人教A版高中数学高二选修2-1学案 椭圆及其标准方程(1)
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。
能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。
让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。
四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体幻灯片、黑板。
七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。
此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。
这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。
（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。
然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。
【优选】人教A版高二数学选修2-1第二章第二节第一课时椭圆及其标准方程同步教案新部编本1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校河南省2016年度中学数学优质课大赛人教A版选修2-1第二章第二节椭圆及其标准方程第一课时教学设计安阳市第二中学张燕2016年9月20日课例1：椭圆及其标准方程教材选择：人教A版选修2-1§2.2.1椭圆及其标准方程作课：张燕安阳市第二中学一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A版选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
人教A版高中数学高二版选修2-1 《椭圆及其标准方程》导学案
2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。
培养解析法的思想。
二、【重点难点】【重点难点】椭圆的定义和标准方程。
三、【教学过程】【回顾知识，提出问题】(一) 新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)到两定点距离之和为定值的点的集合又是什么曲线呢？（二）问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。
两个定点的距离用______表示。
常数用______表示【合作探究】:椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____【小试牛刀】动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（）（A）椭圆（B）线段F1F2（C）直线F1F2（D）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴?【小试牛刀】根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c .四、【例题讲解】 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.【规律方法总结】五、【课堂检测】1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上； (2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.六、【归纳总结】1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程.3.会根据条件求椭圆的标准方程，掌握其方法.附答案：1.14 2. 2222(1)116(2)116x y y x +=+=。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程(1)》课件
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点 三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用 椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这 就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用 椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的 联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把 |PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
a、b、c 的关系
c2＝_a_2－___b_2
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试一试：椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，那么椭圆的标准 方程是什么？
提示 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1，当焦点 在 y 轴上时，其标准方程为2y52 ＋1x62＝1.
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题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合以下条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点( 36， 3)和点(232，1)．
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[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆
焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了防止讨
2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2.2.1 椭圆及其标准方程(一)
2．2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程思考1在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？思考2若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一 椭圆的定义解读例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹． 引申探究若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P (－3,0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 类型二 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)． 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程例3 已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．跟踪训练3 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．类型三 椭圆中焦点三角形问题例4 (1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．(2)已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练4 (1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是() A．椭圆B．直线C．线段D．点2．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为() A．1 B．3C．0 D．－23．已知椭圆C：x225＋y216＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________．4．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________．5．求经过两点(2，－2)，(－1，142)的椭圆的标准方程．1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．答案精析问题导学知识点一思考1在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆．梳理(1)常数椭圆焦点焦距知识点二思考1不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．思考2以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．设P(x，y)，依题意得|P A|＋|PB|＝10, 所以(x－3)2＋y2＋(x＋3)2＋y2＝10，即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.梳理(1)(c,0)(0，－c)题型探究例1解方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．引申探究解设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9，圆心C(3,0)，半径r＝3.由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3，即(x－3)2＋(y－0)2－(x＋3)2＋(y－0)2＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0)．跟踪训练1 ②例2 解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0＋(－12)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b2＝1，(－12)2a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为 y 214＋x 215＝1. 方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究解 据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练2 解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例3 解 据题C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ，故|MC 1|＋|MC 2|＝10，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知 2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5. 即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 在Rt △PF 2F 1中， 4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.例4 解 (1)由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. (2)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2， ∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.跟踪训练4 (1)证明 S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|. 在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a .两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2.② ①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α. 根据三角形的面积公式，得S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin α ＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sin α2cos α2＝tan α2， 所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2. (2)解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32. 所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2| ＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32. 当堂训练1．C 2.A3．10＋10 10－10解析 由椭圆的定义，得|PF 1|＝2a －|PF 2|，即|PF 1|＝10－|PF 2|，所以|PF 1|＋|PM |＝10＋|PM |－|PF 2|.由三角形中“两边之差小于第三边”可知，当P ，M ，F 2三点共线时，|PM |－|PF 2|取得最大值|MF 2|，最小值－|MF 2|. 由椭圆的标准方程x 225＋y 216＝1可得点F 2(3,0)．又|MF 2|＝(2－3)2＋(3－0)2＝10，所以|PF 1|＋|PM |取得最大值10＋10，最小值10－10.4．(0，－5)，(0，5)解析 据题知y 28＋x 23＝1，它的焦点位于y 轴上，且c ＝5，故两焦点分别为(0，－5)，(0，5)．5．解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，(－1，142)的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝18，B ＝14. 所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.。
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计《人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标知识与技能：(1)初步掌握椭圆的定义及其标准方程。
(2)能对两个根号的代数式化简。
过程与方法：(1)能动手从圆中做出椭圆和用绳子画出椭圆，能将它转化成数学语言。
(2)能在分组讨论及引导下化简两个根号的代数式。
(3)类比圆的学习过程学习椭圆。
情感与价值观：体会数形结合的思想，方程思想，类比的思想在本节课中的应用。
感悟椭圆及椭圆方程的对称美。
教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程，理解坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简。
教学过程：(一)椭圆概念的形成画一画，椭圆初步印象师：前面我们学习了圆，现在我们在圆中进行一个作图游戏，如图，圆的圆心为，在圆内取异于一定点，在圆上取一点，连接，做出线段的垂直平分线交于，然后在圆上依次取，依次得。
最后用一条光滑的曲线连接，。
为了方便大家画图，我给每个小组设计了一个画板。
请各小组合作完成作图。
(PPT演示一个作图例子)师：大家得到了什么图形呢?学生：椭圆师：为了图形更加的准确，我们用计算机验证一下。
(PPT几何画板演示)师：的确是一个椭圆，生活中还有哪些物品是椭圆形的呢?学生：师：我也准备了几个，请大家看看。
(PPT演示图片)师：椭圆就是我们这节课要研究的对象。
(PPT演示标题)。
通过本节课的学习，将达到以下目标。
(PPT演示三维目标)师：我们对椭圆已经有了一个初步印象，请分析刚才做出椭圆的过程中，哪些内容是确定的，哪些内容是变化的呢?(PPT演示作图例子) 学生：师：在平面内确定两个定点，动点到两个定点的距离之和为定值。
所以我们可以取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，就可以画出椭圆。
请各小组试一试。
议一议，椭圆定义的条件师：大家注意到，板上有3根绳子，大家选的那一根?学生：师：如果用另外两根，能画出什么图形呢?学生：一根画出线段，另外一根画不出任何图形。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第1课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标 1.掌握椭圆的定义；2.掌握椭圆标准方程的推导和标准方程. （二）学习重点椭圆的定义及椭圆标准方程. （三）学习难点椭圆标准方程的建立和推导. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 距离的和 等于常数 c ，大于12||F F 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两定点间距离叫做 椭圆的焦距 .（2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上： 2221(0)y a b a b+=>> .焦点在y 轴上： 2221(0)x a b a b+=>> .2.预习自测判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为6的点的轨迹； （2）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为4的点的轨迹； （3）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为3的点的轨迹.【解题过程】当12||||2MF MF a +=，且122||a F F >的常数时M 点的轨迹为椭圆，故（2）（3）不是.【思路点拨】注意把握椭圆的定义. 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是.（4）已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且与定圆22:(3)64B x y -+=内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A.线段B.直线C.圆D.椭圆 【解题过程】设动圆P 与定圆B 内切于M ，由条件知：||||||||||8PA PB PM PB BM +=+==，故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆.【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D （二）课堂设计 1.新知讲解探究一 创设情景，认识椭圆 ●活动① 归纳提炼概念画一画：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？②将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 动画演示作图过程.提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ ②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？③笔尖所对应的动点M 到定点的距离有什么长度之间的关系？ 总结：笔尖对应的动点M 到直线两个端点的长度之和固定不变.【设计意图】学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识.提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）我们把平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.●活动② 辨析概念问题1：定义中的常数等于21F F ，则动点的轨迹是什么？问题2：定义中的常数小于21F F ，则动点的轨迹是什么？椭圆相关概念：两个定点1F ，2F 叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F ，2F 间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．. 【设计意图】使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风. 探究二 推导椭圆的标准方程 ●活动① 利用定义求方程动手演算：让学生动手，求推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）以直线21F F 为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.②设点：设焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -.设(),M x y 为椭圆上任意一点，点M 与点12F F 、的距离之和为()222a a c >.③列式：动点M 满足的几何约束条件: 122MF MF a += 2a =④化简：()()a y c x y c x 22222=+-+++1F 2F∴()()22222y c x a y c x +--=++∴两边同时平方、整理得：()222y c x acx a +-=-将上式两边平方、整理得：2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-()()22222222c a a y a x c a-=+-122222=-+c a y a x 分析22c a -的几何含义，令222b c a =-得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是什么？（由学生动手列式，()()a c y x c y x 22222=-++++，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y 轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y 轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在y 轴上，其焦点坐标为()c F -,01，()c F ,02，用同样的方法可以推出它的标准方程()012222>>=+b a bx a y ●活动② 归纳梳理、理解提升 椭圆的标准方程及方程特点焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程： 12222=+b y a x （0>>b a ） 12222=+b x a y （0>>b a ）学生思考：（1）椭圆的标准方程中三个参数b c a ,,的关系怎样？（2）如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？总结方程特征：（1）.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （2）哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.【设计意图】通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法.●活动③ 互动交流、初步实践判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标（1）1162522=+y x （在x 轴上，焦点为()0,3-，()0,3）（2）116914422=+y x （在y 轴上，焦点为()5,0-，()5,0）（3）112222=++m y m x （在y 轴上，焦点为()1,0-，()1,0）●活动④ 巩固基础、检查反馈例1.已知a =c =，则椭圆的标准方程为（ ）A.2211312x y +=B.2211325x y +=或2212513x y += C.22113x y += D.22113x y +=或22113y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知21b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】D同类训练 已知椭圆的焦点为(1,0)-和(1,0)，点(2,0)P 在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A.22143x y += B.2214x y += C.22143y x += D.2214y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知23b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】A例2 椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.7D.8 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由210a =知P 到另一个焦点的距离为8. 【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】D同类训练 已知F 1、F 2是椭圆 192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则三角形MF 2N 的周长为 . 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由221212101020MN MF NF MF MF NF NF ++=+++=+=.【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】20. 3.课堂总结 知识梳理（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上：12222=+by a x （0>>b a ）；焦点在y 轴上：12222=+bx a y （0>>b a ）.重难点归纳（1）区分焦点：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上；（2）标准方程中,,a b c 的关系：.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （三）课后作业 基础型 自主突破1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2. 【思路点拨】几何性质判断图形. 【答案】D.2.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是（ ） A.5 B.3或8 C.3或5 D.20 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1，∴m ＝5或m ＝3，故选C.【思路点拨】确定焦点位置再结合222a b c =+可得m 的值. 【答案】C3.椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是（ ）A.(±a －b ，0)B.(±b －a ，0)C.(0，±a －b )D.(0，±b －a ) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a ).【思路点拨】将方程整理为椭圆的标准形式. 【答案】D4.中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是（ ）A.x 281＋y 245＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1D.x 281＋y 236＝1 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C. 【思路点拨】由几何性质即可. 【答案】C5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意可得⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.【思路点拨】由椭圆定义及几何关系可得,,a b c 的值. 【答案】x 24＋y 23＝16.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 【思路点拨】由椭圆几何性质即可. 【答案】2 3 能力型 师生共研1.已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.m <2B.1<m <2C.m <－1或1<m <2D.m <－1或1<m <32 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意得⎩⎨⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.【思路点拨】根据焦点的位置可确定椭圆方程形式为22221(0)y x a b a a +=>>.【答案】D2.若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D. 【思路点拨】由椭圆定义即可. 【答案】D 探究型 多维突破1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；（2）a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】（1）由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).由椭圆的定义知，28a =+=， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. （2）由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又135a c =，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 【思路点拨】由椭圆性质求解即可. 【答案】见解析2.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.【知识点】椭圆的标准方程及几何性质. 【解题过程】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. 【思路点拨】由定义可知焦点三角形12PF F 的面积：2tan2S b θ=，其中12F PF θ∠=.【答案】见解析自助餐1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）A.x 216＋y 2＝1B.x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1【知识点】椭圆的标准方程及几何性质.【解题过程】由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】C2.已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.95B.3C.977D.94【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形.且b ＝3>7＝c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点，∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】D3.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.射线D.直线【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上.【思路点拨】根据椭圆定义判断.【答案】A4.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是（ ）A. 3B.2C.2 3D.4【知识点】椭圆的定义及几何性质.【解题过程】由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.【思路点拨】根据椭圆定义判断..【答案】A5.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题设知1c =. 结合椭圆的定义得：12122||||2||4a PF PF F F =+==，故2,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=. 【思路点拨】利用椭圆的定义求,a c ，再利用222a b c =+求b .【答案】22143x y += 6.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋12(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.【思路点拨】由椭圆定义，转换即可. 【答案】35。
2.2.1椭圆及其标准方程 学案-人教版高中数学选修2-1
作图，作图后学生回答引出课题。
学生口述后在投影展示，教师再根据投影进行强调。
引生入境听1、师：移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？2、师：笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？3、师：观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？4、师：观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？5．师：定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？1、生：椭圆．2、生：是．其距离之和始终等于线段的长度．3生：．4、生：5.生：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;；_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1.通过教师的引导，由于坐标系选择的灵活性与根式运算的复杂性，在寻求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
2．通过这些实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.板书设计导学反思课题：椭圆及其标准方程一、定义二、标准方程三、例题(文字表述) （符号表述）四。
变式训练。
五。
课堂检测。
六。
作业布置。
1.数形结合的思想开展我的教学；在整个教学过程中采用了“引导发现、讨论交流”的方法来进行教学，最大限度的挖掘学生的潜力；同时让学生通过动手作图亲身经历椭圆的形成过程，培养了学生的观察、分析、概括能力，从而激发学生学习数学的兴趣。
2.根据学生思讲练的反馈信息，在后面的教学中及时的进行小结和点评，并针对学生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题，进行教学调节。
3.在设计过程遇到很多我无法解决的问题，比如如何将圆锥曲线背景知识融入到课堂；如何用几何画板将图形的翻折更形象的演示等，如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。
高中数学人教A版选修2-1导学案：2.2.1椭圆及其标准方程(学生版)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shi yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.2.1椭圆及其标准方程(1)
制单人： 审核人：高二数学组
班级：_________ 组名：_________姓名：_________ 时间：_________
一、自主学习 （10分钟）
1、学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
2、学习指导
阅读教材回答下面问题：
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？
当122a F F =时，其轨迹为 ；
当122a F F <时，其轨迹为 ．
P
F 2F 1。
人教A版高中数学选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》学案
椭圆及其标准方程（一）学案学习目标： 1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，掌握椭圆的标准方程；3.会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
重点难点: 1.重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程和坐标化的基本思想；2.难点：椭圆标准方程的推导与化简。
学习过程：一、椭圆的定义 椭圆定义的数学语言： 。
归纳总结：平面内点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（记a MF MF 221=+）的点M 的轨迹是 ；当2a >2c 时点M 的轨迹是 ；当2a =2c 时点M 的轨迹是 ；当2a <2c 时点M 的轨迹 。
二、椭圆的标准方程1.推导椭圆的标准方程：以 为x 轴， 为y 轴，建立如图所示坐标系；设）（y x M ,是椭圆上的任意一点，c F F 221= ,的坐标为、21F F ∴ ； 根据条件a MF MF 221=+，得 a y c x y c x 2)()(2222=+-+++；2. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： 。
三、实例演练例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-P ，求椭圆的标准方程。
M M【变式训练1】（课本49页A1）如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式 错误!未找到引用源。
， 点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
【变式训练2】（课本49页A7）如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点。
线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？四、课堂检测1、（1）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于10，则P 点的轨迹是 ；（2）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于8，则P 点的轨迹是 ;（3）已知两个定点F 1，F 2坐标分别是(-4,0) 、 (4，0),动点P 到两定点的距离之和等于6，则P 点的轨迹是 .2、如果椭圆 错误!未找到引用源。
人教版A版高中数学选修2-12.2.1 椭圆及其标准方程(1)
设计意图:强化学生对所学知识的理解、消 化和灵活运用
课堂小结
问题：本节课学习的主要知识是什么？在解题方法上你有什 么收获？ 活动方式： 教师提出问题——学生归纳概括——师生共同完善
• 小结 ：“一、二、一” • 具体为： • 一个定义（椭圆的定义） • 二类方程（焦点分别在x轴、y轴的上的两个标准方程） • 一种方法（待定系数法）
设计意图：加深学生对本节知识的整体认识，提高学生概括能 力.
教材分析 教学目标 教法分析 学法指导 教学过程 教学评价
课题引入 归纳总结 探索交流 点拨示范 巩固训练 总结作业
布置作业：
1、 习题2.1 A组 1、2（任选一题） 2、 思 考题： （ 1）化 简 (x -1)2 y 2 (x 1)2 y 2 6 （2）解 方程 x2 6x 10 x2 6x 10 10
生充分发挥的空间。
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
课题引入 归纳总结 探索交流 揭示规律 巩固训练 总结作业
标准方程
x2 y2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
不
y
同 图形 点
o
x
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a
y
>
b
>
0)
ox
焦点坐标 F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c)
设计意图
当2a= 2c 当2a< 2c
线段 不存在
通过改变两图 钉间距离，让 学生体会条件 2a>2c的内含及 享受由图形变 换所带来的数 学美
【人教A版】高中数学选修2-1第二章：椭圆及其标准方程
1、数形是统一的，那么椭圆方程中的数a,b,c 与椭圆中的哪些形相对应？
2、方程 Ax2 By2 C什么时候表示一个椭圆？
谢 谢！
（±3，0）.
(2) x2 y2 1 144 169
答：在 y 轴, a2=169,b2=144; （0，±5）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。
2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； (2)b 1,c 3.
3：两焦点的坐标分别为（-4，0），（4，0）的椭圆上一点P到两焦点的距离和
等于10，则椭圆方程为
.
4 : 如果椭圆 x2 100
y2 36
1上一点P到焦点F1的距离等于6，
那么点P到另一个焦点F2的
距离是
四、课堂小结
你掌握了哪些 数学知识与思想？
1、一个定义：
(2a>2c>0)
2、二个方程：
与
3、三种数学思想： 换元思想 分类讨论思想
数形结合思想
五、课后作业
教材第42页： 习题2.2A组第1题，第2题
笔尖到两定点的距离之和不变
（2） “一定的距离”是什么含义？ 两定点间的距离小于细绳长！
（3）能够说“平面内到定点的距离等于定长的点的 轨迹是椭圆”吗？
您能给椭圆下一个定义吗？
二、新课探究（一）椭圆的定义
椭圆的定义
如图，平面内与两个 定点 F1、F2的距离之 和 的等于
2a常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。
F1•
O
• F2
x 则F1(-c,0)、F2(c,0)，
M与F1、F2的距离的和等
高中数学：2.2.1《椭圆及其标准方程》学案(新人教A版选修2-1)
《椭圆及其标准方程》学案一、学习目标1.知识目标：①掌握椭圆的定义及其标准方程；②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.2.能力目标：通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力.3.情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.二、重点难点1.重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；2.难点：椭圆标准方程的建立和推导.三、认真阅读“2.2.1椭圆及其标准方程”一节，回答下列问题。
（一）椭圆的定义1、[动动手]：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。
②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？3、[讨论]：①平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？②平面上一动点到两个定点的距离之和小于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？4、[概括归纳] 椭圆的定义：（二）椭圆的标准方程1、[问题] ① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？② 我们是如何建系求圆的标准方程的？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。
【注意】问题1 怎样化简方程22)(y c x +++a y c x 2)(22=+-同桌合作： 相互检查化简的过程、结果是否正确？出现什么问题？如何更正？分组讨论： 对a ²－b ²该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。
问题２ 如果焦点F 1，F 2在y 轴上，坐标分别为（０，－c ）（０，c ），a ，b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别？3、[归纳总结] 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上：（2）焦点在y 轴上：（三）例题解析例1 已知椭圆两焦点的坐标分别是()()0,2,0,2-，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，求它的标准方程.（要求：用多种方法解题，同学间相互交流，看谁的方法最多最好！）例2.在圆上任取一点P ，过点P 做X 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？（你能说出椭圆和圆的关系吗？）（四）小结：（1）知识小结：（2）求曲线方程的方法：（3）数学思想：（四）达标练习1．到两定点F 1（-2，0）和Ｆ2（2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是（ ）Ａ．椭圆 Ｂ．线段 Ｃ．圆 Ｄ．以上都不对2．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6, 那么点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ）Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．15 Ｄ．163．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱PA ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4．椭圆1163222=+y x 的焦距等于（ ） A.123 Ｂ．8 C.6 D.45. 椭圆两焦点的坐标分别是（0，8）（0,－8）且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆的方程是（ ） A.11003622=+y x Ｂ．133640022=+y x Ｃ．13610022=+y x Ｄ．140033622=+y x 6.若方程1222=-ay a x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则a 的取值范围是（ ） A. a ＜0 B.0 ＜ a ＜1 C.a ＜1 D.无法确定7.已知圆C 1: （x －4）²+ y ²=13²,圆C 2：（x +4）²+ y ²=3²,动圆C 与圆C 1内切同时与圆C 2外切,求动圆圆心C 的轨迹方程是8.已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点F 2做垂直于x 轴的直线AB 交椭圆与A , B 两点, F 1是椭圆的左焦点.（1）求△AF 1B 的周长（2）如果AB 不垂直于x 轴, △AF 1B 的周长有变化吗?为什么?9. 已知P 为椭圆16410022=+y x 上的点,设F 1, F 2是椭圆的两个焦点,且∠F 1 PF 2=3π 求△F 1 PF 2的面积.【学后记】：。
新课标人教A版高中数学选修2-1 椭圆的标准方程(第一课时)
(是线段F1F2)。 (3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。 (4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
x y (3) 2 2 1 m m 1
2
2
(4)9 x 2 25 y 2 225 0
x2 y2 (6) 1 9k k 3
(5) 3x 2 2 y 2 1
三、椭圆的标准方程的应用
例2. 课本42页第2题
探究1： ABF2的周长？
y
A
F1
O
F2
x
B
探究2：焦点三角形
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
相 同 点
定 义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
y
M ( x, y)
(c,0)
(c, 0)
O
F1
F2
x
探究2：焦点三角形
y
M ( x, y)
(c,0)
b
高中数学 椭圆及其标准方程(一)导学案 新人教A版选修2-1(精选资料).doc
2014-2015学年高中数学椭圆及其标准方程（一）导学案新人教A版选修2-1 【学习要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1.通过自己亲自动手尝试画图，发现椭I员1的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2.通过经历椭圆方程的化筒，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1.椭圆：平面内与两个定点乃的的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的.2.椭圆的标准方程焦点在天轴上焦点在*轴上标准方程隹占八、、八、、a、b、c的关系【问题探究】探究点一椭圆的定义问题1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能I画出椭圆吗？问题2动点P到两定点刀、引KJ距离之和|切+ \PB\=2a（a>0且a为常数）的轨迹一定是椭圆吗?探究点二椭圆的标准方程问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何神形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上?问题3椭圆方程中的公力以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2, 0）, （2, 0）,并且经过点（3，一9 求它的标准方程;（2）若椭圆经过两点（2,0）和（0,1）,求椭圆的标准方程.2 2!踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点0（2,1）且与椭圆S+j=l有公共的焦点,KZ *求椭圆的标准方程；（2）己知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过R （杰,1）, R（S一彖）两点，求椭圆的标准方程.2 2Y V例2已知方程厂二一1表示焦点在*轴上的椭圆，则实数人的取值范围为A—4 /（—10PF, - PF. 丽.A H A. ------ 3 B. 73 C. 2^3 D. 3V3跟踪训练2若方程2方=1表示焦点在*轴上的椭圆，那么实数疝取值范围是（A. MB. 031C. 一2〈冰1D. 〃>1 且好吏探究点三椭圆的定义及标准方程的应用 2 2X V例3已知椭圆的方程为-+v=h椭圆上有一点夕满足ZPFA9S（如图）.求的面积.跟踪训练3己知椭圆会+3=1上一点尸与椭圆两焦点AM的连线夹角为直角，则I所I・\PF?\=【当堂检测】y1.+y = 1 ±—点P到一个焦点的距离为2,则点夕到另一个焦点的距离为（）A. 5B. 6C. 7D. 8 2 2X V2.若方程一+F= 1表示焦点在./轴上的椭圆，贝U实数0的取值范围是（）m ni~rvA. 一9〈冰25B. 8〈冰25C. 16<冰25D. 〃>82 23.棚圆土+土=1的焦距为lb_ 2 24.已知椭圆经过点（巾，0）且与椭圆十+普=1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为【课堂小结】1.平面内到两定点内的距离之和为常数，即阴| + |邮|=2缶当2a>\FxF2\时，轨迹是椭圆;当2a= | F\R时，轨迹是一条线段皿当2次|砧|时,轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若己知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设X/+庞=1（少0,於0, 求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】2 21.已知P是椭圆j + ； = l上的点，F?分别是椭圆的左、右焦点，若血积为（2.已知椭圆的两焦点为4（一1,0）、％（l,0）,P为椭圆上一点，且2|汽月| = |户氏| + "尸2|（1）求此椭圆方程（2）若点P在第二象限，ZF.PF. =120°,求的面积。
人教版数学高二A版选修2-1学案 椭圆及其标准方程
2．2椭圆2．2．1椭圆及其标准方程1．了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程．2．掌握椭圆的定义与标准方程．3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2．(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|．(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a＞|F1F2|．(1)在椭圆的定义中，注意到两定点的距离之和为定值，且“常数”大于两定点之间的距离．(2)椭圆的定义的双向运用：一方面，符合定义条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．2．椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c，0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝b2＋c2标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( )(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10答案：D已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216＋y 225＝1B ．x 225＋y 216＝1C ．x 225＋y 221＝1D ．x 29＋y 225＝1答案：C椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)已知方程x 23＋k ＋y 22－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫－12，2探究点1 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 【解】 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝210， 即a ＝10．又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6． 所以所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1．(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， 因为点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，所以代入椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a ＞b ＞0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)过点(－3，2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝26，2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5．所以b 2＝a 2－c 2＝144．所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1．(2)已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，所以c 2＝9－4＝5．设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)．则9λ＋5＋4λ＝1． 解得λ＝10或λ＝－2(舍)，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1．探究点2 椭圆定义的应用已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【解】 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．① 由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4．所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝3．1．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由椭圆x 212＋y 23＝1知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3．2．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠PF 1F 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由已知得a ＝23，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝12－3＝3．从而|F 1F 2|＝2c ＝6．在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋36，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×23＝43， 所以|PF 2|＝43－|PF 1|．从而有(43－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋36， 解得|PF 1|＝32． 所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×6＝332，即△PF 1F 2的面积是332．椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a ．(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |，所以在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8．答案：8探究点3求与椭圆有关的轨迹方程如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解】设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8＞|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为x216＋y27＝1．利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10．因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c＝4，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9．所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1解析：选D．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2－b2＝9，0＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝18，b2＝9，故椭圆的方程为x218＋y29＝1．2．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝________．解析：由4＝25－m2(m>0)，解得m＝3．答案：33．若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则m满足的条件是______．解析：由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m>0，2m－1>0，m≠2m－1，解得m>12且m≠1．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m>12且m ≠1 4．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0，1)，且3a 2＝4b 2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 解：(1)依题意，知c ＝1， 又c 2＝a 2－b 2， 且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1． 所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1．(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4． 又|PF 1|－|PF 2|＝1， 所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32．又|F 1F 2|＝2c ＝2， 所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（52）2＋（32）2－222×52×32＝35．故∠F 1PF 2的余弦值等于35．知识结构深化拓展1．椭圆的定义条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2．焦点三角形中常用的关系式(1)|PF1|＋|PF2|＝2a．(2)S△F1PF2＝12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2．(3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2．(4)|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|．[学生用书P105(单独成册)])[A基础达标]1．平面内，若点M到定点F1(0，－1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为() A．椭圆B．直线F1F2C．线段F1F2D．直线F1F2的垂直平分线解析：选C．由|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|知，点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2．2．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A．x212＋y29＝1B．x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C．x29＋y212＝1D．x248＋y245＝1或x245＋y248＝1解析：选B．由已知2c＝|F1F2|＝23，所以c＝3．因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．(2018·郑州高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B ．设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8．因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4．5．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B ．由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，因为|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32．又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形．6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1．又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1． 答案：y 216＋x 2＝1 7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2．|F 1F 2|＝27，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12． 所以∠F 1PF 2＝120°．答案：2 120°8．已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a ＝2c ，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆的标准方程为________．解析：根据椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，则a ＝4，因为a ＝2c ，所以c ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8．故椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1． 答案：x 216＋y 28＝1 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，32)．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12，解得a ＝6．又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1． 法二：因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a 2＋16b2＝1． 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32．所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1． 10．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，当a ＝2b 时，点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，求椭圆方程．解析：因为a ＝2b ，b 2＋c 2＝a 2，所以c 2＝3b 2．又PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝12b 2，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， (|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12b 2＋4＝16b 2，所以b 2＝1，a 2＝4．所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1． [B 能力提升]11．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B ．由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．12．已知F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________． 解析：如图．由x 29＋y 27＝1，知a 2＝9，b 2＝7，c 2＝2．所以a ＝3，b ＝7，c ＝2．所以|F 1F 2|＝22．设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝6－x ．因为∠AF 1F 2＝45°，所以(6－x )2＝x 2＋8－42x ·22． 所以x ＝72．所以S △AF 1F 2＝12×22×72×22＝72． 答案：7213．如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|．由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65， 所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335． 14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值；(3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值．解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4．(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF →1＝λ CF →1，得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ． 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7．(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1的周长最大，最大值为8．。
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§2.2.1椭圆及其标准方程（1）
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
【重点】理解椭圆的定义
【难点】掌握椭圆的标准方程
一、自主学习
1.预习教材P 38～ P 40, 找出疑惑之处
复习1：等腰三角形三个顶点的坐标分别是A （0，3）,B （-2，0），C （2，0）。
中线AO
（O 为原点）的方程是X=0吗？为什么？
2.导学提纲
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．
试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．
新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程
()22
2210x y a b a b
+=>> 其中222b a c =-
若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是 ．
二、典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；
⑵4,a c ==y 轴上；
⑶10,a b c +==
变式：方程214x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．
小结：
例2已知椭圆焦距为6，椭圆上一点A到两焦点的距离之和为10，求该椭圆的方程．变式：椭圆过点()
2,0
-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．
三、拓展探究
1．已知ABC
∆的顶点B、C在椭圆
2
21
3
x
y
+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC
边上，则ABC
∆的周长是（）．
A．B．6 C．D．12
2 ．方程
2
1
9
x y
m
-=表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
五、课后巩固
1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．
A ．椭圆
B ．圆
C ．无轨迹
D ．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．
A ．(0,)+∞
B ．(0,2)
C ．(1,)+∞
D ．(0,1)
3．如果椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．8
4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．
5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．
6. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；
⑶10,4a c a c +=-=．
7. 椭圆2
2
14x y n +=的焦距为2，求n 的值．。