2018年秋八年级数学上册第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理一练习17

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2018年秋八年级数学上册第2章特殊三角形 2.3 等腰三角形的性质定理(二)练习 (新版)浙教版

2.3 等腰三角形的性质定理(二)A组1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__32°__．,(第1题)) ,(第2题))2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C) A． 35° B． 45°C． 55° D． 60°,(第3题)) ,(第4题)) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B) A． 18 B． 20C． 22 D． 24(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE ＝DF，请说明理由．【解】连结AD．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD．(第7题)7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．B组(第8题)8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当β为定值时，∠CDE为定值D．当γ为定值时，∠CDE为定值【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．(第9题)【解】由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，…，则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A ，…．∵∠BOC ＝9°，∴∠A 1AB ＝2∠BOC＝18°．同理可得∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，∠A 5A 4B ＝54°，∠A 6A 5C ＝63°，∠A 7A 6B ＝72°，∠A 8A 7C ＝81°，∠A 9A 8B ＝90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，BF ⊥AC 于点F ，交AD 于点E ，∠BAC ＝45°．求证：△AEF ≌△BCF ．(第10题)【解】过点F 作FG⊥AB 于点G ．∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴∠ABF ＝45°．∵FG ⊥AB ，∴∠AGF ＝∠BGF ＝90°．在△AGF 和△BGF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAF ＝∠GBF ＝45°，∠AGF ＝∠BGF ，GF ＝GF ，∴△AGF ≌△BGF (AAS )，∴AF ＝BF ．∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF ＋∠C ＝90°．∵BF ⊥AC ，∴∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠CBF ＋∠C ＝90°，∴∠EAF ＝∠CBF ．在△AEF 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠CBF，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ≌△BCF (ASA )．(第11题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：DE ＝DF ．(2)问：如果DE ，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？【解】 (1)∵AB＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．(2)相等．理由如下：由(1)知AD⊥BC，∠DAE ＝∠DAF，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．∵DE ，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，∴∠ADE ＝12∠ADB ，∠ADF ＝12∠ADC， ∴∠ADE ＝∠ADF．在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠D AF ，AD ＝AD ，∠ADE ＝∠ADF，∴△ADE ≌△ADF(ASA)，∴DE ＝DF ．数学乐园(第12题)12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，求∠CEF 的度数．【解】连结BO ．∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，∴∠OBA ＝∠OAB＝12∠BAC＝25°． ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB＝65°．∴∠OBC ＝65°－25°＝40°．根据等腰三角形的对称性，得∠OCB ＝∠OBC ＝40°．∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO ＝EC ，∠CEF ＝∠OEF ，∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°，∴∠CEF ＝∠OEF ＝180°－2×40°2＝50°．。

秋浙教版八年级数学上册练习：2.3等腰三角形的性质定理(一)

2.3等腰三角形的性质定理（一）ABC 中，AB = AC, BD 平分/ ABC , Z A = 36° ,则/ 1C. 72 °D. 1082. 如图，在厶ABC中，AB = AC , Z A = 30°, AB的垂直平分线I交AC于点D, 则Z CBD的度数为(B)A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°3. 如图，在厶ABC中，AB = AC ,过点A作AD II BC.若Z 1= 70°则Z BAC的度数为(A)A. 40°B. 30°C. 70°D. 50°4. 如图，在厶ABC中，AB = AC , Z ABC , Z ACB的平分线BD , CE交于点O, 且BD交AC于点D , CE交AB于点E .某同学分析图形后得出以下结论：①厶BCDCBE ;②厶BAD BCD ;③厶BDA CEA ;④厶BOECOD ;⑤厶ACE◎△ BCE.上述结论一定正确的是（D）A.①②③B. ②③④C.①③⑤D.①③④的度数为（C）1如图，在等腰三角形（第5题）5. 如图，在厶ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC = CD = BD = BE .若Z A = 50°则/ CDE的度数为（D）A. 50°B. 51°C. 51 . 5°D. 52. 5°A（第6题）6. 如图，在厶ABC 中，AB = AC , BD 丄AC , Z ABC = 72° ,求Z ABD 的度数.【解】T AB = AC, ZABC = 72°•••ZACB = Z ABC = 72°•••ZA = 36 ° .TBD 丄AC,•••ZABD = 90°-36°=54°A7. 如图，将△ ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A'处.若D为AB边的中点，Z B= 50°求Z BDA的度数.【解】•/ D是AB的中点，.•.BD = AD .由折叠的性质,得A'D= AD, ABD = AD .•••ZBA'D =Z B = 50 °v/B+Z BAD +Z BDA = 180 °•••ZBDA '= 180 ° Z B— Z BAD = 80 °A(第8题)8. 如图，在厶ABC 中，已知AB = AC , AD = AE , Z BAD = 28°,求Z EDC 的度数.【解】v AB= AC, •••ZB=Z C.同理，ZADE = Z AED .设Z EDC = a, ZC = 3,则Z ADE = Z AED =Z EDC +Z C= a+ 3,Z ADC = Z ADE + Z EDC = a+ 3+ a= 2 a+ 3-vZ ADC = Z BAD + Z B = 28 °+ 3,「•2 a+ 3= 28 + 3, •- a= 14 °即Z EDC = 14 °B组（第9题）9. 如图，在厶PAB中，PA = PB, M , N, K分别是PA, PB, AB上的点，且AM=BK , BN = AK .若Z MKN = 44°,则Z P 的度数为(D)A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°【解】v PA= PB, •••ZA=Z B.AM = BK,在厶AMK和厶BKN中，T ZA= Z B,AK = BN, :./AMK也启KN (SAS). /.Z AMK = Z BKN .T Z MKB = ZMKN+ Z BKN = Z A+Z AMK ,•••ZA=Z MKN = 44 °•••/P= 180 °Z A-Z B = 92 °10. 如图，已知AB = A i B , A i B i = A1A2, A2B2 = A2A3, A3B3 = A3A4 ,….若Z A 70°,则ZB n-i A n A n- i 的度数为(C)B【解】在/ABA i 中，T Z A= 70 ° AB= A i B,/.Z BA i A= Z A= 70°°.°A i A2 = A i B i, ZBA i A 是/A i A2B i 的外角，/•Z B i A z A i =Z BA i A2同理，ZB2A3A2 = 2Z B i A2A i = Z BA iA ZB3A4A3=2 Z B2A3A2=Z BA iA,--ZBn —i A n A n —i =11. 如图，在/ ABC中，分别以AC , BC为边作等边三角形BCE ,连结AE , BD交于点O,求Z AOB的度数.ACD和等边三角形fi（第10题）An-o70° B.oC.D.|oZ BA i A2n-i（第11【解】设AC与BD交于点H .•••必CD , MCE都是等边三角形，•••CD = CA, CB = CE, ZACD = Z BCE = 60 °•••/DCB = Z ACE,•ZDCB ^z ACE(SAS),•••ZCDB = Z CAE.又vZ DCH + Z DHC + Z CDB = 180 ；ZAOH + Z AHO + Z CAE = 180 ；ZDHC = Z AHO ,•Z AOH = Z DCH = 60 ；•Z AOB = 180 -Z AOH = 120 :12. 如图，在厶ABC中，AB = AC , BD , CE是厶ABC的两条高线，BD与CE相交于点O.(1) 求证：OB = OC.(2) 若Z ABC = 70；,求Z BOC 的度数.【解】(1)v AB = AC ,•Z ABC = Z ACB .TBD , CE是厶ABC的两条高线，•Z BEC = Z CDB = 90 ；又v BC = CB,• ZBEC ^zCDB(AAS),又•••/ BOE = Z COD , ZBEO = Z CDO = 90 °• ZBOE ^z COD(AAS),.•QB = OC .⑵连结DE .vZ ABC = 70° AB = AC ,• Z A = 180 °2X 70 = 40 :vZ A +Z AED + Z ADE = 180°, Z OED + Z ODE + Z DOE = 180°,•••ZA +Z AEO +Z ADO + Z DOE = 360°.又 T Z AEO = Z ADO = 90°,• Z A +Z DOE = 180 ；• Z BOC =Z DOE = 180 °40 = 140 °（第13题）13. 如图，在厶ABC 中，已知BC = AC , Z BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于1点D •若Z ADC = 2Z CAD ，求Z ABC 的度数.【解】如解图，设Z ABC = x , ZCAD = y ,则 Z ACD = 2x , ZADC = ?Z CAD 数学乐园14. （1）已知在△ ABC 中，Z A = 90° , Z B = 67. 5° ,请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来.2y ，• Z ABC = 36°.（第13题解） x + 2y = 180°只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.（2）已知在△ ABC中，Z C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求Z ABC与Z C之间的关系.（第14题）导学号：91354010【解】（1）如解图①②（共有2种不同的分割法）.（第14题解）(第14题解③)(2)设/ ABC = y, / C= x,过点B的直线交边AC于点D . 在厶DBC中，1①若/ C 是顶角，如解图③，则/ CBD = Z CDB = 90°—~x, Z A = 180°—x —y.1故Z ADB = 180°—Z CDB = 90°+ 荻 > 90° ,此时只能有Z A = Z ABD ,f1、即180 —x —y = y —90 —qx ,3••• 3x + 4y = 540° , /-Z ABC = 135°—4Z C.②若Z C是底角，第一种情况：如解图④ ，当DB = DC时，Z DBC = x •在△ ABD中，Z ADB = 2x, Z ABD = y —x.若AB = AD ,则2x= y —x,此时有y = 3x,/.z ABC = 3Z C.若AB = BD，则180°—x —y= 2x,此时有3x + y= 180° , /Z ABC = 180°—3Z C. 若AD = BD ,贝V 180°—x—y= y —x,此时有y = 90° ,即Z ABC = 90 ° , Z C 为小于45°的任意锐角.（第14题解）第二种情况：如解图⑤，当BD = BC时，ZBDC = x, ZADB = 180°-x>90°此时1 1只能有AD = BD , AZ\ = Z ABD = j Z BDC = q Z C vZ C,这与题设Z C是最小角矛盾. •/当Z C是底角时，BD = BC不成立.3综上所述，ZABC与Z C之间的关系是Z ABC = 135°—j Z C或Z ABC = 3 Z C或Z ABC = 180°—3/C 或Z ABC = 90°（Z C 是小于45° 的任意锐角）.。

初二等腰三角形性质及判定练习题

初二等腰三角形性质及判定练习题
等腰三角形是初中阶段的重要概念之一。

以下是等腰三角形的
性质及判定方法：
等腰三角形性质
- 定义：有两个角的角度相等的三角形被称为等腰三角形；
- 两边相等的角也是相等的；
- 等腰三角形的两条等边所对应的角被称为基角，另一个角被
称为顶角；
- 基角的角平分线也是等边三角形的高线；
- 等腰三角形的顶角的角平分线与底边垂直，并且将底边平分。

等腰三角形判定方法
- 角角边（AAS）：已知等腰三角形两个角相等，且一个角的
对边（边长相等）与已知的一条边相等；
- 边边角（SAS）：已知等腰三角形两边相等，且对应的角相等；
- 等边角（SSS）：三角形三边相等。

判定题
练题如下：
1. 已知三角形ABC，其中AB = AC，角B = 40度，角A = 100度，求角C的度数；
2. 三角形DEF中，DE = EF，角F = 120度，角D = 30度，求角E的度数；
3. 三角形UVW中，UV = VW，VW = WU，求角U、角V、角W的度数；
4. 已知三角形XYZ，其中XZ = YZ，角X = 角Y = 70度，求角Z的度数。

以上是初二等腰三角形性质及判定练习题，希望对大家有所帮助！。

2018年秋八年级数学上册第2章特殊三角形 2.2 等腰三角形练习 (新版)浙教版

2.2 等腰三角形A 组1．若一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(C ) A. 12 B. 16C. 20D. 16或202．如果等腰三角形的一边长是8，周长是18，那么它的腰长是(D ) A. 8 B. 5 C. 2 D. 8或53．若等腰三角形的腰长与底边长之比为2∶3，其周长为28，则该等腰三角形的底边长为__12__．4．已知一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为__5__．5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 是AD 的三等分点．若△ABC的面积为12 cm 2，则图中阴影部分的面积为__6__cm 2.,(第5题)) ,(第6题))6．如图，AB ，AC 是等腰三角形ABC 的两腰，AD 平分∠BAC，则△BCD 是等腰三角形吗？试说明理由．【解】 △BCD 是等腰三角形．理由如下： ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵AB ，AC 是等腰三角形ABC 的两腰， ∴AB ＝AC.在△ABD 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS)，∴BD ＝CD ，∴△BCD 是等腰三角形．(第7题)7．如图，AC 平分∠BAD，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，连结BD.请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．【解】等腰三角形有△ABD和△BCD.理由如下：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACD≌△ACB(AAS)，∴AD＝AB，CD＝CB.∴△ABD，△BCD都是等腰三角形．B组(第8题)8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，D为AB的中点，ED⊥AB，垂足为D，交BC于点E.若△EAC的周长为24，则AC＝__10__．【解】∵ED⊥AB，D为AB的中点，∴EB＝EA，∴EA＋EC＝EB＋EC＝BC＝14.∵EA＋EC＋AC＝24，∴AC＝24－14＝10.9．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是110°或70°．【解】当等腰三角形的顶角是钝角时，如解图①，此时顶角的度数是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，如解图②，此时顶角的度数是90°－20°＝70°.(第9题解)10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断这个三角形的形状．【解】∵a2＋2ab＝c2＋2bc，∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2bc＋b2，∴(a＋b)2＝(b＋c)2，∴a＋b＝±(b＋c)．∵a>0，b>0，c>0， ∴a ＋b ＝b ＋c ，∴a ＝c. ∴△ABC 为等腰三角形．11．如图，直线l 1，l 2交于点B ，A 是直线l 1上的点，在直线l 2上寻找一点C ，使△ABC 是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．(第11题)【解】分类讨论：若以AB 为腰，B 为顶角顶点，可作出点C 1，C 2；若以AB 为腰，A 为顶角顶点，可作出点C 3；若以AB 为底边，可作AB 的中垂线交l 2于点C 4. 故共有4个满足题意的等腰三角形．12．有一个等腰三角形，三边长分别为3x －2，4x －3，6－2x ，求这个等腰三角形的周长．【解】当3x －2＝4x －3时，解得x ＝1.∴3x －2＝1，4x －3＝1，6－2x ＝4，显然不能组成三角形．当3x －2＝6－2x 时，解得x ＝85.∴3x －2＝145，6－2x ＝145，4x －3＝175，能组成三角形，周长为145＋145＋175＝9.当4x －3＝6－2x 时，解得x ＝32.∴4x －3＝3，6－2x ＝3，3x －2＝52，能组成三角形，周长为3＋3＋52＝172.综上所述，这个等腰三角形的周长为9或172.数学乐园13．(1)如图①，△ABC 是等边三角形，△ABC 所在平面上有一点P ，使△PAB，△PBC ，△PAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个？在图中画出来．(2)如图②，正方形ABCD 所在的平面上有一点P ，使△PAB，△PBC ，△PCD ，△PDA 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个？在图中画出来．(第13题)导学号：91354009【解】(1)10个．如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB，BC，CA的垂直平分线的交点；当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点，每条垂直平分线上得3个交点．故具有这样性质的点P共有10个．(第13题解①)(2)9个．如解图②，两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点共有8个．故具有这样性质的点P共有9个．(第13题解②)。

八年级数学上特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理1等腰三角形的性质定理1浙教

2 如图，AB＝ AC，AB的垂直平分线 MN交AC于点D，若∠C＝ 65°，则∠DBC的度数是( D ) A．25° B．20° C. 30° D．15°
【点拨】∵AB ＝AC，∴∠C＝∠ABC ＝65°， ∴∠A ＝ 180°－65°×2＝ 50°， ∵ MN垂直平分AB，∴AD ＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝15°.
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
6 如图，在△ABC中，AB＝ AC，∠A ＝40°， CD∥AB，则∠BCD＝( D ) A．40° B．50° C. 60° D．70°
【点拨】在△ABC中，∵AB ＝ AC，∠A ＝ 40°，∴∠ACB ＝ 70°，∵CD∥AB， ∴∠ACD ＝180°－∠A ＝ 140°， ∴∠BCD＝∠ACD －∠ACB ＝ 70° .
12 如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝ 2∠D. 证明：因为AB＝AD＝AC，所以∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝∠D.所以∠C＝∠ABC＝ ∠ABD＋∠DBC＝2∠D.
13 如图，D是等边三角形 ABC外一点，若 BD＝8，CD ＝ 6 ，连结 AD ，则 AD 的最大值与最小值的差为 ____1_2___．
16 【中考·苏州】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED；
证明：在△AOD和△BOE中， ∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，∴∠BEO＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED. 在△AEC 和△BED 中，∠AEA＝＝B∠E，B，

八年级数学上册第2章特殊三角形2-3等腰三角形的性质定理第1课时作业浙教版

(2) 解：当点 P，Q 分别在边 AB， BC 上运动时，∠QMC 的大小不变． ∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC 是△ACM 的外角， ∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝ ∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°；
(3)如图②，当点 P，Q 分别在 AB，BC 的延长线上运动时，直线 AQ，CP 相交于点 M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
2 求∠ABC 的度数．
解：如图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，则∠ACD＝2x，
x＋2y＝180°，
∠ADC＝1 2
∠CAD＝1 2
y，∴ 2x＋ABC＝36°.
13．如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，EF 垂直平分 AD，E 为垂足，EF 交 BC 的延长线于点 F，连结 AF.求证：∠B＝∠CAF.
A．180° B．220° C．240° D．300°
7．如图，分别过等边△ABC 的顶点 A，B 作直线 a，b，使 a∥b.
若∠1＝40°，则∠2 的度数为___8_0_°___．
8．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一直线
上，且 CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝___1_5__度．
的顶角是( D )
A．80°
B．50°
C．80°或 50°
D．80°或 20°
5．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的 2 倍，
则这个三角形底角为( A )
A．72°或 45° B．45°或 36° C．36°或 45° D．72°或 90°
6．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得
到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( C )

八年级上2.3《等腰三角形的性质定理》同步练习题含答案

浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形2.3《等腰三角形的性质定理》同步练习题一、选择题1．一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为()A．20° B．30° C．80° D．120°2．等腰三角形的一个外角为140°，则顶角的度数为()A．40° B．40°或70° C．70° D．40°或100°3．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＋CE＝9，则线段DE的长为()A. 9B. 8C. 7D. 6(第3题)(第4题)4．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100° B．80° C．70° D．50°5．等腰三角形的“三线合一”指的是()A．中线、高线、角平分线互相重合 B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合C．顶角的平分线、中线、高线互相重合D．顶角的平分线，底边上的高线、底边上的中线互相重合(第6题)6．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是()A．AC和BC，焊接点C B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A二、填空题7．(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝80°，则∠DAC＝40°；若BC＝6 cm，则CD＝____cm；(2)在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2.5 cm，则BC＝5c m，∠ADB＝；(3)在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝50°，则∠BAC＝__，∠ADC＝____．8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝____．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，延长BA至点D.若∠CAE＝36°，则∠B＝_-_，∠CAD＝______．10. 在等腰三角形A BC中，AB＝AC，AD是角平分线，有下列结论：①AD⊥BC，②BD＝DC，③∠B＝∠C，④∠BA D＝∠CAD.其中正确的是________ (填序号)．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明理由．12．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，求∠P AQ的度数．(第13题)13．如图，已知等腰△ABC的周长为16 cm，AD是顶角∠BAC的平分线，AB∶AD＝5∶4，且△ABD的周长为12 cm.求△ABC各边的长．(第14题)14．如图，已知D是等腰三角形ABC的底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF，请指出当D在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．(第15题)15．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE且∠DAB＝∠EAC，则DE∥BC吗？为什么？(第16题)16．如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，分别以AB ，AC 为边做等边△ABE 和△ACD ，连结ED 交AB 于点F .求证：(1)BC ＝12AB ； (2)EF ＝FD .参考答案：1.D2.D3.A4.A5.D6.C7.3; 90°;100°, 90° 8. 39. ∠B ＝54°，∠CAD ＝108°．10. ①②③④11.【解】猜想：AE 垂直平分BC ，即AE ⊥BC ，BD ＝CD.理由如下：∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△ACO(SSS)，∴∠BAO ＝∠CAO.∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．12.【解】∵PM垂直平分AB，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠B.同理，∠QAC＝∠C.∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°，∴∠P AB＋∠QAC＝70°.∵∠P AQ＝110°－(∠P AB＋∠QAC)，∴∠P AQ＝110°－70°＝40°.13.【解】设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，BC＝16－10x.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC＝12BC＝8－5x，∴5x＋4x＋(8－5x)＝12，解得x＝1.∴AB＝5x＝5，AC＝5x＝5，BC＝16－10x＝6.14.【解】当D在BC的中点时，DE＝DF.证明：当BD＝CD时，∵∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴△DBE≌△DCF(AAS)，∴DE＝DF.15.【解】DE∥BC.理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B ＝∠C ，∠D ＝∠E.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠B ＋∠DAB ＝∠C ＋∠EAC ， ∴∠AFG ＝∠AGF ，∴∠AFG ＝12(180°－∠EAD )．又∵∠D ＝12(180°－∠EAD )， ∴∠AFG ＝∠D ，16.【解】 (1)过点E 作EG ⊥AB 于点G . ∵△ABE 为等边三角形，∴BG ＝12AB ，∠BEG ＝12∠AEB ＝30°，BA ＝BE . ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠BGE ＝∠BCA ＝90°，∠BAC ＝∠BEG . 在△ACB 和△EGB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BGE ＝∠BCA ，∠BEG ＝∠BAC ，BE ＝BA ，∴△ACB ≌△EGB (AAS )，∴BC ＝BG .∴BC ＝12AB . (2)∵△ACB ≌△EGB ，∴AC ＝EG .∵△ACD 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，AC ＝AD ，∴EG ＝DA .∵∠BAC ＝30°，∴∠DAF ＝∠CAD ＋∠BAC ＝90°. ∴∠EGF ＝∠DAF .在△EGF 和△DAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EFG ＝∠DF A ，∠EGF ＝∠DAF ，EG ＝DA ，∴△EGF ≌△DAF (AAS )， ∴EF ＝FD .。

2018年秋八年级数学上册第2章特殊三角形 2.3 等腰三角形的性质定理(一)练习 (新版)浙教

2.3 等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A． 36° B． 60° C． 72° D．108°(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为(B)A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A) A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)A．①②③ B．②③④C．①③⑤ D．①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50° B．51°C． 51．5° D． 52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．(第8题)8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE ＝∠AED ．设∠EDC ＝α，∠C ＝β，则∠ADE ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝α＋β，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝α＋β＋α＝2α＋β． ∵∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC ＝14°．B 组(第9题)9．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ．若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为(D )A ． 44° B． 66° C． 88° D． 92° 【解】 ∵PA ＝PB ，∴∠A ＝∠B ．在△AMK 和△BKN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BK ，∠A ＝∠B ，AK ＝BN ，∴△AMK ≌△BKN (SAS )．∴∠AMK ＝∠BKN ．∵∠MKB ＝∠MKN ＋∠BKN ＝∠A ＋∠AMK ， ∴∠A ＝∠MKN ＝44°，∴∠P ＝180°－∠A －∠B ＝92°．10．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…．若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为(C )(第10题)A ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ° B． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋1° C ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1° D． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋2° 【解】在△ABA 1中，∵∠A ＝70°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A ＝∠A ＝70°．∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A2＝35°．同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 22，∠B 3A 4A 3＝12∠B 2A 3A 2＝∠BA 1A23，…，∴∠B n －1A n A n －1＝∠BA 1A 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°．11．如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连结AE ，BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．(第11题)【解】设AC 与BD 交于点H ． ∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE＝60°， ∴∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )， ∴∠CDB ＝∠CAE ．又∵∠DCH ＋∠DHC ＋∠CDB ＝180°， ∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°， ∠DHC ＝∠AHO ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°．∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°．12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的两条高线，BD 与CE 相交于点O ． (1)求证：OB ＝OC ．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC 的度数．(第12题)【解】 (1)∵AB＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB．∵BD ，CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BEC ＝∠CDB＝90°．又∵BC ＝CB ，∴△BEC ≌△CDB (AAS )， ∴BE ＝CD ．又∵∠BOE ＝∠COD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°， ∴△BOE ≌△COD (AAS )， ∴OB ＝OC ． (2)连结DE ．∵∠ABC ＝70°，AB ＝AC ，∴∠A ＝180°－2×70°＝40°．∵∠A ＋∠AED ＋∠ADE ＝180°，∠OED ＋∠ODE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠A ＋∠AEO ＋∠ADO ＋∠DOE ＝360°．又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴∠A ＋∠DOE ＝180°，∴∠BOC ＝∠DOE ＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC 中，已知BC ＝AC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ．若∠ADC ＝12∠CAD，求∠ABC 的度数．(第13题解)【解】如解图，设∠ABC＝x ，∠CAD ＝y ，则∠ACD＝2x ，∠ADC ＝12∠CAD＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝180°，2x ＋32y ＝180°，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36°，y ＝72°.∴∠ABC ＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D ．在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y ．故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x ＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x －y ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12x ， ∴3x ＋4y ＝540°，∴∠ABC ＝135°－34∠C．②若∠C 是底角，第一种情况：如解图④，当DB ＝DC 时，∠DBC ＝x ．在△ABD 中，∠ADB ＝2x ，∠ABD ＝y －x ．若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ， ∴∠ABC ＝3∠C．若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C．若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．, ④), ⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C 是最小角矛盾．∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°(∠C 是小于45°的任意锐角)．。

八年级数学上册第2章特殊三角形2.4等腰三角形的判定定理练习浙教版(2021年整理)

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2。

4 等腰三角形的判定定理A组1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b,下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是（D）A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3C．∠B＝50°,∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D）A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④(第3题)3．如图，在△ABC中，AB＝7,AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D 作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C）A． 9 B． 11C． 12 D． 134．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．，(第4题））,（第5题）) 5．如图，已知OA＝5,P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP 为等边三角形．(第6题）6．如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．【解】△AEF是等腰三角形．证明如下：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD．∵EG∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，∴∠E＝∠EFA，∴△AEF是等腰三角形．(第7题)7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证：△AEF是等腰三角形．【解】∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，∴∠BFD＝∠BEA．∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．∴△AEF是等腰三角形．8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，则BC＝CD，请说明理由．(第8题)(第8题解）【解】如解图,连结BD．∵AB＝AD,∴∠ABD＝∠ADB．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．B组（第9题)9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（B）A．一般等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【解】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS）．∴AE＝AD,∠CAD＝∠BAE＝60°．∴△ADE是等边三角形．(第10题)10．如图，在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F．(1)求∠F的度数．（2）若CD＝2，求DF的长．【解】（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠EDF＝∠B＝60°．∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°,∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．(2）∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F,∴CE＝CF．∵∠EDF＝∠ACB＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE,∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．11．如图①,A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1)连结BE,DC，求证：BE＝DC．(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P,连结BD′，CD′．当线段AB,AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．（第11题）【解】(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．∴AB＝AD,AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．在△BAE和△DAC中，∵错误!∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE＝DC．(2）①∵∠BA D＝∠CAE＝60°，∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．∵边AD′落在AE上，∴旋转角＝∠DAE＝60°．②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明如下:由旋转可知，AB′与AD重合，∴AB＝DB＝DD′＝AD′．又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS）．∴∠ABD′＝∠DBD′＝错误!∠ABD＝错误!×60°＝30°．同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．∵△ACE是等边三角形,∴AC＝AE＝CE,∠ACE＝60°．∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．∴∠PCD′＝∠ACD′＝错误!∠ACE＝错误!×60°＝30°．∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．在△BDD′与△CPD′中，∵错误!∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．数学乐园(第12题）12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA,AD的方向运动到点A，D停止,连结EC,FC．(1)在点E,F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．（2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．（3）连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011【解】(1)没有变化．理由如下：∵点E，F的速度相同，且同时运动，∴BE＝AF．∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．在△BCE和△ACF中,∵错误!∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．（2)没有变化．理由如下：由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．∴四边形AECF的面积没有变化．（3）∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．∵BE＝AF,∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF，∴△ACE≌△DCF（SAS)，∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．又∵∠ECF＝60°,∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°,∴∠AFE＋∠DFC＝120°．∵∠D＝60°,∴∠DCF＋∠DFC＝120°，∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．(4)(1）中的结论仍成立．。

八年级数学上册第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理一练习新版浙教版

2.3 等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A． 36° B． 60° C． 72° D．108°(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为(B)A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A) A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)第1 页共 7 页A．①②③ B．②③④C．①③⑤ D．①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50° B．51°C． 51．5° D． 52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．第2 页共 7 页第 3 页共 7 页(第8题)8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAD ＝28°，求∠EDC 的度数．【解】 ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．同理，∠ADE ＝∠AED ．设∠EDC ＝α，∠C ＝β，则∠ADE ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝α＋β，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝α＋β＋α＝2α＋β． ∵∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC ＝14°．B 组(第9题)9．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ．若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为(D )A ． 44° B． 66° C． 88° D． 92° 【解】 ∵PA ＝PB ，∴∠A ＝∠B ．在△AMK 和△BKN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BK ，∠A ＝∠B ，AK ＝BN ，∴△AMK ≌△BKN (SAS )．∴∠AMK ＝∠BKN ．∵∠MKB ＝∠MKN ＋∠BKN ＝∠A ＋∠AMK ， ∴∠A ＝∠MKN ＝44°，∴∠P ＝180°－∠A －∠B ＝92°．10．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…．若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为(C)(第10题)第 4 页共 7 页A ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ° B． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋1° C ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1° D． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋2° 【解】在△ABA 1中，∵∠A ＝70°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A ＝∠A ＝70°．∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A2＝35°．同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 22，∠B 3A 4A 3＝12∠B 2A 3A 2＝∠BA 1A23，…，∴∠B n －1A n A n －1＝∠BA 1A 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°．11．如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连结AE ，BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．(第11题)【解】设AC 与BD 交于点H ． ∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE＝60°， ∴∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )， ∴∠CDB ＝∠CAE ．又∵∠DCH ＋∠DHC ＋∠CDB ＝180°， ∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°， ∠DHC ＝∠AHO ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°．∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°．12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的两条高线，BD 与CE 相交于点O ． (1)求证：OB ＝OC ．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC 的度数．(第12题)【解】 (1)∵AB＝AC ，第 5 页共 7 页∴∠ABC ＝∠ACB．∵BD ，CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BEC ＝∠CDB＝90°．又∵BC ＝CB ，∴△BEC ≌△CDB (AAS )， ∴BE ＝CD ．又∵∠BOE ＝∠COD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°， ∴△BOE ≌△COD (AAS )， ∴OB ＝OC ． (2)连结DE ．∵∠ABC ＝70°，AB ＝AC ，∴∠A ＝180°－2×70°＝40°．∵∠A ＋∠AED ＋∠ADE ＝180°，∠OED ＋∠ODE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠A ＋∠AEO ＋∠ADO ＋∠DOE ＝360°．又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴∠A ＋∠DOE ＝180°，∴∠BOC ＝∠DOE ＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC 中，已知BC ＝AC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ．若∠ADC ＝12∠CAD，求∠ABC 的度数．(第13题解)【解】如解图，设∠ABC＝x ，∠CAD ＝y ，则∠ACD＝2x ，∠ADC ＝12∠CAD＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝180°，2x ＋32y ＝180°，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36°，y ＝72°.∴∠ABC ＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．第 6 页共 7 页(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D ．在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y ．故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x ＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x －y ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12x ， ∴3x ＋4y ＝540°，∴∠ABC ＝135°－34∠C．②若∠C 是底角，第一种情况：如解图④，当DB ＝DC 时，∠DBC ＝x ．在△ABD 中，∠ADB ＝2x ，∠ABD ＝y －x ．若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ， ∴∠ABC ＝3∠C．若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C．若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．第 7 页共 7 页, ④), ⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C 是最小角矛盾．∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°(∠C 是小于45°的任意锐角)．。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》2.4 等腰三角形的判定定理-每日好题挑选

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》2.4等腰三角形的判定定理-每日好题挑选【例1】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则轮船在N处时与灯塔P的距离为海里。

【例2】如图，在4×4的方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有个。

【例3】如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，使点C落在点C′处，连结BC′，那么BC′的长为。

【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为cm。

【例5】如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为。

【例5】如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=．【例6】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：其中正确的结论是。

①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S=mn．△AEF【例7】如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：其中正确的是（填所有正确答案的序号）．①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．【例8】如图所示，E为等边三角形ABC的边AC上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，试判断△ADE的形状，并说明理由。