2012高考数学二轮专题复习三角函数

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2012届高考数学知识三角函数复习讲义

2012届高考数学知识三角函数复习讲义高中数学复习讲义第三三角函数B第三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；2了解函数的实际意义，能画出的图像；3了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】1 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_____6____；初相__________．2 三角方程2sin( －x)=1的解集为_______________________．3 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1已知函数．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．分析：化为形式．解：（I）由．列表，取点，描图：1 1 1故函数在区间上的图象是：（Ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．例2已知正弦函数的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；（3）作出函数的图像的简图．分析：识别图像，抓住关键点．解：（1）由图知，，，，即．将，代入，得，解得，即．（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，得解得代入中，得．（3），简图如图所示．点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．【反馈演练】1．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）；④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移__ __个单位长度．3．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则__2____；__________．4．在内，使成立的取值范围为____________________．．下列函数：①；②；③；④．其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期∴，解得由图示，这时，将代入上式，可取综上，所求的解析式为（）7．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解：（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为该函数的最小正周期为，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．第6 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1理解三角函数，，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；2在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数研究．【基础练习】1写出下列函数的定义域：（1）的定义域是______________________________；（2）的定义域是____________________．2．函数f (x) = | sin x +s x |的最小正周期是____________．3．函数的最小正周期是_______．4 函数=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称．已知函数在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．【范例解析】例1求下列函数的定义域：（1）；（2）．解：（1）即，故函数的定义域为且（2）即故函数的定义域为．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间：（1）；（2）；解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．（2）由，得，又，所以该函数递减区间为，即．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．例3．求下列函数的最小正周期：（1）；（2）．解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．（2）．点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数的最小正周期为_____________．2．设函数，则在上的单调递减区间为___________________．3．函数的单调递增区间是________________．4．设函数，则的最小正周期为_______________．．函数在上的单调递增区间是_______________．6．已知函数．（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）若角在第一象限且，求．解：（Ⅰ）由得，即．故的定义域为．（Ⅱ）由已知条得．从而．7．设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）画出函数在区间上的图像解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0－1010故函数第7 三角函数的值域与最值【考点导读】1掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1函数在区间上的最小值为1 ．2函数的最大值等于．3函数且的值域是___________________．4当时，函数的最小值为4 ．【范例解析】例1（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2求函数的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．当时，函数的最小值是______4 _______．3．函数的最大值为_______，最小值为________4．函数的值域为．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．6．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．第８解三角形【考点导读】1掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2解三角形的基本途径：根据所给条灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△AB中，已知B＝12，A＝60°，B＝4°，则A＝2．在中，若，则的大小是______________3．在中，若，，，则．【范例解析】例1在△AB中，a，b，分别为∠A，∠B，∠的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．分析：利用转化为边的关系．解：（1）由．（2）由得．由余弦定理得：，解得：或，若，则，得，即矛盾，故．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2在三角形AB中，已知，试判断该三角形的形状．解法一：(边化角)由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，，．又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．解法二：(角化边)同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3如图，D是直角△AB斜边B上一点，AB=AD，记∠AD= ，∠AB=（1）证明：；（2）若A= D，求．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系（1）证明：，，，（2）解：A= D，，，点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值【反馈演练】1．在中，则B =_____________．2．的内角∠A，∠B，∠的对边分别为a，b，，若a，b，成等比数列，且，则_____．3．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．4．若的内角满足，则= ．．在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．．6．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．7．在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．第9 解三角形的应用【考点导读】1运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200 高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________ ．2．某人朝正东方向走x 后，向右转10°，然后朝新方向走3，结果他离出发点恰好，那么x的值为_______________ ．3．一船以每小时1的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为．4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于时，测得，，求炮击目标的距离解：在中，由正弦定理得：∴在中，由余弦定理得：∴答：线段的长为．【范例解析】例如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图（3），连结，由已知，，，，．在中，由余弦定理，．．由正弦定理，，即，．在中，由已知，由余弦定理，．，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条简化解题过程．【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________．2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后船沿南偏东方向航行4海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________．．设是某港口水的深度（米）关于时间t（时）的函数，其中下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深的关系：t036912118212412111219111914911989121经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A．B．．D．。

高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

2012年高考数学二轮专题测试三角函数解三角形理

三角函数、解三角形专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知cos2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，0<x <π，则tan x 为( )A ．－43B ．－34C ．2D ．－2解析：∵cos2x cos x －sin x ＝cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x ，∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方可得1＋2sin x cos x ＝125，∴sin x cos x ＝－1225，∴π2<x <π，由⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＋sin x ＝15sin x cos x ＝－1225解得sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.答案：A2．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6B.2π3 C.4π3D.11π6解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，将y ＝cos x 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．答案：C3．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4解析：f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1＝2sin(x －π4)－1，由－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)得，f (x )增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)． ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4上递增．答案：D4．(2011年某某省168中学第二次联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )A ．{(0,0)}B ．{(π，0)，(0,0)}C ．{(k π，0)}(k ∈Z)D ．Ø解析：∵sin k π＝0，k ∈Z ，tan k π＝0，k ∈Z ，∴选C. 答案：C5．(2011年某某十二校联考)函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，1]C ．[－54，－1]D ．[－1，54]解析：y ＝－12cos2x ＋sin x －12＝－12(1－2sin 2x )＋sin x －12＝－12＋sin 2x ＋sin x －12＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54∵－1≤sin x ≤1∴当sin x ＝－12时，f (x )min ＝－54当sin x ＝1时，f (x )max ＝1，∴选B. 答案：B6．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( )A.1＋m2B ．－1＋m2 C.1－m2D ．－1－m2解析：由题意知，cos θ＝－m ，θ2在第二象限，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－m2，故选D. 答案：D7．(2011年某某二诊)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如下图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是( )A ．[2kπ＋π4，2kπ＋5π4]，k ∈ZB ．[2kπ－π4，2kπ＋3π4]，k ∈ZC ．[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈ZD ．[kπ－π4，kπ＋3π4]，k ∈Z解析：A ＝1，12T ＝7π8－3π8＝π2，T ＝π，∴T ＝2πω，ω＝2令x ＝3π8，∴3π8×2＋φ＝π23π4＋φ＝2π4，φ＝－π4，∴y ＝cos(2x －π4) 2kπ≤2x －π4≤π＋2kπ2kπ＋π4≤2x ≤5π4＋2kπkπ＋π8≤x ≤5π8＋kπ，k ∈Z∴单调减区间为[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈Z ，故选C.答案：C8．(2010年某某市南开中学模拟)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点为M (2,2)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (5,0)，则函数 f (x )的解析式为( )A ．2sin(π6x ＋π6)B ．2sin(π3x －π6)C ．2sin(π6x －π6)D ．2sin(π3x ＋π6)解析：由最高点是(2,2)点排除C 、D 两个选择支，由图象在原点右侧第一个交点为(5,0)点，排除选择支B.故选A.答案：A9．函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( ) A ．①③B ．①② C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2，∴f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确．②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin2(x ＋π4)＝2cos2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B10．(2012年某某市高中毕业班质量检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A.2B. 3C.32D ．2解析：A 、B 、C 成等差数列， ∴B ＝60°，由b sin B ＝asin A ，∴sin A ＝a sin Bb ＝1×323＝12，∴A ＝30°或A ＝150°(舍去) ∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32.答案：C11．(2012年某某市高三第一轮复习质量检测)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3 C.5π6D.2π3解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A sin B －sin 2B ，则a 2－c 2＝ab －b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.答案：B12．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴csin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2010年某某省“金太阳”百校大联考)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在第________象限．解析：由A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∴sin A >cos B同理sin B >cos A ∴点P 在第二象限．答案：二14．(2011年某某省苏北四市模拟题)已知直线x ＝π6是函数y ＝a sin x －b cos x 图象的一条对称轴，则函数y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴为________．解析：由已知，则12a －32b ＝±a 2＋b 2∴32b －12a ＝±a 2＋b 2 ∴x ＝π3是y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴．答案：x ＝π315．(2011年某某省苏北四市模拟)设函数 f (x )＝3sin θ3·x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6]，则导数f ′(－1)的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3sin θ·x 2＋cos θ·x ＋4∴f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin(θ－π6)＋4∵θ∈[0，5π6] ∴θ－π6∈[－π6，2π3]∴－12≤sin(θ－π6)≤1，∴f ′(－1)∈[3,6]．答案：[3,6]16．(2010年某某省高三上学期质量检测)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________.解析：由3a ＝2c ·sin A ，则3sin A ＝2·sin C ·sin A ∴sin C ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝π3.答案：π3三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解析：(1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45.又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)． ∴cos(α－β)＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 18．(2011年黄冈3月质检)已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．解：f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos ωx2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6)－1依题意函数f (x )的最小正周期为3π ，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x＋π6)－1(1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当sin(23x ＋π6)＝32时，f (x )最小值＝2×32－1＝3－1 (2)由f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(2C 3＋π6)＝1而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12. 19．据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .解析：如下图，设台风中心经过t 小时到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°，由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos∠SAB＝3002＋(30t )2－2·300·30t cos60°，若S 岛受到台风影响，则应满足条件： |SB |≤270即SB 2≤2702化简整理得t 2－10t ＋19≤0 解之得5－6≤t ≤5＋6，所以从现在起，经过5－ 6 小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时)答：S 岛从现在起经过(5－6)小时受到台风影响，且持续时间为26小时． 20．(2010年某某高考)已知函数 f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝ f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解析：(1) f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8 ＝12cos2x －14， f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kx －π8，k ∈Z}．21．(2011年江南十校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值X 围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解：(1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42即b 2＋c 2＝32 又b 2＋c 2≥2bc所以bc ≤16，即bc 的最大值为16 即8cos θ≤16，所以cos θ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3(2)f (θ)＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6，12≤sin(2θ＋π6)≤1当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(2011年某某某某一模)已知向最a ＝(sin(x ＋π2)，sin x )，b ＝(cos x ，－sin x )，函数 f (x )＝m ·(a ·b ＋3sin2x )(m ∈R 且m >0)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)将函数 f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位得到g (x )的图象，试探讨：当x ∈[0，π]时，函数 g (x )与y ＝1的图象的交点个数．解析：(1)∵a ·b ＝sin(x ＋π2)cos x －sin x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ， ∴f (x )＝m ·(cos2x ＋3sin2x ) ＝2m sin(2x ＋π6)．∴T ＝π.(2)将函数 f (x )＝2m sin(2x ＋π6)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得函数y ＝2m sin(x ＋π6)的图象，然后再向右平移π6个单位得到g (x )＝2m sin x 的图象，即g (x )＝2m sin x .∵m >0，∴当x ∈[0，π]时，函数 g (x )＝2m sin x ≤2m ，则当m >12时，函数 g (x )与直线y ＝1的图象有2个交点；m ＝12时，有1个交点；0<m <12时，没有交点．。

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题04 三角函数(教师版)

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题04 三角函数（教师版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲解读：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；解答题中单纯的三角变换问题已不多见，要重视解三角形，特别是实际应用问题。

解答题也要重视与其它知识的综合，如平面向量。

近几年考点分布分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。

其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。

因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。

以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

基于以上分析，预测在2012年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。

2012届高考数学三角函数概念知识归纳复习教案

2012届高考数学三角函数概念知识归纳复习教案1.三角函数概念一、知识清单1.角的概念2.象限角第I象限角的集合：第II角限角的集合：第III象限角的集合：第IV象限角的集合：3.轴线角4.终边相同的角①与（0°≤②终边在x轴上的角的集合:;③终边在y轴上的角的集合：;④终边在坐标轴上的角的集合：.5.弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：1弧度6.弧度制下的公式扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。

7.任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，则，，，注:⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8.各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦典型例题命题方向：角的概念例1（1）写出与终边相同的角的集合M；（2）把的角写成（）的形式；（3）若角，且求；解：（1）（2）（3）∵且∴∴∴又∵∴∴或例2已知“是第三象限角，则是第几象限角?分析由是第三象限角，可得到角的范围，进而可得到的取值范围，再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定所在的象限解法一：因为是第三象限角，所以∴∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；当k=3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，当k=3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角故为第一、三、四象限角解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域由图可知，是第一、三、四象限角小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域命题方向：三角函数符号的判断例3.已知sin=，cos=－，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，∴α终边在第四象限.答案：D变式．若且是，则是（C）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角例4.若θ是第二象限的角，则的符号是什么?剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.解：∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.∴＜0.命题方向：弧长公式的应用例5、在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：D例6已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R，（1）若，R=，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。

2012年高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题(最新整理)

专题一三角函数、解三角形与平面向量
一知识要点整合
·三角函数的图像与性质·
·三角恒等变换·
·解三角形· ·平面向量·
二典型例题
（3）
例5 例 6．例 7．．
例 8．例 9. 例 10.
三精编试题
8.
9.
10.
11. 3.
6.
16.
7.
17. 18（本题满分 12 分）.
则 m n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] .
∵k>1,∴t=1 时, m n 取最大值.
3
依题意得,-2+4k+1=5,∴k= .
2
34 （本题满分 12 分）
在 ABC 中 ,角 A, B,C 所对的边分别为 a， b， c ,
sin A B sin C 2 .
ab 64(2 2)2 当且仅当 a b 时取等号,
此时面积的最大值为 32 6 4 2 .
35. （本题满分 12 分）
在 △ABC 中，已知内角 A ，边 BC 2 3 ．设内角 B x ，周长为 y ．
（1）求函数 y f (x) 的解析式和定义域；（2）求函数 y f (x) 的最大值．
25. （本题满分 12 分）
甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2
海里/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 海里的
B 岛出发,朝北偏东 , (其中tan 1 ) 的方向作匀速直线航行, 2
速度为 10 5 海里/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少海里? (Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?

2012年高考数学二轮复习精品学案三角函数重点题型_归纳

三角函数重点题型归纳1、设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C. 2、已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.3、在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值.4、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．5、在△ABC 中，135cos -=B ，54cos =C .(Ⅰ)求A sin 的值； (Ⅱ)求△ABC 的面积233=ABCS,求BC 的长. 6、（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b 。

7、设ABC ∆内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。

8、已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.9、已知)(x f =, =(2cos x,cos x+sin x), =(sin x,cos x-sin x) (1)求)(x f 图象的对称中心坐标，对称轴方程； (2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0πx ，)(x f <m ，求实数m 的取值范围。

【高三数学】二轮复习：专题二第1讲三角函数的图象与性质

sin(ωx+φ)=(
)

A.sin x + 3

B.sin 3 -2x

C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC

解析由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +

2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题12 三角函数的综合问题

专题十二│ 要点热点探究
【解答】 (1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx， ∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx π ＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ 2sin2x＋4 . π π π ∴当 2x＋＝2kπ＋，即 x＝kπ＋ (k∈Z)时， 4 2 8 2π F(x)max＝ 2＋1，最小正周期为 T＝＝π. 2 (2)∵f(x)＝2f′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx， 1 即 tanx＝ . 3 11 2 2 2 2 1＋sin x 2sin x＋cos x 2tan x＋1 9 11 ∴ 2 ＝＝＝＝ . 2 6 cos x－sinxcosx cos2x－sinxcosx 1－tanx 3
专题十二│ 要点热点探究
【点评】本题中向量仅仅在其中提供数量积，数量积的坐标公式不能用错．三角函数性质的研究依然是首先进行三角化归，再换元处理．第二小问中涉及将所得齐次的三角分式转化为正切的式子这一三角化简技巧．
专题十二 │ 要点热点探究
► 探究点三解三角形的实际应用问题
解三角形的实际应用问题主要是测量问题和航行问题，需要将所给实际问题转化为三角形后，用三角形知识和三角函数进行研究．
专题十二 │ 江苏真题剖析
【答案】 4 【解析】方法一：当 A＝B 或 a＝b 时满足题意，此时有：cosC 1 C 2 1 2C 1－cosC 1 ＝，tan ＝＝，tan ＝，tanA＝tanB＝ C＝ 2，tanC 3 2 1＋cosC 2 2 2 tan 2 tanC tanC ＝2 2，故＋＝4. tanA tanB a2＋b2－c2 2 2 b a 方法二：a＋b＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2,6ab· ＝a ＋b ， 2ab 3c2 解得 a2＋b2＝ . 2 tanC tanC sinC cosBsinA＋sinBcosA sinC sinA＋B 又＋＝ · ＝ · ＝ tanA tanB cosC sinAsinB cosC sinAsinB 1 sin2C 1 c2 · ，由正弦定理，得上式＝ · ＝4. cosC sinAsinB cosC ab

高考数学二轮复习专题4 三角函数

2012届高考数学二轮复习专题四三角函数【重点知识回顾】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。

当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。

总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。

诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈ 注意加了绝对值后的情况变化.⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．【典型例题】例1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值解：(1)24a =，21b =，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-，说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。

广东省2012届高考数学理二轮专题复习课件：专题2 第12课时三角函数的图像与性质

f n =100 [Acos(n 2 k]来刻画．其中，f n 表
3
示从业人数，n表示月份且n 1,12，n N*，A N*，
k N*， 0.统计发现，该地区每年各个月份从事旅
游服务工作的人数有以下规律：
第十六页，编辑于星期日：九点三十六分。
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
和数字特征，求周期、对称轴、对称中心、定义域、值域，判断奇偶性、单调性大都靠它．
2．图形的变换(平移、伸缩、对称)，“五点法”作图及其应用是重要的考点．
3．给角求值，整体代换意识以及三角函数的应用是难点．
第二十五页，编辑于星期日：九点三十六分。
专题二三角函数、平面向量及解三角形
第一页，编辑于星期日：九点三十六分。
考点1 三角函数的图象
例1 (改编题)已知函数f x Asin(x )，A 0， 0，| | .下表是f x一个周期内五个关键点
2 的部分取值：
第二页，编辑于星期日：九点三十六分。
1请补充上表空白处，并求f x的解析式； 2 将f x的图象向左平移个单位长度得到
变式3 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)
的关系式可用E 220 3sin(100 t )来表示，求：
6
1 开始时的电压； 2 最大电压值重复出现一次的时间间隔； 3电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
第二十二页，编辑于星期日：九点三十六分。
解析
1当t 0时，E 220
第十七页，编辑于星期日：九点三十六分。
切入点：①确定周期T 12，解得；②利用最大值
f 8与最小值f 2之差求出A.
解析 1根据三条规律，可知该函数为周期函数，

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】根据题设条件得到变化后的函数为)1cos(+=x y ，结合函数图象可知选项A 符合要求。

故选A.3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）ABCD【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.2B. 2C. 12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 【答案】D【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) - (C) (D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第6课时三角函数的图象与性质

3
6
第十五页，编辑于星期日：十五点二十二分。15
（2）由（1）知f (x) 2a sin(2x )．
6
当x [0， ]时，2x [ ，7 ]．
2
6 66
若a 0，当2x 时，f (x)的最大值为2a 5，
62
所以a 5 ； 2
若a 0，当2x 7 时，f (x)的最大值为 a 5，
专题二三角函数与平面向量
第一页，编辑于星期日：十五点二十二分。 1
1．熟记y sin x，y cos x，y tan x的图象和性质：定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性、对称性等．
2．能够把函数化简为y Asin( x )的形式，代公
式求解即可．注意化统一的策略：统一角、统一函数名称、统一表达式类型．注意辅助角公式的应用．
1 f x cos2x 2 3sinxcosx sin2x cos2x
2sin(2x )．T 2 ，
6
2
由2k 2x 2k ，
2
6
2
得k x k (k Z)，
3
6
f x的单调递增区间是[k ，k ](k Z)．
3
6
2由1知2sin(2 ) 8，sin(2 ) 4，
2
(2)由函数的周期T求ω，ω=
22 ；
T
(3)利用“五点法”中相应的特殊点求φ.
第二十页，编辑于星期日：十五点二十二分。20
3．函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的
最高点或最低点，对称中心是图象与x轴的交点．
4．求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，
第(1)问是纯三角问题，只需把点(0,1)代入函数的

2012高考数学二轮专题复习：三角函数

三角函数【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;2(2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值3【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.2B. 3C.D. 考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.4练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力. 【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==，()f x m n =⋅．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在ABC 中，a，b ，c 分别为内角A ，B，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.5【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例. (2011年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( ) （A ）62. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=（）(A)(B)(C)5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)796.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（）（A（B）（C（D）7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （） A 54- B 53- C 32 D 4378. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则sin C 的值为（）A．3 B．6 C．3 D．610．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内( )（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点812.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为( )（A ）43(B) 8- (C)1 (D) 2313. (2011年高考四川卷理科6)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[6π，π) (c)(0，3π] (D) [3π，π)14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.15.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________16. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,B AC ==2AB BC+的最大值为。

高考二轮复习数学知识点专项练习：三角函数(1)

真题试做1．(2012·湖南高考，理6)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )． A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎡⎦⎤－32，322．(2012·大纲全国高考，理14)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝__________.3．(2012·山东高考，理17)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 4．(2012·重庆高考，理18)设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．考向分析三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查： 1．三角函数的概念与诱导公式，以选择题、填空题的形式为主．2．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，以选择题、填空题的形式为主，有时也会出现大题．3．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质；或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题．热点例析热点一三角函数的概念【例１】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35C ．35D ．45规律方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数．特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解．(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号，要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定．变式训练1 (2012·福建莆田高三质检，11)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－35，若α∈(0，π)，则tan α＝__________.热点二三角函数图象及解析式【例２】如图，根据函数的图象，求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．规律方法由部分图象确定解析式问题解决的关键在于确定参数A ，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |，或代入点的坐标解A 的方程；(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点确定周期T ，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定ω，φ.特别提醒：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，最难的是求φ，第一零点常常用来求φ，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出φ.若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求．变式训练2 (2012·福建泉州质检，8)右图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 热点三三角函数图象变换【例３】(2012·四川绵阳高三三诊，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象(纵坐标不变)( )．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位规律方法图象变换理论： (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则； (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω(纵坐标y 不变)；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)．特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x 或在y 的基础上改变了多少，尤其当x 与y 前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断．变式训练3 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )． A ．向左平移5π12 B ．向右平移5π12C ．向左平移5π6D ．向右平移5π6热点四三角函数图象与性质综合应用【例４】(2012·上海浦东新区模拟，19)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝1的解．规律方法求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω＜0，则最好用诱导公式转化为－ω＞0后再去求解，否则极易出错．(2)①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．(3)对y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点； ②相邻两个对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．变式训练4 (2012·重庆高三模拟，17)已知函数f (x )＝4sin ωx sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π4＋cos 2ωx ，其中ω＞0.(1)当ω＝1时，求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围．思想渗透整体代换思想——三角函数性质问题(1)求函数的对称轴、对称中心； (2)求函数的单调区间．求解时主要方法为：(1)关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称性，一般可利用正弦曲线、余弦曲线的对称性，把ωx ＋φ看成x ，整体代换求得．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)的单调区间的步骤如下：①若ω＞0，把ωx ＋φ看成一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )解得x 的集合，所得区间即为单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )解得x 的集合，所得区间即为单调递减区间．②若ω＜0，可先用诱导公式变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间为原函数的单调递增区间．【典型例题】已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．解：(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6. 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34；当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32 ＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数．故函数h (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．1．(2012·山东青岛一模，8)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π9B ．x ＝π8C ．x ＝πD ．x ＝π22．(2012·湖北孝感二模，8)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且·0OM ON =，则A ·ω＝( )．A ．76π B ．712π C ．π6 D ．73π 3．(2012·天津宝坻质检，4)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (x )－f (－x )＝0，则( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是增函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是减函数 4．(2012·湖北武汉4月调研，7)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 35．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＜0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.6．(原创题)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是__________．7．已知函数y ＝a －b cos 3x (b ＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a sin 3bx的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．。

2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数

2012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ）向左平移1个单位（B ）向右平移1个单位（C ）向左平移 12个单位（D ）向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A.3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1--【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C.5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524-（B ）2512-（C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2【答案】C 【解析】sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sinsinsin<+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abcb a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、ED 则sin C ED ∠=（）（1）10B10C 10D15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424E D C E D A A D C πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin 1sin 5C ED D C ED CC E∠===∠，所以3sin sin sin55410C ED ED C π∠=∠==.10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B) 2- (C) 2(D) 1【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。