数论知识点之整除与余数
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题培训资料
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
除法中的整除与余数概念解析知识点总结
除法中的整除与余数概念解析知识点总结除法是数学中的一项基本运算，常用于将一个数与另一个数进行分割。
在除法运算中，有两个重要概念：整除和余数。
本文将对这两个概念进行解析，并总结相关的知识点。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数的情况。
常用的符号表示是用“|”表示，例如a能整除b，可以写作a|b。
如果一个数能被另一个数整除，那么被除数就是整数除数的倍数。
例如，4能整除12，可以表示为4|12。
这意味着12是4的倍数，可以用4乘以3得到12。
同样地，一个数也一定能被1整除。
整除的特点：1. 一个数能够被自身整除，例如a|a。
2. 一个数能够整除1，例如1|a。
3. 一个数能够整除0，例如a|0。
注意到0除以任何非零数都是0。
二、余数的概念余数是指在进行除法运算时，被除数中剩下的未被整除的部分。
用符号“%”表示余数。
例如，a除以b的余数可以表示为a%b。
例如，7除以2，商是3，余数是1，可以表示为7÷2=3...1，或者7%2=1。
这意味着7除以2得到的商是3，余数是1。
余数的特点：1. 如果一个数能够整除另一个数，那么余数为0。
例如，4除以2，商是2，余数是0。
2. 余数一定小于除数。
三、整除和余数的应用整除和余数在数学中有着广泛的应用，尤其在代数、数论以及计算机科学领域。
1. 判断整除：通过判断一个数能否被另一个数整除，可以得到结论。
例如，判断一个数能否被2整除，可以观察该数的个位数是否为偶数。
2. 模运算：在计算机科学中，余数的概念常被应用于模运算，即求除法运算的余数。
例如，判断一个数是奇数还是偶数，可以进行模2运算，如果余数为0，则为偶数；如果余数为1，则为奇数。
3. 素数判断：判断一个数是否为素数，可以利用整除的概念。
如果一个数除以2至少有一个整数解，那么该数就不是素数。
4. 重复数字判断：通过整除和余数的概念，可以判断一个数是否存在重复数字。
例如，如果一个三位数能整除10，那么它至少有一位是0，这就是存在重复数字。
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
所以答案为 11．
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….20102011，则这个数除以 9 余数是 1. 无敌乱切，按 1/2/3/4 到 2011 的等差数列求和，看除以 9 的余数；
2.3.3 同余定理
2.3.2.1 同余定义和充要条件
定义: 用给定的正整数 m 分别除整数 a、b，如果所得的余数相等，则称 a、 b 关于模 m 同余或 a 同余于 b 模 m，记作 a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）， 式子称为同余式，m 称为该同余式的模。
的余数是多少？
奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115
偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53
115-53=62；62÷11，余 7；
【例】求
被 13 除余数是多少？
解：注意 13|111111，即每连续 6 个 1 是 13 的倍数，且 2012 除以 6 余 2，
2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除）
2.2.4.1 基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段， 看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7、11、13 整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为 372，求两者差 看能否被 7 整除，同样，不够减前面加 1 个或多个 7，直到够减，余数位的判断 法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2 特殊用法 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数 7 的倍数，分别从右边和左边抵 消缩减位数，到最后看 7 的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看 7 的哪个倍 数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即 为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减 7 后为 1 到 9 间的自然数，则加 或减 7 后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为 5 463925□01234，答案为 1 和 8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果 1 个数能被 1001 整除，则这个数能被 7、11、13、
余数知识点总结
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
第5讲 数论(数的整除)
第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。
）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。
练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。
小奥数论整除和余数知识点总结及例题
1. 数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质整数a 除以整数b （b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
b ∣a ，读着b 能整除a;或a 能被b 整除；ba ，不能整除；① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b 是a 的倍数，c 是b 的倍数，则c 肯定是a 的倍数；② 加减性：如果a|b 、a|c ，那么a|(b c);③ 因数性：如果ab|c ，那么a|c ，b|c;即如果ab 的积能整除c,则a 或b 皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c ，b|c ，且（a,b ）=1,那么ab|c,即如果a 能整除c,b 能整除c ，且ab 互质，则ab 的积能整除c;⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
2.2数的整除的判别法各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
数论知识点归纳总结
数论知识点归纳总结数论是数学的一个分支，研究整数及其性质的科学。
它是由数学中最古老的领域之一，也是最重要的领域之一。
数论大部分内容都集中在整数的性质和关系，包括数的性质、数的划分、数的因子、余数、等式、方程等。
数论在许多不同的领域有很多应用，如密码学、加密技术、算法设计、计算机科学等等。
下面将对数论的一些重要知识点进行归纳总结，以便更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。
一、整数及其性质1. 整数的性质：整数是由自然数和其相反数构成的有理数。
整数的性质包括奇数和偶数的性质、质数和合数的性质、互质数和最大公约数的性质等等。
2. 除法定理：任意两个整数a和b中，存在唯一的一对整数q和r使得a=bq+r，其中0<=r<|b|。
3. 唯一分解定理：每一个大于1的自然数都可以写成一组素数的乘积。
而且，如果一个数有两种不同的素因数分解形式，那么这两种形式只差一个或若干个单位。
4. 有限整除原理：如果一个整数被另一个不等于0的整数整除，那么这两个整数中一定有一个是整数的最大公因子。
二、数的划分1. 除法和约数：一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的约数。
2. 素数：只有1和它本身两个因子的自然数，称为素数。
3. 合数：大于1的除了1和它本身以外还有其他因子的数，称为合数。
4. 最大公因数和最小公倍数：两个整数a和b最大的公因数称为a和b的最大公因数，最小的公倍数称为a和b的最小公倍数。
5. 互质数：两个数的最大公因数是1，就称这两个数是互质数。
三、同余和模运算1. 同余性质：如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，就称a与b对模m同余。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a，b，m都是整数。
3. 欧拉函数：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。
4. 模反元素：在模n的情况下，如果一个数a与n互质，那么a关于模n的乘法逆元素x 就是属于[0, n-1]的一个整数，使得ax ≡ 1 (mod n)。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
11整除与带余数除法
第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念，整除理论是初等数论的基础•本章从整除这个基本概念出发，引进带余数除法和辗转相除法，然后建立最大公因数和最小公倍数理论，并进一步证明算术基本定理，所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数［X］及；、X,并利用［x］来说明如何把n!表示成质数幕的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用N +表示全体正整数的集合，用N 表示全体自然数的集合，用Z表示全体整数的集合;并且约定，如果没有特别声明，以后我们用小写的拉丁字母a,b,c,|||或希腊字母川|等表示整数.我们还知道，任意两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整数.那么，什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢？这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设a,b均为整数且b = 0.如果存在整数q使得a二bq ,则称b整除a，或a 能被b整除,记作b a .此时我们也把b叫做a的因数（或约数）,a叫做b的倍数.如果不存在整数q使得a =bq ,则称b不整除a或a不能被b整除,记作b ?a .例如，2 4,（—巧15, 13 182; 5 寣9, 6 44, （ _4）?（—7 ）.应当注意的是,符号ba本身包含了条件a,b^ z,b^0.根据整除的定义及整数的性质，我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立(i) b a= b (-a 启(-b )a= |b a(ii) 若b a, cb,则c a;n,故b L k i a i .id因由b a i 推出存在q (1剟in(iii) b q (1剟i n 戶b 迟k i a i ,其中k 1,k 2^|, k n 是任意整数;i £(iv) ba 二 kb ka ,其中 k^O ;(v) 若 b a,则当 a^O 时 b , a ,当 acb 时 a=0;(vi) 若 a b, b a ,则 a = ±b .证 只证(iii)及(v),其它性质请读者自证.(iii)必要性n n n ,使得 a i=bq i ,于是ka i 二 b^ kq i iA i 4 充分性对每一个i ,取K =1,匕=0 j=i ,得到充分性证明.(v)若b a,则由(i)知 a = b||q .当a 式0时有q T,得b , a .而当a c b 时，有a — b| =|b (|q -1 0 ,此时因b > 0从而必有q = 0,得a = 0.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明：(1) 若 3 a, 5a,则 15a.(2) 设a,b 为非零整数，且存在整数x, y 使得ax + by = 1.则当an, bn 时有ab n.证 不难发现,(1)是⑵ 的特例.(1)由3a 知存在整数q 使a=3q ,所以5 3q .又因5 5q ,依定理1 (iii )得5 2 3q-5q ,即5q .因而依定理1 iv 有15a.(2) 由条件有 n = n ax by [= nax nby ,而 ab na, ab nb ,依定理 1 (iii)得 ab n .根据整除的定义，若整数b = 0,则b的所有倍数的集合是「kb k Z 〉这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素，因而零是所有非零整数的倍数，或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数a的因数.显然_1,_a都是a的因数，a的这些因数称为a 的平凡因数，a的其它因数(如果存在的话)称为a的非平凡因数(或真因数).由定理 1 (v )可知,如果b是a的非平凡因数,则1cbv|a.于是非零整数a的所有因数的集合是一个非空有限集，其元素个数是确定的.例如对于a =12,它的全体因数是：_1,二2, _3, _4, _6, _12,12共有12个因数,其中_2, _3,_4, _6是它的真因数.而对于a =11,它的全体因数是：_1,-11,11共有4个因数,它没有真因数.例2设A二⑹^,川,dj是非零整数n的所有因数的集合，B=卫，卫，川，丄. g d2 dk j 则 A 二B .证对每一个d i E A ,因为d i n ,所以存在整数q使得n = d i q i ,于是—=q是整数,d i且q n,故每一个-都是n的因数.d i又当d i =d j时，---,因此卫二，川，丄是n的k个不同的因数.由于非零整数j d i d j d1 d2 d kn的因数个数是确定的，所以B也是n的所有因数的集合，因此有A二B .例3设n为正整数，求证：23(52^ +2n* +尹).证用数学归纳法证.当n =1时，因为52n 1 ' 2n 4 - 2n J =161 =23 7 ,所以结论成立.假设n二k时，结论成立，即则当n =k 1时,2耳23 52k 1- 2 52k 1- 2k 42k -1=23汇52宀+ 2"52k41 +2kj4+2宀).因为23 23汉5心，23 (5心+2心+2宀),所以这就是说，n二k 1时结论也成立.根据归纳原理,当n为正整数时,23(52n*+2n" +2n* ).例 4 设m,n, p,q 均为整数,证明：若m - p ' mn • pq ,贝U m - p ' mq • np .证注意至卩mq np = m - p q _ n r i mn pq , 由条件(m - p j( mn十pq )及定理1 (iii )即知m 一p " mq np .二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论•对于一般情形，我们有下面的重要定理.定理2设a, b (b = 0)是任意两个整数,则存在唯一的一对整数q,r,使得a =bq +r, 0, r 引耳•(1)证存在性当b 0时，作整数列则a必介于上述数列某相邻两项之间，即存在整数q使得qb, a ■： (q 1)b.令r = a - qb ,则0, r :: b.于是存在整数q,r ,使得a 二bq r, 0, r ：b 二b当b :: 0时，-b 0,由前一情形可知，存在整数q , r,使得a 二_bq r, 0, r 「b 二a=bq+r,O, rc|b|.存在性得证.唯一性若q i,r i也是使得(1)式成立的两个整数,即a =bq g 0, * ：：|b|,贝U bq r = bq r i,因而A—rNq—qjb, |r|—r|c|b|,这就是说b|(r i -r )且|* -r| c|b|.由定理1 (v)知A = r,从而q^ q .唯一性得证.定理2中的q, r分别称为被除数a除以除数b的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知，如果a =bq +r, 0, r c|b|,那么b|a的充要条件是r = 0.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数.根据带余数除法定理，我们常将偶数表示成2k(k • Z)的形式，将奇数表示成2k 1或2k -1(k・Z)的形式.例5 证明：当n为整数且n^9q r(0, r :: 9)时,r只可能是0,1,8.证设n = 3q1 r1(0, r1 ::: 3),则n3=(3q rj3=9(3q； 3q：r1 qf) f.根据条件及定理2得q =3q；3q2n qrj, r *.若* =0,则r =0;若「1=1,则r =1;若r^ 2,则r =8.故r只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数，任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数a=2k 1,^2^ 1,则a与b的积仍是奇数.同理可证另一结论例7已知a, b是整数,且a?「4b =1.讨论a, b的奇偶性.解由条件可得a^4b 1,故a必是奇数.设a = 2k T,则a2 -1 b k(k 1).4所以b是偶数.例8以.(n)表示正整数n的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数n,如果d是它的一个正因数，则-也是n的正因数；当且仅当d d 即n二d2时，d与-是同一个数.因此,当n不是完全平方数时n的正因数是成 d d 对出现的，此时，•(n)是偶数；当n是完全平方数时，.(n)是奇数.因为442：：： 2014 ：：： 452,所以在(1 ) , (2D「，( 2中恰有44个奇数，故•⑴• .(2) • |]| (2014)是偶数.例9设f (x^ax2bx c的系数都是整数，且有某一奇数：•，使f G )是奇数.求证：f (x) =0无奇数根.证对任意奇数2k • ：•有f(2k ：)=(a：2 b：c) 2(2k2a 2ka：kb).由于fC 2c为奇数,而上式第二项是偶数,所以f(2k「)是奇数,即f (2k *) = 0.故f (x) =0无奇数根.三能被某些数整除的数的特征a能被b整除的特征就是a能被b整除的充要条件.________________ n为叙述方便,我们引进记号a n a n4H!a1a^ ' a i 10',其中厲(0剟i n)为0,1,1|1,9i =0中的某个数字，且a n = 0.定理3设N =a n a n二川3^0,则（i）N能被2（或5）整除的特征是a。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
奥数知识点汇总
奥数知识点汇总奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生数学思维和能力具有较高要求的学科竞赛。
以下为大家汇总一些常见的奥数知识点，希望能对大家的数学学习有所帮助。
一、数论1、整除与余数整除是数论中的基础概念，如果一个整数 a 除以另一个非零整数 b ，商为整数且余数为零，我们就说 a 能被 b 整除。
而余数则是在除法运算中不能整除时剩下的部分。
例如，24 除以 6 等于 4，余数为 0，所以 24 能被 6 整除；25 除以 6 等于 4 余 1，余数为 1。
2、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 等是质数，4、6、8、9 等是合数。
需要注意的是，1 既不是质数也不是合数。
3、因数与倍数如果整数 a 能被整数 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。
例如，6 能被 3 整除，所以 6 是 3 的倍数，3 是 6 的因数。
4、最大公因数与最小公倍数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，最大公因数是 6；12 和 18 的公倍数有 36、72 等，最小公倍数是 36。
二、几何1、三角形三角形的内角和为 180 度。
根据边长关系，三角形可以分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和不等边三角形。
三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2 。
2、四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
平行四边形的对边平行且相等，面积＝底×高。
矩形的四个角都是直角，面积＝长×宽。
菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。
正方形具有矩形和菱形的所有性质，面积＝边长×边长。
acm数论知识点总结
acm数论知识点总结1. 整除与余数整除是数论中最基本的概念之一。
如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们说b是a的一个因子，记作b|a。
如果a不能被b整除，记作b∣a。
另外，如果a除以b得到的商为q，余数为r，那么我们有a=bq+r，并且0≤r<|b|。
这里的余数r可以用来求解问题，比如判断一个数是奇数还是偶数；或者用来求解同余方程。
2. 最大公约数和最小公倍数两个整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）是能够整除a和b的最大的整数。
通常记作gcd(a, b)。
最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）是能够被a和b整除的最小的整数。
通常记作lcm(a, b)。
最大公约数和最小公倍数可以用辗转相除法快速求解，而且它们有一些常见的性质，比如gcd(a, b)⋅lcm(a, b)=a⋅b。
3. 素数素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中是非常重要的，它们有许多特殊的性质。
比如任意一个整数都可以分解成若干个素数的乘积。
素数在ACM竞赛中常用于判断数字的性质，或者用于设计算法。
4. 同余同余是数论中一个重要的概念，如果两个整数a和b除以一个正整数m得到的余数相同，那么我们就说a同余b模m，记作a≡b(mod m)。
同余关系具有传递性和对称性，满足一些特殊的性质。
同余关系可以用来求解很多问题，比如求解同余方程、构造递归关系等。
5. 奇数和偶数奇数是最基本的整数，它们可以被2整除；偶数是能够被2整除的整数。
奇数和偶数在一些问题中有特殊的性质，比如奇数乘以奇数得到的是奇数，奇数加偶数得到的是奇数等。
6. 欧拉定理欧拉定理是数论中一个著名的定理，它为解决同余方程提供了一个重要的工具。
欧拉定理表明，如果正整数a和m互质（即gcd(a, m)=1），那么a的欧拉函数值为φ(m)，则a^φ(m)≡1(mod m)。
欧拉定理在RSA密码算法中有重要应用。
小升初重要知识点《数论之整除和余数》专题整理
《整除+余数综合》知识点1：整除1.数字整除特征（1）尾系：（2,5）（4,25）（8,125）（2）差系（截断求差）：7，11,13，1001（3）和系：3和92.判断数字整除的方法（1）逐一满足法（2）因数分析法（3）试除法（4）最小公倍数例题1.在562后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？2.无重复数字且能被75整除的五位数6a3b5为多少？⏟，如果此数能被91整除，那么3.已知一个多位数5ab5ab……5ab2009个5ab̅̅̅̅̅是多少？三位数5ab4.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？5.在六位数11□□11中两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？知识点2：余数1.带余除法：被除数=除数×商+余数商=（被除数-余数）÷除数2.余数的三大性质：和的余=余的和差的余=余的差积的余=余的积3.同余定理如果两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除4.余数的周期性例题1.1013除以一个两位数，余数是12，求所有符合条件的两位数。
2.有一列数排成一行，其中第1个数是3，第2个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？3.一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为a,a+2,a+5，则这个自然数是多少？4.某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能是多少？5.20012003除以13的余数是多少？6. 从1-20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中，任意三个数的和能被3整除？。
数论初步例题和知识点总结
数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而又充满魅力的分支，它主要研究整数的性质和关系。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论的重要知识点。
一、整除的概念整除是数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b|a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3|15。
例题 1：判断 28 是否能被 4 整除。
解：28÷4 ＝ 7，商是整数且没有余数，所以 4|28。
二、因数与倍数如果 a 能被 b 整除，那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。
例如，6 的因数有 1、2、3、6，6 是 1、2、3 的倍数。
例题 2：找出 36 的所有因数。
解：36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
三、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 是质数，4、6、8、9 是合数。
例题 3：判断 19 是质数还是合数。
解：因为 19 只能被 1 和 19 整除，所以 19 是质数。
四、最大公因数与最小公倍数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数；几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
求最大公因数和最小公倍数的方法有很多，比如分解质因数法、短除法等。
例题 4：求 12 和 18 的最大公因数和最小公倍数。
解：（1）分解质因数：12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。
公因数有 2 和 3，所以最大公因数是 2×3 ＝ 6。
（2）最小公倍数：2×2×3×3 ＝ 36。
五、同余的概念若两个整数 a、b 除以同一个整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
第六讲、数论专题(一)
第六讲、数论专题（一）知识点：1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a2、整除的性质：⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除03、特殊数的整除特征：⑴2,5⑵3,9⑶4,25⑷8,125⑸7,11,13⑹114、约数个数的计算：指数加1的乘积例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个）5、最大公因数、最小公倍数表示法：（A，B）最大公因数[A，B] 最小公倍数A×B=（A,B)×[A，B]6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）7、同余的性质⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm）⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=1，则a≡b（modm）8、特殊数求余⑴尾数判断法：一个数除以2,5的余数，与它的末一位除以2或5的余数相同。
一个数除以4,25的余数，与它的末两位除以4或25的余数相同一个数除以8,125的余数，与它的末三位除以8或125的余数相同⑵数字求和法一个数除以3,9的余数，与它的各位数字之和除以3,9的余数相同⑶奇偶位求差法一个数除以11的余数，与它的“奇位数字和”减去“偶数位数字和”的差除以11的余数相同⑷分段判断法：一个数除以7,11,13的余数，与它从右向左每三位一分段，奇数段的和减去偶数段的和除以7,11,13的余数相同。
例1、将1，2,3...依次写下去组成一个数12345678910111213……，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么最后写出的自然数时多少？练1、小明和小刚做一个数学游戏，两人在黑板上轮流写下从1开始的连续自然数：1,2,3，......，小明先写然后依次写下去，写在黑板上的数组成了一个多位数1234567891011......两人约定，若有人写到某个自然数时，黑板上的数所组成的多位数第一次为90的倍数，游戏结束，并算此人获胜。
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整除
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个
数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这
个数能被7、11或13整除.
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则
拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．
性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；
余数
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的
余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的减法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．
二、同余定理
1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711
（）能被3整除．
（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－
b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇
数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
奇偶
一、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
二、两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶
位值原理
一、位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =
a ×100000+
b ×10000+
c ×1000+
d ×100+
e ×10+
f 。
三、解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答
进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数
字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形
式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：
一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）
共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）
进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．
4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
1110110n n n n k n n a a a a a k a k
a k a ---=⨯+⨯++⨯+ （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ；
二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数
如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.k进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
6.进制间的转换：
一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．。