【新学期课堂同步精炼】初三数学拔高—第2讲二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题带答案
专题探讨-二次函数与等腰三角形的综合考察
二次函数背景下的等腰三角形二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。
第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。
此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。
第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。
第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。
其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。
也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。
这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。
主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。
接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。
等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。
第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。
这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。
例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。
新课程课堂同步练习册(九年级数学下册人教版)答案
数学课堂同步练习册（人教版九年级下册）参考答案第二十六章 二次函数26.1 二次函数及其图象（一）一、 D C C 二、 1. ≠0，=0，≠0，=0，≠0 =0， 2. x x y 62+=3. )10(x x y -= ，二三、1. 23x y = 2.（1）1,0,1 （2）3,7，-12 （3）-2,2,0 3. 2161x y = §26.1 二次函数及其图象（二）一、 D B A 二、1. 下，（0,0），y 轴，高 2. 略 3. 答案不唯一，如22x y -= 三、1.a 的符号是正号，对称轴是y 轴，顶点为（0,0） 2. 略3. (1) 22x y -= (2) 否 (3)()6-；(),6-§26.1 二次函数及其图象（三）一、 BDD 二、1.下， 3 2. 略 三、1. 共同点：都是开口向下，对称轴为y 轴．不同点：顶点分别为（0，0）；（0，２）；（0，－２） .2. 41=a 3. 532+-=x y §26.1 二次函数及其图象（四）一、 ＤＣＢ 二、1. 左，１， 2. 略 3. 向下，3-=x ，（－３，０） 三、1. 3,2a c ==- 2. 13a =3. ()2134y x =-§26.1 二次函数及其图象（五）一、C D Ｂ 二、1. 1=x ，(1,1) 2. 左，1，下，2 3.略三、1.略2．（1）()212y x =+- （2）略 3. (1)3)2(63262--=-===x y k h a(2)直线2223x =>-小2．（1）()212y x =+- （2）略 §26.1 二次函数及其图象（六） 一、B B D D 二、1.23)27,23(=x 直线 2. 5；5;41<-3. < 三、1. ab ac a b x a y x y x y 44)2(32)31(36)4(2222-++=---=--= 略2. 解：（1）设这个抛物线的解析式为2y ax bx c =++．由已知，抛物线过(20)A -，，(10)B ，，(28)C ，三点，得4200428a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，．解这个方程组，得 224a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴所求抛物线的解析式为2224y x x =+-．（2）222192242(2)222y x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭．∴该抛物线的顶点坐标为1922⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． §26.2 用函数观点看一元二次方程一、 C D D 二、1.（-1，0）；（2，0） （0，-2） 2. 一 3. 312-或； 231<<-x ； 312x x <->或 三、1.（1）1x =-或3x = （2）x ＜-1或x ＞3（3）1-＜x ＜3 2.（1）()21232y x =--+ （2）()20和()20 §26.3 实际问题与二次函数（一）一、 A C D 二、1. 2- 大 18 2. 7 3. 400cm 2三、1.(1)当矩形的长与宽分别为40m 和10m 时，矩形场地的面积是400m 2(2)不能围成面积是800m 2的矩形场地.（3）当矩形的长为25m 、宽为25m 时，矩形场地的面积最大，是625m 22.m ，矩形的一边长为2x m .其相邻边长为((2041022xx -+=-+∴该金属框围成的面积(121022S x x ⎡⎤=⋅-++⎣⎦(2320x x =-++ （0＜x＜10-当30x ==-.此时矩形的一边长为)260x m =-，相邻边长为((()10210310m -+⋅-=.()21003300.S m =-=-最大26.3 实际问题与二次函数（二）一、A B A 二、1. ２ 2. 250(1)x + 3.252或12.5 三、1. 40元 当5.7=x 元时，625=最大W 元 2. 解：（1）降低x 元后，所销售的件数是（500+100x ）,y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）（2）y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）配方得y=－100（x －3）2+6400 当x=3时，y 的最大值是6400元。
初三数学压轴题二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题
二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题1. 二次函数y= x2 2x 3图像如下，分别求：和最小，差最大（1）在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P 点坐标.（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P 点坐标.讨论直角三角（3）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出P坐标.（4）在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．讨论等腰三角（5）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出P坐标.yyyB O A xB O A xB O A xCCCDDD122.已知抛物线y＝ax ＋bx＋c 经过A( －1，0) 、B(3 ，0) 、C(0 ，3) 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l 上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l 上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知：如图一次函数y＝1x＋1 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数y＝2 1 x22＋bx＋c 的图象与一次函数y＝（1）求二次函数的解析式；1x＋1 的图象交于B、C两点，与x 轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）2（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x 轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．yC 2BxA O D E22、（2013?连云港）如图，抛物线y=-x 2+mx+n与x 轴分别交于点A（4，0），B（-2 ，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、(西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板A BC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）．如图所示， B 点在抛物线y=12 x2+2+12x-2 图象上，过点 B 作BD ⊥x 轴，垂足为D，且B 点横坐标为-3．（1）求证：△BDC ≌△COA；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．39、（潼南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90 °，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A，B 两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A、B 除外），过点 E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．2 bx c a6．如图，已知抛物线y ax ( 0)的顶点坐标为Q 2, 1 ，且与y 轴交于点 C 0,3 ，与x轴交于A、B 两点（点A在点 B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点 A 运动（点P 与A不重合），过点P作PD∥y 轴，交AC于点D．(1) 求该抛物线的函数关系式；(2) 当△ADP是直角三角形时，求点P 的坐标；(3) 在问题(2) 的结论下，若点E在x轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．4。
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。
首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。
当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。
如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。
其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。
等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。
如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。
综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。
通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。
中考复习专题1二次函数与等腰三角形问题(含解析)
专题1二次函数与等腰三角形问题在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC ，BA=BC ，CA=CB 列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A （﹣1，0）、B （0，3）、C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF ＝∠BDF ；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB ＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP＝BM ＝3时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∵•CD•CB＝•BD•CH，∴CH＝＝，∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，∴EF∥DT，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝m，BF＝m，∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，∵＞0，∴S有最小值，最小值为，此时m＝，∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF的面积的最大值即可．（3）存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），当BP＝BM＝3时，22+m2＝（3）2，∴m＝±，∴P1（5，），P2（5，﹣），当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣1，∴P3（5，﹣1），当BM＝PM时，（3）2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣3±，∴P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，﹣），P3（5，﹣1），P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣）．【例3】．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+x+4得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），用待定系数法可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，（2）过C作CG⊥PD于G，设P（m，﹣m2+m+4），可得PD＝﹣m2+m+4，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m，而CP＝CE，CG⊥PD，即得GE＝PG＝﹣m2+m，证明△CGE∽△BOC，可得＝，即可解得P（4，6）；（3）过C作CH⊥PD于H，设P（m，﹣m2+m+4），根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，可得直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，从而F（0，﹣m2﹣m+4），OF＝|﹣m2﹣m+4|，证明Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），可得∠HCE＝∠FDO，即得∠FDO＝∠CBO，tan∠FDO＝tan∠CBO，故＝，可解得m＝2﹣2或m＝4．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG ＝PD ﹣DG ＝﹣m 2+m +4﹣4＝﹣m 2+m ，∵CP ＝CE ，CG ⊥PD ，∴GE ＝PG ＝﹣m 2+m ，∵∠GCE ＝∠OBC ，∠CGE ＝90°＝∠BOC ，∴△CGE ∽△BOC ，∴＝，即＝，解得m ＝0（舍去）或m ＝4，∴P （4，6）；（3）存在点P ，使得CE ＝FD ，理由如下：过C 作CH ⊥PD 于H ，如图：设P （m ，﹣m 2+m +4），由A （﹣2，0），C （0，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x +4，根据PF ∥AC ，设直线PF 解析式为y ＝2x +b ，将P （m ，﹣m 2+m +4）代入得：﹣m 2+m +4＝2m +b ，∴b ＝﹣m 2﹣m +4，∴直线PF 解析式为y ＝2x ﹣m 2﹣m +4，令x ＝0得y ＝﹣m 2﹣m +4，∴F （0，﹣m 2﹣m +4），∴OF ＝|﹣m 2﹣m +4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；＝S△BCP？若存在，求出点M （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；（2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标；（3）作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（1，m），∵PB2＝PC2，∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，∴m＝1，∴P（1，1）；（3）假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，∴Q（0，2），＝S△BCP，∵C（0，3），S△BCM∴N（0，4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，x＝，∴M点横坐标为或．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；②解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°，∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°，∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴，设P（n，n2﹣2n﹣3），则CPMP＝﹣n2+3n，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3），当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n，＝﹣n2+3n，∵n＞0，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝3﹣，∴P（3﹣，2﹣4），综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8，令x＝0，y＝8，∴C（0，8），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），∴BD＝＝＝（8﹣m），又PD＝﹣m+8﹣（﹣m+8）＝﹣m，∵△PQD≌△BED，∴PD＝BD，∴（8﹣m）＝﹣m，解得，m1＝3，m2＝8（舍去）∴m的值为3；（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（1，n），由两点间距离公式可得：BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，分两种情况：当∠CBD＝90°时，当∠BCD＝90°时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，利用三角函数和面积法可求得G（，﹣），运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝x﹣6，联立方程组可得E′（，﹣），再根据轴对称可求得点E的坐标；（4）由题意可知△BMN为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接BM，RN．证出△BAM≌△BRN，可得AN垂直平分BR，则L点在直线AN上，可求出直线AN的解析式，②当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，∵x＝﹣＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1；（2）设D（1，n），∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，∴C（0，﹣6），∵B（3，0），∴BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，当∠CBD＝90°时，则BC2+BD2＝CD2，∴45+n2+4＝n2+12n+37，解得：n＝1，∴D（1，1）；当∠BCD＝90°时，则BC2+CD2＝BD2，∴45+n2+12n+37＝n2+4，解得：n＝﹣，∴D（1，﹣）；∴所有符合条件的点D的坐标为（1，1）或（1，﹣）；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，在Rt△BCO中，BC＝＝＝3，∵OG⊥BC，∴×BC×OG＝18，∴OG＝，∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝×＝，OH＝OG•cos∠GOH＝OG•cos∠BCO＝×＝，∴G（，﹣），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴E′（，﹣），∵点E与点E′关于BC对称，∴CE＝CE′，∵CE′＝＝，∴﹣6+＝﹣，∴E（0，﹣）；（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S（1，0），∵tan∠RAS＝＝＝，∴∠RAS＝60°，∵AR＝BR，∴△ABR是等边三角形，①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABM＝∠RBN，∴△ABM≌△RBN（SAS），∴AM＝RN，∵点M在抛物线对称轴上，∴AM＝BM，∴RN＝BM＝BN，∴AN垂直平分BR，∴LR＝LB＝LA，设L（1，m），则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，∴2m+m＝2，解得：m＝，∴L（1，），设直线AN的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝x+；②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABN＝∠RBM，∴△BRM≌△BAN（SAS），∴∠BAN＝∠BRM，∵AR＝BR，RS⊥AB，∴∠BRM＝∠ARB＝30°，∴BAN＝30°，设AN与y轴交于点Q，在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，∴Q（0，﹣），设直线AN的解析式为y＝k2+d2，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述，直线AN的解析式为y＝x+或y＝﹣x﹣．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得B点的坐标，将A、B两点代入直线y＝kx+n 即可得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB＝4，分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；（3）设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），可得PD＝y P﹣y D＝−x2+4x，即得S△P AB＝PD•OA＝﹣2（x﹣2）2+8，根据二次函数的最值即可求解．【解答】解：（1）∵过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．∴，解得，∴抛物线解析式为y＝−x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图，∵A（4，0）．B（0，4），∴AB＝＝4，①当AB＝MB时，点M与点A（4，0）关于y轴对称，故M（﹣4，0）符合题意；②当AB＝AM时，AM＝AB＝4，∴M′（4﹣4，0）、M″（，0）．综上所述，点M的坐标为（﹣4，0）或（4﹣4，0）或（4+4，0）；（3）存在，理由如下：设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），∴PD＝y P﹣y D＝（−x2+3x+4）﹣（−x+4）＝−x2+4x，＝PD•OA＝×4×[−x2+4x]＝﹣2（x﹣2）2+8，∴S△P AB∵﹣2＜0，∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3；（2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PB＝﹣m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，∴B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+3；（2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3+，∴P（﹣3+，）；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m+3＝3，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P（﹣2，1），综上所述，点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣2，1）；（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点D（﹣1，4），设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2，则﹣1+n＝4，解得：n＝5，∴y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）令y＝0，即可求A点坐标；（2）延长DE交x轴于点K，求出直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，则E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），即可求S1﹣S2＝﹣t2﹣t﹣（t+＝﹣t2﹣6t﹣）＝﹣（t+2）2+，当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，可求M（0，3），设N（﹣1，n），分两种情况①当AM＝AN时，9+9＝4+n2，得到N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+9＝1+（3﹣n）2，得到N（﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图，延长DE交x轴于点K，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，∴E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣3t，∵S1＝S△ADC＝DE•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣t，S 2＝S △AEO ＝EK •OA ＝（t +3）＝t +，∴S 1﹣S 2＝﹣t 2﹣t ﹣（t +＝﹣t 2﹣6t ﹣）＝﹣（t +2）2+，∴当t ＝﹣2时，S 1﹣S 2取得最大值，最大值为，此时点D 的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）∵C （0，﹣3），B （1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB 方向平移2个单位长度，∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y ＝（x +1﹣2）2﹣4+6＝（x ﹣1）2+2，当x ＝0时，y ＝3，∴M （0，3），∵原抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，设N （﹣1，n ），①当AM ＝AN 时，9+9＝4+n 2，∴n ＝±，∴N （﹣1，）或N （﹣1，﹣）；②当AM ＝MN 时，9+9＝1+（3﹣n ）2，∴n ＝3+或n ＝3﹣，∴N （﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）；综上所述：N 点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，且该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．【解答】解：（1）∵点在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，∴c ＝．∵该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，∴b ＜0，b 2﹣4××＝0．∴b ＝﹣．∴抛物线C 1的解析式为y ＝﹣x +．（2）∵y ＝﹣x +＝，又∵抛物线C 1沿射线BA 的方向平移个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的解析式为y ＝＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴E （0，2）．∴OE ＝2．令y ＝0，则﹣x +2＝0，解得：x ＝1或3，∴C （1，0），D （3，0）．∴OC ＝1，OD ＝3，∴CD ＝2．∵点M 在抛物线C 2上，∴设M （m ，﹣m +2），设直线ED 的解析式为y ＝kx +n ，∴，解得：，∴直线ED 的解析式为y ＝﹣x +2．∵MN ∥y 轴交线段DE 于点N ，∴N（m，﹣m+2），∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，∵S△EMD∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；（3）①点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝2∴F（2，0）．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC+CG＝6，∴G（6，0）．设直线EG的解析式为y＝ax+2，∴6a+2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，∴，解得：或，∴P（，）；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P（，），∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12+h2＝+，解得：h＝，∴H（2，）．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；＝BM•DN＝，建立方程求解即可得出答案；（2）根据S△MNB（3）由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，②当CD＝CP时，CD2＝CP2，③当PC＝PD时，PC2＝PD2，分别建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S △MNB ＝BM •DN ＝，即•|3﹣t |•2t ＝，当t ＜3时，•（3﹣t ）•2t ＝，化简得：4t 2﹣12t +15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t ＞3时，•（t ﹣3）•2t ＝，解得t 1＝，t 2＝（舍），∴DN ＝2t ＝3+2，∴点M 的坐标为（，0），点N 的坐标为（1，3+2）；（3）存在．如图2，∵点P 在x 轴上，∴设P （m ，0）．∵C （0，3），D （1，0），∴由勾股定理，得：CD 2＝OC 2+OD 2＝32+12＝10，PD 2＝（m ﹣1）2，CP 2＝OP 2+OC 2＝m 2+32＝m 2+9，分为三种情况讨论：①当CD ＝PD 时，CD 2＝PD 2，即10＝（m ﹣1）2，解得m 1＝1+，m 2＝1﹣，此时点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD ＝CP 时，CD 2＝CP 2，即10＝m 2+9，解得m 1＝﹣1，m 2＝1（不符合题意，舍去），此时点P 的坐标为（﹣1，0）；③当PC ＝PD 时，PC 2＝PD 2，即m 2+9＝（m ﹣1）2，解得m ＝﹣4，此时点P 的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x 轴上存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形，满足条件的点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据二次函数求出B点坐标，将B点坐标代入一次函数求出m的值，再根据一次函数求出C点的坐标，再将C点坐标代入二次函数即可求出b的值；（2）①过点P作PG∥x轴交BC于点G，设出P点坐标，证△PEG∽△AEC，根据线段比例关系求出比值的代数式，利用二次函数的性质求最值，然后利用两直线相交得出E点坐标即可；②过点E作EM⊥y轴于点M，设出P点坐标，求出直线AP的解析式，分别用代数式表示出BE、BF、EF，然后分情况求出P点坐标即可．【解答】解：（1）∵物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵直线BC的解析式为y＝﹣x+m，∴m＝3，即直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，∴C（4，0），把C点坐标代入二次函数解析式得﹣×42+b×4+3＝0，解得b＝；（2）①存在最大值，理由如下：过点P作PG∥x轴交BC于点G，由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，OC＝4，AC＝6，∵P是直线BC上方抛物线上的动点（不与点B，点C重合），设P（n，﹣n2+n+3），且0＜n＜4，∴G点的纵坐标为﹣n2+n+3，又∵G点在直线BC上，∴G（n2﹣n，﹣n2+n+3），∴PG＝n﹣（n2﹣n）＝﹣n2+2n，∵PG∥x轴，∴△PEG∽△AEC，∴＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣（n﹣2）2≤0，∴﹣（n﹣2）2+，即当n＝2时，，此时P（2，3），设直线AP的解析式为y＝kx+t，代入A点和P点的坐标得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x+，联立方程组，解得，∴E（1，），即存在最大值，且的最大值为，此时E点的坐标为（1，）；②过点E作EM⊥y轴于点M，则∠BME＝∠FME＝90°，∵P是直线BC上方抛物线上的一点（不与点B，点C重合），设P（p，﹣p2+p+3），且0＜p＜4，设直线AP的解析式为y＝sx+h，把A（﹣2，0），P（p，﹣p2+p+3）代入解析式得，，解得，∴直线AP的解析式为y＝，令x＝0时，y＝，∴F（0，），∴OF＝，∵B（0，3），∴OB＝3，∴BF＝3﹣＝，联立方程组，解得，∴E（，），∵EM⊥y轴，∴EM＝，OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝﹣＝，BM＝OB﹣OM＝3﹣＝，在Rt△MBE和Rt△FME中，根据勾股定理得，BE2＝BM2+EM2＝（）2+（）2，EF2＝MF2+EM2＝（）2+（）2，若△BEF为等腰三角形，则分以下三种情况：（Ⅰ）当BE＝BF时，则BE2＝BF2，即（）2+（）2＝（）2，解得p＝或p＝（不符合题意，舍去），此时P （，）；（Ⅱ）当BE ＝EF 时，则BE 2＝EF 2，即（）2+（）2＝（）2+（）2，解得p ＝2，此时P （2，3）；（Ⅲ）当BF ＝EF 时，则BF 2＝EF 2，即（）2＝（）2+（）2，解得p ＝，此时P （，）；综上，符合条件的P 点坐标为（，）或（2，3）或（，）．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，C 是抛物线与y 轴的交点，P 是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M ，使得△MAC 是以AM 为底的等腰三角形；求出点M 的坐标．（3）设（1D ，对称轴与直线BC 交于点E ，过抛物线上的动点P 作x 轴的垂线交线段BC 于点Q ，使得D 、E 、P 、Q 四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）设M（﹣1，m），由题意可知CM＝CA，则1+（m﹣3）2＝1+9，即可求解；（3）求出D（﹣1，4），E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设M（﹣1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1+（m﹣3）2＝1+9，解得m＝0或m＝6（舍），∴M（﹣1，0）；（3）存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（﹣1，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+3，∴E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P（﹣1，4）（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t+3＝2+t+3，解得t＝（舍）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3＝2﹣t2﹣2t+3，解得t＝﹣1（舍）或t＝﹣2，∴P（﹣2，3）；综上所述：P点坐标为（﹣2，3）．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；（2）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，即C（2，﹣），把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；（3）∵A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵抛物线过点D（4，3），∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为（m，m2﹣4m+3），M点坐标为（m，m﹣1），∵点P与N的纵坐标相同，∴m2﹣4m+3＝x N﹣1，∴x N＝m2﹣4m+4，∴PM＝y M﹣y P＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝x P﹣x N＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2（m﹣）2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即可求b的值；（2）A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），则BA＝4，所以△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）设E（﹣，t），分三种情况：①CD＝CE，则有3+9＝3+（t+1）2，求得E（﹣，2）；②CD＝DE，则有3+9＝（t+4）2，求得E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，则有3+（t+1）2＝（t+4）2，求得E（，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；（2）令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），∴BA＝4，∴△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）点E存在，理由如下：设E（﹣，t），由y＝x2+2x﹣1，可求C（0，﹣1），D（﹣，﹣4），△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3+9＝3+（t+1）2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E（﹣，2）或E（﹣，﹣4）（舍）；②CD＝DE，3+9＝（t+4）2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，3+（t+1）2＝（t+4）2，∴t＝﹣2，∴E（﹣，﹣2）；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为（﹣，2）或（﹣，2﹣4）或（﹣，﹣2﹣4）或（﹣，﹣2）．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；＝；（2）设该抛物线的顶点为点H S△BCH（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数中等腰三角形的存在问题
零点是函数图像与x轴相交的点，用于解方程 和确定函数的根。
二次函数的最值是函数图像的最高点（最大 值）或最低点（最小值），在寻求极值时非 常重要。Leabharlann II. 等腰三角形的性质定义
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形， 拥有一些特殊的性质和几何关系。
面积
等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高度 来计算，其中高度与等边的长度有关。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
二次函数中等腰三角形的 存在问题
本演示将探讨二次函数中等腰三角形的存在问题。我们将介绍二次函数和等 腰三角形的基本概念，并深入研究二次函数中等腰三角形的性质及其应用。
I. 介绍
二次函数
二次函数是一个具有二次方的多项式函数，可呈现多种形态和特征。
等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，具有一些特殊的几何性质。
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和 第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包 括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
初三数学 二次函数与等腰三角形的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与等腰三角形的点存在性问题，主要考查了学生能否将等腰三角形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造出满足题意要求图形的能力。
二、复习预习相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.性质定理：(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形的周长比等于相似比；(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
二次函数构建等腰三角形问题的解决方式
二次函数构建等腰三角形问题的解决方式二次函数构建等腰三角形问题的解决方式1. 引言等腰三角形是几何学中常见的一种三角形，它具有两边相等的特点。
在解决等腰三角形问题时，二次函数可以作为一种强有力的解决工具。
本文将探讨如何利用二次函数构建等腰三角形，并提供一种解决问题的方法。
2. 二次函数的基本知识回顾在开始讨论如何利用二次函数构建等腰三角形之前，我们首先回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数由一个变量x的平方项、一个一次项和一个常数项组成，一般可以表示为y = ax^2 + bx + c 的形式。
其中，a、b和c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 构建等腰三角形的思路构建等腰三角形的关键是确定三角形的顶点坐标。
我们可以通过二次函数的顶点形式来轻松找到这些坐标。
二次函数的顶点可以由公式 x = -b / (2a) 计算得到，其中a和b是二次函数的系数。
一旦我们确定了顶点坐标，就可以通过连结顶点和其他边上的两个点来构建等腰三角形。
4. 具体解决步骤下面是一种解决构建等腰三角形问题的具体步骤：4.1 确定等腰三角形的底边长度。
在问题中，通常会给出底边的长度，我们可以使用底边长度来确定顶点的横坐标。
4.2 确定等腰三角形的顶点坐标。
利用顶点的横坐标和二次函数的顶点公式，我们可以计算出顶点的纵坐标。
4.3 确定等腰三角形的斜边长度。
等腰三角形的斜边长度等于底边长度的两倍乘以sinθ，其中θ是等腰三角形顶角的一半。
利用斜边长度和顶点坐标，我们可以计算出其他两个顶点的坐标。
4.4 检验结果。
根据所构建的等腰三角形的顶点坐标，我们可以计算出各边的长度，并通过比较来确认所构建的三角形是否真的是等腰三角形。
5. 示例问题为了更好地理解如何利用二次函数构建等腰三角形，我们通过以下问题来进行示例：问题：已知等腰三角形的底边长度为6，顶角的一半为30°，求等腰三角形的顶点坐标。
解答：步骤1：确定底边长度已知底边长度为6。
综合与探究——二次函数与三角形
形 ——二次函数与三角
二次函数与等腰三角形
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4， 0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接 AE． （1）求二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请求出所 3 23 有P点的坐标，若不存在请说明理由．
求出△FOE和△FCE中6个顶点中能确定的点坐标,并判断点的相对位置.
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶 点为C． （1）填空：b= ，c= ； （2）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC 的面积分为1：2两部分时，求m的值．
首先判断当直线x=m经过点C否存在不同的位置情况, 当 = 时,
当
=
时,
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点， 其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点 的三角形与△ABD相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
首先判断点F位置，实际上点F是直线CD上的一个动点且点F的横坐标大于2，即点F位于x 轴的下方； 当F为直角顶点时，以AC为直径画圆，与直线CD位于x轴下方的部分没有交点，所以点F不 可能为直角顶点； 据图，点C不可能为直角顶点．
当点A为直角顶点时，构造关于直角三角形的基本相似形．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称 轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
专题探讨-二次函数与等腰三角形的综合考察
二次函数背景下的等腰三角形二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。
第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。
此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。
第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。
第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。
其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。
也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。
这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。
主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。
接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。
等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。
第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。
这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。
例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。
2024年中考数学复习讲义：二次函数与等腰三角形
二次函数与等腰三角形丢分题精析例1 已知，抛物线 y =−x²+4x −3与x 轴交于A ，B 两点，与 y 轴交于点C.(1)如图(a),M 为抛物线上一点,过M 作MN ∥x 轴交AC 于点 N.若△AMN 为等腰三角形,且MA=MN,求M 点坐标.(2)如图(b),平移直线 AC 交抛物线于点 P,交y 轴于点Q.若AP=CQ,求直线 PQ 的解析式.解:(1)如图(c),过C 作CE ∥x 轴交AM 于E,作CH ⊥AE 于H,∵∠EAC=∠ACE,∠ACE=∠OAC,∴AC 平分∠OAE,∴AH=AO=1,CH=CO=3,设CE=x,则EH=x-1,则 32+(x −1)2⋯x 2,解得x=5,∴E(5,-3);∵A(1,0),E(5,-3),可求得AE 直线解析式为 y =−34x +34.联立 化简为 4x²−19x +15=0,解得 {y =−34x +34,y =−x 2+4x −3, {x 1=1x 2=154;), 代入 x 2=154得 y =−3316,∴M (154,−3316). (2)如图(d),延长PA 交y 轴于H,依题意可知AH=CH,设AH=CH=x,则( (3−x )²+1−x²,解得 x =53, ∴H (0,−43),又∵A(1,0),可得AP 直线解析式为 y =43x−.43.联立 {y =43x ⋯43,y =−x 2+4x −3,化简得 3x²−8x +5=0, 解得 {x 1=1(x 2=53,), ∴P (53,89). 设 PQ 直线解析式为y=3x+b 代入 P (53,89),得 b =−379, ∴解析式为 y =3x −379.提示：平行线、等腰三角形、角平分线是平面几何解题中的关联三要素.常常利用联想来解题，结合勾股定理可使问题得解.例2 如图(a)，抛物线 y =ax²−8ax +12a(a <0)与x 轴交于A ，B 两点，抛物线上有一点 C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且∠OCA=∠OBC.(1)求线段OC 的长.(2)求抛物线的解析式.(3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.解:(1)令y=(),则 ax²−8ax +12a =0,∴x₁=2,x₂=6,∴Λ(2,0),B (6,0);∵∠OCA=∠OBC,∠O 为公共角,∴△OAC ∽△OCB.∴OC²=OA·OB=2×6=12,OC=2 √3.(2)如图(b),取AB 的中点D,可得CD=2,OD=4,且 ∠OCD =90°, ∴C(3,√3),代入可得 a =−√33,∴抛物线的解析式为 y =−√33x 2+8√33x −4√3.(3)如图(c) ),P 4(0,0),P 1(6−2√3,0),P 2(4,0),P 3(6+2√3,0)提示：等腰三角形通常会有多解.利用对称性和勾股定理求解.例3 已知抛物线 y =−x²−2x +3与坐标轴交于A ，B ，C 三点.点 F 在抛物线上，且在第二象限上,CE ⊥OF 于点E,连 BC,BF 第荷BEEBC,求直线OF 的解析式.解:如图(b),延长CB交FO的延长线于Q,∵CE⊥OF,BE=BC,∴易证得 BC=BQ,∴Q(2,-3),∴直线 FO的解析式为y=−32x.提示：在直角三角形中，有一个等腰三角形可联想第二个等腰三角形，使隐含的条件显现出来. 丢分题精练1.如图，已知抛物线y=12x2−12x−1交坐标轴于A，B，C三点.在直线 BC上找一点P，使△ACP 为等腰三角形.求所有可能的P点坐标.2.如图，抛物线y=−√33x2−2√33x+√3交坐标轴于A，B，C三点，点D为抛物线对称轴上的一个动点.且△ACD为等腰三角形，求出所有可能的D点坐标.3.已知二次函数y=−13x2+43x+20与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为y 轴左侧抛物线上一点，若△BCP是以BC 为斜边的等腰直角三角形.求 P点坐标.4.已知抛物线y=x²−4x+3交坐标轴于A，B，C三点.(1)如图(a),A,D 关于y 轴对称,M 为B 点右侧抛物线上的点,N 为线段BC 上一点,且△CAD△MCN,求M点坐标.(2)如图(b)，沿y轴平移直线BC 交对称轴右侧的抛物线于点P，交抛物线的对称轴于点 Q，若四边形 BCQP 为等腰梯形，求平移后的直线解析式.5.已知二次函数y=−x²+2x+3的图象交坐标轴于A，B，C三点.(1)平移直线 AC，交第一象限内的抛物线于点 D，交 y轴负半轴于点 E，若四边形 ACDE 为等腰梯形，求 D 点坐标.(2)平移直线AC，交第一象限内的抛物线于点M，交x轴正半轴于点N，若四边形 ACMN为等腰梯形，求平移后直线MN的解析式.6.如图，抛物线y=ax²−2ax+b与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于C点,且( OC=3OA,抛物线的顶点为D.(1)求抛物线解析式.(2)在抛物线对称轴右侧的抛物线上，有一点 P，且△PDC为等腰三角形.求出符合条件的 P点的坐标.。
九年级中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》与等腰三角形相关的压轴题(附答案)
2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练四：与等腰三角形相关的压轴题（附答案）方法提炼：1、设出点坐标，利用等腰三角形的性质求边长；2、当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论:①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点。
典例引领：例：如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)。
(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3(2)该抛物线的对称轴为x= 1。
设Q点坐标为(1，m)当AB=AQ时Q点坐标(1， 6)，或(1，- 6)；当BA= BQ时解得：m=0，m =6, Q点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线AB上，不符合题意应舍去; 当QA=QB时解得：m=1，Q点坐标为(1，1)．抛物线的对称轴上是存在着点Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1)跟踪训练：1．抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．5．图1，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），顶点为D（1，﹣4），点P为y轴上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BDP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点在抛物线上，求的最小值．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数解析式；（2）连接AC，AD，CD，试判断△ADC的形状，并说明理由；（3）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P 的坐标；（4）在线段AC上，是否存在点F，使△AEF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y＝ax2+bx+分别交x轴于点A（1，0），B（﹣3，0），交y轴于点C．抛物线的对称轴l与x轴相交于点D，直线AC与抛物线的对称轴l相交于点P．（1）请直接写出抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如图1，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN⊥AC，在点M，点N移动的过程中，DM+MC是否有最小值？如果有，请求出最小值；（3）以点C为旋转中心，将直线AC绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），直线AC旋转时，与抛物线的对称轴l相交于点E，与抛物线的另一个交点为点Q．①如图2，当直线AC旋转到与直线BC重合时，判断线段PE、ED的数量关系？并说明理由；②当△CPQ为等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴相交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段BA上的一动点，点E为线段AC上一动点，若始终保持∠AQE＝∠ABC，连接CQ，求△CQE的面积S关于点Q的横坐标m的函数关系式；（3）若点D为OB的中点，点M是线段BC上一点，当△OMD为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．10．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．13．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB＝10，tan∠DAB＝，抛物线经过点B、C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）直线EF与BC平行，与抛物线只有一个交点，求直线EF解析式；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在直接写出P点坐标，若不存在说明理由．参考答案1．分析：（1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，即可求解；（2）PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y＝﹣x+b，设点P（m，m2﹣4m+3）（m＞2），将点P的坐标代入上式，即可求解；（3）d＝4时，点P（4，3），设点G（n，n2﹣4n+3），直线PD的函数表达式为：y＝2x ﹣5…①，直线AG的函数表达式为：y＝（n﹣4）x+3…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，﹣5），AN＝AM，即4+9＝（）2+（﹣8）2，即可求解．解：（1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）点A（0，3），点C（3，0），D（2，﹣1），则PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y＝﹣x+b，设点P（m，m2﹣4m+3）（m＞2），将点P的坐标代入上式并解得：b＝m2﹣3m﹣3，则d＝AQ＝|m2﹣3m|（m＞2）；（3）当d＝4时，|m2﹣3m|＝4，解得：m＝4或﹣1（舍去﹣1），故点P（4，3），设点G（n，n2﹣4n+3），点D（2，﹣1），则点N（0，﹣1）同理可得：直线PD的函数表达式为：y＝2x﹣5…①，直线AG的函数表达式为：y＝（n﹣4）x+3…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，﹣5），点A（0，3）、点N（0，﹣1），AN＝AM，即16＝（）2+（﹣8）2，解得：n＝或4，故点G（，﹣）或（4，3）．点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．2．分析：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式可得出c＝4，解方程，得x1＝3，x2＝﹣4，则A（﹣4，0）；（2）求出直线AC的解析式y＝﹣x+4，设P（a，），则点Q（a，a+4），则PQ可用a表示，由二次函数的性质可求出PQ的最大值；（3）分BC＝BQ、BC＝CQ、CQ＝BQ三种情况，分别列得出方程求解即可．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．点评：主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）先求出直线BC的解析式，设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），求出△BCM 面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理可求出△BPN的周长；（3）由（2）可知N（），设Q（1，a），由两点间的距离公式可分别表示出CQ2，QN2，CN2，若△CNQ为等腰三角形，可分CQ＝QN、CQ＝CN、QN＝CN三种情况考虑，由此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的坐标即可．解：（1）由题意可得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．∴S△BCM＝S△PMC+S△PMB＝（x B﹣x C）＝，∴S△BCM＝＝，∴当x＝时，△BCM的面积最大．此时P（），∴PN＝ON＝，∴BN＝OB﹣ON＝3﹣＝，在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB＝，C△BCN＝BN+PN+PB＝3+，∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+；（3）由（2）知P点坐标为（），∴，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为x＝1，设Q（1，a），∵C（0，3），N（），∴CQ2＝12+（3﹣a）2，，，若△CNQ为等腰三角形，可分三种情况：当CQ＝QN时，1+，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），当CQ＝CN时，1+，解得：a＝3，∴点Q的坐标为（1，3﹣），（1，3+），当QN＝CN时，，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），（1﹣），综合以上可得点Q的坐标为（1，）或（1，3﹣）或（1，3+）或（1，）或（1，﹣）．点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质及分类讨论思想等知识．把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．4．分析：（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）如图2，构造BG与x轴成30°角，将MB转化为线段M到BG的距离，从而可知C、M、N、B′在同一条直线上时，CN+MN+MB取最小值，根据CG的长和∠CGB ＝60°即可求出最小值．根据直线BG求出直线CB′解析式，即求出MN坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．5．分析：（1）由已知抛物线顶点D可设抛物线顶点式，再把点A代入即求得二次项系数a 的值．（2）由点B、D坐标可求BD的长．设点P坐标为（0，t），用t表示BP2，DP2．对BP ＝BD、DP＝BD、BP＝DP三种情况进行分类讨论计算，解方程求得t的值并讨论是否合理．（3）由点B、C坐标可得∠BCO＝45°，所以过点P作BC垂线段PQ即构造出等腰直角△PQC，可得PQ＝PC，故有MP+PC＝MP+PQ．过点M作BC的垂线段MH，根据垂线段最短性质，可知当点M、P、Q在同一直线上时，MP+PC＝MP+PQ＝MH 最小，即需求MH的长．连接MB、MC构造△BCM，利用y轴分成△BCD与△CDM求面积和即得到△BCM面积，再由S△BCM＝BC•MH即求得MH的长．解：（1）∵抛物线顶点为D（1，﹣4）∴设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣4∵A（﹣1，0）在抛物线上∴4a﹣4＝0，解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3（2）在y轴的负半轴上存在点P，使△BDP是等腰三角形．∵B（3，0），D（1，﹣4）∴BD2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20设y轴负半轴的点P坐标为（0，t）（t＜0）∴BP2＝32+t2，DP2＝12+（t+4）2①若BP＝BD，则9+t2＝20解得：t1＝（舍去），t2＝﹣②若DP＝BD，则1+（t+4）2＝20解得：t1＝（舍去），t2＝﹣﹣4③若BP＝DP，则9+t2＝1+（t+4）2解得：t＝﹣1综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，﹣﹣4）或（0，﹣1）（3）连接MC、MB，MB交y轴于点D，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MH⊥BC 于点H∵x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3∴C（0．﹣3）∵B（3，0），∠BOC＝90°∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3∵∠PQC＝90°∴Rt△PQC中，sin∠BCO＝＝∴PQ＝PC∴MP+PC＝MP+PQ∵MH⊥BC于点H∴当点M、P、Q在同一直线上时，MP+PC＝MP+PQ＝MH最小∵M（﹣，m）在抛物线上∴m＝（﹣）2﹣2×（﹣）﹣3＝∴M（﹣，）设直线MB解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线MB：y＝﹣x+∴MB与y轴交点D（0，）∴CD＝﹣（﹣3）＝∴S△BCM＝S△BCD+S△CDM＝CD•BO+CD•|x M|＝CD•（x B﹣x M）＝××（3+）＝∵S△BCM＝BC•MH∴MH＝∴MP+PC的最小值为点评：本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，解二元一次方程组和一元二次方程，垂线段最短定理．求线段和最小值时，一般利用特殊三角函数应用把含有系数的线段长进行转换，再利用三点成一直线或垂线段最短性质得到最短路径的位置，进而计算．6．分析：（1）求直线y＝﹣x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由PB＝t求得BE＝PE＝t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证△MPQ∽△NCQ，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP ＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD ＝45°，进而得AE＝ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD ＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF进而得CF＝CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F 的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF＝CD，解方程即得到t的值．解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝∴BE＝PE＝PB＝t∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t ∵点M在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：t1＝，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m ∴解得：∴直线AM：y＝tx+t∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：x＝∴DG＝x D＝∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴CD＝DG＝∴4﹣t＝解得：t＝﹣1综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．7．分析：（1）二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；（2）由AD2＝AC2+CD2，故△ADC为直角三角形；（3）S＝PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x+）2+，即可求解；（4）分AE＝EF、AE＝AF、AF＝EF三种情况分别求解即可．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4），AC＝3，CD＝，AD＝＝，∴AD2＝AC2+CD2，故△ADC为直角三角形；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），S＝PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x+）2+，当x＝﹣时，S最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（4）∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，①当AE＝EF时，如下图，△AEF为等腰直角三角形，AE＝2＝EF，∴点F（﹣1，﹣2）；②当AE＝AF时，同理可得：点F（﹣3+，﹣）；③当AF＝EF时，同理可得：点F（﹣2，﹣1）；故点F的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣3+，﹣）或（﹣2，﹣1）．点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8．分析：（1）用待定系数法即求得抛物线解析式；用顶点坐标公式即求得对称轴直线，得到点D坐标．（2）求点C坐标，利用三角函数求得∠OCA的度数．由MN垂直AC可把MC转化为MN，所以当点D、M、N在同一直线上时DM+MC＝DM+MN，根据垂线段最短，可知过点D作DF⊥AC于点F，此时为DM+MN最短．求∠OAC的度数，利用三角函数即求得DF的长．（3）①求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点E坐标，进而得DE的长．由∠PDA ＝90°，∠P AD＝60°利用三角函数求得PD的长，进而得PE的长，求得PE＝2ED．②求直线AC解析式，求点P坐标，进而求PC的长．设抛物线上的点Q坐标为（t，﹣t2﹣t+）（t≠0），根据两点间距离公式即能用t表示PQ2，CQ2．由△CPQ为等腰三角形分三种情况讨论两腰相等，即列得关于t的方程，求解得t的值即得到点Q 坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+经过点A（1，0），B（﹣3，0）∴解得：∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+∵对称轴为直线：x＝﹣＝﹣1∴D（﹣1，0）（2）在M，N移动的过程中，DM+MC有最小值．如图1，过点D作DF⊥AC于点F∵当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+＝∴C（0，）∵A（1，0）∴在Rt△AOC中，tan∠OCA＝＝＝∴∠OCA＝30°∵MN⊥AC，即∠MNC＝90°∴MN＝MC∴DM+MC＝DM+MN∴当点D、M、N在同一直线上时，DM+MC＝DM+MN＝DF最小∵∠OAC＝90°﹣∠OCA＝60°∴在Rt△DAF中，sin∠OAC＝∴DF＝AD＝×（1+1）＝∴DM+MC的最小值为（3）①PE＝2ED，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线BC的解析式为y＝x+，∵对称轴为直线：x＝﹣1，点E在对称轴上∴点E（﹣1，）∴DE＝∵∠PDA＝90°，∠P AD＝60°∴在Rt△P AD中，tan∠OAC＝∴PD＝2∴PE＝PD﹣DE＝2﹣＝∴PE＝2ED②设直线AC解析式为y＝cx+把点A（1，0）代入得：c+＝0，解得：c＝﹣∴直线AC：y＝﹣x+∵直线AC与对称轴：直线x＝﹣1的交点为P∴P（﹣1，2）∴PC＝＝2∵点Q在抛物线上∴设点Q坐标为（t，﹣t2﹣t+）（t≠0）∴PQ2＝（t+1）2+（﹣t2﹣t+﹣2）2，CQ2＝t2+（﹣t2﹣t+﹣）2i）若PQ＝PC，如图2∴PE垂直平分CQ∴QE＝CE＝1，y Q＝y C＝∴Q（﹣2，）ii）若PQ＝CQ，则（t+1）2+（﹣t2﹣t+﹣2）2＝t2+（﹣t2﹣t+﹣）2解得：t1＝﹣2，t2＝﹣1∴Q（﹣2，）或（﹣1，）iii）若PC＝CQ，则t2+（﹣t2﹣t+﹣）2＝4解得：t＝﹣2∴Q（﹣2，）综上所述，当△CPQ为等腰三角形时点Q的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．点评：本题考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，特殊角三角函数，垂线段最短，两点间距离公式，等腰三角形的性质．求线段与线段的几分之一的和的最小值，通常需要对几分之一线段长进行转换，再利用三点共线或垂线段最短等相关定理找到最小值时的位置．9．分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式求出S△ABC，设Q（m，0），表示出QA，再判断出△AQE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出S△AQE，再根据S△QCE＝S△AQC﹣S△AQE整理得到关于m的函数关系；（3）分①当DM＝DO时，DO＝DM＝DB＝2，∠OBC＝∠BMD＝45°，再求出∠BDM ＝90°，然后写出M点的坐标；②当MD＝MO时，过点M作MN⊥OD于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得点N为OD的中点，求出DN＝ON＝1，BN＝BD+DN＝3，再根据△BMN为等腰直角三角形求出MN＝BN＝3，然后写出M点的坐标；③当OD＝OM时，根据△OBC为等腰直角三角形求出点O到BC的距离，然后与OD相比较判断出不存在．解：（1）将点A（2，0），C（0，﹣4），分别代入y＝x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝；（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，∴点B（﹣4，0），AB＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，S△ABC＝AB•OC＝＝12，设Q点坐标为（m，0），则QA＝2﹣m．∵∠AQE＝∠ABC，∴QE∥BC，∴△AQE∽△ABC，∴，∴，S△QCE＝S△AQC﹣S△AQE＝，＝﹣．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：①当DM＝DO时，DO＝DM＝DA＝2，所以，∠OBC＝∠BMD＝45°，所以，∠BDM＝90°，所以，M点的坐标为（﹣2，﹣2）；②当MD＝MO时，如图，过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN＝ON＝1，BN＝BD+DN＝3，又△BMN为等腰直角三角形，∴MN＝BN＝3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；③当OD＝OM时，∵△OBC为等腰直角三角形，∴点O到BC的距离为×4＝2，即BC上的点与点O之间的最小距离为2，∵2＞2，∴OD＝OM的情况不存在，综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．点评：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点问题，三角形的面积，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，注意等腰三角形根据腰长的不同分情况讨论．10．分析：（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t 表示点F坐标，进而表示PF的长．把△P AB分成△P AF与△PBF求面积和，即得到△P AB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△P AB面积最大，进而求得此时点P 坐标．（3）设点P横坐标为t，即能用t表示PD的长．根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长（注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论）．由于△PDE要成为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，所以PD＝PE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△P AB＝S△P AF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△P AB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．点评：本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去．11．分析：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CF＝PF三种情况，分别求解即可．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y＝﹣mx+，∵CE⊥PB，故直线CE表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y＝，解得：x＝2﹣，故点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，解得：m＝5或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．12．分析：（1）由抛物线与x轴两交点设交点式，把点D代入即求得抛物线表达式．（2）由原抛物线顶点式可知，向下平移4个单位后顶点落在x轴上，故MN＝4且MN ⊥x轴．由于△AMN为等腰三角形且MN为底边，故有x轴垂直平分MN，得到点N纵坐标为﹣2，代入新抛物线解析式解方程即求得点N横坐标．（3）作点D关于y轴的对称点D'，根据轴对称性质即有QD＝QD'，易得当点D'、Q、E 在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小．由于点E随点P运动也是一个动点，由∠OEB＝90°且O、B是定点可得点E的运动轨迹为圆弧．故当点E运动到点D'与圆心所连线段上时，D'E最小．求出圆心F的坐标，即求出D'F和半径r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即为QE+QD的最小值．解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）∴设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）∵抛物线经过点D（2，3）∴a（x+1）（x﹣3）＝3解得：a＝﹣1∴抛物线表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴向下平移后新抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，顶点G（1，0），即抛物线向下平移4个单位∵原抛物线上一点M平移后的对应点为点N∴MN＝4，MN⊥x轴∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，且点A在x轴上∴x轴垂直平分MN∴N的纵坐标为﹣2∴﹣（x﹣1）2＝﹣2解得：x1＝1+，x2＝1﹣∴点N坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）（3）作点D关于y轴的对称点点D'，连接D'Q，取OB中点F，连接D'F∵D（2，3），点Q为y轴上的动点∴D'（﹣2，3），QD＝QD'∴当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小∵BE⊥OP于点E，P为抛物线上第一象限内的动点∴∠OEB＝90°∴点E在以OB为直径的圆在第一象限内的弧上运动∵圆心F（，0），r＝∴当点E在线段D'F上时，D'E＝D'F﹣EF＝﹣＝最小∴QE+QD的最小值为．点评：本题考查了二次函数的图象与性质，平移的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，轴对称求最短路径，圆周角定理，勾股定理．第（3）题求线段和最小值涉及的两条线段有2个动点，先由常规的轴对称求最短路径问题确定点D'、Q、E必须共线，再找出点E运动轨迹为圆弧而得到点E在D'与圆心连线上时D'E最小．13．分析：（1）由菱形的性质可得AD∥BC，BC＝AB＝10，那么∠DAB＝∠CBO，根据tan ∠DAB＝tan∠CBO＝＝，求出B、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+8．根据EF∥BC，可设直线EF 解析式为y＝x+t，根据直线EF与抛物线只有一个交点，得出方程x2+x+8＝x+t 只有一个解，即△＝0，求出t的值，得到直线EF的解析式；（3）分别利用当CP＝CB时，△PCB为等腰三角形；当BP＝BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理列方程即可．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝10，∴∠DAB＝∠CBO，∴tan∠DAB＝tan∠CBO＝＝，∵BC＝10，。
二次函数与等腰三角形
二次函数与等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当为顶角时，（2）当为顶角时，（3）当为顶角时，1 .如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【详解】（1）∵A（0，3），B（4，0）∴，解得，∴该抛物线的解析式是（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）∴，解得∴直线AB的解析式为∵CD∥y轴∴C、D两点的横坐标都为m．在中，当x=m时，∴C（m，）在中，当x=m时，∴D（m，），∴（3）存在．∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：①CA=CD时，则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC∵CD∥y轴∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，∴，∴，∴5CH=3CD．又∵HC=AC，∴5AC=6CD则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴③AD=AC时同理得m=1综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．2 .我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为，(点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．【答案】（1）①；②（2）见解析（3），．【分析】（1）根据题意直接可得出结论；（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．【详解】（1）由题意可知：，（2），，和互为旋补比例三角形，，，，，，，，，，与互为旋补比例三角形．（3），，，过作轴于点，，，，经过与，，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，，，，，如图，过点作于点，，，即点与点重合，，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，，，①在轴上方，如图：易证：，，，，，②在轴下方，如图：易证：，，，，综上，，．【点睛】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．3 .如图，抛物线交轴于点交轴于点，直线经过点．（1）求抛物线的解析式．（2）点是抛物线上一动点，设点的横坐标为．①若点在直线的下方，当的面积最大时，求的值；②若是以为底的等腰三角形，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）①的值是-2；②【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）①由题意得，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，用m来表示的面积，再根据二次函数的性质求解即可；②根据，可得，列式求出m的值即可．【详解】解：（1）∵直线交轴于点，交轴于点．∴．∵抛物线经过点，∴∴∴抛物线的解析式为（2）①∵点的横坐标为，∴点的坐标为．如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为∴∴的面积是∴当的面积最大时，的值是-2．②的值为或．由题可知，，∴解得．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质、待定系数法是解题的关键．4 .如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②当时，取得最大值，此时；（3）存在，点的坐标为或．【解析】【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．【详解】（1）抛物线的对称轴为直线．又抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为．（2）①顶点．设直线的解析式为．将代入，得解得直线的解析式为．轴且，的面积．点在线段上，且，，故与之间的函数关系式为．②，当时，取得最大值；当时，没有最小值．综上，当时，取得最大值，此时（3）存在．当时，，，解得（舍去）或，此时．当时，解得（舍去）或，此时．当时，，，解得或，均不符合题意，舍去．综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5 .如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）【解析】【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）S＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），△CBE∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，点E（，﹣）；（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；③当CM＝PM时，同理可得：m＝；故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6 .如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．(1)求抛物线的解析式：(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，P点坐标为或或或【解析】【分析】（1）由菱形对边平行、邻边相等的性质，解得，再由锐角三角函数及勾股定理解得OB、OC的长，进而得到点B、C、D的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）用待定系数法求直线的解析式，再根据两直线平行，斜率k相等的性质，设直线EF的解析式为y=x+，根据直线EF与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线两个解析式方程，可知该方程的根的判别式为0，据此解出t即可解题；（3）将抛物线解析式配方成顶点式，解出对称轴方程，三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①如果CP=CB，②如果BP=BC，据此解题．【详解】解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD BC，BC=AB=10．又因为在直角三角形OCB中，OC²+OB²=BC，即解得OB=6(负值已舍去）所以OC=8所以B(-6，0)，C(0，8)，D(-10，8)．设抛物线的解析式为，·因为抛物线经过点B，C，D，解得，所以抛物线的解析式为(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，将B，C点代入上式，得解得因为EF BC，设直线EF的解析式为y=x+．又因为直线EF与抛物线只有一个交点，所以只有一个解，，解得t=5．设直线EF解析式为y=x+5（3）抛物线的解析式为所以抛物线的对称方程为x=-5设抛物线的对称轴上存在点P(-5，y)，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．由（1）知B(-6，0)，C(0，8)，BC=10．分两种情况：①如果CP=CB，那么，解得②如果BP=BC，那么解得．所以抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为或或)或．【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法解二次函数解析式、一次函数解析式、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7 .如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当，运动到秒时，将△APQ沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的点，点的坐标为或或或．【解析】【分析】（1）将A，B点坐标代入函数中，求得b、c，进而即可求得解析式；（2）根据题意，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于F，先证明四边形是菱形，再结合三角形相似以及设进行求解即可得解；（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．【详解】（1）将，代入，求得，∴；（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于∵，，∴∴四边形为菱形∵∴∴∴，∴∵∴∵D在二次函数上∴∴，或（舍去）∴；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或如上图，过点Q作于D，此时∵，，，∴，，∴，∵∴∴∴，；①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E此时，即为等腰三角形设，则，∴在中，，解得∴∴；②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E此时∵∴∴∴；③当时1）当E在A点左边时∵∴2）当E在A点右边时∵∴；综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的几何综合，熟练掌握二次函数的相关性质及几何综合求解方法是解决本题的关键.8 .如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．【解析】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是；（2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）；②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．9 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.【解析】【分析】(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．【详解】(1)∵抛物线经过点和点．∴抛物线的表达式为：，∴对称轴为：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴顶点.(2)设点，则，，矩形的周长，∵，∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）∴，，①当时，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；②当时，则，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；③当时，∵，而，∴，∴；综上所述：或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．10 .如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P 作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．【详解】（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，∴，∴∵点M在抛物线上∴，∴，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴解得：，∴直线AM：∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：，∴，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴，∴解得：综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．。
中考数学二次函数与等腰三角形有关的问题知识解读
二次函数与等腰三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1， 又32121131311==−=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点−C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 交x 轴于点A （﹣4，0）、B （2，0），交y 轴于点C （0，6），在y 轴上有一点E （0，﹣2），连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，∴B点平移对应点M（4﹣2m，m），C的对应点N（﹣2m，2+m），∴AM＝，AN＝，MN＝2，①当MN＝AM时，＝2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；②当MN＝AN时，＝2，解得m＝或m＝﹣（舍），∴M（4﹣2，）；综上所述：M点坐标为（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n 1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或3±（舍去0和3+），故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，故点P（3﹣，2﹣4）．综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．。
【初中数学】专题2：二次函数与等腰三角形
二次函数与等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当为顶角时，（2）当为顶角时，（3）当为顶角时，1 .如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【详解】（1）∵A（0，3），B（4，0）∴，解得，∴该抛物线的解析式是（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）∴，解得∴直线AB的解析式为∵CD∥y轴∴C、D两点的横坐标都为m．在中，当x=m时，∴C（m，）在中，当x=m时，∴D（m，），∴（3）存在．∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：①CA=CD时，则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC∵CD∥y轴∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，∴，∴，∴5CH=3CD．又∵HC=AC，∴5AC=6CD则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴③AD=AC时同理得m=1综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．2 .我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为，(点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．【答案】（1）①；②（2）见解析（3），．【分析】（1）根据题意直接可得出结论；（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．【详解】（1）由题意可知：，（2），，和互为旋补比例三角形，，，，，，，，，，与互为旋补比例三角形．（3），，，过作轴于点，，，，经过与，，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，，，，，如图，过点作于点，，，即点与点重合，，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，，，①在轴上方，如图：易证：，，，，，②在轴下方，如图：易证：，，，，综上，，．【点睛】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．3 .如图，抛物线交轴于点交轴于点，直线经过点．（1）求抛物线的解析式．（2）点是抛物线上一动点，设点的横坐标为．①若点在直线的下方，当的面积最大时，求的值；②若是以为底的等腰三角形，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）①的值是-2；②【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）①由题意得，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，用m来表示的面积，再根据二次函数的性质求解即可；②根据，可得，列式求出m的值即可．【详解】解：（1）∵直线交轴于点，交轴于点．∴．∵抛物线经过点，∴∴∴抛物线的解析式为（2）①∵点的横坐标为，∴点的坐标为．如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为∴∴的面积是∴当的面积最大时，的值是-2．②的值为或．由题可知，，∴解得．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质、待定系数法是解题的关键．4 .如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②当时，取得最大值，此时；（3）存在，点的坐标为或．【解析】【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．【详解】（1）抛物线的对称轴为直线．又抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为．（2）①顶点．设直线的解析式为．将代入，得解得直线的解析式为．轴且，的面积．点在线段上，且，，故与之间的函数关系式为．②，当时，取得最大值；当时，没有最小值．综上，当时，取得最大值，此时（3）存在．当时，，，解得（舍去）或，此时．当时，解得（舍去）或，此时．当时，，，解得或，均不符合题意，舍去．综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5 .如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）【解析】【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）S＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），△CBE∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，点E（，﹣）；（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；③当CM＝PM时，同理可得：m＝；故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6 .如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．(1)求抛物线的解析式：(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，P点坐标为或或或【解析】【分析】（1）由菱形对边平行、邻边相等的性质，解得，再由锐角三角函数及勾股定理解得OB、OC的长，进而得到点B、C、D的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）用待定系数法求直线的解析式，再根据两直线平行，斜率k相等的性质，设直线EF的解析式为y=x+，根据直线EF与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线两个解析式方程，可知该方程的根的判别式为0，据此解出t即可解题；（3）将抛物线解析式配方成顶点式，解出对称轴方程，三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①如果CP=CB，②如果BP=BC，据此解题．【详解】解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD BC，BC=AB=10．又因为在直角三角形OCB中，OC²+OB²=BC，即解得OB=6(负值已舍去）所以OC=8所以B(-6，0)，C(0，8)，D(-10，8)．设抛物线的解析式为，·因为抛物线经过点B，C，D，解得，所以抛物线的解析式为(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，将B，C点代入上式，得解得因为EF BC，设直线EF的解析式为y=x+．又因为直线EF与抛物线只有一个交点，所以只有一个解，，解得t=5．设直线EF解析式为y=x+5（3）抛物线的解析式为所以抛物线的对称方程为x=-5设抛物线的对称轴上存在点P(-5，y)，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．由（1）知B(-6，0)，C(0，8)，BC=10．分两种情况：①如果CP=CB，那么，解得②如果BP=BC，那么解得．所以抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为或或)或．【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法解二次函数解析式、一次函数解析式、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7 .如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当，运动到秒时，将△APQ沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的点，点的坐标为或或或．【解析】【分析】（1）将A，B点坐标代入函数中，求得b、c，进而即可求得解析式；（2）根据题意，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于F，先证明四边形是菱形，再结合三角形相似以及设进行求解即可得解；（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．【详解】（1）将，代入，求得，∴；（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于∵，，∴∴四边形为菱形∵∴∴∴，∴∵∴∵D在二次函数上∴∴，或（舍去）∴；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或如上图，过点Q作于D，此时∵，，，∴，，∴，∵∴∴∴，；①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E此时，即为等腰三角形设，则，∴在中，，解得∴∴；②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E此时∵∴∴∴；③当时1）当E在A点左边时∵∴2）当E在A点右边时∵∴；综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的几何综合，熟练掌握二次函数的相关性质及几何综合求解方法是解决本题的关键.8 .如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．【解析】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是；（2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）；②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．9 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.【解析】【分析】(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．【详解】(1)∵抛物线经过点和点．∴抛物线的表达式为：，∴对称轴为：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴顶点.(2)设点，则，，矩形的周长，∵，∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）∴，，①当时，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；②当时，则，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；③当时，∵，而，∴，∴；综上所述：或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．10 .如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．【详解】（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，∴，∴∵点M在抛物线上∴，∴，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴解得：，∴直线AM：∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：，∴，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴，∴解得：综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．。
拔尖2024年中考数学压轴题突破(全国通用)专题3二次函数与等腰直角三角形问题(教师版)
专题3二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。
等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。
【例1】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC ∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解析】（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴SOPE＝S△OPG+S△EPG△＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小2倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．【例2】．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）．【解析】（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（5+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（﹣1，0）．【例3】（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m 的值．②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．【解析】（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．（2）令x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得m1＝（舍），m2＝．∴m＝3或m＝．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．当m＝时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E，∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，∴∠QPE＝∠PAF，又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，∴△QEP≌△PFA（AAS），∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3，解得m1＝（舍），m2＝．∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，∴点Q坐标为（2，）．综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．1．（2022•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．【分析】（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，可得到顶点坐标，根据等腰直角三角形的性质可得A，B两点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）根据等腰直角三角形△ABP的外接圆可得AB为直径，点E为圆心，即可得点D的纵坐标；（3）利用待定系数法可得直线AP，BP的解析式，分别求出M，N两点的坐标，由y＝﹣x2+x+得C （0，），求出CN、CM的值，即可求解．【解析】（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x2﹣2x）+a+2＝a（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点P的坐标为（1，2），如图：过点P作PE⊥x轴于点E，则E（1，0），∴PE＝2，∵△ABP为等腰直角三角形，∴AE＝BE＝PE＝AB＝2，∴A（﹣1，0），B（3，0），将B（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+2得，a（3﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣，∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；（2）如图：∵△ABP为等腰直角三角形，PD⊥x轴于点E，∴AB为直径，点E为圆心，∵点P的坐标为（1，2），∴PE＝2，∴DE＝2，∴D（1，﹣2），∴点D的纵坐标为﹣2；（3）设直线AP的解析式为y＝kx+b，∵点（1，2），A（﹣1，0），∴，解得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，令x＝0，则y＝1，∴M（0，1），同理得直线BP的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，∴N（0，3），∵y＝﹣x2+x+与y轴正半轴交于点C，∴C（0，），∴CM＝﹣1＝，CN＝3﹣＝，∴＝3．2．（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．【解析】连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，∴点A（﹣2，0），点B（6，0），把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，x N+x M＝﹣＝4（k+1），x N x M＝＝8k﹣12..........①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，y M+y N＝4k2，y M y N＝﹣16k2................②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴x O＝（x N+x M）＝2（K+1），代入直线方程得y O＝2k2，∴圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．3．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B 的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可；（2）设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P 作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称，∵点A在点B的左侧，且AB＝4，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），把A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5．（2）根据题意，平移后的抛物线经过原点，设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b，∴C（b，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝b，当x＝b时，y＝﹣（b）2+b2＝b2，∴P（b，b2）；如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD，∵△OCP是等腰直角三角形，∴∠OPC＝90°，∴PD＝OC＝OD，∴b2＝b，解得b1＝2，b2＝0（不符合题意，舍去），∴P（1，1）．4．（2021秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．【分析】（1）由题意可知b＝0，再将（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式；（2）①求出A（，0），B（﹣，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c；②由题意可得m＝﹣，k＜0，再由m＞6，可得﹣＜k＜0，联立，得到AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m＝﹣，则有线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，所以N点纵坐标为n＝+，即可求＜n＜．【解析】（1）∵顶点在y轴上，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），∴4a﹣2＝2，∴a＝1，∴y＝x2﹣2；（2）①当k＝0时，y＝c，联立，∴A（，c），B（﹣，c），∵△ABP为等腰直角三角形，∴P点在AB的垂直平分线上，∴P点在抛物线的顶点（0，﹣2）处，∵AB＝2，AP＝BP＝，∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），∴c＝0；②∵c＝1，∴y＝kx+1，∴m＝﹣，由题意可知，k＜0，∵m＞6，∴﹣＜k＜0，联立，∴x2﹣kx﹣2＝0，∴x A+x B＝k，∴AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，∴与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），∵PN⊥AB，∴∠PNO＝∠AMO，∴＝，∴k'＝m＝﹣，∴y＝﹣x+b，∴线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，∴N点纵坐标为n＝+，∴＜n＜．5．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程（x+4）（x﹣m）＝0可求A、B点坐标；（2）求出顶点P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2），利用等腰直角三角形斜边的中线等腰斜边的一半，求出m即可求解；（3）分别求出直线AP与直线CQ的解析式，通过联立方程组求出这两条直线的交点M，过点M作NM⊥x轴交于N，可得△AMN∽△MCN，则（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m），得到a2＝，再由a的取值范围确定m的范围即可．【解析】（1）令y＝0，则（x+4）（x﹣m）＝0，解得x＝﹣4或x＝m，∴A（﹣4，0），B（m，0）；（2）∵a＝m+3，∴y＝（m+3）（x+4）（x﹣m）＝（m+3）（x2+4x﹣mx﹣4m），∴P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2），∵△ABP为等腰直角三角形，∵AB＝m+4，∴AB＝（m+4）＝（m+3）（）2，解得m＝﹣2或m＝﹣5，∵m＞﹣3，∴m＝﹣2，∴y＝x2+6x+8；（3）存在直线AP与CQ垂直的情形，理由如下：∵y＝a（x+4）（x﹣m），∴P（m﹣2，），由题意可知抛物线T'的解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣4），∴Q（，），设直线AP的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣（m+4）x﹣2a（m+4），同理可求直线CQ的解析式为y＝﹣（m﹣4）x+2a（m﹣4），联立方程组，解得，设直线AP与直线CQ的交点为M，∴M（﹣m，am2﹣8a），过点M作NM⊥x轴交于N，∵AM⊥CQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMN+∠NMC＝90°，∵∠AMN+∠NAM＝90°，∴∠NMC＝∠NAM，∴△AMN∽△MCN，∴＝，∴（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m），∴a2＝，∵0＜a＜，∴0＜＜，解得﹣3＜m＜4．6．（2022•城厢区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）①分别求出A（m，0），B（3，0），C（0，3m），再由OC＝OB，求出m即可求解析式；②由三角形外心的性质可知OB＝OC＝OD＝3，设D（t，t2﹣2t﹣3），则3＝，求出t即可求D点坐标；（2）由题可知P（，﹣9），求出平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，再由判别式Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可得n＝，由n的范围求出m的范围，再由SABC＝（m﹣）2﹣，结合m的范围即可求△ABC的面积的取值范围．△【解析】（1）①令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0，解得x＝3或x＝m，∴A（m，0），B（3，0），令x＝0，则y＝3m，∴C（0，3m），∵△OBC为等腰直角三角形，∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下：∵点O为△BCD的外心，∴OB＝OC＝OD＝3，设D（t，t2﹣2t﹣3），∴3＝，解得t＝，∴D（，）或（，）；（2）∵y＝x2﹣（m+3）x+3m，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵点P的纵坐标为﹣9，∴P（，﹣9），设直线PC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣6x+3m，∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，整理得，x2﹣（m﹣3）x+n＝0，∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，∴n＝，∵1≤n≤4，∴1≤≤4，∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，∵A（m，0），B（3，0），∴AB＝3﹣m，∴SABC＝×（3﹣m）×（﹣3m）＝（m﹣）2﹣，△当﹣1≤m≤1时，0＜SABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42．△7．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C （C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．【分析】（1）过点A 作AM ⊥BC 交于M ，由等腰直角三角形的性质求出AM ＝BM ＝2，从而求出M （1，），A （1，﹣），B （﹣1，），再用待定系数法求解析式即可；（2）（ⅰ）联立方程组，即可求P 、Q 点的坐标；（ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立方程组，可得x 1+x 2＝6，y 1＝2x 1+m ，y 2＝2＝﹣2x 1+m +12，求出直线PM 的解析式后，求直线PM 与CD 的交点为（3，6+），求出QN 的解析式后，求直线QN与CD 的交点为（3，6+），从而所求得证．【解答】（1）解：过点A 作AM ⊥BC 交于M ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AM ＝BM ＝﹣（﹣）＝2，∵CD ⊥x 轴，D （3，0），∴C （3，），∴M （1，），A （1，﹣），B （﹣1，），设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∴，解得，∴y ＝x 2﹣x ；（2）（ⅰ）解：联立方程组，解得或，∵P 在Q 的左侧，∴P（0，0），Q（6，12）；（ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，整理得x2﹣6x﹣2m＝0，∴x1+x2＝6，∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，设直线PM的解析式为y＝k1x，∴2x1+m＝k1x1，∴k1＝2+，∴y＝（2+）x，∴直线PM与CD的交点为（3，6+），设QN的解析式为y＝k2x+b2，∴，解得，∴y＝（2﹣）x+，∴直线QN与CD的交点为（3，6+），∴直线PM，QN，CD交于一点．8．（2022•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，求出函数解析式即可求解；（2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3），再由待定系数法求出抛物线解析式即可；（3）①数形结合即可求m的取值范围；②当m＝﹣4时，△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m＞0时，由2+＝m，求出m＝5．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3，将C（0，c）代入y＝x2﹣2x﹣3，可得c＝﹣3；（2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3），设抛物线的解析式为y＝x2+b'x+c'，∴，解得，∴y＝x2﹣10x+21；（3）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为（1，﹣4），∴当m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；当m＞0时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；∴m＞0或m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；②当m＝﹣4时，M（1，﹣4），N（5，﹣4），∴BM＝BN，∴△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m＞0时，M（1﹣，m），N（5+，m），∴BM＝BN，当BM⊥AM时，2+＝m，解得m＝0（舍）或m＝5，∴m＝5．9．（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），利用三角形面积公式可得SAFP＝PQ•OA＝△（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案；（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），分两种情况：①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，②当AP＝PF，∠APF＝90°时，分别讨论计算即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），∴，解得：，∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，设直线AF的解析式为y＝kx+d，∵A（3，0），F（0，﹣4），∴，解得：，∴直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7，∴SAFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，△∵＜0，﹣1＜t＜3，∴当t＝时，△AFP面积的最大值为；（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，则∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，，∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，当m＝0时，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；当m＝2时，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四边形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，，∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，FG＝AD，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得：m＝（舍去）或m＝，当m＝时，P（，），∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣＝，∴F（0，﹣2）；综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，﹣2）．10．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果SPDB＝S△CDB，求点P的坐标；△（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，可得S△BCD＝BC•CD＝12，由三角形的面积公式结合S△PDB＝S△CDB可得出PD＝6，即可求解；（3）设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，分两种情况：①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+6；（2）如图：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴C（0，6）、D（2，8），∵B（6，0），∴BC＝＝6，CD＝＝2，BD＝＝4，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴SBCD＝BC•CD＝12，△∵SPDB＝PD•（6﹣2）＝2PD＝S△CDB＝12，△∴PD＝6，∴P（2，2）；（3）∵B（6，0），C（0，6）．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵y＝﹣x2+2x+6，∴对称轴l为x＝﹣＝2，当x＝2时，y＝﹣x+6＝4，∴E（2，4），设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，过点E作EH⊥MN于H，∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NME＝∠OCB，∴MN∥y轴，∴N（m，﹣m2+2m+6），∴MN＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，EH＝m﹣2，∴﹣m2+3m＝2（m﹣2），解得m＝4或m＝﹣2（不合题意，舍去），∴M（4，2）；②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，∴EH＝NH＝MH＝EN，∠MEN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠MEN＝∠OBC，∴EN∥x轴，∴点N的纵坐标为4，当y＝4时，﹣x2+2x+6＝4，解得x＝2+2或x＝2﹣2（不合题意，舍去），∴N（2+2，4），∴EN＝2+2﹣2＝2，∴EH＝MH＝EN＝，∴m＝2+，∴M（2+，4﹣）；综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2+，4﹣）．11．（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函数的解析式；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，，可得△OBC是等腰直角三角形，求得点M′的坐标为（5，3），由﹣x2+4x+5＝3，解方程即可求解；（3）设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可．【解析】（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，∴，∴点M的坐标为（2，0），∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴点F的坐标为F（2，3），∵点M关于直线BC的对称点为点M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴点M′的坐标为（5，3），∴FM′∥x轴，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，∴E1（，3），E2（，3），∴点E的坐标为（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴，解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2，∴Q（，2）；综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．12．（2022•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出n关于m的函数关系式；②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．【分析】（1）求出A（﹣m，0），B（3，0），C（0，3m），由题意可得3＝﹣3m，求出m＝﹣1，即可求解；（2）求出SABC＝16，过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，设M（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣△3），则SBCM＝﹣（m﹣）2+，可得S＝16﹣（m﹣）2+，即可求解；△（3）①求出P（，﹣9），直线PC的解析式为y＝﹣6x+3m，则直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0，由Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可求n＝（m﹣3）2；②当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3，则﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3．【解析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0，解得x＝3或x＝﹣m，∴A（﹣m，0），B（3，0），令x＝0，则y＝3m，∴C（0，3m），∵△OBC为等腰直角三角形，∴3＝﹣3m，∴m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知A（﹣1，0），D（﹣2，5），∴AB＝4，∴S △BDC ＝5×8﹣×2×8﹣×3×3﹣×5×5＝15，过点M 作MQ ∥y 轴交直线BC 于点Q ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴，解得，∴y ＝x ﹣3，设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），则Q （m ，m ﹣3），∴MQ ＝﹣m 2+3m ，∴S △BCM ＝×3×（﹣m 2+3m ）＝﹣（m ﹣）2+，∴S ＝15﹣（m ﹣）2+，∴当m ＝时，S 有最大值15+＝，此时M （，﹣）；（3）①y ＝x 2﹣（m +3）x +3m 的对称轴为直线x ＝，∴P （，﹣9），设直线PC 的解析式为y ＝k 'x +b '，∴，解得，∴y ＝﹣6x +3m ，∴直线PC 平移后的直线P 'C '的解析式为y ＝﹣6x +3m ﹣n ，联立方程组，整理得x 2﹣（m ﹣3）x +n ＝0，∵直线P 'C '与抛物线有且仅有一个交点，∴Δ＝（m ﹣3）2﹣4n ＝0，∴n＝（m﹣3）2；②当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3，∴﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3．13．（2022•山西二模）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法把A（﹣2，0），B（8，0）代入y＝x2+bx+c，解方程组即可得出抛物线解析式，令x＝0，即可求得点C的坐标；（2）求出抛物线对称轴，利用待定系数法分别求出直线AC、BC的解析式，由P（m，m2﹣m﹣2），可得：G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2），GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m，设N（3，n），分三种情况：①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，③当∠GNH＝90°，GN＝HN 时，分别建立方程求解即可得出答案；（3）分三种情况：①当BP为平行四边形的对角线时，②当CP为平行四边形的对角线时，③当QP为平行四边形的对角线时，分别依据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可求得点P的横坐标的值，然后将点P的横坐标代入抛物线的解析式可求得点P的纵坐标．【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（8，0），∴，解得：，∴y＝x2﹣x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；（2）存在．理由如下：∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线顶点D（3，﹣），设直线AC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵点P在点C和点D之间抛物线上运动，∴P（m，m2﹣m﹣2），且0≤m≤3，∴G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2），∴GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m，∵点N在对称轴上，∴N（3，n），如图1，①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，∴，解得：，∴N（3，﹣）；②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，△NGH是等腰直角三角形，∴，解得：，∴N（3，﹣）；③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，∴，解得：，∴N（3，﹣）；综上所述，点N的坐标为（3，﹣）或（3，﹣）或（3，﹣）；（3）存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，设P（m，m2﹣m﹣2），Q（3，t），又B（8，0），C（0，﹣2），①当BP为平行四边形的对角线时，如图2，由中点公式可得：＝，解得：m＝﹣5，∵当m＝﹣5时，m2﹣m﹣2＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝，∴P（﹣5，）；②当CP为平行四边形的对角线时，由中点公式可得：＝，解得：m＝11，当m＝11时，m2﹣m﹣2＝×112﹣×11﹣2＝，∴P（11，）；③当QP为平行四边形的对角线时，由中点公式可得：＝，解得：m＝5，当m＝5时，m2﹣m﹣2＝×52﹣×5﹣2＝﹣，∴P（5，﹣）；综上所述，当点P的坐标为（﹣5，）或（11，）或（5，﹣）时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形．14．（2022•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON ＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据已知条件得到点C（0，﹣1），A（﹣1，0），B（1，0），根据待定系数法即可求解；（2）将C1向上平移一个单位得到C2：y＝x2，设MN的直线解析式为y＝kx+b，设M点坐标为（x M，x M2），N（x N，x N2），联立方程组，整理得x2﹣kx﹣b＝0，由根与系数的关系可得x M•x N＝﹣b，过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F，证明△MEO∽△OFN，可得x N•x M＝﹣1，能够确定直线MN经过定点（0，1），则E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，所以点E到y轴距离的最大值为；（3）分别求出直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立方程组，由Δ＝0，可得n＝﹣t2﹣1，则直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，联立①③并解得a＝，联立②③可得，b＝，可求a﹣b＝1．【解析】（1）∵n＝﹣1，∴点C（0，﹣1），∴抛物线C1：y＝mx2﹣1，对称轴为x＝0，∴AC＝BC，∵△ABC为等腰直角三角形，C为顶点，。
二次函数与等腰三角形.doc
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【学习目标】这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素 ,构造动态型几何问题。
解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。
此类问题较多地关注学生对图形性质的理解 ,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题 ,具有较强的综合性 .【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．②代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.一、考点突破例 1、如图，已知抛物线y=﹣1x2 +bx+4 与 x 轴相交于A、 B 两点，与 y 轴相交于点C，若4已知 A 点的坐标为（﹣2， 0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、 BC，求线段 BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ 2x+10 与 x 轴， y 轴相交于 A，B 两点，点 C 的坐标是（ 8， 4），连接 AC，BC．（1）求过 O， A， C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；从（2）动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 点 B 出发，沿 BC以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．（例 3、如图，已知抛物线y ax2 bx c （a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点 M 也是直线 l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标．【变式题组】1、如图，抛物线 y=ax2 +bx+c（ a≠0 ）的图象过点 M（﹣ 2， 34 3 ），顶点坐标为 N（﹣ 1，），3且与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于 C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣ 2，0），B（ 1，0），交 y 轴于 C（ 0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）连接 AC，在直线 AC上方的抛物线上是否存在点 N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点 N 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点 M 在 x 轴上，是否存在点 M，使以 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由；（4）若 P 为抛物线上一点，过 P 作 PQ⊥ BC于∽△ BCO（点 C 与点 B 对应），若存在，求出点Q，在 y 轴左侧的抛物线是否存在点P 的坐标，若不存在，说明理由．P 使△CPQ3、如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 分别是 y 轴正半轴，x 轴正半轴上两动点，OA 2k ，OB 2k 3 ，以AO， BO 为邻边构造矩形 AOBC，抛物线y 3 x2 3x k 交 y 轴于点 D ， P 为顶点，PM x 轴于点M．41 OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）；（）求（ 2 ）当 PM BM 时，求该抛物线的表达式；（ 3 ）在点A在整个运动过程中，若存在VADP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．作业巩固1、如图，已知抛物线y＝－ x2＋ bx＋ c 与x 轴负半轴交于点A，与y 轴正半轴交于点B，且OA＝ OB.（1）求 b＋ c 的值；（2）若点 C 在抛物线上，且四边形 OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；M 是y 轴上一点，当（3）在（ 2）条件下，点P（不与 A，C 重合）是抛物线上的一点，点△BPM 是等腰直角三角形时，直接写出点M 的坐标 ..3、如图，抛物线 y＝ ax2＋ bx 过 A（ 4，0）， B（1， 3）两点，点 C、 B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BH⊥x 轴，交 x 轴于点 H．（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；（2）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6 时，求出点P 的坐标；（3）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．。
2017-2018年九年级数学 第2讲 二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题教案
二次函数与等腰三角形的综合问题知识点二次函数综合;等腰三角形的性质与判定；相似三角形的性质；教学目标1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数．2。
二次函数y=ax2+bx+c（a，b,c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为:一般式:y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a(x－x1）(x－x2)，通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为(－2b a，244ac ba）．对于y=a（x－h)2+k而言其顶点坐标为（h，k），•由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向,对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2。
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）。
4。
等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明)。
7。
等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴.8。
2024年中考数学压轴题(全国通用)：二次函数与等腰三角形问题(教师版含解析)
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点 D（1，4）；
（2）如图，连接 BD，若点 E 在线段 BD 上运动（不与 B，D 重合），过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，设 EF
＝m，问：当 m 为何值时，△BFE 与△DEC 的面积之和最小；
（3）若将抛物线 L1 绕点 B 旋转 180°得抛物线 L2，其中 C，D 两点的对称点分别记作 M，N．问：在抛
当 M 在线段 BD 的延长线上时，∠BDF 为锐角， ∴∠FDM 为钝角， ∵△MDF 为等腰三角形， ∴DF＝DM， ∴∠M＝∠DFM， ∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M， ∵BM∥OC， ∴∠M＝∠MOC， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°， ∴∠M＝30°， 在 Rt△BOM 中，
BM＝
，
∴ME＝BM﹣BE＝3 ②如图，
﹣2；
当 M 在线段 BD 上时，∠DMF 为钝角，
∵△MDF 为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
【分析】（1）把 A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入 y＝ax2+bx+c，即可得解； （2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由 BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利 用全等三角形的性质得出结论； （3）分两种情况讨论解答，当 M 在线段 BD 的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果， 当 M 在线段 BD 上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可． 【解答】（1）解：设抛物线的表达式为 y＝ax2+bx+c， 把 A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入