2019年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷(理科)答案解析

2019年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，或，；；．故选：C．可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、补集的运算．2.已知，，其中i是虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，则的虚部为．故选：D．把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知正项等比数列的前n项和为，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：正项等比数列的前n项和为，，，解得，，．故选：B．利用正项等比数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出的值．本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.某班男生与女生各一组进行古诗词默写比赛，两组每个同学得分的茎叶图如图所示，男生组和女生组得分的平均数分别为、，标准差分别为、，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲的平均数是，乙的平均数是；甲的方差是s1，标准差是；乙的方差是，标准差是；，．故选：D．根据茎叶图中的数据，求出甲、乙的平均数和方差，得出标准差，通过比较可以得出结论．本题考查了利用茎叶图中的数据求平均数和方差的问题，作为选择题也可以利用平均数与方差表示的含义，估算出结果，是基础题．5.已知实数x、y满足，则的最大值与最小值之和为A. 5B.C. 6D. 7【答案】B【解析】解：由实数x、y满足，作出可行域如图，的几何意义为原点O到可行域内点的距离的平方，由图可知，O到直线的距离最小为：．可行域内的点与坐标原点的距离最大：．的最大值与最小值之和为：．故选：B．由约束条件作出可行域，由的几何意义，即原点O到可行域内点的距离的平方，结合点到直线的距离公式以及两点间距离公式求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.的展开式中的系数为A. B. 1024 C. 4096 D. 5120【答案】C【解析】解：，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的系数为．故选：C．先将二项式变形为，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令x的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．7.已知还数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选：C．利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．8.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：根据三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，截去一个圆锥体，如图所示；则该几何体的体积为．故选：A．根据三视图知该几何体是棱长为2的正方体截去一个圆锥体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题利用几何体三视图考查了求几何体体积的应用问题，是基础题．9.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：，排除，B，C，当时，，则，排除A，故选：D．利用，以及函数的极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．10.已知三棱锥中，平面平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积A. B. C. D.【答案】C【解析】解：平面平面BCD，平面平面，，平面BCD，平面ABD，，则是边长为的等边三角形，由正弦定理可得，的外接圆直径为．所以，三棱锥的外接球直径为，．因此，该球的表面积为．故选：C．先利用平面与平面垂直的性质定理得出平面ABD，并利用正弦定理计算出的外接圆直径2r，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，考查平面与平面垂直的性质定理，解决本题的关键在于找出线面垂直，并利用合适的模型求出球体的半径，同时也考查了计算能力，属于中等题．11.倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图为的垂直平分线，可得，且，可得，，由双曲线的定义可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，，则渐近线方程为．故选：A．由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方法如下：对于正整数n，，我们准备nx不同的卡片，其中写有数字0，1，，的卡片各有n张如果用这些卡片表示n位x进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示x个不同的整数例如，时，我们可以表示出共个不同的整数假设卡片的总数nx为一个定值，那么x进制的效率最高则意味着nx张卡片所表示的不同整数的个数最大根据上述研究方法，几进制的效率最高？A. 二进制B. 三进制C. 十进制D. 十六进制【答案】B【解析】解：设为一定值．则nx张卡片所表示的不同整数的个数，，假设x，，则，两边求导可得：，可得时，函数y取得最大值．比较，的大小即可．分别6次方可得：，，可得，．根据上述研究方法，3进制的效率最高．故选：B．设为一定值可得nx张卡片所表示的不同整数的个数，，假设x，，可得，利用求导研究其单调性即可得出．本题考查了利用研究函数的单调性极值与最值、进位制，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．【答案】【解析】解：函数，，．故答案为：．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为______．【答案】或【解析】解：设向量，则，又，，即，；由解得或；则向量的坐标为或故答案为：或设出向量的坐标，根据题意列出方程组求单位向量的坐标．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．15.已知抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作，垂足为B，若直线BF的斜率，则的面积为______．【答案】【解析】解：抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，，．设，，可得．故A在上，可得．，则的面积为．故答案为：．可得设，，可得求得，即可得的面积．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．16.已知正项数列的前n项和为，数列的前n项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项【答案】45【解析】解：，可得，且；由，解得；由，解得；推得，，时，，，由，当时，，当时，，当时，．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故答案为：45．分别令，2，3，，归纳得到，再由数列的递推式可得数列的通项公式，进而计算所求值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A为锐角，，，的面积为．设D为AC的中点，求BD的长度；求的值．【答案】解：，，的面积为．解得：，角A为锐角，，为AC的中点，，在中，由余弦定理可得：．，，，在中，由余弦定理可得：，由正弦定理，可得：．【解析】由已知利用三角形面积公式可求，由角A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，由D为AC的中点，可求，在中，由余弦定理可得BD的值．由已知在中，根据余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．【答案】解：记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜．对于事件A，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜．因此，；设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，则随机变量的可能取值为和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则．随机变量的分布列如下表所示：所以，．因此，田忌一年赛马获利的数学期望为金．【解析】由题意知，田忌第三场比赛必输，则前两场比赛都胜，因而利用相互独立事件的概率乘法公式可得出答案；先计算出田忌比赛一次获胜的概率，并计算出田忌比赛一次获利的数学期望，再这个期望上乘以12即可得出田忌一年赛马获利的数学期望．本题考查离散型随机变量及其数学期望，解决本题的关键就是弄清概率的类型，并计算出相应事件的概率，考查计算能力，属于中等题．19.已知三棱柱中，，，，．求证：面面ABC；若，在线段C上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由，【答案】证明：如图，，四边形为菱形，连接，则，又，且，平面，则，又，即，平面，而平面ABC，面面ABC；解：以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，，，，0，，2，，0，，0，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角的平面角的余弦值为．则．0，，，，，．设平面的一个法向量为，由，取，得；平面的一个法向量为．由，解得：舍，或．故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为．【解析】由，可得四边形为菱形，则，又，利用线面垂直的判定可得平面，得到，结合，即可证明平面，从而得到面面ABC；以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角的平面角的余弦值为，利用二面角的平面角的余弦值为求得值得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.已知椭圆E的方程为，离心率，且矩轴长为4．求椭圆E的方程；已知，，若直线l与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．【答案】解：设椭圆E的焦距为，椭圆E的短轴长为，则，由题意可得，解得，因此，椭圆E的方程为；由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l的方程为，设点、，由于直线l与圆，则有，所以，．点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，消去y并整理得．由韦达定理可得，．由弦长公式可得．所以，．当且仅当时，即当时，等号成立．因此，的最大值为12．【解析】根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l 的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值．本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系，同时也考查了韦达定理法在椭圆综合中的应用，属于中等题．21.已知函数在上是增函数．求实数a的值；若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【答案】解：当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，函数的导数恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即．若，则在R上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故，当时，有一个零点，，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，，由得，即得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数k的取值范围是．【解析】根据分段函数的单调性，结合导数判断函数在上单调递增即可讨论时不满足，则，根据分段函数单调在时，已经存在两个零点，在等价为当时，有且只有一个零点，利用参数法分离法结合图象进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点个数问题，求函数的导数，研究函数的单调性和极值以及利用参数法分离法，以及数形结合是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，难度较大．22.在平面直角坐标系xOy中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；已知点且直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．【答案】解：将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得．由，得，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为．直线l的直角坐标方程为．点且直线l与曲线C交于A、B两点，在直线l上，把直线l的参数方程代入，得：，则，．．【解析】设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得由此能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．求出直线l的参数方程代入，得：，由此能求出的值．本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段的倒数和的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.已知函数．解不等式；若，使成立，求实数m的取值范围．【答案】解：或或解得不等式的解集为由得令，则，，【解析】分三种情况去绝对值解不等式再相并；由得，在构函数，求出最小值为，转化为可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。