《用公式法求解一元二次方程》课件ppt
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用公式法求解一元二次方程第1课时课件北师大版九年级数学上册
﹣± 2−4
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
1.判断下列方程解的情况：
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
0.
x+
2
4a
2a
2
移项，得
b b 2 4ac
.
x+ =
2
4a
2a
2
因为 a≠0，所以 4a2＞0. 当 b2-4ac≥0
3.
公式法
知识梳理
课时学业质量评价
−± +××
用公式法解关于 x 的一元二次方程，得 x ＝
，则该一元
×
二次方程是
4. 当 x ＝
∴x=
2
=
即
7± 25 7±5
= .
2×2
4
1
x1=3，x2=
2
.
归纳小结
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，
当 b2 –4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2–4ac＜0时，方程没有实数根.
当堂训练
1.判断下列方程解的情况：
（1）x2 –7x=-18；
（2）2x2 +3=7x；
（3）3x2+2x+2=0 ；
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
当堂训练
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
0.
x+
2
4a
2a
2
移项，得
b b 2 4ac
.
x+ =
2
4a
2a
2
因为 a≠0，所以 4a2＞0. 当 b2-4ac≥0
3.
公式法
知识梳理
课时学业质量评价
−± +××
用公式法解关于 x 的一元二次方程，得 x ＝
，则该一元
×
二次方程是
4. 当 x ＝
《用公式法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (7)
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地 上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒 地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若
可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
练习巩固
在一幅长90cm、宽60cm的风景画的 四周外围镶上一条宽度相同的金色 纸边，制成一幅挂图，如果要求风 景画的面积是整个挂图面积的72%， 那么金边的宽应该是多少？
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
时钟在8点20分 时,时钟的时针与 分针所成的角是多 少度?
4时15分呢？ 2时48分呢？
钟表上的数学
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
4：00
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(二)
学习目标
• 知道有些一元二次方程没有根， 会用判别式判定一个一元二次 方程根的情况
• 熟悉用求根公式解一元二次方 程
温故知新
1.你能举例说明什么是 方法求解一元二次方程？ 怎样用公式法求解一元二次方程？
A 共有10个角
D
E
E D
C
B
B
图1
C
O
A
图2
1、角是指( ) A.由两条线段组成的图形; B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形; D.有公共端点的两条射线组成的图形
2、如图所示，从点O出发有
三条射线，则图中有 个
角，它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度？
钟表上有12大格， 每小时时针走1大
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
程ax2＋bx＋ Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
用公式法求解一元二次方程-ppt课件
2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −
− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．
= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
用公式法求解一元二次方程PPT教学课件
2020/10/16
8
练一练，巩固新知
三、一个直角三角形三边的长为三个连 续的偶数，求这个三角形的三条边长。
2020/10/16
9
感悟与收获：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
2020/10/16
5
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
x2 2 x 1 0 33
x2 2 x (1)2 1 1 0 3 3 93
(x 1)2 2 0 39
(x 1)2 2
3
9
∵
2 0 9
3
公式的推导
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为：
b b20 )
2020/10/16
4
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况： （1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
∴原202方0/10程/16 无解
6
比一比谁简洁
解列方程 2x2+3=7x
解:2x2-7x+3=0
a=2, b=-7, c=3 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3
=25>0
∴
b b2 4ac x
用公式法求解一元二次方程市公开课一等奖省优质课获奖课件
∴x=
=
= 即 x1=2，
x2= -
求根公式 ： X=
例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
==
x1 = x2 =
练习：用公式法解方程 1、 x2 - x -1= 0 2、 2x2 - 2 x+1= 0
解：
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
第6页
求根公式 ： X=
(a≠0， b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 ．
b2-4ac= x=
12-4×2×(-6) = 49 ．
2a
第3页
心动 不如行动
公式法
普通地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当b2 4ac 0 时，方程有
实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程求根公式.
用求根公式解一元二次方程方法称为公式法
回顾与复习
一、用配方法解一元二次方程： (1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
二、用配方解一元二次方程步骤是什么？
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程两边各加上一次项系数绝对值二分之一平 方，使左边成为完全平方； 4、假如方程右边整理后是非负数，用直接开平方法 解之，假如右边是个负数，则指出原方程无实根． 用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比 较麻烦，能否研究出一个更加好方法，快速求得一 元二次方程实数根呢？
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
用公式法求解一元二次方程课件
4. 用公式法求解一元二次方程一般步骤是什么？ (1) 化：一般情势 (2) 定：确定 a、b、c 的值 (3) 算：计算 b2 - 4ac 的值 (4) 判：判断 Δ = b2 - 4ac 与 0 的大小 (5) 解：由求根公式求出方程的根
2.3.1 用公式法求解一元二次方程 实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元 二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0， 这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元 二次方程
2.3.1 用公式法求解一元二次方程 实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元 二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0， 这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元 二次方程
解一元二次方程 公式法ppt课件
解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0； （2）9x2＋6x＋1＝0； （3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，
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b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
课堂检测
解下列方程:
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
心动
2
不如行动
公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边配方, 右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y
1 2 3 y.
下课了!
结束寄语
• 公式法是解一元二次方程重要 方法,要作为一种基本技能来掌 握，多加练习，提高效率
心动
不如行动
1.变形:化已知方程为一般形式;
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
5.定根:写出原方程的根.
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x 2a 例 1 解方程：x2-7x-18=0
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
• 公式法解一元二次方程
学习目标
1、会推导一元二次方程求根公式 2、会用公式法解一元二次方程 3、会根据b2-4ac的值判断根的情况
回顾与复习 1
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
小结
• •
拓展
回味无穷
用公式法解一元二次方程的一般步骤: 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 5.定根:写出原方程的根. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.能准确判断出一元二次方程中a,b,c的值 3.b2-4ac≥0.
9 解 : x x 4 0. 2
你能用配方法解方程
心动
2
不如行动
公式法是这样产生的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c x2 x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b 2 4ac 4.变形:方程左边配方,右 . x 2 2a 4a 边合并同类项; 当b 2 4ac 0时, 5.开方:根据平方根意义, 2 b b 4ac 方程两边开平方; x . 2a 2 a 6.求解:解一元一次方程; 2 b b 4ac 2 x .b 4ac 0. 7.定解:写出原方程的解. 2a
x 3 2 3x
2
课堂练习 1、2x2＋x－6＝0； 2、x2＋4x＝2； 3、3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 4、9x2+6x+1 =0
合作交流
• b2-4ac的值与根的关系 当b2-4ac>0时根的情况 当b2-4ac<0时根的情况 当b2-4ac=0时根的情况
课堂检测
解下列方程:
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
心动
2
不如行动
公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边配方, 右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y
1 2 3 y.
下课了!
结束寄语
• 公式法是解一元二次方程重要 方法,要作为一种基本技能来掌 握，多加练习，提高效率
心动
不如行动
1.变形:化已知方程为一般形式;
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
5.定根:写出原方程的根.
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x 2a 例 1 解方程：x2-7x-18=0
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
• 公式法解一元二次方程
学习目标
1、会推导一元二次方程求根公式 2、会用公式法解一元二次方程 3、会根据b2-4ac的值判断根的情况
回顾与复习 1
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
小结
• •
拓展
回味无穷
用公式法解一元二次方程的一般步骤: 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 5.定根:写出原方程的根. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.能准确判断出一元二次方程中a,b,c的值 3.b2-4ac≥0.
9 解 : x x 4 0. 2
你能用配方法解方程
心动
2
不如行动
公式法是这样产生的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c x2 x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b 2 4ac 4.变形:方程左边配方,右 . x 2 2a 4a 边合并同类项; 当b 2 4ac 0时, 5.开方:根据平方根意义, 2 b b 4ac 方程两边开平方; x . 2a 2 a 6.求解:解一元一次方程; 2 b b 4ac 2 x .b 4ac 0. 7.定解:写出原方程的解. 2a
x 3 2 3x
2
课堂练习 1、2x2＋x－6＝0； 2、x2＋4x＝2； 3、3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 4、9x2+6x+1 =0
合作交流
• b2-4ac的值与根的关系 当b2-4ac>0时根的情况 当b2-4ac<0时根的情况 当b2-4ac=0时根的情况