1。3二次根式的运算(3)

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八下第一章 1.3二次根式的运算(1)

八年级上学期数学第一章二次根式1.3二次根式的运算（1）一、回顾知识导入新课1、计算： (1)=，=∴(2)= , =∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示.例1 计算：（1）322⨯ （2）550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥⨯y x xy xy跟踪练习：计算：（1）61211÷ （2）672 （3）2)0,0(6632 b a a ab ⨯例2 计算：（1）-9215125.225⨯ （2）5232232⨯÷跟踪练习：计算：（1）)7223()563(212-⨯÷；（2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x xb a -÷+⨯-2、最简二次根式的两个条件：（1）（2）三、当堂检测自我评价1、下列等式中，成立的是（）A. =B. =C. =D. =2的结果是（）A.3- B. C. D. 3-3 ）A. B. C. 2 D.4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( )A ．122-B ．22-C ．21-D ．22+5、计算：271331322÷⨯的结果是（） A 、331 B 、231 C 、26 D 、626、比较大小：，32 6128、计算：(1(2(3 （4）)1043(53544-÷⨯3、将1按如图所示的方式排列.A.1B.2C.4、已知1a a +=1a a-的值为（）A ．±B ．8C ．D ．68、探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．。

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1

浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12．化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。

二次根式化简常用方法

二次根式化简常用方法1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．乘法公式法例1 计算：分析：因为2= ，所以中可以提取公因式。

解：原式== ××=19因式分解法例2 化简：分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。

但我们发现（x-y ）和（x+y- ）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。

解：原式===0.整体代换法例3 化简。

分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。

不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1.解：原式=====4x+2巧构常值代入法例4 已知，求的值。

分析：已知形如（x 0 ）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为= ，即先构造一个常数，再代入求值。

解：显然x0，化为=3.原式= = =2.。

浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算课件(共26张PPT)

拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2

解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=

.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,

A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比

2024年春学期浙教版初中数学八年级下册教学进度表

2.1一元二次方程
2.2一元二次方程的解法
5
5
3.25——3.29
2.3一元二次方程的应用
2.4一元二次方程根与系数的关系
5
6
4.01——4.03
本章复习与测试
3
清明节
4.04——4.06
7
4.08——4.12
第3章数据分析初步
3.1平均数
3.2中位数和众数
5
8
4.15——4.19
3.3方差和标准差
浙教版初中数学八年级下册教学进度表
（2023——2024学年度）
周次
时间
教学内容
周课时数
备注
1
2.26——3.01
开学第一课
第1章二次根式
1.1二次根式
5
2
3.04——3.08
1.2二次根式的性质
1.3二次根式的运算
5
3
3.11——3.15
本章复习与测试
5
4
3.18——3.22
第2章一元二次方程
5
18
6.24——6.28
总复习
5
19
7.01——7.05
期末测试
5
本章复习与测试
5
9
4.22——4.26
期中复习，期中测试
5
10
4.29——4.30
第4章平行四边形
4.1多边形
2
劳动节
5.01——5.05
11
5.06——5.11
4.2平行四边形及其性质
4.3中心对称
4.4平行四边形的判定定理
6
周六上班
12
5.13——5.17

八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版

ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以

2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1-3二次根式的运算》同步测试题(附答案)

2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1.3二次根式的运算》同步测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．下列各式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．计算：﹣＝（）A．﹣B．C．D．04．已知x＝﹣2，y＝+2，则+的值为（）A．2B．﹣4C．4D．﹣25．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．6．计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（）A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．17．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2二．填空题（共7小题，满分28分）8．化简，结果得．9．计算：（3+）÷＝．10．若最简二次根式与可以合并，则a+b＝．11．若x＝2﹣，则代数式x2﹣4x﹣3的值为．12．规定a⊗b＝•+，则（2⊗4）⊗＝．13．已知，则＝．14．三角形的三条边长分别为a，b，c，其面积S可用公式来求，其中p＝（a+b+c），若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则用上述公式可求得其面积为．三．解答题（共6小题，满分64分）15．计算：．16．计算：（﹣3）÷2．17．计算或化简：（1）；（2）．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，AB＝，AC＝，BC＝．（1）求△ABC的周长；（2）求BD的长度．19．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1，类似地，＝﹣，＝+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，求m的值；（3）计算：．20．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2﹣5a++2＝．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：A.＝＝2，因此选项A不符合题意；B.是最简二次根式，因此选项B符合题意；C.＝x，因此选项C不符合题意；D.＝，因此选项D不符合题意；故选：B．2．解：A．，故选项A计算错误，不符合题意；B．与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；C．，故选项C计算正确，符合题意；D．，故选项B计算错误，不符合题意．故选：C．3．解：﹣＝＝0，故选：D．4．解：+＝，当x＝﹣2，y＝+2时，x+y＝﹣2++2＝2，xy＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴原式＝＝﹣2．故选：D．5．解：A、＝2，能与合并，故此选项不符合题意；B、＝2与不是同类二次根式，不能与合并，故此选项符合题意；C、＝4，能与合并，故此选项不符合题意；D、＝6，能与合并，故此选项不符合题意；故选：B．6．解：（﹣2）2021（+2）2020＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）＝（﹣1）2020×（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，故选：B．7．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分）8．解：＝﹣（）＝2﹣．故答案为：2﹣．9．解：原式＝3÷+÷＝+1．故答案为：+1．10．解：∵最简二次根式与可以合并，∴a﹣11＝2﹣b，∴a+b＝13．故答案为13．11．解：x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7，当x＝2﹣时，原式＝（2﹣﹣2）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故答案为：﹣2．12．解：由题意可得：（×+）⊗＝（2+）⊗＝⊗＝+＝+．故答案为：+．13．解：设＝a，＝b，则a2＝5+x2，b2＝1+x2，∴a2﹣b2＝（5+x2）﹣（1+x2）＝4，∴（a+b）（a﹣b）＝4，∵﹣＝1，∴a﹣b＝1，∴（a+b）×1＝4，∴a+b＝4，∴∵+＝4，故答案为：4．14．解：∵三角形的三边长分别为2，3，4，p＝（a+b+c），∴p＝×（2+3+4）＝，∵面积S可用公式来求，∴S＝＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题，满分64分）15．解：＝3﹣1﹣+＝3﹣1﹣+2＝4﹣．16．解：原式＝（3﹣）×﹣（4+4+5）＝2×2﹣4﹣4﹣5＝4﹣4﹣4﹣5＝﹣9．17．解：（1）＝＝；（2）＝＝＝﹣．18．解：（1）△ABC的周长为++＝3+2+5＝8+2；（2）∵△ABC是直角三角形，∴AB•BC＝AC•BD，∴BD＝＝＝．19．解：（1）＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，∴m2＝7，∴m＝；（3）＝﹣1+﹣+﹣+•+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．20．解：（1）原式＝×（+++…+）＝×（﹣1）＝10＝5；（2）①∵a＝，∴4a2﹣8a+1＝4×﹣8×（1）+1＝5；②a3﹣3a2+a+1＝﹣3+（）+1＝7+5﹣（9）++1+1＝0；2a2﹣5a++2＝2×++2＝2；故答案为：0，2．。

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册1.3节的内容，主要包括二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式的混合运算。

这部分内容是学生学习二次根式知识的重要环节，也是进一步学习函数、方程等数学知识的基础。

教材内容通过实例引入，引导学生探究二次根式的运算规律，从而掌握二次根式的运算方法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数的基本概念，以及整式的加减乘除运算。

但二次根式的运算相对于整式运算，具有更大的复杂性，需要学生克服恐惧心理，勇于探究和尝试。

同时，学生需要理解二次根式的运算规律，将已有的整式运算经验迁移到二次根式运算中。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规则，掌握二次根式的混合运算方法。

2.能够正确进行二次根式的运算，并解决实际问题。

3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减运算规则。

2.二次根式的乘除运算规则。

3.二次根式混合运算的顺序和技巧。

五. 教学方法1.实例引入：通过具体的二次根式运算实例，引导学生观察和总结二次根式的运算规律。

2.小组合作：学生进行小组讨论和实践，培养学生的合作意识和团队精神。

3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生在实践中掌握二次根式的运算方法。

4.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励学生自主发现和纠正错误。

六. 教学准备1.PPT课件：制作含有实例、练习题的PPT课件，方便学生直观地理解和掌握二次根式的运算方法。

2.练习题：准备一定数量的练习题，用于学生在课堂上的练习和巩固。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，方便板书和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的二次根式运算实例，引导学生进入学习状态，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式混合运算的顺序和技巧。

人教版初中数学八下

人教版初中数学八下第1章：二次根式1.1 二次根式的概念•二次根式：形如√a (a ≥ 0) 的式子，其中a称为被开方数。

1.2 二次根式的性质•√a^2 = |a| (a为任意实数)•√ab = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)•(√a)^2 = a (a ≥ 0)1.3 二次根式的运算•加减运算：先将根式化为最简形式，再合并同类二次根式。

•乘除运算：利用二次根式的性质进行计算。

第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念•一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

2.2 一元二次方程的解法•直接开平方法•配方法•公式法：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)•因式分解法2.3 一元二次方程的应用•应用于实际问题，如面积、速度、价格等。

第3章：旋转3.1 旋转的概念•旋转：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换。

3.2 旋转的性质•对应点到旋转中心的距离相等。

•对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

•旋转前、后的图形全等。

第4章：圆4.1 圆的概念•圆：平面上所有与定点距离等于定长的点的集合。

定点称为圆心，定长称为半径。

4.2 圆的性质•圆的对称性•圆的切线垂直于过切点的半径•垂径定理及其推论4.3 圆的弧、弦、圆心角•弧、弦、圆心角的关系•圆周角定理及其推论4.4 圆的计算•圆的周长= 2πr•圆的面积= πr^2第5章：数据的分析5.1 数据的代表•平均数、中位数、众数5.2 数据的波动•方差、标准差5.3 统计图的选择与绘制•条形图、折线图、扇形图等以上是人教版初中数学八年级下册的主要章节和内容概述。

具体的笔记内容还需要结合教材和教师授课内容来整理，建议你在学习过程中及时记录重要概念、定理、公式以及解题方法，并定期复习，巩固所学知识。

专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）；即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。

（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是；的平方根是．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是，9的平方根是，－27的立方根是。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2，主要讲述了二次根式的加减乘除运算方法。

这部分内容是中学数学中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

通过本节课的学习，学生能够掌握二次根式的基本运算方法，为后续学习更高级的数学知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对于数学运算有一定的认识。

但二次根式的运算相对于其他运算更为复杂，需要学生能够灵活运用已知知识，进行推理和计算。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答疑问。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，能够熟练地进行二次根式的运算。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算方法。

2.难点：如何引导学生理解和掌握二次根式运算的规律，以及如何将实际问题转化为二次根式运算问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式运算，使学生能够直观地理解二次根式的实际意义。

2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式运算的规律，培养学生的观察能力和推理能力。

3.小组合作法：学生在小组内进行讨论交流，共同解决二次根式运算问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便于展示和讲解二次根式的运算方法。

2.练习题：准备一些二次根式运算的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式运算的概念，例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的加减乘除运算方法，引导学生观察和总结运算规律。

二次根式第3课时课件

二次根混合运算的顺序
我们知道实数的混合运算顺序为：先算乘方和开方，再
算乘法和除法，最后算加减；同级运算按从左到右的顺
序依次运算；有括号的先算括号内的，再算括号外的.
二次根式的混合运算顺序为和实数的运算顺序一样.
教学过程——新知探究
第二章实数
知识点2 二次根式混合运算的运算法则
加法法则、乘法法则及乘法公式

(−
)

.
= −
(5)原式 = ( ) − × + ( )
= − .
教学过程——典例精析
第二章实数
听一听
典例2 计算：

−
−
− 273

解：原式 =
− − ( − )
= − − + ).
教学过程——学以致用
第二章实数
做一做
1. 使式子 − 有意义的的取值范围是（ D ）
A．＞2
B．≥﹣2
C．＜2
D． ≥ 2.
2. 若 + 是整数，则能取的最小整数为（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若 = − + − − ，则|﹣|的值是（ C ）
A．-1-
B． −1
C． +
D．1-
教学过程——学以致用
做一做
4.视察下列等式：
第1个等式： =

= − ，
+

第2个等式： =
= −
+

第3个等式： =
= − ，
+2

二次根式的化简与运算

二次根式的化简与运算二次根式是数学中常见的一类表达式，它可以通过化简和运算来得到简化形式。

在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、二次根式的化简方法二次根式通常以√a的形式出现，其中a是非负实数。

下面我们介绍几种常见的二次根式化简方法。

1. 提取因子法当二次根式内部存在可以被完全开方的因子时，我们可以使用提取因子法进行化简。

例如，对于√12，我们可以提取出其中的公因子4，得到2√3。

2. 合并同类项法如果多个二次根式具有相同的根号内部表达式，我们可以通过合并同类项来简化它们。

例如，对于√2 + √8，我们可以合并为√2 + 2√2，然后化简为3√2。

3. 有理化分母法当二次根式的分母为根号时，我们需要对其进行有理化分母。

具体做法是将根号内部的表达式乘上一个合适的因式，使得分母变为有理数。

例如，对于1/√3，我们可以乘以√3/√3，得到√3/3。

二、二次根式的运算方法除了化简，我们还可以进行二次根式的运算，包括加减乘除。

下面我们将分别介绍这些运算的方法。

1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，即将具有相同根号内部表达式的项合并在一起。

然后，根据需要进行化简，得到最简形式。

例如，对于√2 + 2√2，我们可以合并为3√2。

2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，然后化简得到最简形式。

例如，(2√3)(3√3) = 6√9 = 6×3 = 18。

3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将一个二次根式除以另一个二次根式，然后化简得到最简形式。

例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2。

三、例题演练为了更好地理解和掌握二次根式的化简与运算，我们来解决一些例题。

1. 化简√27并写成最简形式。

解：我们可以应用提取因子法，将27分解为3×3×3。

然后，提取其中的完全平方数因子，得到√(3×3×3) = 3√3。

浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算(三)

1．3 二次根式的运算(三)(第1题)1．如图，长方形内相邻两正方形的面积分别是2和6，那么长方形内阴影部分的面积是2(结果保留根号)．2．在平面直角坐标系中，点P(3，1)到原点的距离是__2__．3．如图，一道斜坡的坡比为1∶8，已知AC＝16m，则斜坡AB的长为(第3题)4．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称．若A，B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是(第4题)5．已知x＝1－2，y＝1＋2，则x2＋y2－xy－2x＋2y的值为【解】∵x＝1－2，y＝1＋2，∴x－y＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy＝(1－2)(1＋2)＝1－2＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.6．已知一次函数y＝x＋b的图象与x轴，y轴的交点分别为A，B，△OAB的周长为2＋2(O 为坐标原点)，求b的值．【解】易知一次函数y＝x＋b的图象分别交x轴，y轴于点A(－b，0)，B(0，b)，∴OA＝|b|＝OB，∴AB＝2|b|，∴|b|＋|b|＋2|b|＝2＋2，(2＋2)|b|＝2＋2，∴|b|＝1，∴b＝±1.(第7题)7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，AB＝26，CD＝ 3.求四边形ABCD的面积．【解】延长AD，BC交于点E.∵∠B＝45°，∠A＝90°，∴∠B ＝∠E ＝45°，∴AE ＝AB ＝2 6.同理，CE ＝CD ＝3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝12×(26)2－12×(3)2＝12－32＝212.(第8题)8．如图，∠B ＝90°，点P 从点B 开始沿射线BA 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 也从点B 开始沿射线BC 以2cm/s 的速度移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35cm 2？此时PQ 的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)【解】设x (s)后△PBQ 的面积为35cm 2，则PB ＝x ，BQ ＝2x . 由题意，得12x ·2x ＝35，解得x 1＝35，x 2＝－35(不合题意，舍去)．∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝x 2＋4x 2＝5x 2＝5×35＝57(cm)．答：35 s 后△PBQ 的面积为35cm 2，此时PQ 的长为57 cm.9．在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为(5＋23) cm ，斜边上的中线CD ＝2 cm ，则Rt △ABC 的面积为43－34cm 2. 【解】在△ABC 中，∵∠C ＝90°，斜边上的中线CD ＝2 cm ， ∴斜边c 的长为4 cm ， ∴两直角边的和为a ＋b ＝5＋23－4＝(1＋23)cm.∵a 2＋b 2＝c 2＝16，(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， ∴2ab ＝(1＋23)2－16＝43－3， ∴Rt △ABC 的面积＝ab 2＝43－34(cm 2)．10．已知x ＝2＋12，则代数式4x 4＋4x 3－9x 2－2x ＋1的值为__1__．【解】 ∵x ＝2＋12，∴2x －1＝2，∴4x 2－4x ＋1＝2，∴4x 2－4x ＝1. 原式＝4x 4－4x 3＋8x 3－8x 2－x 2－2x ＋1＝x 2(4x 2－4x )＋2x (4x 2－4x )－x 2－2x ＋1 ＝x 2＋2x －x 2－2x ＋1＝1.11．已知△ABC 的三边长分别为x ，y ，z .有下列结论： ①以x ，y ，z 为三边长的三角形一定存在．②以x 2，y 2，z 2为三边长的三角形一定存在．③以12(x ＋y )，12(y ＋z )，12(z ＋x )为三边长的三角形一定存在．④以|x －y |＋1，|y －z |＋1，|z －x |＋1为三边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】不妨设x ≤y ≤z ，则必有x ＋y ＞z . ①x ＋y >x ＋y >z ，故此结论正确．②设x ＝3，y ＝4，z ＝5，则x 2，y 2，z 2构不成三角形，故此结论不正确．③12(x ＋y )≤12(z ＋x )≤12(y ＋z )，12(x ＋y )＋12(z ＋x )＝x ＋12(y ＋z )>12(y ＋z )，故此结论正确． ④|x －y |＋1＋|y －z |＋1＝y －x ＋1＋z －y ＋1＝z －x ＋2＞z －x ＋1＝|z －x |＋1，故此结论正确．综上所述，①③④正确．12．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 在BD 两侧作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连结AC ，EC .已知AB ＝5，DE ＝9，BD ＝8，设CD ＝x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长．(2)请问：点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？ (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值．(第12题)(第12题解)【解】(1)AC＋CE＝（8－x）2＋25＋x2＋81.(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如解图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，构成Rt△AEF，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值为13.(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，已知点M 0的坐标为(1，0)，将线段OM 0绕原点O 沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；将线段OM 1绕原点O 沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2……如此下去，得到线段OM 3，OM 4，…，OM n .(1)写出点M 5的坐标． (2)求△M 5OM 6的周长．(3)我们规定：把点M n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n ，纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|x n |，|y n |)称之为点M n 的“绝对坐标”．根据图中点M n 的分布规律，请你猜想点M n 的“绝对坐标”，并写出来．【解】 (1)点M 5(－4，－4)． (2)△M 5OM 6的周长＝42＋42＋8＝82＋8.(3)设k 为自然数，当n ＝4k 时，M n 的绝对坐标为(2n2，0)；当n ＝4k ＋2时，M n 的绝对坐标为(0，2n2)；当n ＝4k ＋1或4k ＋3时，M n 的绝对坐标为(2n －12，2n －12)．(第14题)14．如图，B 地在A 地的正东方向，两地相距282 km.A ，B 两地之间有一条东北走向的高速公路，且A ，B 两地到这条高速公路的距离相等．某日8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A 地的正南方向P 处，至8：20，测得该车在B 地的西北方向Q 处，该段高速公路限速为110 km/h.问：该车是否超速行驶？【解】过点A 作AD ⊥PQ 于点D ，设PQ 与AB 交于点C . 由题意知，∠CBQ ＝45°，∠ACP ＝∠BCQ ＝45°，∴∠CQB ＝90°，即BQ ⊥CQ .∵A ，B 两地到公路的距离相等，∴AD ＝BQ . ∴△ACD ≌△BCQ . ∴AC ＝BC ＝14 2.∵∠APC ＝45°，∴AD ＝PD ＝CD ＝CQ ＝BQ ＝14. ∴PQ ＝42.∴该车的速度为42÷2060＝126(km/h)>110 km/h ，∴该车超速行驶．初中数学试卷。

八下数学书浙教版答案

八下数学书浙教版答案【篇一：2015.春八年级下册数学作业本答案(浙教版)】4.1 多边形合作学习：发现：拼成一个周角.四边形的内角和等于360?.课内练习：1. ?d?100?.2. 由已知可得?d??c?180?，得ad//bc.3. 能.因为四边形的内角和等于360?，而且这四个四边形全等，所以能拼成如图形状，即组成一幅镶嵌图.作业题：1. 40?，80?，120?，120?.2. ???109?，???56?.3. ?b?97.5?，?d?82.5?.4. (1) ab//cd，ad//bc.(2) ?a??c?120?，?b??d?60?.5. 在四边形abcd中，∵ ?a??c?90?，∴ ?abc??adc?360??90??90??180?（四边形四个内角的和等于360?）. ∵ be，df分别是?abc，?adc的平分线，∴ ?abe??cbe，?adf??fdc，∴ ?ebc??fdc?90?，又∵ ?ebc??bec?90?∴ ?fdc??bec.∴ be//df.合作学习：课内练习：1. 四边形.2. 1440?，360?.3. 七边形.作业题：1. 12.2. 六边形.3. ?efg?100?，?fgc?110?，?c?90?，?che?150?，?hef?90?.?b1??b2??b3??b4??b5?36?.5. 12.6. 44.4.2 一平行四边形及其性质合作学习：(1)使两条对应边重合，而对应顶点不重合. 3个.(2)由两个三角形全等可得对应角相等，则拼成的四边形的两组对边分别平行，所以拼成的四边形是平行四边形.(3)平行四边形的对角相等，对边相等.1. ?b?125?，?c?55?，?d?125?.2. 在□abcd中，?c??a，ad?bc（平行四边形对角、对边分别相等），由be?bc，得?c??ceb.ad?be.又cd//ab（平行四边形的定义），∴ ?abe??ceb，∴ ?a??c??abe.作业题：1. 略.2. 一组对边长为6cm，另一组对边长为4cm.3. 40?,140?,40?,140?.4. 135?，22?.5. 在□abcd中，ab//dc（平行四边形的定义），∴?bae??dcf.∴ab?dc（平行四边形的对边相等），?aeb??cfd?rt?（已知）.∴rt?aebrt?cfd，∴be?df.6. 是平行四边形.证明：在□abcd中，?dab??dcb（平行四边形的对角相等），dc//ab（平行四边形的定义）.∴?ecf??cfb.∵ae，cf分别是?dab，?dcb的平分线，∴?dae??eaf，?ecf??fcb.∴?eaf??cfb，∴ae//cf.∴四边形afce是平行四边形.1. (1)2. (2)1.2. 设ab与cd之间的距离为d1，ad与bc之间的距离为d2，则ab?d1?ad?d2，∴d1ad1??. d2ab2探究活动：?abc1，?abc2，?abc3，?abc4它们ab边上的高都等于l1与l2之间的距离，所以它们的面积相等.(1)改法如图：连结bd，作cc1//bd，延长ad交cc1于c1.连结bc1.?abc1就是所求的三角形.（作法不唯一）(2)改法如图：连bd，作cc1//bd，四边形abc1d就是所求的梯形或平等四边形. （作法不唯一）. dc1//ab，交cc1于c1，则s?dbc?s?dbc1.作业题：1. 26.2. 如图.3. (1)由已知得?abc??dcb?60?，∴ ab//cd.同理可得ac//bd，∴四边形abcd为平行四边形（平行四边形的定义）.(2)均为3cm.4. 10.5. ∵ ab//dc，∴ ?cfb??abf??cbf，∴ cf?cb?ad?5（cm）.同理，de?ad?5（cm）.∴ ef?df?cf?dc?5?5?8?2（cm）.6. 改直方案如下图：cm//ae，dn//bf.am，bn为改直后道路的两条边沿.课内练习：1. 78mm.2. 没有，因为长为7cm，10cm，18cm的三条线段不能组成三角形.3. ∵ ao?co，bo?do（平行四边形的对角线互相平分），又∵e，f分别是oa，oc的中点，∴ eo?of.又∵?aob??cod，∴?obe≌?odf.作业题：1. (1)4对，它们是：?aob与?cod，?aod与?cob，?abc与?cda，【篇三：浙教版数学八下第一章习题答案】.1 二次根式课内练习：1. (1)x?1.(2)x为任何实数.(3)x0.(4)x?0.2. (1)625t2?2500.(2)90.14千米.作业题：1. (1)a?0.1. 21(3)a?. 3(2)a?2. 1.3. a2?2.432,2.63米. 44. (1)2. (2)2. (3)6.5. x=?3.6. (1)t=h. 5(2)3.3秒1.2 二次根式的性质合作学习：2,2；5，5；0,0；a2?|a|，a,-a.课内练习：1. (1)1,3，1，4.(2)-a.2. (1)0.(2)24.3. 3. 13作业题：2. 4.3. (1)3.(3)2a.4. (1)原式= (2)? (2)2. 71. 5412???1 727 4141??1??. 7272 =(2)3.5. 原式=?2?2?1 =2?1?2?1=22.6. (1)x2?y2.(2)3.课内练习：1. (1)10.2. (1)(2)0.07. (3)15. 3116. (3). . (2)524 2.3. (1). (2) 15作业题：1. (1)10. (2)28. (3)122.2. (1)110. (2)14. (3)1100.3. (1)3. (2)55.4. 2cm5. (1) . (2). (3)213.6. 5.7. (1)略.(2)满足条件的三角形如下图.1.3 二次根式的运算课内练习：1. (1)6. (2)10. (3)1. (4)62.2. (1)15642. (2)103. (3)5.3. 126.作业题：1. (1)12. (2)2. (3)22. (4)6000.2. (1)5. (2)4. (3)2. (4)20.3. (1)26.4. (2)7. 21. 25. 2?.6. x=?.课内练习：1. .2. (1)?6.3. (1)2.(2)3?185. 5(3)?2?26. (2)95?.4. bc=.△abc的周长为52?，面积为2.作业题：1. (1)1045. 25(2)6. (3)26. 3(3)?4?. 2. (1)?4. (2)30?. 3. 原式=?a?2a?2?1.当a?2时，原式=-1.4. bc边上的高线长为，△abc的面积为221.5. m.6. a2?ab?b2??a?b??ab. 2当a??，b??时，原式?227.???2?2???2?9. ?2?6?2?6?2.1. ?2课内练习：1. 12m. 52. 约14.86m.作业题：1. (1)2. 8.3. 由3. 2(2)6. de475?，de?50，得ae?(m) ae3212522∴ ad?ae?ed?(m) 2cf1?，cf?de?50，得由fb2fb?100(m)，∴ bc?cf2?fb2?(m).∴大坝的周长ad?dc?bc?ab?125?75??30????30?100?2?2??260??371.80(m);大坝的截面面积s??dc?ab??de2?4937.5(m2).4. oa?22abob?ab,, 22∴oa?ab?ob?∴ab?2?1ab?60, ?60?24.9(km). 2?15. 比较如图两种剪法，设ac?bc?a。

八年级数学上册 16.3 二次根式的运算(3)分母有理化教

分母有理化课题16.3（3）分母有理化设计依据（注：只在开始新章节教学课必填）教材章节分析：学生学情分析：课型新授课教学目标1、知道有理化因式的概念，知道分母有理化并掌握分母有理化的方法2、经历比较、分析等数学活动过程，体会分母有理化就是实施二次根式的除法；3、通过交流不同算法，提高学生思维的灵活性。

4、通过对不同方法的比较、讨论, 提高解题能力，培养学生规范、简洁、准确解答的良好学习习惯。

重点明确分母有理化的含意；利用分母有理化进行除式为一个根式的除法运算。

难点找出有理化因式，如何采用简洁的方法进行分母有理化教学准备多媒体教学学生活动形式讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图课题引入：一、复习：1、计算：知识呈现：二、新授|：1、?622、试一试请把ba32中的分母b3作为3b。

3、例1 计算：4、例题3 解下列方程和不等式：5、把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

三、巩固练习：1、将下列各式分母有理化：2、讨论：如何将下列各式分母有理化：4、解下列方程和关于X的不等式：课堂小结：四、本课小结：分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的）：课外练习册P:9~10 习题16.3（3）作业16.3(4) 混合运算预习要求。

1.3二次根式的运算(1,2,3)

1.3 二次根式的运算（1）【要点预习】1.二次根式的运算法则：(1)____(0,0)a b ≥≥； (2)____(0,0).a b =≥>【课前热身】1. = . 答案：92. .3.,则此长方形的面积是 .答案：4.(2008广州中考的倒数是 .【讲练互动】【例1】计算：.解：(1)原式=(2)原式.(3)原式20. 【绿色通道】二次根式乘除运算的一般步骤：一是运用法则，化归为根号内的实数运算；二是完成要根号内相乘、相除（约分）等运算；三是化简二次根式. 【变式训练】 1. 计算：；.答案：(1)(2)；(3)(4)○【例2】若一个等边三角形的高为，求此等边三角形的面积.分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故要求面积的关键是求等边三角形的边长，这可在△ABD中由勾股定理可求得.解：如图，AD是等边△ABC的一条高，且AD=设等边△ABC的边长为x cm，则BD=CD=12x cm.∵AB2=BD2+AD2，∴(22212x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴23244x=，x2=32，∵x>0，∴x=∴S△ABC=12⨯=【黑色陷阱】注意当题中没有预定精确度的要求时，最后结果可用化简的二次根式表示. 【变式训练】2.如图, Rt△ABC中,∠ACB=90°, BCAC=求斜边AB上的高CD.解：∵∠ACB=90°, ∴AB2=AC2+BC2=(2227+=.∵AB>0，∴AB=.∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD，∴AC BCCDAB⋅===【黑色陷阱】【同步测控】基础自测○1.(2007淮安中考)）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：4DCBADCBA2. 的结果是……………………………………………………………（）A. B. 答案：B3. 下列各式，计算正确的是…………………………………………………………………（）A .= B.=C.=D. 答案：C4.(2007厦门中考)= .5.如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm.答案：6.方程0+的解是 .答案：x =7.计算：；； (4).答案：；(2)(3)(4)8.cm ，下底是上底的2，求这个梯形的面积(精确到0.1cm 2)．解：S =12=cm 2. 能力提升9.,则此直角三角形的面积是……（）A.2B.4C.8D.解析：=于是可得此直角三角形2=. 答案：A10. (2007青岛中考)1-＝ .解析：原式11211 -==-=.答案：111.不等式>的解是 .解析：不等式两边同除以x<=--.答案：x<-○12.==后，认为它们是一样的. 因此他认为一个化简过程：==2=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说理由.==成立的前提是必须满足a≥0且b>0，而本题在化简过程都不符合这一前提，故化简不对.解：不对.等都无意义.创新应用○13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组41==①②的两个根，求这个等腰三角形的面积.分析：先利用加减消元法求得x，y的值，然后分x为腰长、y为底边及x为底边、y为腰长两种情况进行讨论，最后利用勾股定理分别求得两种情况下的等腰三角形底边上的高的长，进而求得这等腰三角形的面积.解：①+②，得x 5，∴x=①-②，得3=，∴y ==..===∴S 12=S 12=.1.3 二次根式的运算（2）【要点预习】1.二次根式的运算法则：整式运算的均适用于二次根式的运算.二次根式的加减运算实质是把合并.【课前热身】1.）A.±B.C.D.12答案：B2.（2007_________．答案：11＝_______．3. 计算：)答案：2【讲练互动】【例1】先化简，再求出近似值. (精确到0.01)=≈.解：原式 5.20【绿色通道】可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样.【变式训练】1.的结果是………………………………………………………( )Ｂ.1 C.Ｄ.答案：A【例2】计算:(2).解：(1)原式.(2)原式2121+-=. 【绿色通道】二次根式的四则混合运算的次序是先乘除，后加减；同时运算律同样适用于二次根式的计算. 【变式训练】 2.计算：(1) (2)答案：1. 【例3】计算：(1) ； (2) 22-.解：(1)原式=6612-=-.(2)原式=()()20502050+--=【绿色通道】多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式相乘. 【变式训练】 3.计算：(1)(5⎛+ ⎝； (2) .答案：(1)(2)5-【同步测控】基础自测1.(2007威海中考)下列计算正确的是………………………………………………………（）4=D.(11+-=答案：C2.(2007荆门中考)下列计算错误．．的是………………………………………………………( )= = D.3= 答案：D3. (2007绍兴中考)下列计算正确的是………………………………………………………( )= 答案：A4.（2007 ．5. (2007黄冈中考)计算：2)= . 答案：16. (2007十堰中考)计算：21)＝_________________.答案：3-7. (2007宜昌中考)的结果是 .答案：8.计算：；； (3)(2007温州中考021)(1)+-；(4)-⋅ (5) (1+.答案：(1)-1；(3)(4)18-；(5)能力提升9. (2007临汾中考)的结果是………………………………（） A. 6 B.34 C.632+ D.12解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝(12== 答案：D10. 计算)211+的结果是………………………………………………………（）＋1 B.)31C.1D.-1解析：原式=))1111⎡⎤=⎣⎦.答案：A11. (2008烟台中考)已知2,2a b ==） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 解析：原式5.答案：C12. (2007桂林中考)规定运算：()a b a b *=-，其中a、b为实数，则)3+.333+=. 答案：3○13. (2008徐州中考) 已知21,23.x x x =--求的值解：原式=)22(1)41141x --=--=-. ○14.2-=.2=2=，x =创新应用○15. 阅读下列解题过程2==.==请回答下列问题(1)______________________.(2)利用上面所提供的解法,请化简：+.(3)不计算近似值,试比较与-的大小, 并说明理由. 分析：对于(1)，注意到1==(2)，可依次取n =2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.解：(2))119-+++⋅⋅⋅+===；=<,<, .1.3 二次根式的运算（3）【要点预习】1.二次根式的应用：在日常生活和生产实践中，在解决一些问题,尤其是涉及边长计算的问题时，经常用到及其运算.【课前热身】1. 下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（）A.=3C.=3- 答案：B2. 在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠,记,,.AB c BC a AC b === (1)若:b a =则:a c = ；(2)若:3,b c c == a = .答案：2；(2)【讲练互动】【例1】一铁路路基的横断面是梯形ABCD ,如图,已知AD =BC ,CD =8m,路基的高度DE =6m,斜坡BC的坡比是求路基下底宽AB 的长度(精确到0.1m). 解：作CF ⊥AB 于F , 则CF=DE =6m. ∵ i BC=CF BF =∴BF=在Rt △ADE 中, AD=BC , DE=CF , ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF , ∴AE=BF=m. ∵EF=CD=8m, ∴AB=(8)m.【绿色通道】坡比是坡的垂直高度与水平宽度的比值. 有关坡比问题，往往通过作梯形的两条高（这两条高相等），将问题转化为解两个直角三角形和一个长方形的问题来解. 【变式训练】1. 水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长 (结果精确到0.01). 答案：198.07mFE DCBA【例2】如图，B 地在A 地的正东方向，两地相距282km ，A ，B 两地之间有一条东北走向的高速公路，A ，B 两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8:00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A 地的正南方向P 处．至上午8:20，B 地发现该车在它的西北方向Q 处，该段高速公路限速为110km ／h ，问该车有否超速行驶?分析：要判断汽车有否超速，必须求出汽车在PQ 路段的速度，由于该路段行驶时间已知为20分钟，故只需求出PQ 的长即可，亦即求出PC 和CQ 的长即可，这可分别通过△APC 和△BCQ 来求得.解：由题意, 得∠ACP =∠BCQ =45°,∠B =45°,AP ⊥AB , 则 △ APC 和△BCQ 均为等腰直角三角形.又AC=BC=12AB=142km. ∴PC =228AC =km, PQ =142=km, ∴PQ =42km.∴V =12613PQ=km/h. ∴超速行驶. 【变式训练】2. 从一张斜边为30cm 等腰直角三角形的纸板中剪一个尽可能大的正方形，某同学分别给出了两种不同的剪法,但他不知道这两种剪法哪个正方形的面积大?你能通过计算帮他解决这个问题吗?分析：只需求出这两个正方形的边长即可，图甲中正方形的边长显然是以斜边的一半即15cm 为斜边的等腰直角三角形的直角边的长；图乙中正方形的边长显然为斜边长的三分之一，即10cm.解：S 1=2225222= ⎪⎝⎭；S 2=2301003⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴S 1>S 2.【同步测控】基础自测1. 一个正方形鱼池的边长是6cm,另一个正方形鱼池的面积比第一个大45cm 2,则另一个鱼池的边长为……………………………………………………………………………………（）FE D CBAQPCBAA.8B.9C.10D.11 答案：B2. 如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了…………………（） A.41米 B.41米 C.3米 D.9米答案：B3. 在一道坡比为1∶7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离为10米，则这两棵小树的高度差为 …………………………………………………………………………………( ) A.2米 B.2米 C.5米 D.5米答案：B4. (2007莱芜中考)王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，这时王英同学离A 地的距离是……………………………………（） A. 150m B.503m C.100m D.1003m答案：D5. 一个等腰三角形的腰长为10，底上的高为3，则底为 . 答案：276. 若10的整数部分是x ,小数部分是y ,则22x y -的值为 . 答案：61010-7. (2007辽宁中考)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．答案：(2)n8.某村兴修水利,要挖一条深为1米,上口宽为1.5米的灌水渠道.如图是渠道横断面的示意图.已知渠道两侧内坡的坡比均为2∶1.AB CD EFG(1)求渠道内坡AB 和渠道底面宽BC 的长;(2)已知渠道总长为500米,求挖出的土石方是多少立方米? 答案：(1)0.55m, BC =0.5m ；(2)500立方米. 能力提升 ○9.若16x x +=，0＜x ＜1，则1x x-的值是……………………………………（） A ．2- B ．－2C ．±2D ．±2解析：()222114642x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0＜x ＜1，故1x x <，即12x x-=-. 答案：A10. (2007苏州中考)如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积. 然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是…………………（） A.931()44⨯ B.1031()44⨯ C.931()42⨯ D.1031()42⨯ 解析：边长为1的正△A 1B 1C 1的面积为2211311224⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2后，易证得△A 1B 2C 2≌△A 2B 1C 2≌△A 2B 2C 1≌△A 2B 2C 2，故△A 2B 2C 2的面积为△A 1B 1C 1的面积的14，即3144⨯，同理，△A 3B 3C 3的面积为△A 2B 2C 2的面积的14，即△A 1B 1C 1的面积的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，亦即23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，以此类推，△A n B n C n 的面积为△A 1B 1C 1的面积的114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即13144n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.当n =10时，即得正△A 10B 10C 10的面积. 答案：C11. (2007佳木斯中考)如图，等腰直角△ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰，做第一个等腰直角△ADE ；再以所做的第一个等腰直角△ADE 的斜边上的高AF 为腰，做第二个等腰直角△AFG ；……以此类推，这样所做的第n 个等腰直角三角形的腰长为．AB CEFG解析：由于等腰直角三角形中直角边是斜边的22=，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的2倍，以此类推，便可求得第n 个等腰直角三角形的腰长.答案：2n⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC =45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.分析：本题即求森林公园中心A 点到公路BC 的距离AH 与300米的半径的大小关系. 解：作AH ⊥BC 于H . 设AH=x m.∵∠ABC =45°，∠ACB =30°，∴BH=x m, CH =3x m. ∵BC =1000m, ∴31000x x +=, ∴31x =+≈366m>300m, ∴不会穿过该森林公园.○14. (2007宁夏中考)如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC △的三个顶点在格点上，求ABC △中AB 边上的高．分析：要求AB 边上的高，只需求出△ABC 的面积和AB 边的长即可.解：∵S △ABC =1115332311232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∴AB 边上的高=252422ABC S AB ==△.创新应用14. 如图，自卸车车厢的一个侧面是长方形ABCD ，AB =3米，BC =0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度为45°，问此时车厢的最高点A 距离地面多少米（精确到0.01米）？分析：作AP ⊥CE 于P ， DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q 后，车厢的最高点A 距离地面即为AQ ，PQ (DF )，1.2米三线段的和.解：作AP ⊥CE 于P ，DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q .ABC∵∠DCE=45°，∴∠DAQ=45°.∴AQ=DQ=22=m，PQ=DF=3222=m.∴AP=23722 2.4824+=≈m.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

二次根式深度理解-概述说明以及解释

二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。

它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。

二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。

二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。

例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。

本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。

在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。

然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。

最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。

通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。

二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。

2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。

具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。

2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。

2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。