(空间解析几何与偏导数)测试卷解答(第三次)

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【精品】解析几何D答案

《解析几何》试题（D ）答案一、填空：（每空2分，共30分）1、1±；2、0),,(=c b a ；3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±355,353,351；4、)4,4,1(3--P ；5、YX BA c z Z X C A b y Z Y CB a x -=--=-；6、0====c b Z Y ； 7、0423=-+-z y x ；8、152；9、1； 10、331；11、母线平行于z 轴的椭圆柱面；12、⎩⎨⎧=++=++c z c b a z y x 222222; 13、0222=-+z y x ；14、⎪⎩⎪⎨⎧==+316259422y y x ；15、xoz xoy ,坐标面及z 轴。

二、解下列各题：（每题6分，共42分）1、解：（1）1=⋅b a ； (2)(2）k j i kj ib a 3011121+--=--=⨯；………………………………………..2 (3)221),(cos =∠b a 。

…………………………………………………………。

22、解:c b a c b a c b a d 222222)()(γβαγβαγβα++=++⋅++= ；…….4 222222c b a d γβα++=∴。

(2)3、解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+044222y x z z x ；……………………………………………………………。

2 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+zy z z z x 244222；………………………………………………………………。

2 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+z y z y x 240422。

……………………………………………………………….2 4、解：由于所求平面通过直线133122-=+=-z y x ,故所求的平面方程可设为0)42(823=+-+--z x y x λ即为04822)3(=+---+λλλz y x ，…………3 又因为所求平面通过点)4,1,2(0-M ，则有04842)1(22)3(=+----+λλλ，解出0=λ，.......................................。

高等数学测试题及解答(分章)2

第七单元空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。

2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。

3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。

4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。

5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。

6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。

7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角，则__________=k 。

8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。

9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。

10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。

11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。

12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。

空间解析几何(练习题参考答案)

7．与平面 2 x y 2z 5 0 ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为
1 的平面方程
_____________________ ． 8．动点到点（ 0,0,5）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为 ________________ ．
9．曲面方程： 16x 2 9 y2 9z2 25 则曲面名称为 ________________ ．
z 2 x2 y2
10．曲线
在 y z 面上的投影方程 ______________ ．
z ( x 1)2 ( y 1) 2
1．设 a i 2 j 3k ， b 2i j ， c i j k ，则 a b与c 是否平行 __________．
1．不平行
7． 2x y 2z
23 3 ； 8． x2 10 z
x 1t y 1 2t z 2t
过点 P 与直线 L 垂直的平面为： ( x 3) 2( y 6) 2( z 2) 0 ，
x 2 y 2z 19 0 ，
将直线的参数式代入垂面方程有 t 2 ，从而点 P 在直线 L 上的投影坐标（直线
与垂面的交点）为 (1，5， 4），
设点 P 关于直线 L 的对称点坐标为（ x， y， z) ，则有：
1 V= （ AB AC ) AD
6
230 2 0 6 14 。 0 38
二计算
y z1 0
1．求点 P (3,6, 2) 关于直线 L:
的对称点坐标。
2x 2y z 4 0
ijk 解：直线 L 的方向向量 s n1 n2 0 1 1 i 2 j 2k ，
2 21
取直线上的定点 ( 1，1，0），将其化为参数式：
1． D
3． A 4． C

导数、解析几何大题及答案

20．已知抛物线x2=2py〔p＞0〕的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．〔1〕求抛物线的方程；〔2〕如下图，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+〔y﹣1〕2=1相交于B，C两点〔A，B两点相邻〕，过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM 的面积之积的最小值．解：〔1〕由题意可知P〔4，0〕，Q〔4，〕，丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；〔2〕设l：y=kx+1，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=〔x﹣x1〕，即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M〔2k，﹣1〕，∴M到l的距离d==2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，=〔丨AF丨﹣1〕〔丨DF丨﹣1〕•d2，=y1y2d2=•×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值121．已知函数f〔x〕=lnx﹣x．〔1〕证明：对任意的x1，x2∈〔0，+∞〕，都有|f〔x1〕|＞；〔2〕设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由（1）证明：因为f′〔x〕=，故f〔x〕在〔0，1〕上是增加的，在〔1，+∞〕上是减少的，f〔x〕max =f〔1〕=ln1﹣1=﹣1，|f〔x〕|min=1，设G〔x〕=，则G′〔x〕=，故G〔x〕在〔0，e〕上是增加的，在〔e，+∞〕上是减少的，故G〔x〕max=G〔e〕=＜1，G〔x〕max ＜|f〔x〕|min，所以|f〔x1〕|＞对任意的x1，x2∈〔0，+∞〕恒成立；（2）解：==•，且=×，∵m＞n＞0，∴﹣1＞0，故只需比较ln与的大小，令t=〔t＞1〕，设G〔t〕=lnt﹣=lnt ﹣，则G′〔t〕=﹣=，因为t＞1，所以G′〔t〕＞0，所以函数G 〔t〕在〔1，+∞〕上是增加的，故G〔t〕＞G〔1〕=0，所以G〔t〕＞0对任意t＞1恒成立，即ln＞，从而有＞．19．〔13分〕设椭圆=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．解：〔1〕因为，F2到l的距离，所以由题设得，解得，．由．〔Ⅱ〕证明：由，a=2得．则l的方程为．故可设．=〔2+，y1〕，=〔2﹣，y2〕，由=0知，3×+y1y2=0，得y1y2=﹣6，所以y1y2≠0，，||=|y1﹣y2|=|y1+|=|y1|+，当且仅当时，上式取等号，此时y1=﹣y2．即M，N两点关于x轴对称．20．〔14分〕已知函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．〔Ⅰ〕求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕假设方程f〔x〕=﹣恰好有两个不同的根，求f〔x〕的解析式；〔Ⅲ〕对于〔2〕中的函数f〔x〕，假设对于任意实数α和β恒有不等式|f〔2sinα〕﹣f〔2sin β〕|≤m成立，求m的最小值．解：〔Ⅰ〕f〔0〕=0⇒c=0，f'〔x〕=3x2+2ax+b，f'〔1〕=0⇒b=﹣2a﹣3，…2分∴f'〔x〕=3x2+2ax﹣〔2a+3〕=〔x﹣1〕〔3x+2a+3〕，由f'〔x〕=0⇒x=1或因为当x=1时取得极大值，所以，所以a的取值范围是：〔﹣∞，﹣3〕；…4分〔Ⅱ〕由下表：x x＜1 x=1f'〔x〕+ 0 ﹣0 ﹣f〔x〕递增极大值﹣a﹣2 递减极小值递增…7分画出f〔x〕的简图：依题意得：，解得：a=﹣9，所以函数f〔x〕的解析式是：f〔x〕=x3﹣9x2+15x；…9分〔Ⅲ〕对任意的实数α，β都有﹣2≤2sinα≤2，﹣2≤2sinβ≤2，依题意有：函数f〔x〕在区间上的最大值与最小值的差不大于m，…10分在区间上有：f〔﹣2〕=﹣8﹣36﹣30=﹣74f〔1〕=7，f〔2〕=8﹣36+30=2f〔x〕的最大值是f〔1〕=7，f〔x〕的最小值是f〔﹣2〕=﹣8﹣36﹣30=﹣74，…13分所以m≥81即m的最小值是81．…14分．20．已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F与椭圆C'：=1的一个焦点重合，点A〔x0，2〕在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．〔1〕求抛物线C的方程以及|AF|的值；〔2〕记抛物线C的准线与x轴交于点B，假设，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．解：〔1〕依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，可得抛物线C的方程为y2=4x．将A〔x0，2〕代入y2=4x，解得x0=1，故．〔2〕依题意，F〔1，0〕，设l：x=my+1，设M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕，联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．所以，①且，又，则〔1﹣x1，﹣y1〕=λ〔x2﹣1，y2〕，即y1=﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得B〔﹣1，0〕，则，则===〔m2+1〕〔16m2+8〕+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．21．已知函数f〔x〕=axe x﹣〔a﹣1〕〔x+1〕2〔a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…〕．〔1〕当a=﹣1时，求f〔x〕的单调区间；〔2〕假设f〔x〕仅有一个极值点，求a的取值范围．解：〔1〕由题知，f〔x〕=﹣xe x+2〔x+1〕2，f'〔x〕=﹣e x﹣xe x+4〔x+1〕=〔x+1〕〔4﹣e x〕，由f'〔x〕=0得到x=﹣1或x=ln4，而当x＜ln4时，〔4﹣e x〕＞0，x＞ln4时，〔4﹣e x〕＜0，列表得：x〔﹣∞，﹣1〕﹣1〔﹣1，ln4〕ln4〔ln4，+∞〕f'〔x〕﹣0+0﹣f〔x〕↘极大值↗极小值↘所以，此时f〔x〕的减区间为〔﹣∞，﹣1〕，〔ln4，+∞〕，增区间为〔﹣1，ln4〕；〔2〕f'〔x〕=ae x+axe x﹣2〔a﹣1〕〔x+1〕=〔x+1〕〔ae x﹣2a+2〕，由f'〔x〕=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0〔*〕由于f〔x〕仅有一个极值点，关于x的方程〔*〕必无解，①当a=0时，〔*〕无解，符合题意，②当a≠0时，由〔*〕得e x=，故由≤0得0＜a≤1，由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'〔x〕＜0，于是f〔x〕为减函数，当x＞﹣1时，f'〔x〕＞0，于是f〔x〕为增函数，∴仅x=﹣1为f〔x〕的极值点，综上可得a的取值范围是[0，1]．。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．4．设kj i a ++=2，kj i b 22+-=，kj i c 243+-=，则)(b a prj c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=b a b k j i a ，则，且，14//236（） A ．)4612(k j i -+± B ．)612(j i +± C ．)412(k i -± D ．)46(k j -± 4．若ϕ的夹角与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223B ．553C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________． 1．设k j i a 32+-=，j i b +=2，k j i c ++-=，则c b a 与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

解析几何第三章习题及解答

第三章常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。

证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。

解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。

过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。

3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。

证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。

4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。

空间解析几何及多元微分学练习题参考答案

空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若®®®®++=k j i a 863，2=®b ，则与®a ，x 轴均垂直的向量=®b þýüîíì-±56,58,0。

2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。

3．曲线ïîïíì=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：ïîïíì=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．求两平面0622:1=+-+z y x p ，884:2=-+-z y x p 所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1p 与2p 的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x l在该平面上任取一点，如令4430--===l lz y x 可得，然后由点)443,0,0(--l l 到两平面的距离相等可解得3±=l ，从而得到所求平面方程。

(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案(20200730065716)

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题(共7题，2分/空，共20分)1. 四点O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1), C(0,0,1)组成的四面体的体积是2. ____________________________________________________________ 已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),则(a b) c =__(-2,-1,0) _________________3. ------------------------------------------------------------------------------- 点(1,0,1)到直线3x X z y 0的距离是一晋 ---------------------------------------- 4•点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是3皿_75.曲线C: 0对xoy坐标面的射影柱面是对yoz坐标面的射影柱面是—(z 1)2 y2 z 0 ________________ ,对xoz坐标面的射影柱面是____ z x 1 0 _____________ .26.曲线C: x y绕x轴旋转后产生的曲面方程是x4 4(y2 z2) ，曲线z 0 —C绕y轴旋转后产生的曲面方程是_x2 z2 2y ______________________ .2 2 27.椭球面—— 1的体积是？?????9 4 25 —二、计算题(共4题,第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分, 共55分)1.过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b, c)在平面z 0上的射影点为M1(a,b,0)，在平面x 0上的射影ujujmr f点为M2(0, a,b)，在平面y 0上的射影点为M3(a,0, c)，贝U M1M2 ( a,0,c)，lULULUM1M3 (0, b,c)3.求曲线2y绕x 轴旋转产生的曲面方面1解：设皿1(为，丫1,乙)是母线x 22y上任意一点则过皿1(为』1, z ,)的纬圆方程是⑵由于 V 1 V 2(0,0, 2)， V 1 V 2uuJuuuuuuuulr 阿皿2,川2)11和12间的距离d ----------------------V 1 v 2uuuuuir 于是 IVh , M,M 2 , uuuuuuM 側3所确定的平面方程是即 bc(x a) ac(yb) abz 0 .2-已知空间两条直线'1::y0 o ,l 2：(1)证明11和12是异面直线;(2)求11和12间的距离；(3) 求公垂线方程.证明：(1)11的标准方程是-1片今，h 经过点艸1，方向向量 V 1 {1, 1,0} I 2的标准方程是，12经过点M 2(0,0, 2)，方向向量V 2{1,1,0}，于uujuir(M 1M 2M V 2)0，所以11和12是异面直线。

(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

解析几何测试卷(3)参考答案

解析几何测试卷（3）一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07tan =+y x π的倾斜角是（）A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为（） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x3．已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是( )A ．6x －5y －28＝0B ．6x ＋5y －28＝0C ．5x ＋6y －28＝0D ．5x －6y －28＝0[答案] A[解析] 由椭圆方程x 220＋y 216＝1知，点B (0,4)，右焦点F (2,0)，∵F 为△BMN 的重心，∴直线BF 与MN 交点D 为MN 的中点， ∴BD →＝32BF →＝(3，－6)，又B (0,4)，∴D (3，－2)，将D 点坐标代入选项检验排除B 、C 、D ，选A.4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （） A ．1B ．1-C ．0D ．26．若椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，则m 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛ D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为（） A ．332 B ．3 C ．2或332 D ．332或3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，则=FM （） A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为（）A ．1161222=+y x 或1121622=+y xB ．1644822=+y x 或1486422=+y xC ．1121622=+y x 或1431622=+x yD ．13422=+y x 或1431622=+x y10．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10][答案] D[解析] 过点A (0，－2)作曲线C ：y ＝2x 2的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x 2得， 2x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－16＝0得k ＝±4，当k ＝4时，切线为l ，∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M (3,10)，当点B (3，a )满足a ≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D.二、填空题（本大题共7小题；每小题4分，共28分.将答案填在题中的横线上）11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于22的点有个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线P A 、PB ，则APB ∠= ． 15．设双曲线x 2－y 23＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ，则θ的最大值为________．[答案] 30°[解析] F 1(－2,0)、F 2(2,0)，不妨设P (4，y )，y >0，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，设∠F 1PM ＝β，∠F 2PM ＝α，则θ＝β－α，∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝6y －2y 1＋6y ·2y ＝4y ＋12y≤4212＝33，∴θ≤30°.已知P 为椭圆C ：x 225＋y 216＝1上的任意一点，F 为椭圆C 的右焦点，M 的坐标为(1,3)，则|PM |＋|PF |的最小值为________．[答案] 5[解析] 如图，连结F 1M ，设直线F 1M 与C 交于P，P ′是C 上任一点，则有|PF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |，即|PM |＋|MF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |， ∵|P ′F 1|≤|P ′M |＋|MF 1|， ∴|PM |＋|PF |≤|P ′M |＋|P ′F |，故P 点是使|PM |＋|PF |取最小值的点，又M (1,3)，F 1(－3,0)，∴|MF 1|＝5，∴|PM |＋|PF |＝|PF 1|＋|PF |－|MF 1|＝2×5－5＝5.三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知圆O 的方程为1622=+y x ．（1）求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；（2）过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．（本题满分12分）将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．（1）求椭圆方程；（2）若点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知双曲线,12222=-by ax (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．（1）当31=λ时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．19．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,p C 作直线m 与抛物线px y 22=(p ＞0)相交于A 、B 两点．（1）设()0,p N -，求NB NA ⋅的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，若b a b a -=+．（1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当34=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，且满足121=-PF PF ，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G 的方程，若不存在，请说明理由．答案与解析1．【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．[来源:] 【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tanπx y -=，斜率76tan7tan 7tanππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ． 2．【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ． 3．[答案] A[解析] 由椭圆方程x 220＋y 216＝1知，点B (0,4)，右焦点F (2,0)，∵F 为△BMN 的重心，∴直线BF 与MN 交点D 为MN 的中点， ∴BD →＝32BF →＝(3，－6)，又B (0,4)，∴D (3，－2)，将D 点坐标代入选项检验排除B 、C 、D ，选A.4．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式．【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交．【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的距离22b a b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d，所以r d ≤，从而直线与圆相交或相切．[来源:学,科,网]5．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的距离的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的距离的最小值来解决，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于圆心到直线的距离减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的距离1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想．【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围．【答案】C 【解析】化椭圆的方程为标准方程1122=+my x ，当m1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，m b 12=，m c 112-=，m e 112-=∴，211e m -=∴，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m 1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时m a 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考查双曲线的标准方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x （λ＞0），此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==ace ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λλx y （λ＜0），此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．故选择C ． 8．【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM =a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则FN =a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，则M 向准线作垂线，有FM =10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM =4． 9．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，基本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论．【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c ，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的标准方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的标准方程为1431622=+x y ．故选择D ．10．[答案] D[解析] 过点A (0，－2)作曲线C ：y ＝2x 2的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x 2得， 2x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－16＝0得k ＝±4，当k ＝4时，切线为l ，∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M (3,10)，当点B (3，a )满足a ≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D.11．【命题立意】考查圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心已知，故只需求得其半径即可，而半径为圆心（-1,2）到直线的距离，根据点到直线的距离可求其半径，从而可求得圆的标准方程．【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考查圆的标准方程，点到直线的距离．【思路点拨】先化圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，再来与半径比较．【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的距离222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的距离等于22的点有3个． 13．【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的距离．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CMPC PM，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的距离22181305m m +=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m，解得1±=m ． 14．【命题立意】考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题．【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到ac=22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度．【答案】2π【解析】如图，连结OA ，则OA ⊥P A ，22sin 2===∠a c caa APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．15．【命题立意】16.[答案] 30°[解析] F 1(－2,0)、F 2(2,0)，不妨设P (4，y )，y >0，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，设∠F 1PM ＝β，∠F 2PM ＝α，则θ＝β－α，∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝6y －2y 1＋6y ·2y ＝4y ＋12y≤4212＝33，∴θ≤30°17.[答案] 5[解析] 如图，连结F 1M ，设直线F 1M 与C 交于P ，P ′是C 上任一点，则有|PF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |，即|PM |＋|MF 1|＋|PF |＝|P ′F 1|＋|P ′F |， ∵|P ′F 1|≤|P ′M |＋|MF 1|， ∴|PM |＋|PF |≤|P ′M |＋|P ′F |，故P 点是使|PM |＋|PF |取最小值的点，又M (1,3)，F 1(－3,0)，∴|MF 1|＝5，∴|PM |＋|PF |＝|PF 1|＋|PF |－|MF 1|＝2×5－5＝5.18．【命题立意】考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题．【思路点拨】（1）过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；（2）将弦长AB 看成底边，则三角形的高就是圆心到直线的距离．【解析】（1）圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx （1分）．则41|84|2=++k k ，解得43-=k ，（3分），于是切线方程为02043=-+y x （5分）．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或4-=x ．（6分）（2）当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，（7分），当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的距离132+=k k d ，（9分）线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，（11分）当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．（12分） 19．【命题立意】本题考查椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题．【思路点拨】（1）可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；（2）可利用向量法解决．【解析】（1）抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，（2分）∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．（4分）（2）由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，（6分）又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．（7分）设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m m x x m x x y y x x FD FC ，（10分）∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m ＜0或3＜m ＜32．（12分）20．【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】（1）求渐近线方程的目标就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；（2）可建立e 关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；（3）可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±a bc P 2,，于是a b PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，（1分）由相似三角形知，112PF OF PF OH=，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，（2分）∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222ab ．（1）当31=λ时，122=ab ，∴b a=．（3分）所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．（4分）（2）()[]12111211121121122222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．（5分） ∴当21=λ时，2e 取得最大值3（6分）；当91=λ时，2e 取得最小值45．（7分）∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．（8分）（3）当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．（9分）∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．（10分）又a a a a a b a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．（11分）∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．（12分） 21．【命题立意】考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】（1）依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=，由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y px y p my x ，（2分）得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122p y y pm y y ，（3分）∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=（6分）当0=m 时，NB NA ⋅取得最小值22p .（7分）（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，则PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' （9分），()()()a p a x p a p x a p x H O P O PH -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛-a p a x p a 1214（11分），令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．（13分） 22．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】（1）利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的标准方程；（2）抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线P A 、PB 的斜率互为相反数，联系方程利用韦达定理来解决．【解析】（1）设C 方程为12222=+by ax （a ＞b ＞0），则32=b ．由21=a c ，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．（4分）（2）①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．（6分）由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max =S ．（8分） ②当BPQ APQ ∠=∠，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将（1）代入（2）整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k x k ，有()21433282k k k x +-=+．（10分）同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k k k k x ++=+---=+，∴2221431216k k x x +-=+，2214348k k x x +-=-．（12分）从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．（13分） 23．【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题．【思路点拨】（1）利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；（2）利用椭圆或双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．（1分）当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（2分）当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（4分）当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（5分）当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（6分）（2）由（1）知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF ，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴⎪⎭⎫⎝⎛1,23P ．（9分）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，则⎪⎭⎫⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或()2,0-Q ．（12分）所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．（13分）。

微积分(3)复习题

◎空间解析几何复习题一、单项选择题1．设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D ,C ,A 均不为零，则平面（B ）：A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．经过x 轴D ．经过y 轴 2、下列说法正确的是（ B ）：（A ） k j i ++是单位向量（B ）i-是单位向量（C ） ),sin(b a b a b a =⨯（D ）与z y x 、、三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为)3,3,3(πππ 3、直线112311x y z -+-==-与平面230x y z +-+=的关系是（B ）。

（A ）平行，但直线不在平面上（B ）直线在平面上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直4、下列平面方程中与向量{}2,3,5a 垂直的平面是（D ）：（A ）1532=++z y x （B ） 0532=++zy x （C ）30532=++zy x （D ） 1532=++z y x 5、旋转曲面1222=--z y x 是（A ）：（A ）xoz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成（B ）xoy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成（C ）xoy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成（D ）xoz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成6．向量与三坐标轴正向的夹角分别为,,αβγ，则（ D ）． A ．cos cos cos 1αβγ++=B ．222cos cos cos 2αβγ++=C ．sin sin sin 1αβγ++=D ．222sin sin sin 2αβγ++=7．设a 、b 、c 为三个任意非零向量，下列结论中正确的是（ C ）． A ．222a ba b ⋅=⋅ B ．2a a a ⋅=C ．a b b a ⨯=-⨯D ． ()()b c a b c a ⨯⋅=⋅⋅8．已知向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =，(1,0,1)c =，若向量v 既垂直于a b ⨯又垂直于向量c ，则（ B ）是与v 平行的单位向量．A ．(1,0,1)-B ．,0,22-C ． (22-D ． (0,)22- 二、填空题1、点)1,2,1(到平面01322=-++z y x 的距离为__2________。

空间解析几何习题答案

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何第三版答案

空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1. 求点m(a,2. 设 a(?3,3. 证明 a(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点对称点的坐标． x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x． 2,3)b(3,1,5) c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．4. 设?abc的三边?，?，?，三边的中点依次为d，e，f，试用向量表示，，，并证明：??? ．5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量与z轴间的夹角?．7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为0?，求向量在x轴上的投影．43,5)，c(3,?1,?2)计算：2?3，8. 已知：空间中的三点a(0,?1,2)，b(?1,?4．9. 设a??2,10. 设：??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．11. 设：?3?5?2，?2?4?7，?5??4，?4?3?试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3．12. 证明：(?)?(?)??．13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求?，(?)． ?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x15. 设??0,1,?2?，??2,?1,1?求与和都垂直的单位向量．0)，b(?2,1,3)，c(2,?1,2)求?abc的面积．16. 已知：空间中的三点a(1,1,17. （1）设∥求? （2??1求?18.?3?5，试确定常数k使?k，?k相互垂直．?19. 设向量与互相垂直，(a?c)??3?，(b?c)??6?1?2?3?．20. 设：??3?5，??2??3求a?b21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a；（2）(3?2)?(?3)；（3）a与b的夹角．?22. 设：(?)?23. 设：a??1,?6?1?．?（1）a?b；（2）a?b；（3）cos(?)． ?1,2?，???1,?2,1?，试求： 24.?3?26?72，求a?b．25. 设a与b相互垂直，?3?4，试求（1）(a?b)?(a?b)；（2）(3a?b)?(a?2b)．26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27. 已知：求（1）（2）（3）4） ?3?2?，???2，a?b；a?i?b．(?2)?(2?3)；(?)?28. 求与a??2,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量．29. 已知：a??3,?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影．30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线．31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹角．32. 设：??2,?3,6????1,2,?2?向量在向量与?342，求向量的坐标．?33.?4?3，(a?b)?34. 求过点p0(7,35. 过点p0(1,36. 过点m(1,37. 过点a(3,?6求以?2和?3为边的平行四边形面积． 2,?1)，且以??2,?4,3?为法向量的平面方程． 0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．?3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，b(4,?1,?1)，c(2,0,2)的平面方程．38. 过点p0(2,1,1)且平行于向量??2,1,1?和??3,?2,3?的平面方程．39. 过点mo（1，?1，1）且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方程．40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；（2）过点a（?3，1，?2）和b（3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点a（3，1，?5）；（4）过点p1（1，?5，1）和p2（3，2，?2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0．43. 求下列直线方程（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量???3，?2，1?；（2）过点mo(3，4，?2)且平行z 轴；（3）过点m1（1，2，3）和m2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2z?1?0 （1）?；（2）?；（3）? 3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0???45. 将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?；（2）?25． 5y?z?2???y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线与的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线64．求下列各对直线的夹角（1）x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1（2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?x?1yz?1??49. 证明直线与4?1350. 设直线 lx?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ?． 3?y?z?1?0 x?2z?0??x?2y?z?1?0 与 ??x?y?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程． ??x?y?z?054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程．55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l与平面??3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线l1与l2都?18?3?z??11?10t?垂直，求直线l的方程．57. 已知直线：l1:??x?y?z?1?0?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程．及点 p(3，?2x?y?z?4?058. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程． ?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．?z?062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x??z2?2；（1???10；（2）（3）（4） x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2．434363. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形x2y2z222?1．??1；（3）z?4x；（4）4y? （1）3x?4y?1；（2）32322自测题 (a)(一) 选择题1．点m(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（）a．5b．4 c．1d．422．点a(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（）a．(2,?1,?3)b．(?2,?1,3)c．(2,1,?3) d．(?2,1,?3)3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（）a．?20,0,16?b．?5,4,?20?c．?16,0,?20? d．??20,0,16?4．设向量?4?2?4，?6?3?2，则(3?2)(?3)=（）a．20 b．?16c．32 d．?325．已知：a(1,2,3),b(5,?1,7),c(1,1,1),d(3,3,2)，则prja．4 b．1 c．cd?ab= （） ?1 d．2 26．设?2????2?，则(?)?(?)?（）a．?i?3j?5k b．?2i?6j?10kc．2?6?10 d．3i?4j?5k7．设平面方程为x?y?0，则其位置（）a．平行于x 轴 b．平行于y 轴 c．平行于z 轴 d．过z 轴．8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a．平行 b．垂直 c．相交 d．重合9．直线x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（） ?2?73 a．平行 b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a(0,?1,0)到直线???y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0c．a．5 b．(二) 填空题 1611d． 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt>一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1)组成的四面体的体积是___??___. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.?????????x?y3.点(1,0,1)到直线?的距离是3x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是___________. ?x2?y2?z?05.曲线c:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.?x2?2y6.曲线c:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线?z?0c绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________. x2y2z27.椭球面???1的体积是_____??????____________.9425二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点p(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解: 设点p(a,b,c)在平面z?0上的射影点为m1(a,b,0)，在平面x?0上的射影???????点为m2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为m3(a,0,c)，则m1m2?(?a,0,c)，???????m1m3?(0,?b,c)x?a??????????????于是m1，m1m2，m1m3所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0??(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是v1?{1,?1,0} l2的标准方程是xyz?2??，l2经过点m2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于110xyz?1??，l1经过点m1(0,0,?1)，方向向量1?10是003???????(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。

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第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。

在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。

空间解析几何答案word

空间解析⼏何答案word第⼋章空间解析⼏何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、⽅向余弦和⽅向⾓.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，⽅向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，⽅向⾓为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平⾯上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平⾏于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，⼀个与a 同向，⼀个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平⾯上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得-+++=+-++-+=-+-+222222222222)y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试⽤向量法证明：三⾓形各边依次以同⽐分之，则三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是⼀个FGH ?的三个顶点，设三⾓形的重⼼为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ?的同⽐nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(31313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三⾓形FGH ?的重⼼为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221mn mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼. §8.2 数量积向量积 1.若3 ),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2+--=--=73443cos431239||412||92222=?+-?=+?-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=?b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -?-=+?+，展开可得b a b a b a b a ?-+=?++2||||2||||2222，即04=?b a ，故0=?b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ?++=?++=+?+=+=23241002||||)()(||4002227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹⾓及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=?+-?+?=?b a ，7799916419cos =++?++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=?，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满⾜0=++c b a ，计算a c c b b a ?+?+?. 解：因为0)()(=++?++c b a c b a ，所以0222||||||222=?+?+?+++a c c b b a c b a ，⽽1||||||222===c b a ，所以23-=?+?+?a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量.解：kj i k j i kji b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=?=⽽83)3(5)7(||222=-++-==c e .7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //. 8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c（1）确定m 的值，使得b a +与c 平⾏. （2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平⾏，只需0=?+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，⽽c b a ?+)()99,0,99(32m m m --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平⾏.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=?-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，⽽c b a ?-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-?---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲⾯及其⽅程 1.填空题（1）将xOz 坐标⾯上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球⼼，且通过坐标原点的球⾯⽅程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标⾯的圆422=+y x 绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（4222.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之⽐为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲⾯.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为⼼，半径为352的球⾯. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹.解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲⾯的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲⾯为单叶双曲⾯. （2）259916222=--z y x . 解：该曲⾯为双叶双曲⾯.（3）1254222=++z y x . 解：该曲⾯为旋转椭球⾯. （4）x y x 922=-. 解：该曲⾯为双曲柱⾯. （5）x z y 922=+. 解：该曲⾯为椭圆抛物⾯.（6）0)3()2()1(4222§8.4 空间曲线及其⽅程 1. 填空题（1）⼆元⼀次⽅程组?-=+=3412x y x y 在平⾯解析⼏何中表⽰的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析⼏何中表⽰的图形是（两平⾯的交线，平⾏于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物⾯)20(22≤≤+=z y x z 在xOy ⾯上的投影为（=+=222z y x z ），在xOz ⾯上的投影为（22≤≤z x ），在yOz ⾯上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球⾯4222=++z y x 与平⾯1=+z x 的交线在xOy ⾯上的投影⽅程.解：将x z -=1代⼊4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影⽅程为??=+-=322022y x x z .3.分别求母线平⾏于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线=+-=++0242222222z y x z y x 的柱⾯⽅程.解：在=+-=++022z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平⾏于x 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平⾏于y 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平⾏于z 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.4.将下列曲线的⼀般⽅程化为参数⽅程：（1）-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代⼊4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数⽅程为==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）=+=++4922222z x z y x .解：做变换??==θθsin 2cos 2z x ，将其带⼊⽅程9222=++z y x ，即得52=y .所以参数⽅程为??sin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线??===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标⾯上的投影曲线的直⾓坐标⽅程.解：螺旋线在xOy ⾯上的投影为===0sin 2cos 2z y x θθ，直⾓坐标⽅程为??==+0422z y x . 螺旋线在yOz ⾯上的投影为===03sin 2x z y θθ，直⾓坐标⽅程为==03sin 2x z y . 螺旋线在zOx ⾯上的投影为===03cos 2y z x θθ，直⾓坐标⽅程为==03cos 2y z x . 6.画出下列⽅程所表⽰的曲线：（1）?==++1164222z z y x .（2）=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）??==-4116422y z x .§8.5 平⾯及其⽅程 1. 填空题（1）⼀平⾯过点)4,1,1(-且平⾏于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平⾯的点法式⽅程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平⾯的⼀般⽅程为（023=---z y x ）,平⾯的截距式⽅程（12)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的⽅程为??=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有⼀个成⽴）时，直线L 平⾏于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平⾯⽅程. 解：由平⾯的三点式⽅程知，所求的平⾯⽅程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平⾯02=-+z y x 和052=+-z y x 的平⾯⽅程.解：该平⾯的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平⾯的⽅程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平⾯0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离为1221|d .5.求平⾯052=-+-z y x 与各坐标⾯的夹⾓的余弦.解：所给平⾯的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平⾯与xOy ⾯、yOz ⾯和zOx⾯的夹⾓为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ?611)2(1|110201|222=+-+?+?-?=， =x θcos ||||n i n ?611)2(1|010211|222=+-+?+?-?=， =y θcos ||||n j n ?621)2(1|011201|222=+-+?+?-?=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平⾯的⽅程. 解：设所求平⾯的⽅程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平⾯上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求⽅程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平⾯⽅程：（1）平⾏于yOz 平⾯且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平⾏于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平⾯⽅程.解：（1）yOz 平⾯的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平⾯的法向量，因。

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。

高等数学大一练习题辅导

高等数学大一练习题辅导一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ 2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) $f(x) = \sqrt{x^2 1}$ 在 $x = 1$ 处(2) $f(x) = \frac{1}{x^2 4}$ 在 $x = 2$ 处3. 求下列函数的间断点：(1) $f(x) = \frac{\sin x}{x}$(2) $f(x) = \frac{1}{e^x 1}$二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x + 2$(2) $y = \ln(x^2 + 1)$(3) $y = \frac{1}{\sqrt{1 x^2}}$2. 求下列函数在指定点的微分：(1) $y = e^{2x}$ 在 $x = 0$ 处(2) $y = \arctan x$ 在 $x = 1$ 处3. 判断下列函数的单调性：(1) $f(x) = x^3 3x$(2) $f(x) = e^{x^2}$三、积分与微分方程1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 1}}dx$2. 计算下列定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 1)dx$(2) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求下列微分方程的通解：(1) $y' + y = e^x$(2) $y'' 2y' + y = x^2$四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)^n}{n}$ 2. 求下列幂级数的收敛区间：(1) $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$3. 求下列函数的泰勒展开式：(1) $f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 处(2) $f(x) = \sin x$ 在 $x = 0$ 处五、空间解析几何与向量代数1. 求下列向量的模：(1) $\vec{a} = (2, 1, 3)$(2) $\vec{b} = (4, 5, 2)$2. 求下列向量的夹角：(1) $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 与 $\vec{b} = (2, 1, 4)$3. 判断下列向量组是否线性相关：(1) $\vec{a} = (1, 0, 1)$，$\vec{b} = (0, 1, 1)$，$\vec{c} = (1, 1, 2)$六、多元函数微分法1. 求下列函数的偏导数：(1) $z = x^2 + y^2$(2) $z = \ln(xy)$2. 求下列函数的全微分：(1) $z = x^2 + 3xy + y^2$(2) $z = \frac{x}{y}$3. 求下列函数在指定点的梯度：(1) $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1七、重积分1. 计算下列二重积分：(1) $\iint_D (x + y) dxdy$，其中 $D$ 是由 $y = x$ 和$y = x^2$ 所围成的区域。

习题解答

高等数学课件与自学复习讲义第七章空间解析几何向量代数§1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系问在yz 平面上的点有什么特点？答：x 坐标为0 二、两点间的距离公式1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离解：22)03())1(2()11(P P 22221=-+--+--=2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)等距解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）得方程z ,5y 18y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(22222222==++=++--+--+-=-+--+-所以此点坐标为（1， 5， 0）§2 曲面曲线的方程一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程（2）y=0: xz 平面（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？解：方程配方得43)21z ()1y ()1x (222-=-+++-无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径解：方程配方得2222)217(417z )21y ()2x (==+++-，所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为2173. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+45=0解：配方得222224)21z ()1y ()2x (==++-++，所以方程球心为（-2, 1, -21），半径为2三、柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形解：此题为抛物柱面，缺z2. 方程14z y 22=+表示什么曲面？（测验题）解：平行于x 轴椭圆柱面3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面4. y 2=1解：y=±1,相互平行的平面5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程1. 问⎩⎨⎧==+az R y x 222表示什么曲线？解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。

空间解析几何复习题答案

2 2 2 ⎧ ⎪x + y = a （3） ⎨ 。 2 2 2 ⎪ x + z = a ⎩ 8.4.2 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 2 2 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + z = 16 ⎨ 2 2 2 ⎪ ⎩x + z − y = 0
的柱面方程。答案：母线平行于 x 轴的柱面方程： 3 y 2 − z 2 = 16 ；母线平行于 y 轴的柱面方程： 3x 2 + 2x 2 = 16 。 8.4.3 求在 yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）。 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⎧ y 2 + z 2 =1 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 答案： ⎨ ；⎨ ； ⎪ 。 ⎨ 2 2 ⎪ ⎩x = 0 ⎩x = 0 ⎩y + z =1 8.4.4 指出下列方程所表示的曲线 ⎧ x 2 + y 2 + z 2 + 25 （1） ⎨ ⎩x = 3 ⎧ x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 （3） ⎨ ； ⎩ x = −3 ⎧ x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 30 （2） ⎨ ； ⎩z = 1 ⎧ y 2 + z 2 − 4x + 8 = 0 （4） ⎨ ； ⎩y = 4
4 3⎞ ⎛ 4 3⎞ 答案： ⎛ ⎜ 0, , − ⎟ , ⎜ 0, − , ⎟ 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 8.2.7 已知 | a |= 3, | b |= 26, | a × b |= 72 ，计算 a ⋅ b 。答案： ±30 8.2.8 已知 | a |= 3, | b |= 5 ，问 λ 为何值时 a + λb 与 a − λb 互相垂直？ 3 5 8.2.9 已知向量 a = 2i − 3 j + k , b = i − j + 3k 和 c = i − 3 j ，计算（1） (a ⋅ b)c − (a ⋅ c )b ；（2） (a + b) × (b + c ) ；答案： ± 答案：（1）（-3，-13，-33）；（2）（4，-1，-4）；（3）7

空间解析几何答案

空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。