2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章+章末复习课
2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章 章末复习
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．类型一 指数、对数的运算例1 化简：(1)2932-⨯(2)2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．类型二数的大小比较例2比较下列各组数的大小．(1)27,82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)1321211 2,log,log.33反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2比较下列各组数的大小．(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4,0.43，log0.43.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度1函数的性质及应用例3已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．跟踪训练3已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．命题角度2 函数的图像及应用例4 如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练4 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．02．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数4．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜RD ．R ＜Q ＜P5．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．41．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．答案精析题型探究例1 解 原式＝2239533222(2)(10)10-⨯÷＝2－1×103×1052-＝2－1×1012＝102. (2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－552log 3＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－55log 9 ＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪训练1 111解析 ∵log 32×log 2(log 327) ＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1，∴原式＝314422⨯＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 例2 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上递增知26<27，即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4. (3)∵0<132-<20＝1，log 213<log 21＝0，112211log log 1,32>= 1321211log 2log .33-∴<<跟踪训练2 解 (1)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(2)∵函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)， 当底数a >1时在R 上是增函数； 当底数0<a <1时在R 上是减函数， 而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.例3 解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是增函数，所以函数f (x )在R 上是增函数；当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是减函数， 所以函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. ①当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 解得x >log 32⎝⎛⎭⎫－a2b ； ②当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ， 解得x <log 32⎝⎛⎭⎫－a2b . 跟踪训练3 解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝124-＝12. 例4 C [借助函数的图像求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]跟踪训练4 B [由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称．显然不符．故选B.] 当堂训练1．B 2.D 3.D 4.B 5.B。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案第三章 1 变化的快慢与变化率
学习目标.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．
知识点一函数的平均变化率
观察图形，回答下列问题：
思考函数()在区间[，]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？
思考怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
梳理平均变化率
()定义式：＝.
()实质：之比．
()作用：刻画函数值在区间[，]上变化的．
()几何意义：已知(，())，(，())是函数＝()图像上的两点，则平均变化率＝表示割线的．
知识点二瞬时变化率
思考物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
思考如何描述物体在某一时刻的运动状态？
梳理要求物体在时刻的瞬时速度，设运动方程为＝()，可先求物体在(，＋Δ)内的平均速度＝，然后Δ趋于，得到物体在时刻的．。
【K12教育学习资料】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1.例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.中小学资料学习永无止境 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案第三章 疑难规律方法
利用导数的几何意义解题．求参数例设曲线＝()＝在点(，)处的切线与直线－－＝平行，则＝.解析根据导数的定义，＝＝＝＋Δ，当Δ无限趋近于时，＋Δ无限趋近于，即′()＝.又由曲线()＝在点(，)处的切线与直线－－＝平行，得＝，即＝.答案．求倾斜角例求曲线＝()＝－＋在＝处的切线的倾斜角．分析要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率，再根据斜率＝α，求出倾斜角α.解设曲线＝()＝－＋在＝处的切线的倾斜角为α.＝＝＝(Δ)－，当Δ无限趋近于时，(Δ)－无限趋近于－，即α＝′()＝－.因为α∈[，π)，所以α＝.故切线的倾斜角为.评注切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围．．求曲线的切线例求在点处与曲线＝相切的切线方程．分析要求直线在点处的切线方程，需求得过点的切线的斜率，然后根据点斜式可求得切线方程．解因为点在曲线＝上，Δ＝(＋Δ)－×＝Δ＋(Δ)＋(Δ)，所以＝＋Δ＋(Δ)，当Δ无限趋近于时，无限趋近于，即＝.故所求的切线方程为－＝(－)，即－－＝.评注求在点处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．．求切点的坐标例若曲线＝()＝＋在点处的切线的斜率为，求点的坐标．分析要求点的坐标，可设点的坐标为(，＋)，然后由切线的斜率为，解方程求得．解设点的坐标为(，＋)，因为＝＝＋Δ＋(Δ)，当Δ无限趋近于时，上式无限趋近于，所以＝.解得＝±.故点的坐标是()或(－)．评注值得注意的是切点的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数′()的几何意义为曲线＝()在点(，())处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．。
【小初高学习】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.小初高教育K12资源 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 变化率与
[学习目标] 1.了解实际问题中平均变化率的意义.2.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念．知识点一 函数的变化率知识点二 对函数平均变化率的理解(1)在Δx ＝x 2－x 1中，x 2＝x 1＋Δx ，此处Δx 是自变量x 1的一个增量，Δx 可以为正也可以为负，但不能等于0.(2)在Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，注意Δy 与Δx 应对应一致，且x 1≠x 2.(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(4)函数的平均变化率刻画函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 知识点三 平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．知识点四 对函数在x 0处的瞬时变化率的理解(1)在Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，Δx 可正，可负，但不可为0.但Δy 可以为0，此时f (x )为常数函数．(2)在Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，当Δx 趋向于0时，Δy Δx也趋于一个定值．(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢，物体在某一时刻的瞬时速度是函数瞬时变化率的物理意义．(4)函数在x 0处的瞬时变化率仅有x 0有关，而与Δx 无关．题型一 平均变化率例1 求函数y ＝2x 2＋3当自变量x 从x 0变到x 0＋Δx 的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量x 从x 0变到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率 Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 题型二 物体运动中的平均速度 例2 已知s (t )＝5t 2，(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度． 解 (1)当3≤t ≤3.1时， Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3) ∴Δs ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时， Δt ＝0.01，Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3) ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． 反思与感悟 (1)依据平均速度定义求解时，注意Δs 与Δt 之间的对应关系，还要注意运用有关数学公式来简化运算．(2)在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化．跟踪训练2 质点M 按规律s (t )＝2t 2＋3t 做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t ＝2 s 到t ＝2.1 s 时的平均速度．解 当t 从2变到2＋Δt 时，函数值从2×22＋3×2变到 2(2＋Δt )2＋3(2＋Δt )，函数值s (t )关于t 的变化率为 s (2＋Δt )－s (2)Δt＝2(2＋Δt )2＋3(2＋Δt )－(2×22＋3×2)Δt＝2Δt ＋11(cm/s)．当Δt ＝0.1时，平均变化率为11.2，所以质点在t ＝2 s 到t ＝2.1 s 时的平均速度v ＝11.2 cm/s. 题型三 物体运动中的瞬时速度问题例3 一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3(时间的单位：s ，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度．解 设在t ＝2 s 附近的时间增量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2.因为ΔsΔt＝8＋2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于8，所以这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s.反思与感悟 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt，(3)求当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．跟踪训练3 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a ，即4a ＝8，∴a ＝2.求瞬时变化率例4 求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率及x ＝1时的瞬时变化率． 错解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1， ∴平均变化率Δy Δx ＝1Δx 1＋Δx －1Δx.由Δx →0得1Δx 1＋Δx →＋∞，1Δx →＋∞，∴ΔyΔx →0，即x ＝1时的瞬时变化率为0. 错因分析 没有对含有根式的分式11＋Δx变形化简就直接求瞬时变化率．对含有分式，整式变形，一般先约分，再利用分子、分母有理化，化简到能求值为止． 正解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝(1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx，∴平均变化率Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx .当Δx →0时，Δy Δx →－12，即x ＝1时的瞬时变化率为－12.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0 答案 C解析 自变量的增量位于分母位置，故不为0.2．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 答案 B解析 因为Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18Δt ＋3(Δt )2Δt ＝18＋3Δt ，所以当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于18.4．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt＝7Δt ＋14t ，Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于14t ，即14t ＝1，t ＝114.1.对函数平均变化率的理解(1)在Δx ＝x 2－x 1中，x 2＝x 1＋Δx ，此处Δx 是自变量x 1的一个增量，Δx 可以为正也可以为负，但不能等于0.(2)在ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1中，注意Δy与Δx应对应一致，且x1≠x2.(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化的越快．(4)函数的平均变化率刻画函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢．2．对函数在x0处的瞬时变化率的理解(1)在Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)中，Δx可正，可负，但不可为0.但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数．(2)在ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx中，当Δx趋向于0时，ΔyΔx也趋于一个定值，与Δx无关．(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢，物体在某一时刻的瞬时速度是函数瞬时变化率的物理意义．(4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关．。
2018版高中数学选修1-1学案：3章末复习课 精品
学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一数形结合思想的应用例1已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．类型二 构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x 的解集为________．反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f (x )e x，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________． 命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．跟踪训练4证明：当x>0时，2＋2x<2e x.类型三利用导数研究函数的极值与最值例5已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________．3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业 第3章 习课题答案精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞) 例4 证明 设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，因为x ∈(1，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －1x>0，即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0， 即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明 设f (x )＝2＋2x －2e x ， 则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x )． 当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x )<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)． 即当x >0时，2＋2x －2e x <0， ∴2＋2x <2e x .例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． 因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0. 即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f ′(x )>0，得x <－4或x >4.∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大值＝f (－4)＝128， f (x )极小值＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f (4)＝－128， f (1)＝－47，f (5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128. 当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明 设f (x )＝x －sin x (x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f (0)＝0，∴f (x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴x >sin x (x >0)．。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章1变化的快慢与变化率
变化率与导数1变化的快慢与变化率【学习目标丨1•理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念2会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.IT问题导学--------------------------- 知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1函数f(x)在区间［%, X2］上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系?思考2怎样理解自变量的增量、函数值的增量?梳理平均变化率(2) 实质： ______________________________________________ 之比.(3) 作用：刻画函数值在区间［X 1,X 2］上变化的 ____________________________________________ ⑷几何意义：已知P I (X 1, f(X l ))，P 2(X 2，f(X 2))是函数y = f(x)图像上的两点，则平均变化率A X=匕一也表示割线P 1P 2的X 2 - X 1知识点二瞬时变化率 思考1物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态?思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态?梳理 要求物体在t o 时刻的瞬时速度，设运动方程为 s = s(t),可先求物体在(t o , t o +A t)内的平均速度A s == ，然后A t 趋于0,得到物体在t o 时刻的题型探究类型一函数的平均变化率 命题角度1求函数的平均变化率例1求函数y = f(X) = X 2在X = 1,2,3附近的平均变化率，取A X 都为丄，哪一点附近的平均变3 化率最大?(1)定义式: Ax反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量 A y = f(X 2)— f(x i );⑵再计算自变量的改变量A x = X 2 — X i ；跟踪训练1 (1)已知函数f(X )= X 2 + 2X — 5的图像上的一点 A(— 1，— 6)及邻近一点B( — 1+ A X ,—6 + A y)，贝U 申= _______⑵如图所示是函数y = f(X)的图像，贝U 函数f(X)在区间［—1,1］上的平均变化率为 ________ ;函 数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为_________ . 命题角度2平均变化率的几何意义例2 过曲线y = f(x) = x 2 — x 上的两点P(1,0)和Q(1 + A x , A y)作曲线的割线，已知割线 PQ的斜率为2,求A x 的值.反思与感悟 函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率的实质是函数 y = f(x)图像上两点P#X 1,A y f(X 2 — f(X 1 )f(X 1)) , P 2(X 2, f(X 2))连线 P 1P 2 的斜率，即 kP 1P 2= A x =.公X 2— X 1跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程S 1(t), S 2(t)与时间t 的关系如图所示, 则在［0 , t o ］这个时间段内，甲，乙两人的平均速度 v 甲，v 乙的关系是( )A . v 甲＞v 乙(3)得平均变化率A y _ f (血厂 f (X1 )A XX 2 — X iB. v甲＜v乙C. v甲=v乙D .大小关系不确定⑵过曲线y= f(x) = i土图像上一点(2, - 2)及邻近一点(2+ A x, - 2+ A y)作割线，则当A x =0.5时割线的斜率为 __________.类型二求函数的瞬时变化率例3以初速度V o(v o＞O)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s= v o t—ggt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.反思与感悟(1)求瞬时速度的步骤①求位移改变量A s= s(t o+ A t) —s(t o)；②求平均速度v=A s；A s③当A t趋于0时，平均速度和趋于瞬时速度.⑵求当A x无限趋近于0时£的值①在表达式中，可把A x作为一个数来参加运算；②求出严的表达式后，A x无限趋近于0就是令A x= 0，求出结果即可.A x跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t) = at2+ 1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s), 若质点M在t= 2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.当堂训练1已知函数f（x），当自变量由X0变化到X!时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数（）A .在x o处的变化率B. 在区间［x o, X i］上的平均变化率C. 在x i处的变化率D .以上结论都不对2.一物体的运动方程是s= 3 + 2t,则在［2,2.1］这段时间内的平均速度是（）A. 0.4B. 2C. 0.3D. 0.23•物体运动时位移s与时间t的函数关系是s=- 4t2+ 16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为（）A . t = 1B . t = 2C . t = 3D . t= 44. _____________________________________________________ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________________________________________ .5. 设函数f（x）= 3x2+ 2在x o= 1,2,3附近A x取；时的平均变化率分别为k i, k?, k?,比较k i,k2, k3的大小.厂规律与方法1 .平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．答案精析问题导学 知识点一思考1 (1)y = f(x)在区间［X i , X 2］上的平均变化率是曲线 y = f(x)在区间［X 1, X 2］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. ⑵平均变化率的绝对值越大，曲线y = f(x)在区间［X i , X 2］上越“陡峭”，反之亦然.思考2 (1)自变量的增量：用A X 表示，即A X = X 2-X i ,表示自变量相对于 X i 的“增加量”. ⑵函数值的增量：用 A y 表示，即 勿=f(X 2)-f(x i ),也表示为f(x i + AX ) — f(xi )，表示函数值在X i 的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是 0,比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理(i )f 血—f Xi(2)函数值的改变量与自变量的改变量(3)快慢 (4)斜率X 2— xi知识点二思考i 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速 度为0,而运动员一直处于运动状态.思考2 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态. 梳理st0+A A —sto 瞬时速度A t题型探究例i 解 在x = i 附近的平均变化率为 f i + A x — f i i +A x 2— i ki = A X = —AX —=2 + A x ;在x =2附近的平均变化率为 f 2 + A x — f 2 2+ A x 2— 22 k2= A X = A X=4 + A x ;在x =3附近的平均变化率为f 3 + A x — f 33+ A x 2— 32k3==6 + A x.AxA x1 17当&=3时，k 尸2+3= 3,由于k 1<k 2<k 3，所以在x = 3附近的平均变化率最大. 跟踪训练1(1)A x (2)1 3解析⑴籌—2—1 + A x + 2 — 1 + A x — 5 — — 6 = A x =A x.⑵函数f(x)在区间［—1,1］上的平均变化率为 加—f (- 1 )= 2 — 1= 11 ----- 12 2.由函数f(x)的图像知，x + 3厂,—K x w 1, f(x) =2 x + 1, 1<x w 3.所以函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为3— 3 f2 — f 03—2 3 =〒=4.例2 解害熾PQ 的斜率即为函数f(x)从 1到1+ A x 的平均变化率•/ A y = f(1 + A x) — f(1)2 2=(1 + A x)2— (1 + A x)— (12— 1)2=A x + ( A x),•••割线PQ 的斜率k =Ay = 1+ A x.A x又•••割线 PQ 的斜率为 2, •••1+A x = 2, • A x = 1. 跟踪训练2(1)B(2)|1 13k2= 4+3=£，k 3= 6+1 = 19 ~3. A y A x .解析（1）设直线AC , BC 的斜率分别为k Ac , k Bc ,由平均变化率的几何意义知，s i （t ）在［0,t o ］上的平均变化率 V 甲=k AC , S 2（t ）在［0, t o ］上的平均变化率 v 乙=k BC . 因为k AC <k BC ，所以V 甲<v 乙 ⑵当 &= 0.5 时，2+ A x = 2.5,因为 A s = V o (t o + A t) - 2-g(t o + A t)2 — [v o t o -=(v o -gt o ) A t — *g( A t)2, A s 1所以 A t = v o - gt o - ^g A t.当A t 趋于o 时，石趋于v o - gt o , 故物体在时刻t o 处的瞬时速度为v o — gt o .跟踪训练3解 质点M 在t = 2时的瞬时速度即为函数在 •••质点M 在t = 2附近的平均变化率A s = s(2 + A t — s(2 ) A t = A ta(2+ A t 2-4a = ------- 7T --- = 4a + a A t ,A tA s当A t 趋于0时，A 趋于4a , 4a = 8,得 a = 2. 当堂训练 28 n1. B2.B3.B4.Q5.解 函数在［x o , X o +A x ］上的平均变化率为 6x o + 3A x. 1当x o = 1, A x = 2时，函数在［1,1.5］上的平均变化率为 k i = 6X 1 + 3X 0.5= 7.5;故一2+ A y =2.5 1-2.5故 k pQ =2.5- 223.t = 2处的瞬时变化率.1当x o = 2, A x=㊁时，函数在［2,2.5］上的平均变化率为k2= 6 X 2 + 3X 0.5= 13.5;1当x o = 3, A x= q时，函数在［3,3.5］上的平均变化率为k3= 6X 3 + 3X 0.5= 19.5,所以k1<k2<k3.。
[配套k12学习]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
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学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.配套K12学习（小初高）配套K12学习（小初高） ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章2导数的概念及其几何意义
【学习目标】1•理解导数的概念以及导数和变化率的关系 2会计算函数在某点处的导数，理 解导数的实际意义 3理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.IT 问题导字 --------------------------知识点一导数的概念思考i 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？ 梳理定义式f(x i V f(xo ) lim 匚X l f X 0 X i — X o 记法实质函数y = f(x)在X =X o 处的导数就是 y = f(x)在x = X o 处的知识点二导数的几何意义如图，P n 的坐标为(X n , f(X n ))(n = 1,2,3,4,…)，P 的坐标为(x o , y °),直线PT 为过点P 的切线. 变化率与导数 导数的概念及其几何意义思考1害熾PP n的斜率k n是多少?思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系?梳理⑴切线的定义：当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为_________ 的切线.⑵导数f' (x o)的几何意义：函数f(x)在x = x o处的导数就是切线的斜率k，即k =⑶切线方程：曲线y= f(x)在点(x o, f(x o))处的切线方程为 _____________________________ .题型探究----------------------------类型一利用定义求导数例1 求函数f(x)= 3/—2x在x= 1处的导数.反思与感悟求一个函数y= f(x)在x= x o处的导数的步骤如下:(1) 求函数值的变化量A y= f(x o+ A x) —f(x o)；△y f(X o+ A x —f(x0 )=△厂(2) 求平均变化率A XA y⑶取极限，得导数f' (x o)= A m0 A跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x) = -x2+ 3x在x = 2处的导数.类型二求切线方程命题角度1求在某点处的切线方程例2 已知曲线y= 2X2上一点A(1,2)，求:(1) 点A处的切线的斜率；(2) 点A处的切线方程.反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y= x2+ 1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是命题角度2曲线过某点的切线方程1 2 7例3求抛物线y = 4X2过点(4, ?的切线方程.反思与感悟过点(X i, y i)的曲线y= f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(X0, y o);y i —y o(2)建立方程f' (x o)=X1 —X o(3) 解方程得k= f' (x o), x o, y o,从而写出切线方程.跟踪训练3求过点(一1,—2)且与曲线y= 2x—x3相切的直线方程.类型三导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f(x) = x2+ 1与g(x)= x3+ 1在x= X o处的切线互相垂直，求X o的值.引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系.跟踪训练4已知直线I: y = 4x+ a与曲线C: y= x3—2x2+ 3相切，求a的值及切点坐标.甌当堂训练1 .导数f ' (x o )的几何意义是曲线 y = f(x)在点(x o , f(x o ))处的切线的斜率，即 k =如％ 1设函数f(x)在点x o 附近有定义，且有f(x °+A x)— f(x o )= a A x + b(A x)2(a, b 为常数)，则() A . f ' (x)= aB . f ' (x) = bC . f ' (x o )= aD . f ' (x o )= b2.曲线f(x) = 9在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()xA . 45 °B . 60°C . 135°D . 120° 3•如图，函数y = f(x)的图像在点P(2 ,y)处的切线是I ，则f(2) + f ' (2)等于(A . — 4B . 3C .— 2D . 1 2 b4. 已知函数y = ax 2 + b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则-= _____________ . a1 5. 求曲线y= x在点f x o+ A x —f x oA x =(X o).(x o, 2•禾U用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上•如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y—f(x o)= f' (x o)(x —x o);若已知点不在切线上，则设出切点f(X o))，表示出切线方程，然后求出切点.答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间 [X i , X 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 X 0 点处变化的快慢；当 A x 趋于0时，平均变化率 g 趋于一个常数，这个常数即为函数在 X 0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.ffx o + A xf(Xo \ 梳理A m 0A Xf(xo )瞬时变化率 知识点二思考1害熾PP n 的斜率 加. X n — x 0思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k.梳理 (1)点P 处⑵” A m o D X0±^ = f '(x o ) (3) y — f(x o )= f ' (x o )(x — x o )题型探究例 1 解 •/ A y = 3(1 ± A x)2— 2(1 ± A x)— (3X 12— 2X 1)2=3( A x) ± 4 A x ,y •-f ' (1)=妁o A x =iim o (3A±4)=4. 跟踪训练1解 由导数的定义知，函数在 x = 2处的导数f(2 ± &— f(2) 2 2f ' (2) = lim o A X ，而 f(2 ± A x) — f(2) = — (2± A x) ± 3(2 ± A x) — (— 2 ± 3X 2)=—2(A x) — A x , —(A x 2— A x 于是f '(2)= lim o3( A x 2± 4 A xA x=3A x ± 4,A x=肌(—&— 1) = — j例2解(1)k=n息o A x22 1+ A x —2X 1 A x24 A x+ 2 A xA x•••点A处的切线的斜率为 4.（2）点A处的切线方程是y — 2 = 4(x—1)，即4x—y—2= 0.跟踪训练2 —32 + A x 2+ 1 —22—1A x(4 + A x) = 4,曲线y= x2+ 1在点（2,5）处的切线方程为y —5 = 4(x—2),即y= 4x— 3.•切线与y轴交点的纵坐标是一3.1 1 1=肌(2x o+4 A x)=2x o.1 2 7 ,x o —4 41=2 x o — 4 2即X0 —8x o + 7= 0，解得X o= 7 或x o = 1, =啊(4 + 2A x)= 4,即切线过抛物线y= ,2上的点（7, 49), 11），=啊解析lim AA x- o A x例3解设切线在抛物线上的切点为（x,翻),X0,妁0(1,49 7 1 1故切线方程为 y — —= 2(x — 7)或y — 4 = 2(x — 1), 化简得 14x — 4y — 49= 0 或 2x — 4y — 1 = 0,即为所求的切线方程.跟踪训练3解lim 単时0 A x3小 32 x +A x — x +A x — 2x + xA x2 2=n m o [2 — 3x — 3x A x — ( A x)]=2 — 3x 2.设切点坐标为(X 0,2x o — x 0).切线方程为y — 2x o + x 02 =(2 — 3x o )(x — x o ).又T 切线过点(一1, — 2),3 2— 2— 2x o + x o = (2 — 3x o )( — 1 — x o ),即 2x 0 + 3x o = 0,X o = 0 或 x o = — 2•••切点坐标为(0,0)或—2, 8.当切点坐标为（0,0）时，切线斜率为2, 切线方程为y = 2x ,即2x — y = 0.当切点坐标为一2，3时，19切线斜率为—罗， 即 19x + 4y + 27= 0.综上可知，过点（一1,— 2）且与曲线相切的切线方程为 2x — y = 0 或 19x + 4y + 27= 0.x o + A x j + 1 — X o + 1 因为f '(X 。
[配套k12学习]2018北师大版高中数学必修三学案：第三章 章末复习课
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学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m n求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．类型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．类型三古典概型与几何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113类型四 列举法与数形结合例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．跟踪训练4设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．1．下列事件中，随机事件的个数为()①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A．1 B．2 C．3 D．42．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件3．下列试验属于古典概型的有()①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．A．1个B．2个C．3个D．4个4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()A.13B.14C.12D ．无法确定 5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.14501．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式．答案精析知识梳理1．近似值 变化 频率 常数 2．(1)互斥 (2)对立 4．区域 整个区域 题型探究例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心． (4)不一定．例2 解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种． 因此基本事件的总个数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.跟踪训练2 解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．用C 表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则C 表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P (C )＝1－P (C )＝1－416＝34.(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．用D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”， 则P (D )＝1－P (D )＝1－212＝56.例3 解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.跟踪训练3 D [设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中 有22＋(x ＋2)2＝(13)2， 解得x ＝1或x ＝－5(舍去)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.] 例4 解 记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能结果可用树状图方式列出：如下图．每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率m n ＝13.当堂训练1．C [①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]2．B [根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]3．A [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.]4．C [共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.]5．C [三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.]。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 变化率与
2．1 导数的概念[学习目标] 1.理解并掌握导数的概念.2.掌握求函数在一点处的导数的方法． 知识点一 导数的概念设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当x 1趋于x 0时，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .知识点二 求在某一点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)取极限：求Δx 趋于0时，ΔyΔx所趋近的值，即为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数．题型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.题型二 导数概念的应用例2 已知f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝k ，求下列各式的值： (1)li m Δx→f (x 0)－f (x 0－Δx )2Δx ；(2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx .解 (1)∵li m Δx→0f (x 0)－f (x 0－Δx )x 0－(x 0－Δx )＝f ′(x 0)，即li m Δx→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝f ′(x 0)＝k .∴li m Δx→f (x 0)－f (x 0－Δx )2Δx ＝k2.(2)∵f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )(x 0＋Δx )－(x 0－Δx )，即f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx 为函数f (x )在区间[x 0－Δx ，x 0＋Δx ]上平均变化率．∴当Δx 趋于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx 必趋于f ′(x 0)＝k ，∴li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝k ，∴li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx ＝2k .反思与感悟 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种形式，Δy 也必须选择相应的形式，利用函数f (x )在点x 0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式．跟踪训练2 已知f ′(x 0)＝－2，求lim k →0f ⎝⎛⎭⎫x 0－12k －f (x 0)k 的值．解 ∵f ′(x 0)＝lim k →0f ⎣⎡⎦⎤x 0＋⎝⎛⎭⎫－12k －f (x 0)－12k ＝－2.(注：Δx ＝－12k )，∴lim k →0f ⎝⎛⎭⎫x 0－12k －f (x 0)k＝－12lim k →0f ⎝⎛⎭⎫x 0－12k －f (x 0)－12k＝－12f ′(x 0)＝⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1.导数在实际问题中的应用例3 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后辅成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状．如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位：℃)为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x 2＋20，0≤x ≤1，－2049(x 2－2x －224)，1<x ≤8.经过计算开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度的瞬时变化率分别为f ′(0.25)＝40，f ′(4)＝－12049，试说明它们的实际意义．分析 本例中，f ′(t 0)反映了沥青温度在x ＝t 0附近的变化情况．解 由题意知，在第15分钟和第4小时沥青温度的瞬时变化率分别为40，－12049，它表示在加热第15分钟时，沥青温度为40 ℃/h 的速度上升，在第4小时时，沥青温度以12049℃/h的速度下降．也可以说，在加热第15分钟左右，沥青温度大约以40 ℃/h 的速度上升；在第4小时左右，沥青温度大约以12049℃/h 的速度下降．解后反思 导数可以描述任何事物的瞬时变化率，一般地，函数f (x )在某点处的导数大小表示在此点附近变化的快慢．1．函数f (x )在x 0处可导，则li m h→f (x 0＋h )－f (x 0)h ( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B2．设函数f (x )可导，则lim Δx→f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx→f (1＋3Δx )－f (1)3Δx ＝f ′(1)．3．函数f (x )＝x 3＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－4 D ．4 答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2xf ′(1)， ∴f ′(1)＝lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )3＋2(1＋Δx )f ′(1)－1－2f ′(1)Δx＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3， 代入原式得f (x )＝x 3－6x ， 故f ′(0)＝lim Δx →0(Δx )3－6ΔxΔx ＝－6.4．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3 解析 v 初＝lim Δt→0s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.5．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →011＋Δx －1Δx＝lim Δx →－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 简记为一差，二比，三极限．。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 变化率与
1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比Δy Δx 的极限，即lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： (1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．题型一 函数与方程思想在利用导数的几何意义求解相关问题时，通常要设出坐标(相关参数)，然后列出方程(组)进行求解，这就是函数与方程思想在导数中的应用．例1 已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点的坐标．解 由直线l 过原点，可知k ＝y 0x 0(x 0≠0)．∵点(x 0，y 0)在曲线C 上，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又∵y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， ∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2＝k ，即3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2.解得x 0＝0或x 0＝32.∵x 0≠0，∴x 0＝32，y 0＝(32)3－3×(32)2＋2×32＝－38.∴k ＝y 0x 0＝－14.∴直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)．跟踪训练1 已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与直线y ＝x －2平行，求b ，c 的值．解 ∵点(1,2)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上， ∴2＝1＋b ＋c ，即b ＋c ＝1.①∵y ′＝f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b .∵抛物线在点(1,2)处的切线与直线y ＝x －2平行， ∴2＋b ＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝2.题型二 转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终使问题得到解决．转化与化归思想的策略：①化难为易；②化生为熟；③化繁为简．例2 已知f (x )在x 0处的导数值f ′(x 0)＝A ，求下列极限值． (1)lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k ；(2)lim k →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h .解 (1)lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k＝－12lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)－k＝－12f ′(x 0)＝－A 2.(2)lim k →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝lim k →0f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0＋h )h＝lim k →0f (x 0＋h )－f (x 0)＋lim k →0f (x 0)－f (x 0－h )h＝lim k →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim k →0f (x 0－h )－f (x )－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)＝2A .跟踪训练2 已知f (3)＝2，f ′(3)＝－2，求lim x →32x －3f (x )x －3的值．解 由f ′(3)＝－2，得f ′(3)＝lim x →0f (3＋Δx )－f (3)Δx＝lim x →3＝f (x )－f (3)x －3＝－2. 所以lim x →32x －3f (x )x －3＝lim x →32x －6＋6－3f (x )x －3＝lim x →3[2＋6－3f (x )x －3] ＝2＋3 lim x →32－f (x )x －3＝2－3 lim x →3f (x )－f (3)x －3＝2－3f ′(3)＝8.题型三 数形结合思想数形结合思想在解决关于导数的问题时，也是很重要的思想方法，它把问题通过图像很形象地表达出来，使问题形象化、直观化、进而使问题得到解决．例3 如图所示，已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，在抛物线的弧AOB 上是否存在一点P ，使△P AB 的面积最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．解 由题意知|AB |为定值， ∴要使△P AB 的面积最大， 则需点P 到AB 的距离最大，∴点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点．设点P 的坐标为(x 0，y 0)，结合图像知点P 所在的曲线方程为f (x )＝y ＝－2x ， ∵直线方程为x ＋2y －4＝0，f ′(x 0)＝－1x 0，∴－1x 0＝－12，解得x 0＝4，∴点P 的坐标为(4，－4)，故存在点P (4，－4)，使△P AB 的面积最大．跟踪训练3 已知直线y ＝kx 与曲线y ＝2 ln x 有公共点，则k 的最大值为________． 答案 2e解析 如图，直线l 与曲线y ＝2ln x 交于两个不同的点，l 绕原点O 按逆时针方向旋转，当l 与曲线y ＝2ln x 相切时，k 取到最大值．设切点P (x 0，2ln x 0)(x 0>0)，则k ＝2x 0，又k ＝2ln x 0x 0，∴2x 0＝2ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，解得x 0＝e ，此时k ＝2e ， ∴k 的最大值为2e.1.函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数f (x )在x ＝x 0这点处的瞬时变化率．函数f (x )在x ＝x 0处可导意味着(1)函数f (x )在x ＝x 0处有定义．(2)lim Δx →0ΔfΔx 存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导并且其导数即为极限值．显然lim Δx→0ΔfΔx不存在，则称f (x )在x ＝x 0处不可导． 2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤 第一步：求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； 第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．求一个函数y ＝f (x )的导函数的步骤 (1)求函数的变化量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；(3)取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx→0ΔyΔx. 4．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f ′2(x )±…±f n ′(x )． ②[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．。
[K12配套]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
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学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.KK12配套学习资料配套学习资料K12页脚内容 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 疑难规律
1 利用导数的几何意义解题1．求参数例1 设曲线y ＝f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.解析 根据导数的定义，Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋a Δx 无限趋近于2a ，即f ′(1)＝2a .又由曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，即a ＝1. 答案 12．求倾斜角例2 求曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角． 分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k ，再根据斜率k ＝tan α，求出倾斜角α.解 设曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为α. f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－⎝⎛⎭⎫13－1＋5Δx＝13(Δx )3－Δx Δx ＝13(Δx )2－1， 当Δx 无限趋近于0时，13(Δx )2－1无限趋近于－1， 即tan α＝f ′(1)＝－1.因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.故切线的倾斜角为3π4. 评注 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围．3．求曲线的切线例3 求在点P ⎝⎛⎭⎫2，83处与曲线y ＝13x 3相切的切线方程． 分析 要求直线在点P 处的切线方程，需求得过点P 的切线的斜率k ，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，83在曲线y ＝13x 3上，Δy ＝13(2＋Δx )3－13×23＝4Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3， 所以Δy Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2， 当Δx 无限趋近于0时，Δy 无限趋近于4，即k ＝4. 故所求的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0. 评注 求在点P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．4．求切点的坐标例4 若曲线y ＝f (x )＝x 3＋1在点P 处的切线的斜率为3，求点P 的坐标．分析 要求点P 的坐标，可设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．解 设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，因为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20·Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，上式无限趋近于3x 20，所以3x 20＝3.解得x 0＝±1. 故点P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．评注 值得注意的是切点P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.2 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f ′(x )，并代入点斜式方程即可．例1 曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ，知在点(1，－1)处的斜率k ＝f ′(1)＝－3.所以切线方程为y －(－1)＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B.答案 B2．已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)， 即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.点评 可以发现直线5x ＋4y －1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－12，78)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点． 3．已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(2,0)且与曲线f (x )＝1x相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝－1x 20. 所以切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)． 又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得－1x 0＝－1x 20(2－x 0)． 解得x 0＝1，y 0＝1x 0＝1，即x ＋y －2＝0. 点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．4．求两条曲线的公切线例4已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．分析设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．解设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－x22＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，则与C2相切于点Q的切线方程为y＝－2(x2－2)x＋x22－4.因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x21＝x22－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.3导数运算中的常见错误1．对f′(x0)与f′(x)理解有误例1已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为()A．0 B．－4 C．－2 D．2错解由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.所以f′(0)＝0.故选A.错因分析解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′(1)是常数．正解由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故选B.2．切点位置的确定有误例2求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．错解由题意知点P(1,0)在曲线上．因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1,0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点)． 正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)，则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1,0)得：0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. 所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0.3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2,4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2,4)外没有其他的公共点．错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43消去y 整理得： x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0.所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4.所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．。
【配套K12】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 4.1 导数的加法与减法法则
4．1导数的加法与减法法则学习目标 1.理解导数的加法、减法法则.2.运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．知识点导数的加法与减法法则思考1怎样求函数f(x)＝x＋x2的导函数？思考2将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请写出来．梳理两个函数和(差)的导数等于________________的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝______________，[f(x)－g(x)]′＝______________.类型一利用导数的加法与减法法则求导例1求下列函数的导数：(1)y＝4cos x－3sin x；(2)y＝x2＋tan x；(3)y＝x5＋x7＋x9x.反思与感悟对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪训练1(1)求下列函数的导数：①y＝2x＋x；②y＝(x＋1)(1x－1)；(2)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，求f′(0)．类型二求导法则的逆向应用例2已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．反思与感悟待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．跟踪训练2设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y ＝f(x)的函数表达式．类型三导数的加法与减法法则的应用例3已知函数f(x)＝x3＋x－16.求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程．引申探究直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．反思与感悟 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：(1)切点坐标满足曲线方程；(2)切点坐标满足对应切线的方程；(3)切线的斜率是函数在此切点处的导数值．跟踪训练3 已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( ) A ．－5x －6－3cos x B ．x －6＋3cos x C ．－5x －6＋3cos x D ．x －6－3cos x 2．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.223．设函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193 B.163 C.133 D.1034．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．5．若函数f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．导数的加法与减法法则的应用对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(1)对于有限个函数的和(差)进行求导，都可用求导法则．(2)在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量．(3)对根式求导时，要先化成指数幂的形式．答案精析问题导学知识点思考1 根据导数定义Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )＋(x ＋Δx )2－(x ＋x 2)＝Δx ＋2x ·Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝1＋2x ＋Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx＝1＋2x ， 即f ′(x )＝1＋2x ，可以看出(x ＋x 2)′＝x ′＋(x 2)′.思考2 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．梳理 这两个函数导数 f ′(x )＋g ′(x ) f ′(x )－g ′(x ) 题型探究例1 解 (1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x 2＋tan x )′＝(x 2)′＋(tan x )′＝2x ＋1cos 2x . (3)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.跟踪训练1 解 (1)①y ′＝(2x ＋x )′＝2x ln 2＋12x －12＝2x ln 2＋x 2x. ②∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x ＋1x， ∴y ′＝(－x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (2)∵f ′(x )＝[2xf ′(1)＋x 2]′＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，即f ′(1)＝－2，∴f (x )＝－4x ＋x 2，f ′(x )＝－4＋2x ，∴f ′(0)＝－4.例2 解 由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.跟踪训练2 解 ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14， ∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14. 例3 解 可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即13x －y －32＝0.引申探究 解 设切点(x 0，x 30＋x 0－16)，∵f ′(x 0)＝3x 20＋1，由题意可得3x 20＋1＝x 30＋x 0－16x 0， 即x 30＝－8，得x 0＝－2，∴切点(－2，－26)，f ′(x 0)＝f ′(－2)＝13，则直线l 的方程为13x －y ＝0.跟踪训练3 解 因为f ′(x )＝2x ＋1，f ′(1)＝3，所以l 1的方程为y ＝3x －3.设l 2与曲线的切点为(b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.由l 1⊥l 2得2b ＋1＝－13，b ＝－23， 所以l 2的方程为y ＝－13x －229. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1与l 2的交点为A ⎝⎛⎭⎫16，－52， l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫－223，0.故所求三角形的面积为S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 当堂训练1．C 2.A 3.D 4.14 5.(2，＋∞)。
[K12配套]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 章末复习课
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学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．知识点一 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________________，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx＝________________________. 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处____________，在点P 处的切线方程为________________________． 知识点二 导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为________，f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为________．知识点三 基本初等函数的导数公式设两个函数f (x )，g (x )可导，则类型一 利用导数的定义解题例1 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．反思与感悟 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx 趋于0的方式，函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 的比趋于一个固定的值． 即ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形． 跟踪训练1 已知s (t )＝t ＋2t ，求li m Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt .类型二 导数的几何意义例2 函数y ＝f (x )的图像如图，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)反思与感悟 导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意：(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.则a 的值是________． 类型三 导数的计算 例3 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2－ln x ＋a x ＋π； (2)y ＝33x 4＋4x 3； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝cos x x 2.反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则． (2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导． 跟踪训练3 求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(2)y ＝cos 2x sin x ＋cos x .类型四 导数的综合应用例4 设函数f (x )＝a 2x 2(a >0)，若函数y ＝f (x )图像上的点到直线x －y －3＝0距离的最小值为2，求a 的值．反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练4 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．自由落体的物体在t ＝4 s 时的瞬时速度是指( ) A ．在第4秒末的速度 B ．在第4秒始的速度C ．在第3秒至第4秒的平均速度D ．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度 2．已知函数f (x )＝x 22x ，则f ′(2)等于( ) A ．16＋ln 2 B ．16＋8ln 2 C ．8＋16ln 2D ．16＋16ln 23．若函数y ＝f (x )＝x 3，且f ′(a )＝3，则a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在4．若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.5．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用． 2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．答案精析知识梳理 知识点一1．瞬时变化率 f ′(x 0)lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．切线的斜率 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 知识点二 f ′(x ) 导数 知识点三αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x 1x ln a 1x 1cos 2x －1sin 2x 知识点四f ′(x )＋g ′(x ) f ′(x )－g ′(x ) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 题型探究例1 解 y ′＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →2x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 跟踪训练1 解 ∵lim Δx →0s (5＋Δt )－s (5)Δt＝s ′(5)，又s ′(t )＝1－2t 2，∴lim Δx →s (5＋Δt )－s (5)Δt＝s ′(5)＝1－225＝2325.例2 B [过点(2，f (2))和点(3，f (3))的割线的斜率k ＝Δy Δx ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.] 跟踪训练2 1 [∵f ′(0)＝a ， ∴y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为 y －2＝ax ，由题意知x ＝－2时，y ＝0，可得a ＝1.] 例3 解 (1)y ′＝(x 2－ln x ＋a x ＋π)′ ＝(x 2)′－(ln x )′＋(a x )′＋π′ ＝2x －1x ＋a x ln a .(2)y ′＝(33x 4＋4x 3)′ ＝(33x 4)′＋(4x 3)′ ＝(3·x 43)′＋(4·x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .(3)因为y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， 所以y ′＝3x 2＋12x ＋11. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x 2′＝(cos x )′·x 2－cos x ·(x 2)′x 4＝－sin x ·x 2－cos x ·(2x )x 4＝－x sin x ＋2cos x x 3.跟踪训练3 解 (1)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫3x 32′－x ′＋5′－⎝⎛⎭⎫9x －12′ ＝92x 12－1＋92x －32 ＝92x ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1. (2)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos 2x －sin 2x cos x ＋sin x ＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′ ＝(cos x )′－(sin x )′ ＝－sin x －cos x .例4 解 因为f (x )＝a 2x 2， 所以f ′(x )＝2a 2x ， 令f ′(x )＝2a 2x ＝1， 得x ＝12a 2，此时y ＝14a2，则点⎝⎛⎭⎫12a 2，14a 2到直线x －y －3＝0的距离为2， 即2＝|12a 2－14a2－3|2，解得a ＝12或510.跟踪训练4 解 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1)．当堂训练1．A 2.D 3.C 4.ln 2－1 5.－4。
[k12精品]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
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学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx.跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.k12精品K12精品文档学习用 ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
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学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．知识点一 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________________，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx＝________________________. 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处____________，在点P 处的切线方程为________________________． 知识点二 导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为________，f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为________．知识点三 基本初等函数的导数公式设两个函数f (x )，g (x )可导，则类型一 利用导数的定义解题例1 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．反思与感悟 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx 趋于0的方式，函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 的比趋于一个固定的值． 即ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形． 跟踪训练1 已知s (t )＝t ＋2t ，求li m Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt .类型二 导数的几何意义例2 函数y ＝f (x )的图像如图，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)反思与感悟 导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意：(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.则a 的值是________． 类型三 导数的计算 例3 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2－ln x ＋a x ＋π； (2)y ＝33x 4＋4x 3； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝cos x x 2.反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则． (2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导． 跟踪训练3 求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(2)y ＝cos 2x sin x ＋cos x .类型四 导数的综合应用例4 设函数f (x )＝a 2x 2(a >0)，若函数y ＝f (x )图像上的点到直线x －y －3＝0距离的最小值为2，求a 的值．反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练4 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．自由落体的物体在t ＝4 s 时的瞬时速度是指( ) A ．在第4秒末的速度 B ．在第4秒始的速度C ．在第3秒至第4秒的平均速度D ．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度 2．已知函数f (x )＝x 22x ，则f ′(2)等于( ) A ．16＋ln 2 B ．16＋8ln 2 C ．8＋16ln 2D ．16＋16ln 23．若函数y ＝f (x )＝x 3，且f ′(a )＝3，则a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在4．若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.5．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用． 2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．答案精析知识梳理 知识点一1．瞬时变化率 f ′(x 0)lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．切线的斜率 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 知识点二 f ′(x ) 导数 知识点三αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x 1x ln a 1x 1cos 2x －1sin 2x 知识点四f ′(x )＋g ′(x ) f ′(x )－g ′(x ) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 题型探究例1 解 y ′＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →2x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →2x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 跟踪训练1 解 ∵lim Δx →0s (5＋Δt )－s (5)Δt＝s ′(5)，又s ′(t )＝1－2t 2，∴lim Δx →s (5＋Δt )－s (5)Δt＝s ′(5)＝1－225＝2325.例2 B [过点(2，f (2))和点(3，f (3))的割线的斜率k ＝Δy Δx ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.] 跟踪训练2 1 [∵f ′(0)＝a ， ∴y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为 y －2＝ax ，由题意知x ＝－2时，y ＝0，可得a ＝1.] 例3 解 (1)y ′＝(x 2－ln x ＋a x ＋π)′ ＝(x 2)′－(ln x )′＋(a x )′＋π′ ＝2x －1x ＋a x ln a .(2)y ′＝(33x 4＋4x 3)′ ＝(33x 4)′＋(4x 3)′ ＝(3·x 43)′＋(4·x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .(3)因为y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， 所以y ′＝3x 2＋12x ＋11. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x 2′＝(cos x )′·x 2－cos x ·(x 2)′x 4＝－sin x ·x 2－cos x ·(2x )x 4＝－x sin x ＋2cos x x 3.跟踪训练3 解 (1)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫3x 32′－x ′＋5′－⎝⎛⎭⎫9x －12′ ＝92x 12－1＋92x －32 ＝92x ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1. (2)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos 2x －sin 2x cos x ＋sin x ＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′ ＝(cos x )′－(sin x )′ ＝－sin x －cos x .例4 解 因为f (x )＝a 2x 2， 所以f ′(x )＝2a 2x ， 令f ′(x )＝2a 2x ＝1， 得x ＝12a 2，此时y ＝14a2，则点⎝⎛⎭⎫12a 2，14a 2到直线x －y －3＝0的距离为2， 即2＝|12a 2－14a2－3|2，解得a ＝12或510.跟踪训练4 解 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1)．当堂训练1．A 2.D 3.C 4.ln 2－1 5.－4。