高中数学合情推理与演绎推理优质课ppt课件
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合情推理演绎推理ppt课件
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数学
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(2)等差数列与等比数列的类比
等差数列 等比数列
两项之和 两项之积
两项之差 两项之比
前 n 项之和 前 n 项之积
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数学
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数学
1．(2017·陕西西安模拟)若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 前 n 项的和为 Sn，则数列Snn为等差数列，且通项为Snn＝a1＋(n－ 1)·d2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn} 的首项为 b1，公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则数列__________为 等比数列，通项为________．
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数学
解：如图所示，四面体 P-ABC 中，设 S1，S2，S3，S 分别表示△ PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB， 面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小，类比得：S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
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数学
(3)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一
种方法：先改写第 k 项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]， 由此得
1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，
…，
n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．
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数学
(2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征，推出另一类对象也具有 这些特征 的推理． ②特点：是由 特殊到 特殊的推理．
高中数学2.1 合情推理与演绎推理公开课精品ppt课件
圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的 距离等于圆的半径， 类比：
对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只 交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
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三棱柱 四棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简 称归纳）。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理。
10
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结 论，下面是一个数学中的例子。
例1 观察图2.1-1，可以发现：
1 23456 7
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，
……
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N*)个连续奇数的和等于n的平方，
即1 3 (2n 1) n2. 11
‹#›
‹#›
对自然数n，考查 n2 n 11
似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行
星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火
对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只 交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
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三棱柱 四棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简 称归纳）。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理。
10
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结 论，下面是一个数学中的例子。
例1 观察图2.1-1，可以发现：
1 23456 7
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，
……
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N*)个连续奇数的和等于n的平方，
即1 3 (2n 1) n2. 11
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对自然数n，考查 n2 n 11
似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行
星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火
高三数学总复习优秀ppt课件(第40讲)合情推理与演绎推理(58页)
证 (1)同位角相等,两直线平行(大前提) ∠BFD= ∠A , (小前提)
所以, DF∥EA. (结 论 ) C D (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (大前提) DE∥BA且DF∥EA， 所以,四边形AFDE是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等, DE和FA为平行四边形的对边, 所以，DE=FA. (小前提) (结 论) (大前提) (小前提) (结 论)
2. 归纳推理的思维过程：
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
回顾反思
3. 归纳推理的几个特点： ⑴ 归纳是依据特殊现象推断一般现象,因 而,归纳推理实现了由特殊到一般的超越. ⑵ 由归纳推理得到的结论具有猜测性质， 是否真实还需经过逻辑证明和实践检验.因此, 它不能作为数学证明的工具. ⑶归纳推理是具有创造性的推理.通过归纳
得到猜想，帮助人们发现问题和提出问题.
聚焦重点：类比推理及其思维特点
基础知识
类比推理 由两类对象具有某些类似特征，和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具 有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.
典型例题2
例2 在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，则
1 1 1 . 2 2 2 将上述结论类比到空间, 你 AD AB AC
第40讲 合情推理与演绎推理
主要内容
一、聚焦重点 理解合情推理与演绎推理. 二、破解难点
合情推理和演绎推理的应用.
三、廓清疑点
类比推理所得结论的真伪性.
基础知识
推理——从一个或几个已知命题得出另一个新
命题的思维过程.推理包含前提和结论两部分. 依据 判断 归纳推理
合情推理
推理 演绎推理 类比推理
猜想: F+V－E=2 欧拉公式 证明:
高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件
【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解 决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数 项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不 等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组 第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5
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12
探究P72：
类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程。
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积
球的概念和性质
圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等， 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长. 以点（x0,y0）为圆心，r为半径 的圆的方程为 （x-x0）2 + （y-y0）2 = r2.
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 2n * 2 1(n N ) 的数都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
21
22
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24
F5 2 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
9
25
1 an . n
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
8
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
2 1 5,2 1 17,2 1 257,2 1 65537
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N ) 个连续奇数的和等于n的平方， 2 1 3 (2 n 1) n . 即 7
*
an 例2 已知数列{an}的第1项a1=1，且 an 1 1 an
(n 1, 2, )，试归纳出这个数列的通项公式。
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理。
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应用归纳推理可以发现新事实，获得新结 论，下面是一个数学中的例子。
例1 观察图2.1-1，可以发现： 1 2 3 4 5 6 7
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
2
2、数学猜想
数学中有各种各样的猜想，如：歌德 巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜 想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。
3
歌德巴赫猜想提出猜想的过程：
据说歌德巴赫无意中观察到：
3+7=10，3+17=20，13+17=30，
他有意把上面的式子改写成：
10=3+7，20=3+17，30=13+17。
其中反映了一个规律： 偶数=奇质数+奇质数 于是，歌德巴赫产生了一个想法：10，20，30 都是偶数，那么其他偶数是否也有类似的规律 呢？
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理
1
1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一 个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。 例如: 医生诊断病人的病症， 警察侦破案件， 气象专家预测天气的可能状态， 考古学家推断遗址的年代， 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中，证明的过程更离不开推理。
思考：P72
科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？ 答：在提出上述猜想的过程中，科学家对比 了火星与地球之间的某些相似特征，然后从 地球的一个已知特征（有生命存在）出发， 猜测火星也可能具有这个特征。
11
数学研究中也常常进行这样的推理。
例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于 球与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对 称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此 我们推测对于圆的特征，球也可能具有。 圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的 距离等于圆的半径， 类比： 对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只 交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。 平面内不共线的3个点确定一个圆， 类比： 猜想空间中不共面的4个点确定一个球；等等。
现在，我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过 程： 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表 示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提 出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”。 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简 称归纳）。
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类比推理定义：
这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对象的某些一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。
简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
14
探究P74：
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类 比对象？ 从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成， 它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封 闭几何体； 从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成， 它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封 闭图形。 从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比 对象。
15
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想。 P B 解：考虑到直角三角形的 两条边互相垂直，我们可 a S c S D 以选取有3个面两两互相 S F 垂直的四面体，作为直角 C b A E 三角形的类比对象。 如图，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中，∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1，S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。 直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面 体P-DEF有3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面”S。
4
再看看超过6的偶数： 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7， 14=7+7， 6=3+3 16=5+11， …… 1000=29+971， 1002=139+863， …… 根据上述过程，歌德巴赫大胆地猜想：任 何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 5 显然，第一个等于 两个奇质数之和的 偶数，还常常应 用类比。 例如： 据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的 齿牙，发明了锯； 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的 最初构想都是类比生物机制得到的。 为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学 家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类 似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行 星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火 星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生 存，等等。由此，科学家猜想：火星上可能有生命存 在。 10
探究P72：
类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程。
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积
球的概念和性质
圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等， 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长. 以点（x0,y0）为圆心，r为半径 的圆的方程为 （x-x0）2 + （y-y0）2 = r2.
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 2n * 2 1(n N ) 的数都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
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F5 2 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
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1 an . n
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
8
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
2 1 5,2 1 17,2 1 257,2 1 65537
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N ) 个连续奇数的和等于n的平方， 2 1 3 (2 n 1) n . 即 7
*
an 例2 已知数列{an}的第1项a1=1，且 an 1 1 an
(n 1, 2, )，试归纳出这个数列的通项公式。
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理。
6
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结 论，下面是一个数学中的例子。
例1 观察图2.1-1，可以发现： 1 2 3 4 5 6 7
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
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2、数学猜想
数学中有各种各样的猜想，如：歌德 巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜 想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。
3
歌德巴赫猜想提出猜想的过程：
据说歌德巴赫无意中观察到：
3+7=10，3+17=20，13+17=30，
他有意把上面的式子改写成：
10=3+7，20=3+17，30=13+17。
其中反映了一个规律： 偶数=奇质数+奇质数 于是，歌德巴赫产生了一个想法：10，20，30 都是偶数，那么其他偶数是否也有类似的规律 呢？
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理
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1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一 个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。 例如: 医生诊断病人的病症， 警察侦破案件， 气象专家预测天气的可能状态， 考古学家推断遗址的年代， 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中，证明的过程更离不开推理。
思考：P72
科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？ 答：在提出上述猜想的过程中，科学家对比 了火星与地球之间的某些相似特征，然后从 地球的一个已知特征（有生命存在）出发， 猜测火星也可能具有这个特征。
11
数学研究中也常常进行这样的推理。
例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于 球与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对 称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此 我们推测对于圆的特征，球也可能具有。 圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的 距离等于圆的半径， 类比： 对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只 交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。 平面内不共线的3个点确定一个圆， 类比： 猜想空间中不共面的4个点确定一个球；等等。
现在，我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过 程： 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表 示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提 出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”。 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简 称归纳）。
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类比推理定义：
这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对象的某些一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。
简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
14
探究P74：
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类 比对象？ 从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成， 它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封 闭几何体； 从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成， 它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封 闭图形。 从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比 对象。
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例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想。 P B 解：考虑到直角三角形的 两条边互相垂直，我们可 a S c S D 以选取有3个面两两互相 S F 垂直的四面体，作为直角 C b A E 三角形的类比对象。 如图，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中，∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1，S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。 直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面 体P-DEF有3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面”S。
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再看看超过6的偶数： 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7， 14=7+7， 6=3+3 16=5+11， …… 1000=29+971， 1002=139+863， …… 根据上述过程，歌德巴赫大胆地猜想：任 何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 5 显然，第一个等于 两个奇质数之和的 偶数，还常常应 用类比。 例如： 据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的 齿牙，发明了锯； 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的 最初构想都是类比生物机制得到的。 为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学 家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类 似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行 星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火 星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生 存，等等。由此，科学家猜想：火星上可能有生命存 在。 10