二次函数中考集锦(山东泰安2011-2017年)

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二次函数

二次函数知识点一二次函数的概念例，下例函数中，y 是x 的二次函数的是（ )A ，22x y -=B ，xx y 12-= C ，22)2(x x y --= D ，123+-=x x y 举一反三：1、下列函数中，y 是x 的二次函数的是（） A ：2681y x =+ B ；81y x =+C ：8y x =D ：281y x=-+ 2、函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（）A ：m n 、为常数，且m ≠0。

B ：m n 、为常数，且m ≠n .C ：m n 、为常数，且n ≠0。

D ：m n 、可以为任何数。

3、函数2221()m m y m m x--=+是二次函数，那么m 的值是（）A ：2B ：-1或3C ：3D ：±14、下列关系中，是二次函数关系的是（）A ：当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系。

B ：在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系。

C ：圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。

D ：正方形的周长C 与边长a 之间的关系。

5、已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4),y x x =-则自变量的取值范围是（） A ：0x > B ：04x << C ：0≤x ≤4 D ：4x >6、二次函数2y x =-中，a =______，b =______，c =______。

7、已知函数22()(1)1y m m x m x m =-+-++。

若这个函数是二次函数，求m 的取值范围。

知识点二二次函数的一般形式例，把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：（1）22)1(++=x x y （2）5)1)(32(+-+=x x y （3）)1(1242x x x y +-= （4）)1)(1(-+=x x y举一反三：函数c bx ax y ++=2(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时：(l ）它是二次函数；(2）它是一次函数； (3）它是正比例函数；知识点三: y=ax 2 常量a 对二次函数的影响 1．函数y=ax 2（a ≠0）的图象与a 的符号有关的是（）A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴 2、二次函数如右图所示，则它的关系式是________________。

二次函数的存在性问题分类汇编(解析版)

二次函数存在性问题分类汇编目录【练习2】【练习3】2022·湖南张家界·中考真题题型九角的存在性问题之转化为相似或全等三角形2023厦门一中模拟2023-2024学年福建省福州屏东中学月考2023-2024学年湖北天门市九年级月考2024届福州市晋安区统考深圳福田区模拟题型十角的存在性问题之转化为等腰三角形问题2023年湖北省武汉市外国语学校模拟武汉·中考真题题型十一角的存在性问题之化为正切值或斜率【例11.1】【例11.2】题型十二角的存在性问题之与特殊角结合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·统考一模题型十三角的存在性问题之2倍角半角2024届·武汉市武珞路中学期中2022年长沙市雅礼教育集团中考一模锦州中考真题江苏盐城中考真题题型十四角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆【例14】内蒙赤峰·中考：一题四法山东日照中考真题甘肃兰州·中考真题四川资阳·中考真题满分*技巧解题策略梳理一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．34C C 、同理可求，下求5C ．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、2C 【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：故C 2坐标为（132，0）代入得：BN =32AM BN=MBNC 2由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3△易证AMB ∽△BNC 2故a =1或3设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C3NB ，由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N=MC 3N B代入得：1b =a3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：AB =1AC =，1BC（3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=；（4）代入得方程：()()2222201153m m +−+=−+，解得：32m =．三、等腰直角三角形在性问题方法突破【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】【兰州中考（删减）】二次函数22y ax bx =++的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x =−++；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等．设HP=a ，PQ=b ，则BQ=a ，CH=b ，由图可知：42a b b a +=−=，解得：13a b = = ．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求． P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标．四、平行四边形存在性问题方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CA B D Cx x x x y y y y −=− −=− ，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++ = ++ = ，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y −=−+=+ →−=−+=+ ， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++ = ++ = →A C B D A C D x x x x y y y y +=++=+ ．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC DDCBAD（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+ +=+ ，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+ +=+ ，解得()21,4D −；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+ +=+，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +−，2=D A C B +−，3D A B C =+−．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+ +=+ ，解得43m n = = ，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+ +=+ ，解得21m n = =− ，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+ +=+ ，解得21m n =− = ，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B DAC BD x x x x y y y y +=+ +=+ ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．五、矩形的存在性问题方法突破矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+ （AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C、214,03C、()32,0C 、()43,0C 在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc+=++=+，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc===或233abc===．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc+=++=+，另外AC=BD可解得：143531abc===−．故C14,03、D5,13−．（3）AD为对角线时，14120b ac+=++=+，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc===．故C14,03、D13,13．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC =，5BC =（3）分类讨论：根据55AC BC=，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．六、菱形的存在性问题方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y+=++=+考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的43个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()222215*********m p q m m +=++=+ −+−=−+− ，解得：398985m p q===（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） ()()()()2222151041514504m p qm +=+ +=+ −+−=−+−，解得：223m p q = =− =− 或843m p q == =− （3）当AD 为对角线时，由题意得：()()()()2222151401514110p mq m +=+ +=+ −+−=−+−，解得：153m p q =+=+ =或153m p q =− =− =思路2：先等腰，再菱形先求点C ，点C 满足由A 、B 、C 构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C ，再确定D 点．（1）当AB =AC 时，C点坐标为()1+，对应D点坐标为()5+； C点坐标为()1−，对应D点坐标为()5−．（2）当BA =BC 时，C 点坐标为（8，0），对应D 点坐标为（4，-3）； C 点坐标为（2，0），对应D 点坐标为（-2，-3）．（3）AC =BC 时，C 点坐标为39,08，D 点坐标为9,58 ．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．七、正方形的存在性问题方法突破作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．八、相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．九、角的存在性问题方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．圆周角定理：∠1=∠221三角函数：若tan ∠1=tan ∠2，则∠1=∠212全等三角形：∠1=∠212等腰三角形：∠1=∠212角平分线：∠1=∠212平行：∠1=∠3，∠2=∠3321核心*题型题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．【分析】（1）21322yx x =−−；（2）①当∠POQ 为直角时，考虑Q 点在对称轴上，故过点Q 向y 轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P 向x 轴作垂线，长度必为1，故P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出P 点坐标．设P 点坐标为213,22m m m −− ，可得：213122m m −−=．解得：11m =+21m =−31m =+，41m =−．如下图，对应P点坐标分别为()11+−、()11−、()1+．②当∠OPQ 为直角时，如图构造△OMP ≌△PNQ ，可得：PM=QN ．设P 点坐标为213,22m m m −− ，则22131302222PM m m m m =−−−=−++ ，QN=1m −， ∴213122m m m −++=−，若213122m m m −++=−，解得：1m =，2m =（舍）．若213122m m m −++=−+，解得：12m =−，22m =+．如下图，对应P点坐标分别为、(2−−．对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．辽宁阜新中考2．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A −和点(1,0)B ，交y 轴于点C ．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)−，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）224233y x x =−−+；（2）连接AC ，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N 作NE ⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于F 点，易证△OEN ≌△NFM ，可得：NE=FM ．设N 点坐标为224,233m m m−−+ ，则224233NE m m =−−+，1FM m =+， ∴2242133m m m −−+=+2242=133m m m −−++，解得：1m =（图1），2m =（图4）对应N点坐标分别为、； 2242=133m m m −−+−−，解得：3m =2）、4m =（图3）对应N点坐标分别为、．备用图当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．2023·湖南娄底·统考中考真题(2)当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形【分析】（1）将将()1,0A −、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解；（2）由题意可知抛物线的对称轴为4221x −=−=×对，则04F x x =−，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将()1,0A −、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中，可得：102550b c b c −+= ++=，解得：45b c =− =− ，即：4b =−，5c =−；（2）存在，当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形．理由如下：由①可知2005PE x x =−+，由题意可知抛物线的对称轴为直线4221x −=−=×对， ∵PF x ∥轴，∴90EPF ∠=°，022Fx x x +==对，则04F x x =−，当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，0042F PF x x x =−=−，当PE PF =时，PEF 为等腰直角三角形，即：2000254x x x −+=−，整理得：200740x x −+=，解得：0x =02x >，不符合题意，舍去）此时200045y x x =−−=P ；当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，0024F PF x x x =−=−，当PE PF =时，PEF 为等腰直角三角形，即：2000452x x x −+=−，整理得：200340x x −−=，解得：04x =（012x =−<，不符合题意，舍去）此时：2044455y =−×−=−，即点()4,5P −；综上所述，当点P 的坐标为或()4,5−时，PEF 为等腰直角三角形 2023·四川广元·中考真题4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与【答案】(1)2142y x x =−++，(2)()1,1F 或()1,5F −或()1,3F − 【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线1x =，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D ，证明DFG GBF ≌，设()F 1,m ，则1DE m =+，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标；当E 点与A 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点()2,0A −，()4,0B ，代入24y ax bx ++得424016440a b a b −+= ++= ，解得：121a b=−= ，∴抛物线解析式为2142y x x =−++；（2）∵点()2,0A −，()4,0B ， ∴抛物线的对称轴为直线l ：2412x−+=，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°， ∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=°−∠=∠， ∴DFE GBF ≌，∴,GF DEGB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=+ ∴()1,3E m m ++，∵E 点在抛物线2142y x x =−++上 ∴()()2131142m m m +=−++++ 解得：3m =−（舍去）或1m =,∴()1,1F ，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=°−∠=∠， ∴DFE GBF ≌， ∴,GF DEGB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=− ∴()1,3E m m −−，∵E 点在抛物线2142y x x =−++上 ∴()()2131142m m m −=−−+−+ 解得：3m =（舍去）或5m =−， ∴()1,5F −，当E 点与A 点重合时，如图所示，∵6AB =，ABF △是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，∴2GF AB 1==3 此时()0,3F −，综上所述，()1,1F 或()1,5F −或()1,3F −题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A −、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E −，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =−−+；（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6−时，△ADE 面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x=-1（对称轴）①当AE=AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=，∴1AP ，又AH=3，∴1PH =，故(1P −、(21,P−． ②当EA=EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点．过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM=1，34P M P M ==，故(31,2P −−、(41,2P −−−．③当PA=PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点．设()51,P m −，()()2225140P A m =−++−，()()2225=102P E m −−++∴()22921m m +=++，解得：m=1．故()51,1P −．综上所述，P 点坐标为(1P−、(21,P−、(31,2P−−+、(41,2P −−−、()51,1P −．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．甘肃白银中考6．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =−++；（2）①当CA=CQ 时，∵CA=5，∴CQ=5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为−． ②当AC=AQ 时，考虑直线BC 解析式为y=-x+4，可设Q 点坐标为（m ，-m+4），AQ =，5=，解得：m=1或0（舍），故Q 点坐标为（1，3）．③当QA=QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC 无交点，故不存在．综上所述，Q点坐标为−或（1，3）．江苏盐城中考（删减）7．如图所示，二次函数2(1)2y k x =−+的图像与一次函数2y kx k =−+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <．（1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2；（2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x=2上的一个动点，满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA=OB时，即OB =，。

山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题6 函数的图像与性质

山东17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图像与性质一、选择题1. （滨州3分）关于一次函数=1y x -+的图象，下列所画正确的是A 、B 、C 、D 、2.（德州3分）已知函数()()=y x a x b --（其中a >b ）的图象如下面左图所示，则函数=y ax b +的图象可能正确的是3.（烟台4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h 4.（东营3分）如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)．过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ．设△AOC 的面积为1S ．△BOD 的面积为2S 。

△POE 的面积为3S ，则A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．123S S S =>D ．123S S S =<5.（菏泽3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是A 、1a b +=-B 、1a b -=-C 、b <aD 、0ac <6.（济南3分）一次函数y ＝(k －2) x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是A ．k ＞2B ．k ＜2C ．k ＞3D ．k ＜3 7.（济南3分）竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h ＝a t 2＋b t ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第A ．3sB ．3.5sC ．4.2sD ．6.5s8.（潍坊3分）已知一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根1x 、2x 满足x 1＋x 2＝4和x 1•x 2＝3，那么二次函数()20y ax bx c a >=++的图象可能是.A. B. C. D10.（泰安3分）已知一次函数y ＝m x ＋n －2的图象如图所示，则m 、n 的取值范围是 A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2C 、m ＜0，n ＜2D 、m ＜0，n ＞211.（泰安3分）若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x－7 －6 －5 －4 －3 －2 y－27－13﹣3353则当x ＝1时，y 的值为A 、5B 、﹣3C 、－13D 、－2714.（聊城3分）下列四个图象表示的函数中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是15.（聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m16.（临沂3分）甲、乙两同学同时从400m 环形跑道上的同一点出犮，同向而行．甲的速度为6m/s ，乙的速度为4m/s ．设经过x （单位：s ）后，跑道上此两人间的较短部分的长度为y （单位：m ）．则y 与x （0≤x ≤300）之间的函数关系可用图象表示为A 、B 、C 、D 、17.（青岛3分）已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2ky x=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y 1＜y 2时，x 的取值范围是A ．x ＜－1或0＜x ＜3B ．－1＜x ＜0或x ＞3C ．－1＜x ＜0D ．x ＞318.（威海3分）二次函数y =x 2－2x －3的图象如图所示。

泰安市初中数学二次函数易错题汇编及解析

泰安市初中数学二次函数易错题汇编及分析一、选择题1．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过点 A（ 3， 0），对称轴为直线 x＝ 1，给出以下结论：① abc＜0 ；②3a+c＝ 0；③ ax2+bx≤a+b；④若 M（﹣ 0.5， y1）、 N（2.5， y2）为函数图象上的两点，则y1＜ y2．此中正确的选项是（）A．①③④【答案】 C【分析】【剖析】B．①②3④C．①②③D．②③④依据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＜ 0， c＞ 0，b由对称轴可知：＞ 0，2a∴b＞0，∴a bc＜ 0，故①正确；② 由对称轴可知：b＝ 1，2a∴b＝﹣ 2a，∵抛物线过点（ 3， 0），∴0＝ 9a+3b+c，∴9a﹣ 6a+c＝0，∴3a+c＝ 0，故②正确；③当 x＝ 1 时， y 取最大值， y 的最大值为a+b+c，当 x 取全体实数时，ax2+bx+c ≤ a+b+c，即 ax2+bx ≤ a+b，故③正确；④（﹣ 0.5， y1）对于对称轴 x＝ 1 的对称点为（ 2.5， y1）：∴y1＝ y2，故④错误；应选： C．【点睛】本题考察二次函数，解题的重点是娴熟运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠0）过点（ 1， 0）和点（ 0，﹣ 2），且极点在第三象限，设 P=a﹣ b+c，则 P 的取值范围是 ( )A．﹣ 4＜ P＜ 0【答案】 AB．﹣ 4＜ P＜﹣ 2C．﹣ 2＜ P＜ 0D．﹣ 1＜ P＜ 0【分析】【剖析】【详解】解: ∵二次函数的图象张口向上，∴a＞0．∵对称轴在 y 轴的左边，∴b．＜ 0．∴ b＞02a∵图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣ 2），过（1， 0）点，代入得： a+b﹣ 2=0．∴a=2﹣ b， b=2﹣ a．∴ y=ax2+（ 2﹣ a） x﹣ 2．把 x=﹣ 1 代入得： y=a﹣（ 2﹣ a）﹣ 2=2a﹣ 4，∵b ＞0，∴ b=2﹣ a＞ 0．∴ a＜ 2．∵a＞ 0，∴ 0＜ a＜2．∴ 0＜2a＜ 4．∴﹣ 4＜ 2a﹣ 4＜ 0，即﹣ 4＜ P＜0．应选 A．【点睛】本题考察二次函数图象与系数的关系，利用数形联合思想解题是本题的解题重点．3．对于二次函数y ax212a x a 0 ，以下说法正确的个数是（）2① 对于任何知足条件的 a ，该二次函数的图象都经过点2,1 和0,0 两点；② 若该函数图象的对称轴为直线x x0，则必有 0 x01；③当 x0时， y 随x的增大而增大；④若 P4, y1，Q 4m, y2m0 是函数图象上的两点，假如y1y2总建立，则1．a12A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】【剖析】依据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】对于 yax 21 2a x a 02当 x2时， y4a2(12a) 1，则二次函数的图象都经过点2,12当 x 0 时， y0 ，则二次函数的图象都经过点0,0则说法 ① 正确此二次函数的对称轴为1 2a1 2x2a14aQ a1114ax 0 1 ，则说法 ② 错误由二次函数的性质可知，抛物线的张口向下，当x1 1时， y 随 x 的增大而增大；当4ax1 1时， y 随 x 的增大而减小4a因1 11 04a则当 0x1 x1 1时， y 随 x 的增大而增大；当1时， y 随 x 的增大而减小4a4a即说法 ③ 错误Q m 04 m 4由 y 1y 2 总建立得，其对称轴 x1 1 44a解得 a1④ 正确，则说法12综上，说法正确的个数是 2 个应选： B ．【点睛】本题考察了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），娴熟掌握二次函数的图象与性质是解题重点．4．已知抛物线 y ax 2bx c 与 x 轴的一个交点坐标为(4,0) ，其部分图象以下图，下列结论： ① 抛物线必定过原点； ② 方程 ax 2bx c0 a 0 的解为 x 0 或 4；③ a b c 0 ；④当0x 4 时，ax2bx c0 ；⑤当x2时， y 随x增大而增大．此中结论正确的个数有（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 D【分析】【剖析】依据题意，求得a, b, c ，依据二次函数的图像和性质，联合选项进行逐个剖析，即可判断.【详解】由题可知b2 ，与 x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为0,0 ，2a故可得 16a4b c0 ，c = 0，故可得4a b,c0①由于 c = 0 ，故①正确；② 由于二次函数过点0,0 , 4,0，故② 正确；③当 x1时，函数值为 a b c 0 ，故③ 正确；④ 由图可知，当⑤ 由图可知，当应选： D.【点睛】0x 4 时，y 0，故④正确；x 2 时， y 随x增大而减小，故⑤错误；本题考察二次函数的图像和性质，波及二次函数的增减性，属综合中档题.5．要将抛物线y = x2平移后获得抛物线 y x22x 3 ，以下平移方法正确的选项是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B．向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C．向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位【答案】 A【分析】【剖析】原抛物线极点坐标为（0， 0），平移后抛物线极点坐标为（-1， 2），由此确立平移方法．【详解】y=x2+2x+3=（ x+1）2+2，该抛物线的极点坐标是（-1， 2），抛物线 y=x2的极点坐标是（ 0，0），则平移的方法能够是：将抛物线y=x2向左平移 1个单位长度，再向上平移 2 个单位长度．应选： A．【点睛】本题考察二次函数图象与几何变换．解题重点是将抛物线的平移问题转变为极点的平移，找寻平移方法．6．已知二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图，则以下 4 个结论：① abc＜ 0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞ 0；④ b2﹣ 4ac＞0；此中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】 D【分析】【剖析】依据二次函数y＝ ax2+bx+c 系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确立解答．【详解】① 由抛物线的对称轴可知：﹣＞ 0，∴a b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c＞ 0，∴a bc＜ 0，故①正确；② ∵﹣＝1，∴b＝﹣ 2a，∴2a+b＝ 0，故②正确．③ ∵（ 0， c）对于直线x＝ 1 的对称点为（ 2， c），而 x＝ 0 时， y＝c＞ 0，∴x＝ 2 时， y＝c＞ 0，∴y＝ 4a+2b+c＞0，故③正确；④由图象可知：△＞ 0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；应选： D．【点睛】本题考察二次函数的图象与系数的关系，解题的重点是娴熟运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．7．如图是函数 y x 22 x 3(0 x 4) 的图象，直线 l / / x 轴且过点 (0, m) ，将该函数在直线 l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，获得一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则 m 的取值范围是（）． m 1 ． m 0 ． 0 m 1． m 1或 m 0 A BCD【答案】 C 【分析】【剖析】找到最大值和最小值差恰好等于 5 的时辰，则 M 的范围可知 .【详解】解：如图 1 所示，当 t 等于 0 时， ∵ y ( x1)24 ，∴极点坐标为 (1, 4) ，当 x 0 时， y 3 ，∴ A(0, 3) ，当 x 4时， y 5 ，∴ C (4,5) ，∴当 m 0 时，D(4, 5)，∴此时最大值为 0，最小值为5 ；如图 2 所示，当 m 1时，此时最小值为 4 ，最大值为 1．综上所述： 0 m1 ，应选： C ．【点睛】本题考察了二次函数与几何图形联合的问题，找到最大值和最小值的差恰好为 5 的 m 的值为解题重点．8．函数y ax2bx 5 (a0) ，当x 1与 x7时函数值相等，则 x 8 时，函数值等于()A．5B．5C．5D．－ 5 22【答案】 A【分析】【剖析】依据二次函数的对称性，求得函数y ax2bx5(a0) 的对称轴，从而判断与x 8 的函数值相等时 x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数 y ax2bx5(a0)，当 x1与 x7 时函数值相等，∴函数 y ax2bx5(a0)的对称轴为： x17 4 ，2∴ x8 与 x 0的函数值相等，∴当 x 8 时，y ax2bx 5 a 0 b 0 5 5 ，即 x 8 时，函数值等于 5 ，应选： A．【点睛】本题主要考察二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的重点．9．已知抛物线 y＝ x2+（ 2a+1） x+a2﹣ a，则抛物线的极点不行能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 D【分析】【剖析】求得极点坐标，得出极点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线 y＝ x2+（2a+1） x+a2﹣ a 的极点的横坐标为：x＝﹣2a1＝﹣ a﹣1，22纵坐标为： y＝4 a2a22a 1＝﹣ 2a﹣1，44∴抛物线的极点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝ 2x+3，4∴抛物线的极点经过一二三象限，不经过第四象限，应选： D．【点睛】本题考察了二次函数的性质，获得极点的横纵坐标的关系式是解题的重点．10．小明从以下图的二次函数y ax2bx c 的图象中，察看得出了下边五条信息：①c＞ 0，② abc＜ 0，③ a-b+c＞ 0，④b2＞ 4ac，⑤2a=－ 2b，此中正确结论是（）．A．①②④B．②③④C．③④⑤D．①③⑤【答案】 C【分析】【剖析】由抛物线的张口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，而后依据对称轴及抛物线与 x 轴交点状况进行推理，从而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交 y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；② 由抛物线的张口方向向上可推出a>0；∵对称轴在 y 轴右边，对称轴为x=b>0，2a又∵ a>0，∴b<0；由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，∴c<0，故 abc>0，故②错误；③联合图象得出 x=-1时，对应 y 的值在 x 轴上方，故 y>0，即 a-b+c>0 ，故③正确；④由抛物线与 x 轴有两个交点能够推出b2- 4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为 x=b1=2 2a则 2a=-2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤ ．应选：C【点睛】本题考察了二次函数图象与系数关系，察看图象判断图象张口方向、对称轴所在地点、与x轴交点个数即可得出二次函数系数知足条件．11．足球运动员将足球沿与地面成必定角度的方向踢出，足球飞翔的路线是一条抛物线考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位： m）与足球被踢出后经过的时间. 不t （单位：s）之的关系以下表：t01234567⋯h08141820201814⋯以下：① 足球距离地面的最大高度20m ；② 足球行路的称是直9；t2③ 足球被踢出9s 落地；④足球被踢出 1.5s ，距离地面的高度是11m. 此中正确的个数是（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 B【分析】【剖析】【解】解：由意，抛物的分析式y=ax（ x 9），把（ 1， 8）代入可得a= 1，∴y= t2+9t=（ t 4.5）2+20.25 ，∴足球距离地面的最大高度 20.25m，故①，∴抛物的称 t=4.5，故②正确，∵t =9 ， y=0，∴足球被踢出9s 落地，故③正确，∵t =1.5 ， y=11.25，故④，∴正确的有②③，故 B．12．某二次函数象的点2, 1 ，与 x 交于P 、Q两点，且PQ 6．若此函数象通1,a 、 3,b 、 1,c、3,d 四点， a 、b、c、d之何者正？（）A a B C c D．． b．． d【答案】 D【分析】【剖析】依据意能够获得函数的称，张口方向和与x 的交点坐，从而能够判断a、 b、c、 d 的正，本得以解决．【解】∵二次函数象的点坐（2， -1），此函数象与x 订交于P、 Q 两点，且PQ=6，∴ 函数象张口向上，称直x=2，∴ 形与x 的交点（2-3， 0）=（ -1， 0），和（ 2+3， 0） =（ 5， 0），∵此函数象通（1， a）、（ 3， b）、（ -1， c）、（ -3，d）四点，∴a＜ 0， b＜ 0， c=0， d＞0，故： D．【点睛】本题考察抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特色，解题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．如图，ABC 为等边三角形，点P 从A出发，沿线段 AP 的长度y与运动时间x 之间的函数关系大概是（A B C ） A 作匀速运动，则A．B．C．D．【答案】 B【分析】【剖析】依据题意可知点P 从点 A 运动到点 B 时以及从点 C 运动到点 A 时是一条线段，故可清除选项 C 与 D；点 P 从点 B 运动到点 C 时， y 是 x 的二次函数，而且有最小值，应选项 B 切合题意，选项 A 不合题意．【详解】依据题意得，点 P 从点A运动到点 B 时以及从点C运动到点A时是一条线段，应选项C与选项D 不合题意；点 P 从点 B 运动到点C时，y是x的二次函数，而且有最小值，∴选项 B 切合题意，选项 A 不合题意．应选 B．【点睛】本题考察了动点问题的函数图象：经过分类议论，利用三角形面积公式获得y 与 x 的函数关系，而后依据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．14．如图是二次函数y ax2bx c 的图象，其对称轴为x 1 .以下结论：① abc0 ；② 2a b 0 ；③ 9a 3b c0；④若3, y1 ,10, y2是抛物线上两点，则23y1 y2.此中正确的结论有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】 B【分析】【剖析】由抛物线张口方向获得a ＜0，依据对称轴获得b=-2a ＞ 0，由抛物线与 y 轴的交点地点获得c ＞ 0，则可对 ① 进行判断；由 b=-2a 可对 ② 进行判断；利用抛物线的对称性可获得抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），则可判断当 x=3 时， y=0，于是可对 ③ 进行判断；经过二次函数的增减性可对 ④ 进行判断．【详解】解：∵抛物线张口向下，∴a ＜ 0，∵抛物线的对称轴为直线 xb1 ，∴ b=-2a ＞ 0，2a∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴c ＞ 0，∴abc ＜ 0，因此 ① 错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，因此 ② 正确；∵抛物线与 x 轴的一个交点为（ -1， 0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（3， 0），∴当 x=3 时， y=0，∴ 9a 3b c 0 ，因此 ③ 错误；∵抛物线的对称轴为直线 x=1，且抛物线张口向下，∴当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大∵103312点3, y 1到对称轴的距离比点10, y 2 对称轴的距离近，23∴y 1y2，因此 ④ 正确．应选 B ．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0），二次项系数 a决定抛物线的张口方向和大小，当a ＞ 0 时，抛物线向上张口；当 a ＜ 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当a 与b 同号时（即 ab ＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab ＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与y 轴交于（ 0， c ）；抛物线与 x 轴交点个数由 △决定： △=b 2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △=b 2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △=b 2-4ac ＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．15 ．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线能够用二次函数 y ＝ 4x －1 x2 刻画，斜坡能够用一次函数 y ＝ 1 x 刻画，以下结论错误的选项是 ( )22A ．斜坡的坡度为 1: 2B ．小球距 O 点水平距离超出 4 米呈降落趋向C ．小球落地址距 O 点水平距离为 7 米D ．当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球距 O 点水平距离为 3m 【答案】 D【分析】【剖析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、 C ；依据二次函数的性质求出对称轴，依据二次函数性质判断 B ；求出当 y 7.5 时， x 的值，判断 D ．【详解】y1 x2 4 x解：2，1yx2x 1x 2 7 7，解得，，y 1y 227∶7=1∶ 2，∴ A 正确；2小球落地址距 O 点水平距离为 7 米， C 正确；y 4x 1x 221( x 4)2 8 ，2则抛物线的对称轴为x4，当 x 4 时， y 随x的增大而减小，即小球距O 点水平距离超出 4 米呈降落趋向， B 正确，当 y7.5时， 7.54x1x2，2整理得x28x 150 ，解得， x1 3 ， x2 5 ，当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为 3m 或 5m ，D错误，切合题意；应选： D【点睛】本题考察的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的观点、二次函数的性质是解题的重点．16．已知抛物线W : y x24x c ，其极点为A，与y轴交于点B，将抛物线W绕原点旋转 180 获得抛物线W '，点A, B的对应点分别为 A ', B ' ，若四边形ABA' B'为矩形，则c 的值为（）3B．3C．35A．2D．22【答案】 D【分析】【剖析】先求出 A(2，c-4)，B(0， c)，A'( 2，4c)，,B'(0， c) ，联合矩形的性质，列出对于 c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线 W : y x24x c ，其极点为 A ，与y轴交于点B，∴A(2， c-4)， B(0， c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180获得抛物线 W ' ，点A, B的对应点分别为A',B' ，∴ A'( 2，4c)，,B '(0， c) ，∵四边形 ABA' B' 为矩形，∴AA' BB '，222，解得： c5∴2(2)(c 4) (4 c)(2 c)．2应选 D．【点睛】本题主要考察二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，对于原点中心对称的点的坐标特色以及矩形的对角线相等，是解题的重点．17．下边所示各图是在同向来角坐标系内，二次函数y＝ax2 +（ a+c）x+c 与一次函数y＝ax+c 的大概图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】 D【分析】【剖析】依据题意和二次函数与一次函数的图象的特色，能够判断哪个选项切合要求，从而获得结论．【详解】令 ax2+（ a+c） x+c=ax+c，解得， x12 c ，=0， x =-a∴二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 与一次函数 y=ax+c 的交点为（ 0， c），（ -c， 0），a选项 A 中二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 中 a＞0， c＜0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，应选项 A 不符题意，选项 B 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＞ 0， c＜0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，两个函数的交点不切合求得的交点的特色，应选项 B 不符题意，选项 C 中二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 中 a＜ 0，c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，交点切合求得的交点的状况，应选项 D 切合题意，选项 D 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＜ 0， c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，应选项 C 不符题意，应选： D．【点睛】考察一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的重点是明确题意，利用数形联合的思想解答．118．以下函数（ 1） y=x （2） y=2x﹣ 1 （ 3） y=x（4） y=2﹣ 3x （5） y=x2﹣ 1 中，是一次函数的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】 B【分析】【剖析】分利用一次函数、二次函数和反比率函数的定剖析得出即可．【解】解：（ 1） y=x 是一次函数，切合意；（2） y=2x 1 是一次函数，切合意；（3） y= 1是反比率函数，不切合意；x（4） y=2 3x 是一次函数，切合意；（5） y=x2 1 是二次函数，不切合意；故是一次函数的有 3 个．故： B．【点睛】此考一次函数、二次函数和反比率函数的定，正确掌握有关定是解关．19．已知二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的象如，剖析以下四个：① abc ＜ 0；②b2 4ac＞0；③3a+c＞ 0；④（a+c）2＜ b 2，此中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】分析：① 由张口向下，可得a0,又由抛物与 y 交于正半，可得c0，再依据称在y 左，获得b与a同号，可得b 0,abc0，故① ；②由抛物与 x 有两个交点，可得b2故② 正确；4ac 0，③当 x 2 ，y 0,即 4a2b c0 ⋯⋯（1）当 x 1， y0 ,即a b c0⋯⋯（ 2）（1） +（ 2）×2得，6a3c0，即 2a c 0，又因 a0,因此 a2a c3a c0，故③ 错误；④ 由于x1时， y a b c 0，1时， y a b c 0x因此 a b c a b c0即 a c b a c b(a c)2b20,因此 (a c)2b2.故④ 正确，综上可知，正确的结论有2个 .应选 B．20．在同一坐标系中，二次函数y ax2bx 与一次函数y bx a 的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】 C【分析】【剖析】直线与抛物线联立解方程组，如有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；依据二次函数的对称轴在y 左边， a， b 同号，对称轴在y 轴右边a， b 异号，以及当 a 大于 0 时张口向上，当 a 小于0 时张口向下，来剖析二次函数；同时在假设二次函数图象正确的前提下，依据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右渐渐上涨，一次项系数为负，图象从左向右渐渐降落；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．这样剖析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】y ax2bx解：由方程组bx 得 ax2＝ - a，y a∵a≠0∴x2＝ - 1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，清除B．A：二次函数张口向上，说明a＞ 0，对称轴在y 轴右边，则b＜ 0；可是一次函数 b 为一次项系数，图象显示从左向右上涨，b＞ 0，二者矛盾，故 A 错；C：二次函数张口向上，说明a＞0，对称轴在y 轴右边，则b＜ 0； b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右降落， b ＜0，二者符合，故 C 正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错．应选C．【点睛】本题考察的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，一定明确二次函数的张口方向与 a 的正负的关系， a，b 的符号与对称轴的地点关系，并联合一次函数的有关性质进行剖析，本题中等难度偏上．。

2017年山东省泰安市中考数学试卷解析版

2017年山东省泰安市中考数学试卷解析版D∵不等式组的解集为x＜2，∴k+1≥2，解得k≥1．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．10．（3分）（2017•泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．11．（3分）（2017•泰安）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（）A．本次抽样测试的学生人数是40B．在图1中，∠α的度数是126°C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.2【分析】利用扇形统计图以及条形统计图分别分析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计总体即可．【解答】解：A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合题意；B、∵×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500名，估计D级的人数为：500×=100（人），故此选项错误，符合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为：=0.2，正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式以及利用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图等知识，由图形获取正确信息是解题关键．12．（3分）（2017•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，∴∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2017•泰安）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y 随自变量x的增大而减小，∴k﹣2＜0，﹣m＜0，∴k＜2，m＞0．故选A．【点评】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k﹣2＜0、﹣m ＜0是解题的关键．14．（3分）（2017•泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．C． D．【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．15．（3分）（2017•泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x﹣1 0 1 3y﹣3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x 的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．16．（3分）（2017•泰安）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元5102050100人数4161596则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可．【解答】解：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（20+20）÷2=20；平均数=（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6；故选：D．【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．17．（3分）（2017•泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C 的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．18．（3分）（2017•泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．19．（3分）（2017•泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．20．（3分）（2017•泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s 的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t=t2≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ =S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2017•泰安）分式与的和为4，则x的值为 3 ．【分析】首先根据分式与的和为4，可得：+=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．【解答】解：∵分式与的和为4，∴+=4，去分母，可得：7﹣x=4x﹣8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，∴x的值为3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．22．（3分）（2017•泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为k＞．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞．故答案为k＞．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．23．（3分）（2017•泰安）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2cm ．【分析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=，解得：r=10，故这个圆锥的高为：=2（cm）．故答案为：2（cm）．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．24．（3分）（2017•泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为：．【点评】本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称﹣﹣最短路线问题及三角函数，正确确定P点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）（2017•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x 轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB 求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，∵tan∠AOB==，∴OD=2BD．∵∠ODB=90°，OB=2，∴a2+（2a）2=（2）2，解得a=±2（舍去﹣2），∴a=2．∴OD=4，∴B（4，2），∴k=4×2=8，∴反比例函数表达式为：y=；（2）∵tan∠AOB=，OB=2，∴AB=OB=，∴OA===5，∴A（5，0）．又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），∴OM=2OB，∴M（8，4）．把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得，解得，故一次函数表达式为：y=x﹣．【点评】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．26．（8分）（2017•泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．27．（10分）（2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．28．（11分）（2017•泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．29．（11分）（2017•泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

泰安市中考数学题型专项5《二次函数与几何图形》复习课件

抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个
交点为B，与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝
的图象上一点，
若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分
相应问题解答方法： 1．求二次函数表达式的方法是结合题目已知条件，应用待定系数法，恰当设出表达式的形式； 2．探究图形运动中的最值的方法是：变动为静，抓住关键点、特殊点，结合图象详细分析； 3．根据求出的符合要求的二次函数的表达式，应用配方法转化成顶点式，从而确定其最大值．
满分必练►1.如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( C )
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You made my day!
我们，还在路上……
解：(1)由题意，得
－4k＋b＝0， b＝3
解得
k＝， b＝3.
∴直线解析式为y＝ x＋3.
(2)如图1，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HQ⊥x轴，过点P 作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q. 则∠AHQ＝∠ABO，且∠AHP＝90°. ∴∠PHQ＋∠AHQ＝∠BAO＋∠ABO＝90°. ∴∠PHQ＝∠BAO，且∠AOB＝∠PQH＝90°. ∴△PQH∽△BOA.
由题意，知P点坐标为(2，2)，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形．
∴PF＝FM，∠PFM＝90°.易证△PFE≌△FMH， ∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2－m.∴点M的坐标为(m＋2，m－2)． ∵点M在y＝－ x2＋4上，∴m－2＝－ (m＋2)2＋4.

3-3二次函数五年中考荟萃33.docx

§3.3二次函数A 组 2015年全国中考題组一、选择题1. （2015-山东泰安，19, 3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 图象时，列出了下而的表格：X• • • -2 -1 01 2 • • • y• • •-11-21-2-5• • •由于粗心，他算错了一个y 值，则这个错误的数值是（）5. （2015-浙江温州，9, 4分）如图,在RtZAO B 的平分线ON 上依次取点C, F, M,过点C 作DELOC f 分别交OA, OB 于点D, E,以FM 为对角线作菱形FGMH.已知ZDFE= ZGFH= 120° , FG=FE •设O C=x,图中阴影部分面积为y,则y^x 之间()B.歹=羽,D. y=3伍2Z 亠*二五年中考荟萃A. —11B ・一2C. 1D. -52. （2015-四川巴中，10, 3分）已知二次函数y=a^+bx+c （a^0）的图象如图所示，对称轴是直线x= — \,下列结论：®ahc<0②2a+/?=0③a —b+c>0 ④4a~2b+c<0其中正确的是（）A.①②B.只有①C.③④D.①④3. （2015-四川泸州，9, 3分）若二次函数y=+bx+c （a<0）的图象经过点（2, 0）,且其对称轴为兀=一 1,则使函数值y>0成立的x 的取值范围是（）A. 4 或 x>2B. —40W2 C ・ xW — 4 或兀22D ・—4<r<24. （2015-浙江宁波，11, 4分）二次函数y =冰兀一好一4（aH0）的图象在2<r<3这一段位于x 轴D ・一2的函数关系式是C. y=2伍2AE数旳的最小值.y|£2A —Ar□/£//丿3 - 2 - 叫1 \23 X一1\-2\\6. （2015-贵州遵义，6, 3分）已知抛物线y=cuc+hx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象二、填空题7. （2015-浙江温州，15, 5分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），屮间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留Im 宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m 2.8.（2015-浙江舟山，12,4分）把二次函数y=^~l2x 化为形如y=a （x~h ）2+k 的形式: ________9. （2015-山东日照，15, 3分）如图是抛物线y^ax^+bx+cia^O ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （l, 3）,与x 轴的一个交点5（4, 0）,直线力=处+〃（加工0）与抛物线交于A, B 两点,下列结论： ®2a+b=0；②abc ＞0；③方程aj^+bx+c=3^\两个相等的实数根； ④抛物线与兀轴的另一个交点是（一1, 0）；⑤当1。

二次函数的图像和性质(内有经典例题和详细讲解)

二次函数的图象和性质一、选择题1. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（）．A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x【答案】D3. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是第6题图5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <0【答案】B6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-27 【答案】D7. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞3【答案】A8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h【答案】A9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值【答案】D10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0【答案】D11.（2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？【答案】A12. （2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数228999931＋－＝x x y 的图形画在坐标平面上，判断方程式0899993122＝＋－x x 的两根，下列叙述何者正确？A ．两根相异，且均为正根B ．两根相异，且只有一个正根C ．两根相同，且为正根D ．两根相同，且为负根【答案】A13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数c bx ax y ++=2的图形，且此图形通（－1 ,1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A ．y 的最大值小于0B ．当x ＝0时，y 的值大于1C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．当x ＝3时，y 的值小于0 【答案】Ｄ14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）【答案】A15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

2011——2019泰安市中考真题《反比例函数》汇编

2011——2019泰安市中考真题《反比例函数》汇编1、（2011•泰安）如图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM△MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2、（2012泰安）如图，一次函数y kx b =+的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数n y x=的图象在第二象限的交点为C ，CD △x 轴，垂足为D ，若OB=2，OD=4，△AOB 的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当0x <时，0kkx b x+->的解集．3、（2013泰安）如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过点A ，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标．4、（2014泰安）（8分）如图①，△OAB 中，A （0，2），B （4，0），将△AOB 向右平移m 个单位，得到△O′A′B′．（1）当m=4时，如图②．若反比例函数xk=y 的图象经过点A′，一次函数y=ax+b 的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若反比例函数xk=y 的图象经过点A′及A′B′的中点M ，求m 的值．5、（本小题满分8分）一次函数y=kx+b 与反比例函数y=mx图象相交于A （-1，4），B （2，n ）两点，直线AB 交x 轴于点D 。

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B 作BC△y 轴，垂足为C ，连接AC 交x 轴于点E ，求△AED 的面积S 。

2017山东省17地市中考数学二次函数

P（2，﹣1）
y=（x ﹣2）2﹣1，即 y=x 2﹣4x +3；
（3）设抛物线交 x 轴于 A ，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S
四边形 OPMN
=8S△QAB，且△ QAB∽△ OBN 成立？若存在，
请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
2017年山东省日照市
S
四边形 OPMN
山东17地市二次函数中考试题
12．已知抛物线 y=ax 2+bx +c（ a ≠0）的对称轴为直线 x=2 ，与 x 轴的一个交点坐标为（4， 0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a+b +c=0 ； ③ a﹣ b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）； ⑤当 x ＜ 2 时，y 随 x 增大而增大．其中结论正确的是（）
C
）
A ．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
2017年山东省烟台市
5．（13 分）（ 2017•烟台）如图 1，抛物线 y=ax 2+bx +2 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ， AB=4，矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E．（1）求抛物线的解析式；
2017年山东省淄博
24．如图 1，经过原点 O 的抛物线 y ax2 bx(a 0) 与 x 轴交于另一点 A(
3 , 0) 2
，在第一象限内与直线 y x 交于点 B(2, t ) ．
（1）求这条抛物线的表达式；
y 2 x 2 3x
（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C ，满足以 B, O, C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标； %] （3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且 MBO ABO ，在（2）的条件下，是否存在点 P ，使得 POC ∽ MOB ?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点18二次函数概念、性质和图象（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. ．(2017四川广安，10，3分)如图所示，抛物线y ＝ax ²+bx +c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b ²－4ac ＝0 ②a +b +c >0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ，解析：由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，故结论②不正确．∵抛物线的对称轴x ＝－2ba＝－1，∴2a ＝b ，即2a －b ＝0，故结论③正确；∵抛物线y ＝ax ²+bx+c 的顶点为B （－1，3），∴a －b +c ＝3，∵抛物线的对称轴x ＝－1，∴2a ＝b ，∴a －2a +c ＝3，即c －a ＝3，故结论④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选B ．2. （2017浙江丽水·8·3分）将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位答案：D ．解析：选项知识点结果 A将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到函数y ＝(x ＋1)2，其图象经过点（1，4）.×B 将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位得到函数y ＝(x －3)2，其图象经过点（1，4）. ×C 将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位得到函数y ＝x 2＋3，其图象经过点（1，4）. ×D 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位得到函数y ＝x 2－1，其图象不经过点（1，4）.√3. （2017山东枣庄12，3分）已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是A ．当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a >0，则当1x ≥时，y 随x 的增大而增大答案：D ，解析：A 、当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2， ∴当a ＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A 选项不符合题意； B 、当a ＝2时，函数解析式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a ），当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为x ＝1．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D ．4. （2017四川成都，10，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2b a->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .5. (2017浙江金华，6，3分)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2 答案：B ，解析：二次函数y ＝－(x －1)2＋2的对称轴是直线x ＝1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是2.6. （2017安徽中考·9．4分）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y bx ac =+的图象可能是（）答案：B ．解析：由公共点的横坐标为1，且在反比例函数by x=的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为（1，b ），又点（1，b ）在抛物线2y ax bx c =++上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，由a ≠0知ac ＜0，一次函数y bx ac =+的图象与y 轴交点在负半轴上，反比例函数by x=的图象的一支在第一象限，b ＞0，一次函数y bx ac =+的图象满足y 随x 增大而增大，选项B 符合条件，选B ．7. （2017山东德州，7，3分）下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是（）A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝x1-答案：A ，解析：一次函数y ＝－3x ＋2中，由于k ＝－3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，即对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2． 8. （2017山东威海，11，3分）．已知二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图像如图所示．若正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y =a b cx-+在同一坐标系中的大致图像是（）答案：C，解析：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b+c＞0，反比例函数过一三象限;当x=1时，y=a+b+c ＜0，即b+c＜－a, 因为a＞0，所以b+c＜0，所以正比例函数过二四象限，故选C．9.（2017山东菏泽，8,3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）答案：A，解析：根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，选项D不符合题意，对称轴x=－2ba＞0，选项B不符合题意，与y轴的交点在y轴负半轴，选项C不符合题意，只有选项A符合题意．10. 10．（2017年四川绵阳，10,3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y=（x－3）2+1，再结合与一次函数y=2x+b有公共点，联立方程组，建立关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b的范围．11. (2017年四川南充，10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜bxOy－－图5（8题图） A. B. C. D答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2b a＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2b a＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．12. （2017浙江舟山，10，3分）下列关于函数y ＝x 2－6x +10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3+n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0+1)，其中a >0，b >0，则a <b ．其中真命题的序号是（） A ．① B ．②C ．③D ．④答案：C ，解析：因为y ＝x 2－6x +10＝(x －3)2+1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3+n 时，y ＝(3+n －3)2+1＝ n 2+1，当x ＝3－n 时，y ＝(3－n －3)2+1＝ n 2+1，所以两函数值相等，故②错误；若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2+1＝ n 2－6n +10，令x ＝n +1，则y 2＝(n +1－3)2+1＝ n 2－4n +5，由于y 2－ y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5+1＝2n +4个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．令x ＝4，则y ＝(4－3)2+1＝2，令x ＝5，则y ＝(5－3)2+1＝5，y 的整数值有2，3，4，5，2n －4＝2×4－4＝4个，令x ＝6，则y ＝(6－3)2+1＝10， y 的整数值有5，6，7，8，9，10，2n －4＝2×5－4＝6个，令x ＝7，则y ＝(7－3)2+1＝10， y 的整数值有10，11，12，13，14，15，16，17共8个，2n －4＝2×6－4＝8个， 13. （2017四川攀枝花，9，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则下列命题中正确的是（）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第四象限C ．m （am ＋b ）＋b ＝a （m 是任意实数）D ．3b ＋2c ＞0 答案：D解析：由题意知抛物线对称轴为12b x a =-=-，即12a b =，故A 错误；a ＞0，c ＜0∴一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第二象限，故B 错误；m （am ＋b ）＋b ＝a ，2b a =可得m ＝－112a b =，故C 错误；又当1x =时，0y a b c =++>，∴102b bc ++>，即320b c +>，故选D ．14. （2017江苏盐城，6，3分）如图，将函数y ＝21(2)12x -+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为点A ′、B ′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是A ．y ＝21(2)22x --B ．y ＝21(2)72x -+C ．y ＝21(2)52x --D ．y ＝21(2)42x -+答案：D ，解析：连接AB 、A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′．由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A 、B ′B 交x 轴于点M 、N ．因为A （1，m ）、B （4，n ），所以MN ＝4－1＝3．因为ABB A S''＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式y ＝21(2)42x -+．B 'A 'ABOyx第6题图2 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B ，解析：由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，随x 的值增大，y 值先增大后变小可知抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x =32，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大正确；由表可知，方程ax 2+bx +c =0根在-1与0和3与4之间所以正确的2个．此题也可求出解析式进行判断．16.7．（2017江苏连云港，7，3分）已知抛物线20yax a 过12,Ay ，21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是A ．120y yB ．210y y C ．120y yD ．210y y答案：C ，解析：∵20y ax a ∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，12,Ay 在对称轴的左侧，21,B y 在对称轴的右侧，点A 离开对称轴的距离大于点B 离开对称轴的距离，∴120yy 因此选择C 选项．17. （2017四川达州8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D答案C，解析：由于抛物线的开口向下，∴a<0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，由于抛物线的对称轴是x=-1∴-12ba=-，∴b=2a，∴y=ax-4a，对于方程组4y ax acyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y,可整理成：240ax ax c--=，∆=2164a ac+，∵抛物线过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴2222164=161240a ac a a a+-=>,∴直线与反比例函数有交点，故本题选C．18. 11．（2017四川眉山，11，3分）若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－axA．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a4答案：B，解析：因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧a＋1＞0，a＜0，因此－1＜a＜0，而y＝ax2－ax＝a(x－12)2－14a，所以二次函数有最大值－a4．19. 8．（2017四川宜宾，8，3分）如图，抛物线211(1)12y x=++与22(4)3y a x=--交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①23a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C ，解析：抛物线22(4)3y a x =--过点A （1，3），∴3＝9a －3，解得a ＝23，由题意可知E （4，﹣3），点A （1,3）、C 关于x ＝4对称，得到C （7,3），∴AC ＝6，而AE = ，故AC ≠AE ，由抛物线的对称性可知，AD ＝BD 显然．根据抛物线的对称性可知，AD ＝BD ，两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则2212(1)1(4)323x x ++=--，解得x 1＝1，x 2＝37，所以当1＜x ＜37时，y 1＞y 2．20. （2017山东滨州，7，3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－5答案：A ，解析：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.21. 8．（2017江苏苏州，8，3分）若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2,0），则关于x 的方程 a (x -2)2+1=0的实数根为 A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=—2，x 2=6C ． x 1=32，x 2=52D ．x 1=—4，x 2=0答案：A ，解析：根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a +1=0，a =-14，则21(2)104x --+=，解一元二次方程得x 1=0，x 2=4．22. 9.(2017甘肃兰州，9，4分）抛物线y =3x ²-3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为A. y =3(x -3)²-3B. y =3x ²C. y =3(x +3)²-3D. y =3x ²-6【答案】A【解析】由题知，y =3x ²-3为顶点式，直接根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可。

2011年中考数学试题分类汇总单选：二次函数单选

一、选择题1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x>0时y 值随x 值增大而减小的是（）． A ．y = x2 B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x【答案】D4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是【答案】D5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b=－1B ． a －b=－1C ． b<2aD ．ac<0【答案】B6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：第6题图X -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3则当x=1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-27 【答案】D7. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）．A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞3【答案】A8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h【答案】A9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值【答案】D 10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A ． a>0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c>0 【答案】D11. （2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y ＝2x2－8x ＋6的图形，则此图为何？【答案】A13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数c bx ax y ++=2的图形，且此图形通（－1 , 1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A ．y 的最大值小于0B ．当x ＝0时，y 的值大于1C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．当x ＝3时，y 的值小于0 【答案】Ｄ14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是 A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）【答案】A15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c>1；（3）2a －b<0；（4）a+b+c<0。