【附加15套高考模拟试卷】福建省永安一中等三校2020届高三5月三校联考数学(理)试卷含答案
2020年福建省宁德市永安第一中学高三数学文月考试题含解析
2020年福建省宁德市永安第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则是的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B2. 在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足，，则△AMD与△ABC的面积比的值为（）A. B. C. D.参考答案：D3.某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个不同的奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A.120种B.48种C.36种D.18种参考答案：答案:C4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A）若且，则（B）若且，则（C）若且，则（D）若且，则参考答案：【答案解析】B 解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16 B．C．12 D．参考答案：B6. 函数y＝－lg x的定义域为()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≤0}D．{x|x≥1}∪{0}参考答案：A7. 设集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）A．B．（3，+∞）C．D．（，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}={x|x＜1或x＞3}，B={x|y=lg（2x﹣3）}={x|x＞}，∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．8. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45参考答案：B【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用韦达定理求出a4+a6=18，再由等差数列通项公式和前n项和公式得S9==（a4+a6），由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．9. 已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则②g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正确；③g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故③正确；④g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（），故④正确；由排除法，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．10. 已知设函数，则的最大值为（）A．1 B． 2 C．D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，其中实数满足，则的最大值是参考答案：8略12. 某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题
(1)求角 B 的大小； (2)若 b = 2 7 ， S = 2 3, BD 平分 Ð ABC ，交 AC 于点 D ，求 BD 的长． 21．如图所示，三棱台 ABC - EFG 中， EA ^ 底面 ABC ， Ð ACB = 90o, AB = 2EF ．
(1)证明：VAFG 是直角三角形；
在楼顶 A 处测得地面点 M 处的俯角为15° ，宝塔顶端 C 处的仰角为 30° ，在 M 处测得
宝塔顶端 C 处的仰角为 60° ，其中 B, M , D 在一条直线上，则该宝塔的高度 CD = （ ）
A．15 3 m
B． 30 3 m
C． 30 6 m
D． 90 2 - 30 6 m
8．若正
VABC
21 ． 7
(1)求 VABC 的面积；
(2)点 G
为
AD
上一点，
uuur AG
=
2 5
uuur AD
，过点 G
的直线与边
AB,
AC
（不含端点）分别交于
E, F
uuur uuur ．若 AG × EF
=
9 10
，求
SVAEF SVABC
的值．
试卷第61 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据复数的几何意义及模长公式计算即可.
B．若 l // m ， l / /a ，则 m Pa
C．若 l ^ m,l ^ a ，则 m Pa
D．若 l ^ a , m∥a ，则 l ^ m
5．在 VABC 中，若 sin A : sin B : sin C = 1: 7 : 3 ，则 VABC 最大角和最小角之和为 （）
A．105°
B．150°
2024学年福建省永安市三中高三第二次模拟考试数学试题(详细答案版)
2024学年福建省永安市三中高三第二次模拟考试数学试题（详细答案版）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．53．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．84．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数6．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)7．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立8．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π9．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2211．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．3212．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2020届高三上学期三校联考数学(文)试题Word版含解析
福建省2020届高三上学期三校联考数学（文）试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.点睛:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目2. 已知，，，则A. B. C. D.【答案】A3. 已知等比数列的前项和为，且则A. B. C. D.【答案】C【解析】由等比数列可得, ,解得q=2,故选C.4. 下列说法正确的是A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题D. “在处有极值”是“”的充要条件【答案】C【解析】选项A, 命题“若，则”的否命题是“若，则”,错误;选项B, 命题“”的否定是“”,错误;选项C, 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题与原命题同真假, 函数有零点,即方程有解, 解得或,故原命题正确; 选项D, “在处有极值”是“”的既不充分也不必要条件,如y=在x=0处有极值,但不可导,y=在x=0处满足,但在定义域内单调递增;综上可知,选C.5. 在中，角对应的边分别为,若，，则为A. B. C. D.【答案】A6. 若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，即,,故选D.7. 若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“，使得”是假命题，则为真命题, ，解得，故选C.8. 已知,则=A. B. C. D.【答案】B【解析】由二倍角公式:= ,故选B.9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】函数,又= ,所以需将函数向右平移个单位长度,故选D.10. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】函数是偶函数排除A.当时, ,可得： ,令，作出与图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故选：D.11. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则A. B.C. D.【答案】B【解析】构造函数,则,即g(x)在上单调递增,所以,即,故选B.12. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由题意,所以周期为2, 当时，，且偶函数,即函数图象关于y轴对称,分别画出y=和y=的图象,观察可得交点个数为4个,即函数的零点个数是4个,故选C.点睛:本题考查指数函数的图象,函数的性质应用,函数零点问题,属于中档题目.解决本题的关键是要根据题中给出的奇偶性和周期性,以及部分的函数解析式画出函数在R上的图象,再把函数的零点个数问题转化为和的交点个数,考查了转化思想和数形结合思想的综合应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列中，是方程的两根，则_____【答案】3【解析】等差数列中, ,,故填3.14. 已知函数，则__________【答案】【解析】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15. 在，内角,,的对边分别为，若，且，则＝__________【答案】【解析】由正弦定理得, ,又,所以,即B为锐角, 则＝,故填.16. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列中，是数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求．【答案】（I）， . （II）.【解析】试题分析: （I）设等差数列的首项为，公差为，利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入计算,求出求出首项和公差以及通项公式; （II）化简数列的通项公式,利用裂项相消法求出．试题解析:（I）设等差数列的首项为，公差为，因为所以得数列的通项公式是，（II）,，.18. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．【答案】（Ⅰ）．单调递增区间是（）．（Ⅱ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.试题解析:（Ⅰ）所以．由，得．故，函数的单调递增区间是（）．（Ⅱ）因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以．19. 设函数，若函数在处的切线方程为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．【答案】(I)和. (II).【解析】试题分析: (I)根据导数的几何意义,可知函数在处的导数即为切线的斜率,又点(1, )为切点,列出方程解出a,b的值; (II)把a,b的值代入解析式,对函数求导判断单调性,根据单调区间写出函数的最值.试题解析:(I)，∵函数在处的切线方程为.∴解得所以实数的值分别为和.(II)由(I)知，，，当时，令，得，令，得,∴在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，在处取得极大值这个极大值也是的最大值. 又，所以，函数在上的最大值为.20. 如图，在四边形中，,平分,，,的面积为，为锐角.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求 .【答案】(I). (II) .【解析】试题分析: (I)在中,由三角形的面积公式可求得,再利用余弦定理求出；（Ⅱ）在中，由正弦定理求出和,根据题意平分，,在和中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出.试题解析:(I)在中，.因为，所以.因为为锐角，所以.在中，由余弦定理得所以CD的长为.(II)在中，由正弦定理得即，解得,也为锐角..在中，由正弦定理得即①在中，由正弦定理得即②平分，由①②得，解得因为为锐角，所以 .点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21. 已知函数 ,其中 (为自然对数的底数).（Ⅰ）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；（Ⅱ）设,若函数对任意都成立,求的最大值.【答案】(I)见解析 (II) .【解析】试题分析: (I)求出,对和分别讨论单调性,求出单调区间; (II)先对参数和时分别讨论,利用特殊值检验不能恒成立,在时，由函数对任意都成立，得,即,,构造关于a的新函数,求导判断单调性求出最大值,即的最大值.试题解析:(I)因为，①当时，在恒成立，函数在上单调递增；②当时，由得，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为 .(II) 由(I)知，当时，函数在R上单调递增且时， .所以不可能恒成立；当时，；当时，由函数对任意都成立，得 .因为，所以 .所以，设所以，由于，令，得.当时，，单调递增；当)时，，单调递减.所以，即，时，的最大值为.请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过点且斜率为1，以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线的交点为、，求的值.【答案】（Ⅰ）为参数），（Ⅱ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）由直线l过的点和斜率写出参数方程,根据极坐标方程和普通方程的互化公式,求出曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,根据根与系数的关系以及t的几何意义,求出的值.试题解析:（Ⅰ）直线的普通方程为为参数）∵，∴曲线C的直角坐标方程为（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程得∴，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）已知函数的最小值为，若实数且，求的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9.【解析】试题分析: （Ⅰ）利用零点分段将函数去掉绝对值化简, 进而求出不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值,再根据基本不等式求出的最小值．试题解析:（Ⅰ），或，或解得或不等式的解集为（Ⅱ）函数的最小值为当且仅当时等号成立故的最小值为9.点睛: 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
【附加15套高考模拟试卷】福建省福建师大附中2020届5月高考三轮模拟试卷数学理科试题含答案
福建省福建师大附中2020届5月高考三轮模拟试卷数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( )A ．12512B ．3512C ．274D ．2342．已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期是π B ．()y f x =关于4x π=对称C ．()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()f x 的最小值为2-3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．43π B ．2πC ．83πD ．103π4．若函数()()πsin 103f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A ．π18x =-B ．5π2x =-C ．7π18x =D ．π2x =5．在三棱锥S ABC -中，底面ABC △是直角三角形，其斜边4AB =，SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．25π B ．20π C ．16π D ．13π6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ）A ．94 B ．92 C ．9D ．188．如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）A ．5n ≤？B ．5?n <C ．6?n ≤D ．4?n <9．已知a ，b ，c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C 45∠=o ，c 2=，a x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A ．21x <<B ．22x <<C ．12x <<D ．12x <<10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝，＝2，且S △ABC ＝， 则b 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．111．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线12．若函数1()sin 2cos 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．4[2,]3-C ．44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．42,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届福建省永安市第一中学、漳平市第一中学高三上学期第一次联考试题 数学(理)(PDF版)
“永安一中”、“漳平一中”两校联考2019-2020学年第一学期第一次月考高三数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{10},{0}x M x x N xx -=-≤=≤，则()R C M N ⋂=（ ） A. (0,1) B. (0,2] C. (1,2] D. [1,2]2.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法错误的是（ ）A. “0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D. 命题:p x R ∀∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x ++≥4. 已知1cos()3πθ+=-，则sin(2)2πθ+=（ ）A. 79B. 79-C. 9D. 9- 5.函数3()2x y x x =-⋅的图象大致是( )6. 已知4(,),tan()243ππθπθ∈-=-，则sin()4πθ+=（ ） A. 35 B. 45 C. 45- D. 35- 7.已知1132012,3,sin 4a b c xdx π--===⎰,则实数,,a b c 的大小关系是( ) A.a c b >> B. a b c >> C. b a c >> D.c b a >>8.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =.假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m 分钟甲桶中的水只有4a 升,则的值为( ) (A)5 (B)8 (C)9 (D)109.已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值是（ ） A. 59 B. 79- C. 13- D. 89- 10.已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足：当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 则（ ）A. )3(9)()2(42f e f e f >>B. )()3(9)2(42e f e f f ->->-C.)()2(4)3(92e f e f f ->>D.)3(9)2(4)(2->->f f e f e11.已知函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时x x x f 2)(2--=则当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为（ ）A.8-B.1-C.1D.012.已知函数21()(2)x f x x x e -=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A.1m ≤B.1m <-C. 1m ≥-D. 1m >-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13.计算11)x dx -=⎰______________.14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin 2α=15.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点,,A B C 分别在函数1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,则实数a 的值为 .16.已知函数2()cos 1(0,)22xf x x x R ωωω=+->∈，若()f x 在区间(,2)ππ上没有零点，则ω的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）若b a c =+=ABC ∆的面积．18.（12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..19.（12分）已知函数2()1cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈ （1）若[0,]x π∈，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最值．20.（12分） 已知函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.（1）若()tf x x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设()()sin f xg x a x x=+且()g x 在(]0,π上为单调函数，求实数a 的取值范围.21.（12分） 已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--. （1）求证：函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方；（2）当0m >时，令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证：211x x e e-<-.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=．l 与C 交于,A B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(0,2)P -，求PA PB +的值．23．［选修4—5：不等式选讲］（10分） 已知函数()15f x x x =-+-．（1）解关于x 的不等式()6f x >； （2）记()f x 的最小值为m ，已知实数,,a b c 都是正实数，且111234m a b c ++=，求证：239a b c ++≥．漳平一中2019-2020学年第一学期第一次月考高三数学（理科）答案一、选择题1—5，CACBB ，6—10，ABABA ，11—12，CD二、填空题13.2π 14.1213-12(0,][,1]33⋃ 三、解答题17. 解：（1）∵A +B +C =π，即C +B =π-A ，∴sin （C +B ）=sin （π-A ）=sin A ，………………………………………………1分将（2a -c ）cos B =b cos C 利用正弦定理化简得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ..........................................3分∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （C +B ）=sin A ，………………………..4分在△ABC 中，0＜A ＜π，sin A ＞0，∴cos B =，又0＜B ＜π，则B =...................................................6分（2）∵b =，cos B =cos =，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得：a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =3∵a +c =2. ∴ac =3……………………………………………………………...9分又sin B =sin =，∴S =ac sin B =ac =，即△ABC 的面积为，……………………………….12分18.解（1）依题意得：二次函数且，.................3分 解得..............................................4分 故切点（0,0），................5分 所求切线方程为：....................................6分（2）.................7分.................8分 令得（舍去）......................9分在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分.......................12分19. 解：（1）=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin （2x +），……2分令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈Z ，得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，…………………………………………………….4分又0x π≤≤，∴263x ππ≤≤可得函数的单调减区间为[，]．……………………………………..6分（2）若把函数f （x ）的图像向右平移个单位， 得到函数=的图像，…………..8分 ∵x ∈[-，0]，∴2x -∈[-，-]，…………………………………………………………..9分∴∈[-2，1]．………………………………………..11分 故g （x ）在区间上的最小值为-2，最大值为1．………………….12分 20.解：（1）依题意在定义域上恒成立， 构造在定义域上恒成立，..............1分 只需.....................................2分而 令得...................................3分 所以在为增函数，在为减函数，.............4分............................5分 得..........................................6分 （2）由在上为单调函数，而其中..............7分在为减函数，............8分在恒成立......................9分得........................11分故.......................................12分21.（1）证明：构造函数.................1分则令得............................2分时时在（0,1）为减函数，在（1，）为增函数，...................3分所以，即..................4分故函数的图像恒在函数图像的上方....................5分（2）证明：由有两个零点，当时....................6分则在为增函数，且，..................7分则当时为减函数，当时，为增函数，................................8分又......9分...............................10分在和上各有一个零点，.........11分故..........................................12分22.（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即ρcosθ-ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程：y=x-2．…………………………………………….5分（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t2-10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23.解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x-5|＞6，∴或或，解得x＜0或x＞6．综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，0）∪（6，+∞）．……………5分（2）由f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4（当且仅当（x-1）（x-5）≤0即1≤x≤5时取等号）．∴f（x）的最小值为4，即m=4，∴=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=3+（+）+（+）+（+）≥9．当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．………..10分。
【附加15套高考模拟试卷】福建省四地六校2020届高三第三次联考(5月)数学(文科)试卷含答案
福建省四地六校2020届高三第三次联考（5月）数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．10x y -+= D ．10x y ++= 2．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．3．点(,)P x y 为不等式组220380210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域上的动点，则yx 最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．13-4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，平面α经过11B D ，直线1||AC α，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A ．3．322 C ．34D 65．已知0＜a ＜1，0＜c ＜b ＜1，下列不等式成立的是（ ）A ．b ca a > B ．c c a b b a +>+ C ．b c log a log a<D ．b cb ac a >++6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A ．32B ．19C ．92 D ．227．几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．62-D ．62+9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921- B ．201922- C ．202022- D ．202021-11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．43π B ．2πC ．83πD ．103π12．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2020届高三上学期三校联考数学(理)试题Word版含解析
福建省2020届高三上学期三校联考数学（理）试题一、选择题：共12题1. 若全集为实数集,集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,则.点晴;集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 命题“对任意的,都有”的否定是A. 不存在,使B. 存在,使C. 存在,使D. 对任意的,都有【答案】C【解析】该命题的否定是:存在,使.3. 已知:命题“”;命题“”,则下列命题正确的是A. 命题“”是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是真命题【答案】B【解析】因为,所以命题p是假命题,则命题是真命题;由指数函数的性质可知,命题q是真命题,命题是假命题,故命题“”是真命题.4. 下列函数中,既是偶函数,又在内单调递增的为A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇偶性可知,是非奇非偶函数,是奇函数,故排除A、C;在内,是减函数,故排除B,因此答案为D.5. 已知角终边上一点的坐标为,则A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点可化为,是第四象限的点,且,又因为,所以.6. 在中,角的对边分别为,若,,则的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理可得,则a=1,B=,所以是边长为1的正三角形,所以的面积为.7. 已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则函数的零点个数是A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】D【解析】由题意,偶函数的周期为2,作出函数的图象与函数的图象,如图所示,观察图象可知,两个函数的交点个数为6个,所以函数的零点个数是6.8. 设命题,命题,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】命题, 命题,因为是的充分不必要条件,所以,则,故答案为A.9. 定义运算,则函数的图象是下图中A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得,则答案为D.10. 下列说法错误的是A. 若扇形的半径为6cm,所对的弧长为cm,则这个扇形的面积是cm2B. 函数的图象上离坐标原点最近的对称中心坐标是C. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,若,则三角形有两解D. 若,则的值为【答案】D11. 如图是函数图象的一部分,对不同的,若,有,则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】A=2,由图象,因为,所以由正弦函数的对称性可知,则,所以,又因为,所以.12. 已知定义在上的函数,满足①;②(其中是的导函数,是自然对数的底数),则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】构造函数,则,所以函数上是增函数,所以,即,则;令,则, 函数上是减函数,所以,即,则.综上,,故答案为A.二、填空题：共4题13. _________.【答案】【解析】===.14. 若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为_____.【答案】.【解析】由题意可得在上恒成立,易知函数在上是增函数,所以,则.故答案为.15. 若函数,则函数的值域是_________.【答案】【解析】当时,,所以=;当时,,所以.所以函数的值域是.16. 如图,在路边安装路灯,路宽为,灯柱长为10米,灯杆长为1米,且灯杆与灯柱成角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为,灯罩轴线与灯杆垂直.若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点,另一条与地面的交点为.则该路灯照在路面上的宽度的长是_________米.【答案】【解析】在三角形AOB中,由余弦定理可得OA=,由正弦定理得,所以,则,,在三角形AOE中,由正弦定理可得.三、解答题：共7题17. 在中,角的对边分别为,且满足(1)求角的大小;(2)若为边的中点,且,求.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由正弦定理得,=,结合两角和与差公式、,即可得出结论;(2)过D作交AB于E, 由余弦定理得=,则结论易得.试题解析：(1)由已知,由正弦定理得,整理得,即,又,所以,,.(2)过D作交AB于E,为边的中点,,,由余弦定理得,解得,.点睛：本题考查的是解三角形问题.在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，利用正、余弦定理、两角和与差公式和三角形内角和为，将已知化简可求得,由，得.第二问求线段长时，要想法把线段放到三角形中利用余弦定理求解即可.18. 已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线的方程;(2)讨论函数的单调性.【答案】(1);(2) 见解析.【解析】试题分析：(1)求导切线的斜率,则可得切线方程;(2),,令,分三种情况讨论,则易得函数的单调性.试题解析：(1)切线方程:即(2),,令,①当时,,所以在上单调递增.②当时,令,,所以在上单调递增,在上单调递减.③当时,令,,所以在上单调递减,在上单调递增.点睛：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．19. 2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施,其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目.市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”,现准备对该“方案”进行调查,并根据调查结果决定是否启用该“方案”.调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为:①调查对象为本市市民,被调查者各自独立评分;②采用百分制评分,[60,80)内认定为满意,不低于80分认定为非常满意;③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”;④用样本的频率代替概率.(1)从该市800万人的市民中随机抽取5人,求恰有2人非常满意该“方案”的概率;并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”,说明理由.(2)已知在评分低于60分的被调查者中,老年人占,现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因,并从中抽取3人担任群众督查员,记为群众督查员中的老人的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】(1) 见解析;(2) 见解析.【解析】试题分析：(1)根据频率分布直方图的几何意义求出不低于80分频率,即可得出不低于80分的概率为,则现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为:;评分在的频率为:根据相关规则该市应启用该“方案”;(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,求出每一个变量的概率,即可得出分布列与期望.试题解析：(1)根据频率分布直方图,被调查者非常满意的频率是,用样本的频率代替概率,从该市的全体市民中随机抽取1人,该人非常满意该项目的概率为,现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为:;根据题意:60分或以上被认定为满意或非常满意,在频率分布直方图中,评分在的频率为:=根据相关规则该市应启用该“方案”.(2)因为评分低于60分的被调查者中,老年人占,又从被调查者中按年龄分层抽取9人,所以这9人中,老年人有3人,非老年人6人,随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,,,.的分布列为:的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值20. 已知函数.(1)将函数的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的倍,再把整个图像向左平移个单位长度得到的图像.当时,求函数的值域;(2)若函数在内是减函数,求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1),则,结合正弦函数的性质可得函数的值域;(2),由函数在内是减函数可得,则结论易得. 试题解析：(1)由已知====,易求得,,.(2)由已知得,令,得若函数在内是减函数,则,解得.点睛:对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.21. 已知函数R.(1)当时,求函数的最小值;(2)若对任意,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】(1) 见解析.(2).【解析】试题分析：(1),判断函数的单调性,则易得最值;(2)由(1)得:恒成立,又,当恒成立时,即恒成立时,条件必然满足.设,求导并求出的最小值即可;当时,即,条件不满足.试题解析：(1)当时,,则.令,得.当时,;当时,.所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以当时,函数取得最小值,其值为.(2)由(1)得:恒成立.1①当恒成立时,即恒成立时,条件必然满足.设,则,在区间上,是减函数,在区间上,是增函数,即最小值为.于是当时,条件满足.②当时,即,条件不满足.综上所述,的取值范围为.22. 在直角坐标系中,直线过点且斜率为1,以为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线的交点为,求的值.【答案】(1),,(2).【解析】试题分析：(1)直线的参数方程为;利用公式化简可得极坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,由根与系数的关系,结合参数的几何意义,则可得结果.试题解析：(1)直线的参数方程为,,所以曲线C的直角坐标方程为,(2)将直线的参数方程代入曲线方程得,==.23. 已知函数(1)求不等式的解集;(2)已知函数的最小值为,若实数且,求的最小值.【答案】(1)(2)9.【解析】试题分析: （Ⅰ）利用零点分段将函数去掉绝对值化简, 进而求出不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值,再根据基本不等式求出的最小值．试题解析:（Ⅰ），或，或解得或不等式的解集为（Ⅱ）函数的最小值为当且仅当时等号成立故的最小值为9.点睛: 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
福建省永安市第三中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
福建省永安市第三中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数()1i i 2i a b +=-，a 、b R ∈，则a b +=（ ） A ．3B ．1C ．1-D ．3-2．已知复数24(2)z m m i =-+-，（m R ∈），则“2m =-”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在ABC 中，若sin cos A Ba b=, 则B =（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．34π 4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，4a =，60B =，75C =，则b =（ ）A．B ．C ．D ．1135．已知向量,a b ，其中||3a =，||2b =，且()a b a -⊥，则向量a 和b 的夹角是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 6．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若sin()sin()22a Bb A ππ-=-，则ABC的形状一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．已知()3,2AB =，(),3AC λ=，且1BC =，则AB BC ⋅=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．38．如图在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的三等分点（靠近D 点），若CE r AB sAC =+（,r s R ∈），则r s += （ ）A ．1B ．13C ．23-D ．13-二、多选题9．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为11i z =+，22i z =，312i z =-，则下列结论正确的是（ ）A ．3z 的共轭复数3z 虚部为2iB ．21z z =C ．21z 为纯虚数D ．若AD BC =，则点D 对应的复数23i +10．下列命题中,正确的命题为（ ） A ．对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或=-a b B ．若e 为单位向量，且a //e ，则||a a e =± C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线 D ．四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+11．设平面向量,,a b c 两两所成的夹角相等，且||1a =，1b ||=，||3c =，则||a b c ++的值可能为（ ）A ．2B ．3C ．5D 12．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=+，则下列叙述正确的有（ ）A ．3A π=B ．若2a =，则ABC C ．若2AB =，3AC =，且2CE EB =，则23AE CB ⋅=D ．若b =，且满足条件的ABC 不存在，则边a 的取值范围是a >三、填空题13．若(1)1z i i +=-，则||z =__________.14．设平面向量(1,2),(2,)a b λ==-，若//a b ，则|3|a b +=__________.15．如图，冠豸山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，测得张角120ABC ∠=；从B 处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC ，测得张角150ADC ∠=；从D 处再攀登8千米方到达C 处，则索道AC 的长为______________千米.四、双空题16．在ABC 中有如下结论：“若点M 为ABC ∆的重心，则0MA MB MC ++=”.设,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，点M 为ABC 的重心. 若303aMA bMB cMC ++=，则内角A 的大小为_________；当3a =时，ABC 的面积为__________.五、解答题17．设复数z 1＝2＋a i(其中a ∈R )，z 2＝3－4i. （1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值； （2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|. 18．已知两个非零向量,a b .（Ⅰ）若向量,a b 是夹角为120°的单位向量，试确定实数k ，使ka b +和a b -垂直； （Ⅱ）若AB a b =+，26BC a b =+，()2CD a b =-，求证：,,A B D 三点共线. 19．在①sin cos c B C =；②sin ABCS CA CB C =⋅⋅；③ 22cos sin(2)2cos 2C C C π+-=三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足 ，2c =.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若D 为BC 上一点，5,4AB DB ==,且12AB BD ⋅=-,求AC . (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos(),sin()m A B A B =--，(cos ,sin )n B B =-，且35m n ⋅=-.（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影向量. （提示：向量a 在b 方向上的投影向量为||cos ,||ba ab b <>，其中||b b 为与b 同向的单位向量，,a b <>为a 与b 的夹角）21．岛A 观察站发现在其南偏东45︒方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度沿南偏东45︒方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75︒方向且相距10海里的C 处，随即以每小时.（1）问：海监船接到通知时，距离岛A 多少海里？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间. 22．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，若,M N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足BM CN k BCCD==，()0,1k ∈.（I ）当90DAB ∠=，12k =时，求向量AM 和AN 夹角的余弦值； （II ）当60DAB ∠=时，求AM AN ⋅的取值范围.参考答案1．D 【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得a b +的值.【详解】()1i i i 2i a a b +=-+=-，所以，21a b -=⎧⎨-=⎩，则21a b =-⎧⎨=-⎩，因此，3a b +=-. 故选：D. 2．C 【分析】根据复数是纯虚数⇔实部为0且虚部不为0，可解决此题． 【详解】解：若复数24(2)z m m i =-+-为纯虚数， 则240m -=且20m -≠，解得：2m =-，∴ “2m =-”是“z 为纯虚数”的充要条件．故选：C. 3．B 【分析】由已知结合正弦定理可得sin cos B B =，进而可得tan 1B =，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值． 【详解】 解：sin cos A Ba b=，可得：sin cos b A a B =， ∴结合正弦定理可得：sin sin cos a b bA B B==， sin cos B B ∴=，可得tan 1B =，(0,)B π∈，4B π∴=．故选：B ． 4．A求出角A 的值，利用正弦定理求出b 的值. 【详解】由三角形的内角和定理可得18045A B C =--=，由正弦定理sin sin b a B A =，可得sin 4sin 602sin sin 45a Bb A ===故选：A. 5．A 【分析】运用向量垂直的条件即为数量积为0，再由向量夹角公式和范围，即可得到夹角． 【详解】解：由于||3a =，||2b =，且()a b a -⊥， 则()0a b a -=，即有23a b a ==，3cos ,||||23a b a b a b <>===由于,[0a b <>∈，]π， 则a 与b 的夹角为6π． 故选：A ． 6．B 【分析】已知等式利用诱导公式，正弦定理化简，变形后利用两角差的正弦函数公式化简，得到0A B -=，可得A B =，即可确定出三角形形状．【详解】sin()sin()22a Bb A ππ-=-，可得cos cos a B b A =，∴利用正弦定理得：sin cos sin cos =B A A B ，sin cos cos sin sin()0A B A B A B ∴-=-=，A ，(0,)B π∈，(,)A B ππ-∈-，0A B ∴-=，即A B =，则三角形形状为等腰三角形．故选：B ． 7．C利用向量坐标运算表示出BC ，由模长构造方程求得λ后，根据数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()3,1BC AC AB λ=-=-，(1BC λ∴=，解得：3λ=，()0,1BC ∴=，30122AB BC ∴⋅=⨯+⨯=.故选：C. 8．D 【分析】 把23AE AD =，1()2AD AB AC =+代入CE CA AE =+即可解决此题．【详解】22112()33233CE CA AE CA AD CA AB AC AB AC r AB sAC =+=+=+⨯+=-=+， 13r ∴=且23s =-，则13r s +=-．故选：D ． 9．BC 【分析】根据共轭复数，模长公式，复数的四则运算求解即可. 【详解】对于A ，312i z =-的共轭复数3z 虚部为2，故A错误； 对于B ，21|2i ||1i |z z ===+B 正确； 对于C ，221(1i)2i z =+=为纯虚数，故C 正确；对于D ，点A ，B ，C 对应复平面的坐标分别为：()()()1,1,0,2,1,2-则BC 对应的复数为14i -，即AD 对应的复数为14i -，由此点D 对应的复数为23i - 故选：BC 10．BD 【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 【详解】对于A ：对于向量,a b ，若||||a b =，则a 与b 不存在关系，故A 错误； 对于B ：若e 为单位向量，且//a e ，则||a a e =±，故B 正确；对于C ：若a 与b 共线，b 与c 共线，且0b ≠，则a 与c 共线，当=0b ，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ：四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+，整理得AB AD CB CD DB -=-=， 故D 正确； 故选：BD ． 11．AC 【分析】当平面向量a ，b ，c 同向共线时，它们两两所成的夹角为0︒，计算||5a b c ++=；当平面向量a ，b ，c 不共线时，它们两两所成的夹角为120︒，计算||2a b c ++=． 【详解】解：当平面向量a ，b ，c 两两所成的夹角为0︒时， 由||1a =，||1b =，||3c =，得||||||||5a b c a b c ++=++=； 当平面向量a 、b 、c 两两所成的夹角相等且不为0︒时， 则a <，b a >=<，c c >=<，120b >=︒． 又2222()2()a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅1192(11cos12013cos12013cos120)4=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，所以||2a b c ++=；综上知，||a b c ++的值可能为5或2． 故选：AC ． 12．BC 【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A 选项的正误；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断B 选项的正误；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项的正误；利用ABC 不存在结合已知条件求出a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由正弦定理可得()()()a b a b b c c +-=+，可得222b c a bc +-=-， 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，故23A π=，A 选项错误； 对于B 选项，因为222423a b c bc bc bc bc ==++≥+=，则43bc ≤，当且仅当b c ==时，等号成立，21sin 2ABC S bc A ==≤=⎝⎭△ B 选项正确；对于C 选项，2cos33AB AC AB AC π⋅=⋅=-， 2CE EB =，即()2AE AC AB AE -=-，所以，()123AE AB AC =+， 所以，()()()22112233AE CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅-=-⋅- ()2212223333=⨯+-=，C 选项正确；对于D 选项，因为23A π=，b =且满足条件的ABC 不存在，则a b ≤=D 选项错误. 故选：BC. 13．1 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出． 【详解】解：(1)1z i i +=-，∴21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， z i ∴=， 则||1z =， 故答案为：1．14【分析】由两向量共线，可求y 的值，在利用向量的模长公式即可． 【详解】解：//a b ，∴则()2210λ⨯--⋅=，解得4λ=-，从而3 (1,2)a b +=，|3∴|5a b +=.15．【分析】在ABC 中根据120ABD ∠=︒，18030ADB ADC ∠=︒-∠=︒，利用内角和定理算出30DAB ∠=︒，从而4AB BD ==千米，利用余弦定理算出AD =然后在ADC 中，根据两边AD 、DC 长和夹角150ADC ∠=︒，利用余弦定理解出2AC 值，从而得出AC ． 【详解】解：在ABD △中，4BD =千米，120ABD ∠=︒，18030ADB ADC ∠=︒-∠=︒1801203030DAB ∴∠=︒-︒-︒=︒得ABD △中，4AB BD ==千米，AD = 在ADC 中，8DC =千米，150ADC ∠=︒2222AC AD DC ∴=+- cos AD DC ADC ∠2243828cos150208=⨯+-⨯⨯︒=（千米）AC ∴=故答案为：16．6π【分析】根据向量的基本定理，由题中的向量关系可得a b ==，由余弦定理可得cos A =再由3a =，可得各边长，再利用面积公式即可得解. 【详解】由0MA MB MC ++=，若要303aMA bMB cMC ++=，则:1:1:1a b =，即a b ==，2222cos 2b c a A bc +-===，所以6A π=， 由3a =，可得3,b c ==所以111sin 3222ABC S bc A ==⨯⨯=. 故答案为：6π17．（1）224i +；（2）52. 【分析】）（1）由复数的虚部为0求得a ，再由复数代数形式的乘除运算求z 1•z 2的：（2）【详解】（1）∵z 1＝2+a i （其中a ∈R ），z 2＝3﹣4i ，∴z 1+z 2＝5+（a ﹣4）i ，由z 1+z 2是实数，得a ＝4．∴z 1＝2+4i ，z 2＝3﹣4i ，则z 1·z 2＝（2+4i ）（3﹣4i ）＝22+4i ；（2）由()()()()122i 34i 2i 6438==i 34i 34i 34i 2525a z a a a z +++-+=+--+是纯虚数， 得64=0380a a -⎧⎨+≠⎩，即a ＝32，故|z 1|=352+i 22 18．（Ⅰ）1k =；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）令()()0ka b a b +⋅-=，展开再利用向量数量积定义，即可确定实数k .（Ⅱ）由条件推得4BD AB =，再根据向量共线的条件得证结论．【详解】（Ⅰ）∵ka b +和a b -垂直∴()()0ka b a b +⋅-=∴220ka ka b a b b -⋅+⋅-=∴33022k -= ∴1k =（Ⅱ）∵44BD BC CD a b =+=+，AB a b =+∴4BD AB =∵,BD AB 有公共点B∴,,A B D 三点共线【点睛】向量共线：（1）//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ，（2）111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ （3）若OA mOB nOC =+，则,,A B C 三点共线1m n ⇔+=（4）,,A B C 三点共线,AB AC λλ⇔∃∈=R19．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）选①sin cos c B C =，结合正弦定理及同角基本关系进行化简可求tan C ，进而可求C ；选②sin ABC S CA CB C =⋅⋅，由向量数量积及三角形面积公式进行化简可求cos C ，进而可求C ；选③由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简可求cos C ，进而可求C ； （Ⅱ）由已知结合向量数量积可求cos B ，进而可求sin B ，然后结合正弦定理可求AC ．【详解】（Ⅰ）选①sin cos c B C =及正弦定理得sin sin cos C B B C ，0,sin 0B B π<<∴>，所以sin C C =，即tan C =由C 为三角形内角，得3C π=； 选②sin ABC SCA CB C =⋅⋅， 所以1sin cos sin 2ab C ab C C =，因为sin 0C >， 所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角，得3C π=；选③：22cos sin(2)2cos 2C C C π+-=， 所以2cos cos21cos2C C C +=+， 所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角，得3C π=；（Ⅱ）因为54cos()12AB BD B π⋅=⨯-=-， 所以3cos 5B =， 所以4sin 5B =， ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B C=，即45AC =所以AC =20．（Ⅰ）45 ；（Ⅱ）4B π=，18BC . 【分析】（Ⅰ）由向量数量积的坐标表示、两角和的余弦公式以及同角三角函数的平方关系计算即可求解；（Ⅱ）由正弦定理，可得sin sin b A B a=，结合大边对大角可求出角B ，再由余弦定理可计算边c ，由已知条件中投影向量的定义即可求解.【详解】（Ⅰ）由35m n ⋅=-，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 所以3cos()cos 5A B B A -+==-， 因为0A π<<，所以4sin5A.（Ⅱ）由正弦定理，得sin sina bA B=，45sinsinb ABa⨯==因为a b>，所以A B>，所以B一定为锐角，则4Bπ=.由余弦定理得：2222cosa b c bc A=+-，即(22235255c c⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，整理得：2706c c-+=，解得：1c=或7c=-(舍去)，故向量BA在BC方向上的投影向量为21||cos cos128||||BC BCBA B c B BCBC BC==⨯⨯=，所以4Bπ=，向量BA在BC方向上的投影向量为18BC.21．（1）（2）海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时.【分析】（1）利用三角形内角和可得60ACB∠=︒，再在ABC中利用正弦定理即可得解；（2）设海监船航行时间为t小时，各边利用t表示，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）根据题意得45BAC∠=︒，75ABC∠=︒，10BC=，所以180754560ACB∠=︒-︒-︒=︒在ABC中，由sin sinAB BCACB BAC=∠∠得10sin10sin60sin sin45BCACBABBAC∠︒====∠︒所以海监船接到通知时，距离岛A.（2）设海监船航行时间为t小时，则BD=，10CD t=，又因为180********BCD ACB∠=︒-∠=︒-︒=︒，所以2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅︒，所以221300100100210102t t t⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以2210t t --=，解得1t =或12t =-(舍去). 所以10CD =，所以BC CD =， 所以()1180120302CBD ∠=︒-︒=︒， 所以7530105ABD ∠=︒+︒=︒所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时. (或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时) 22．（I（II ）()2,5. 【分析】（I ）以A 为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AM 和AN ，由向量夹角公式可直接计算求得结果；（II ）以A 为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AM 和AN ，根据平面向量数量积的坐标运算可用k 表示出AM AN ⋅，由二次函数的性质可求得结果.【详解】（I ）当90DAB ∠=，12k =时，,M N 分别为,BC CD 中点， 以A 为原点可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，12,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1N ，12,2AM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()1,1AN =，5cos ,17AM ANAM AN AM AN ⋅∴<>===⋅ （II ）以A 为坐标原点可建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，52C ⎛ ⎝⎭，12D ⎛ ⎝⎭， BM CNk BC CD ==，122M k ⎛⎫∴+ ⎪ ⎪⎝⎭，522N k ⎛- ⎝⎭，122AM k ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭，522AN k ⎛=- ⎝⎭， 21532225224AM AN k k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()0,1k ∈，由二次函数性质知：()2252,5k k --+∈， AM AN ∴⋅的取值范围为()2,5.。
【数学】福建省2020学年高一上学期三校联考数学试题版含答案
【关键字】数学“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考2017-2018学年第一学期第一次月考高一数学试题命题人：永安一中吴愉德化一中郭昌端漳平一中张春女（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把集合用列举法表示为( )A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.与表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D.，4.设,则()A. B. C. D.5. 已知函数，则其图象( )A.关于轴对称B.关于直线对称C.关于原点对称D.关于轴对称6. 已知是定义在R上的奇函数，时，，则在上的表达式是（）A. B. C. D.7. 设全集为R,函数的定义域为M,则=()A. B. C. D.8. 已知集合或，，且，则实数的取值范围为（）A．B．C. D．9.若函数为偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（）A. B. C. D.10、非空数集如果满足：①；②若对有，则称是“互倒集”.给出以下数集：①； ②③.其中“互倒集”的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．11.函数在区间上递加，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.12．已知函数满足，当时， ，若在区间上，方程只有一个解，则实数的取值范围为() A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.计算所得结果为14.设函数，则____________．15.已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．16.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明及演算步骤.。
17. （本题满分10分）已知集合，，求。
18. （本题满分12分）若集合，.（1）若,求实数的值； （2）若，求实数的取值范围．19. （本题满分12分）设函数是奇函数.（1）求常数的值.（2）若,试判断函数的单调性,并用定义加以证明.20、（本题满分12分）对定义域分别是、的函数，规定：函数其中（1）求出函数)(x h 的解析式；（2），画出图象，并根据图象直接写出函数)(x h 的单调增区间；（3）若()()2x R x h x m =+≤在[]1,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
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福建省永安一中等三校2020届高三5月三校联考数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数，满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．42．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．9B ．18C ．20D ．353．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤4．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2222x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D ．55．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） A 2 B 3 C 5D 106．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||4b =r ，()a a b ⊥+r r r ，则向量a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．17．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．83B．163C．203D．88．已知等边ABC∆的边长为2，点,E F分别在边AB、AC上，且AE ABλ=u u u r u u u r，AF ACμ=u u u r u u u r，若23EB FC⋅=u u u r u u u r，1EC FB⋅=-u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12B．23C．56D．7129．已知函数()()f x x R∈满足()2()f x f x-=-，若函数()sin21g x x=+与()y f x=图像的交点为11(,)x y，22(,)x y，…，(,)m mx y，则1()mi iix y=+=∑（）A．m B．2m C．3m D．4m10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，27立方寸=1升，则商鞅铜方升的容积约为A．0.456升B．0.467升C．0.486升 D．0.487升11．已知a是实数，1a ii+-是纯虚数，则a等于（）A．2-B．1-C2D．112．在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知ABC ∆中，A ∠的平分线交对边BC 于点D ，3AB AC =，且AD kAC =，则实数k 的取值范围是______.14．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点(4,1),且与2214x y -=具有相同渐近线,则C 的方程为________________;渐近线方程为__________________.15．已知过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =u u u v u u u v，则椭圆的离心率为__________．16．如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⋅u u u v u u u v＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO u u u r ＝3OC u u u v ，则CB CD ⋅u u u v u u u v ＝__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．证明：平面PAB ⊥平面PCD ；若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．18．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，点1(3)2在曲线C ：cos sin x k y m ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）上，对应参数为3πϕ=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2,)6π.直接写出点P 的直角坐标和曲线C 的极坐标方程；设A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA OB ⊥，求22OA OB+的最小值.19．（12分）设为数列的前n 项和，已知，对任意，都有．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若数列的前n 项和为，求证：．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为42cos()4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b Aπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.求角A 的大小；若2a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.22．（10分）如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=求证：1//QB 平面11A ACC 求二面角11A BB C--的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．B 3．D4．B 一、单选题 5．A 6．A 7．B 8．C 9．A 10．B 11．D 12．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3(0,)2 14．221123y x -=12y x=± 15．25516．3-三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）23【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到CD ⊥平面PBC ，即CD PB ⊥，进而得到平面PAB ⊥平面PCD ,(2)由等体积法求解，A PED P AED V V --=。
详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC. ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC∩平面ABCD=BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB. ∵PB ⊥PD ，CD∩PD=D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD.∵PB平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD.（2）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==， ∵PB PC =，∴PO BC ⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC∩平面ABCD=BC ，PO 平面PBC ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O , ∴PE ⊥AE.∵PO∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE. ∵∠C=∠D=90O , ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCE Rt EDA ∆~∆，∴OC CEED AD=． ∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴2CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅ 112221323=⨯⨯=．点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题的能力，考查学生的空间想象能力。
18．（1）3,1)，22413cos ρθ=+（2）165【解析】 【分析】（1）由极坐标公式可得P 的直角坐标为()3,1，将点1323和πϕ⎛= ⎝代入求得k=1，m=2，则曲线方程2214y x +=，求得极坐标方程22413cos ρθ=+； （2）设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知22413cos OA θ=+，22413sin OB θ=+，所以2222094sin 24OA OB θ+=+，2sin 21θ=时，22OA OB +的最小值为165. 【详解】解：（1）点P 的直角坐标为)3,1，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+.（2）由（1）知曲线C ：22413cos ρθ=+. 由A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA OB ⊥， 不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，且2212413cos OA ρθ==+，222224413sin 13cos 2OB ρπθθ===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴222212224413sin 13cos OA OB ρρθθ+=+=+++()()2222020913sin 13cos 4sin 24θθθ==+++20169544≥=+. 当2sin 21θ=时，222212165OA OB ρρ+=+=. ∴22OA OB +的最小值为165. 【点睛】本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题. 19． (1) ；(2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式； （2）b n ，由裂项相消求和即可得到所求和．【详解】 （1）因为，当时，两式相减得： 即，所以当时，. 所以，即.（2）因为，，，所以. 所以 ，因为，所以. 又因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数.所以当时，取最小值， 所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 20．55【解析】 【分析】将直线的参数方程及圆的极坐标方程化为普通方程，求得圆心到直线的距离，利用垂径定理求得弦长. 【详解】将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++=圆C 的方程为42cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-，即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为22 ∴圆心C 到直线l 的距离为24455d -+==∴直线l 被圆C 截得的弦长为()222125225⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程，以及直线和圆的位置关系的应用，考查了垂径定理，属于基础题． 21．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）334【解析】 【分析】（Ⅰ）利用诱导公式及正弦定理化简2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭可得：2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得：2sin cos sin C A C =，即可求得：1cos 2A =，问题得解。