第15题 椭圆、双曲线的标准方程与几何性质--2019年高考数学23题试题分析与考题集训含答案
考点26 椭圆的标准方程及几何意义-2019年江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读 Word版含解析
考点26 椭圆的标准方程及几何意义1. 掌握椭圆定义和几何图形.2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程.3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离.近 5 年的江苏高考圆锥曲线的考试要求非常稳定,椭圆的标准方程与几何性质为B 级要求, .在命题方式上,大致为两道填空题、一道解答题. 填空题重点考查标准方程与几何性质,涉及双曲线与抛物线的填空题属于容易题,涉及椭圆的填空题属于中档题. 解答题主要考查直线与椭圆,不涉及双曲线,抛物线如果考查的话,会在理科附加题中出现,属于中档题. 另外,若在填空题中考查了直线与圆的知识,则解答题中考查直线与椭圆的知识,反之,若在填空题中考查了直线与椭圆的知识,则解答题中考查直线与圆的知识.涉及椭圆的解答题会重点考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等. 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力.回顾江苏省 5 年高考的椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题.在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。
1、（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C 交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P 的坐标为．综上，直线l 的方程为．2、（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．思路分析 (2) 设P (x 0，y 0)，易得PF 1，PF 2的斜率，得l 1，l 2的方程，求出点Q 的坐标用(x 0，y 0)表示．再利用P ，Q 均在椭圆上，求出x 0，y 0.解：(1) 设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，由于P 为第一象限内的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由点P ，Q 的对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解． 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.解后反思 用直线方程解题时，分注意斜率是否存在，必须讨论．若用向量来处理，就没有这些麻烦．请对比上面的解法，体会下面的解法． 设Q (x 1，y 1)．由PF 1⊥QF 1，得F 1P →·F 1Q →＝0， 即(x 0＋1)(x 1＋1)＋y 0y 1＝0. 同理可得(x 0－1)(x 1－1)＋y 0y 1＝0. 两式相减，得x 1＝－x 0，所以x 20－y 0y 1＝1. 以下略．3、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【答案】：.63【解析】：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63. 4、（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，故C 的坐标为2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.解后反思 本题考查了【解析】几何的基本解题策略，即通过联立曲线的方程，通过方程组来研究曲线的性质，体现了江苏高考命题在【解析】几何中命题的“回归”，由此来突出【解析】几何的两个研究核心问题：一是研究曲线的方程；二是通过方程来研究曲线的性质．5、（2014年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．规范解答 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1) 因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C 43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 解法1 因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·－bc＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.解法2 由题意知B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 设C (x 0，y 0)，则A (x 0，－y 0)． 因为F 1C ⊥AB ，所以F 1C ⊥BF 2.所以y 0x 0＋c ·b－c＝－1. ① 因为点A 在直线BF 2上，所以x 0c ＋－y 0b＝1. ②联立①②解得⎩⎨⎧x 0＝ca 2b 2－c2，y 0＝2bc2b 2－c 2.所以点C ⎝⎛⎭⎫ca 2b 2－c 2，2bc 2b 2－c 2. 又因为点C ⎝⎛⎭⎫ca 2b 2－c 2，2bc2b 2－c 2在椭圆上，代入椭圆的方程并整理得c 2a 2＋4c 4＝(a 2－2c 2)2，所以a 2＝5c 2，所以椭圆的离心率e ＝55.题型一 椭圆的方程与离心率1、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】：.5－12【解析】：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．2、(2016扬州期末）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1) 若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．思路分析 求离心率的范围，本质就是要建立一个关于a ，b ，c 的不等量关系，注意到点P 是椭圆上的点，所以考虑建立a ，b ，c 与点P 的横坐标或纵坐标的关系，利用点P 的坐标的取值范围来得到不等式．为此，就要建立点P 的坐标与a ，b ，c 的关系，由F 1M →＝2MP →、PO ⊥F 2M 及点P 在椭圆上不难得到这样的关系．规范解答 (1) 因为x 28＋y 24＝1，所以F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24.所以直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)．(4分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65，所以点M 的横坐标为65.(6分) (2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )．因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M 23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝23x 0－43c ，23y 0.因为PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，所以23x 0－43cx 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.(9分) 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c .(12分)因为－a <x 0<a ，所以x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )，所以0<a 2－ac <ac ，解得e >12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为（12，1.）(15分)易错警示 本题中求出点P 的横坐标x 0与a ，b ，c 的关系后，建立不等式关系时，极易得到错误的关系－a ≤x 0≤a ，而导致出错．3、(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ →.(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得(－4)2a 2＋(－1)232＝1，解得a 2＝18，所以椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(5分)(2) 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb1＋k 2.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.(9分)因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，所以k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有x 21＋y 21＝b 2①，x 22a 2＋y 22b2＝1 ②.(7分)又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13b ，代入②得16x 219a 2＋16y 21－8by 1＋b 29b 2＝1.(9分)又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0，即[2(a 2－b 2)y 1＋b (a 2－2b 2)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－b ＜b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分)而e 2＝1－b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解后反思 【解析】几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，【解析】几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．4、(2018常州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点(M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM ⊥MN ，且OA →·OM →＝43b 2.(1) 求椭圆C 的离心率e ； (2) 若S △AMN ＋S △POF ＝103a ，求椭圆C 的标准方程．规范解答 (1) 由题意可知M 在以OA 为直径的圆上．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22，消去y 得c 2a 2x 2＋ax ＋b 2＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝－ab2c 2，(4分) 所以x M ＝－ab 2c 2∈(－a ，0)，OA →·OM →＝x M x A ＝ab 2c 2a ＝43b 2，c 2a 2＝34，所以e ＝c a ＝32，此时x M ＝－ab 2c 2＝－a 3∈(－a ，0)，符合题意．(8分)(2) 由(1)可得a ＝2b ，c ＝3b ，右准线方程为x ＝433b ，M ⎝⎛⎭⎫－23b ，－223b ， 直线MN 的方程为y ＝2x ，所以P ⎝⎛⎭⎫433b ，463b .(10分)S △POF ＝12OF·y P ＝32b·463b ＝22b 2，S △AMN ＝2S △AOM ＝OA·||y M ＝2b×223b ＝423b 2，所以22b 2＋423b 2＝103a ，1023b 2＝203b ，所以b ＝2，a ＝22，(14分)故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(16分)解后反思 点M 的确定有多种办法：利用k AM ·k OM ＝－1或AM →·OM →＝0或AO 2＝AM 2＋OM 2，或者像上述解法中的M 在以OA 为直径的圆上．5、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为① 求椭圆的方程；② 若直线OQ PQ ，的斜率分别为12k k ，， 求12k k ⋅的值．（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程；（2）设出00(,)Q x y ，抓到FQ FP ^,用直线方程或者向量数量积的方法求出P 点坐标，代入坐标，计算12k k ×，结合椭圆方程，把代入，就能求出定值；（3）设出00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O坐标代入圆方程，思路2，OF的中垂线经过圆心，求出2ax cc=-，根据点P，Q均在x轴上方，得到，转化为e的不等式，求出范围.规范解答（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得…………………………………………………… 2分所以2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以椭圆的方程为22143yx+=．…………………………… 4分②由①得，焦点(10)F，，准线为4x=，解法1 设(4)P t，，00()Q x y，，则2200143x y+=，所以2200334y x=-．所以，因为FP⊥FQ ，所以，所以．………………………………………………………… 6分所以2002004y tyx x-=-34=-．………………………… 10分解法2 设00()Q x y，，则2200143x y+=，所以2200334y x=-，当1x≠时，直线FQ存在斜率，则01FQykx=-，又FP⊥FQ，所以直线FP 的方程为，所以点P 的坐标为．………………………………………… 6分所以；当01x =时，点Q 的坐标为3(1)2±，，点P 的坐标为(40)，，也满足1234k k ⋅=-，所以12k k ⋅的值为34-． …………………………………………………… 10分（2）解法1 设2()a P t c，，00()Q x y ，，因为FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆．………………………………………………… 12分由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以消去0ty 得，所以20a x c c =-，…………………………………………………………… 14分因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以，即，所以210e e +->，又因为01e <<，1e <<．………………………………………………………… 16分解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2c x =上，所以圆心M 的横坐标为2M c x =， ……………………………………… 12分所以点Q 的横坐标为．（以下同方法1）……… 14分【易错警示】用到直线方程时，需要考虑斜率是否存在，如本题考虑01x =的情形.6、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a ，b 的值，为此，要找到两个关于a ，b 的方程，根据点P 在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF 2Q 的周长为4a ，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e 的关系，根据PF 2⊥x 轴，可得点P 的坐标，根据条件PF 1→＝λF 1Q →可求得点Q 的坐标，利用点Q 在椭圆上，得到λ与a ，b ，c 的关系，进而求得λ与e 的关系，利用这一关系，求出λ的范围．规范解答 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.(2分) 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 解法1 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，y 0＞0，Q (x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b2λa .(11分)因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.(16分)解法2 由于PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)因为F 1(－c,0)，所以直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．联立⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c4c 2＋b 2，(11分) 因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝－2c c ＋x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 以下同解法1.解后反思 本题考查【解析】几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标(这里点P 是确定的，否则设出点P 的坐标)，由向量的运算求得点Q 的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a ，b ，c 的等式，利用e ＝ca ，a 2＝b 2＋c 2可化此等式为关于e ，λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是【解析】几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．题型二 椭圆中的定点与定值问题1、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围．思路分析 第(2)问中有两个动点，点M 和点P ，思路1，把点P 作为主动点，点M 作为被动点，故可设P(m ，－2)，且m≠0，进而求出点M 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →后运算即可；思路2，把点M 作为主动点，点P 作为被动点，故可设M(x 0，y 0)(x 0≠0)，进而求出点P 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →后运算即可．规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时， 则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0， 而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37. 故S △MBF ＝12·BF·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0， 解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4，所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4＝m 4＋15m 2＋36m 2＋4，(12分) 令m 2＋4＝t>4，故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7，(14分)因为y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)解法2(点M 为主动点) ①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1， 令y ＝－2，得P ⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＋1，－2.(6分)所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3（y 0＋1）x 0，(8分)所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3（y 0＋1）x 0＝3（y 20－1）x 20＝3（y 20－1）4（1－y 20）＝－34(定值)．(10分) ②由①知，PB →＝⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1，3，PM →＝⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2，(12分)所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1＋3(y 0＋2)＝x 20（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y 20）（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝（7－y 0）（y 0＋2）y 0＋1.(14分)令t ＝y 0＋1∈(0，2)，则PB →·PM →＝（8－t ）（t ＋1）t ＝－t ＋8t ＋7，因为y ＝－t ＋8t＋7在t ∈(0，2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)2、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．思路分析 (1) 椭圆上动点P(x 0，y 0)到左、右焦点的距离的最小值为a －c.(2) 先根据直径AB 竖直和水平两种情况，猜出定点可能为D(0，3)，再考虑DA →·DB →是否为零． 规范解答 (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a －c ＝3（2－1），解得⎩⎨⎧a ＝32，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.(4分)椭圆C 的标准方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9；(7分) 当直线l 的斜率为零时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分) 证明如下：证法1(向量法) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．只要证DA →·DB →＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2－3)＝x 1x 2＋(kx 1－4)(kx 2－4)＝0即可．即要证DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝0.(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，Δ＝16k 2＋64(1＋2k 2)>0，此方程总有两个不等实根x 1，x 2.x 1，2＝2k±29k 2＋41＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2.(14分) 所以DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（1＋k 2）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝0.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)证法2(斜率法) 若设DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，只要证k 1k 2＝－1即可． 设直线l 的斜率为λ，则y A ＋1x A＝λ.由点A 在椭圆x 2＋2y 2＝18上，得x 2A ＋2y 2A ＝18，变形得y A －3x A ·y A ＋3x A ＝－12，即k 1·y A ＋3x A ＝－12. 设y A ＋3＝m(y A －3)＋n(y A ＋1)，可得m ＝－12，n ＝32，得y A ＋3x A ＝32λ－12k 1.从而k 1(3λ－k 1)＝－1，即k 21－3λk 1－1＝0.同理k 22－3λk 2－1＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程k 2－3λk －1＝0的两实根．由根与系数关系，得k 1k 2＝－1.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分) 3、(2018镇江期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．思路分析 第(2)问要求圆P 的方程，就是要求得t 的值，为此，由圆P 过点M ，可得MA ⊥MB ，可用向量或斜率关系转化为坐标表示，通过解方程，可得t 的值；第(3)问的本质就是求点C ，D 的纵坐标，由于点C ，D 随着点M 的变化而变化，因此以点M 的坐标为参数，通过设出点M 的坐标，进而表示出点C ，D 的纵坐标，通过计算得OC·OD 为定值．规范解答 (1) 因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8 ①.因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0 ②.(6分) 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M(－6，－1)，所以t>0)，所以s 2＝709.(7分)又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3)设M(x 0，y 0)，则l MA 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝|－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2.(13分)因为s 2＋2t2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 4、(2017苏州暑假测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1) ①求椭圆C 的标准方程；②若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值. (2) 设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．思路分析 第(1)问的第1小题，求椭圆的标准方程，只需找到关于a ，b ，c 的另外两个方程，根据点P 在椭圆上，以及△PF 1F 2的面积为22不难求得；第2小题，所研究的对象为焦点三角形，由于已知一条边与它的对角，因此，应用余弦定理研究即可．第(2)问，注意到以AB 为直径的圆过坐标原点等价于OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，因此，只需联立直线与椭圆的方程，求出交点的坐标并代入上式即可求出k 的值．规范解答 (1) ①因为椭圆过点P (3,1)，所以9a 2＋1b 2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.(2分) 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(4分) ②当∠F 1QF 2＝π3时， 有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－QF 1·QF 2＝(2c )2＝32，(6分) 所以QF 1·QF 2＝163.(8分) (2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，(10分)故x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.(12分) 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120＞0，满足条件．因此k ＝±6.(14分)5.(2017南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的焦点．(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1，0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．思路分析 注意到T 为P ，Q 的中点，因此，就有两种处理方式，一是利用直线与椭圆方程联立，借助于方程的根与系数的关系，将中点T 表示为直线中的特征量k ，m 的形式；二是利用点差法，将中点T 表示为k ，m 的形式．规范解答 (1) 因为0＜b ＜2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分)所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分) (2) 解法1 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m ，(10分) 则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m－1＝14k 2－4m 2＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12.(14分) 解法2 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0), 则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 0(x 1－x 2)2＋y 0(y 1－y 2)＝0，即x 02＋y 0(y 1－y 2)x 1－x 2＝0，又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝k ，所以x 0＋2ky 0＝0，① 又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，故y 0＝kx 0＋m ，②由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m 1＋2k 2.(10分) 以下同解法1.解后反思 对于中点弦问题，通常有两种常见的处理方法，一是通过将直线与曲线方程联立，应用根与系数的关系来处理；二是应用点差法，找到直线的斜率与中点的坐标间的关系来处理．。
2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝ ，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x解析 因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。
高考数学热点练习：椭圆、双曲线、抛物线
2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )
A.x2＋y2＝1 2
B.x2＋y2＝1 32
C.x2＋y2＝1 43
D.x2＋y2＝1 54
【训练 1】 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，
B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
Hale Waihona Puke (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使得 PB2⊥QB2，求直线 l 的
方程.
【训练 3】 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH|；
(1)(2019·河南八市联考)设双曲线
C：x2－y2＝1 8m
的左、右焦点分别为
F1，F2，过
F1
的直线与双曲
线 C 交于 M，N 两点，其中 M 在左支上，N 在右支上.若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A.8
B.4
C.8 2
D.4 2
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF2|＝
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
真题感悟
1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 ＋y2＝1 的一个焦点，则 p＝( ) 3p p
A.2 B.3 C.4
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
【答案】2.
【思路引导】
通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线可得 从而由 可求离心率.
【解析】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由 ，得 则 有 ，
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路引导】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【解为 ，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【思路引导】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【解析】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
椭圆(讲)-2019年高考数学---精校解析 Word版
代数式形式：集合，则集合椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，）焦点在轴，）焦点在.．满足条件：曲线关于轴、原点对称曲线关于长轴顶点短轴顶点长轴顶点轴顶点，其中过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为则弦长公式为．是椭圆上的动点，则】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，则____________.【答案】在椭圆边上，则【答案】【解析】∵的周长为，已知椭圆左右焦点分别为，的直线交椭圆于两点，则|A最大|AB|=最大值为已知椭圆的左焦点为过点作倾斜角为的直线与圆B C已知圆定点，的垂直平分线交半径点，则点的轨迹B C D以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为等之间的关系，并能熟练地应用．离心率等于＋D【变式二】求与椭圆的椭圆标准方程．【答案】【解析】法一：∵设所求椭圆方程为，从而∴方程为若焦点在，且，.故所求方程为轴上，设所求椭圆方程为，将点设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为找关系：根据已知条件，建立关于方程有相同的离心率．与椭圆共焦点的椭圆系方程为卷文】已知椭圆的一个焦点为，则，因为，所以，即的离心率为】椭圆．【解析】对焦点三角形的处理方法，通常是运用的两顶点为，．．求证：）设椭圆方程为设椭圆+满足=2详解：设得所以对应相减得，当且仅当年全国卷Ⅲ文】已知斜率为交于，两点．线段的中点为）证明：为的右焦点，上一点，且．证明：．若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式，求距离．年文北京卷】已知椭圆的离心率为（Ⅱ）若的最大值；，直线（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的方程为，由消去，则，则，，易得当时，的最大值为（Ⅲ）设，则C设点上，且的直线过）（则需证根据条件可得已知椭圆的一个焦点为，离心率为.）求椭圆）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点，且有，解得，因此椭圆所引的直线的方程为，即所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，）（的距离为（。
椭圆、双曲线的几何性质-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
专题02 椭圆、双曲线的几何性质【母题来源一】【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ，所以双曲线的离心率ce a== 故选C ．【名师点睛】（1）本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．（2）双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0D ．(0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±， 故选B ．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==故选B ．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【命题意图】本类题主要考查椭圆与双曲线的定义、标准方程及简单性质，难度较小，意在考查考生的运算求解能力，分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想． 【命题规律】1．椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．2．双曲线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程为主． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）． 第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式ce a=． （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．3．求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程． 4．求双曲线的离心率主要的方法方法1：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率； 方法2：根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围．5．渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，将双曲线标准方程中右边的1换为0，可得到渐近线方程为22220x y a b -=或22220y x a b-=，即b y x a =±或a y x b =±．【方法总结】1．椭圆定义的集合语言：1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键． 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△． 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 3．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了． 4．双曲线的定义平面内，到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做122F F c =． 定义式：12122(02)PF PF a a F F -=<<． 要注意，常数小于两定点之间的距离． 5．双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0,0)x ya b a b-=>>；焦点在y 轴上，22221(0,0)y x a b a b-=>>．说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0c a b c a c b -=>>>>．6．双曲线的图形及其简单几何性质 （1）图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上（2）几何性质7．与双曲线有关的必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为b ．（2）与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠．（3）若双曲线的渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】双曲线2214y x -=的焦距是A B ．CD ．2．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(0)D ．(03．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】双曲线2214x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2C ．4D 4．【浙江省2019年高考模拟训练卷数学三】已知双曲线2222:1x y C a a-=，则C 的离心率是A ．2BC ．2D 5．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为x y 2=，则其离心率为A B ．3 C ．2D ．36．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】双曲线222=2x y -的焦点坐标为A ．(1,0)±B ．(0)C ．(0,1)±D ．(0,7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±8．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】双曲线22143y x -=的离心率是A ．12 B ．2 C ．54D ．539．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A ．8 B ．6 C ．5D ．410．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为A ．y =B ．y x =C ．y x =±D ．y =11．【浙江省2019届高考模拟卷一】已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是A ．2 BCD 12．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次教学质量监测试卷】已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的中心为O ，其右顶点、右焦点分别是,A F ，若OF OA ≤，则双曲线的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．D ．13．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=14．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】已知双曲线2221y x a-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是A ．3BC ．2D 15．【2018年11月浙江省学考】渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是 A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=16．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知双曲线22:1169y x C -=，则双曲线C 的焦点坐标为A．(5,0)±B．(0)C．(0,5)±D．(0,17．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】双曲线221xya-=的一条渐近线方程为3y x=，则正实数a的值为A．9B．3C．13D．1918．【内蒙古2019届高三高考一模】以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为A B1-C D．219．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】双曲线2214yx-=的渐近线方程是______________，离心率为______________．20．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y29=1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=120°，则|PF1|⋅|PF2|=______________．。
2019高考数学椭圆、双曲线、抛物线热点考点
C.
2 3
D.
1 3
关闭
以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2. 因为直线 bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切, 所以圆心到该直线的距离 d= 整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2),
������ 2 所以 A ������ 2 2������������ ������ 2 +������ 2
2019高考数学椭圆、双曲线、抛物线热点考点
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
圆锥曲线的定义的应用 【思考】 什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标 关闭 准方程的基本思路是什么? 如图 ,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点 ,由椭 ������2 ������2 2 2 例1设P是椭圆 9 + 5 =1上一点,M,N分别是两圆:(x+2) +y =1和 圆定义知 |PA|+|PB|= 2a=6.连接 PA,PB,分别与两圆相交于 M,N 两点 , 2 2 (x-2)|PM|+|PN| +y =1上的点 ,则 |PM|+|PN| 的最小值、最大值分别为 ( ) 此时 最小 ,最小值为 |PA|+|PB|2=4.延长 PA,PB,分别与两 A.4,8 B.2,6 C.6,8 D.8,12 圆相交于 M',N'两点 ,此时 |PM'|+|PN'|最大 ,最大值为 |PA|+|PB|+2=8,
题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问 题以及到抛物线焦点(或准线)的距离问题,可优先考虑圆锥曲线的 定义. 2.求圆锥曲线的标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲 线,焦点在哪个坐标轴上,再利用条件求a,b,p的值.
高考数学椭圆与双曲线的经典性质(打印版)
椭 圆1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆.2. 以焦点弦为直径的圆与对应准线相离.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.3. 切线与切点弦方程00221x x y ya b+=. 焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-. 4. 焦三角形面积122tan 2F PF S b γ∆=（12F PF γ∠=）.准距焦半径=e . 5. PQ 为过F 的焦点弦，A 为长轴顶点，AP 和AQ 分别交相对F 的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 6. PQ 为过F 的焦点弦，A 1A 2为长轴顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.7. 若000(,)P x y 在椭圆内，则被0P 平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+（0202y a x b k AB -=）. 8. 若000(,)P x y 在椭圆内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 9. 平行于y 轴的直线交椭圆于P 1P 2，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.（A 1A 2为长轴顶点）10. 过椭圆上任一点0P 任作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BCb x k a y =. 双曲线1. 双曲线在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆.2. 以焦点弦为直径的圆与对应准线相交.以焦点半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切.3. 切线与切点弦方程00221x x y ya b+=. 左焦半径：10||||MF ex a =+,右焦半径：20||||MF ex a =-. 4. 焦三角形面积122t 2F PF S b co γ∆=（12F PF γ∠=）.准距焦半径=e . 5. PQ 为过F 的焦点弦，A 为长轴顶点，AP 和AQ 分别交相对F 的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 6. PQ 为过F 的焦点弦，A 1A 2为长轴顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.7. 若000(,)P x y 在双曲线内，则被0P 平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-（0202y a x b k AB =）. 8. 若000(,)P x y 在双曲线内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 9. 平行于y 轴的直线交双曲线于P 1P 2，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.（A 1A 2为实轴顶点）10. 过双曲线上任一点0P 任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则202BC b x k a y =-.椭 圆1.E 为准线垂足，焦点弦AB 与在准线上的点C 满足BC x ∥轴，则AC 过EF 中点.2. 椭圆在P 处的切线交同侧准线于一点M ，则MF ⊥PF.3. 椭圆右支上的焦点弦MN 的中垂线交x 轴于P ，F 为右焦点，则||||2PF eMN =.4. 焦三角形中,c 为内外点到椭圆中心距离的比例中项. 内心将内点与非焦顶点连线分成定比e. （注:在焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）5. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有交点的充要条件是 2222200()A a B b Ax By C +≥++.6. P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）|OP|2+|OQ|2最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆最小值为2222a b a b +.7. 弦AB 的中垂线交x 轴于0P , 则220||a b x a-<. 8. A 、B 是椭圆长轴端点，P 在椭圆上，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，则（1）2tan tan 1e αβ=-.（2）22222cot PABa b S b aγ∆=-. 双曲线1.E 为准线垂足，焦点弦AB 与在准线上的点C 满足BC x ∥轴，则AC 过EF 中点..2. 双曲线在P 处的切线交同侧准线于一点M ，则MF ⊥PF.3. 双曲线右支上的焦点弦MN 的中垂线交x 轴于P ，F 为右焦点，则||||2PF eMN =.4. 焦三角形中,c 为内、外点到双曲线中心距离的比例中项.非焦顶点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.5. 双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.6. P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）|OP|2+|OQ|2最小值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆最小值为2222a b b a -.7. 弦AB 中垂线交x 轴于0P , 则220||a b x a+≥. 8. AB 是双曲线长轴端点，P 在双曲线上，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，则(1)2tan tan 1e αβ=-； (2) 22222cot PABa b S b a γ∆=+.。
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
复习回顾
1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F1，F2的
差的绝对值
距离的______________
等于非零常数(小于|F1F2|)的点
双曲线
的轨迹叫做_________
.这两个定点叫做双曲线的
焦点
焦距 .
________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______
y P
2.双曲线的标准方程：
x2 y2
2－ 2＝1(a>0，b>0)
a b
y2 x2
2－ 2＝1(a>0，b>0)
a b
X
F1
O
F2
新课探究:双曲线的简单几何性质
回顾：我们在学习椭圆的几何性质时，主要从哪
些方面研究了其几何性质？
范围
பைடு நூலகம்
对称性
顶点
离心率
椭圆的几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x a或x a , y R
对称性
对称轴：坐标轴
y -a或y a , x R
对称中心：坐标原点
顶点
性质
实轴：A1 A2 ，实轴长：2a；虚轴 B1 B2 ，虚轴长2b
渐近线
离心率
离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大，e越
小，开口越小
练习巩固
例 求双曲线9y2－16x2＝144的顶点坐标、焦点坐标、
0
3 2
2
y- x
3
的距离d. 沿曲线向
右上方拖动点M,视察 xM 与d的大
小关系，你发现了什么？
点M的横坐标越大，d越小，但d始
椭圆、双曲线的几何性质-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
专题02 椭圆、双曲线的几何性质【母题来源一】【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ，所以双曲线的离心率ce a== 故选C ．【名师点睛】（1）本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．（2）双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0D ．(0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±， 故选B ．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==故选B ．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【命题意图】本类题主要考查椭圆与双曲线的定义、标准方程及简单性质，难度较小，意在考查考生的运算求解能力，分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想． 【命题规律】1．椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．2．双曲线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程为主． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）． 第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式ce a=． （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．3．求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程． 4．求双曲线的离心率主要的方法方法1：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率； 方法2：根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围．5．渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，将双曲线标准方程中右边的1换为0，可得到渐近线方程为22220x y a b -=或22220y x a b-=，即b y x a =±或a y x b =±．【方法总结】1．椭圆定义的集合语言：1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键． 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△． 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 3．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了． 4．双曲线的定义平面内，到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做122F F c =． 定义式：12122(02)PF PF a a F F -=<<． 要注意，常数小于两定点之间的距离． 5．双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0,0)x ya b a b-=>>；焦点在y 轴上，22221(0,0)y x a b a b-=>>．说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0c a b c a c b -=>>>>．6．双曲线的图形及其简单几何性质 （1）图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上（2）几何性质7．与双曲线有关的必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为b ．（2）与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠．（3）若双曲线的渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】双曲线2214y x -=的焦距是A B ．CD ．【答案】D【分析】该双曲线的焦点在y 轴，利用222c a b =+可求得双曲线的焦距．【解析】双曲线22221y x a b-=的焦距为22c ===故选D ．【名师点睛】在双曲线中222c a b =+，在椭圆中222c a b =-，要注意区别并判断焦点在x 轴上还是在y 轴上．2．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(0)D ．(0，2) 【答案】D【分析】先将双曲线方程化为标准方程，即可得到顶点坐标．【解析】双曲线2221y x -=化为标准方程为22112y x -=，∴2a =12，且实轴在y轴上，∴顶点坐标是（0±，）， 故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．3．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】双曲线2214x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．4D【答案】A【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，即得结果． 【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，所以双曲线2214x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是1．故选A ．【名师点睛】本题考查双曲线的焦点与渐近线，考查基本分析求解能力，属基本题．4．【浙江省2019年高考模拟训练卷数学三】已知双曲线2222:1x y C a a-=，则C 的离心率是A．2BC ．2D【答案】B【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此可得双曲线C 的离心率．【解析】∵双曲线C 的方程为2222:1x y C a a-=，∴双曲线C 为等轴双曲线，∴双曲线C的离心率e =故选B ．【名师点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题．5．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为x y 2=，则其离心率为 AB ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为y =，所以2=a b ，即222b a =，而222a b c +=，所以223cc a c e a=⇒=⇒==， 故选B ．【名师点睛】（1）本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、a ，b ，c 三者之间的关系． （2）求双曲线的离心率一般有两种方法：①由条件寻找a ，c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a ，b ，c 的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+．②根据条件列含a ，c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍．（3）求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得．注意区分双曲线离心率的范围,()1e ∈+∞，椭圆离心率的范围1()0,e ∈．另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用．6．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】双曲线222=2x y -的焦点坐标为A ．(1,0)±B ．(0)C ．(0,1)±D ．(0,【答案】B【分析】由双曲的标准方程求出22,a b ，进而可求出2c ，然后即可求出焦点坐标．【解析】由2222x y -=可得222,1a b ==，焦点在x 轴上，所以2223c a b =+=，因此c =所以焦点坐标为(0)； 故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出22,a b ，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型．7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点(,0)c 到渐近线0bx ay +=的距离为2c ，可得=，故2b c =，b a =C 的渐近线方程为y =．故选A ．【名师点睛】（1）本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．（2）对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： ①已知双曲线的方程求其渐近线方程;②给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解．8．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】双曲线22143y x -=的离心率是A ．12 B C ．54D ．53【答案】B【分析】根据双曲线方程得到参数a ，b ，c 的值，进而得到离心率．【解析】双曲线22143y x -=．2,c a b c e a =====． 故选B ．【名师点睛】这个题目考查了双曲线的方程的应用，属于基础题．9．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A ．8 B ．6 C ．5D ．4【答案】A【解析】由题可得离心率c e a ==，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即212a =，可得6a =，c =，4b ∴==， 则椭圆的短轴长为28b =． 故选A ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．10．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】由22220x y a b-=得b y x a =±，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴2c a a ===，解得b a =∴双曲线的渐近线方程为y =． 故选D ．【名师点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到ba=11．【浙江省2019届高考模拟卷一】已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是A ．2 BCD 【答案】A【分析】由P 在双曲线C 的渐近线上，得b a =e =【解析】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，点P 在渐近线上，所以b a =C 的离心率2e ==． 故选A ．【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题．12．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次教学质量监测试卷】已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的中心为O ，其右顶点、右焦点分别是,A F ，若OF OA ≤，则双曲线的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，双曲线22221x y a b-=的中心为O ，其右顶点、右焦点分别是,A F ，若OF OA ≤，即cc e a≤⇒=≤，又由0b a >>，则c e a ===>所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理计算是解答的关键，同时注意0b a >>对双曲线的离心率的影响是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =，22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程．【解析】椭圆2222 10x y a b a b+=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =可得c =，22 4b a =，222c a b =-，解得3a =，b ，所以所求椭圆方程为22196x y +=，故选C ．14．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】已知双曲线2221y x a-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是A ．3BC ．2D ．3【答案】D【分析】利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．【解析】双曲2221y x a-=的渐近线方程为y ax =±，由题可知a =2224c a b =+=，即2c =，所以双曲线的离心率c e a ===， 故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 15．【2018年11月浙江省学考】渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是 A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程公式，即可求出正确的结果． 【解析】选项A 的渐近线方程为34y x =±，不符合题意； 选项B 的渐近线方程为43y x =±，符合题意；选项C 的渐近线为=3y x ±，不符合题意；选项D 的渐近线方程为2y x =±，不符合题意． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的集合性质，求出双曲线的渐近线方程是求解本题的关键，属于基础题．16．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知双曲线22:1169y x C -=，则双曲线C 的焦点坐标为A ．(5,0)±B ．(0)C ．(0,5)±D ．(0,【答案】C【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解析】由方程22:1169y x C -=表示双曲线，焦点坐标在y 轴上，可知216a =，29b =，则22225c a b =+=，即5c =， 故双曲线的焦点坐标为(0,5)±， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a ，b ，c 之间的关系是解决本题的关键．17．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为 A ．9B ．3C．13D．19【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线方程，即可得到结果．【解析】双曲线221xya-=的渐近线方程为y=，3=，解得19a=，故选D．18．【内蒙古2019届高三高考一模】以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为A B1-C D【答案】B【分析】设椭圆的两个焦点为1F，2F，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设122F F c=，则1DF c=，2DF=．由椭圆的定义知122||||a DF DF c=+=+，根据离心率的公式可求得答案．【解析】设椭圆的两个焦点为1F，2F，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设122F F c=，则1DF c=，2DF=，根据椭圆的定义可得122||||a DF DF c=++，所以1cea===，故选B．19．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】双曲线2214yx-=的渐近线方程是______________，离心率为______________．【答案】2y x =±2【分析】由2204y x -=能求出其渐近线方程，再由2a =，c =【解析】由2204y x -=得双曲线2214y x -=的渐近线方程是2y x =±，因为2a =，c =2214y x -=的离心率e =【名师点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属于基础题． 20．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 29=1(a >3)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2=120°，则|PF 1|⋅|PF 2|=______________． 【答案】36【分析】根据椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，c =√a 2−9，再由余弦定理可得(2c)2=4a 2−36=|PF 1|2+|PF 2||2−2|PF 1||PF 2|cos120°=(|PF 1|+|PF 2|)2−|PF 1||PF 2|，即可解出答案． 【解析】由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，且|F 1F 2|=2c =2√a 2−9， 根据余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos120°， 所以4(a 2−9)=4a 2−2|PF 1||PF 2|+|PF 1||PF 2|=4a 2−|PF 1||PF 2|， 解得|PF 1||PF 2|=36．。
2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。
故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。
当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
2019年高考理科数学二轮专题复习讲义：专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 Word含答案
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2．(2018·山西四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：∵抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin ∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：C3．如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：104．(2018·重庆模拟)从双曲线x 24－y 29＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝4的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|M T|＝________.解析：不妨设点P 在第一象限，双曲线x 24－y 29＝1的右焦点为F ′，连接PF ′，O T.(图略)因为M 为线段FP 的中点，所以|OM |＝12|PF ′|，|FM |＝12|PF |，且|O T|＝2，|OF |＝13，所以|F T|＝|OF |2－|OT |2＝3，由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝4，易知|MF |＞|F T|，所以|MO |－|M T|＝12|PF ′|－(|MF |－|F T|)＝12|PF ′|－12|PF |＋|F T|＝12(|PF ′|－|PF |)＋3＝12×(－4)＋3＝1.答案：11．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础． 2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．3．抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离．[全练——快速解答]1．(2018·南宁、柳州联考)已知双曲线x 23－y 2b ＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b ＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，故选B.答案：B2．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠P AQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为( )A.12B.22C.33D.23解析：根据题意可取P (c ，b 2a )，Q (c ，－b 2a )，所以tan ∠P AF ＝b 2a a ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a ＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AFcos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF＝1－tan 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF ＝1－(1－e )21＋(1－e )2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，所以1－e ＝12，e ＝12.故选A.答案：A3．(2018·惠州模拟)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c ) ，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝abx ＋c ，联立，得⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M (－bc 2a ，c2)．因点M在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故(－bc 2a )2＋(c2)2＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF|)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM →＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：21．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系授课提示：对应学生用书第50页[悟通——方法结论]弦长问题设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)，其中|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．(1)(2018·山西八校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135˚，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( )A ．22－2B ．22－1 C.2－1D ．32－4解析：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135˚，所以直线MF 的倾斜角为45˚，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2＝(3＋22)p2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.答案：A(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)(12分)设A ，B为曲线C ：①求直线AB 的斜率；②设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线且求直线AB的方程．[学审题][规范解答] ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 14，y 2＝x 24，x 1＋x 2＝4，(2分)于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(4分)②由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2， (6分)于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，(8分)故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1) .(10分)由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7(m ＝－1舍去)． 所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.(12分)直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系．[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B. 答案：B2．(2018·洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解析：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为xa －y ＝1，由11a2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝t y ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22t y －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3， ①∵OA →＋3OB →－2OC →＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13(12x 1＋32x 2)2＋(12y 1＋32y 2)2＝14(x 213＋y 21)＋34(x 223＋y 22)＋32(13x 1x 2＋y 1y 2)＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 将x 1＝t y 1＋2，x 2＝t y 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1. 故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.授课提示：对应学生用书第143页一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：在双曲线 x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，而其渐近线方程为y ＝±ba x ，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.答案：D2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝⎛⎭⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.答案：B3．(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3 C ．2 D ．3解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则圆心(0,2)到直线bx －ay＝0的距离为1，所以2a a 2＋b 2＝1，即2a c ＝1，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2，故选C.答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab a 2＋b2＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.答案：A6．(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1.故选A.答案：A7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：由题意，得e ＝ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D. 答案：D8．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.答案：C9．(2018·洛阳模拟)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A.34B.45C ．54D ．无法确定解析：双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y＝±34x .不妨设M 在直线 y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M (t ，34t)，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M (165，125)．由对称性可得N (165，－125)，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d ＝|m －165|，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝(m －5)2＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝|m －165|14|5m －16|＝45，故选B.答案：B10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)， ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D. 答案：D11．(2018·广西五校联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF →1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则MF →1·NF →1＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2 答案：B12．(2018·南昌模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析：由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |， 所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)． 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎡⎦⎤32()|AF |＋|BF |22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝⎛⎭⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π， 所以∠AFB 的最大值为2π3.答案：D二、填空题13．(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.答案： 214．(2018·武汉调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.答案：815．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：416．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是________．解析：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥ 3， 解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题17．(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b .(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解析：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )， 则2a ＋2c ＝6，①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a ，②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M (m ，y 0x 0＋2(m ＋2))，又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3(1－x 204)，若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，A 2M →·A 2P →＝0，所以(m －2，y 0x 0＋2(m ＋2))·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 2x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3(1－x 204)x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)(14m －72)＝0.又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以m ＝14.18．(2018·福州模拟)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1＜x ＜4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解析：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1＜x ＜4)， 故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －ax ＝2x －4，因为1＜x ＜4，所以－2＜k PQ ＜4， 所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2,4)． (2)证明：法一：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a ＞0，a ＜2，且a ≠0， 解得x ＝1±4－2a2， 故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a2，0)两点． 故可设圆E 的圆心为M (1，t)， 由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14， 则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．法二：P (0，a )(a ≠0)，设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Fy ＋G ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋Dx 1＋G ＝0，x 22＋Dx 2＋G ＝0，a 2＋Fa ＋G ＝0.因为x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋a ＝0，即x 2－2x ＋a2＝0的两根，所以x 21－2x 1＋a 2＝0，x 22－2x 2＋a 2＝0， 所以D ＝－2，G ＝a2，所以F ＝－G －a 2a ＝－(a ＋12)，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．19．(2018·广州模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点(1，263)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B →·F 1H →＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a 2＝1.把点(1，263)代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0. 设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k 3k 2＋4，所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B (－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4)．设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k ，即M (－1k ，1)．设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ，所以k MH ＝－1k ，即1－1k －x H＝－1k.所以x H ＝k －1k ，即H (k －1k，0)．又F 1(0,1)，所以F 1B →＝(－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4)，F 1H →＝(k －1k ，－1)．因为F 1B →·F 1H →＝0，所以－12k 3k 2＋4·(k －1k )－4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12A F n =，在1A FB △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()s i n s i n s i n s i n ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2A B B C A C ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019高考数学考点突破——圆锥曲线：椭圆+Word版含解析
距离为 ( )
A．5
B．6
C．7
D．8
[答案 ] (1) A (2) D
[解析 ] (1)由条件知 |PM|＝ |PF|.
∴|PO|＋ |PF|＝|PO|＋|PM|＝ |OM|＝R>|OF|.
∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆．
(2)由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 10－2＝8. 【类题通法】
a＝ 2， 解得
b＝ 1.
∴所求椭圆的标准方程为
x2 4＋
y2＝
1；
当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为
y2 x2 a2＋ b2＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点 (2，0)，(0，1)，
04 a2＋ b2＝1， ∴ 10 a2＋ b2＝1，
a＝ 1， 解得
b＝ 2，
－b≤x≤b －a≤y≤a
性 对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
质
顶点
A1(－a,0)， A2(a,0)， A1(0，－ a)，A2(0， a)，
B1(0，－ b)，B2(0，b)
B1(－ b,0)，B2(b,0)
离心率
c e＝a，且 e∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
【考点突破】 考点一、椭圆的定义及其应用
[解析 ] (1)由条件可知 b＝c＝ 2，a＝ 2， 所以椭圆的标准方程为 x42＋y22＝ 1.故选 C.
x2 y2 (2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为 a2＋ b2＝1 (a>b>0). ∵椭圆经过两点 (2，0)，(0，1)，
40 a2＋ b2＝1， ∴ 01 a2＋ b2＝1，
《高考真题》专题15 椭圆及其性质-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为专题15 椭圆及其性质A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．【命题意图】要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．【命题规律】椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． （2）待定系数法．一般步骤如下：第一步，作判断．根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22xa+22yb=1（a>b>0）或22xb+22ya=1（a>b>0）．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于a，b，c的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c2=a2–b2）．第四步，定结果．解方程组，将解代入所设方程，得所求．注意当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：（1）分类讨论；（2）设椭圆方程为2xm+2yn=1（m>0，n>0，m≠n），或Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．2．求椭圆离心率或其范围的方法（1）求出a，b或a，c的值，代入e2=22ca=222–a ba=1–（ba）2直接求；（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2–c2转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【知识总结】1．椭圆的几何性质2．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为22b a，通径是最短的焦点弦．3．若P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a –c ，a+c ]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c ，最小值为a –c ．4．椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P （x 0，y ）与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2=θ． （1）当P 为短轴端点时，θ最大． （2）12PF F S △=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ=b 2·sin 1cos θθ+=b 2tan 2θ=c|y 0|，当|y 0|=b ，即P 为短轴端点时，12PF F S △取最大值，最大值为bc ．（3）焦点三角形的周长为2（a+c ）． 【方法总结】 1．椭圆定义的应用（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，进而求得焦点三角形的周长和面积．（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，–a ≤x ≤a ，–b ≤y ≤b ，0<e<1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．1．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F △为直角三角形，则E 的离心率为A ．12 B 1C ．2D 12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=A BC ．2D ．33．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l ：2y x =+．若以1F 、2F 为焦点的椭圆C 与直线l 有公共点，则椭圆C 的离心率最大值为A B ．12C D ．24．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为A B ．34C ．12D ．145．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且3PO a =，则椭圆C 的离心率是A ．2 B ．2C D ．236．【2019年四川省达州市高考数学一诊】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22224(,0)y cx c a b c ==->与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若124cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为A BC D7．【四川省成都市成都外国语学校2019届高三3月月考数学】已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D8．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （−2，2）为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得｜PA ｜＋｜PF ｜＝8，则m 的取值范围是A ．(625⎤+⎦B ．［9，25］C ．(620⎤+⎦D ．［3，5］9．【四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学】已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12 BC ．短轴长为14D 10．【四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学】已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为 A ．13 B ．12C ．3D ．211．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF ∆为等腰三角形，则12AF AF =A ．13 B ．12C ．23D ．312．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为A ．13 B 3 C．2D．213．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为 A ．13BC ．12D．214．【贵州省黔东南州2019届高三下学期第一次模拟考试数学】椭圆2x +28y ＝1的离心率为A．4 B ．78 CD ．1815．【贵州省2019届高三11月37为A ．13 B ．3C ．3D ．316．【云南省玉溪一中2019届高三下学期第五次调研考试数学】设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为A ．12 BC ．2D ．417．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．318．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知点P 是椭圆C ：2219+=x y 上的一个动点，点Q 是圆E ：()2243+-=x y 上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是__________．19．【四川省2018届高三春季诊断性测试数学】若椭圆2214x y m+=上一点到两个焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为__________．20．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于另一个点A ，若3B F A F =，则C 的离心率为__________．。
2019年高考数学解析几何部分知识考查分析
第 1 页 共 7 页2019年全国高考数学解析几何知识考查分析一、椭圆及其性质1．（2019年北京理）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b = 2．（2019年全国Ⅰ理）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=3．（2019年全国Ⅰ文）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=4．（2019年全国Ⅲ文理）设1F ，2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ．5．（2019年浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ． 6．（2019年上海春）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．二、双曲线及其性质1．（2019年北京文）已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则(a = )AB ．4C ．2D ．122．（2019年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ． 3．（2019年浙江）渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )AB ．1 CD ．24．（2019年全国Ⅰ理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ．5．（2019年全国Ⅰ文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( )第 2 页 共 7 页A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒6．（2019年全国Ⅲ理）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )ABC．D．7．（2019年全国Ⅲ文）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92三、抛物线及其性质1. （2019年上海秋）过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.四、解析几何综合1．（2019年全国Ⅱ文理）若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则(p = ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．（2019年全国Ⅱ文理）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC ．2 D3．（2019年天津文理）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(A B O F O =为原点），则双曲线的离心率为( )ABC ．2 D4．（2019年北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )第 3 页 共 7 页A ．①B ．②C ．①②D ．①②③5．（2019年上海春）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线五、直线与圆1．（2019年浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ． 2．（2019年全国Ⅰ文）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由． 3．（2019年江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．六、直线与椭圆的位置关系1．（2019年全国Ⅱ理）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．2．（2019年全国Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；第 4 页 共 7 页（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．（2019年北京文）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若||||2OM ON =，求证：直线l 经过定点． 4．（2019年天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已|2||(OA OB O =为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．5．（2019年天津理）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 6.（2019年上海秋）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．（2019年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．第 5 页 共 7 页七、直线与双曲线的位置关系与其他知识综合，以小题形式出现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第15题 椭圆、双曲线的定义、标准方程与几何性质【考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、向量、正余弦定理、数列、不等式等知识结合重点考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、几何性质，考查运算求解能力、推理论证能力，难度为基础题或中档题，分值5分.【考前回扣】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(122||a F F >).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的几何性质在焦点在y 轴上3.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(122||a F F <).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.4.双曲线的几何性质5. 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为，离心率为y x =±.6.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．【考向】考向一 椭圆的定义及其标准方程【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义与正余弦定理解题； 2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.例1【2019届安徽省六安一中模拟（四)】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题。
【解析】设椭圆的左焦点为，则，故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2，所以的最小值等于，∴的最小值为，故选D 。
考向二 椭圆的几何性质【解决法宝】1.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围； 要牢记几个最值： ①椭圆上的点M 到中心O 的距离的范围：；②椭圆上的点M 到一焦点F 的距离的范围：.例2．【2019届河南省郑州一中第二次联合质评】已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若的最大值为3，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，结合题意可得结果．【解析】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，又的最大值为3，∴，∴ｅ＝，故选Ｂ考向三 双曲线定义及其标准方程【解决法宝】1.涉及双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用双曲线的定义；求解双曲线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出双曲线的标准方程.例3．【2019届天津市十二重点中学联考（一)】已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.【解析】，即焦点为，即焦点为，，①，又的面积为，时，,，，得，②，由①②得，，双曲线的方程为,故选D.考向四 双曲线、抛物线的几何性质【解决法宝】1.双曲线的离心率是双曲线的主要性质，是反映双曲线的开口大小的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的双曲线的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；2.双曲线的渐近线问题，要分焦点在x 轴上上和焦点在y 轴上分别处理，关键在找关于a,b 的关系式.例4 【2019届江西省高安中学期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】连接,可得三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，可得|=2c, ,||=, ||=，连接,利用双曲线的性质, 2a=||-||=-2c=,可得离心率e.【解析】由题意得，四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=，则P(2c,), 连接, 则||=，由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=，所以双曲线的离心率为e===，故选C.【集训】1.【山东省济南市2018的是（）A.22198x y-= B.2219xy-= C.22198x y+= D.2219xy+=【答案】D【解析】由于离心率01<<，所以此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，此曲线为椭圆，，离心率，不符合；对于选项D，为椭圆，离心率，符合，选D.2.【2019届北京市海淀区一模】椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为，倾斜角分别为，，故选C.3.【山东省济南市2018届一模】已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A.2213632x y+= B.22198x y+= C.22195x y+= D.2211612x y+=【答案】B【解析】椭圆长轴为6，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为22198x y+=，故选B.4.【2019届湖南省衡阳市联考（二)】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图，设是椭圆的右焦点，因为线段与被点互相平分，且，所以四边形是矩形，又，∴，∴是等边三角形，由，∴，，∴，所以，故选A5. 【河北省衡水中学2018届十模】如图，设椭圆E ：的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A.12 B. 23 C. 13 D. 14【答案】C【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且，即c c a =12可得e=c a =13．6.【2019届广西梧州市等期末】设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，，，，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点Q的轨迹方程为，故选C．7. 【海南省2018届上学期期末】已知双曲线2212x ya-=的焦点与椭圆22162x y+=的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2 【答案】B【解析】根据椭圆22162x y+=可以知焦点为，∴离心率，故选B.8. 【2019届安徽省蚌埠市一质检】已知，是椭圆的左右焦点，点M的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．【答案】A【解析】，，是椭圆的左右焦点，，轴，，，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，又，，，线段的中点，的角平分线的斜率．故选A ．9.【山东省济南市2018届一模】已知双曲线C ： 22194x y -=的两条渐近线是1l ， 2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是（ ） A.1213 B. 1 C. 3613D. 3 【答案】A【解析】双曲线的两条渐近线方程分别为230x y ±=，设()11,M x y 为双曲线C 上一点，则，即，点M 到两条渐近线距离之积为为常数，所以当点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是361231313÷=，选A. 10.【2019届河南名校联盟2月联考】椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的面积为，且，则椭圆方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在中，得，可得，所以，又面积为，即， 解得，则，所以椭圆方程为，故选C.11.【江西省上饶市2018届二模】已知12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线C 的右支上存在点A ，满足，则双曲线C 的离心率的取值范围是 （ ）A. (]1,4B. ()1,4C. (]1,2 D. ()1,2 【答案】A【解析】由双曲线定义可知，，又，联立两式，可得，根据双曲线的几何性质可得，，又1,e >∴离心率范围是(]1,4，故选A.12.【2019届吉林省实验中学第八次月考】设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，可知,则由双曲线定义得即解得，故选：A13.【广西梧州市2018届二模】已知双曲线的右顶点为M ，过点M与点()0,2-的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A. 22142x y -=B. 22143x y -=C. 22124x y -=D. 2212x y -= 【答案】C【解析】由ce a==， 222a b c +=得b =，所以双曲线的渐近线方程为y =，由得a =22124x y -=，故选C. 14.【安徽省宿州市2018届一质检】在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线的左、右焦点， P 是双曲线左支上一点， M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 【答案】B【解析】∵M 是1PF 的中点， O 是12F F 的中点，∴OM ∥2PF ，又1OM P F ⊥，∴21PF PF ⊥，故12PF F ∆为直角三角形，由双曲线的定义可得，∴24PF a =，在12PF F ∆中，可得，即，整理得225a c =，∴e =B ．15.【2019届贵州适应性考试】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】如图：∵，∴F 在以AB 为直径的圆上，O 为AB 中点，则OA=OB=OF=c ，且,过O 作OC则C 为AF 的中点，∴CF=，OC=，∴AE=，AF=，∴，，∴， ∴，故选D.16.【山东省德州市2018届上学期期末】若双曲线的中心为原点， ()0,2F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ， N 两点，且MN 的中点为()3,1P 则双曲线的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213x y -=C. 2213y x -=D. 2213y x -= 【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为，，则2211221y x a b-=且2222221y x a b-=，则，即，则，即223b a =，则，所以，即该双曲线的方程为2213x y -=.故选B.17.【2019届安徽省六安一中模拟（四)】设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，过点作的垂线与双曲线交于两点，不妨设点在第一象限，所以得，，又因为双曲线的左、右顶点分别是，所以，因为，所以，即，即，由得，，故斜率为，故选B18. 【广东省珠海市2018届三3月质检】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设，由题得，，，，.19.【2019届安徽省蚌埠二质检】以双曲线：的右焦点为圆心，半径为的圆与的一条渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），且垂直于轴，则双曲线的标准方程为__________． 【答案】【解析】双曲线的右焦点为，渐近线为，由于垂直于轴，故，即①.设，由得，解得.由②，由①②及，解得.故双曲线方程为.20.【江苏省盐城中学2018届上学期期末】已知椭圆与圆，若椭圆1C 上存在点P ，由点P 向圆2C 所作的两条切线PA ， PB 且，则椭圆1C 的离心率的取值范围是__________．【答案】2⎫⎪⎪⎣⎭【解析】因为，所以,在RT POB ∆中，由OB b =得2PO b =，由点P 在椭圆上知，，所以，解得e ≥01e <<，故填⎫⎪⎪⎣⎭. 21.【2019届山东省济南市3月模拟】设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为__________.【答案】【解析】设过三点的圆的圆心为，是通径的一半，，是圆中的一条弦，根据圆的对称性可知的坐标，，，整理得，，整理得，，解得.22. 【2018届广东省揭阳市一模】已知双曲线222y x b-=1左焦点为1F ,当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆()221x y +-=1上运动时, 1PQ PF +的最小值为_____. 【答案】52【解析】依题意可知a =1,b=12,设B (0,1),由得,问题转化为求点2F 到圆B 上点的最小值,即,故．23.【2019届江苏省如皋中学期中】已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为____．【答案】【解析】如图，设，由椭圆的定义可得，∵的中垂线交椭圆于点，∴，∴，又，∴，解得，∴，在中，，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴，∴，即椭圆的离心率为．。