人教A版2019年高中数学选修1-2教学案：第三章 3.2数代数形式的四则运算_含答案

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2019-2020人教A版数学选修1-2 第3章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课件PPT

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1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
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2．常见结论在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB 为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋ z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离．
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B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋ 1．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－ 3)＋(4－4)i＝6.] 4i，则 z1＋z2＝( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
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2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于
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2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，向量O→Z与复数 z1＋z2 对应，向量Z→2Z1与复数 z1－z2 对应．
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思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
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2．复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对
应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解] 设复数 z1，z2，z3 在复平面内所对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，如图．

人教版高中数学选修1-2第三章复数代数形式的四则运算同步教案

A.5-4i
B.5+4i
C.3-4i
D.3+4i
4、设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( )
A.2+3i
B.2-3i
C.3+2i
D.3-2i
5、设 z=1-3i,则 z 的共轭复数为( )
A.-1+3i
B.-1-3i
C.1+3i
D.1-3i
4
z1 z2
)2
一定为负数。
3
【能力提升】
1、已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( )
A.-3+4i
B.-3-4i
C.3+4i
D.3-4i
2、复数 z=(3-2i)i 的共轭复数等于( )
A.-2-3i
B.-2+3i C.2-3i
D.2+3i
3、已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( )
c－di c－di
＝
ac＋bd ＋ bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
例题精讲
【题型一、复数的运算】【例 1】已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，求 z2.
1
【方法技巧】复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分
母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．
巩固训练
1、i 为虚数单位，则11＋－ii2011＝(
)．
A．－i
B．－1
C．i
D．1
2、设 z1 3 4i , z2 2 3i ，则 z1 z2 在复平面内对应的点位于（）

人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答

人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。

回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。

其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。

独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。

第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。

演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。

两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。

2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。

间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。

复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。

复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。

3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。

复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。

第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。

它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。

流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。

4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。

它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。

人教版高中选修1—2数学3.2复数代数形式的四则运算教案(5)

复数代数形式的四则运算导学一、建立复数运算的原则作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.二、复数的加法和减法1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则1212O Z O Z O Z z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．三、复数的乘法和除法1．规定复数的乘法按照如下法则进行：设12z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci bdi ac bd bc ad i ++=++=-++．说明：复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把2i 换成1-，再把实部、虚部分别合并．2．虚数单位i 的乘方：计算复数的乘积要用到复数的单位i 的乘方，n i 有如下性质：1i i =，21i =-，32i i i i ==-·，4321i i i i i i ==-=-=··．从而对于任何n *∈N ，都有4144()n n n i i i i i i +===··，同理可证421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．这就是说，如果n *∈N ，那么有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．说明：（1）上述公式中，说明n i 具有周期性，且最小正周期是4．（2）n 可推广到整数集．（3）4()k k ∈Z 是i 的周期．3．复数的除法：已知z a bi =+，如果存在一个z '，使1z z '=·，则z '叫做z 的倒数，记作1z ，有了倒数的概念我们可以规定除法的运算法则：将商a bic di++看作分数，分子分母同乘以分母的共轭复数c di -，把分母变为实数，化简可得运算结果，即()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++- 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++．4．共轭运算性质：1212z z z z ±=±，1212z z z z =··，11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，z z =．5．模运算性质：1212z z z z =··，11222(0)z z z z z =≠， 22221212122()z z z z z z ++-=+，121212z z z z z z -±+≤≤．其中两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即22zz z z ==·． 6．常用结论：①2(1)2i i ±=±；②11i i i+=-，11ii i -=-+；③设1322w i -=+，则21210(0)n n n w w w w w n ++++=++=∈N ，且31w =．。

人教A版高中数学选修1-2《三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的加减运算及其几何意义》教案_12

)3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗？问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题：实数加法有交换律、结合律，复数满足吗？并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流。

活动成果：满足，对任意的,,,321C z z z ∈有交换律：1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明：设bi a z +=1，di c z +=2，()()i d b c a z z +++=+21()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图：引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。

2.复数加法的几何意义提出问题：复数与复平面内的点有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证。

活动设计并注意与学生交流。

学情预测：学生可能会很快类比出结果，确不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决。

设，如图，画出向量 1OZ ，2OZ 后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量）OZ ，画出向量OZ 后，问与它对应的复数是什么，即求点Z 的坐标。

人教A版高中数学选修1-2《三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_11

§3.2复数代数形式的四则运算一、教学目标：掌握复数的加减法的运算及几何意义, 掌握复数的乘法和除法的运算法则及共轭复数的概念二、教学重点：掌握乘除法的运算法则三、教学难点：复数除法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加减法运算法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2、复数的加减法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)3、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)练习计算(3+2i)+(4+5i)-(6+7i)-(2+i)4、乘法运算法则：复数z1z2的积为：(a+bi)(c+di)= (ac－bd)+(bc+ad)i.可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.5、乘法运算律：(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z36、例题讲解：例2、计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i)练习计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

通常记复数z的共轭复数为z。

8、除法运算法则：2222()())()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，化简后写成代数形式(分母实数化)。

人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版

3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三复数的和与差还是一个复数吗？显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量（3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注：两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二复数的乘法是否也满足运算律呢？对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ，而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型自主突破 1.()212i1i +-等于（）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。

人教版高中数学选修(1-2)-3.2《复数代数形式的四则运算》教学设计

3.2 复数代数形式的四则运算（罗静）一、教学目标1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力.2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.3.学习重点复数代数形式四则运算法则.4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用.二.教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 预习教材P56---P60,完成P58和P60相应练习题任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义2.预习自测1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（）A.1＋iB.2＋iC.3D.－2－i答案：D解析：∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i . 2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限.3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（）A.－2B.4C.3D.－4答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4.（二）课堂设计1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++（2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-.●活动二从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.。

高二数案：第三章 3.2 复数代数形式的四则运算 3 (新人教A选修1-2)[ 高考]

3.2.1复数的加法和减法【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

【重点难点】加减法运算法则加减法的几何意义【学习目标】1、知识与技能：掌握复数加法、减法的运算法则，能够熟练地进行加减运算；理解复数（1）通过实例分析，加减法的几何意义，能用平行四边形和三角形法则解决一些简单的问题2、过程与方法：小组合作探究；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。

一，自主学习引例：已知m=3x+4y ，n=5x-6y ，求m+n ，m-n 。

1. 复数的加法运算：①.复数的加法法则：12z a bi a b R z c di c d R =+∈=+∈设（，）与（，），则二合作探究，展示，点评例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律相反数2. 复数的减法运算：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,从相反数角度转化减为加。

③：()()()()()()a bi c di a bi c di a c b d i +-+=++--=-+-，显然，两个复数的差仍为复数。

例2．计算（1）(14)(72)i i +-- （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[从几何意义出发，再看复数的加减运算：1.当复数的对应向量共线时，可直接运算。

2.当复数的对应向量不共线时，加法运算可类比与向量加法的平行四边形法则；减法运算可类比与向量减法的三角形法则。

3.将所得和向量或差向量一直起点坐标原点时，该向量终点坐标就对应复数所求的坐标。

人教A版高中数学选修1-2《三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的加减运算及其几何意义》教案_11

课题：§3.1.1数系的扩充与复数的概念【课题引入】我们回顾一下所学的数系的发展过程: N Z Q R →→→,我们以前的数学学习都是在R 范围内研究，最典型的问题就是在R 范围内研究一元二次方程的根的问题，如：21x =在R 范围内有两个实数根；那么21x =-的解的情况是怎样的呢？复数是16世纪人们在研究求解、一元三次方程的问题时引入的．大约经过了一个世纪，才逐步形成完整的理论．现在，它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具．复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础，在初等数学的范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系，为解决一些问题提供了方便．因此，复数也属于初等数学的基础知识．【学习目标】【学习目标】1．了解复数产生的背景，体会理解数系的扩充是与生活密切相关的；2. 能举例说明复数及其相关概念；【学习重点】复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

【二次备课】一、标高确定及例题增删：1. 删掉：2．增加：二、教学流程：【课前学习】一、自主探究：阅读教材P50-51（一）数系的扩充：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？2. 判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）21x = （2）22x = （3）210x +=【思考】人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：（1）若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？（2）引入虚数单位i 后，实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？（三）复数的代数形式的认识：在“(,)z a bi a R b R =+ ∈∈”中请说明其各构成的名称，并能举例说明。

（四）复数集的表示：【课堂学习过程】一、课前学习成果交流：二、新知探讨：（一）虚数单位i 的认识：（二）复数的代数形式：(,)z a bi a R b R =+ ∈∈【特别地】两复数相等的规定：(,,,)a bi c di a b c d R + = + ∈⇔（三）复数集及复数的分类：1. 复数集的表示：2. 复数的分类及图示：【易错点】三、问题探究：例1．下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

2019-2020学年人教A版数学选修1-2课件：第3章数系的扩充与复数的引入 3.2.1

2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝ |z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
图①中点D对应的复数为3＋7i，图②中点D对应的复数为－11＋3i. 故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
第三十页，编辑于星期六：二十三点二十五分。
复数的模的取值范围问题
典例 5
设x∈[0,2π)，复数z1＝cosx＋isin x对应的
点在第一象限中直线 y ＝ x 的左上方， z2 ＝ 1 － i(1，，则3|z)1 ＋ z2| 的取值范围是
是( C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．
第十一页，编辑于星期六：二十三点二十五分。
5 ．若复数 z1 ＝ 2 ＋ i ， z2 ＝ 3 ＋ ai(a∈R) ， z1 ＋ z2 所对应的点在实轴上，则 a ＝ ___－__1___.
第十五页，编(
2－
2)＋(－
3＋
23)i＋1＝1－
3 2 i.
(2)原式＝(－13＋12)＋(－12－13＋1)i＝16＋16i.
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
『规律方法』复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．

【优选整合】高中数学人教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）

【优选整合】⾼中数学⼈教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）第三章数系的扩充与复数的引⼊3.2复数代数形式的四则运算3⼀、教学⽬标：知识与技能：掌握复数的加减法运算及意义过程与⽅法：理解并掌握实数进⾏四则运算的规律，了解复数加减法运算的⼏何意义情感、态度与价值：让学⽣探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这⼀活动培养学⽣善于和他⼈合作的精神.⼆、教学重点、难点重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的⼏何意义。

三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采⽤“探究——发现”教学模式．教师的教法：利⽤多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与⽅法的引导．“抓三线”，即(⼀)知识技能线（⼆）过程与⽅法线（三）能⼒线.“抓两点”,即⼀抓学⽣情感和思维的兴奋点，⼆抓知识的切⼊点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（⼀）温故知新1. 与复数⼀⼀对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平⾯中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时⽤坐标和⼏何形式表⽰复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。

向量的加减运算满⾜何种法则？4. 类⽐向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（⼆）探究新知1.虚数单位i :(1)它的平⽅等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进⾏四则运算，进⾏四则运算时，原有加、乘运算律仍然成⽴2. i 与－1的关系: i 就是－1的⼀个平⽅根，即⽅程x 2=－1的⼀个根，⽅程x 2=－1的另⼀个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，⽤字母C 表⽰*5. 复数的代数形式: 复数通常⽤字母z 表⽰，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表⽰成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7. 复平⾯、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可⽤点Z (a ，b )表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，也叫⾼斯平⾯，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表⽰实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表⽰是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数复数集C 和复平⾯内所有的点所成的集合是⼀⼀对应关系，即复数z a bi =+←→⼀⼀对应复平⾯内的点(,)Z a b 这是因为，每⼀个复数有复平⾯内惟⼀的⼀个点和它对应；反过来，复平⾯内的每⼀个点，有惟⼀的⼀个复数和它对应.这就是复数的⼀种⼏何意义.也就是复数的另⼀种表⽰⽅法，即⼏何表⽰⽅法 8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)⼀．复数代数形式的加减运算b Z(a ，b)a o y x１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满⾜交换律: z1+z2=z2+z1.4. 复数的加法运算满⾜结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满⾜结合律（三）典例解析例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法⼀：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法⼆：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式⼦)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i⼆.复数代数形式的加减运算的⼏何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平⾯内的点(,)Z a b ←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 2. 复数z a bi =+←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 3.复数加法的⼏何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平⾯上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平⾏四边形OZ 1ZZ 2，则对⾓线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的⼏何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法⼏何意义，以OZ 为⼀条对⾓线，1OZ 为⼀条边画平⾏四边形，那么这个平⾏四边形的另⼀边OZ 2所表⽰的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平⾯内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平⾯内所对应的点在第⼏象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平⾯内对应的点在第⼆象限内.例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平⾯上的对应点是⼀个正⽅形的三个顶点，求这个正⽅形的第四个顶点对应的复数. 分析⼀：利⽤BC AD =，求点D 的对应复数. 解法⼀：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正⽅形的第四个顶点D 对例2图应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴-=-=-,32,11y x 解得?-==.1,2y x(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然⽽通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作⽤（四）当堂达标1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平⾯内所表⽰的点位于A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限2.在复平⾯上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平⾏四边形ABCD 的对⾓线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平⾯上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重⼼G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平⾏四边形的对⾓线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平⾯上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三⾓形是A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.锐⾓三⾓形D.钝⾓三⾓形5.⼀个实数与⼀个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.⽆法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量2 1Z Z。

2019-2020学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第三章 3.2数代数形式的四则运算 Word版含答案

第1课时复数代数形式的加减运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P56～P57的内容，回答下列问题．(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则z1＋z2为何值？提示：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)对于复数z1，z2，z3，关系式z1＋z2＝z2＋z1和(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)成立吗？提示：成立．(3)设＝(a，b)，＝(c，d)分别与复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i对应，如图所示．则＋，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对应关系？－与z1－z2之间又有什么关系？提示：＋＝(a＋c，b＋d)，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，故＋是复数z1＋z2所对应的平面向量．－是复数z1－z2所对应的平面向量．2．归纳总结，核心必记(1)复数的加、减法运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么，z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)复数加法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.[问题思考](1)在实数范围内a－b>0⇔a>b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2>0⇒z1>z2恒成立呢？提示：若z1，z2∈R，则z1－z2>0⇒z1>z2成立．否则z1－z2>0z1>z2.如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1>0，但不能说1＋i大于i.(2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？提示：表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．[课前反思](1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？；(2)复数的加、减法的几何意义是什么？.[思考] 若z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则z 1＋z 2，z 1－z 2为何值？名师指津：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 讲一讲1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R)． [尝试解答] (1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i) ＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．练一练 1．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . 解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i. (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i.讲一讲2．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数；(3)求B点对应的复数．[尝试解答](1)∵＝－，∴表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)∵＝－，∴表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)∵＝＋＝＋，∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.即B点对应的复数为1＋6i.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB―→对应的复数是z B－z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)．练一练2．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．解：∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵＝＋，∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.[思考]在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则(1)四边形OACB是什么四边形？提示：平行四边形．(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则该四边形OACB的形状是什么？提示：矩形．(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB的形状是什么？提示：菱形．(4)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB又是什么形状？提示：正方形．讲一讲3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．[尝试解答]由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．练一练3．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.解：法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝ 2.法二：作出z1、z2对应的向量OZ1―→、OZ2―→，使OZ―→1＋OZ―→2＝OZ―→.∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1―→、OZ2―→不共线(若OZ1―→、OZ2―→共线，则|z1＋z2|＝2或0，与|z1＋z2|＝2矛盾)．∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1＋z2|＝2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝ 2.———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的加法、减法运算，见讲1；(2)复数加法、减法运算的几何意义，见讲2；(3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见讲3.3．对复数的加法、减法运算应注意以下几点：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．课下能力提升(九)学业水平达标练]题组1 复数的加、减运算1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．i D ．－i解析：选A (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i.2．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 解析：选C ∵z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ， ∴z 1＋z 2＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. 又∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，故1＋a ＝0，即a ＝－1.3．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ， ∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8， ∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.题组2复数加、减运算的几何意义5．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B∵z＝z2－z1＝1＋5i－(3＋i)＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．解析：∵＝－(－＋)，∴对应的复数为－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.解析：由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.答案：28．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋y i(x，y∈R)．因为＝－，所以对应的复数为(x＋y i)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为＝－，所以对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为＝，所以它们对应的复数相等，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.题组3 复数加、减运算几何意义的应用 9．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限 D ．在第二象限解析：选B 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －1|＝|z ＋1|得(x －1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2，化简得：x ＝0.10．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ―→，OB ―→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．[能力提升综合练]1．已知z ＋5－6i ＝3＋4i ，则复数z 为( ) A ．－4＋20i B ．－2＋10i C ．－8＋20i D ．－2＋20i解析：选B z ＝3＋4i －(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i ＝－2＋10i. 2．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．1－3i B ．－2＋11i C ．－2＋i D ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.3．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2 D ．16解析：选C 由|z －4i|＝|z ＋2|，得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.4．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 答案：－16．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________．解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ， ∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ ＝2(1＋cos θ)≤2×2＝2. 答案：27．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ， ∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.8．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求平行四边形ABCD的面积．第2课时复数代数形式的乘除运算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P58～P60的内容，回答下列问题．(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？提示：是．(2)观察下列三组复数：①z1＝2＋i，z2＝2－i；②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；③z1＝4i，z2＝－4i.每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．2．归纳总结，核心必记(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i ＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有(3)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(4)复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．[问题思考](1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．(2)复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？提示：z1与z2的实部相同，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2.(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？提示：若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，则z＋z＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－z＝2b i.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？提示：|z1|＝|z2|.(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数．[课前反思](1)复数的乘法和除法运算法则各是什么？；(2)复数乘法的运算律有哪些？；(3)共轭复数的定义是什么？ .讲一讲 1．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. [尝试解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i. 法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．练一练 1．计算：(1)(－1＋3i)(3－4i)； (2)2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2. 解：(1)(－1＋3i)(3－4i) ＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (2)2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2 ＝2－i(3－4i )·2i －2i＝2－i8＋6i－2i ＝(2－i )(8－6i )(8＋6i )(8－6i )－2i＝10－20i 100－2i ＝110－15i －2i ＝110－115i.[思考] 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ，z ·z 各为何值？名师指津：z ＝a －b i ，z ·z ＝a 2＋b 2. 讲一讲2．(1)若z ＝1＋2i i ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D(3)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i[尝试解答] (1)z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )(－i )－i 2＝2－i ，则复数z ＝2＋i.(2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. [答案] (1)D (2)B (3)B共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z .(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．练一练2．已知复数z ＝1＋i ，复数z 的共轭复数z ＝1－i ，求实数a 、b 使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 解：∵z ＝1＋i ，z ＝1－i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.讲一讲3．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．[思路点拨] (1)将1＋i 代入方程，然后利用复数相等的充要条件求b ，c 的值； (2)将1－i 代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，若方程成立，则1－i 是方程的根，否则就不是． [尝试解答] (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．解决复数方程问题的方法与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．练一练3．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根及实数k 的值．解：设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复数的除法运算和解复数方程问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)复数的乘除运算，见讲1； (2)共轭复数的有关问题，见讲2； (3)复数范围内的方程根问题，见讲3.课下能力提升(十) [学业水平达标练]题组1 复数的乘除运算1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i解析：选B 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.2．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i 解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝20－10i10＝2－i.3．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i 解析：选A z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.4．(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)4＋4i 1－3i ＋1i ；(3)(2＋i )(1－i )21－2i.解：(1)原式＝(3＋2i －3i ＋2)＋(4＋8i －4) ＝(5－i)＋8i ＝5＋7i.(2)原式＝(4＋4i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＋ii·i＝4＋43i ＋4i －434＋i－1＝(1－3)＋(3＋1)i －i ＝(1－3)＋3i.(3)原式＝(2＋i )(1－2i －1)1－2i ＝(2＋i )·(－2i )1－2i ＝2－4i1－2i ＝2.题组2 共轭复数5．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，z ＝－1－i.6．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________，________. 解析：∵x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 答案：－1 17．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. 题组3 复数范围内的方程根问题8．设x ，y 是实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：49．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.[能力提升综合练]1．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．2．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解析：选A 法一：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i 1－3－23i ＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2×4＝－34＋14i ， ∴z ＝－34－14i. ∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 法二：∵z ＝3＋i (1－3i )2，∴|z |＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12.∴z ·z ＝|z |2＝14.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2 解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i.4．设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ， ∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．若21－i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________.解析：因为21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以1＋i ＝a ＋b i ，所以a ＝1，b ＝1，所以a ＋b＝2.答案：26．若z ＝－1－i2时，求z 2 016＋z 106＝________.解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.z 2 016＋z 106＝(－i)1 008＋(－i)53 ＝(－i)1 008＋(－i)52·(－i)＝1－i.答案：1－i7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.8．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z 2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7. ∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.。

人教A版高中数学选修1-2《三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_3

<<复数代数形式的乘除运算>>教学设计
复数代数形式的四则运算,即复数代数形式的加法,减法,乘法和除法,重点是加法和乘法.复数加法和乘法的法则是规定的,其合理性表现在与实数加法,乘法的法则是一致的,而且实数加法,乘法的有关运算律在这里仍然成立.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算的规定也与实数运算是一致的.所以对于高中生来说,法则易于理解和接受,只需采用类比的思想方法,再利用1
2-
i,就可以将复数的四
=
则运算归结为实数的四则运算了.
鉴于以上分析,本堂课的教学宜教师少讲,学生多练,练悟结合,从而达到熟能生巧的效果.。

2018-2019学年数学人教A版选修1-2同步学案：第三章 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．知识点一复数代数形式的加减法思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ ) 3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( × )类型一复数的加、减法运算例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．考点复数的加减运算法则题点复数加减法的综合应用解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i.(2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )． (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点复数的加减运算法则题点复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2，∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二复数加、减法的几何意义例2 已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i. (1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出z 1－z 2的运算结果所对应的向量．考点复数的加减运算法则题点复数加减法与向量的对应解 (1)z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作z 1－z 2的运算结果所对应的向量，如图中所示的OZ →.反思与感悟复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．跟踪训练2已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案 C解析z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C.类型三复数加、减法及其几何意义的综合运用例3已知复数z的模为2，求复数1＋3i＋z的模的最大值、最小值．考点复数加减法的几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的模的最值问题解由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上．设w＝1＋3i＋z，∴z＝w－1－3i，∴|z|＝|w－(1＋3i)|＝2，∴在复平面内复数w对应的点在以(1，3)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，故|1＋3i＋z|max＝4，|1＋3i＋z|min＝0.反思与感悟在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB→所对应的复数是z B－z A，BA→所对应的复数是z A－z B，不可把被减数与减数弄错．跟踪训练3在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()A．2－3i B．4＋8iC．4－8i D．1＋4i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案 C→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.解析AB设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 又AB →＝DC →，∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1 B ．－i C ．5＋2iD ．1－i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案 A解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i 考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案 C解析 OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于( ) A ．1 B.12 C ．2 D ．2 2考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 D解析由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.4．若z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R )，则|z 2－z 1|＝________.题点复数加减法的综合应用答案(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2解析 ∵z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ， ∴z 2－z 1＝(x 2－x 1)＋(y 2－y 1)i ， ∴|z 2－z 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案 8＋2i解析两式相加得2z 1＝8＋2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 A解析 z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， ∴x ＝y ＝1，则xy ＝1. 2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1题点复数加减法的综合应用答案 C解析 z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.3．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 D解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1， ∴z ＝34＋i.4．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案 D解析 z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案 A解析由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，故选A. 6．已知z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22 D.12考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 C解析由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是直线y ＝－x ， ∴|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，故所求最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离22. 7．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2 D ．8 2 考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 C解析 ∵|z －4i|＝|z ＋2|，且z ＝x ＋y i ， ∴|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，∴x ＝－2y ＋3，∴2x ＋4y ＝2－2y ＋3＋4y ＝8×⎝⎛⎭⎫14y ＋4y≥42，当且仅当8×⎝⎛⎭⎫14y ＝4y ，即y ＝34时，等号成立．二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案 16i解析原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i. 9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________. 考点复数相等题点复数相等的条件答案115＋3i 解析设这个复数为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝ 3. ∴z ＝x ＋y i ＝115＋3i.10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．若z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________. 考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案 5－9i －8－7i解析 z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y )＋(y －4x )i]－[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i ＝－8－7i.11．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C＝－b ＋a i ，a ，b ∈R ，则a －b ＝________. 考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案－4解析因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故a －b ＝－4.三、解答题12．(1)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求x ＋y i ；(2)已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，求实数a 的值．考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则解 (1)∵z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴x ＋y i ＝2＋8i. (2)∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 13．复数z 1＝3m －1－2m i ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R .若z 1＋z 2>0，求实数m 的值．考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则解 z 1＋z 2＝(3m －1－2m i)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m )＋(m 2－2m )i.∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －1－m >0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.四、探究与拓展 14．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案 3解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3. 15．设z 为复数，D 为满足条件||z |－1|＋|z |－1＝0的点Z 所构成图形的边界．(1)若复数ω＝12z ＋1－2i(其中z ∈D )，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；(2)若满足条件⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32i 的点所构成的图形D ′与D 有两个公共点A ，B ，OA ，OB 的倾斜角分别为α，β(O 为原点)，求cos(α＋β)的值．考点复数加减法几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得||z |－1|＝－(|z |－1)，∴|z |－1≤0，即|z |≤1，∴|z |＝1.又∵ω＝12z ＋1－2i ， ∴ω－1＋2i ＝12z ， ∴|ω－(1－2i)|＝12|z |＝12， ∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，12为半径的圆上运动．圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝12. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.①由⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32i ，得x ＝－3y ＋2.② 把②代入①整理得10y 2－12y ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝65，y 1·y 2＝310. 又x 2＋y 2＝1，设x 1＝cos α，x 2＝cos β，y 1＝sin α，y 2＝sin β，∴sin α·sin β＝y 1·y 2＝310， cos α·cos β＝x 1·x 2＝(－3y 1＋2)(－3y 2＋2)＝9y 1y 2－6(y 1＋y 2)＋4＝－12. ∴cos(α＋β)＝－45.。

2019人教版高中数学选修1-2学案第3章3.2-3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义含解析

第三章数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义A 级基础巩固一、选择题1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．12 B ．3C ．－1D ．－1或3解析：z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i ，依题意，2m 2＋m －1＝0，且3＋2m －m 2≠0，解得m ＝12.答案：A2．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52i C.52－52i D.52－32i解析：z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i. 答案：C3．在复平面内，复数z 1＝15i ，z 2＝45i －2，z ＝z 1＋z 2，则复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝z 1＋z 2＝15i ＋45i －2＝－2＋i ，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．答案：B4．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i ，1，4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD→|等于( ) A ．5 B.13 C.15D.17解析：如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD→＝OD →－OB →＝(3，3)－(1，0)＝(2，3)，所以|BD →|＝13. 答案：B5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案：B 二、填空题6．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．解析：由z ＝3－4i ，得|z |＝32＋（－4）2＝5，所以z －|z |＋(1－i)＝－1－5i 在复平面内对应点(－1，－5)在第三象限．答案：三7．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是________．解析：因为OA→，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，所以BA→对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i. 又在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →，故CD→对应的复数为4－2i.答案：4－2i8．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，f (z 1＋z 2)＝________．解析：z 1＋z 2＝3＋3i ，f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3 2. 答案：3＋32 三、解答题9．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求m 的值．解：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1或2. (2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.故当m ＝－12时，z 为纯虚数．10．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数为1，2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB→，AC →，BC →对应的复数； (2)判定△ABC 的形状．解：(1)OA→＝(1，0)，OB →＝(2，1)，OC →＝(－1，2)，所以AB→＝OB →－OA →＝(1，1)，对应的复数为1＋i ， AC→＝OC →－OA →＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i ，BC→＝OC →－OB →＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i. (2)因为|AB |＝1＋1＝2，|AC |＝（－2）2＋22＝8， |BC |＝（－3）2＋1＝10，所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．B 级能力提升1．满足|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上所对应的点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋（y －1）2＝32＋42＝5，则x 2＋(y －1)2＝25，因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．答案：C2．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为________．解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2 ＝3－2（sin θ－cos θ）＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4≤3＋22＝2＋1. 答案：2＋13．已知复平面内平行四边形ABCD ，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA→对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求： (1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解：(1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC→＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD→＝BC →，所以向量AD→对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA→·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210，sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD 的面积为7.。

人教A版高中数学选修1-2《三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的加减运算及其几何意义》教案_4

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义【教学目标】：知识与技能：掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法运算。

过程与方法：理解复数加减法的几何意义，进一步体会数形结合的数学思想方法情感、态度与价值观：通过探究学习，培养学生互相合作的学习习惯，培养学生对数学探索和渴求的思想。

【教学重点】：复数代数形式的加法、减法的运算法则．【教学难点】：复数加减法运算的几何意义。

【教具准备】：多媒体【教学方法】：探究法、讲练结合法【课时安排】：1课时【课型】：新授课【教学过程】：一、温故知新：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，z a bi a b Ra叫复数的实部，b叫复数的虚部3.复数的分类：4. 两个复数相等：若a，b，c，d∈R，则a+bi=c+di⇔a=c，b=d5.复数的几何意义（两种）：（1）复平面内的点(,)一一对应平面向量OZZ a b←−−−→（2）复数z a bi一一对应平面向量OZ=+←−−−→6.复数的模：| z |22=+a b二、探究新知（一）复数代数形式的加减运算1.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi, z2=c+di （a,b,c,d是实数）(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i【典型例题】例1.计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i【针对性练习】计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2)(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)(3)已知（3+ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。