高考数学(理)热点题型和提分秘籍：专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案解析)

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理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件

考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)．教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________．答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

高考数学复习考点知识讲解课件02 命题及其关系、充分条件与必要条

(2)[2020·北京卷]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ” 是“sin α＝sin β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sin α ＝sin (2nπ＋β)＝sin β；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin [(2n＋ 1)π－β]＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－ 1)kβ(k∈Z)．
由q是p的必要而不充分条件，知A B.
所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤12.
微专题
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点
___必_要____条件
q成立的对象的集合为B
p是q的__充_分__不__必_要__条件 p⇒q且q p
A是B的__真__子_集___
p是q的_必__要_不__充__分__条件 p q且q⇒p
B是A的__真__子__集__
p是q的___充__要_____条件 p 是 q 的 _既_不__充__分_也__不__必__要_ 条件
3 ． [ 选修 2 － 1·P10 练习 T3 改编 ]“(x － 1)(x ＋ 2) ＝ 0” 是 “x ＝ 1” 的 ()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2) ＝0，则x的值也可能为－2.
反思感悟
判断命题真假的方法

《第2节命题及其关系、充分条件与必要条件》高考考点汇总

《第2节命题及其关系、充分条件与必要条件》高考考点汇总一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m ·n <0成立；当θ＝π时，m ·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选B 当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8. 故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。

2020年高考数学(理)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否\要命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.突破点一命题及其关系抓牢双基自学回扣［基本知识］1. 命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题•其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及相互关系3. 四种命题的真假关系⑴若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.［基本能力］一、判断题(对的打，错的打“X” )⑴“x2+ 2x—8V0” 是命题.()(2) 一个命题非真即假.()(3) 四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )⑷命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )答案：(1)X (2)V (3) V (4) X二、填空题1•命题“若x2<4,则—2vx<2”的否命题为____________________ ，为________ (填“真”或“假”)命题.答案：若x2》4,贝U x> 2或x<—2真2. 设m € R，命题“若m>0，则方程x2+ x —m = 0有实根”的逆否命题是答案：若方程x2+ x—m= 0没有实根，贝U m w 03. 有下列几个命题：1 1⑴“若a>b,则a>b”的否命题；(2) “若x+ y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题；(3) “若|x|<4，则—4VXV4”的逆否命题.其中真命题的序号是 __________ .1 1解析：⑴原命题的否命题为“若a< b,则-w二”，假命题；⑵原命题的逆命题为 a bx, y互为相反数，则x + y= 0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题.答案：⑵(3)研透高考•深化提能［全析考法］考法一命题真假的判断•［例1］下面的命题中是真命题的是()2A. y= sin x的最小正周期为2 nB. 若方程ax2+ bx+ c= 0(a^ 0)的两根同号，则->0aC .如果M ? N，那么M U N = M—> —>D .在△ ABC中，若AB -BC >0，贝U B为锐角［解析］y= sin2x = 1 —；S 2, T =今=n,故A为假命题；当M ? N时，M U N 故C为假命题；在三角形ABC中，当瓦I BC >0时，向量云S与百？的夹角为锐角，为钝角，故D为假命题，故选 B.［答案］B［方法技巧］判断命题真假的思路方法(1) 判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断.(2) 当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由p”经过逻辑推理，得出q”，则可判定“若P,则q”是真命题；②判定“若P,则q”是假命题，只需举一反例即可.考法二四种命题的关系•［例2］(1)(2019长春质监)命题“若x2<1,则—1VXV1 ”的逆否命题是()A .若x2> 1，则x> 1 或x w—12B.若—1<x<1，贝V x <12C .若x>1 或x< —1,贝U x >12D .若x > 1 或x<—1，贝U x》1(2)(2019广•东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是()A .命题"若x>y,则x>|y|”的逆命题B. 命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题C. 命题“若x= 1,则x2+ x —2= 0”的否命题D .命题“若x2>0 ,则x>1 ”的逆否命题［解析］(1)命题的形式是“若p,则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q,则綈p”的形式，所以“若x2<1，则—1vxv1 ”的逆否命题是“若x> 1或x w —1, 则x2> 1”.故选D.⑵命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x w 1，则x2< 1”，是假命题，故B错误；命题“若x= 1,则x2+ x—2 = 0”的否命题为“若x工1，则x2+ x—2工0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题为“若x w 1,则x2w 0”，是假命题，故D错误.选A.［答案］(1)D (2)A［方法技巧］四种命题的关系及真假判断(1) 判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性.(2) 命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例.②间接判断法：转化成等价命题，再判断.［集训冲关］1.［考法二］命题“若a= n，则tan a= 1”的逆否命题是()A .若a^f,则tan aM 14B.若a= ~7,则tan aM 14…nC .右tan aM 1，贝U aM4nD .若tan a丰 1,贝U a=T4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确.2. ［考法一、二］原命题为“若Z1, Z2互为共轭复数，则|Z i|=|Z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|Z i|= |Z2|,当z i= 1, Z2 = -1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假.故选 B.+ 0, Ovxvl,3. ［考法一］定义“正对数”：ln x = 现有四个命题：IJn x, x> 1.①若a>0, b>0，贝V In+(a b) = bln+a ；②若a>0, b>0，贝V In (ab)= In a+ In b;③若a>0, b>0，贝U In +房In+a - In +b;④若a>0, b>0，贝V In (a+ b)< In a+ In b+ In 2.其中的真命题有 ________ (写出所有真命题的编号).解析：对于①，当a > 1时，a b> 1,则In (a b)= In a b= bIn a= bIn a;当0<a<1 时，0<a b<1，则In+(a b)= 0, bIn+a= 0,即In*(a b)= bIn^a，故①为真命题.同理讨论a, b在(0,+s)内的不同取值，可知③④为真命题.对于②，可取特殊值 a = e, b=1,e贝V In,ab) = 0, In*a + In*b= 1 + 0= 1，故②为假命题.综上可知，真命题有①③④.答案：①③④突破点二充分条件与必要条件抓牢双基•自学回扣［基本知识］1.充分条件与必要条件的概念2.一、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2) 当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.()(3) “ x= 1”是“ x2—3x+ 2 = 0”的必要不充分条件.()答案：⑴“(2)V (3) X二、填空题1. ______________________________ “x = 3”是“ x2=9”的条件(填“充分不必要”或“必要不充分” _______________ ).答案：充分不必要2. ab>0”是“ a>0, b>0” 的_______ 条件.答案：必要不充分3. xy= 1 是lg x+ lg y= 0 的________ 条件.解析：lg x + lg y= lg(xy) = 0,/• xy= 1 且x>0, y>0.所以“lg x + lg y= 0”成立，xy= 1必成立，反之无法得到x>0 , y>0.因此“xy= 1”是“lg x+ lg y= 0”的必要不充分条件.答案：必要不充分4. 设p, r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________ 条件，r是t的 ___________ 条件(用“充分不必要”“必要不充分” “充要”填空).解析：由题知p? q? s? t,又t? r, r? q,故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.答案：充分不必要充要研透高考廉化提能［全析考法］考法一充分条件与必要条件的判断•［例1］(1)(2018北京高考)设a, b, c, d是非零实数，则“ ad= be”是“ a, b, c, d成等比数列”的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件11 交(2)(2018 天•津高考)设x € R，则“ x -寸V ；” 是“ x3V 1 ”的( )A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C•充要条件D.既不充分也不必要条件［解析］(1)a, b, e, d 是非零实数，若a<0, d<0, b>0, e>0，且ad= be,则a, b , e , d不成等比数列(可以假设a= —2, d=- 3, b= 2 , e= 3).若a , b , e , d成等比数列，贝U 由等比数列的性质可知ad= be.所以“ad= be”是“a , b , e , d成等比数列”的必要而不充分条件.1 1 ,(2)由X-2 V 2，得0 V X V 1,则0V x3v 1 ,1 1 3即“ x-2 V 2” ? “ x3V 1”；1 1由x3V 1 ,得X V 1,当x< 0 时，x- 1 > -,2 2即“ x3V 1 ”* “ x -1 V 2 ”.1 1 3所以“ x-1V 1”是“ x3V 1”的充分而不必要条件.2 2［答案］(1)B (2)A［方法技巧］充分、必要条件的判断方法考法二根据充分、必要条件求参数范围［例2］（2019大庆质检）已知p：x< 1+ m, q：|x—4|w 6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A. （— m,—1］B. （— 8, 9］C. ［1,9］D. ［9,+m ）［解析］由|x—4|W 6，解得一2< x< 10,因为p是q的必要不充分条件，所以m+ 1> 10, 解得m> 9.故选D.［答案］D［方法技巧］根据充分、必要条件求参数范围的思路方法（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.［集训冲关］1. ［考法一］已知m,n为两个非零向量，贝U"mnv0”是"m与n的夹角为钝角”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 设m, n的夹角为0,若才< 0v n,则cos 0<0,所以m n<0 ；若0= n则m n=—|m| |n|<0.故“ m n<0”是“ m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选 B.2. ［考法一］已知a, B均为第一象限角，那么“a> g'是“ sin a>sin 的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选D a= 7n B=寸均为第一象限角，满足a> g但sin a= sin g因此不满足充3 3分性；a=—5n, 3=；均为第一象限角，满足sin a>sin g,但a< g因此不满足必要性.故3 6选D.3. ［考法二］设M为实数区间，a>0且1,若“ a € M”是“函数f（x）= log a|x—1|在（0,1）上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是（）C • （0,1） D. 0, 1 2解析：选D 由函数f（x）= log a|x —1|在（0,1）上单调递增可知0<a<1，由题意及选项知区间M可以是0，1 .故选D.4.［考法二］已知p：（x—m）3>3（x—m）是q：x2+ 3x—4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_____________ .解析：p对应的集合A= {x|x<m或x>m+ 3}, q对应的集合 B = {x| —4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知 B A,/• m> 1 或m+ 3< —4，即m> 1 或m< —7.答案：（—a, —7］U ［1 ,+^ ）［课时跟踪检测］2（2019合肥模拟）命题“若a2+ b2= 0,贝V a= 0且b= 0”的逆否命题是（）A .若a丰 0 或b z 0,贝U a2+ b2z 0B.若a2+ b2z 0，贝y a丰0 或b z 0C .若a = 0 或b= 0,贝U a2+ b2z 0D .若a2+ b2z 0，贝y a z 0 且b z 0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a z0或b z 0，则a2+ b2z 0”.故选A.3（2018 天津高考）设x€ R,则“ x3 4>8” 是“ |x|>2”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A 由x3> 8? x> 2? |x|> 2，反之不成立，故“x3>8”是“ |x|>2”的充分而不必要条件.解析：选A 因为y = 2 x 是增函数，又a>1，所以3 a >i ，所以3a >2a ；若3a >2a , 则/>1 = g ：，所以a>0，所以a>1 ”是3a >2a ”的充分不必要条件，故选 A.5.已知下列三个命题：① 若一个球的半径缩小到原来的 2,则其体积缩小到原来的 8 ② 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③ 直线x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2= 1相切. 其中真命题的序号为( )A .①②③B .①②C .①③D .②③解析：选C对于命题①，设球的半径为 R ，则4 n R 3 = 1-u R 3,故体积缩小到原来的3 y 8 38,命题正确;对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确; 半径，所以直线与圆相切，命题正确.26. (2019咸阳模拟)已知p ： m =— 1, q ：直线x — y = 0与直线x + m y = 0互相垂直, 则p 是q 的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件2 一 1解析：选A 由题意得直线 x + m 2y = 0的斜率是—1,所以肓 =—1, m = ±. 所以p 是q 的充分不必要条件•故选A.7. (2019重庆调研)定义在R 上的可导函数f(x)，其导函数为f ' (x),则“ f ' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：选 B •/ f(x)为奇函数，••• f( — x) =— f(x).「. [f( — x)] = [— f(x)] =— f ' (x), ••• f ' (— x)= f ' (x) ,即卩 f ' (x)为偶函数；反之，若 f ' (x)为偶函数，如 f ' (x)= 3x 2, f(x)=对于命题③, 圆x 2+ / = *的圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0的距离d =吩等于圆的1x3+ 1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“ f'(X)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.8. (2019抚州七校联考)A, B, C三个学生参加了一次考试，A, B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，贝U A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A .若及格分不低于70分，则A, B, C都及格B.若A, B, C都及格，则及格分不低于70分C .若A, B, C至少有一人及格，则及格分不低于70分D •若A, B, C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A, B,C 至少有一人及格,则及格分不低于70 分.故选C.9. (2019济南模拟)原命题：“ a, b为两个实数，若a + b>2,则a, b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是( )A. 逆命题为：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+b>2,为假命题B. 否命题为：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1,为假命题C .逆否命题为：a, b为两个实数，若a, b都小于1,则a + b<2，为真命题D. a, b为两个实数，“a+ b》2”是“a, b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D 原命题：a, b为两个实数，若a+ b> 2，则a, b中至少有一个不小于1; 逆命题：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+ b> 2；否命题：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1；逆否命题：a, b为两个实数，若a, b都小于1, 则a+ b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a= 1.2, b= 0.5，则a+ b> 2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题. 所以“ a+ b>2”是“a, b中至少有一个不小于1 ” 的充分不必要条件.故选D.10. 已知：p：x> k, q：(x+ 1)(2 —x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A. [2,+s )B. (2,+^ )C. [1 ,+^ )D. (— a, —1]解析：选B 由q：(x + 1)(2 —x)<0，得x< —1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2, + a)，故选B.11. 在原命题“若A U B工B，则A A B M A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________ .解析：逆命题为“若A A B M A，贝U A U B M B” ；否命题为“若A U B= B,贝U A A B = A” ；逆否命题为“若A A B = A,贝U A U B= B”.全为真命题.答案：412.已知命题"若 m — ivxvm + 1,贝U 1<x<2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是解由已知得，若1<x<2成立, 则m — 1<xvm + 1也成立.m —1<1, K m < 2. m + 1 > 2.答案：[1,2]13.条件p ： 1 — x<0，条件q ： x>a ,若p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是解析：p ： x>1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ? q ,但q ' p ,也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以 a<1.答案：(—3 1) 14. (2019湖南十校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = Aq n + B(q M 0),则“ A =— B ” 是“数列｛a n ｝为等比数列”的 ____________ 条件.解析：若A = B = 0，贝y S n = 0,数列｛a n ｝不是等比数列.2 3如果｛a n ｝是等比数列，由 a 1= S 1 = Aq + B ,得 a 2= S 2 — a 1= Aq — Aq , a 3= S 3 — S 2= Aq —Aq 2,.a 1a 3= a 2,从而可得 A =— B ,故“A =— B ”是“数列｛a n ｝为等比数列”的必要不充分条件.答案：必要不充分15. (2019湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)= 4sin 2 ；+ x - 2.3遇 2x — 1, p ： n< x < 才, q ： |f(x)— m|<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. =4sin ( 2x — n ) + 1.当毛寸，n 2x —J 4 2 6 3 3 则 f w sin 2x —n w 1，所以 f(x)€ [3,5]. 当 |f(x) — m|<2 时，f(x) € (m — 2, m + 2). 又p 是q 的充分不必要条件，了m — 2<3,所以所以3<m<5.|m + 2>5,解：化简解析式,=2sin 2x — 2 3cos 2x + 11 — cos 得 f(x) = 4^ --------- cos 2x — 1即实数m的取值范围为（3,5）.3. 下列命题中为真命题的是（）A. mx2+ 2x—1 = 0是一元二次方程B. 抛物线y= ax2+ 2x—1与x轴至少有一个交点C .互相包含的两个集合相等D.空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m = 0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当△= 4+ 4a<0, 即a< —1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题.4. （2019 •肥调研）a>1 ”是“3>2a”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件。

高考数学热点题型和提分秘籍专题02命题及其关系、充分条件与必要条件文

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义热点题型一四种命题及其真假判断例1、 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。

关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。

A．①③ B．②C．②③ D．①②③(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)。

①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题。

【答案】(1)A (2)②【解析】(1)逆命题是互换原命题的条件与结论，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否【提分秘籍】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

【举一反三】已知：命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题【答案】D热点题型二充分条件、必要条件的判断例2、【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.【提分秘籍】充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断。

高考数学热点难点：命题及其关系、充分条件与必要条件

高考一轮复习热点难点精讲精析：命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若a≤b，则a-1≤b-1(3)1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立” 说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱp q ⇒⇔q p ⌝⇒⌝，即无q 必然无p ，可见q 对于p 来说必不可少。

2022年高考文数热点题型和提分秘籍专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件(解析版)

【高频考点解读】1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．【热点题型】题型一命题及其相互关系例1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案：A【提分秘籍】(1)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．(2)要留意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”．(3)推断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接推断，也可使用特值进行排解．【举一反三】(1)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．(2)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题题型二充分条件和必要条件的判定例2、设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当a＝0，b＝－1时，a>b成立，但a2＝0，b2＝1，a2>b2不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2>b2成立，但a>b不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件．综上，“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，应选D.答案 D【提分秘籍】推断充要条件应留意：首先弄清条件p和结论q分别是什么？然后尝试p⇒q，q⇒p.对于带有否定性的命题或比较难推断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为推断它的等价命题．【举一反三】“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充分必要条件D．必要不充分条件解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.答案：D题型三充要条件的应用例3、已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．【提分秘籍】利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，精确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的包含、相等关系，肯定要留意区间端点值的检验．【举一反三】已知不等式x 2－5x ＋4≤0成立的充分不必要条件是－1≤x ＋2m ≤1，求实数m 的取值范围．解析：由x 2－5x ＋4≤0得1≤x ≤4，由－1≤x ＋2m ≤1得－1－2m ≤x ≤1－2m ，由题意知{x |－1－2m ≤x ≤1－2m }{x |1≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m ≥1，1－2m ≤4解得－32≤m ≤－1，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，－1. 【高考风向标】1.【2021高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D2.【2021高考重庆，文2】“x 1”是“2x 210x ”的（） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“x 1 ”明显能推出“2x 210x ”，故条件是充分的，又由“2x 210x ”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.3.【2021高考天津，文4】设xR ,则“12x ”是“|2|1x ”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x”是“|2|1x ”的充分而不必要条件,故选A.4.【2021高考四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) (A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A 5.【2021高考湖南，文3】设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题易知“x >1”可以推得“2x >1”， “2x >1”不肯定得到“x >1”，所以“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，故选A.6.【2021高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C . 1．（2022·北京卷）设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】当ab <0时，由a >b 不肯定推出a 2>b 2，反之也不成立．2．（2022·广东卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .3．（2022·江西卷）下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 【答案】D【解析】对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错．对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确．4．（2022·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(-p )∧(-q )D ．p ∨(-q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 肯定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．5．（2022·新课标全国卷Ⅱ）函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】C6．（2022·山东卷）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.7．（2022·陕西卷）原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】A【解析】由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．8．（2022·浙江卷）设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不肯定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.9．（2022·重庆卷）已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧-qB ．-p ∧qC ．-p ∧-qD ．p ∧q 【答案】A【解析】由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则-q 为真命题，所以p ∧-q 为真命题． 10.（2021·安徽卷） “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(2x －1)x ＝0x ＝12或x ＝0；x ＝0(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．11．（2021·山东卷）给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A12．（2021·湖南卷） “1<x<2”是“x<2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1<x<2，肯定有x<2；反之，x<2，则不肯定有1<x<2，如x ＝0.故“1<x<2”是 “x<2”成立的充分不必要条件，选A.13．（2021·湖北卷）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q 【答案】A【解析】“至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.14．（2021·福建卷）设点P(x ，y)，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x ＝2，y ＝－1时，x ＋y －1＝0；但x ＋y －1＝0不能推出x ＝2，y ＝－1，故选A. 15．（2021·北京卷）双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m≥1C ．m>1D ．m>2 【答案】C【解析】双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m>2，解得m>1.故选C.16．（2021·天津卷）设a ，b ∈R ，则“(a －b)·a 2<0”是“a<b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当(a －b)·a 2<0时，易得a<b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b)·a 2＝0，不成立．故选A. 17．（2021·四川卷）设x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A ，2x ∈B ，则( )（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【答案】C【解析】留意“全称命题”的否定为“特称命题”．18．（2021·陕西卷）设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【答案】C19．（2021·浙江卷）若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若α＝0，则sin 0＝0<cos 0＝1，而sin α<cos α，则2sinα－π4<0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件．所以选择A.【高考押题】1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题答案 A2．“假如x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( ) A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0 B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0 C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0 D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0 答案 B解析 “x 2＋y 2＝0”的否定是“x 2＋y 2≠0”，“x 、y 全为0”的否定是“x ，y 不全为0”． 3．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ＝2时，由于B ＝{1,2，b }，所以A ⊆B ；反之，若A ⊆B ，则必有2∈B ，所以a ＝2或b ＝2，故“a ＝2”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．选A.5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2” B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”答案 C解析依据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0答案 C解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，明显逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案 A解析已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．答案充分不必要解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，由于m<14⇒m≤14，反之不成立．故“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．11．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案[0,2]12．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．13．若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件． 14．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A15．给定两个命题p 、q ，若-p 是q 的必要不充分条件，则p 是-q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案充分不必要条件解析若-p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒-p 但-p q ，其逆否命题为p ⇒-q 但-q p ，所以p 是-q 的充分不必要条件．16．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析将两个命题化简得，命题p ：x >m ＋3或x <m ，命题q ：－4<x <1.由于p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4，或m ≥1，故m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④。

高考数学热点题型和提分秘籍专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件文(含解析)

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件【高频考点解读】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假的判断.【热点题型】题型一考查四种命题及其关系例1、写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假．(1)末位数字是0的整数是5的整数倍；(2)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B；(3)若x2－2x－3>0，则x<－1或x>3.【举一反三】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形是全等三角形．(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．(3)若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零．【热点题型】题型二考查充分条件与必要条件例2、判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a>b，q：a>b－1；(2)p：a>b，q：lg a>lg b；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：a>b，q：a2>b2.【答案】(1)充分不必要条件；(2)必要不充分条件；(3)充要条件；(4)既不充分又不必要条件【提分秘籍】如何判断p是q的什么条件？1．对命题“若p，则q”，首先应分清条件是什么(p)，结论是什么(q)．2．尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，推理方法可以用直接证明法或间接证明法．3．确定条件是结论的什么条件，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围．4．判断的结论需分四种情况：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．【举一反三】判断下列各题中p是q的什么条件？(1)p：x2－2x－3≥0，q：x≤1或x≥2；(2)p：△ABC中，∠A≠60°，q：sin A≠32；(3)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(4)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(5)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.【热点题型】题型三充要条件的应用例3、设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【举一反三】已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)·(x－3)<0，且q是p的充分条件，则a的取值范围为______．【高考风向标】1．（2014·北京卷）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．2．（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件3．（2014·江西卷）下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β4．（2014·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．（2014·新课标全国卷Ⅱ）函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．6．（2014·山东卷）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根7．（2014·陕西卷）原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假8．（2014·浙江卷）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（2014·重庆卷）已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q【答案】A 【解析】由题意知p为真命题，q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．10.（2013·安徽卷）“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件（2013·山东卷）给定两个命题p，q，若⌝p是q的必要而不充分条件，则p是⌝q的( ) 11．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（2013·湖南卷） “1<x<2”是“x<2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2013·湖北卷）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p∨q14．（2013·福建卷）设点P(x ，y)，则“x＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2013·北京卷）双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12 B ．m≥1C ．m>1D ．m>2【答案】C 【解析】双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m>2，解得m>1.故选C.16．（2013·天津卷）设a ，b∈R ，则“(a－b)·a 2<0”是“a<b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2013·四川卷）设x∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x∈A，2x∈B，则( )（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【答案】C 【解析】注意“全称命题”的否定为“特称命题”． 18．（2013·陕西卷）设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<019．（2013·浙江卷）若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【随堂巩固】1．“|a |>0”是“a >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a ，b ∈R，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q4．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥15．设x ， y ∈R，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若x ，y ∈R，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( )A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |C ．甲：xy ＝0 乙：x 、y 至少有一个为零D ．甲：x <y 乙：x y <18．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．11．“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．12．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．13．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|{ x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．14．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x≥1”的________条件．15．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要但不充分条件．。

高考数学总复习基础知识名师讲义第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件理

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若pq，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若pq，qp，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

《新高考数学专题强化》考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1 ．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2 ．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3 ．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4 ．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果pÞq，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果qÞp，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p1q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平则它是负数”．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y 不都是偶数”，故选C.1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0 ，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4 ，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________ ．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2 或x≤－2，则x2 ≥4”，正确．下列有关命题的说法正确的是________ ．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案④解析命题“若x2 ＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．3已知p ：“a ，b，c成等比数列”，q：“b＝ac”，那么p是q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a，b，c成等比数列，则有b2 ＝ac，所以b＝±ac，所以充分性不成立．当a ＝b＝c＝0 时，b＝ac成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析由正弦定理，知a≤b⇔2R sin A≤2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤sinB ．4设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案必要不充分解析因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0 时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分条件．设x∈R，则“x>1”是“x2 + x−2 0 ”的( )A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由不等式x2 + x−2 0 得(x+ 2)(x−1) 0 ，即x−2 或x 1 ，所以由x 1 可以得到不等式x2 + x−2 0 成立，故充分性成立；但由x2 + x−2 0 不一定得到x 1 ，所以必要性不成立，即“x>1”是“x2 + x−2 0 ”的充分而不必要条件．1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据pÞq，qÞp进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p：1<x<2 ，q：2x>1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设a,b R,则“(a−b)a20”是“a b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4 ．已知i 是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋b i)2 ＝2i”的条件．5.U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”条件．4课后作业 1 ．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则 x <1；④函数 f (x )＝x 2 是 R 上的偶函数 .A.0B.1C.2D.32 ． “x ＝1”是 “x 2 －2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3 ．“1<x <2”是 “x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4 ．设p ：x <3 ，q ：－1<x <3，则p 是 q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5 ．下列结论错误的是( )A ．命题 “若 x 2 －3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为 “若 x ≠4，则 x 2－3x －4≠0”B ． “x ＝4”是 “x 2 －3x －4＝0”的充分条件C ．命题 “若 m >0，则方程 x 2＋x －m ＝0 有实根”的逆命题为真命题D ．命题 “若 m 2＋n 2 ＝0，则m ＝0 且 n ＝0”的否命题是 “若 m 2＋n 2≠0，则 m ≠0 或 n ≠0”6 ．若m ∈R, 命题 “若 m >0，则方程 x 2＋x －m ＝0 有实根”的逆否命题是( )A ．若方程 x 2＋x －m ＝0 有实根，则 m ＞0B ．若方程 x 2＋x －m ＝0 有实根，则 m ≤0C ．若方程 x 2＋x －m ＝0 没有实根，则 m ＞0D ．若方程 x 2＋x －m ＝0 没有实根，则 m ≤07 ．已知命题p ：若x ＝－1，则向量 a ＝(1 ，x )与 b ＝(x ＋2 ，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48 ．设 α ，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m ⊂α . “m ∥β”是 “α ∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9 ．x ≠3 或y ≠5 是 x ＋y ≠8 的____________条件．(选填 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”)10 ． “若 a ≤b ，则 ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________ ．11 ．(1) “x >y >0”是 “ < ”的________条件． x y(2) 设 a ，b ∈R ，则 “a ＞b ”是 “a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：① “若 k ＞0，则方程 x 2＋2x ＋k ＝0 有实根”的否命题；② “若＞，则 a ＜b ”的逆命题；③ “梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是 ________.13 ． “m < ”是 “一元二次方程 x 2＋x ＋m ＝0 有实数解”的____________条件． a b 41。

高考数学考点汇总考点2 命题及其关系、充分条件与必

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.（2014·湖北高考理科·Ｔ3）设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆ð”是“∅=B A I ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断【解析】选C. 依题意，若C A ⊆，则U U C A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得∅=B A I ；若∅=B A I ，不妨另C A = ，显然满足,U A C B C ⊆⊆ð，故满足条件的集合C 是存在的.2.(2014·江西高考文科·T6)下列叙述中正确的是( )A.若a,b,c ∈R,则“ax 2+bx+c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0”B.若a,b,c ∈R,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a>c ”C.命题“对任意x ∈R,有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R,有x 2≥0”D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β【解题指南】利用逻辑用语的知识逐一验证.【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x 2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D 正确. 3.(2014·天津高考理科·T7)设a,b ∈R,则“a>b ”是“a a b b >”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C . 设()f x x x =，则()220,0,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî，所以()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.4.（2014·安徽高考理科·Ｔ2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解题提示】分清条件和结论，根据充分条件、必要条件的定义判断。

高考数学专题-命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学专题-命题及其关系、充分条件与必要条件探考情悟真题【考情探究】分析解读 1.命题及其关系是高考命题的关联知识,往往会和函数、数列、向量、不等式、三角函数、立体几何、解析几何等相结合,主要考查命题真假的判断.2.充分、必要条件是高考的必考点,考查重点仍为充分、必要条件等基本知识点,但它可与函数、数列、向量、不等式、三角函数、立体几何、解析几何中的知识点进行综合.针对这类问题,必须注意两点:(1)先分清条件和结论,再推理和判断;(2)正面判断较难时,可转化为该命题的逆否命题进行判断.3.预计高考试题中,考查命题真假的判断和充分、必要条件的可能性很大,复习时应加以重视.破考点练考向【考点集训】考点一命题及其关系1.(2018浙江诸暨期末,4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.m∥α,n⊂α⇒m∥nB.m∥α,m∥β⇒α∥βC.m⊥α,n⊂α⇒m⊥n1 / 14D.m⊥n,n⊂α⇒m⊥α答案C2.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-x-2=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题D.“tan x=1”是“x=π”的充分不必要条件4答案C考点二充分条件与必要条件1.(浙江名校协作体9月联考,5)已知函数f(x)=ln x,则“f(x)>0”是“f(f(x))>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.(浙江“七彩阳光”联盟期初联考,5)“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B2 / 143.(浙江温州11月普通高中适应性测试,5)已知a,b是实数,则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(浙江宁波十校11月联考,5)若实数x,y满足x+y>0,则“x>0”是“x2>y2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B炼技法提能力【方法集训】方法1命题真假的判断方法1.(山东济南外国语学校月考,3)原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是()A.逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假命题B.否命题:若a+b<2,则a,b都小于1,为假命题C.逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2,为真命题3 / 144 / 14D.“a+b ≥2”是“a,b 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件答案 D2.(浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知命题“函数f(x)=sin 2x+√3cos 2x-m 在[0,π2]上有两个不同的零点”是真命题,则实数m 的取值范围是( )A.[-√3,2)B.[-√3,√3)C.[√3,2)D.[0,2)答案 C方法2 充分条件与必要条件的判定方法1.(浙江台州中学第一次模拟,3)已知向量a=(1,m+1),b=(m,2),则“a ∥b ”是“m=1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.(届浙江镇海中学期中,7)设命题p:lg(2x-1)≤0,命题q:x -(a+1)x -a ≤0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A.[0,12]B.(0,12)C.[0,12)D.⌀答案 A3.(天津理,3,5分)设x ∈R,则“x 2-5x<0”是“|x-1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且¬p是¬q的必要不充分条件,则实数m的取值范围4.已知p:|1−x-13为.答案[9,+∞)【五年高考】A组自主命题·题组考点一命题及其关系(浙江,6,5分)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).()A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立答案A5 / 14考点二充分条件与必要条件1.(浙江文,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(浙江文,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案DB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一命题及其关系(北京文,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为.答案-1,-2,-3(答案不唯一)考点二充分条件与必要条件1.(北京文,6,5分)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件6 / 147 / 14答案 C2.(北京理,7,5分)设点A,B,C 不共线,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C3.(天津文,3,5分)设x ∈R,则“x 3>8”是“|x|>2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A4.(天津理,4,5分)设x ∈R,则“|x -12|<12”是“x 3<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(北京文,4,5分)设a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的()8 / 14C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B6.(天津文,2,5分)设x ∈R,则“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B7.(天津理,4,5分)设θ∈R,则“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A8.(四川,7,5分)设p:实数x,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y 满足{y ≥x -1,y ≥1−x,y ≤1,则p 是q 的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A9.(天津,4,5分)设x ∈R,则“|x-2|<1”是“x 2+x-2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A(x+2)<0”的()10.(重庆,4,5分)“x>1”是“lo g12A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案BC组教师专用题组考点一命题及其关系1.(山东,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤09 / 14答案D2.(四川文,15,5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'(yx2+y2,-xx2+y2);当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).答案②③考点二充分条件与必要条件1.(四川,8,5分)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B2.(湖南,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10 / 14答案C3.(北京,4,5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.(湖北,5,5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n-12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案A5.(陕西,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A【模拟】选择题(每小题4分,共44分)11 / 141.(浙江名校协作体联考,3)设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γB.若α⊥β,m⊥α,则m∥βC.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥βD.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n答案C2.(浙江金华十校联考,3)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的充分不必要的条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.2a>2b答案B3.(浙江杭州二中开学考,2)设a,b均为单位向量,则“a,b的夹角为2π”是“|a+b|=√3”的()3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D4.(浙江嘉兴、丽水基础检测,2)“2a=2b”是“ln a=ln b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12 / 14答案B5.(浙江“绿色评价”联盟联考,3)等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a4”是“a3<a5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A6.(浙江浙南名校联盟联考,5)设x,y∈R,则“0<xy<1”是“|x|<1”的()|y|A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A7.(浙江金丽衢十二校联考,5)已知a,b是实数,则“a>2,b>2”是“a+b>4且ab>4”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A8.(浙江高考数学仿真卷(三),5)设a≥0,b≥0,则“2b+3√b>2a+2√a”是“b>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B13 / 149.(浙江丽水四校联考,1)若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0]∪[1,+∞)B.(-1,0)C.[-1,0]D.(-∞,-1)∪(0,+∞)答案C10.(浙江诸暨期末,6)等比数列{a n}的首项a1>0,前n项和为S n,则“S i>S j(i,j∈N*)”是“S i+1>S j+1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D<0”的()11.(浙江三校联考,7)“2x-y<1”是“ln xyA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案D14 / 14。

高考数学提分必备30个黄金考点专题02命题及其关系充分条件与必要条件学案理

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识. 2.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题. （2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件 3.名师二级结论： (1) 常见结论的否定形式(2)充要条件判定方法 ①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若BA ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. ③利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.考点交汇展示： (1)与集合交汇例1设A ，B 是两个集合，则“A B A =I ”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆I ，反之，A B A B A =⇒⊆I ，故为充要条件，选C. (2)与不等式交汇例2【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】结论是都是大于小于至少一个至多一个至少n 个至多有n个对所有x ，成立p或q p且q对任何x ，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（1n -）个至少有（1n +）个存在某x ，不成立p ⌝且q ⌝ p⌝或q ⌝ 存在某x ，成立绝对值不等式，由 .据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A 选项. （3）与函数交汇例3【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A（4）与平面向量结合例4【2018年理北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】，因为a ，b 均为单位向量，所以 a ⊥b ，即“”是“a ⊥b ”的充分必要条件.选C.（5）与复数交汇例5已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】(a +bi )2＝a 2－b 2＋2abi ＝2i ，于是a 2－b 2＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A . （6）与立体几何交汇例6【2018年浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】(7)与数列交汇例7【2016高考天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. (8)与平面解析几何交汇例8【2018届北京市人大附中5月三模】设,则“”是直线“与直线垂直”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若，则两条直线分别为、，两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；若两条直线相互垂直，则，故或，故“”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选B.【考点分类】考向一命题及其关系1.【河北省衡水中学2018届第十六次模拟理】下列有关命题的说法正确的是（） A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B2.【2017北京卷】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。

高考数学一轮复习专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(讲)理

第02节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲解读】【知识清单】 1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．对点练习：有下列四个命题（1）“若2320x x -+=，则1x =”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若1m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B ，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题为（）A 、（1）（2）B 、（2）（3）C 、（4）D 、（1）（3）【答案】D2．充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件；（3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．对点练习：【2018高考北京理6】设,a b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的（）A ．充分而不必条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先对模平方，将33-=+a b a b 等价转化为⋅0a b =，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系．试题解析：22222233336996b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=+⋅+a b a b a b a b a a b b a a ，因为,a b 均为单位向量，222269960∴-⋅+=+⋅+⇔⋅=⇔⊥a a b ba ab b a b a b，即“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的充分必要条件．选C ．【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q ⇒”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p q ⇒与q p ⌝⇒⌝，q p ⇒与p q ⌝⇒⌝，p q ⇔与q p ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件．【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题“已知实数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤”，它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 【答案】B【解析】∵1a b +=2221()24a b a ab b ab =+=++≥14ab ⇒≤．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若14ab ≤，显然得不出1a b +=，故逆命题为假，因而否命题为假，选B ．【1-2】命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（）A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数．【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若2log 0a >，则函数2()log f x x =(0,1)a a >≠在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a M ∈，则b M ∉”与命题“若b M ∈，则a M ∉”等价．【答案】②④【领悟技法】1．四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面．2．正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 3．判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．4．否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．【触类旁通】【变式一】命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC ∆的三内角成等差数列，则ABC ∆有一内角为3π”，它是真命题．【变式二】【2018河北衡水金卷四】下列结论中正确的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件； ②命题“”的否定是“”；③函数在区间内有且仅有两个零点．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 0 【答案】A【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假，然后判断真命题的个数即可．详解：逐一考查所给命题的真假：①若，则，反之未必成立，故“”是“”的充分不必要条件，该命题正确；②命题“”的否定是“”，原命题错误； ③函数的零点即函数与函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可知，交点的个数为1个，则零点的个数为1个，原命题错误．综上可得，正确命题的个数为1个．故选A ．【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可．否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假；②原命题与其逆否命题同真假．考点2 充分必要条件的判定【2-1】【2018天津滨海新区模拟】已知集合{}|145A x x x =-+-<，集合(){}22||log 2B x y x x ==-，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可．详解：利用绝对值不等式的求法求得{}|05A x x =<<，利用对数式有意义，真数大于零求得{}|02B x x =<<，因为B 是A 的真子集，故“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．【名师点睛】分别求出题中所给的集合A ，B ，结合集合的包含关系判断即可．【2-2】【2018广东佛山二模】已知函数，则“”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【2-3】设b a →→,为向量．则""b a b a →→→→=⋅是b a →→∥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件【答案】Ｃ【解析】设向量,a b →→的夹角为θ，若cos a b a ba b θ→→→→→→⋅==，cos 1θ=±，则b a →→∥，若b a →→∥，则cos 1θ=±，从而cos a b a ba b θ→→→→→→⋅==，""b a b a →→→→=⋅是b a →→∥的充要条件．【2-4】【2018江西新余二模】“”是“函数在区间上无零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数f （x ）=3x +m﹣3在区间[1，+∞）无零点，则3x +m＞3，即m +1＞，解得m ＞，故“m ＞1“是“函数f （x ）=3x +m﹣3在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A ．【领悟技法】充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件；若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3）充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件【触类旁通】【变式一】【2018河北唐山二模】设，则“”是“”为偶函数的（）A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】如果为偶函数，则，所以，所以“”是“”为偶函数的充要条件．故选C ．【变式二】以q 为公比的等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“1q >”的（） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等比数列中，若10a >，则由13a a <可得，21q >，即1q >或1q <-；若1q >，则有21q >，所以，211a q a >，即13a a <．所以，“13a a <”是“1q >”的必要而不充分条件．故选A ．考点3 充分条件与必要条件的应用【3-1】给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由q p ⇒⌝且p q ⌝≠>可得p q ⇒⌝且q p ⌝≠>，所以p 是q ⌝的充分不必要条件．【3-2】【2018衡水信息卷一】已知:p 函数()4xy a =-在R 上单调递减，:12q m a m +≤≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．【答案】(),1-∞【解析】当p 为真时，45a <<．记集合A {}|4a 5a =<<，{}B |12a m a m =+≤≤．若p 是q 的必要不充分条件，则B A Ü． ①当12m m +>，即1m <时，B A =∅Ü；②当m 1≥时，B A Ü等价于1{14 25m m m ≥+><，解得m ∈∅．综上所述，实数m 的取值范围为(),1-∞，故答案为(),1-∞．【3-3】函数()2log ,02,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩，有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )A ．0a <B ．102a <<C ．112a <<D ．0a ≤或1a >【答案】A【领悟技法】１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．（2）要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性．此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）．【触类旁通】【变式一】【2018河北衡水金卷四】设p ：3402x xx-≤，q ： ()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A ={x |-2≤x ＜0或0＜x ≤2}；设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B ={x |m ≤x ≤m +1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m ∈[)(]2,10,1--⋃，故选D ．【变式二】【2018衡水金卷五】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x R <∈恒成立．若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)0,1【解析】命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥．命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，1a <，则实数a 的取值范围是[)0,1．【易错试题常警惕】易错典例：已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是____________．易错分析，（1）“1132x <<”是“1x m -<”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；（2）从集合的角度看，若设1132A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x m =-<，则A B Ü，学生容易看成A B =．正确解析：由题意知：1132x <<是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件．所以1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭是{}1x x m -<的真子集．而{}{}111x x m x m x m -<=-+<<+，所以有113112m m ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423m -≤≤，所以m 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【学科素养提升之思想方法篇】转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法．转化与化归思想在本节中的应用主要是：（1）判断命题真假：原命题和其逆否命题同真同假，原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等【典例】已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．【答案】[9，＋∞)【变式】已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．【答案】[9，＋∞)【解析】∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9．∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。

2020年高考数学专题复习命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念q判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是( )A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞bD．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(教材习题改编)“x>4”是“x2－2x－3>0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，所以x>4⇒x2－2x－3>0.但x2－2x－3>0x>4，所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p/⇒q.当x＝3x＋4时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分四种命题的相互关系及真假判断(1)(2019·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2019·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0【解析】(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.【答案】(1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2，则a >b ”的否命题是( ) A ．若a 2>b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2>b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“綈p ，则綈q ”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)与命题的真假性相交汇命题．角度一判断指定条件与结论之间的关系(1)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m ⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.(2)因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.【答案】(1)A (2)C角度二与命题的真假性相交汇命题(2019·黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是( )A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件B．p：A∩B＝A；q：A B，则p是q的充分不必要条件C．已知数列{a n}，若p：对于任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上；q：{a n}为等差数列，则p是q的充要条件D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．选项B：因为A∩B＝A A B(如A＝B)，而A B⇒A∩B＝A，从而p q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件，故B错．选项C：因为P n(n，a n)在直线y＝2x＋1上．所以a n＝2n＋1(n∈N*)，则a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2，又由n 的任意性可知数列{a n }是以公差为2的等差数列，即p ⇒q .但反之则不成立，如：令a n ＝n ，则{a n }为等差数列，但点(n ，n )不在直线y ＝2x ＋1上，从而qp .从而可知p 是q 的充分而不必要条件，故C 错．选项D ：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，所以“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．故D 正确．【答案】 D判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；綈p 是綈q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．(2019·杭州市富阳二中高三开学检测)若a ，b 为实数，则“ 3a <3b ”是“1|a |>1|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意，若“3a <3b”，则有a <b ，而“1|a |>1|b |”不一定成立，如a ＝－3，b ＝1；若“1|a |>1|b |”，则有|a |<|b |，“3a <3b ”不一定成立，如a ＝1，b ＝－3，故“3a <3b”是“1|a |>1|b |”的既不充分也不必要条件．充分性和必要性的证明(1)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. (3)a ＞b 不能推出a 2＞b 2，例如a ＝－1，b ＝－2；a 2＞b 2也不能推出a ＞b ，例如a ＝－2，b ＝1.故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 (1)B (2)A (3)D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2019·丽水模拟)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A ＞sin B ”是“tan A ＞tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A＞B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A ＞B ⇔tan A ＞tan B ．故选C.2．(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a －3b |＝|3a ＋b |，所以(a －3b )2＝(3a ＋b )2，所以a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ；反之也成立．故选C.充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2，q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≤－3C ．a ≥－1D ．a ≥1(2)若a ＜x ＜a ＋2是x ＞3的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2，解得x ＞1或x ＜－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，从而可得(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a ≥1，故选D.(2)因为“a ＜x ＜a ＋2”是“x ＞3”的充分不必要条件，所以{x |a ＜x ＜a ＋2}{x |x ＞3}，所以a ≥3，故答案为[3，＋∞)．【答案】 (1)D (2)[3，＋∞)利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．(2019·金华一模)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥14a ≤32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38四种命题的书写及相互关系(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)四种命题中的等价关系：原命题与逆否命题是等价命题，它们具有相同的真假性；否命题与逆命题也是等价命题，它们也具有相同的真假性．充分条件、必要条件与集合的关系A B BA注意(1)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提． (2)否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(3)注意区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A )，与A 的充分不必要条件是B (B⇒A 且AB )两者的不同．[基础达标]1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析：选A.由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.2．命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是( ) A ．若x ≤0，则x ≤1 B ．若x ≤0，则x ＞1 C ．若x ＞0，则x ≤1D ．若x ＜0，则x ＜1解析：选A.依题意，命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是“若x ≤0，则x ≤1”，故选A.3．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2019·金华市东阳二中高三调研)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．(－1，0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选A.由(x －a )[x －(a ＋2)]≤0得a ≤x ≤a ＋2，要使“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a ≤0，所以－1≤a ≤0.5．(2019·杭州中学高三月考)已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a>2b－1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p ：“a >b ”，再根据函数y ＝2x 是增函数，可得2a >2b ，所以2a >2b－1，故条件q ：“2a >2b－1”成立，故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p ：“a >b ”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．(2019·高三“吴越联盟”)已知a ，b ∈R ，则使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )A ．|a |＋|b |≥4B ．|a |≥4C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－4解析：选D.由b <－4可得|a |＋|b |>4，但由|a |＋|b |>4得不到b <－4，如a ＝1，b ＝5. 7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A ＞sin B ，则2R sin A ＞2R sin B ，即a ＞b ；若a ＞b ，则a 2R ＞b2R，即sin A ＞sin B ，所以在△ABC 中，“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件，故选C.9．设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.10．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xB ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2abD ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.11．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：212．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.答案：m ＝－213已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，因为β：|x －1|<1，所以0<x <2，所以β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又因为α是β的必要不充分条件．所以B A ，所以a ≤0.答案：(－∞，0]14．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；又直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，所以綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，所以綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号．解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以q 是p 的必要而不充分条件．即p 是q 的充分而不必要条件，因为q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，所以p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a ·b ＜0”，但由“a ·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a ·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[能力提升]1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞23．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.真命题，可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z . 所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：因为p ：3≤x ≤4，q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以綈p ⇒綈q ，且綈q 綈p ，所以q ⇒p ，且p q ，即q 是p 的充分不必要条件，故{x |a ≤x ≤a ＋1}{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。

2020-2021学年高考数学(理)考点：命题及其关系、充分条件与必要条件

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．充分条件、必要条件与充要条件的概念⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件概念方法微思考C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，解得或，2a a >0a <1a >故”是“”的充分不必要条件，1a >2a a >故选．A 2．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a ）；p a R ∈0a ≠x R ∈()()f x a f x f +<+命题单调递减且恒成立；1:()q f x ()0f x >命题单调递增，存在使得，2:()q f x 00x <0()0f x =则下列说法正确的是 ()A ．只有是的充分条件B ．只有是的充分条件1q p 2q pC ．，都是的充分条件D ．，都不是的充分条件1q 2q p 1q 2q p 【答案】C【解析】对于命题：当单调递减且恒成立时，1q ()f x ()0f x >当时，此时，0a >x a x +>又因为单调递减，()f x 所以()()f x a f x +<又因为恒成立时，()0f x >所以（a ），()()f x f x f <+所以（a ），()()f x a f x f +<+所以命题命题，1q ⇒p 对于命题：当单调递增，存在使得，2q ()f x 00x <0()0f x =当时，此时，（a ），00a x =<x a x +<f 0()0f x ==又因为单调递增，()f x 所以，()()f x a f x +<，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除；{2S =8}{8T =32}{2S T = 32}D ，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7{2S =16}{8T =128}{2S T = 128}个元素，排除；B 故选．A 5．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是l m n l m n “，，两两相交”的 l m n ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相m n l m n l m n l 交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．m n l 而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．m n l m n l 故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，m n l m n l 故选．B 6．（2020•上海）“”是“”的 αβ=22sin cos 1αβ+=()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】（1）若，则，αβ=2222sin cos sin cos 1αβαα+=+= “ “是“ “的充分条件；∴αβ=22sin cos 1αβ+=（2）若，则，得不出，22sin cos 1αβ+=22sin sin αβ=αβ= “”不是“”的必要条件，∴αβ=22sin cos 1αβ+= “”是“”的充分非必要条件．∴αβ=22sin cos 1αβ+=故选．A 7．（2019•天津）设，则“”是“”的 x R ∈250x x -<|1|1x -<()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，250x x -< 05x ∴<<，，|1|1x -< 02x ∴<<推不出，05x << 02x <<，0205x x <<⇒<<是的必要不充分条件，05x ∴<<02x <<即是的必要不充分条件．250x x -<|1|1x -<故选．B 8．（2019•天津）设，则“”是“”的 x R ∈05x <<|1|1x -<()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，|1|1x -< 02x ∴<<推不出，05x << 02x <<，0205x x <<⇒<<是的必要不充分条件，05x ∴<<02x <<即是的必要不充分条件05x <<|1|1x -<故选．B 9．（2019•新课标Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为．命题，6,20x y x y +⎧⎨-⎩……D :(,)p x y D ∃∈；命题，．下面给出了四个命题29x y +…:(,)q x y D ∀∈212x y +…①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】作出等式组的平面区域为．在图形可行域范围内可知：6,20x y x y +⎧⎨-⎩……D 命题，；是真命题，则假命题；:(,)p x y D ∃∈29x y +…p ⌝命题，．是假命题，则真命题；:(,)q x y D ∀∈212x y +…q ⌝所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①真；②假；③真；④假；p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝故答案①③真，正确．故选．A 10．（2019•新课标Ⅱ）设，为两个平面，则的充要条件是 αβ//αβ()A ．内有无数条直线与平行B ．内有两条相交直线与平行αβαβC ．，平行于同一条直线D ．，垂直于同一平面αβαβ【答案】B【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；A αβαβ //αβ对于，内有两条相交直线与平行，；B αβ//αβ对于，，平行于同一条直线，或；C αβαβ //αβ对于，，垂直于同一平面，或．D αβαβ //αβ故选．B 11．（2019•北京）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”A B C AB AC ||||AB AC BC +> 的 ()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】点，，不共线，A B C【解析】若，，，成等比数列，则，a b c d ad bc =反之数列，，1，1．满足，1-1-1111-⨯=-⨯但数列，，1，1不是等比数列，1-1-即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件．ad bc =a b c d 故选．B 20．（2018•北京）设，均为单位向量，则“”是“”的 a b |3||3|a b a b -=+ a b ⊥ ()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 “”|3||3|a b a b -=+ 平方得，∴_|22_|22|9||69|||6a b a b a b a b +-=++ 即，196916a b a b +-=++ 即，120a b = 则，即，0a b = a b ⊥ 反之也成立，则“”是“”的充要条件，|3||3|a b a b -=+ a b ⊥ 故选．C 21．（2018•上海）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的 n S {}n a n {}n a {}n S ()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】D 【解析】数列，，，是递增数列，但不是递增数列，即充分性不成立，3-2-1-0⋯⋯{}n S 数列1，1，1，，满足是递增数列，但数列1，1，1，，不是递增数列，即必要⋯⋯{}n S ⋯⋯性不成立，则“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，{}n a {}n S 故选．D强化训练命题为 ()A ．若存在使得，则0x >21x a ->1a >-B ．若存在使得，则0x >21x a -…1a >-C ．若，则存在使得1a >-0x >21x a ->D ．若，则存在使得1a >-0x >21x a -…【答案】B【解析】否命题是条件、结论都否定，“若对任意的都有，则”的否命题为“若存在使得，则0x >21x a ->1a -…0x >21x a -…．1a >-故选B ．6．（2019秋•信阳期末）某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是 ()A ．不拥有的人们不一定幸福B ．不拥有的人们可能幸福C ．拥有的人们不一定幸福D ．不拥有的人们就不幸福【答案】D【解析】“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的即“不拥有的人们就不幸福”故选D ．7．（2019•绵阳模拟）已知命题，使得；命题，，则下列命题0:p x R ∃∈0cos 0lg x >:0q x ∀<30x >为真命题的是 ()A ．B ．C ．D ．p q ∧()p q ∨⌝()()p q ⌝∧⌝p q∨【答案】D【解析】命题，使得，0:p x R ∃∈0cos 0lg x >，1cos 1x - ……A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，a α⊂b β⊂//a β//b α若与为异面直线，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，a b 则有，满足充分性；//αβ反之，若，，，，，则与平行或异面，故不满足必要性．//αβa α⊂b β⊂//a β//b αa b 则“与为异面直线”是“”的充分不必要条件．a b //αβ故选A ．18．（2020•新乡三模）已知，，则“”是“”的 3log a b =0.3c b =0a >0c >()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，根据得，；0a >3log a b =1b >根据，得出；0.3c b =0c <若，根据得，；0c >0.3c b =1b <根据，得出，3log a b =0a < “”是“”的既不充分也不必要条件．∴0a >0c >故选D ．19．（2020•涪城区校级模拟）已知、是两个不同的平面，、是两条不重合的直线，命题αβm n ：若，，则；命题：若，，，则，则下列p m α⊥m n ⊥//n αq αβ⊥n αβ= m n ⊥m β⊥命题为真命题的是 ()A ．B ．C ．D ．p q ∧p q∨()p q ∨⌝()p q⌝∧【答案】C【解析】根据题意，命题：若，，则或，命题为假命题，p m α⊥m n ⊥//n αn α⊂p 对于命题，若，，，则与平面不一定垂直，命题为假命题，q αβ⊥n αβ= m n ⊥n βq则、、都是假命题，为真命题；p q ∧p q ∨()p q ⌝∧()p q ∨⌝故选C ．20．（2020•来宾模拟）已知命题：对任意，总有；命题：“”是“”p x R ∈30x >q 2x >4x >-的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 ()A ．B ．C ．D ．p q∧p q ⌝∧⌝p q ⌝∧p q ∧⌝【答案】A【解析】根据指数函数的性质可知，对任意，总有成立，即为真命题，x R ∈30x >p ：“”是“”的充分不必要条件，即为真命题，q 2x >4x >-q 则为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．p q ∧p q ⌝∧⌝p q ⌝∧p q ∧⌝故选A ．。