广东省深圳市南山区高二数学下学期期末考试试题理新人教A版

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广东省深圳市宝安中学高二数学下学期期末考试试题理

宝安中学2012－2013学年第二学期期末考试高二理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。

2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。

3、考试结束，监考人员将答题纸收回。

第Ⅰ卷（本卷共计40 分）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分） 1.已知i 是虚数单位，则2013i=A 1B 1-C iD i -2. 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是A.10B.-10C. 5D.-5 3. 已知数列{n a }满足11a =，且111()(233n n n a a n -=+≥，且*),n N ∈则数列{n a }的通项公式为A.n a =32n n +B. n a =23nn + C. n a =2n + D. n a =(2)3nn + 4. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A ．54种 B.36种 C.18种 D.12种5. 若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为A.034=--y xB.034=-+y xC.034=+-y xD.034=++y x6. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A 48B 18C 24D 367. 设(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n,当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于A.5B.6C.7D.8 8.分子分母的和等于2013的最简真分数的个数是A 600B 635C 636D 1006 第Ⅱ卷（本卷共计110分）二．填空题：（9-14题，每小题5分，共30分）9. 已知()xf x a =（其中a 为常数，0a >且1a ≠）,则()f x '=________10. 11.甲、乙、丙、丁四个人排成一排照相，其中甲乙两人不相邻的排法种数是（用数字作答）12. 设'010()cos ,()()f x x f x f x ==，…，'1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2013()f x =13. 已知32''()(1)3(1)f x x x f xf =++-，则''(1)(1)f f +-的值为 .14. 已知n 次多项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)(Λ.如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k Λ=的值需要1k -次乘法，计算30()P x 的值至多需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算100()P x 的值至多需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：00()P x a =，11()()k k k P x xP x a ++=+(0,1,2,,1)k n =-L .利用该算法，计算30()P x 的值至多需要6次运算，计算100()P x 的值至多需要次运算.三.解答与证明题题（15-20题，要求写出必要的解答或证明过程，共80分） 15.（12分）已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z ．16. （12分）设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数.5(24)1x dx -=-⎰(1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.17. （14分）已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项．18. （14分）已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e 2.7≈）；19. （14分）规定(1)(1),m x A x x x m =--+L 其中x R ∈，m 为正整数，且01,x A =这是排列数(,mn A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=， ②11m m mn n n A mA A -++=．(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到(,mx A x R m ∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由； ⑶确定函数3x A 的单调区间．20. （14分）已知函数2()()xf x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈．（1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解；（3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围．宝安中学2012—2013下学期期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CABC ADCA 二、填空题9. ln xa x 10. 0 11. 12 12. sin x - 13. 34- 14. 65;20 三、解答题15. 解：设 z ＝x ＋y i （x, y∈R）, ∵|z |＝5， ∴x 2＋y 2＝25, ①…………………………3分又(3＋4i )z=(3＋4i )(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数， ∴ 340x y -= ② …………………………6分430x y +≠ ③ ……………………………………8分联立三个关系式①②③解得43x y =⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=-⎩，∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i ．………………………………12分 16. 解:(1)()'()f x f x +cos(3)3sin(3)x x ϕϕ=+-+52sin(3)6x πϕ=++,…………………………2分又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,(0)'(0)0f f ∴+=…………………………………………………………4分5sin()06πϕ∴+=…………………………………………………………6分 ∴=ϕ6π.……………………………………………………………………8分 (2)由(1)得()'()f x f x +2sin(3)2sin 3x x =+π=-.………………10分 ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.………………………………12分 17. 解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·－24C 2n ·－22＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．…………………………………………6分 (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.………………………………9分 (2)通项公式T r ＋1＝C r8·(x )8－r·(－2x2)r＝C r8·(－2)r·x822rr --，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1，…………………………………………12分故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.………………………………14分18、解：（1）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln2462ln22a b -=-++． …………………… 3分解得a ＝2，b ＝1． …………………… 6分（2）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e 内，当x ∈1[,1)e时，()0h x '>，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，()0h x '<，∴h (x )是减函数． …………………… 9分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤……12分即21e 2m <-≤．…………………… 14分19. 规定(1)(1),m x A x x x m =--+L 其中x R ∈，m 为正整数，且01,x A =这是排列数(,m n A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=， ②11m m mn n n A mA A -++=．(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到(,mx A x R m ∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由； ⑶确定函数3x A 的单调区间．解：（1）315A -()()()1516174080=---=-； ……2分（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：①11m m x x A xA --=， ②()11,m m mx x x A mA A x R m N -+++=∈∈ ……4分事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，右边01x xA x -==，等式成立；当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+L()()()()()12111x x x x m ⎡⎤=-----+⎣⎦L11m x xA --=，因此，①11m m x x A xA --=成立； ……6分在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+L ()()()122mx x x x m +---+L()()()()1221x x x x m x m m =---+-++⎡⎤⎣⎦L ()()()()11211x x x x x m =+--+-+⎡⎤⎣⎦L1m x A +==右边，因此 ②()11,m m mx x x A mA A x R m N -+++=∈∈成立。

2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x(x−2)<0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=()A. {x|−1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<−1，或x>2}D. {x|x<0，或x>1}2.已知复数z=3−i1+2i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.已知向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(2,n)，若|a⃗|=2，a⃗⊥b⃗ ，则mn=()A. ±3B. 3C. ±6D. −64.4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是()A. 34B. 43C. 12D. 245.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−7n，若3<a k<5，则k=()A. 8B. 7C. 6D. 56.已知p：“0<a<1，b>1”，q：“f(x)=a x−b(a>0，且a≠1)的图象不过第一象限”，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a>b>1，0<c<1，则下列式子成立的是()A. log a c<log b cB. ba−c >ab−cC. blog a c>alog b cD. a b<b a8.设k>0，若存在正实数x，使得不等式log27x−k⋅3kx−1≥0成立，则k的最大值为()A. 1eln3B. ln3eC. eln3D. ln32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若P是双曲线C： x29−y2m=1上一点，C的一个焦点坐标为F(4,0)，则下列结论中正确的是()A. m=√5B. 渐近线方程为y=±√73xC. |PF|的最小值是1D. 焦点到渐近线的距离是√710.已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为cℎx=e x+e−x2，双曲正弦函数为sℎx=e x−e−x2.则下列结论中正确的是()A. (cℎx)′=sℎxB. (sℎx)2+(cℎx)2=1C. sℎ2x =2sℎx ⋅cℎxD. chx 是奇函数11. 设函数f(x)=sin(2x −π3)的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是( )A. (−π12, 0)是曲线E 的一个对称中心B. 若x 1≠x 2，且f(x 1)=f(x 2)=0，则|x 1−x 2|的最小值为π2 C. 将曲线y =sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D. 将曲线y =sin(x −π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合12. 如图，菱形ABCD 边长为2，∠BAD =60°，E 为边AB 的中点.将△ADE 沿DE 折起，使A 到A′，且平面A′DE ⊥平面BCDE ，连接A′B ，A′C.则下列结论中正确的是( )A. BD ⊥A′CB. 四面体A′CDE 的外接球表面积为8πC. BC 与A′D 所成角的余弦值为34D. 直线A′B 与平面A′CD 所成角的正弦值为√64三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=xsinx 在x =π2处的切线方程为______．14. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M(3,y 0)到F 的距离为6，则y 0= ______ ． 15. 中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”.他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系.某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第二期亩产810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤.将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩______ 公斤．附：用最小二乘法求得线性回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．16.英国数学家泰勒发现了公式：sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．1+122+132+142+⋯．其发现过程简单分析如下：当x≠0时，有sinxx =1−x23!+x45!−x67!+⋯，容易看出方程sinxx=0的所有解为：±π，±2π，…，±nπ，…，于是方程sinxx=0可写成：(x2−π2)[x2−(2π)2]...[x2−(nπ)2] 0改写成：(1−x2π2)[1−x222π2]…[1−x2n2π2]…=0.(∗)比较方程(∗)与方程1−x23!+x45!−x67!+⋯=0中x2项的系数，即可得1+122+132+142+⋯=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB=2sinC+sinB．(1)求角A；(2)若a=4，b+c=2√5，求△ABC的面积．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n=a n⋅b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．19.如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，BC=1，DE=√2．∠BCD=90°，AD=CD=12(1)证明：AD//BC；(2)求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值．20.从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合计1000 1.000(1)求m ，n ，a 的值；(2)求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x −(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x −，σ2近似为样本方差s 2，其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X 为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX ．附：√52.6≈7.25，P(μ−σ<x <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<x <μ+2σ)=0.9544．21. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)的长轴长为4，离心率为√32．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 上的点A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，且AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过原点O 的直线m 与l 平行，且与C 交于B ，D 两点，求△ABD 面积的最大值．x2)−a(x−1)，a∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．22.已知函数f(x)=e x(2x−12(1)当a=0时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≤2时，f(x)≥0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|x(x −2)<0}={x|0<x <2}，B ={x|−1<x <1}， ∴A ∩B ={x|0<x <2}∩{x|−1<x <1}={x|0<x <1}．故选：B ．求解一元二次不等式化简A ，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z =3−i1+2i =(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−75i ， ∴|z|=√(15)2+(−75)2=√2．故选：B ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(2,n)，|a ⃗ |=2，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴{|a⃗ |=√m 2+12=22m +n =0，解得{m =√3n =−2√3或{m =−√3n =2√3，∴mn =−6．故选：D ．利用向量的模和向量垂直的性质列出方程组，求出m ，n ，由此能求出结果．本题考查两数积的运算，考查向量的模和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解等能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，每名同学必须且只能从3个课外知识讲座随机选择其中的一个，则每个同学有3种选法，则4名同学有3×3×3×3=34种选，故选：A．根据题意，分析可得每个同学有3种选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，注意题目条件的要求，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由S n=n2−7n，可得：S n−1=(n−1)2−7(n−1)(n≥2)，两式相减整理得：a n=2n−8，n≥2，又当n=1时，有a1=S1=1−7=−6，也适合上式，所以a n=2n−8，由3<a k<5，可得：3<2k−8<5，解之得：112<k<132，又k∈N∗，可得k=6．故选：C．由题设求得数列{a n}的通项公式a n，代入3<a k<5，即可求得结果．本题主要考查数列通项公式的求法及其应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：q：“f(x)=a x−b(a>0，且a≠1)的图象不过第一象限”，则0<a<1，b≥1，p：“0<a<1，b>1”，则p是q的充分不必要条件，故选：A．利用指数函数的单调性、结合图象即可得出0<a<1，b≥1，再判断p是q的什么条件．本题考查了指数函数的图象与单调性、充要条件的判定方法，考查了推理与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵log a c−log b c=lnclna −lnclnb=lnc(lnb−lna)lna⋅lnb，且a>b>1，0<c<1，∴lnc<0，lnb−lna<0，lna>0，lnb>0，∴log a c>log b c，故A错，∵a−c>b−c>0，∴0<1a−c <1b−c，∴ba−c <ab−c，故B错，∵blog a c−alog b c=blnclna −alnclnb=lnc(blnb−alna)lna⋅lnb>0，∴blog a c>alog b c，故C对，令a=2，b=1.5，则a b=21.5=2√2，b a=1.52=2.25，故D错，故选：C．作差法得log a c−log b c=lnclna −lnclnb=lnc(lnb−lna)lna⋅lnb，由a，b，c的取值范围比较大小，由不等式的性质可得0<1a−c <1b−c，ba−c<ab−c，作差法可得blog a c−alog b c=blnclna −alnclnb=lnc(blnb−alna)lna⋅lnb>0，赋值法令a=2，b=1.5，从而判断．本题考查了不等式的性质及作差法比较大小的应用，同时考查了对数函数的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为log27x−k⋅3kx−1≥0，所以log3xlog327−k⋅3kx−1≥0，所以13log3x−13k⋅3kx≥0，所以log3x≥k⋅3kx，所以1klog3x≥3kx，所以log3k(x)≥(3k)x，令3k=a．则log a x≥a x，由y=a x与y=log a x互为反函数，可得图象关于直线y=x对称，所以x=a x=log a x有解，则lnx=xlna，即lna=lnxx，可得y=lnxx ，求导得y′=1−lnxx2，可得x>e时，函数y递减；0<x<e时，函数y递增，则x=e时，y=lnxx 取得最大值为1e，即lna≤1e，所以ln3k≤1e，所以k≤1eln3，即k的最大值为1eln3．故选：A．由题意可得log3k(x)≥(3k)x，令3k=a，则log a x≥a x，由y=a x与y=log a x互为反函数，可得图象关于直线y=x对称，得x=a x=log a x有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，即可得出k的最大值．本题考查导数的综合应用，解题中注意换元法的应用，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，因为双曲线C： x29−y2m=1的一个焦点坐标为F(4,0)，∴m+9=42，∴m=7，故错；对于B，渐近线方程y=±ba x=±√73x，故正确；对于C，|PF|的最小值是c−a=4−3=1，故正确；对于D，焦点到渐近线的距离是√a2+b2=b=√7，故正确．故选：BCD．利用双曲线C： x29−y2m=1的一个焦点坐标为F(4,0)，可得m=7，即可逐一判定．本题考查了双曲线方程及性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A ，(cℎx)′=e x +e −x ⋅(−1)2=e x −e −x2=sℎx ，即选项A 正确；对于B ，(sℎx)2+(cℎx)2=(e x −e −x 2)2+(e x +e −x 2)2=e 2x +e −2x2≠1，即选项B 错误；对于C ，sℎ2x =e 2x −e −2x2，2sℎx ⋅cℎx =2⋅e x +e −x2⋅e x −e −x2=e 2x −e −2x2=sℎ2x ，即选项C 正确；对于D ，∵cℎ(−x)=e −x +e x2=cℎx ，∴cℎx 为偶函数，即选项D 错误．故选：AC ．A ，根据导数的运算法则，得解；B ，化简计算(sℎx)2+(cℎx)2，即可判断；C ，分别计算sh 2x 和2sℎx ⋅cℎx ，看是否相等即可；D ，由函数奇偶性的概念可知，chx 为偶函数．本题考查类比推理，导数的运算，函数奇偶性判断等，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x −π3)的图象为曲线E ，令x =−π12，求得f(x)=−1，为最小值，故f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故A 错误；若x 1≠x 2，且f(x 1)=f(x 2)=0，则|x 1−x 2|的最小值T2=12×2π2=π2，故B 正确；将曲线y =sin2x 向右平移π3个单位长度，可得y =sin(2x −2π3)的图象，故C 错误；将曲线y =sin(x −π3)上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y =sin(2x −π3)的图象，与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：将△ADE 沿DE 折起，使A 到A′，且平面A′DE ⊥平面BCDE ，连接A′B ，A′C ．∴EB ，ED ，EA′两两垂直，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，对于A ，B(1,0，0)，D(0,√3,0)，A′(0,0，1)，C(2,√3,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−1)，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+3=1≠0，∴BD 与A′C 不垂直，故A 错误；对于B ，取CE 中点F ，连接DF ，∵DE ⊥DC ，∴FE =FD =FC =12CE =12√3+4=√72，过F 作FO ⊥平面CDE ，四面体A′CDE 的外接球球心O 在直线OF 上，设OF =t ，由OD =OA′=R ，得74+x 2=74+(1−x)2，解得x =12，∴R =√74+14=√2，∴四面体A′CDE 的外接球表面积为：S =4πR 2=8π，故B 正确；对于C ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)，设BC 与A′D 所成角的为θ，则cosθ=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√4⋅√4=34，∴BC 与A′D 所成角的余弦值为34，故C 正确；对于D ，A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)，设平面A′CD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y =0n ⃗ ⋅A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,−2,−2√3)，∴直线A′B 与平面A′CD 所成角的正弦值为： sinθ=|A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√3√2⋅√19=3√11438，故D 错误．故选：BC ．将△ADE 沿DE 折起，使A 到A′，且平面A′DE ⊥平面BCDE ，连接A′B ，A′C ，则EB ，ED ，EA′两两垂直，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，主要考查数学运算、逻辑推理等能力，是中档题．13.【答案】x −y =0【解析】解：求导数可得f′(x)=sinx +xcosx ， ∴x =π2时，f′(π2)=1 又∵f(π2)=π2∴曲线f(x)=xsinx 在x =π2处的切线方程为y −π2=x −π2，即x −y =0 故答案为：x −y =0．求导数，确定x =π2处的切线的斜率，即可求得切线方程．本题考查切线方程，解题的关键是求出切点处切线的斜率，属于基础题．14.【答案】±6【解析】解：抛物线C ；y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，准线为l ：x =−p2，由抛物线的定义可得，|MF|=3+p2=6，解得p =6，即有抛物线的方程为y 2=12x ，将x =3代入抛物线方程，可得y 0=±6．故答案为：±6．求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得3+ p 2=6，求得p =6，进而得到抛物线方程，代入M 的坐标，可得y 0．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，属于中档题．15.【答案】1080【解析】解：设期数为x i (i =1,2，3，4)，亩产为y i (i =1,2，3，4)，则x −=1+2+3+44=2.5，y −=760+810+860+10304=865，所以中b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=4305=86，则a ̂=y −−b ̂x −=865−86×2.5=650，则线性回归方程为y ̂=86x +650，当x =5时，y ̂=86×5+650=1080，所以预测第五期的产量为每亩1080公斤．故答案为：1080．先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，将x=5代入回归方程求解即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．16.【答案】π26【解析】解：方程(1−x2π2)[1−x222π2]…[1−x2n2π2]…=0中x2项的系数为−1π2(1+122+132+⋅⋅⋅+1n2+⋅⋅⋅)，又方程1−x23!+x45!−x67!+⋯=0中x2项的系数为−16，由题意可知，−1π2(1+122+132+⋅⋅⋅+1n2+⋅⋅⋅)=−16，所以1+122+132+142+⋯=π26．故答案为：π26．分别求出两个方程中x2项的系数，建立等式，求解即可．本题考查了新定义问题，解题的关键是求出方程(1−x2π2)[1−x222π2]…[1−x2n2π2]…=0中x2项的系数，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为2sinAcosB=2sinC+sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)+sinB，所以可得2cosAsinB+sinB=0，因为sinB≠0，所以cosA=−12，因为A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)因为A=2π3，a=4，b+c=2√5，所以由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得16=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=20−bc，解得bc=4，所以S△ABC=12bcsinA=12×4×√32=√3．【解析】(1)利用两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB≠0，可得cos A的值，结合范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由已知利用余弦定理可得bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项，可得b1q=2，5×2+10d=30，2(b4+2)=b3+b5，即2(b1q3+2)=b1q2+b1q4，解得d=2，b1=1，q=2，则a n=2+2(n−1)=2n；b n=2n−1；(2)因为c n=a n⋅b n=n⋅2n；所以数列{c n}的前n项和T n=1×21+2×22+3×23+......+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+......+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减可得−T n=2+22+23+......+2n−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴T n=(n−1)⋅2n+1+2．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由等差数列的求和公式、等比数列的通项公式，求得首项和公差、公比，进而得到所求；本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为面ADEF为矩形，则AD//EF，又AD⊄平面EFBC，EF⊂平面EFBC，所以AD//平面EFBC，又AD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFBC=BC，所以AD//BC；(2)解：由题意，平面EFAD⊥平面ABCD，平面EFCD∩平面ABCD =CD ，又ED ⊥AD ，ED ⊂平面EFAD ，所以ED ⊥ABCD ，由(1)可知，AD//BC ，又∠BCD =90°，则CD ⊥AD ，故ED ，AD ，CD 两两互相垂直，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,√2)，F(1,0,√2)，所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√2)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面ACE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y =0−x +√2z =0，令z =1，则x =y =√2，故n ⃗ =(√2,√2,1)，设平面BCEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{−b +√2c =0a =0，令c =1，则b =√2，故m ⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√5×√3=√155，故平面ACE 与平面BCEF 所成的锐二面角的余弦值为√155．【解析】(1)利用线面平行的判定定理可证明AD//平面EFBC ，由线面平行的性质定理即可证明AD//BC ； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ACE 与平面BCEF 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)结合频率分布表可以得到：{20.002=m0.0542 0.002=352n，解得m=54，n=0.352，a=0.1905=0.038．(2)这1000件产品质量指标值的样本平均数为：x−=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.190+35×0.1+40×0.047=25．(3)∵√52.6≈7.25，由(2)知Z～N(25,52.6)，∴P(10.50<Z<39.50)=P(25−2×7.25<Z<25+2×7.25)=0.9544，设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于(10.50,39.50)之外的件数，依题意知Y～B(20,0.0456)，∴E(Y)=20×0.0456=0.912，∴E(X)=−100×E(Y)+10×20×0.9544=99.68．【解析】(1)结合频率分布表列方程直线求出．(2)由频率分布直方图能求出这1000件产品质量指标值的样本平均数．(3)推导出Z～N(25,52.6)，从而P(10.50<Z<39.50)=P(25−2×7.25<Z<25+2×7.25)=0.9544，设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于(10.50,39.50)之外的件数，依题意知Y～B(20,0.0456)，先求出E(Y)，由此能求出E(X)．本题涉及频率分布直方图、频率分布表、正态分布、二项分布、随机变量分布列等基础知识，主要考查学生数据分析、数学运算、逻辑推理等能力．21.【答案】解：(1)因为长轴长为4，离心率为√32，所以2a=4，且e=ca =√32，解得a=2，c=√3，所以b2=a2−c2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)设直线l的方程为y=k(x−x0)+y0，令x=0，得y=−kx0+y0，即N(0,−kx0+y0)，令y=0，得x=−y0k +x0，即M(−y0k+x0,0)，因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(−x 0,−kx 0)=2(yk ,y 0)，所以{−x 0=2y 0k−kx 0=2y 0，即k =2y−x 0，联立{y =kxx 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2−4=0，设B(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=0，x 1x 2=−41+4k 2，所以|BD|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√161+4k 2，点A(x 0,y 0)到直线m ：y =kx 的距离d =00√1+k 2，所以S △ABD =12|BD|⋅d =12⋅√1+k 2√161+4k 2⋅00√1+k 2=√1+4k 2|kx 0−y 0| =2√1+4k 2|−2y 0−y 0| =61√1+4k 2|y 0|=6⋅√y 021+4k2 =6⋅√y 021+4⋅(2y 0−x 0)2 =6⋅√x 02y 02x 02+16y 02，(∗)因为点A(x 0,y 0)在椭圆C 上，所以x 024+y 02=1，即x 02=4−4y 02，代入(∗)，得S △ABD =6⋅√(4−4y 02)y 024−4y 02+16y 02=6⋅√(1−y 02)y 021+3y 02，令t =y 02，则0<t <1，则S △ABD =6⋅√(1−t)t 1+3t ，令g(t)=(1−t)t 1+3t=t−t 21+3t ，0<t <1，g′(t)=(1−2t)(1+3t)−3(t−t 2)(1+3t)2=−3t 2−2t+1(1+3t)2，在(0,13)上，g′(t)>0，g(t)单调递增，在(13,1)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max =g(13)=13−(13)21+3×13=19，所以S △ABD 最大=6×13=2．【解析】(1)因为长轴长为4，离心率为√32，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(2)设B(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x −x 0)+y 0，得N ，M 点坐标，由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得k =2y−x 0，联立直线m 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算出|BD|，点A(x 0,y 0)到直线m ：y =kx 的距离d ，则S △ABD =12|BD|⋅d ，结合函数的单调性，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=e x (2x −12x 2)，f′(x)=e x (2x −12x 2)+e x (2−x)=e x (−12x 2+x +2)，令f′(x)>0，得1−√5<x <1+√5，令f′(x)<0，得x <1−√5或x >1+√5， ∴f(x)在(1−√5,1+√5)上单调递增，在(−∞,1−√5)和(1+√5,+∞)上单调递减． (2)当x ≤2时，f(x)≥0，得2x −12x 2−a(x−1)e x≥0，记g(x)=2x −12x 2−a(x−1)e x ，则g′(x)=(2−x)e x −a e x，①当a ≤0时，则g′(x)≥0，可知g(x)在(−∞,2)上单调递增，且g(−1)=−52+2ae <0，不符合题意； ②当0<a <e 2时，令g′(x)=0，解得x 1=2，x 2=lna ，由于lna <2，故当x <lna 时，g′(x)<0，当lna <x <2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,2)上单调递增，∴g(x)min =g(lna)=−12(lna)2+lna +1≥0，解得e 1−√3≤a ≤e 1+√3，由于e 1+√3>e 2，故e 1−√3≤a <e 2；③当a ≥e 2时，则lna ≥2，此时当x <2时，g′(x)≤0，故g(x)在(−∞,2]上单调递减， ∴g(x)min =g(2)=2−a e 2≥0，解得a ≤2e 2，故e 2≤a ≤2e 2；综上，实数a 的取值范围为[e 1−√3,2e 2]．【解析】(1)将a =0代入，对函数f(x)求导，解关于导函数的不等式即可得到单调性； (2)依题意，2x −12x 2−a(x−1)e x≥0对任意x ≤2都成立，记g(x)=2x −12x 2−a(x−1)e x，对g(x)求导，分a ≤0，0<a<e2及a≥e2讨论，求出g(x)的最小值，进而建立不等式得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化与化归思想，考查推理能力及运算能力，属于中档题．。

2021年高二数学下学期期末考试理(含解析)新人教A版

2021年高二数学下学期期末考试理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．复数等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算法则.2．如果复数是纯虚数，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，因为复数为纯虚数，，即.考点：复数的概念和复数的模. 3．已知函数，则它的导函数是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：，()()12112121--=-=='⋅'='x x x u u u y 考点：复合函数的导数.4．（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：()()()πππππππ--------=-+-=+=+=+⎰⎰⎰e e e x dx e xdx dx e x x x x 1100||sin cos cos 00000 考点：微积分基本定理的应用.5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】D【解析】试题分析：由于，与相似；与相似；由于，所以与相似，与相似，与相似，由相似三角形的传递性当与相似.考点：相似三角形.6．曲线经过伸缩变换T 得到曲线，那么直线经过伸缩变换T 得到的直线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意得直线经过伸缩变换得到的直线方程为，整理得考点：图象的伸缩变换.7．圆的圆心坐标是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：方程两边同时乘以得，即，圆心坐标为，因此，，因此极坐标，与之等价的是考点：极坐标的应用.8．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由题意知，化简得，，其中一条切线方程为，极坐标方程考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化.9．设随即变量服从正态分布，，则等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：正态曲线关于直线对称，，因此.考点：正态分布下的概率.10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】试题分析：先安排程序，从第一步或最后一步选一个，有种，把看成一个整体和其余三个程序编排，最后换位置，共有种.考点：排列的应用11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是则在这段时间内吊灯能照明的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：这段时间内吊灯不能照明的概率，因此这段时间内吊灯能照明的概率考点：独立事件的概率.12．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：设，则，因此函数在区间上是减函数，，已知是定义在上的非负可导函数，且满足因此所以是减函数，，当等号成立.考点：函数的单调性与导数第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．函数的最大值是．【答案】5【解析】试题分析：由于，可设，则，因此最大值为5考点：辅助角公式的应用.14．由曲线，，所围成的图形面积为．【答案】【解析】试题分析：直线与曲线的交点为；直线与曲线的交点，因此面积为()()313|3123|33313210210312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-⎰⎰x x x dx x x dx x x 考点：定积分的应用.15．二项式的展开式中含的项的系数是．【答案】【解析】试题分析：由于，因此的系数为考点：二项展开式的通项公式.16．已知函数表示过原点的曲线，且在处的切线的倾斜角均为，有以下命题：①的解析式为；②的极值点有且只有一个；③的最大值与最小值之和等于零；其中正确命题的序号为_ ．【答案】①③【解析】试题分析：由于函数过原点因此，由于在处的切线的倾斜角均为，,,,解得所以，，得，极值点有2个，由于是奇函数，因此最大值和最小值之和为零.考点：函数的导数与切线方程.三、解答题（题型注释）17．设函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】(1);(2)【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点的距离；(2)对分类讨论，分三部分进行讨论；(3)掌握一般不等式的解法：，.（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.试题解析：解：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为 4分（2）因对任意都成立．∴对任何都成立．∵解集为．∴ 8分考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）恒成立的问题.18．设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴ 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分考点：数学归纳法及其应用.19．经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；（2）当恰为的中点时，求直线的方程；（3）当时，求直线的方程；（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．【答案】(1);(2);(3)或（4）【解析】试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）的参数方程（为参数）． 1分曲线化为：，将直线参数方程的代入，得∵恒成立， 3分∴方程必有相异两实根，且，． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当时，． 5分（2）由为中点，可知，∴，故直线的方程为． 7分（3）∵，得∴,∴或故直线的方程为或 9分（4）∵中点对应参数∴（参数），消去，得弦的中点的轨迹方程为；轨迹是以为圆心，为半径的圆． 10分考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.20．设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为，设随机变量．（1）写出的可能取值，并求随机变量的最大值；（2）求事件“取得最大值”的概率；（3）求的分布列和数学期望与方差．【答案】（1）的可能取值为1,2,3；的最大值3；（2）；（3），【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）的可能取值都为1，2，3．，∴，∴当或时，取最大值． 3分（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数，∴ 4分（3）的所有取值为0，1，2，3，当时，只有这1种情况，∴；当时，只有或或或，共4种情况，∴；当时，只有这2种情况，∴；当时，； 7分∴ 随机变量的分布列为：∴ 数学期望方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD 9分考点：求离散型随机变量的分布列、数学期望、方差.21．如图，已知⊙与⊙外切于点，是两圆的外公切线，，为切点，与的延长线相交于点，延长交⊙于点，点在延长线上．（1）求证：是直角三角形；（2）若，试判断与能否一定垂直？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若，，求的值．【答案】(1)证明略；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：解：（1）证明：过点作两圆公切线交于，由切线长定理得，∴为直角三角形 3分（2）证明：∵，∴，又，∴∽∴即． 6分（3）由切割线定理，，∴∴． 9分考点：（1）切线长定理；（2）相似三角形的应用；（3）切割线定理的应用.22．已知函数在处取得极值，其中为常数．（1）求的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为（3）或【解析】试题分析：(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)恒成立的问题关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（1），，∴，又，∴； 5分（2）（∴由得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴单调递减区间为，单调递增区间为 9分由（2）可知，时，取极小值也是最小值，依题意，只需，解得或 10分考点：（1）函数的导数与极值；（2）函数的导数与单调性；（3）函数恒成立的问题.O29653 73D5 珕38667 970B 霋)24017 5DD1 巑 36881 9011 逑A35457 8A81 誁33756 83DC 菜M26250 668A 暊S4。

深圳市高二第二学期期末考试数学试卷(共3套,含答案)

深圳市沙井中学第二学期期末考试高二数学试卷第Ⅰ卷（满分60分）参考临界表一、选择题（共12个小题,每题5分,共60分）1.“1a =”是“复数2(1)2(1)z a a i =-++（a R ∈）为纯虚数”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 在用反证法证明命题“已知(),,0,2a b c ∈，求证()2a b -，()2b c -，()2c a -不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都小于1B ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都大于1C ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都不大于1D ．以上都不对3 ．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.064.为虚数单位，()()211i z i -=+，则z = （） A. 1 B. 2 C. 2 D. 225. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（） A ．1415 B.815 C.25 D.4156.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程ˆｙ＝3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位; ③回归方程ˆˆˆｙ＝bx+a 必过（x,y) ④有一个2×2列联表中,由计算得2k =13.079,则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( ) (A)0( B)1 (C)2 (D)37．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为( )A ．16B ．310 C ．35 D ．568.函数()cos x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（）A ．0B ．1-C ． 1D ．29. 设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( ) A ．192B ．182C ．－192D ．－18210. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A. 60B. 48C. 42D. 36 11.已知结论：在△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即a sin A＝b sin B＝c sin C，若把该结论推广到空间，则有结论：在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 与平面ACD 、平面BCD 所成的角为α、β，则有( ) A.BC sin α＝AD sin β B.AD sin α＝BC sin β C.S △BCD sin α＝S △ACD sin β D.S △ACD sin α＝S △BCDsin β第Ⅱ卷（满分90分）二、填空题（共计4题，每题5分，共20分）13.设*∈N n ,()n x 3+展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为_______.（用数字作答）14.某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________． (附：若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.) 15. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_______．16下列命题中正确的序号是______①若()ln(2)f x x =，则1()f x x'=；②若()(1)(2)(10)f x x x x =---L ，则(2)8!f '=； ③若()f x 为可导函数，其导函数()f x '为偶函数，则原函数为奇函数；④1212433x dx π--=+⎰三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）观察以下5个等式：11-=-132-+= 1353-+-=- 13574-+-+= 135795-+-+-=- …… 照以上式子规律．．．．．．．：（Ⅰ）写出第6个等式，并猜想第n 个等式；（n N *∈）（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．3.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.4.已知复数，则（）A．B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。

所以选B5.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.6.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A．B．C．且D．或【答案】C【解析】略7.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】回归直线必过点（），而，，所以回归直线过点，故选D.【考点】线性回归直线方程9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.【考点】1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.10.已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）在上有最大值1,有最小值.【解析】解:(1) ,由得,所以;当时,, ,又,所以曲线在处的切线方程为,即; 6分(2)由(1)得,又, , ,∴在上有最大值1,有最小值.- 12分【考点】导数的运用点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。

高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)

2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣45．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 36．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√27．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（） A ．√104B ．√105 C ．25D ．138．（5分）已知点A 在直线x ＝2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y ＝x 3﹣x 相切，则点A 的轨迹长度为（） A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下： 45 48 46 52 47 49 43 51 47 45 则下列结论正确的为（） A ．平均数为48 B ．极差为9C ．中位数为47D ．第75百分位数为51（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x =−π6对称，则（）A ．f(π6)=−12B ．f （x ）在区间(−π4，π6)单调递减C ．f （x ）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D ．f （x ）在区间(0，π3)有两个零点（多选）11．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（） A ．当|AM |＝|AF |时，AM ⊥lB ．当|AM |＝|AF |＝|MF |时，|AF |＝2|BF |C ．当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA ⊥MB 时，|AM |•|BM |≥2|AF |•|BF |（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x +1x 2)6的展开式中常数项是．（用数字作答） 14．（5分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 3﹣a 1＝3，a 4﹣a 2＝6，则S 5＝．15．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝2f （x +2），当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ），若方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a 的取值范围为． 16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)．（1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +12a =c ．（1）求B ；（2）若c ＝2a ，且b =3√3，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC 的三个顶点A ，B ，C 在圆O 上，AB 为圆O 的直径，△P AC 是边长为2的正三角形，且平面PBC ⊥平面P AC ．（1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若BC =2√3，点E 为PB 的中点，点F 为圆O 上一点，且F 与C 位于直径AB 的两侧，当EF ∥平面P AC 时，求平面EFB 与平面ABC 的夹角的余弦值．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A ，B 两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A 盒内随机取出1个小球放入B 盒，再在B 盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}【解答】解：集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}，故选：D ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i【解答】解：因为（1+i ）z ＝4﹣2i ，所以z =4−2i 1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i ，故z =1+3i ．故选：B ．3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【解答】解：因tan α＝2，则cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=−35．故选：D ．4．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣4【解答】解：由a →∥b →可得，﹣2×（﹣2）﹣x ＝0，解得x ＝4．故选：C ．5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 3【解答】解：由题意可得该组合体的体积V ＝π×（32）2•6−13π[（32）2+12+1×32]•（6﹣2）=43π6．故选：D ．6．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√2【解答】解：由m +n ＝2及m ，n 均为正实数可得：0＜mn ≤(m+n 2)2=1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，选项A ，函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，所以lnm +lnn ＝ln （mn ）≤ln 1＝0，A 错误；选项B ，由均值不等式，1m+1n≥2√1mn≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等．B 正确；选项C ，m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝4﹣2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等，C 错误；选项D ，（√m +√n ）2＝m +n +2√mn =2+2√mn ≤4，当且仅当m ＝n ＝1时取等，所以√m +√n ≤2，D 错误．故选：B ．7．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（） A ．√104B ．√105 C ．25D ．13【解答】解：设左焦点为F ′，由O 是FF ′，AB 的中点， ∴|AF ′|＝|BF |，AF ⊥AF ′，设|BF |＝m ，则|AF |＝3m ，又|AF ′|+|AF |＝2a ， ∴m =12a ，∴|AF |=32a ，|AF ′|=12a ，∴（12a ）2+（32a ）2＝（2c ）2，∴c2a2=1016∴e=ca=√104．故选：A．8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线y＝x3﹣x相切于点B（x0，y0），∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1，∴l的方程为y=(3x02−1)(x−x0)+x03−x0，把A（2，a）代入，可得(3x02−1)(2−x0)=a−x03+x0，化简得a=−2x03+6x02−2，设g（x）＝﹣2x3+6x2﹣2，g′（x）＝﹣6x2+12x，∴g（x）在区间（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，∴满足条件的x0恰有3个，∴g（0）＜a＜g（2），即﹣2＜a＜6，则点A的轨迹长度为8．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A．平均数为48B．极差为9C．中位数为47D．第75百分位数为51【解答】解：平均数是110×（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）＝47.3，选项A错误；极差为52﹣43＝9，选项B正确；按从小到大顺序排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；所以中位数是12×（47+47）＝47，选项C正确；因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=−π6对称，则（）A．f(π6)=−12B．f（x）在区间(−π4，π6)单调递减C．f（x）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点【解答】解：∵f（x）的图像关于直线x=−π6对称，∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，得φ=π3+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ=π3，则f（x）＝cos（2x+π3），则f（π6）＝cos（2×π6+π3）＝cos2π3=−12，故A正确，当−π4＜x＜π6时，−π2＜2x＜π3，−π6＜2x+π3＜2π3，则f（x）不单调，故B错误，当−π2＜x＜π2时，﹣π＜2x＜π，−2π3＜2x+π3＜4π3，则当2x+π3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确．当0＜x＜π3，0＜2x＜2π3，π3＜2x+π3＜π，则只有当2x+π3=π2时，函数f（x）＝0，即f（x）在区间(0，π3)只有1个零点，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥lB．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|＝|AF|，则AM⊥l，故选项A正确；对于选项B ：当|AM |＝|AF |＝|MF |时，△AMF 为正三角形，∴直线AB 的倾斜角为π3 设直线AB 的方程为y =√3(x −p2)，A （x 1，y 1），B （x ，y 2），由{y =√3(x −p2)y 2=2px，可得y 23−p 2=0，∴y 1=√3p ，y 2=−√33p ， ∴|AF||BF|=|y 1||y 2|=3，故选项B 错误；对于选项C ：过点A ，B 作直线垂直于l ，垂足分别为A '，B '，由B 可知A ′（−p 2，y 1），B ′（−p2，y 2），作AB 的中点N ，∵MA ⊥MB ，∴|MN|=12|AB|，由定义可知|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA ′|+|BB ′|，∴|MN |=12（|AA ′|+|BB ′|），∴M 为A 'B '的中点，∴A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：设M （−p2，y 0），直线MF 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1=y 0−p 2−p 2=−y 0p ，由B 可知k 2=y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2py 1+y 2，由C 可知y 1+y 2＝2y 0，k 2=2p y 1+y 2=py 0，k 1k 2=−y 0p •p y 0=−1，∴MF ⊥AB ，又∵MA ⊥MB ，|AM |﹣|BM |＝|MF |•|AB |，且|MF |2＝|AF ||BF |，由基本不等式可得|AM |•|BM |＝|MF ||AB |＝（|AF |+|BF |）•√|AF|⋅|BF|≥2|AF |•|BF |，故选项D 正确．故选：ACD ．（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312【解答】解：当AB ＝AD ＝m 时，可知△ABD 与△BCD 为等腰三角形，取BD 中点E ， ∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∵AE ∩EC ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，可得AC ⊥BD ，故A 正确；当AB ＝CD ＝m 时，可知四面体ABCD 的所有对棱相等，将四面体ABCD 补为长方体，其中四面体ABCD 的各条棱为该长方体各面的对角线，∴四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，则x2+y2＝1，y2+z2＝1，x2+z2＝m2，∴外接球的半径为R=12√x2+y2+z2=12√m2+22=14√2m2+4，∴四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2，故B正确；当AB＝AD＝m时，取BD的中点E，则AE=√m2−14，CE=√32，AC＝1，则在△ACE中，由三角形性质可得√m2−14+√32＞1，√m2−14−√32＜1，解得：√2−√3＜m＜√2+√3；当AB＝CD＝m时，取CD的中点F，则AF＝BF=√1−m2 4，则在△ABF中由三角形性质可知2√1−m24＞m，∴0＜m＜√2．综上可得，0＜m＜√2+√3，故C错误；当AB＝AD＝m时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC⊥平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为√3 12；当AB＝CD＝m时，由（3）可知此时AF=BF=√1−m2 4，则△ABF的面积为12m⋅√1−m22，∴四面体ABCD的体积为16m2⋅√1−m22=16√m4(2−m2)2，设f（x）＝x4（2﹣x2），f′（x）＝2x3（4﹣3x2），当x∈（0，2√33）时，f′（x）＞0，当x∈（2√33，√2）时，f′（x）＜0，∴当x=2√33时，f（x）的最大值为3227，∴四面体ABCD体积的最大值为2√327，又√312＞2√327，∴四面体ABCD体积的最大值为√312，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：(x+1x2)6展开式的通项T k+1=C6k x6−k(1x2)k=C6k x6−3k，令6﹣3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C62=15．故答案为：15．14．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝31．【解答】解：因为等比数列{a n}中，a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝6，所以q＝2，则a3﹣a1＝4a1﹣a1＝3，所以a1＝1，则S5=1−251−2=31．故答案为：31．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为[0，34)．【解答】解：因为f（x）＝2f（x+2），所以f （x ﹣2）＝2f （x ），f （x ）=12f （x ﹣2），又因为当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ），所以当x ∈（2，4]时，x ﹣2∈（0，2]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）=12×4（x ﹣2）（4﹣x ）＝2（x ﹣2）（4﹣x ），当x ∈（4，6]时，x ﹣2∈（2，4]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）＝（x ﹣4）（6﹣x ），所以f （112）＝（112−4）•（6−112）=34， ……作出函数f （x ）的部分图象，如图所示：又因为方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解，即y ＝a 与y ＝f （x ）的图象在(112，+∞)内有交点，结合图象可知a ∈[0，34）．故答案为：[0，34）．16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 2√2+2 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 6−4√2 ．【解答】解：设D 为AB 中点，则|CD |＝1， ∴点D 的轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1，∴|OA →+OB →|=2|OD →|，则最大值为2√2+2；又直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0， ∴l 1⊥l 2，且l 1过定点（﹣1，﹣3），l 2过定点（﹣3，﹣1）， ∴点M 的轨迹为（x +2）2+（y +2）2＝2，∴MA →⋅MB →=(MD →+DA →)(MD →+DB →)=(MD →+DA →)(MD →−DA →)=MD →2−DA →2， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3，又∵|MD →|⩾√(1+2)2+(1+2)2−1−√2=2√2−1， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3⩾(2√2−1)2−3=6−4√2， ∴MA →⋅MB →的最小值为6−4√2．故答案为：2√2+2；6−4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)．（1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】（1）证明：依题意，由a n+1=a na n +1两边取倒数，可得1a n+1=a n +1a n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，∵1a 1=1，∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n=1+1•（n ﹣1）＝n ，∴a n =1n，n ∈N *．（2）解：由（1）可得，b n ＝a n a n +1=1n •1n+1=1n −1n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1＝1−1 n+1=nn+1．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c．（1）求B；（2）若c＝2a，且b=3√3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcosA+12a=c，可得sinBcosA+12sinA=sinC，又∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，∴sinBcosA+12sinA=sinC=sinAcosB+sinBcosA，∴12sinA=sinAcosB∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴cosB=1 2，∵0＜B＜π，∴B=π3．（2）记△ABC的面积为S，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，及B=π3，b＝3√3可得a2+c2﹣ac＝27，将c＝2a代入上式，得a2＝9，故a＝3，c＝6，∴S=12acsinB=9√32．19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△P AC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面P AC．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若BC=2√3，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面P AC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，∵△P AC为等边三角形，∴AD⊥PC，∵平面PBC⊥平面P AC，平面PBC∩平面P AC＝PC，∴AD⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AD，∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵AC∩AD＝A，∴BC⊥平面P AC，∵BC⊂平面ABC，∴平面P AC⊥平面ABC．（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EO∥AP，又∵EO⊄平面P AC，AP⊂平面P AC，∴EO∥平面P AC，∵EF∥平面P AC，EO∩EF＝E，∴平面EOF∥平面P AC，∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，平面P AC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，由题可知BC=2√3，AB=4，取AC中点M连接PM，则PM⊥AC，∵平面P AC∩平面AFBC＝AC，由（1）可知PM⊥平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，∴P(0，0，√3)，A(1，0，0)，B(−1，2√3，0)，E(−12，√3，√32)，F(2，√3，0)，∴BF →=(3，−√3，0)，EF →=(52，0，−√32)，设平面BEF 的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{3x −√3y =0，5x −√3z =0，令x =√3，则y ＝3，z ＝5，∴m →=(√3，3，5)，由（1）可知平面ABC 的一个法向量n →=(0，0，1)， ∴设平面BEF 与平面ABC 的夹角为θ，则cosθ=m →⋅n →|m →⋅n →|=√37=5√3737，∴平面BEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为5√3737．（法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EO ∥AP ，又∵EO ⊄平面P AC ，AP ⊂平面P AC ，∴EO ∥平面P AC ，∵EF ∥平面P AC ，EO ∩EF ＝E ， ∴平面EOF ∥平面P AC ， ∵平面EOF ∩平面AFBC ＝FO ，平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，∴FO ∥AC ，由题可知BC =2√3，AB =4，取AC 中点M 连接PM ，则PM ⊥AC ，∵平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，由（1）可知PM ⊥平面ABC ，连接BM ，过点E 作EH ∥PM ， ∴H 为BM 的中点，且EH ⊥平面ABC ，∵BF ⊂平面ABC ，∴EH ⊥BF ，过点H 作HN ⊥BF ，垂足为N ，连接EN ，∵EH ∩HN ＝H ， ∴BF ⊥平面ENH ，∴EN ⊥BF ，则∠ENH 为平面EFB 与平面ABC 的夹角，在△BHF 中，FH =52，∠BFH =π6，∴HN =FHsin π6=54，∵EH=12PM=√32，由勾股定理可得EN=√374，cos∠ENH=54√374=5√3737，∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5√37 37．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，根据条件概率可知P(C)=15×C22C62=175，故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为1 75．（2）（i）X的可能取值为1，3，5，对应概率分别为：P(X=5)=25×C32C62+25×C22C62+15×C22C62=325，P(X=3)=25×C31C31C62+25×C21C41C62+15×C21C41C62=1425，P(X=1)=25×C32C62+25×C42C62+15×C42C62=825，故X的分布列为：（ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5×325+3×1425+1×825=135，甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y ，每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E （Y ）＝5E （X ）＝13． 21．（12分）已知f （x ）＝axe 2x （a ∈R ）．（1）当a ≠0时，讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）＝a （e 2x +xe 2x •2）＝a （2x +1）e 2x ，∵当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＜−12，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＜−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＞−12，∴当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为(−12，+∞)，单调减区间为(−∞，−12)，当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为(−∞，−12)，单调减区间为(−12，+∞)．（2）由f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0，得axe 2x ﹣2x ﹣lnx ≥0，……① 令g （x ）＝axe 2x ﹣2x ﹣lnx ，则g ′(x)=a(1+2x)e 2x −2−1x =(1+2x)(axe 2x −1)x， ∵当a ⩽0时，g （1）＝ae 2﹣2＜0不满足条件，∴a ⩽0不成立，当a ＞0时，令k （x ）＝axe 2x ﹣1，k ′（x ）＝a （1+2x ）e 2x ＞0，∵当x →0+时，k(x)→−1，k(1a)=e 2a −1＞0，∴∃x 0∈(0，1a)，使得k （x 0）＝0，即ax 0e 2x 0=1，∴当x ∈（0，x 0）时，k （x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，k （x ）＞0，∴g （x ）在区间（0，x 0）上单调递减，在区间（x 0，+∞）上单调递增，当x ＝x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0），由ax 0e 2x 0=1，取对数得lna +lnx 0+2x 0＝0，则g(x 0)=ax 0e 2x 0−2x 0−lnx 0=1+lna ，要使不等式①恒成立，需1+lna ⩾0，解得a ⩾1e ，∴实数a 的取值范围是[1e，+∞）．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√2，且C 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．（1）求C 的方程；（2）设点A 为C 的左顶点，若过点（3，0）的直线l 与C 的右支交于P ，Q 两点，且直线AP ，AQ 与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，右焦点为（c，0），∴右焦点到渐近线的距离d=|bc|√b+a2=b＝1，由离心率e=ca=√2，有√a2+b2a=√2，解得a＝1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．（2）设直线l的方程：x＝ty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x2−y2=1x=ty+3⇒（t2﹣1）y2+6ty+8＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，Δ＝（6t）2﹣4（t2﹣1）×8＝4t2+32＞0恒成立，还需{y1y2=8t2−1＜0t2−1≠0，解得﹣1＜t＜1，∵A点坐标为（﹣1，0），∴k AP⋅k AQ=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，将y1+y2=−6tt2−1，y1y2=8t2−1代入，得k AP⋅k AQ=8t2−1t2⋅8t2−1+4t⋅−6tt2−1+16=88t2−24t2+16t2−16=−12，设AP：x＝m1y﹣1，AQ：x＝m2y﹣1，且|m1|＞1，|m2|＞1，∴1m1⋅1m2=−12，即m1•m2＝﹣2，故|m1|•|m2|＝2，∵|m2|=2|m1|＞1，∴1＜|m1|＜2，由{x2−y2=1x=m1y−1⇒(m12−1)y2−2m1y=0，∴y P=2m1m12−1，同理可得y Q=2m2m22−1，由{x2+y2=1x=m1y−1⇒(m12+1)y2−2m1y=0，∴y M=2m1m12+1，同理可得y N=2m2m22+1，∴S△APQS△AMN=12|AQ||AP|sin∠QAP12|AN||AM|sin∠QAP=|AQ||AP||AN||AM|=y Q⋅y Py N⋅y M=2m2m22−1⋅2m1m12−12m2m22+1⋅2m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12−1)(m22−1)=m12m22+m12+m22+1m12m22−m12−m22+1=5+(m12+m22)5−(m12+m22)，令t=m12+m22，由|m1|•|m2|＝2，1＜|m1|＜2，得t=m12+4m12，t∈[4，5），∴S△APQS△AMN=5+t5−t=10−t+5−1，t∈[4，5），令f（t）=10−t+5−1，t∈[4，5），∵f（t）在区间[4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为[9，+∞），∵S1S2=S MNPQS AMN=S△APQ−S△AMNS△AMN，∴S1S2的取值范围为[8，+∞）．。

广东省深圳市数学高二下学期理数期末考试试卷

广东省深圳市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）对于线性相关系数，叙述正确的是（）A . 越大，相关程度越大，反之相关程度越小B . 越大，相关程度越大，反之相关程度越小C . 且越接近1，相关程度越大D . 以上说法都不对2. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（）A . 12x2+4y2=1B .C .D . 3x2+4y2=43. （2分）在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是（）．A . (1,1)B .C .D .4. （2分）如图，三行三列的方阵中有九个数（i=1,2,3；j=1,2,3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）若离散型随机变量的分布列如下表，则随机变量的期望为（）0123A . 1.4B . 0.15C . 1.5D . 0.146. （2分）(2018·榆社模拟) 若随机变量服从二项分布，则（）A .B .C .D .7. （2分）某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是（）A . 甲科总体的标准差最小B . 丙科总体的平均数最小C . 乙科总体的标准差及平均数都居中D . 甲、乙、丙的总体的平均数不相同8. （2分）对100只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表雄性雌性总计敏感502575不敏感101525总计6040100由附表：P（）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828则下列说法正确的是（）A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；9. （2分）的展开式中，二次项系数最大的项是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·南宁月考) 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分）在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为________ （结果用数字作答）．12. （1分）极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为________13. （1分）(2015·三门峡模拟) 设a= （2x+1）dx，则二项式（x﹣）6展开式中x2项的系数为________（用数字作答）．14. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知直线l的方程是x﹣y﹣1=0，则l在y轴上的截距是________，点P（﹣2，2）到直线l的距离是________15. （1分） (2016高二下·张家港期中) 甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能被破译的概率为________．16. （1分）对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为153.4 和200，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为________ 的那个．三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2017高二上·枣强期末) 衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男20100120女202040合计40120160下面临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？18. （15分）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．19. （10分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣5，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．20. （10分）(2018·安徽模拟) 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.附：（其中为样本容量）（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这次交易中再随机抽取次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共40分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。

高二数学第二学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。

广东省深圳市南山区高二数学下学期期末考试试题理新人教A版

数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损．之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1、若复数i·(1+ai)是纯虚数，则实数a的值是A.1B.－1C.0D.0或－12、22(3x+k)dx=10则k=A.1B.2C.3D.43、已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2). 若P(ξ>2)=0.023，则P(－2≤ξ≤2) =A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9774、满足条件|z－i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆5、下列三个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为a+b2；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b；③从总体中抽取的样本(x1，y1)，(x2，y2)，…(x n，y n)，则回归直线y=bx+a必过点(x y)，其中正确的个数有：A.0个B.1个C.2个D.3个6、将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为A.10B.20C.30D.407、已知f1(x)=sinx+cosx，f n+1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)= f′1(x)，f3(x)= f′2(x) ，…，f n+1(x)=f′n(x)，n∈N*，则f2012 (x)=A.sinx+cosxB. sinx－cosxC.－sinx＋cosxD.－sinx－cosx8、若a ，b ，c>0且a(a +b +c)+bc =4-2a+b+c 的最小值为11C.2+3 D.2第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．. 9、已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B ={x |2x R}≤∈，，则A∩B=___.11，……，的规律，它的第6项是______.12、已知点M 0的坐标是(1，直线l 的参数方程是0x =1+tcos60y =tsin60⎧⎪⎨⎪⎩，且直线l 与直+y =0-交于M ，则|MM 0|的长为______.13、左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为______.14、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1)=0，当x>0时有2xf (x)f(x)>0x'-成立，则不等式f(x)>0的解集是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元) 之间有如下的对应数据：(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)据此估计广告费用为9万元时，销售收入y 的值.注：①参考公式：线性回归方程系数公式ni ii=1n 22i i=1x ynxyˆˆˆb=a=y bx x nx---∑∑，； ②参考数据：52ii=1x=145∑，52ii=1y=13500∑，5i ii=1x y=1380∑.16、(本小题满分12分)已知n22)x 的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3. (1)求正自然数n 的值； (2)求展开式中的常数项.17、(本小题满分14分)已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.下面的临界值表供参考：(参考公式：22n(ad bc)K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)，其中n=a+b+c+d)18、(本小题满分14分) 数列{a n }的通项公式n 21a =(n +1)(n∈N*)，设f(n)=(1－a 1) (1－a 2) (1－a 3)…(1－a n).(1)求：f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值；(2)由上述结果推测出计算f(n)的公式，并用数学归纳法加以证明.19、(本小题满分14分)设a为实常数，函数f(x)=―x3+ax―4.(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为π4，求函数f(x)的极大、极小值；(2)若存在x0∈(0，+∞)，使f(x0)>0，求a的取值范围.20、(本小题满分14分)已知函数1+lnxf(x)=x，(x≥1).(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若kf(x)x+1恒成立，求实数k的取值范围；(3)求证：[(n+1)!]2>(n+1)e n-2，(n∈N*).高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：(10×5＇=50＇)二、填空题：(4×5＇=20＇)9、[0，2]； 10、0.4； 11注：填12亦可)；12、1； 13、415； 14、(－1，0)∪(1，+∞).三、解答题：(80＇)15、(本小题满分12分)解：(1)作出散点图如下图所示：……3分(2)1x=(2+4+5+6+8)=55⨯，……4分1y=(30+40+60+50+70)=505⨯，……5分已知52ii=1x=145∑，5i ii=1x y=1380∑. ……6分由公式ni ii=1n22ii=1x y nxyˆˆˆb=a=y bxx nx---∑∑，，可求得ˆb=6.5，……8分ˆa=17.5，……9分因此回归直线方程为ˆy=6.5x+17.5；……10分(3)x=9时，预报y的值为ˆy=9 6.5+17.5=76⨯(万元). ……12分16、（本小题满分12分）解：(1)由题意C n4 C n2 =14：3，……1分即n(n1)(n2)(n3)144321=n(n1)321---⨯⨯⨯-⨯，……3分化简得n2－5n－50=0，∴n=10或n=－5\ (舍去)，……5分∴正自然数n的值为10. ……6分(2)∵105rr10r r r r2r+1101022T=C()=C2xx--⨯⨯⨯，……8分由题意得105r=02-，得r=2，……10分∴常数项为第3项T3= T2+1=22·C102=180. ……12分17、（本小题满分14分）解：(1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为30. ……1分列联表补充如下：……4分(注：直接给出列联表亦得4分) (2)∵2250(2015105)K =8.333>30202525⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯ ……6分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. ……7分 (3)喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2. ……8分其概率分别为021015225C C 7P(ξ=0)==C 20，111015225C C 1P(ξ=1)==C 2， 201015225C C 3P(ξ=2)==C 20， ……11分故ξ的分布列为:……12分ξ的期望值为:7134E ξ=0+1+2=202205⨯⨯⨯. ……14分 18、(本小题满分14分) 解：(1)1213f(1)=1a =1=24--， ……1分 12384f(2)=(1a )(1a )==496--⨯， ……2分1234155f(3)=(1a )(1a )(1a )==6168---⨯， ……3分12345246f(4)=(1a )(1a )(1a )(1a )==82510----⨯ ……4分(2)推测n +2f(n)=2(n +1). ……6分下面用数学归纳法证明：①当n=1时，1+23f(1)==2(1+1)4，∴等式成立. ……7分②假设n=k+1时等式成立即k +2f(k)=2(k +1)， ……8分k+12k +21f(k +1)=f(k)(1a )=[1]2(k +1)(k +2)⨯-⨯-2k +2(k +1)(k +3)k 3(k 1)2=2(k +1)(k +2)2(k 2)2[(k 1)1]+++⨯==+++， ……12分即当n=k+1时，等式n +2f(n)=2(n +1)也成立， ……13分由①、②知对任意正整数n ，n +2f(n)=2(n +1)都成立. ……14分19、(本小题满分14分)解：(1) f′(x)=－3x 2+2ax ，据题意，πf (1)=tan=14'，∴－3+2a=1，即a=2. …… 2分 ∴24f (x)=3x +4x =3x(x )3'--- ……3分令f′(x)>0，得4x(x )03-<，即40x 3<<；∴f (x)的单调递增区间是[4[0]3，， ……4分令f′(x)<0，得4x(x )>03-，即x<0或4x>3，单调递减区间是(－∞，0]，4[+)3∞，， ……5分故函数f(x)的极小值为f(0)=－4， ……6分函数f(x)的极大值为476f ()327=-. ……7分(2)∵2af (x)=3x(x )3'--.①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，从而f (x)在(0，+∞) 上是减函数. 又f (0)=－4，则当x>0时，f (x)<－4.∴当a≤0时，不存在x 0>0，使f(x 0)>0. ……10分②若a>0，则当2a 0<x <3时，f′(x)>0，当2a x >3时，f′(x)<0. 从而f(x)在2a (0]3，上单调递增，在2a[+)3∞，上单调递减. ∴当x∈(0，+∞)时，333max2a 8a 4a 4a f(x)=f()=+4=4327927---，据题意，34a 4>027-，即a 3>27，∴a>3. 故a 的取值范围是(3，+∞). ……14分 20、(本小题满分14分) 解：(1)2lnxf (x)=x '-，∵x ≥1，∴lnx ≥0，故f(x)在[1，+∞)递减. ……3分k (x 1)(1ln x)(2)f (x)k x 1x++≥⇔≥+，记(x 1)(1ln x)g(x)=x ++， …… 5分∴22[(x 1)(1ln x)]x (x 1)(1ln x)x ln xg (x)=x x++'-++-'= ，再令h(x)=x －lnx ，则1h (x)=1x'-，∵x≥1，则h ′(x)≥0， ∴h(x)在[1，+∞)上递增， ∴[h(x)]min =g(1)=2，从而则g ′(x)>0，故g(x) 在[1，+∞)上也单调递增，∴[g(x)]min =g(1)=2，∴k ≤2. ……8分 (3)方法1 由(2)知：2f (x)x 1≥+恒成立，即x 122ln x 11x 1x 1x -≥=->-++. 令x=n(n+1)，则2ln n(n 1)1n(n 1)+>-+， ……10分∴2ln(12)112⨯>-⨯，2ln(23)123⨯>-⨯，2ln(34)134⨯>-⨯，……12分2ln n(n 1)1n(n 1)+>-+，叠加得，222111ln[123...n (n 1)n 2(...)1223n(n 1)⨯⨯⨯⨯+>-+++⨯⨯+11n 2(1)n 2n 2(n 1)n 2)=-->-+>-++，∴1×22×32×…×n 2(n+1)>e n-2，故[(n+1)!]2>(n+1)e n-2，(n∈N*). …… 14分方法2：用数学归纳法证明(略)，依步骤酌情给分.。

广东省深圳市南山区高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

广东省深圳市南山区高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数21i-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A【解析】试题分析：22(1)11i (1i)(1+i)i i +==+--，对应的点为（1,1）在第一象限. 【考点】复数的运算、复数和点的对应关系.2．若()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（） A ．-2B ．2C ．-1D ．1 【答案】D【解析】根据题意，用赋值法，在()352()xx a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=，解可得：1a =，故选：D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程20x ax b -+=至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A ．方程20x ax b -+=没有实根B ．方程20x ax b -+=至多有一个实根C ．方程20x ax b -+=恰好有两个实数根D ．方程20x ax b -+=至多有两个实根【答案】C【解析】由二次方程实根的分布，可设方程20x ax b -+=恰好有两个实根．【详解】证明“设a ，b 为实数，则方程20x ax b -+=至多有一个实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程20x ax b -+=恰好有两个实根，故选：C ．【点睛】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．4．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆy x a =+，其中ˆˆa y bx=-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa ，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】 ()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa y b x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得 6.56948(y =⨯+=万元)．故选：C ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5．已知函数1()f x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．【详解】函数()1f x x =的导数为()21'f x x=-，可得()y f x =在1x =处的切线的斜率为1k =-，即1tan α=-，α为倾斜角，可得34πα=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键，属于容易题．6．已知某随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且(01)0.3P ξ<<=，则(2)P ξ<（）A ．0.8B ．0.75C ．0.7D ．0.6 【答案】A【解析】直接利用正态分布曲线的对称性求解．【详解】 ()21,N ξσQ ～，且(01)0.3P ξ<<=， ()()20(1)(01)0.50.30.2P P P P ξξξξ∴≥=≤=<-<<=-=．()(2)1210.20.8P P ξξ∴<=-≥=-=．故选：A ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．已知1e x =是函数()(ln 1)f x x ax =+的极值点，则实数a 的值为（） A ．21e B ．1e C ．1 D ．e【答案】B【解析】根据函数()()1f x x lnax =+取极值点1x e=时导函数为0可求得a 的值．【详解】函数()()1f x x lnax =+的极值点，所以()()'112f x lnax lnax =++=+；因为1x e =是函数()()1f x x lnax =+的极值点，则11'20f lna e e ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；所以12lna e =-；解得1a e =；则实数a 的值为1e ；故选：B ．【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题.8．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（）A ．73B ．53 C ．13 D ．16 【答案】A 【解析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果．【详解】由随机变量X 的分布列得： 11123m ++=，解得16m =，()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+Q ，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A ．60B ．48C ．36D ．24【答案】D【解析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324A A A =，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．10．已知函数()f x 的图象如图，设()f x '是()f x 的导函数，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D 【解析】由题意，分析()'3f 、()()32f f -、()'2f 所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，由导数的几何意义：()'3f 表示函数在3x =处切线的斜率，()'2f 表示函数在2x =处切线的斜率，()()()()323232f f f f --=-，为点()()2,2f 和点()()3,2f 连线的斜率，结合图象可得：()()()()0'332'2f f f f <<-<，故选：D ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．11．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A ．112B ．12C ．13D ．16【答案】C【解析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===．故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R 都有()()2cos f x f x x +-=，()sin 0f x x '+<，若角α满足不等式()()0f f παα++≥，则α的取值范围是（）A ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．(,]π-∞ C ．,22ππ轾犏-犏臌 D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】构造新函数()()cos g x f x x =-，由()sin 0f x x '+<可得()g x 为单调减函数，由()()2cos f x f x x +-=可得()g x 为奇函数，从而解得α的取值范围.【详解】解：令()()cos g x f x x =-因为()sin 0f x x '+<，所以()g x 为R 上的单调减函数，又因为()()2cos f x f x x +-=，所以()cos ()cos cos g x x g x x 2x ++-+=，即()()0g x g x +-=，即()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，故()()0f f παα++≥，即为()cos()()cos g g 0παπααα+++++≥，化简得()()g g 0παα++≥，即()()g g παα+≥-，即()()g g παα+≥-，由单调性有παα+≤-，解得2πα≤，故选A.【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，解题的关键是由题意构造出新函数，研究其性质，从而解题.二、填空题13．定积分121x d x⎰的值等于________. 【答案】ln 2【解析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】22111|2dx lnxln x ==⎰，故答案为：ln2．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题． 14．已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】【解析】试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案．【考点】归纳推理． 15．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.【答案】(]0,1【解析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解．【详解】由二项式定理可得：26()a x x +展开式的常数项为422446()()15a C x a x =，又26()a x x +展开式的常数项的值不大于15，则41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，故答案为：(]0,1．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．16．若22ln 3x x x ax >-+-对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围为________.【答案】(),4-∞【解析】由题意可得32a lnx x x <++恒成立，设()32g x lnx x x=++，求得导数和单调性、极值和最值，即有a 小于最小值．【详解】223xlnx x ax >-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立，可得32a lnx x x<++恒成立，设()32g x lnx x x =++，0x > 则()()()221323'1x x g x x x x-+=+-=，0x >，当1x >时，()'0g x >，()g x 递增；01x <<时，()'0g x <，()g x 递减，可得1x =处()g x 取得极小值，且为最小值4，可得4a <．故答案为：(),4-∞．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.【答案】（1）2-（2）[]0,6【解析】(1)利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； (2)由题意画出图形，数形结合得答案【详解】(1()()()())12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； (2)由5z ≤，可知z 的轨迹为以原点为圆心，以5为半径的圆及其内部，如图，则z i -表示圆及内部的点到(0,1)的距离，由图象可知，z i -取值范围是[]0,6．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18．已知函数()ln k f x x x=+，k ∈R . （1）若2k =，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()3e f x x≥-恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2（2）0k ≥【解析】(1)利用导数求单调区间；(2)先分离参数，转化为()23k x lnx e ≥--在()0,x ∈+∞恒成立利用导数求最值即可求解．【详解】（1）()2f x lnx x =+，()22122,0x f x x x x x-=-=>'，所以当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减．综上，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2．（2）()()2233e f x k x lnx e x≥-⇔≥--．令()()23g x x lnx e =--，则()k g x ≥在()0,x ∈+∞恒成立．()'2g x lnx =-，当2x e >时，()'0g x <，()g x 单调递减；当20x e <<时，()'0g x >，()g x 单调递增．所以()g x 的最大值在2x e =时取得，()20g e=．所以0k ≥．【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈. （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.【答案】（1）11a =，23a =，35a =（2）猜想21n a n =-，证明见解析.【解析】(1)利用24(1)n n S a =+代入计算，可得结论；(2)猜想21n a n =-，然后利用归纳法进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．【详解】(1)1n a ≥Q ，且24(1)n n S a =+，∴当1n =时，21(1)1a -=，11a ∴=，当2n =时，()22241(1)a a +=+，23a ∴=，或21(a =-舍)，当3n =时，()23344(1)a a +=+，35a ∴=，或33(a =-舍)，11a ∴=，23a =，35a =；(2)由(1)猜想21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，11a =，显然成立，②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，则当1n k =+时，由24(1)k k S a =+，有()2211144(1)(1)k k k k k a S S a a +++=-=+-+， ()()22111124121210k k k k a a k a k a k ++++∴--+=--+-=，121k a k +∴=+，或121(k a k +=-+舍)，1n k ∴=+时结论成立，由①②知当*n N ∈，21n a n =-均成立．【点睛】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：()1验证1n =成立；()2假设n k =成立；()3利用已知条件证明1n k =+也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法，属中档题．20．2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组；[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]，得到如下图所小的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表.（1）在答题卡上补全2×2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（2）该论坛欲在上述“强烈关注”的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为占，求5的分布列与数学期望. ()20P K k ≥ 0.1500.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879参考公式与数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）22⨯列联表见解析，没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关（2）分布列见解析，数学期望45【解析】(1)根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表，根据列联表中的数据计算2K 的值，结合临界值表中的数据判断即可；(2)ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望()E ξ．【详解】(1)根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为()100.0200.0050.25⨯+=，所以强烈关注的人数为1000.2525⨯=，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，所以一般关注的男性有451530-=人，一般关注的女性有551045-=人，所以22⨯列联表如下：一般关注强烈关合计由22⨯列联表中数据可得：22100(30104515) 3.030 3.84175254555K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．(2)论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，则抽中女性网友：10521510⨯=+人，抽中男性网友：15531510⨯=+人，在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，()23253010C P C ξ===， ()112325315C C P C ξ===， ()22251210C P C ξ===， ξ∴的分布列为：数学期望()3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、22⨯列联表等知识、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．21．已知函数2()ln f x x ax x =-，()1e a g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）若函数()f x 恰有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）当(1,0)a ∈-，且(0,)x ∈+∞时，证明：()e ()x f x g x x x≤<.（常数e 2.718=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.【答案】（1）(),0-∞（2）证明见解析【解析】(1()())'21f x x a lnx =-+，等价于方程()210x a lnx -+=在()0,+∞恰有一个变号零点．即21lnx a x +=在()0,+∞恰有一个变号零点．令()1lnx g x x+=，利用函数()g x 图象即可求解．(2)要证明：()()f x g x x ≤只需证明a alnx x e ≥，即证明.x lnx e ≤要证明()x e g x x<，即证明21.x e a x e>-利用导数即可证明．【详解】(Ⅰ()2)f x x axlnx =-Q ，(0)x >，()()'21f x x a lnx ∴=-+，Q 函数()f x 恰有一个极值点，∴方程()210x a lnx -+=在()0,+∞恰有一个变号零点．21lnx a x+∴=在()0,+∞恰有一个变号零点．令()1lnx g x x +=，则()2'lnx g x x-=．可得()0,1x ∈时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减．函数()g x 草图如下，可得20a<， 0a ∴<．∴实数a 的取值范围为(),0-∞：(2)要证明：()()f x g x x ≤⇔证明1a x alnx x e ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭． ⇔证明a alnx x e ≥，即证明x lnx e≤．令().x h x lnx e =-则()11'e x h x x e ex -=-=， ()0,x e ∈时，()'0h x >，函数()h x 递增，(),x e ∈+∞时，()'0h x <，()h x 递减． ()()0h x h e ∴≤=，即原不等式成立．要证明()x e g x x <，即证明21x e a x e>-． ()1,0a ∈-Q ，111a e e∴-<+ 故只需证明211x e x e≥+即可．令()2xe G x x =，则()()32'x e x G x x-=． ()0,2x ∈时，()'0G x <，函数()G x 递减，()2,x ∈+∞时，()'0G x >，函数()G x 递增．2()(2)4e G x G ∴≥=2224e e x ∴≥，又2114e e>+，故原不等式成立．综上，()()x f x e g x x x≤<，【点睛】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题．22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）若点()00,P x y 在曲线1C 上，求00x y -+的取值范围；（2）设直线l 与曲线2C 交于M 、N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||QM QN -的值.【答案】（1）⎡-⎣（2【解析】(1)根据条件可得000x y x -+=-0,,22x sin ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，则04x πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭然后求出范围即可；（2）根据参数的几何意义，利用一元二次方程根与系数关系式求出结果．【详解】(10)(P x Q ，0)y 在曲线1C 上，0y ∴=000x y x ∴-+=- 设0,,22x sin ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，04x sin cos πθθθ⎛⎫∴-+=-+=- ⎪⎝⎭， ,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ， 3,444πππθ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，4πθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，4πθ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭ 00x y ∴-+的取值范围⎡-⎣； (2)Q 4πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴4sin cos )ραα=-（，∴ 2244x y y x +=-故曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=直线l的标准参数方程为22(12x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，代入2C得：270t -=设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，12t t +=1270t t =-<故1t ，2t 异号，12QM QN t t ∴-=+=．【点睛】本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属基础题．23．已知函数()3|||3|f x x x =+-（1）求()f x 的最小值（2）若不等式()5f x <的解集为M ，且,a b M ∈，证明：1ab a b >+-.【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】()1根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，分段求出函数的最小值，综合3种情况即可得答案；()2根据题意，分3种情况讨论，求出不等式()5f x <的解集，又由a ，b M ∈，可得10a -<，10b -<，分析可得()()110a b -->，变形即可得结论．【详解】（1）()3|||3|f x x x =+-=43,323,0343,0x x x x x x ->⎧⎪+≤≤⎨⎪-+<⎩，()f x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()()03min f x f ∴==．(2)若()5f x <，则4353x x -<⎧⎨>⎩，或23503x x +<⎧⎨≤≤⎩，或4350x x -+<⎧⎨<⎩， 112x ∴-<<， 1,12M ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， a Q ，b M ∈，10.10a b ∴-<-<，()()110a b ∴-->，即1ab a b >+-．【点睛】本题考查分段函数的应用和绝对值不等式的解法，考查了转化思想，属中档题．。

2021年高二数学下学期期末试卷理(含解析)新人教A版

2021年高二数学下学期期末试卷理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为服从正态分布，所以正态分布曲线关于；又因为在内取值的概率为，所以在内取值的概率为，所以在内取值的概率为. 考点:正态分布曲线的特点及意义.2．曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积为 A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】试题分析：由分析题意可知：曲线与轴在区间上所围成的面积与曲线与轴在区间上所围成的面积相同，所以曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积为()()40cos cos 2|cos 2sin 200=+-=-==⎰πππx xdx s .考点：定积分的应用.3．在各项都为正数的等比数列｛中，首项，前三项和为，则等于 A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】试题分析：因为，所以()3,271211221-==⇒=++⇒=++q q q q q q a （舍）；所以.考点:等比数列的定义及性质.4．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．自然数都是奇数B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．考点：命题的否定.5．已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．考点：对立性重复试验.6．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：.当气温为时，预测用电量约为A. B． C. D.【答案】A【解析】试题分析：由表中数据可知：样本中心点为，因为线性回归方程为所以，即回归方程为所以由此预测当气温为时，用电量的度数约为20．考点：回归直线及样本中心点.7．从这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有和时,必须排在前面(不一定相邻),这样的三位数有A.个B.个C.个D.个【答案】A【解析】试题分析：从这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数共有个，3在2前的数字有,所以满足必须排在前面(不一定相邻),的三位数有 108个.考点：排列组合.8．在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中，下列说法正确的是A.若的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D.以上三种说法都不正确.【答案】C【解析】试题分析：若的观测值为6.635,我们只能说明有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但关系的多少却不得而知或者可以说明有1% 的可能性使得推判出现错误；所以选C.考点：对立性检验的应用.9．有个座位连成一排，安排个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】试题分析：先安排这3个人就座排列方法有种，然后将两个空位捆绑这3人排好后形成的空隙为4个，所以这两个空位有4种选择，剩下的一个空位有3中选择；所以不同的坐法共有.考点：排列组合.10．一个袋子里装有编号为的个相同大小的小球，其中到号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：据题意由于是有放回地抽取，故共有种取法，其中两次取到红球的情况有种可能，又两次取到红球没有一次是偶数的种数为所以两次摸出的球都是红球且至少有一次号码是偶数的情况共有种可能，故其概率为.考点：等可能性事件的概率.11．若函数有极值点，则实数的范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：若函数有极值点，则有根，所以或.考点：导数的应用.12．下列给出的命题中：①如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组使.②已知.则与向量和都垂直的单位向量只有.③已知向量可以构成空间向量的一个基底，则向量可以与向量和向量构成不共面的三个向量.④已知正四面体,分别是棱的中点，则与所成的角为.是真命题的序号为A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①④【答案】D【解析】试题分析：①如果三个向量不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组使．②已知，则与向量与都垂直的单位向量有，因此不正确．③已知向量可以构成空间向量的一个基底，向量向量、、都可以用向量来表示所以可以构成共面的三个向量故③错误．④已知正四面体,分别是棱的中点，如图所示，不妨设．取的中点为，连接．可得，，∴．则与所成的角为．综上可得：真命题的序号为①④故选：D．考点：随机变量、正态分布.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13．函数在上的最小值为_____________________. 【答案】-6 【解析】试题分析：()1444)(,52)(23'24-=-=∴--=x x x x x f x x x f ；令得：列表如下：所以由上表可知：函数的最小值为-6．考点：函数的最值及导数的应用.14．等差数列的前项和为，已知，则_____时此数列的前项和取得最小值．【答案】7 【解析】试题分析：由；，所以由以上两式可得：，又因为该数列的首项为负公差为正，所以前7项的和最小.考点：等差数列的定义及性质.15．已知长方体中，为侧面的中心，为的中点，则．【答案】【解析】试题分析：以为原点，建立空间直角坐标系如图：∵为侧面的中心，为的中点， ∴，，，则,，则.考点：空间向量的数量积 . 16．在数列中，且,则．-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 0 + 0 - 0 + 8-6增函数-5减函数-6增函数3【答案】675 【解析】试题分析：在数列{an}中，∵且，∴当n 为奇数时，解得，当n 为偶数时，，解得，故，故()675650255064225150=+=+++++⨯= S ．考点：数列的性质.三、解答题（题型注释）17．已知的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数之比是. （Ⅰ）求展开式中含项的系数；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）写出二项式的展开式的特征项，当x 的指数是时，把代入整理出的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项然后设出第项的系数最大，表示出一个关于的不等式组即，解不等式组即可．解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时注意整理．试题解析：（Ⅰ）解由题意知，整理得，解得 ∴ 通项公式为令，解得．∴展开式中含项的系数为．（Ⅱ）设第项的系数最大，则有，．∴展开式中系数最大的项为．考点：二项式项的系数问题. 18．为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)；（2）分布列略，. 【解析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件，则所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为．（Ⅱ）随机变量的可能取值为， ,，随机变量的分布列为：因为 34151415235121541310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ，所以随机变量的数学期望为．考点：利用古典概型求随机事件的概率以及随机变量的分布列和期望. 19．观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【答案】（1）；（2）2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n .【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写. 试题解析：（Ⅰ）第个等式（Ⅱ）猜测第个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n 证明：（1）当时显然成立；（2）假设时也成立，即有2)12()23()2()1(-=-+++++k k k k k 那么当时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-++++=k k k k k k2222]1)1(2[)12(8144)13()3()12()12(133)12()23()2()1(-+=+=++-=+++-+-=+++-+-++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k而右边这就是说时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何都成立．考点：归纳推理以及数学归纳法. 20．在数列中，为常数，，构成公比不等于的等比数列.记（．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2；（2）见解析【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；解决等比数列这类问题尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（4）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减. 试题解析：（Ⅰ）∵为常数，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴． ∴.又成等比数列，∴，解得或．当时，不合题意，舍去．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，． ∴)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-=+++=)121121()5131()311(2121n n b b b R n n ．假设存在正整数，使得，即随的增大而增大，，而所以不存在正整数，使得成立．考点：等比数列的定义及性质的应用.21．如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，，点是的中点，点在且.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求锐二面角平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直，只需要证明直线的方向向量垂直与平面的法向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．则依题意,可得以下各点的坐标分别为1(0,0,0),(4,20)(4,2,2),(32,2),A C C E ，，，．∴112(42,2)(,0),(1,0,2),33AC EF EC ==-=-，，， ∴ ∴，．又 ∴ 平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，而∴ ，令得．又∵是平面的法向量，∴ 111244693cos ,138||||11416449n AC n AC n AC --⋅<>===-⋅++⋅++． ABCC 1ED 1A 1DF B 1 xy所以锐二面角平面角的余弦值为．考点：利用空间向量证明线面垂直和求夹角 .22．已知函数，其中是常数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在定义域内是单调递增函数，求的取值范围；（Ⅲ）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.(2)对于转化为恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）（3)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得然后由相应条件的到参量的范围.试题解析：(Ⅰ)由可得．当时,所以曲线在点处的切线方程为即（Ⅱ）由(Ⅰ)知，若是单调递增函数，则恒成立，即恒成立，∴，，所以的取值范围为．（Ⅲ）令，则关于的方程在上有两个不相等的实数根.令，解得或．当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.所以方程在上不可能有两个不相等的实数根．当，即时，随的变化情况如下表由上表可知函数在上的最小值为．因为函数是上的减函数，是上的增函数，且当时，所以要使方程即在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是.考点：导数以及函数性质的应用.Y36761 8F99 辙33997 84CD 蓍28724 7034 瀴x725598 63FE 揾O`38100 94D4 铔25152 6240 所)23728 5CB0 岰35252 89B4 覴。

南山区期末考高二数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + x2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(-x)的图像是（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. x^2 < 4C. x > 2 或 x < -2D. x^2 > 44. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10为（）A. 95B. 100C. 105D. 1105. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 16. 下列方程中，无实数解的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 + 4x + 4 = 07. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -28. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项an为（）A. 19B. 20C. 21D. 229. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则函数f(x)的定义域为（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -110. 已知直线l的方程为3x - 4y + 12 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (4, 0)B. (-4, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为______。

2021年高二数学下学期期末质量检测试题理新人教A版

2021年高二数学下学期期末质量检测试题理新人教A版注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 复数等于A. B. C. D.2. 要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.应采用的抽样方法是A.①用随机抽样法②用系统抽样法B.①用分层抽样法②用随机抽样法C.①用系统抽样法②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法3. 若、、三个单位向量两两之间夹角为60°，则A. 3B.C. 6D.4. 已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为A. B. C. D.5. 如图，程序框图所进行的求和运算是A. …B. …C. …D. …6. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10们都中靶的概率是A. B. C. D.7. 命题“对任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.对任意的8. 若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”.甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件9.若132()log ,(),,f x x R f S f T f a b ====+，a ，b 为正实数，则的大小关系为A. B. C. D.10. 已知是正四面体的面上一点，到面的距离与到点的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 ▲ ． 12.数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ▲ ．（以数字作答）13.有一系列椭圆…．所有这些椭圆都以为准线，离心率…．则这些椭圆长轴的和为▲ ．14.若第一象限内的动点满足，则以P 为圆心，R 为半径且面积最小的圆的方程为__ ▲___．15. 对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：（1）函数的对称中心为 ▲ ；（2）计算… ▲ ．第10题图 O P B A S三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（本题满分12分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.17．（本题满分12分）已知.（1）解不等式；（2）若关于x 的不等式对任意的恒成立，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，四边形是梯形,，，点是的中点，.（1）求证：∥平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本题满分12分）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A ，B ，C ，D 四棵风景树，受本地地理环境的影响，A ，B 两棵树成活的概率均为，C ，D 两棵树成活的概率为a (0<a <1),用表示最终成活的树的数量.（1）若A ，B 两棵树有且只有一棵成活的概率与C ，D 两棵树都成活的概率相等，求a的值；（2）求的分布列（用a 表示）；（3）若A ，B ，C ，D 四棵树中恰有两棵树成活的概率最大，求a 的范围.20.（本题满分13分）已知分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足.设A 、B 是上半椭圆上满足的两点，其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率的取值范围.F E M D C B A 第18题图21.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；（3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立.荆门市xx学年度下学期期末质量检测高二数学（理）参考答案及评分说明一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）ABDBC ACBAD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 12.288 13. 14. 15. （2分）xx（3分）三、解答题16. 展开式的通项为,…由已知：成等差数列，……………………………………………3分∴……………………………………………6分（1）……………………………………………………………………………9分（2）令，各项系数和为………………………………………………… 12分17.（1）当时由解得当时，不成立…………………………………3分当时，解得综上有的解集是…………………………………………………6分（2）因为，所以的最小值为3 ………………9分要使得关于x的不等式对任意的恒成立，只需解得,故a的取值范围是……………………………………12分18. （1）证明：连结，交于点，∴点是的中点.∵点是的中点，∴是△的中位线. ∴……………3分∵平面，平面，∴平面……………………5分（2）四边形是梯形，，又四边形是矩形，，又，又，，在△中，，由可求得… 7分以为原点，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，，.设平面的法向量，∴，. ∴令，则，. ∴. ………………………………………………9分又是平面的法向量，∴ 如图所示，二面角为锐角.∴二面角的余弦值是 …………………………………………………………12分19．（1）由题意有： ……………………………………………3分（2）的可能取值有0，1，2，3，4.1020212222111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==--+--=- 22211022222222211111(2)()(1)(1)(1)(1)(122)22224P C a C C a a C C a a a ξ==-+--+-=+- 2211222222111(3)()(1)(1)2222a P C C a a C C a ξ==-+-= ………………………………………………………………………6分所以的分布列为0 1 2 3 4P……………………………………………………………………………………………8分(3)由0<a <1,所以，………………………………………………10分所以有得a 的取值范围是………………… 12分20.（1）由于12212222||2,1||1, c F F a NF ca b c ⎧==⎪⎪∴-==⎨⎪⎪=+⎩……………………………3分解得从而所求椭圆的方程是 ………………………………………5分（2）三点共线，而点的坐标为，设直线AB 的方程为由消去得，即根据条件可知解得 ………………………………7分设，则根据韦达定理得又由从而消去 …………………………9分令2222111)21()(],31,51[,)1()(λλλλλλϕλλλλϕ-=-='++='∈+=则由于所以. 上是减函数.从而…………………………………………………11分，解得，而，因此直线AB 的斜率的取值范围是 ……………………………………………13分21. (1) ，时, 取得极值,故，解得 ……………………………………………………………2分经检验符合题意. ……………………………………………………………3分（2）由知由,得令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. 当时, ,于是在上单调递增;当时, ,于是在上单调递减. ……………………………………6分依题意有解得 ………………9分(3) 的定义域为,由(1)知,令得,或 (舍去), 当时, ,单调递增;当时, ,单调递减. 为在上的最大值.,故 (当且仅当时,等号成立) …………………11分对任意正整数,取得, ,故…… ………………………14分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，…成立，则时，有….作差比较：222222111ln(2)ln(1)ln ln(1)((1)1(1)11(1)k k k k k k k k k k k ++++-+-=-=+-+++++++ 构建函数，则，在单调递减，.取，即22222ln(2)ln(1)ln 0(1)1(1)k k k k k k k k ++++-+-=-<+++，亦即，故时，有 (222)122ln(1)ln(2)(1)(1)k k k k k k k k +++++>++>+++，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式…都成立21184 52C0 勀T30476 770C 県5:36811 8FCB 迋 38959 982F 頯_21268 5314 匔27966 6D3E 派31091 7973 祳22970 59BA 妺<39937 9C01 鰁。

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二(下)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•每小题有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上. 1. （ 5分）复平面内，复数 z =— 对应的点在（）1 —iA •第一象限B •第二象限C .第三象限D •第四象限2. （ 5分）若（2 -x 3）（x a ）5的展开式的各项系数和为 32,则实数a 的值为（）A . -2B . 2C . -1D . 13.（5分）用反证法证明命题 “设a , b 为实数，贝U 方程x 2 -ax ^0至多有一个实根” 时,则下列假设中正确的是（）A .方程x 2 -ax • b =0没有实根 2B .方程x -ax • b =0至多有一个实根 9C .方程x -ax ^0恰好有两个实数根 9D .方程x -ax ^0至多有两个实根4. （ 5分）己知某产品的销售额 y 与广告费用x 之间的关系如表:若求得其线性回归方程为 =6.5x •召，其中£=y -bx ，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A . 42万元B . 45万元C . 48万元D . 51万元1第1页（共18页）5. （ 5分）已知函数1f （x ），则曲线y=f （x ）在x =1处的切线的倾斜角为（xJi4C .6. （ 5分）已知某随机变量 •服从正态分布 N （1,；J ，且 P （0 ：：：：1） = 0.3，则P （：：)A . 0.8B . 0.75C . 0.7D . 0.67. ( 5分)已知x 是函数f(x)=x(l nax 1)的极值点，则实数a的值为()e1 1A .飞B . C. 1 D. ee e& ( 5分)已知随机变量x的分布列表如表，且随机变量y=2x，则y的期望是() x-101p11m23A . -B. -C. --D. 36 3 39. ( 5分)某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为()A . 60B . 48C . 36D . 2410 . ( 5分)已知函数f(x)的图象如图，设f (x)是f(x)的导函数，贝U ( )A. f (2) ::: f (3) ::: f (3) —f (2) B . f (3) ：：: f (2) ：：: f (3) —f(2)C . f (3) -f (2) ：：: f (2) ：：: f (3)D . f (3) ：：: f (3) — f (2) ::: f(2)11 . (5分)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()1 A .1212 . (5 分)已知函数f (x)对—x • R有f (x) • f (-x) =2cosx，且f (x) • sin x ：：：0，若角〉满足不等式f (二-：)，则〉的取值范围是()JI Tt JIA.(」：，] B .(-:：，二] C .[,-]2 2 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分n D. [0 ,-]113 . ( 5分)定积分第2页(共18页)14. (5 分)已知cos - , cos cos2- , coS cos— cos3-，…，根据上述等式3 2 5 54 77 78的规律，可猜想出一般性的结论是______ .15. (5分)已知a • [0 , 3]，若(x2 a)6展开式的常数项的值不大于15,则a取值范围为_x _ 16. _____________________________________________________________________ (5分)若2x1 nx -x ax -3对一切x・(0,；)恒成立，则a的取值范围为__________________________ .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (12分)已知i为虚数单位，m为实数，复数z =(m，i)(1—2i).(I) m为何值时，z是纯虚数；(n)若|z|, 5，求|z_1|的取值范围.k18. (12 分)已知函数f(x) =1 nx , k R .x(I)若k =2，求函数f(x)的单调区间.2e(n)若不等式f(x)-3-—恒成立，求实数k的取值范围.x2 *19. (12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，满足a「1，且4^=(% 1) , n・N .(I)求a1 , a2, a3 的值；(n)猜想数列｛a n｝的通项公式，并用数学归纳法予以证明.20. (12分)2019年6月13 日,三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当大有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0 , 10) , [10 , 20) , [20 , 30) , [30 , 40) , [40 , 50) , [50 , 60]，得到如图所示的频率分布直方图：并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表.(I)在答题卡上补全2 2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中第3页(共18页)。

高二下数学期末综合试题(理)人教A版选修2-2_2-3_4-4

高二数学期末试题∑∑=-=--∧---=ni i ni i ix x y y x xb 121)())((=1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑， ˆay b x ∧=-. 随机量变))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= （其中d c b a n +++=）临界值表一、选择题：本大题共12小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i2.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+1 3．已知ξ的分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=（）Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．227724. 在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）2 (B) （5. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞6．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为 A．154- B ．154C ．38-D ．387.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D）348．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.29.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576（10）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元（B ）65.5万元（C ）67.7万元（D ）72.0万元 11.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 12.若曲线22=ρ上有n个点到曲线2)4cos(=+πθρ的距离等于2，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

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