二重积分的计算小结

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二重积分的计算小结

、知识要点回顾

1.二重积分的定义；

2•二重积分的几何意义及其物理模型。

二重积分. f(χ,y)d匚的几何意义就是以 -为底，以(S)为顶的曲顶柱体的

体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。

3•二重积分在直角坐标系下的计算

C _宀y

4.极坐标下二重积分的计算法

X= r CoS V ,y= r sin J

如果区域D是由从极点出发的两条射线, ■(二)和两条曲线

r =r1C1),r =r2C1)(门⑺：：：r2「))所围成，则

(1)若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= i(x),y= 2(x) ( - 1 (X) .D f(x, y)dxdy = . dy y f(χ,y)dχ

≤2(χ),a 二X m b)所围成，

则

C弐y弐d)所围成，

则

I L D f(x, y)dxdy = Jj D f(r CoS 日,r Si)rd θdr

r2(-)

I(H

f(rcosT,rsin θ )rdr

5•曲线坐标下二重积分的计算法

设函数X = x(u,v), y = y(u,v)在直角坐标平面UoV 上的封闭区域 D ■上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式

JL f(x, y)dxdy = Jj D f(x(u,v), y(u,v)) J dudv

重积分的计算举例

解得图中的两个交点为 (0,0), (1,1)， D 可表示为D={( X, y) |0 _ y _ 1, y _ χ _ y}，

—y siny 」 J

2、

Siny J

dxdy= [dy^-^dx= ((^y ^^^dy

二重积分的简单计算

探秘二重积分的计算方法

二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。

首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：

∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA

接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：

1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：

∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy

其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。

2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：

∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx

其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。

3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：

∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy

其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。

以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。

二重积分的运算法则

二重积分是指对函数进行两次积分的运算。二重积分的运算法则主要有以下几条：

置换积分顺序法则：对于二重积分，其积分顺序是可以置换的，即∫∫f(x,y)dxdy=∫∫

f(x,y)dydx。

分离变量法则：对于二重积分，如果函数f(x,y)可以分离为f(x)g(y)的形式，则可以将二重积分分解为单重积分的形式，即∫∫f(x,y)dxdy=∫f(x)dx∫g(y)dy。

分离常函数法则：对于二重积分，如果函数f(x,y)可以分离为cg(y)的形式，则可以将二重积分分解为单重积分的形式，即∫∫f(x,y)dxdy=c∫g(y)dy。

合并积分常数法则：对于二重积分，如果函数f(x,y)可以分离为h(x)+cg(y)的形式，则可以将二重积分分解为单重积分的形式，即∫∫f(x,y)dxdy=∫h(x)dx+c∫g(y)dy。

二重积分计算技巧总结

二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。

1.利用对称性

在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。对称性可以减少计算量，提高计算效率。

2.变量替换

变量替换是处理二重积分的常用方法。通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。

极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。极坐标变换的公式如下：

x = r*cosθ

y = r*sinθ

其中，r是极径，θ是极角。

矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。

3.积分次序交换

对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。

一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分

区域上连续可微。需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，

因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。

4.多次积分的简化

二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式

来提高计算效率。

常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算

1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算

对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a

x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰

⎰⎰

；（1）

若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有

21()

()

(,)(,)d

y c

y D

f x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰

⎰⎰

．[1] （2）

例1 计算2

y dxdy x

⎰⎰

，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成．分析积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以

利用公式（1）进行求解．

解积分区域为x 型区域

()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

则

21221x x D

y y dxdy dx dy x x

=⎰⎰

⎰⎰ y

图

121

y dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰

133x dx x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰

221

412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

二重积分的计算小结

在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。它

是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆

形和弧形等。

在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的

应用案例和技巧。同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学

概念的关系。

设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成

许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择

任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值

可以表示为：

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$

其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个

小矩形的面积。

当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小

矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。我们用符

号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的

微元。

接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。

一、二重积分的计算方法

1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。

2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二

重积分转化为两个一重积分的乘积：

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy

二重积分的概念与计算

二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、二重积分的基本概念

二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。通常表示为

∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。二重积分的结果是一个实数。

二、二重积分的计算方法

1. 通过迭代积分计算

如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。

具体计算步骤如下：

步骤1：计算内层积分

将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。得到一个关于x的函数。

步骤2：计算外层积分

将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。得到最终的结果。

2. 通过坐标变换计算

在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。

以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。

具体计算步骤如下：

步骤1：进行坐标变换

将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。

步骤2：计算新函数的二重积分

将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。

三、二重积分的应用

二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

二重积分的概念和计算方法

在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平

均的情况。为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。本文将

探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。

一、二重积分的概念

二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。它可以看作是将

一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数

值进行求和的过程。一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重

积分。

对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：

∬f(x, y)dA

其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。二重积分的结果是一

个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。

二、二重积分的计算方法

1. 直角坐标系下的二重积分

在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行

求和。

对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：

∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy

其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。

通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。

2. 极坐标系下的二重积分

在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，

使用极坐标系可以简化计算过程。

对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：

二重积分的基本计算方法

二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。

我们来看二重积分的定义。对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为：

∬D f(x,y) dA

其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。

第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。具体步骤如下：

1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为：

∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx

2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。积分的上限为d，下限为c。

3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。积分的上限为b，下限为

a。

第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。具体步骤如下：

1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为：

∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy

2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。积分的上限为b，下限为a。

3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。积分的上限为d，下限为c。

二重积分的计算

二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。

首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。

二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：

1）12()()

:x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨

≤≤⎩

，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为

()()()()(,)(,)(,)x x b

b D

a x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰。

2）12()()

:y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨

≤≤⎩

，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为

()()()()(,)(,)(,)y y d

d D

c y c y f x y

d f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰。

上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。

二重积分的计算

一、在直角坐标系下计算二重积分
(9-2) 由此可见，计算二重积分，可以化为计算两次定积分，故又称为二次积分.
一、在直角坐标系下计算二重积分
类似地,若区域D为Y—型区域,即 D=x,yψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d,则有
(9-3)
一、在直角坐标系下计算二重积分
如果积分区域既不是X— 型区域，又不是Y—型区域，则可把D分成几部分(见图9-8)，使每个部分是X—型区域或是 Y—型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在D上的二重积分.
图 9-5
一、在直角坐标系下计算二重积分
类似地，如果区域 D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y) }，其中函数ψ1(y)，ψ2(y)在区间［c,d］上连续，那么此区域称为 Y—型区域(见图9-6).这种区域的特点是：穿过内部且平行于x的直线与区域的边界相交不多于两点.
图 9-6
二、在极坐标下计算二重积分
在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为
x=rcos θ，y=rsin θ, 其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π. 下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.
2. 利用对称性计算二重积分
利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会化简二重积分的计算.有关对称性的结论为：

二重积分的意义与计算技巧

二重积分是微积分中的重要工具，用于计算平面区域上的某一函数的总体积。

它在科学、工程和数学领域都有广泛的应用。本文将重点探讨二重积分的意义和计算技巧，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

1. 二重积分的意义

二重积分用于求解平面区域上某一函数的总体积。它将区域划分为无数个小的

矩形区域，并计算每个小矩形区域上函数值的加权和，最后将这些加权和相加得到最终结果。二重积分的意义可以理解为通过对无限小区域的加权求和，来计算整个区域上函数的更全面的性质。

2. 二重积分的计算技巧

2.1 确定积分区域

首先要确定二重积分的积分区域，即确定在哪个平面区域上进行积分。常见的

积分区域包括矩形、圆形、三角形等。通过对积分区域进行合理的划分和参数表示，可以简化二重积分的计算过程。

2.2 改变积分顺序

二重积分的计算顺序可以灵活调整，有时候改变积分顺序可以简化计算过程。

例如，如果原先是在 x 轴方向先积分，再在 y 轴方向积分，可以考虑交换积分的顺序，先在 y 轴方向积分，再在 x 轴方向积分。

2.3 选择合适的坐标系

选择合适的坐标系可以简化二重积分的计算。常用的坐标系有直角坐标系、极

坐标系和柱坐标系等。根据具体问题的特点，选择适用的坐标系可以简化二重积分的表达和计算过程。

2.4 利用对称性

如果被积函数具有某种对称性，可以利用对称性简化二重积分的计算。例如，如果被积函数在积分区域关于 x 轴对称，则积分结果为 0。

2.5 利用几何特性

利用几何特性可以简化二重积分的计算。例如，如果积分区域是一个矩形，被积函数是关于 x 轴或 y 轴的线性函数，可以利用几何特性直接计算出积分结果。

二重积分计算技巧总结

从而 D : 所以
e
D
x y x y
dxdy e v
D
2
u
1 dudv 2
2
例：求抛物线 y mx , y nx 和直线 y x , y x 所围区域的面积，
(0 m n , 0 ) 。
解：令 u

a
b
上
下
f(x,y)dydx
其中上下表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把上、下曲线表示成 y x 的形式，即把 y 表示成关于 x 的形式。但是，如果积分区域有几个上或几个下的时候需要将区域 “割”一下。这种形式的积分次序为先 y 后 x。（2）

c
d
右Fra Baidu bibliotek
左
f(x,y)dxdy
其中左、右表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把左、右曲线表示成 x y 的形式，即把 x 表示成关于 y 的形式。但是，如果积分区域有几个左或几个右的时候需要将区域“割”一下。这种形式的积分次序为先 x 后 y。在做题时，积分次序由积分区域和被积函数确定，所以需要分析一下积分区域的形状和被积函数的形式，比如被积函数为 e y ，显然先对 y 积分是不行的，需先对 x 积分。二、换元法（1）一般换元法的二重积分用换元法求二重积分时重要的是要确定新的积分区域和新的微元。将原区域变换成新区域时只要区域边界一一对应即可，而微元变换为 dxdy J dudv ，其中 J 为雅可比行列式，如

二重积分的计算法

二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。

一、二重积分的概念

在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。一般来说，二重积分可以表示为：

∬D f(x,y) dA

其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。

二、二重积分的计算方法

1. 通过直接定积分计算：

如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。具体计算方法如下：

将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。

2. 通过极坐标变换计算：

当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重

积分转化为极坐标下的积分。具体的计算方法如下：

设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。

3. 通过变量代换计算：

当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。具体的计算方法如下：

设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。

二重积分的概念和计算

一、二重积分的概念

二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它

是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计

算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。

所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）

关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它

来对双变量函数进行积分运算。

二、二重积分的计算

1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R

的值；

2、根据及题目要求，写出积分表达式；

3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；

4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；

5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；

6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。

此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重

积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR

三、示例说明

下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx

二重积分的计算问题

计算二次积分

．

分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的

原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．

解由所给的二次积分，我们得积分区域，其中

是一个中心角为，半径为的扇形（图

5）．因

此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有

因此

小结 (1) 计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．

(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应

1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示； 2) 确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域； 3) 用分别代换被积函数中的，并把面积元素

⎰

⎰⎰⎰

-----+=2

y R x R

R y y

x R

y dx

e dy e

dx e

dy e

I 2

-21D D D ⋃

=12,0: :00y R y D D x x ⎧⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎨⎪⎪≤≤≤⎩⎩D 4πR ,

:420.D R ππθρ⎧⎪≤≤⎨≤≤⎪⎩).1(82

)42(

)

(R R

y x

e e d e

d d d

e dxdy e I ----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππ

ρρθθ

ρρρρπ

πρθρ,θρθρsin ,cos y x ,

图5

用替代．

6．计算二重积分，其中是直线及上半圆周

所围成的区域．

分析被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，

积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．