高考数学球的接切ppt
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培优课与球有关的切接问题课件-高三上学期数学一轮总复习
A.[18, ]
B.[ , ]
C.[ , ]
)
D.[18,27]
解析:如图,设该球的球心为 O,半径为 R,
正四棱锥的底边长为 a,高为 h,依题意,得 36π= πR 3,解得 R=3.
由题意及图可得
=
+(
) ,
=
2
所以正四棱锥的体积 V= a h= (2l - )·
所以 V′= l - = l (4- )(3≤l≤3
正四面体的体积为( ) -4× ×× × × =
3
.故选 A.
答案:(1)A
(2)在△ABC 中,AB=AC=2,cos A= ,将△ABC 绕 BC 旋转至△BCD 的位置,使得 AD= ,如图所示,
则三棱锥 D-ABC 外接球的体积为
.ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
2
2
解析:(2)在△ABC 中,由余弦定理得 BC =2 +2 -2×2×2× ,所以 BC= .
因为以 O 为球心的球面与平面 BCD 的交线和 CD 相切,则切点为点 M,则球 O 的半径为
OM=
+
= a,
因此,球 O 的体积是 V= π×(
)
3
高考数学专题-球的切接问题
14
规律总结
求解此类问题应注意：(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心；(2) 求多面体内切球的半径，往往可用“等体积法”：V 多＝13S 表·R 内切；(3)正四面体内切球半 径是高的14，外接球半径是高的34；(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球).
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15
【对点训练 2】 (1)六氟化硫是一种无机化合物，化学式为 SF6，常温常压下为无色 无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的 5 倍，是强电负性气体，广泛用于超高 压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布(8 个面都是正三角形)．若此正
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24
【对点训练 3】 已知空间四边形 P-ABC，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝ PC＝3，球心 O 在平面 ABC 上，且球 O 与直线 PA、直线 PB、直线 PC 都相切，则球 O 的半径为 2 .(直线与球面有唯一公共点称为直线与球相切)
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25
解析：如图，过点 P 作 PQ⊥平面 ABC，垂足为 Q，∴Rt△PQA≌Rt△PQB≌Rt△PQC， ∴QA＝QB＝QC，∴Q 为△ABC 外接圆的圆心， 又∵△ABC 为正三角形， ∴Q 为△ABC 的中心，由点 Q 到 PA，PB，PC 的距离都相等可知点 Q 和 O 重合，
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31
解析：如图 1 为圆台容器的纵切图，圆 O 内切于△ABC 时金属球 O 的半径最大，易 得 AB＝40 cm，AC＝30 cm，BC＝ AB2＋AC2＝50 cm，由等面积法得12(AB＋AC＋BC)r＝ 12AB·AC，解得 r＝10 cm，故金属球的最大半径为 10 cm.
高考数学专题19 几何体中与球有关的切、接问题(解析版)
专题19 几何体中与球有关的切、接问题
球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①假设球为正方体的外接球，那么2R ＝3a ；②假设球为正方体的内切球，那么2R ＝a ；③假设球与正方体的各棱相切，那么2R ＝2a .
(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，那么2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲
题型一 、几何体的外接球
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
例1、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，假设⊙1
O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，那么球O 的外表积为 A ．64π B ．48π
C ．36π
D ．32π
【答案】A
【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，
ABC 为等边三角形，
由正弦定理可得2sin60AB r =︒=
1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，
创新设计二轮理科数学配套PPT课件微专题17 球的切、接、截问题
为M，
因为四边形ABCD是矩形，
所以M为底面中心，即对角线AC与BD的交点，过O作三角形
APD的垂线，垂足为N，
索引
所以N是正三角形APD外心， 设外接球半径为 r，则8 32π＝4π3r3， 所以 r＝ 2，即 OA＝ 2.
过点 N 作 NE⊥AD，则 E 是 AD 的中点，连接 EM，所以 EM＝21AB＝1，EM⊥AD. 又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，NE⊂平面APD， 所以NE⊥平面ABCD， 所以NE∥OM， 所以EM⊥平面APD， 所以EM∥ON，
索引
所以四边形MENO是平行四边形， 即OM＝NE， 设AD＝2x， 则 AM＝ AE2＋EM2＝ x2＋1， NE＝31PE＝31× 23AD＝ 33x， 所以 OM＝NE＝ 33x， 由勾股定理得 OA2＝OM2＋AM2， 即 2＝13x2＋x2＋1，
索引
解得 x＝ 23，所以 AD＝ 3，
索引
②内切球：球心是正方体中心，半径 r＝2a(a 为正方体的棱长)，直径等于正方体 棱长；
③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心，半径 r＝ 22a(a 为正方体的棱长)， 直径等于面对角线长. (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
①外接球：球心是正四面体的中心，半径
O的半径为R，则OA＝R，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，
备战高考数学复习知识点讲解课件51---空间几何体的截面、球的切接问题
BCC1B1 的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以G︵H的
长为14×2π×
2＝
2π 2.
【答案】
(2)
2π 2
截面问题求解要点 (1)挖掘题目条件，要抓住截面的点是公共点这个关键． (2)灵活转化，将条件转化到一个平面内，寻找截面上的点满足的数量关 系．
|跟踪训练| 1．(2022·淮北市中学联考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴， 将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为( )
的母线长为 3，所以 h＝ 9－1＝2 2，所以有h－r r＝R3，解得 r＝ 22，因此
内切球的表面积 S＝4πr2＝2π.
5．(2021·高考天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面
上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为 1∶3，则这两个圆锥的体积之
和为( )
A．3π
√B.4π
是( )
A．线段C1F
√C．线段CF和一点C1
B.线段CF D.线段C1F和一点C
解析：如图所示，DE∥平面BB1C1C，所以平面DEP与平面BB1C1C的交线 PM∥ED，连接EM， 易证MP＝ED， 因为MP∥ED，则M到达B1时仍可构成四边形， 即P到F时，而P在C1F之间，不满足要求， P到点C1仍可构成四边形，故选C.
2023新教材高中数学第8章立体几何初步微专题1球的切接问题课件新人教A版必修第二册
×
12 ×
2
× 5－21×r，解得 r＝14．故内切球的表面积为 4πr2＝π4．]
类型 3 球与直棱柱的切、接问题
【例 3】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点
在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
B [如图所示，
设 O1，O 分别为上、下底面的中心，连接 OO1，则球心 O2 为 OO1 的中点，连接 AO 并延长交 BC 于 D 点，连接 AO2．∵AD＝ 23a， AO＝23AD＝ 33a，OO2＝a2，∴AO22＝13a2＋14a2＝172a2，故该球的表面 积 S 球＝4π×172a2＝73πa2．]
类型 4 球与圆锥(圆柱)的切、接问题 【例 4】 一个圆柱形容器，它的底面直径为 2r，在这个容器内 注入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，则 将球从容器内取出后，容器内水面的高是________． 23r [设取出球后水面的高为 x，则 πr2×2r－43πr3＝πr2×x，解得 x＝23r．故将球从容器内取出后，容器内水面的高是23r．]
第八章 立体几何初步
微专题1 球的切、接问题
1．空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径 的球是几何体的外接球．空间几何体的内切球：球心到各面距离相等 且等于半径的球是几何体的内切球．
【高中数学】球的切、接问题课件+高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
足为 BC 的中点 M.又 AM＝12BC＝12 32＋42＝52，
OM
＝
1 2
AA1
＝
6
，所
以
球
O
的半径
R＝OA＝
522＋62＝123.
答案：C
问：圆柱的外接球呢？
5、圆柱的外接球 思考：圆柱的外接球怎么求？
由对称性可知，球心 O 的位置是上下底面的中心 O1 O2 的连线的中点，算出小圆 O1 的半径 AO1＝r，OO1＝h2，所以 R2＝r2＋h42.
C＋S
.
△PB C
11. 球与锥体的切、接问题
例 3．已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 3，内有一个球与四
个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 ( )
A.52 B. 3－1 C.12
D. 2－1
解析：如图，过点 P 作 PD⊥平面 ABC 于
点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E，连接
PE，
3.掌握：12种类型的接切球问题
高频考点突破：球的接切问题
高频考点突破：球的接切问题
常见的角度有：(1)球与柱 体的切、接问题；(2)球与锥体 的切、接问题.
所需知识应用
平面截球 平面截球面得圆.截面圆的圆心与球心的连线与截面圆 圆面垂直且R2＝d2＋r2(R为球半径，r为截面圆半径， d为球心到截面圆的距离).
2021届高考数学(文)考前复习课件-专题17-球与几何体的切接问题
AB2=AC2+BLeabharlann Baidu2-2AC·BCcos∠ACB
(2 2)2 ( 6)2 2 2 2 6 3 2， 2
所以AB= 2 . 故AB⊥BC,则△ABC外接圆的圆心O1为AC的中点,连接OO1,
如图,则OO1⊥平面ABC,则OC与平面ABC所成的角为∠OCO1.
由
tanOCO1
OO1 O1C
为 1 ,则该长方体外接球的表面积为( )
5
A.98π
B.196π
C.784π
D. 1 372
3
4.B 连接AC,与BD交于O点,则O为AC中点, 取CC1中点E,连接BE,OE,则AC1∥OE, 所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成角, 设CE=x,则BE= x2 36，又AB=8,AD=6, 则OB=OC=5,OE= 25 x2，在△OBE中,
3
7.C 设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为S=2πR2+2πR×2R=54π,解得
R=3,所以该球的体积为 V 4 R3 4 33 36.
3
3
8.已知一块形状为正三棱柱ABC-A1B1C1(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱 柱)的实心木材,AB=AA1= 2 3 .若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积 的最大值为 ( )
4
所以球的表面积 S 81.
4
(2 2)2 ( 6)2 2 2 2 6 3 2， 2
所以AB= 2 . 故AB⊥BC,则△ABC外接圆的圆心O1为AC的中点,连接OO1,
如图,则OO1⊥平面ABC,则OC与平面ABC所成的角为∠OCO1.
由
tanOCO1
OO1 O1C
为 1 ,则该长方体外接球的表面积为( )
5
A.98π
B.196π
C.784π
D. 1 372
3
4.B 连接AC,与BD交于O点,则O为AC中点, 取CC1中点E,连接BE,OE,则AC1∥OE, 所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成角, 设CE=x,则BE= x2 36，又AB=8,AD=6, 则OB=OC=5,OE= 25 x2，在△OBE中,
3
7.C 设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为S=2πR2+2πR×2R=54π,解得
R=3,所以该球的体积为 V 4 R3 4 33 36.
3
3
8.已知一块形状为正三棱柱ABC-A1B1C1(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱 柱)的实心木材,AB=AA1= 2 3 .若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积 的最大值为 ( )
4
所以球的表面积 S 81.
4
高三总复习数学课件 空间几何体的截面、球的切(接)问题
已知点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所
在的平面内．若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，
则点P与点C1的最短距离是
()
A．2 5 5
B．
2 2
C．1
D．
6 3
解析：设P在平面ABCD上的射影为P′，M在平面BB1C1C上的射影为M′(图略)，平面
与球有关的切、接问题
考向1 几何体的外接球
(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为
()
A． 122
B．
3 12
C．
2 4
D．
3 4
[解析] 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直 径，且AB＝ 2 ．连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝ 1－A2B2 ＝ 1－ 222＝ 22，所以三棱锥O-ABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝ 13×12×1×1× 22＝ 122．
[答案] A
考向2 几何体的内切球
(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半 径最大的球的体积为________．
[解析] 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及
其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何考前增分微课5球与空间几何体的接、切问题课件文新人教A版
答案 6πR2，2πR3
(2)若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________。
解析 (2)如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球心，内切球 半径 R，即为 O 到正四面体各面的距离。因为 AB＝a，所以正四面体的高 h ＝ 36a。又 VA－BCD＝4VO－BCD，所以 R＝41h＝ 126a。
径且 PA＝4，则点 P 到底面 ABC 的距离为( )
A． 2
B．2 2
C． 3
D．2 3
解析 (1)取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在△ABC 中，AB＝2 2， ∠ACB＝90°，所以△ABC 所在小圆 O1 是以 AB 为直径的圆，所以 O1A＝ 2， 且 OO1⊥AO1，又球 O 的直径 PA＝4，所以 OA＝2，所以 OO1＝ OA2－O1A2 ＝ 2，且 OO1⊥底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO1＝2 2。
类型二 空间几何体的内切 【例 3】 (1)半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相 切)的表面积为________，体积为________。
解析 (1)外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R，所以 S 表＝S 侧＋2S 底＝ 2πR·2R＋2πR2＝6πR2，V 圆柱＝πR2·2R＝2πR3。
32＋32＋32＝3 3，所以其外接球半径 R＝32 3。因此三棱锥 P－ABC 的外 接球的体积 V＝43π×3 233＝272 3π。故选 B。
(2)若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________。
解析 (2)如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球心，内切球 半径 R，即为 O 到正四面体各面的距离。因为 AB＝a，所以正四面体的高 h ＝ 36a。又 VA－BCD＝4VO－BCD，所以 R＝41h＝ 126a。
径且 PA＝4，则点 P 到底面 ABC 的距离为( )
A． 2
B．2 2
C． 3
D．2 3
解析 (1)取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在△ABC 中，AB＝2 2， ∠ACB＝90°，所以△ABC 所在小圆 O1 是以 AB 为直径的圆，所以 O1A＝ 2， 且 OO1⊥AO1，又球 O 的直径 PA＝4，所以 OA＝2，所以 OO1＝ OA2－O1A2 ＝ 2，且 OO1⊥底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO1＝2 2。
类型二 空间几何体的内切 【例 3】 (1)半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相 切)的表面积为________，体积为________。
解析 (1)外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R，所以 S 表＝S 侧＋2S 底＝ 2πR·2R＋2πR2＝6πR2，V 圆柱＝πR2·2R＝2πR3。
32＋32＋32＝3 3，所以其外接球半径 R＝32 3。因此三棱锥 P－ABC 的外 接球的体积 V＝43π×3 233＝272 3π。故选 B。
2024届人教A版高考数学一轮复习立体几何中的截面问题及球的切接问题课件
(3)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4， AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B.2 10
13 C. 2
D.3 10
(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球
的表面积为( )
规律方法 1.常用结论 (1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点. (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点. (3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点. (4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到. (5)若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2.构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心
平面 ABC，易得 OO1＝12PA，在△ABC 由余弦定理可求得 BC＝
2 3，再由正弦定理可求得△ABC 外接圆半径 r＝2，在 Rt△AOO1
中，AO＝ AO21＋OO21＝ 5，所以三棱锥 P－ABC 外接球半径 R
＝
5，外接球体积
V＝20
5π 3.
答案
(1)A
3 (2) 3
20 5π (3) 3
81π A.Baidu Nhomakorabea4
B.16π
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：球的切、接问题
侧面展开图 __矩__形__
_扇__形__
_扇__环__
_圆___
知识梳理
2.直观图 (1)画法：常用 斜二测画法 . (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为 45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 分别平行于坐标轴 ，平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于y轴的线段， 长度在直观图中变为原来的 一半 .
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S . 直观图
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形.( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( × ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级
A.小雨
√B.中雨
பைடு நூலகம்
C.大雨
D.暴雨
由题意，一个半径为2200＝100(mm)的圆面内的降 雨充满一个底面半径为2200×135000＝50(mm)，高为 150(mm)的圆锥， 所以积水厚度 d＝13π×π×50120×02150＝12.5(mm)，属于中雨.
精讲 与球有关的切接截问题课件(1)2021高考数学二轮复习
12345678
7.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及 母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则VV12的值是 ________．
12345678
3 2
[设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R. ∴VV12＝π43Rπ2·R23R＝32.]
12345678
3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AA1＝2，BC
＝2
3
，∠BAC＝
π 2
，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体
积为( )
A．323π B．16π C．253π D．321π
Fra Baidu bibliotek
12345678
A [直三棱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，(如图)， ∵△ABC中，∠BAC＝π2， ∴下底面△ABC的外心P为BC的中点， 同理，可得上底面△A1B1C1的外心Q为B1C1的 中点， 连接PQ，取PQ中点O，易知O是三棱柱 ABC-A1B1C1外接球的球心．
B．92π，3
C．6π，4
D．323π，3
12345678
D [依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时， 健身手球的体积最大．易知AC＝ AB2＋BC2 ＝10，设健身手球的半 径为R，则
高考数学专题四立体几何 微专题26 球的切接问题
14h＝
6 12 a.
设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正
四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－ 2R＝ 66a， 所以 r＝14h 小＝246a＝R2. 故该模型中 5 个球的表面积之和为 4πR2＋4×4πr2＝8πR2＝8π×1644a2＝3πa2.
(2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面
边长分别为 3 3和 4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底ห้องสมุดไป่ตู้的外接圆的半径分别为23× 23×3 3＝ 3，23× 23×4 3＝4. 设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则 O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上. 设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO21 ＝42＋(1－ OO1)2，解得OO1＝4(舍去)； 当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22 ＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2 ＝3，
专题四 立体几何
微专题26
球的切接问题
考情分析
求解空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，常用 的方法为补形法或者利用多面体的面作垂线，垂线的交点即为 球心；求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径，常 用切线长定理、等体积法等.球的切接问题是高考中的热点， 一般为中档题.
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正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R 3 a
若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外百度文库球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
问题探究一
球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体 的内切、外接、棱切球
.r
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。2R a
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接
球心。球半径为R，O为A在平面BCD上
的射影，M为CD的中点。连结B O1
S●
RtA001利用勾股定理解得R
7.2.2与球有关的切接问题
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三
• 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
R 6a 4
考点1 直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则
该球的表面积为
.
.
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶
点上的三条棱长分别为1, 2,3 ，则此球的表面积为
.
考点1 直接法
变式 1、（1） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
有下面的关系: r R2 d 2
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、 球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接。球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
R2 OO12 BO22
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R 1 正方体的棱长 2
= 2a 4
3.球与正四面体的内切问题
1
1
？
P V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
A
OK
C S底面积 r 1
H D
S全面积 h 4
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
用一个平面去截球面， 截线是 ___圆______。
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法
例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
是
.
考点 2 构造法
变式 2、已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ，
A●
R ●O1
· ●O
●B
M
●
C
R2 2 ( 3
2 R)2,解得R 3
3 2
, 所以S球
4
R2
3 .
30
解法2 构造棱长为1的正方
体，如图。则A1、C1、B、D是 D1 棱长为 2 的正四面体的顶点。
正方体的外接球也是正四面体 A1
的外接球，此时球的直径
为 3，
S球 =4 (
3 )2 2
3 ,
B
r1h 4
h 6a 3
r 6a 12
P
OK
A
C
H D
B
h 6a 3
r内
1 4
h
6 12
a
r外
3 4
h=
6a 4
r棱
1 2
正方体的棱长
= 2a 4
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R2 OO12 BO22
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
R2 OO12 BO22
选A
D A
C1 B1
C B
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则
三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画，（2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径__ 。
则球 O 的体积等于