位移可以相互叠加。
▪ 本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微 分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度 设计准则。
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8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件
✓确定约束力，判断是否需要分段以及分几段； ✓分段写出弯矩方程； ✓分段建立挠度微分方程； ✓微分方程的积分； ✓利用约束条件和连续条件确定积分常数； ✓确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角。
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材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
梁的刚度设计的方法
梁的刚度设计可以采用多种方法，包括链接刚度法、等位弯矩法和等位剪力 法。这些方法根据不同的设计要求和结构特点选择使用。
• 链接刚度法：根据梁的端部连接方式和约束条件，计算刚度。 • 等位弯矩法：根据梁结构的弯矩分布，确定刚度。 • 等位剪力法：根据梁结构的剪力分布，确定刚度。
梁的刚度设计的实例分析
材料力学第8章梁的位移 分析与刚度设计
欢迎来到材料力学第8章的学习，今天我们将讨论梁的位移分析和刚度设计。 通过深入了解这些内容，您将掌握梁的变形规律和如何设计具有所需刚度的 梁结构。
梁的位移分析的目的
梁的位移分析旨在确定在给定荷载下梁结构的变形和位移。这有助于评估结 构的稳定性和合理性。
梁的位移分析方法
梁的位移分析可以使用多种方法进行，包括三公式法、超柔度法和部分均布 荷载法。每种方法都有其适用的情况。
• 三公式法：适用于较简单的力学模型。 • 超柔度法：适用于复杂的结构和不规则荷载。 • 部分均布荷载法：适用于均布荷载作用下的梁结构。
梁的刚度设计的原理
梁的刚度设计的原理是通过合理的截面设计和荷载分配来提供所需的结构刚 度。刚度设计旨在确保结构在服役荷载下具有合适的刚度和稳定性。
梁的位移分析与刚度设计的相关工程实例
最后，我们将探讨一些实际工程案例，展示梁的位移分析和刚度设计在真实项目中的应用。通过这些实例，您 将பைடு நூலகம்好地理解梁结构设计的挑战和解决方案。
让我们通过一些实例分析来加深对梁刚度设计的理解。使用不同的方法，我 们将设计和评估具有所需刚度的梁结构，并探讨设计选项的优劣。
梁的刚度设计的注意事项
在进行梁的刚度设计时，需要注意以下几点： • 合理的截面选择：选择适当的截面形状和尺寸，以满足刚度要求。 • 约束条件的考虑：考虑梁的端部约束条件对刚度的影响。 • 侧刚度的满足：确保梁在侧向荷载作用下具有足够的刚度。 • 梁的稳定性分析：分析梁结构的稳定性，确保其在设计荷载下不会失稳。
梁的位移分析
qa 3 θ A( q ) 3 EI
叠加
yC ( q )
5qL4 24 EI
=
P A B
A
q B
θ A θ A( P ) θ A( q ) a2 (3P4qa) 12 EI 4 3 5qa Pa yC 24 EI 6 EI
22
+
第五节 梁的刚度条件· 提高粱刚度的措施
y max [ y ]
23
例题
机床主轴的支承和受力可以简化为如图所示之外伸梁。其中
P1为由于切削而施加于卡盘上的力，P2为齿轮间的相互作用
力（主动力）。主轴为空心圆截面，外径D=80mm，内径 d=40mm，l=400mm，a=100mm， P1=2kN，P2=1kN。材料 的弹性模量E=200GPa。规定主轴的许用挠度和许用转角为： 卡盘C处的挠度不超过两轴承间距的1/104，轴承B处的转角不
PL yP 48EI
3
5qL4 PL3 y 384EI 48EI
19
例：求图示梁的最大转角和最大挠度。
EIz l
θmax
ymax
y max
x
Pl 3 () 3EI z Pl 2 2 EI z
P
y
θmax
20
例：按叠加原理求 A点转角 和 C点挠度。
P A q B a
解：载荷分解如图 查梁的简单载荷变形表，
2、正确理解和应用变形连续的概念，即在弹性范围
内梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。
18
例：图（ a）所示简支梁，承受均布载荷 q和集中力 P的作用，试求梁中点C的挠度（EI为常数）。
P A L/2 C L (a) L (b)
4
工程力学08-梁的位移分析和刚度条件
8.1 基本概念
8.1.2 梁的挠度与转角
现研究梁上一截面C的位移 ，它由C移动到C1位置
w—截面形心的垂直位移，称“挠度” q—截面相对变形前绕中性轴转过的角度，称 “转角” y θ 挠度与转角的关系 A C dw θ = tanq (8-2) dx C1 x 或： dw = q (8-3) dx w=w(x)—挠度是截面的函数，称“挠度方程”
(0≤x1≤a)
Fb x12 AC段： EIq1=EIw1’= + C1 2 l Fb x13 EIw1= + C1x1+ D1 l 6
(a)
(b)
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
(a≤x≤l)
应用举例a xຫໍສະໝຸດ C x2 lFb
FRB B
x
Fb 2 – b2 – 3x2)+ 3l (x – a)2] q=+ [(l b 6EIl
Fb 2 2 –x2)x+ l (x – a)3] w= + [(l – b 6EIl b
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
8.2 小挠度微分方程及其积分
8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件 常见约束、连续条件 载荷作用处： y
F
a b x
x=a, w1=w2,q1=q2
中间支座处：
y x l a
连 续 条 件
材料力学第五章梁弯曲时的位移分析
a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) y2 (a) 代入求解，得
x1 ,0
x1
a
y
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
3）列挠曲线近似微分方程并积分
F
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
EI dw EI 1 F (l x)2 C
dx
2
EIw 1 F (l x)3 Cx D 6
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F (l x)2 1 Fl2
2
2
Ax
y
yB
l
F Bx
B
EIw 1 F (l x)3 1 Fl2x 1 Fl3
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
F
解 1）由梁整体平衡分析得：
梁的位移转角挠祥解共43页文档
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
梁的位移转角挠祥解
16、自己选择的路、跪着也要把它走 想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
梁的位移转角挠祥解
16、自己选择的路、跪着也要把它走 想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
建筑力学第五章梁弯曲时位移课件
24 EI
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
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第八章梁的位移分析与刚度设计
1
梁弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
解决强度问题
解决刚度问题
2
已学的旧知识 拉压 扭转 要学的新知识 弯曲 挠度 转角 伸长（缩短）量 转角
3
工程上的梁变形问题
齿轮轴
变形过大：不稳定、噪音、磨损、减 少使用寿命 变形过大：行走困难、引起振动
吊车梁
利用弯曲变形：叠板弹簧，减振作用
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
25
yC yC 1
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql 4 yC1 , 8 EI
ql 3 C1 6 EI
yC
5qa Pa 24 EI 6 EI
4
3
22
例 已知简支梁受力如图示，q、 l、EI均为已知。求C 截面的挠 度yC ；B截面的转角B
解 1）将梁上的载荷分解
yC1
yC yC 1 yC 2 yC 3 B B1 B 2 B 3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
4
本章的任务
1. 建立小变形 挠度、转角曲线 微分方程 2. 用 积分法 和 叠加法 求梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移 的计算
研究目的：①对梁作刚度校核
②解超静定梁
5
8.1 梁变形的基本概念
变形前梁截面：平面
C y C1 y P x
变形后梁轴
变形后梁截面：仍为平面
线--挠曲线
17
应用位移边界条件和连续条件求积分常数
1 3 EIy (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
a L y
P
(a ) (a ) C1 D1
x
y (a ) y (a )
C1a C2 D1a D2
挠度：y
梁截面转角：
（w)
6
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移
用 y 表示，与坐标 y 同向为正，反之为负
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示
顺时针转动为正，反之为负
3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线 其方程为 y = y (x), w = w(x)
7
C y
P x
30
31
（1）计算变形
将主轴简化为如图例6-13b所示的外 伸梁，主轴横截面的惯性矩为
I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
64
( D4 d 4 )
64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
查附表，因P1在C处引起的挠度和 在B引起的转角（图c）为：
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、
连续条件）确定
④优点——使用范围广，精确； 缺点——计算较繁
13
EIy ( x ) M ( x )
积分法求梁变形的基本步骤： ①写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 要分段写出
②由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数
③利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数
由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
29
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
C1
y
4. 转角与挠曲线的关系：
5. 刚度校核
dy tg y dx
y
小变形
ymax [ y ]
max [ ]
8
8－2－1 梁挠曲的近似微分方程
1 M ( x) 已知曲率为 ( x) EI z
M>0
x
由高等数学知识有：
y ( x ) 0
y
1 y( x) 3 2 2 ( x) (1 ( y) )
则C处的总挠度为 : yC yCP1 yCP2 40.6 104 5.06 104 35.5 104 cm B处的总转角为 : B BP1 BP2 13.54 105 2.53 105 11.01105 rad
33
（2）校核刚度
yCP1
2 2 Pa 2000 20 4 1 (l a) (40 20) 40.6 10 cm 6 3EI 3 2110 188
BP1
Pal 200 20 40 5 1 13.54 10 rad 6 3EI 3 2110 188
3
+
A
5qL qa yqC qA 24 EI 3EI 21
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
y PC
yqC
Pa 3 6 EI
5qL4 24 EI
=
P
A
B
叠加
A PA qA
a2 (3P4qa) 12 EI
+
A q B
yC2 yC3
5ql 4 yC1 384 EI
ql 4 yC 2 48 EI ql 4 yC 3 16 EI
ql 3 B1 24 EI ql 3 B1 16 EI ql 3 B3 3EI
23
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 yC yCi 384 EI 48 EI 16 EI i 1
故主轴满足刚度条件
34
• 叠加法：8－2， 8－4， • 8－11
35
8.4 静不定梁
10
8－2 －2 积分法求梁变形
1.微分方程的积分
EIy (x ) M (x )
EIy (x ) ( M (x ))dx C 1 EIy ( x ) ( ( M ( x ))dx )dx C1 x C2
利用位移边界条件确定积分常数
11
2.位移边界条件
1 2 EIy P ( L x) C1 2
15
P L y x
写出挠曲线方程并画出曲线
P 3 2 3 y ( x) ( L x ) 3L x L 6 EI
最大挠度及最大转角
max
PL2 ( L) 2 EI
( )
ymax
PL y ( L) 3EI
x
小变形
y( x)
M<0 y
M ( x) y ( x ) EI z
y ( x ) 0
采用左边的坐标系时，弯矩与2阶 导数的符号相反，上式取负号
9
M ( x) y( x) EI
—— 挠曲线近似微分方程
对于等截面直梁，可写成如下形式：
EIy ( x ) M ( x )
叠加原理：
承受复杂载荷时，可分解成几种
简单载荷，利用简单载荷作用下的位
移计算结果，叠加后得在复杂载荷作
用下的挠度和转角
20
P A C a a
q B
例 按叠加原理 求 A点转角 和 C点挠度
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
3
2
y PC
Pa 6 EI
2 3
最大挠度及最大转角
Pa 2 max (a) ( ) 2 EI Pa 2 ymax y ( L) 3L a ( ) 6 EI
总结：分段写弯矩，分段求积分 利用边界条件、连续条件求积分常数
19
8.3 叠加法求梁变形
条件： 材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系
主轴的许用挠度和许用转角为：
y 0.0001l 0.0001 40 40 104 cm 0.001 103 rad
yc 35.5 104 cm 40 10-4 cm y
B 11.01 105 rad 10-3 rad
D
P
A
P C
B
固定支座 支点位移条件
铰支座
yD 0
连续条件
D 0
yA 0
yB 0
或写成 yC左 yC右
光滑条件
yC yC
或写成 C左 C右
C C
12
P D
C
铰连接
yC左 yC右 C左 C右
积分法求梁变形
①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 ②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移
1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6
18
写出挠曲线方程
P 6 EI y ( x) P 6 EI
(a x) 3a x a
3 2 3
(0 x a ) (a x L)
3a x a
14
例 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角 解： 建立坐标系并写出弯矩方程
x L y P x
M ( x) P( x L)
1
梁弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
解决强度问题
解决刚度问题
2
已学的旧知识 拉压 扭转 要学的新知识 弯曲 挠度 转角 伸长（缩短）量 转角
3
工程上的梁变形问题
齿轮轴
变形过大：不稳定、噪音、磨损、减 少使用寿命 变形过大：行走困难、引起振动
吊车梁
利用弯曲变形：叠板弹簧，减振作用
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
25
yC yC 1
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql 4 yC1 , 8 EI
ql 3 C1 6 EI
yC
5qa Pa 24 EI 6 EI
4
3
22
例 已知简支梁受力如图示，q、 l、EI均为已知。求C 截面的挠 度yC ；B截面的转角B
解 1）将梁上的载荷分解
yC1
yC yC 1 yC 2 yC 3 B B1 B 2 B 3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
4
本章的任务
1. 建立小变形 挠度、转角曲线 微分方程 2. 用 积分法 和 叠加法 求梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移 的计算
研究目的：①对梁作刚度校核
②解超静定梁
5
8.1 梁变形的基本概念
变形前梁截面：平面
C y C1 y P x
变形后梁轴
变形后梁截面：仍为平面
线--挠曲线
17
应用位移边界条件和连续条件求积分常数
1 3 EIy (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
a L y
P
(a ) (a ) C1 D1
x
y (a ) y (a )
C1a C2 D1a D2
挠度：y
梁截面转角：
（w)
6
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移
用 y 表示，与坐标 y 同向为正，反之为负
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示
顺时针转动为正，反之为负
3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线 其方程为 y = y (x), w = w(x)
7
C y
P x
30
31
（1）计算变形
将主轴简化为如图例6-13b所示的外 伸梁，主轴横截面的惯性矩为
I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
64
( D4 d 4 )
64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
查附表，因P1在C处引起的挠度和 在B引起的转角（图c）为：
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、
连续条件）确定
④优点——使用范围广，精确； 缺点——计算较繁
13
EIy ( x ) M ( x )
积分法求梁变形的基本步骤： ①写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 要分段写出
②由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数
③利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数
由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
29
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
C1
y
4. 转角与挠曲线的关系：
5. 刚度校核
dy tg y dx
y
小变形
ymax [ y ]
max [ ]
8
8－2－1 梁挠曲的近似微分方程
1 M ( x) 已知曲率为 ( x) EI z
M>0
x
由高等数学知识有：
y ( x ) 0
y
1 y( x) 3 2 2 ( x) (1 ( y) )
则C处的总挠度为 : yC yCP1 yCP2 40.6 104 5.06 104 35.5 104 cm B处的总转角为 : B BP1 BP2 13.54 105 2.53 105 11.01105 rad
33
（2）校核刚度
yCP1
2 2 Pa 2000 20 4 1 (l a) (40 20) 40.6 10 cm 6 3EI 3 2110 188
BP1
Pal 200 20 40 5 1 13.54 10 rad 6 3EI 3 2110 188
3
+
A
5qL qa yqC qA 24 EI 3EI 21
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
y PC
yqC
Pa 3 6 EI
5qL4 24 EI
=
P
A
B
叠加
A PA qA
a2 (3P4qa) 12 EI
+
A q B
yC2 yC3
5ql 4 yC1 384 EI
ql 4 yC 2 48 EI ql 4 yC 3 16 EI
ql 3 B1 24 EI ql 3 B1 16 EI ql 3 B3 3EI
23
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 yC yCi 384 EI 48 EI 16 EI i 1
故主轴满足刚度条件
34
• 叠加法：8－2， 8－4， • 8－11
35
8.4 静不定梁
10
8－2 －2 积分法求梁变形
1.微分方程的积分
EIy (x ) M (x )
EIy (x ) ( M (x ))dx C 1 EIy ( x ) ( ( M ( x ))dx )dx C1 x C2
利用位移边界条件确定积分常数
11
2.位移边界条件
1 2 EIy P ( L x) C1 2
15
P L y x
写出挠曲线方程并画出曲线
P 3 2 3 y ( x) ( L x ) 3L x L 6 EI
最大挠度及最大转角
max
PL2 ( L) 2 EI
( )
ymax
PL y ( L) 3EI
x
小变形
y( x)
M<0 y
M ( x) y ( x ) EI z
y ( x ) 0
采用左边的坐标系时，弯矩与2阶 导数的符号相反，上式取负号
9
M ( x) y( x) EI
—— 挠曲线近似微分方程
对于等截面直梁，可写成如下形式：
EIy ( x ) M ( x )
叠加原理：
承受复杂载荷时，可分解成几种
简单载荷，利用简单载荷作用下的位
移计算结果，叠加后得在复杂载荷作
用下的挠度和转角
20
P A C a a
q B
例 按叠加原理 求 A点转角 和 C点挠度
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
3
2
y PC
Pa 6 EI
2 3
最大挠度及最大转角
Pa 2 max (a) ( ) 2 EI Pa 2 ymax y ( L) 3L a ( ) 6 EI
总结：分段写弯矩，分段求积分 利用边界条件、连续条件求积分常数
19
8.3 叠加法求梁变形
条件： 材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系
主轴的许用挠度和许用转角为：
y 0.0001l 0.0001 40 40 104 cm 0.001 103 rad
yc 35.5 104 cm 40 10-4 cm y
B 11.01 105 rad 10-3 rad
D
P
A
P C
B
固定支座 支点位移条件
铰支座
yD 0
连续条件
D 0
yA 0
yB 0
或写成 yC左 yC右
光滑条件
yC yC
或写成 C左 C右
C C
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P D
C
铰连接
yC左 yC右 C左 C右
积分法求梁变形
①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 ②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移
1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6
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写出挠曲线方程
P 6 EI y ( x) P 6 EI
(a x) 3a x a
3 2 3
(0 x a ) (a x L)
3a x a
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例 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角 解： 建立坐标系并写出弯矩方程
x L y P x
M ( x) P( x L)