四年级数学思维训练——数阵规律【内化能力篇】
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅”知识定位⼀、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有⼀类⾮常有趣的数学问题，它变化多端，引⼈⼊胜，奇妙⽆穷。
它就是数阵，⼀座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的⼈有着极⼤的吸引⼒，以⾄有些⼈留连其中，⽤毕⽣的精⼒来研究它的变化，就连⼤数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上⾯两个图：右图（1）中有3个⼤圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三⾏三列，每⾏的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对⾓线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上⾯两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将⼀些数按照⼀定要求排列⽽成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是⼀件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这⼀类问题要求数阵中填⼊了⼀些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这⼀类问题可以按以下步骤解决问题：第⼀步：区分数阵图中的普通点（或⽅格），和交叉点（⽅格）第⼆步：在数阵图的少数关键点（⼀般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填⼊的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运⽤已经得到的信息进⾏尝试：数阵图还有⼀类题型⽐较少见，解决这⼀类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，⼀般没有特定的解法，往往需要综合运⽤掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学⽣从整体到局部对问题进⾏观察和判断；2.教授巧妙利⽤容斥原理、余数的性质、整除性质的数学⽅法；3.锻炼学⽣利⽤已知信息枚举，尝试的能⼒；4.培养学⽣综合运⽤各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能⼒.⼆、什么是幻⽅？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思.⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅.如下图：三、如何解决幻⽅问题？幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，三阶幻⽅的中⼼位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横⾏、竖列、对⾓线上数和的三分之⼀.解决数表类问题中，⾸先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从⽽找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（⼀）封闭型数阵问题（⼆）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻⽅例题精讲【试题来源】【题⽬】将1～6填⼊左下图的六个○中，使三⾓形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题⽬】⼩猴聪聪有⼀天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填⼊图中，使得每个⼩三⾓形3个顶点上的数字之和为图中所表⽰的数值，你能做到吗？【题⽬】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中⼀个圆圈⾥的数是6．请你选9个连续⾃然数(包括6在内)填⼈圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题⽬】⼩兔⼦在森林玩耍，遇到⼀个画着奇怪图形的树桩，上⾯写着：把10⾄20这11个数分别填⼊下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中⼼圆内填的数相等，那么就视为同⼀种填法，请写出所有可能的填法，⼩兔⼦发了愁，你能帮它吗？【题⽬】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填⼊右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于⼩、中、⼤圆周上，你能做到吗？【题⽬】在下图中的10个○内填⼊0～9这10个数字，使得循环式成⽴：【题⽬】请在图中的每个圆圈内填⼊不同的⾃然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上⼀⾏与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下⾯的数是20．+=====----20【题⽬】请你将2～10这九个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的三数之和相等.【题⽬】请你将1～25这⼆⼗五个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的五数之和相等.【题⽬】将九个数填⼊左下图的九个空格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和都等于定数k，则中⼼⽅格中的数必为k÷3【题⽬】在下图的九个⽅格中填⼊不⼤于12且互不相同的九个⾃然数（其中已填好⼀个数），使得任⼀⾏、任⼀列及两条对⾓线上的三个数之和都等于21.【题⽬】将前9个⾃然数填⼊右图的9个⽅格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个⾃然数在图中的位置也相邻.【题⽬】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填⼊3×3阵列中的九个⽅格，使第⼆⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的2倍，第三⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的3倍.【题⽬】在⼀个3×3的⽹格中填⼊9个数使得每⼀横⾏、竖⾏、对⾓线上三个数的乘积相等.习题演练【题⽬】将1～7这七个数分别填⼊图中的○⾥，使每条直线上的三个数之和都等于12。
小学四年级专项思维训练(幻方与数阵图)【附参考答案】
幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。
2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。
5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。
7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。
8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。
9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。
10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
数学思维简单数阵
1
5、把1，2，3，4，5填入下面数阵图的圈里。
3
2
2
2 151 35 1 54
4
4
3
6、在下列图中填数，使每条线上的三个数相加都得15。
6
12
7
3
8
4
9
2
4
3
18
7、把数字1-7用三种不同的方式填入下图，要求每条线上的和相等。
5
4
1
32
6
7
5
3
4
21
6
7
5
2
7
31
4
6
8、在圈里涂色，使每条线上都有一个蓝色的、红
1
4
【试一试】
小动物们去乐园玩“摩天轮”，要使每条线上的三个数相加等于10，那么问号 处是几号呢？
2 3
中间数是3，10-3=7， 两端配成7， 2配5 3配4， 4配3， 5配2。
4 5
【思维小妙方】
数阵图歌
数阵图，真有趣，每条线，和相等， 找准突破点，先下手为强， 已知数越多，就是关键点， 先找中间数，尝试变容易。
【百变魔方题】
1、观察数阵图，在方框中设计一个数阵图。
9
2、在下面的数阵图中按要求填上合适的数。
3
4
54
3
4
5
3、把2，3，4，5四个数字填入下面四个空格里，使横行竖 行三个数相加的得数都是8。
5
3
4
2
4、把2，4，6，8四个数填入右面四个圈里，使横行竖行三 个数相加的得数都是11。
2
4
6
8
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小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
数学思维之数阵中的规律
“将3~10八个数分别填入下面的○内，使每个大圆上的五个数的和为31。
mathematics
例题
这时我们就知道A+B+C=21，D+E+F=21。如果是中间2圆是3和7的情况，那么4、5、6、8、9、10这6个数其中三个之和要是21，那么就是5、6、10和4、8、9，这时这个题的结果是
【解题思路】
mathematics
例题
将3~10这8个数分别用A~H替代，并将他们放入下面的圆圈内，就会得到如下结果：
【解题思路】
题中要求每个大圆上五个数字之和为31，那么就有如下结果：A+B+C+H+G=31，D+E+F+H+G=31，将上面2个式子相加可以得出：A+B+C+D+E+F+G+H+G+H=31+31=62，又因为前8个数相加和为52，所以G+H=10，而在3~10这8个数中，只用3和7、4和6的和是10。这个时候这个图形就变为右侧的2个图形：
mathematics
情境导入
要点诠释
要点诠释
要点诠释
要点诠释
mathematics
要点诠释
mathematics
新知探究
解答数阵问题常用的方法
第二课
学如逆水行舟，不进则退。学而时习之，不亦说乎？业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。
把2、3、4、5、6这五个数分别填入下面的五个圆圈里，使横竖两行的三个数之和都为11、12或13。
如果是中间2圆是4和6的情况，那么3、5、7、8、9、10这6个数其中三个之和要是21，那么就是5、7、9和3、8、10，这时这个题的结果
四年度级数学思维训练
第一讲错中求解例题：1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位的4错看成1，计算结果的为241，正确的和应是多少？2、明明在做减法题时，把被减数十位上的6错看成了9，结果得到的差是132，正确的差是多少？3、小芳在计算除法时，把除数32错写成了320，结果得到的商是48，正确的商应是多少？4、小丽在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位4错看成1，乘得的结果是525，而实际的正确结果是600，这两个两位数各是多少？5、王芳计算（4＋□）×15，错抄成4＋□×15，这样她的计算结果与正确结果相差多少？同步练习：1、小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的2错写成了4，另一个加数十位上的7错看了9，这样算的结果为354。
正确的和应是多少？2、小军做题时，由于粗心大意，把被减数个位的3写成了8，把十位上的0写成了6，这样算得的差是199，正确的差是多少？3、小明在计算除法时，把除数540末尾的0漏写了，结果是60，正确的商应是多少？4、小利在计算除法时，把除数24抄成42，结果是56，正确的商是多少？5、小粗心在计算除法时，把除数87写成了78，结果得到的高是5还余45，正确的商是多少？6、一个学生在做两位数乘法时，把一个因数个位上的8错写成了5，得到的结果是800，而正确的答案是896，问这两个两位数分别是多少？7、有5个数的平均数是7，小明把其中的一个数错看成9后，计算得到的平均数是8.看错的那个数原来是几？8、小强在计算（1800－□）÷25＋192时，没有注意题的（），先用（）里的数除以25，然后按顺序计算，得1968.这道题的答案应该是多少？思考题：1、用1——9这9个数组成一个五位数和一个四位数，乘积最大是多少？最小呢？最大：□□□□×□□□□□=最小：□□□□×□□□□□=2、在□内填上数字1～9，使算式成立，不能重复。
4年级下册思维训练题(全)
4年级下册思维训练题（全）专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断;2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字;3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的;4.算式谜解出后，要验算一遍。
例1.在下面的方框中填上合适的数字。
分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
练习一第二讲乘除法数字谜(二)例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a 是1;d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0(1已经用过);再由b=0，可推知c=8。
练习二第三讲图形的个数例1.下面图形中有多少个正方形?分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6times;3=18个，2times;2的正方形有5times;2=10个，3times;3的正方形有4times;1=4个。
因此图中共有18+10+4=32个正方形。
例2.下图中共有多少个三角形?分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
(1)图中共有6个小三角形;(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+1=14个三角形。
练习三1.下图中共有多少个正方形?2.下图中共有多少个正方形?3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形?4.下面图中共有多少个三角形?第四讲找出数字的排列规律(一)找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。
四年级2015思维训练专题一
四年级思维训练专题一找规律解决问题一、观察规律填数：例第一组题：①1、5、9、13、17、（）（）②2、5、8、11、14、（）（）③1、3、6、10、15、（）（）④1、3、7、15、31、（）（）⑤2、5、11、20、32、（）（）⑥2、5、11、23、47、（）（）⑦2、5、14、41、122、（）（）⑧3、10、31、94、（）（）⑨1、1、2、3、5、8、（）（）⑩1、2、3、6、11、20、（）（）※⑾0、1、3、8、21、（）（）⑿1、4、9、16、25、（）（）⒀2、5、10、17、26、（）（）⒁6、12、20、30、42、（）（）⒂1、11、15、19、23、（）（）⒃1、2、4、8、16、（）（）⒄3、8、18、33、53、（）（）⒅2、5、9、14、20、（）（）⒆5、8、13、21、34、（）（）⒇1、2、3、7、22、（）（）总结规律：课练：①2、8、14、20、26、（）（）②2、8、26、80、242、（）（）③2、4、8、16、32、（）（）④2、6、18、54、162、（）（）⑤3、7、19、55、163、（）（）⑥1、5、13、29、61、（）（）⑦3、8、15、24、35、（）（）⑧1、4、19、94、（）（）⑨2、3、6、18、108、（）（）⑩3、6、11、18、27、（）（）⑾2、3、7、13、27、（）（）⑿1、2、5、11、26、（）（）⒀2、3、5、10、18、33、（）（）※⒁6、24、60、120、（）（）⒂1、2、4、7、11、16、（）（）⒃1、1、2、6、24、120、（）（）⒄7、11、19、35、（）（）⒅3、12、21、30、39、（）（）⒆1、2、4、7、11、16、（）（）⒇3、10、31、94、（）（）趣味数学（一）：三阶幻方（九宫图）例：将1－9这九个数填入九宫格内使每一横行，每一竖列，每一条对角线上的三个数的和都相等。
四年级数学思维训练题
目录目录..................................................... - 1 - （一）找规律............................................. - 3 -①数列中的规律................................. - 3 -②图形中的规律................................. - 4 - （二）数字谜............................................. - 7 -①横式字谜................................. - 8 -②竖式字谜................................ - 10 - （三）定义新运算........................................ - 13 - （四）鸡兔同笼.......................................... - 15 - （五）行程问题.......................................... - 17 -①追击及遇问题................................ - 18 -②火车过桥................................ - 20 - （六）植树问题.......................................... - 22 - （七）有趣的数阵图...................................... - 25 - （八）有趣的数阵图练习................................... - 28 - （九）枚举法............................................ - 30 - （十）逻辑推理.......................................... - 33 - （十一）抽屉原理........................................ - 35 - （十二）倒推法的妙用 .................................... - 37 - （十三）火柴棍游戏...................................... - 40 -①摆图形游戏................................ - 40 -②移动火柴，变换图形游戏.............................. - 41 -③去掉火柴，变换图形游戏............................... - 42 - （十四）巧求面积习题 .................................... - 43 - （十五）方程式解应用题................................... - 44 - （十六）移多补少平均数................................... - 46 - （十七）一笔画.......................................... - 47 -（一）找规律观察是解决问题的根据。
小学数学思维训练数阵
小学数学思维训练----数阵一、知识讲解把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图，有时简称数阵。
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。
294735681每一纵列、这九个数字，填在九个格子里，即为这幅图用现在的数字表示，1到9。
多么巧妙、奇特的（见上右图）15每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是，国外称它为“魔方”或“幻“九宫图”数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或。
我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。
方”数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对多边形、星形、角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字的和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解决数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
二、例题解析：例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
:Zxxk.]来源解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是－了。
2020例2将自然数1至9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
4次，所以可先填中间一格的数。
解：中间一格所填的数，在计算时共算了。
四年级数学思维训练导引(奥数)第04讲--数阵图初步
第四讲数阵图初步1．在图4-1中的三个圆圈填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.2．请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.3．如图4-3所示，请在三个空白圆圈填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等．4．把1至8分别填入图4-4的八个方格，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．5．把l至12分别填入图4-5的圆圈，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等．6．在如图4-6所示的3×3方格表填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等．7．把1至6分别填入图4-7的六个圆圈，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.8．把1至6分别填入图4-8的六个方格，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？9．把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈，使每条直线上三个圆圈所填数之和都相等．如果中心圆填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法．10.在图4-10的6个圆圈分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？1．将1至9分别填入图4-11中的圆圈，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.2．在图4-12中的八个圆圈分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等，现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整．3．图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈．请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈，使得每个长方形上的四个数之和都相等．4．在图4-14中的方格填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7．5．请在图4-15的每个小圆圈填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同．那么所填数的总和是多少？6．把1至8分别填入图4-16的八个圆圈，使得任意两个有线段直接相连的圆圈的数字之差都不等于1．7．在图4-17的七个圆圈填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈所填数之和都等于它们连线上的已知数．请问：标有★的圆圈填的数是多少？8．小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4 -18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15.问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？9．把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？10.把1至l 1填入图4-20中“六一”图形的十一个空格，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等．11.请将1至6填入图4-21的六个圆圈，使得四条直线上的数字之和都相等．12.如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表，为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？1．如图4 -23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域填有数，请将1至12中的另六个数填入其他区域，使得每个圆中四个数之和都是28.2．如图4-24，请在三个圆圈分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和．3．把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈，使得正方体每个面上的四个数之和都相等．4．把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈，使得每条直线上四个数之和都相等，现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整．5．把l至8填入图4 -27的八个圆圈，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半．6．图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆圈，使得每条直线上圆圈的数加起来都等于23.7．如图4 -29，5x5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入l、2、3、4、5中的一个（其中两个格子已经分别填入1和2），使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等．请问：ABCDE是多少？8．图4-30是奥林匹克五环标志，五个圆共分成了九个部分．请在这九个部分中填入1至9这九个数，使得每个圆环的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？。
四年级数学思维训练——数阵规律【内化能力篇】
【1】括号里填几？12345679×9=111111111 12345679×18=22222222212345679×27=333333333 12345679×36=（）12345679×（）=888888888【2】括号里应填几？4×4-3×3=75×5-4×4=914×14-13×13=（）315×315-314×314=（）【3】括号里应填几？【4】把从1开始的若干自然数如下图排列，那么第25行左起第2个数是多少？【5】如下图，用三根等长的火柴棍可以摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，拼合成一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底为20根火柴棍长，那么一共要用多少根火柴棍？【6】如图是由火柴棍组成的三角形图案，如果在这个三角形图案中共用了101根火柴棍，那么它共有三角形多少个？………………【7】根据某种规律列出如下算式：1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+15……以上各式的计算结果是3，15，42，…，请求出含有2003的算式的计算结果。
【8】5656=5600+56=56×100+56=56×101565656=56000+5600+56=56×10101567567=567000+567=567×1001567567567=567×（）56785678=5678×（）【9】因为【10】观察右图中数的规律，第16行左起第一个数是多少？【11】在下图所示的数列中，第16行的第三个数是多少？【12】如右图所示，黑白两种颜色的珠子，一层黑，一层白，排成正三角形状，当白珠子比黑珠子多10颗时，共用了多少颗珠子？。
四年级数学思维训练
第一讲错中求解例题：1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位的4错看成1，计算结果的为241，正确的和应是多少？2、明明在做减法题时，把被减数十位上的6错看成了9，结果得到的差是132，正确的差是多少？3、小芳在计算除法时，把除数32错写成了320，结果得到的商是48，正确的商应是多少？4、小丽在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位4错看成1，乘得的结果是525，而实际的正确结果是600，这两个两位数各是多少？5、王芳计算（4＋□）×15，错抄成4＋□×15，这样她的计算结果与正确结果相差多少？同步练习：1、小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的2错写成了4，另一个加数十位上的7错看了9，这样算的结果为354。
正确的和应是多少？2、小军做题时，由于粗心大意，把被减数个位的3写成了8，把十位上的0写成了6，这样算得的差是199，正确的差是多少？3、小明在计算除法时，把除数540末尾的0漏写了，结果是60，正确的商应是多少？4、小利在计算除法时，把除数24抄成42，结果是56，正确的商是多少？5、小粗心在计算除法时，把除数87写成了78，结果得到的高是5还余45，正确的商是多少？6、一个学生在做两位数乘法时，把一个因数个位上的8错写成了5，得到的结果是800，而正确的答案是896，问这两个两位数分别是多少？7、有5个数的平均数是7，小明把其中的一个数错看成9后，计算得到的平均数是8.看错的那个数原来是几？8、小强在计算（1800－□）÷25＋192时，没有注意题的（），先用（）里的数除以25，然后按顺序计算，得1968.这道题的答案应该是多少？思考题：1、用1——9这9个数组成一个五位数和一个四位数，乘积最大是多少？最小呢？最大：□□□□×□□□□□=最小：□□□□×□□□□□=2、在□内填上数字1～9，使算式成立，不能重复。
小学四年级数学思维专题训练—数表(含答案解析)
小学四年级数学思维专题训练—数表1、观察下表中各数的排列规律，A是。
2、小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的和是80，那么这一列上的第二个日期是号．3、下图中显示1+ 3+5+7+5+3+1=+那么1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1=4、如下图所示，在2006年3月的日历上，A+B+C+D=52，那么，3月份的第一个星期日是号．5、将1 ~1001各数按下面格式排列，如下图所示，框出9个数，要使这9个数之和等于：(1)1986，(2)2529，(3)1989，能否办到？请说出理由。
6、某月的日历如下图所示．若用2×3（2行，3列）的长方形框出6个数，使得它们的和是81，那么这6个数中最小的是7、下图是2008年4月份的月历表，其中有一个数周边的8个数的和是136，这个数是。
8、下图的数阵是由77个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180.把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是？9、观察下列正方形数表：表1的所有数和为1，表2的所有数和为17，表3的所有数和为65，…（除第一个数表外，每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格内的数大l，其余方格内的数不变），设表粗中的所有数和比表胍j所有数和大400，Ⅲ、门为大于1的整数，那么表m的所有数的和是10、把自然数从1开始，排列成下图所示的三角阵：第1列为1；第2列为2、3、4；第3列为5、6、7、8、9、…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴．在以1开头的行中，如果我们把13视为“第1项”，则“第2009项”的数除以7的余数是11、若依上述形式继续做下去，请问第80行的最后一个数是多少？（例如第3行的最后一个数是15）12、如下图所示，观察这个数表并找出它的规律，这个数表第15行的第一个数是13、将连续的奇数1、3、5、7、9、11、…，按5个一行排成如下的数表：（1）十字框中的五个数的平均数与中间数有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2011吗？能等于2015吗？能等于2045吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
四年级奥数思维训练第23讲 数阵图(一)
第九讲数阵图（一）
专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42。
把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填7。
然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b。
练习九
1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
四年级上册数学思维训练讲义-第六讲 有趣的数阵图(一) 人教版
第六讲有趣的数阵图（一）第一部分：趣味数学有趣的数独技巧数独技巧是建立在数独基础上的，数独顾名思义——每个数字只能出现一次。
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。
数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。
在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。
使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。
所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。
数独解法全是由规则衍生出来。
基本解法分为两类思路，一类为排除法，一类为唯一法。
更负责的解法，最终也会归结到这两大类中。
第二部分：奥数小练观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
【例题1】请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等，应怎样填？【思路导航】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）。
设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【答案】共得到三个解：如下图练习1：1.把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等，请给出所有填法。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第六讲 有趣的数阵图(一) 人教版(含答
第六讲有趣的数阵图（一）第一部分：趣味数学有趣的数独技巧数独技巧是建立在数独基础上的，数独顾名思义——每个数字只能出现一次。
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。
数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。
在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。
使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。
所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。
数独解法全是由规则衍生出来。
基本解法分为两类思路，一类为排除法，一类为唯一法。
更负责的解法，最终也会归结到这两大类中。
第二部分：奥数小练观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
【例题1】请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等，应怎样填？【思路导航】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）。
设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【答案】共得到三个解：如下图练习1：1.把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等，请给出所有填法。
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【1】括号里填几？
12345679×9=111111111 12345679×18=222222222
12345679×27=333333333 12345679×36=（）
12345679×（）=888888888
【2】括号里应填几？
4×4-3×3=7
5×5-4×4=9
14×14-13×13=（）
315×315-314×314=（）
【3】括号里应填几？
【4】把从1开始的若干自然数如下图排列，那么第25行左起第2个数是多少？
【5】如下图，用三根等长的火柴棍可以摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，拼合成一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底为20根火柴棍长，那么一共要用多少根火柴棍？
【6】如图是由火柴棍组成的三角形图案，如果在这个三角形图案中共用了101根火柴棍，那么它共有三角形多少个？
………………
【7】根据某种规律列出如下算式：
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
……
以上各式的计算结果是3，15，42，…，请求出含有2003的算式的计算结果。
【8】5656=5600+56=56×100+56=56×101
565656=56000+5600+56=56×10101
567567=567000+567=567×1001
567567567=567×（）
56785678=5678×（）
【9】因为
【10】观察右图中数的规律，第16行左起第一个数是多少？
【11】在下图所示的数列中，第16行的第三个数是多少？
【12】如右图所示，黑白两种颜色的珠子，一层黑，一层白，排成正三角形状，当白珠子比黑珠子多10颗时，共用了多少颗珠子？。