(2015.1) 线代与解几试卷A

合集下载

201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准

201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.本题满分15分本题得分二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.本题满分15分本题得分三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分本题满分21分本题得分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分本题满分16分本题得分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分本题满分12分本题得分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分本题满分14分本题得分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)

由，得的特征值，
属于对应的特征向量为，单位化：，
属于对应的特征向量为，单位化：，
取，则有。
八、（本题8分）证明：由
得的特征值，
，
故的最大特征值是。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由，得：，
可逆，故；
由于，。
五、（本题14分）解：（1）令，，
则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量线性相关，
若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（）。
（A）（B）
（C）（D）无法比较与的大小
5、设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。
四、（10分）设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r

中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题及解答

中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题
（1）设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（）
（A）0（B）1 (C) 2 ( D) 3
（4）设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则
（A）（B）
(C) ( D)
（5）设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求的矩估计.
（Ⅱ）求的最大似然估计.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【答案】（C）
（13）n阶行列式
（14）设二维随机变量服从正态分布，则.
三、解答题
（15）设函数，，若与在是等价无穷小，求，，值。
（16）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成的区域的面积为4，且求的表达式。
（17）已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.
(2)【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)

当 k = −2 时，r(A, b) = 3 > r(A) = 2, 方程组无解。当 k ̸= 1, −2 时，r(A, b) = 3 = r(A) = 3, 方程组有唯一解，其解为 k+1 , x = −k +2 1 x2 = x = 3 λ 1 0
1 , k+2 (k+1)2 k+2
2 二、 (15 分) k 取何值时，下述线性方程组有无穷多解、唯一解、或无解？有解时求出所有的解。 kx + x2 + x3 = 1, 1 x1 + kx2 + x3 = k x + x + kx = k 2 1 2 3
解:
设方程组的系数矩阵为 A，增广矩阵为 (A, b). 对增广矩阵作行初等变换 1 1 k k2 1 1 k k2 −→ 0 k − 1 1 − k k − k 2 (A, b) −→ (5分) 1 k 1 k k 1 1 1 0 1 − k 1 − k2 1 − k3 当 k = 1 时，上述矩阵为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2) 反证：若 β + kα ∈ U , 则由 α ∈ U 以及 U 是线性子空间，得 β = (β + kα) − kα ∈ U, 矛盾。故对任何实数 k , β + kα ̸∈ U . (2分)
如果有两个不同实数 k1 , k2 , 使得 β + k1 α, β + k2 α ∈ W , 则 (k1 − k2 )α ∈ W , 矛盾。 3） (证法一) 对真子空间的个数 s 用数学归纳法。当 s = 1 时， 3）显然成立。假定命题对 s 成立，下设 V 有 s + 1 个真子空间 V1 , V2 , · · · , Vs , Vs+1 , 不妨假定他们两两不同。由归纳假设，对任何 i = 1, 2, · · · , s + 1，存在向量 αi , 当 j ̸= i 时，αi ∈ / Vj . 如果 V = V1 ∪ V2 ∪ · · · ∪ Vs ∪ Vs+1 , 那么 αi ∈ Vi . 考虑无穷多个向量 α1 + kα2 (k ∈ R)，其中一定有两个不同向量 α1 + k1 α2 , α1 + k2 α2 属于同一个子空间 Vt , (3分)

14-15-1线代试题答案

2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分）五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分）向量组秩为3，……………………………………………………………（2分）一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分）七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分）将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ，因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。

武汉理工大学 2014-2015第一学期现代试卷A答案

方式二：
向量组1,2 ,3 线性相关，知 R(2 ,3,1) R(1,2,3) 3 -----------1 分向量组2 ,3,4 线性无关，知 R(2 ,3,4 )=3.
由整体无关则部分无关，知2 ,3 也线性无关。---------------------2 分
而 R(2 ,3,1) R(2 ,3) 2 ，综上知
--------------6 分
A卷3
A卷4
1 1
1 2 1, 3 2 为特征值
1 1
当 1 1解方程组 (A E)x 0 ，得正交的的特征向量为 p1 1 , p2 1
0
2
1
当
3
2
解方程组 ( A
2E)x
0
得
p3
1
为对应特征向量
1
故所求正交矩阵 P 为
1
1
1
2
P(
p1
,
p2
,
p3
) 1
p1 p2 p3 2
…
…
31
11
… …
4 31 23 若 1,4 是最大无关组，则3 2 1 2 4 ，2 2 1 2 4
…
4. k=-2.
装
订
线
… … … …
A卷1
四、（本题 15 分）
（1）a=-8,b≠1,无解；--------------6 分
（2）a≠-8,唯一解；--------------8 分
,3
线性表示。-----------------6
分
第二部分还可以用反证法：假设即4 能由1,2 ,3 线性表示，由于1 能由2 ,3 线性表示，
且表示法唯一，故4 能由2 ,3 线性表示，------------5 分

14年线性代数与空间解析几何A考试试题试题

济南大学2014～2015学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程线性代数与空间解析几何考试时间 2015 年1月12日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共14分）1、123123123++=+x x x .2、若向量组α1=(1,1,1)T , α2=(1, n , 0)T , α3=(1,2,3)T 线性无关，那么n 应满足 .3、已知11102321⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X ,则X = . 4、设n 元非齐次线性方程组Ax =b 有解，其中A 为(n +1)×n 矩阵，则Ax =b 的增广矩阵的行列式A b = . 5、过点(0,1,-3)且与平面3x -y +4z -8=0垂直的直线方程是 . 6、方程z =4x 2+5y 2所表示的曲面为 .7、已知100021,053⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则A -1=.二、选择题（每小题2分，共14分）1、已知矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡642752321，则矩阵A 的秩R (A )= _______. （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）0.2、002001103012021-=-[ ](A ) 12； (B ) -12； (C ) 6； (D ) -6.3、设向量组A 的秩为r 1，向量组B 的秩为r 2，A 组可由B 组线性表示，则1r 与2r 的关系为[ ](A ) r 1≤r 2； (B ) r 1≥r 2； (C ) r 1=r 2； (D )不能确定. 4、设A 为4阶矩阵，且|A |=2，则 | 2A -1 |=[ ](A ) 4； (B ) 16； (C ) 1； (D ) 8.5、若3阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为-1, 2, 4，则行列式|B +2E |= [ ](A ) -24； (B ) -8； (C ) 24； (D ) 11.6、球面6222=++z y x 与旋转抛物面22y x z +=的交线在xOy 平面上的投影曲线方程为[ ] 2222222223()2;()3;();().00x y x y A x y B x y C D z z ⎧⎧+=+=+=+=⎨⎨==⎩⎩7、设12,λλ分别是3阶矩阵A 的一重和二重特征值，对角矩阵122000000λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ，则[ ] (A ) A 与对角矩阵Λ相似； (B ) A 与对角矩阵Λ不相似；(C ) 当R (A -λ2 E )=2时，A 与对角矩阵Λ相似； (D ) 当R (A -λ2 E )=1时，A 与对角矩阵Λ相似.三、计算题（每小题10分，共40分）1、已知矩阵*21100220,(())().111A A A A A E A E **-⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦是的伴随矩阵，求: 2、已知向量(1,2,1),(2,1,3)T T αβ=-=，矩阵A=αβ T =[]122131-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求f (A )=A 3-2A 2-2A . 3、a 为何值时，向量组1234(1,1,2,4),(3,0,7,14),(0,3,1,),(1,2,5,0)T T T T a a αααα=-===--- 线性相关？并在该向量组线性相关时，求其秩及一个最大线性无关组.4、求二次型222(,,)248=+-+f x y z x y z yz 的矩阵的特征值，并讨论方程222248+-+=x y z yz C (C 为任意常数)所表示的曲面类型.四、解方程组（共10分）求线性方程组12341234123412341222124436x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=-⎩的通解.五、综合题（共12分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，且行列式|A -2E |=0. 向量(1,2,1)=-T ξ是线性方程组Ax =0的解，求：(1) A 的特征值与特征向量；(2) 矩阵A .六、证明题（每小题5分，共10分）1、设方阵A 满足223--=A A E O ，证明A +2E 可逆.2、设4阶矩阵1234(,,,)αααα=A ，A *是A 的伴随矩阵. 若(1,0,1,0)T 是线性方程组Ax =0的基础解系，证明234,,ααα是A *x =0的基础解系.一、填空题(每小题2分,共14分)1． x 2(x +6) ； 2． n ≠1/2 ; 3．1101-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 4． 0 ； 5.13314x y z -+==-; 6．椭圆抛物面； 7.100031052⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题(每小题2分,共14分)1.（B ）2.（B ）3.（A ） 4．(D ) 5．（C ） 6.（C ） 7．(D )三、计算题(每小题10分,共40分)1、解：21(())()()**-*-+=-A A E A E A A E ||=-A E A1001003002010220200001111113-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、解：f (A )=A 3-2A 2-2A = 9A -6A -2A =A=213426213---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、解：123413113110320111(,,,)2715000241400026a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A αααα 当a =2时，R (A )=3<4，所以1234,,,αααα线性相关. 此时该向量组的秩为3，其最大无关组为：124,,ααα4、解：二次型222(,,)248f x y z x y z yz =+-+的矩阵为：100024044A ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由100||024(1)(4)(6)0,044λλλλλλλ--=-=--+=--A E 得二次型的矩阵A 的特征值为：1,4,-6. 方程222248+-+=xy z yz C 的标准形为：22211146x y z C +-=，所以当C =0时，方程222111460x y z +-=的图形为二次锥面. 当C >0时，方程22211146x y z C +-=的图形为单叶双曲面. 当C <0时，方程22211146x y z C +-=的图形为双叶双曲面.四、解方程组(共10分)解：[]=b A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------6411341112112122111111111001030032500325⎡⎤---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦11000001030001200000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以与原方程组同解的方程组为123432x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故原方程组的通解为：R k k x x x x T T T ∈-+-=,)2,3,0,0()0,0,1,1(),,,(4321五、综合题(满分12分)解：（1）由题意得：11111312021111,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A所以123,0λλ==是矩阵A 的特征值，11122212121112011k k k k k k k k R ,,,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⋅≠∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ分别是A 对应特征值123,0λλ==的所有特征向量。

大连理工大学线代与几何A卷答案（2015.1）

⼤连理⼯⼤学线代与⼏何A卷答案（2015.1）姓名：__________⼤连理⼯⼤学学号：__________课程名称：线性代数与解析⼏何试卷： A 考试形式：闭卷院系：__________ 授课院（系）：数学科学学院考试⽇期： 2015年1⽉16⽇试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装得分⼀、（每⼩题3分，共30分）填空题1. 设112120200-=??A ，则612152224T =-??-A A2. 设12,αα是2元列向量，[][]1212122,,,,6αααααα=+-==A B A ，则2=-B3. 设A 为三阶⽅阵，2=A ，则1(2)14-*=A A OA订 4. 设向量组123,,a a a 线性⽆关，向量组1122233132,,k =+=+=+b a a b a a b a a 线性相关，则数2k =-5. 点(2,1,3)-到平⾯226x y z -+=的距离为 46. 已知矩阵1222121m k k =??A 为正交矩阵，则1,2.3m k =±=-线 7. 已知由向量组()()()1231,3,1,1,2,0,1,1,1,,0,2TTTk ααα=-=-=-所⽣成的向量空间的维数为2，则3k =8. 设()11223333,0,(2)2,1,ija r a a a ?==+=++=A A A E 则5120+=A E9. 设1500000000-=??P AP ，110101022=??P ，则10100=??Ax 的通解为12102012220k k++10. 设,αβ为三维列向量，,αβ线性⽆关，则TTααββ+的伴随矩阵的秩为 1得分⼆、（8分）计算⾏列式1234123412341234123412341234022222202200220202022022a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aaa a aa+++=-+-+-12342200220202002a a a a -=---12342340200200200002a a a a a a a +++=-123416()a a a a =-+++得分三、（10分）当k 满⾜什么条件时，⽅程组1231231231203x x x x kx x kx x x ++=??++=??+-=?有唯⼀解；⽆解；有⽆穷多解？在有⽆穷多解时，求出其通解.解：[]11111111,12001111130113k k k k k k =??→-------A b 11110111002k k k ??→--?--当0k ≠且1k ≠时，有唯⼀解。

2015考研数学线性代数真题解析

2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。

从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。

下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。

很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。

比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。

对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。

一定要注意总结这些基本运算的运算方法。

2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案

东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《线性代数》试卷开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ）．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。

2015-16线代A卷答案

一个极大无关组，故所求向量组的秩为 3，且 α1, α2, α3 为它的一个极大无关组.
10 分
4 0 0
20.（本题
10
分）设实对称矩阵
A
0 0
3 1
1 3
，求正交矩阵
P，使 P1AP
.
4 0 0 解 | A E | 0 3 1 (4 )(2 6 8) (2 )(4 )2 0 ，
对于
2
3
4 ，由
(A 2E)x
0
，即
0
1
1
x2
0
，解得基础解系为
0 1 1 x3 0
(1, 0, 0)T , (0,1,1)T ，因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单
位特征向量： p2 (1, 0, 0)T , p3 (0,
1, 2
1 )T . 2
0
1
于是可得正交矩阵
3
2
1
2
3
1
1 1 ,2 0 ,3 0 .
6分
0
1
0
0
0
1
1
取
x3 x4 x5
0 0
,
0
得非齐次方程组的一个特解 0
2
0
0 0
，于是，所求方程
组的通解为 x 0 k11 k22 k33 , （k1, k2, k3 为任意实数）.
1 0
0
1 0 -2
-1 5 4
1 0 -1
0 5
2
1 0
0
1 0 0
-1 1 7
1 0 0
0 1
7
1 3 2 2 5 0 2 3 1 5 0 2 3 1 5

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2015-2016-1线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2015 — 2016学年第一学期课程名称：线性代数（共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ （5分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-00320541A ，矩阵B 满足*1BA E ABA +=-，求B 。

其中*A 是A 的伴随矩阵，1-A 是A 的逆矩阵，E 是三阶单位矩阵。

解由已知有2-=A ，E A A 2*-=，所以有 B A AB 2-=A B E A =+⇒)2(|||||2|A B E A =+⇒又由于，12|2|=+E A 因此，61||-=B (5分)设21,αα和21,ββ都是线性无关的三维向量，证明：存在三维非零向量γ即可以由21,αα线性表示，也可以由21,ββ线性表示. 证明由于四个三维向量必线性相关，所以存在不全为零的数4321,,,k k k k 使得 024132211=+++ββααk k k k 又由于21,αα和21,ββ都是线性无关的，所以21,k k 和43,k k 都不全为零，所以，只要取0--24132211≠=+=ββααγk k k k 即可. 分) 已知T )0,0,0,1(1=α,T )0,1,1,2(2=α，T )1,3,2,3(3--=α都是线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++-=-++23243432143214321x x x x d x x x cx b x x ax x 的解，求此方程组的通解。

解由于T )0,1,1,1(12=-αα和T)1,3,2,4(13--=-αα是导出组的解，且线性无关，所以方程组系数矩阵的秩2)(≤A R . 由于A 有二阶子式不等于0，所以2)(≥A R ，因此2)(=A R 。

所以，方程组的通解为：R k k k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121,,132401110001 注：若将i α带入方程可解得：3,3,1,2===-=d c b a ，通解只要满足2－1 ⎩⎨⎧-=+-=432431517x x x x x x分)设A是n阶方阵，A有特征向量α对应特征值2，T A有特征向量β对应特征值1，(1) 求αβT；(2)求矩阵Tβα的特征值；（3）问Tβα是否可以相似对角化，为什么？解 (1) 由已知有：αα2=A,ββ=TA,所以有αβαβαβTTT A2==于是，0=αβT(2) 由（1）得：0)(2==TTTβαβαβα所以，Tβα的所有特征值全为0.(3）由已知可知Tβα是非零矩阵，所以1)(=TRβα,所以属于特征值0只有1-n个线性无关的特征向量，所以，Tβα不能相似对角化.分)在向量空间3][xR中求由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵.解由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-+312211),,1()3,2,21(2222xxxxxxx所以，=),,1(2xx1222312211)3,2,21(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+xxxxx于是，由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵为：.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/16/16/52/12/113122111C分)一幢大的公寓建筑使用模块建筑技术，每层楼的建筑设计由三种设计中选择。

2015-2016-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准[详]

所以，即和正交；----------3分
考虑，即，等式两边同时左乘，得
，由此得：，即只有零解，
所以，可逆. ----------7分
2.设矩阵满足，，试求出的第2行的元素.
解：等式两边同时左乘得：，
整理得：，
已知，由此可求出 , ----------5分
从而可求出的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分
1．5阶行列式中，项前面的符号为【负】.
2.设，是的第4行元素的代数余子式，则等于【0】.
3．设，为矩阵，且，则【2】.
4．若向量组线性相关，则【1】.
5．设是3阶实的对称矩阵，是线性方程组的解，是线性方程组的解，则常数【1】.
6．设和是3阶方阵，的3个特征值分别为，若，则行列式【-8】.
令，则可得正交变换，
二次型的标准形为： .----------14分
本题满分7分
本题得分
七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）
1.“设是阶实的反对称矩阵，则对于任何维实的列向量，和正交，且可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.
解：该结论成立。
由于为反对称阵，则，对于任意维实的列向量，有：
4.设，则的第3行第1列的元素为【D】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
5．设，是使二次型正定的正整数，则必有【B】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D)以上选项都不对.
本题满分21分
本题得分
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
1.若线性无关，，线性相关，求 .

线性代数2014-2015-2-线性代数A卷答案

2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（B）（A ）E ABDC =（B ）E CDAB =（C ）E ACBD =（D ）EBACD =2.设向量组I ：321,,ααα可由向量组II ：21,ββ线性表示，则（C ）（A ）向量组II 必线性相关（B ）向量组II 必线性无关（C ）向量组I 必线性相关（D ）向量组I 必线性无关3.设A 是n (3≥n )阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（C ）（A ）A A A n 1**||)(-=（B ）A A A n 1**||)(+=（C ）A A A n 2**||)(-=(D)A A A n 2**||)(+=4.设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,αα是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，则b Ax =的通解是（A ）（A ）121)(ααα+-k （B ）21αα+k （C ）121)(ααα++k （D ）221)(ααα--k 5.设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T =，则下列结论错误的是（D ）（A ）A 与B 相似（B ）A 与B 等价（C ）A 与B 有相同的特征值（D ）A 与B 有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4.7.设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22E A A +-____.8.设三阶矩阵),,(321ααα=A ，且1||=A ，则|),,(|13321ααααα-+=____1___.9.已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___.10.设21,λλ是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==ξξ为对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.若矩阵AB 是可逆矩阵,则矩阵B A ,均是可逆矩阵（√）.12.若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（√）.13.若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（√）.14.若向量组321,,ααα线性相关，则向量组133322211 , ,ααβααβααβ+=+=+=无关（×）.15.若A 是23⨯矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解（×）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式 a ba a ab a a a a a b aa b a D =的值.解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a a b a ba b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a a a b b a 1111)3(+==3))(3( 0000000 001111)3(a b b a ab a b a b b a -+=---+---10分17.利用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----÷1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313r r r 所以A 的逆矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解.解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++12040203213221321321a x x x x a x x ax x x x x x 有解,即),()(b A R A R =.---------------------------------------------------------------------------3分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112104102101112 a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11000)2)(1(0001100111~ a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)2)(1(0001 10001100111~a a a a a 当1=a 或2=a 时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=a 时，,2),()(==b A R A R 对应的方程组的通解为Rk k x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1 0 1（2）当2=a 时，,3),()(==b A R A R 对应的方程组的唯一解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1 0x .---10分19.求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=ααα，T 4)2,2,4(-=α的秩，并求出一个极大无关组.解：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,αα为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20.设三阶实对称阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值.若,)0,1,1(T 1=αT 2)1,1,2( =α都是A 的属于6的特征向量.(1)求A 的另一个特征值及所有对应特征向量（2）求矩阵A .解：(1)因为三阶实对称阵A 的秩为2，所以332136||0λλλλ===A ，所以03=λ.----2分不妨设对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213x x x α，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以⎩⎨⎧=++=+02032121x x x x x ，其非零解是0,111≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x --------------------------------5分（2）取,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 1 1 01 1 11 2 1,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0 6 63211 λ λλAP P 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61P P A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题5分，共10分）21.已知A 为n 阶矩阵，且A A =2，证明.)()(n E A R A R =-+证明：令E A B -=，所以0=AB 从而n E A R A R ≤-+)()(--------------------------3分又因为)()())((B R A R B A R +≤-+，从而)()()(E A R A R E R n -+≤=.因此.)()(n E A R A R =-+------------------------------------------------------------5分22.已知矩阵B A B A +,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+B A 必可逆.证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+B A B A AB A BB A EB E A B A --------------4分所以矩阵11--+B A 必可逆.--------------------------------------------------------------5分。

考研数学真题 2015年1月

10．一件工作，甲、乙两人合作需要 2 天，人工费 2900 元；乙、丙两个人合作需要 4 天，人工费
2600 元；甲、丙两人合作 2 天完成全部工作量的 5 ，人工费 2400 元，甲单独完成这一工作需要的 6
时间与人工费分别为（）
（A）3 天，3000 元
（B）3 天，2580 元
（C）3 天，2700 元
v
0.8v
2S S 45 S
vv
2
，
S 270,
解得
v
3 2
，所以 2S=540km.故选 D.
6．在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为 80，81 和 81.5，三个班的学生得分之和为
6952，三个班共有学生（）
（A）85 名
（B）86 名
（C）87 名（D）88 名
（E）90 名
6q 19 10q 5 0 ，将负值舍去，解得 q 1 ，
2
14．某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军.选手之间相互获胜的
概率如下
甲
乙
丙
丁
甲获胜概率
0.3
0.3
0.8
5
乙获胜概率 0.7
0.6
丙获胜概率 0.7
0.4
丁获胜概率 0.2
0.7
0.5
则甲获得冠军的概率为（）
（B） a2 1
（C） a2 1
（D） a2 2
（E） a 2
3
【答案】A 【考点】韦达定理的应用【解析】考察韦达定理的扩展应用，不用求根，就可以求出一些代数式的值。
由韦达定理得
x1 x1x2
x2
a 1
，
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 a2 2(1) a2 2 .