北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学文科(解析)

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.2. 下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.3. 在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y=2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A. B. C. D.4. 若x，y满足则x+2y的最小值为（）A. 0B. 4C. 5D. 105. 执行如图所示的程序框图，输入n=5，m=3，那么输出的p值为（）A. 360B. 60C. 36D. 126. 设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 38. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知向量=（1，-2），=（2，m），若 ⊥，则m=______．10. 在△ABC中，已知a=1，，，则c=______．11. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．12. 过双曲线＞，＞的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e=______．13. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：，＜，＜某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）14. 已知函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）．若∀x∈[-a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为______；此时ω=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a4=10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16. 已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的∈，，都有．17. 某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．18. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1=AB=2，BC=1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B-ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．19. 已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20. 已知椭圆C：＞＞的离心率为，其左焦点为F1（-1，0）．直线l：y=k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．1.C解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.D解：∵1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，，（1-i）2=1-2i+i2=-2i．∴为纯虚数的是（1-i）2．故选：D．直接利用复数的运算求解即可得答案，本题考查了复数的基本概念，是基础题．3.A解：角α以Ox为始边，终边在射线y=2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，2），则cosα==，故选：A．在终边上任意取一点（1，2），再利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.B解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，此时z=2+2×1=4．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．5.B解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当n=5，m=3时，可得：=60．故选：B．模拟执行程序框图，可得程序框图实质是计算排列数的值，由n=5，m=3即可计算得解．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6.A解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c=5，d=1，a=2，b=3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．故选：A．由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c=5，d=1，a=2，b=3．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.D解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，∴PB===3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB=3．故选：D．由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．8.B解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，∴E1=1016.8，E2=1016.05，∴=100.75，∵100.75＞90.75=31.5=3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．9.1解：∵；∴；∴m=1．故答案为：1．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10.解：在△ABC中，已知a=1，，，∴sinC=，由正弦定理可得=，∴c==4，故答案为：4．先根据同角的三角函数的关系求出sinC，再根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理和同角的三角函数的关系，考查了运算和求解能力，属于基础题．11.-n 2解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，可得-1+2d+2q=-1，即为d=-q，可取d=-1，可得q=1，则a n=-1-（n-1）=-n；b n=2．故答案为：-n，2．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，可得c=，即ac=c2-a2，可得：e2-e-1=0，e＞1，解得：e=．故答案为：．利用已知条件列出方程，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.①②解：，可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；当1＜x≤30时，f（x）=+x，f（9）=+•9=0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f（26）=+•26＞，故③错误．故答案为：①②．由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由f（9）的值可判断②；由f（26）的值可判断③．本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题．14.4解：∵函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）均为奇函数．∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．∵函数f（x）=x3-4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值，（如图）．此时，，a=4．故答案为：4，．函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）均为奇函数．只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．结合图象可得当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值．本题考查了函数的对称性应用，数形结合法，属于中档题．15.（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4=2a3=10，所以a3=5．所以a 3-a1=2d=5-1=4．解得d=2．所以a n=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为==．……………………..（13分）（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解{a n}的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{b n}的前n项和．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查计算能力．16.解：（Ⅰ）===，所以，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的∈，，都有．（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，证得f（x）≥-．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.解：（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150．（5分）（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=…（11分）（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．……………．（13分）（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数．（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率．（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1=B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1=AB=2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1=B1，所以A1B⊥平面AB1C1．……………………………..（5分）（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1=B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1=AB=2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．……..（9分）（Ⅲ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1=EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB=EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．………………………..（14分）（Ⅰ）证明BB1⊥平面A1B1C1．推出BB1⊥B1C1．然后证明B1C1⊥平面AA1B1B．得到A1B⊥B1C1．A1B⊥AB1．即可证明A1B⊥平面AB1C1．（Ⅱ）说明BB1⊥A1B1．证明A1B1⊥平面BB1C1C．通过求解即可．（Ⅲ）证明EH∥AB．说明H为B1C1中点．然后求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．（1）当a≤0时，ae x-1＜0，所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-ln a．①当-ln a=-1，即a=e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；②当-ln a＜-1，即a＞e时，当-ln a＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-ln a或x＞-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-ln a，-1），单调递增区间为（-∞，-ln a），（-1，+∞）；③当-ln a＞-1，即0＜a＜e时，当-1＜x＜-ln a时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-ln a时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-1，-ln a），单调递增区间为（-∞，-1），（-ln a，∞）．………………………………（12分）（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．分三种情况①-lna=-1，②当-lna＜-1，③当-lna＞-1，讨论f（x）的单调区间．本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20.（共14分）解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．……………………………………（5分）（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2-2）=0．由已知，△=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得＜＜．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x-2y+2=0，F1（-1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．…………………………………（10分）（III）当x2=-1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠-1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y=t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2-2）=0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3-x1=0，所以x 3=x1．所以直线AE与x轴垂直．……………………………………（14分）（Ⅰ）利用椭圆的离心率以及已知条件求解a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式，得到直线距离然后求解△F1AB的面积；（Ⅲ）当x2=-1时，．圆锥即可；设直线BF1的斜率为．直线BF1的方程为y=t（x+1）．与椭圆联立，利用韦达定理，转化求解证明即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。