2019高考二轮练习——浙江各地11年试题分类大汇编第3部分函数与导数1

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2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx

专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1，将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增，则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增，令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。

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2011-2019 新课标文科高考《函数与导数》分类汇编一、选择题【 2019 新课标 1 】 3．已知 a log 2 0.2,b 20.2, c 0.20.3，则（）A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a【答案】 B】 5．函数 f(x)= sin x【 2019 新课标 1x 在[ —π，π ] 的图像大致为cos xx2A ．B ．C ．D ．【答案】 D【 2019 新课标 2 】6．设 f(x) 为奇函数，且当 x ≥0时， f(x)= e x1，则当 x<0时， f(x)= （）A ． ex1B ． ex1C ． ex1D ． ex1【答案】 D【 2019 新课标 2 】10 ．曲线 y=2sinx+cosx 在点 ( π，– 1) 处的切线方程为（）A ． x y1 0B ． 2x y 2 1 0C ． 2x y 2 1 0D ． x y1 0【答案】 Ce xln在点 1, ae【 2019 新课标 3】 7. 已知曲线处的切线方程为 y2 xb ，则（）yaxxA. a e, b1B. ae,b1C. ae 1,b 1D. a e 1, b1【答案】 D【详解】详解：y/aexln x1, k = y /|x=1 = ae+ 1= 2a = e- 1将 (1,1) 代入 y2 xb 得 2 b1,b1 ，故选 D ．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要 “慢 ”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．【 2019 新课标 3】 12. 设 fx 是定义域为R 的偶函数，且在0,单调递减，则（）132123A. ff 22f 23B. ff 23f 22log 5log 841413223C. f22f 23flog 5D. f23f22f log 5441【答案】 C【详解】fx是 R 的偶函数，flog 3 1f log 3 4．423，又 f x2 3log 3 41在 (0，+∞) 单调递减，f log 3 4f 2 3f 2 2，22321f log 3，故选 C ．f 22f 234【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．【 2018 新课标 1 】6．设函数f ( x)x 3 ( a 1)x 2ax . 若 f ( x) 为奇函数，则曲线y f (x) 在点 (0,0)处的切线方程为（）A ． y2x B ． yxC ． y 2 xD ． y x【答案】 D【 2018 新课标】 12 ．设函数 f (x)x≤2 , x则满足 f (x 1) f (2 x)的 x 的取值范围是（）0,1, x0,A ．( ,1]B ． (0, )C ． ( 1,0)D ． (,0)【答案】 D【 2018 新课标 2 】3．函数f (x)e xe x的图象大致为（）x 2【答案】 B【 2018 新课标 2 】12 ．已知 f ( x)是定义域为( ,) 的奇函数，满足 f (1x) f (1 x) ．若 f)1( 2，则（）A ．50B．0C．2D．50【答案】 C【 2018 新课标 3 】7．下列函数中，其图像与函数y ln x 的图像关于直线x 1 对称的是（）A ．y ln 1xB ．y ln 2x C．y ln 1x D ．y ln 2x【答案】 B2【 2018 新课标 3 】9．函数 yx 4 x 22 的图像大致为（）【答案】 D【 2017 新课标 1 】9．已知函数 f (x)lnxln(2x) ，则（C ）A ． f (x) 在（ 0,2 ）单调递增B ． f (x) 在（ 0,2 ）单调递减C ． y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称D ． y= f (x) 的图像关于点（1,0）对称【 2017 新课标 2 】8. 函数 f ( x) ln( x22x8) 的单调递增区间是（D ）A.(- ,-2)B. (- ,-1)C.(1, +) D.(4,+)【解析】由x 2﹣ 2x ﹣ 8＞ 0 得： x ∈（﹣ ∞，﹣ 2）∪（ 4， +∞），令 t=x 2﹣ 2x ﹣ 8，则 y=lnt ，∵ x ∈（﹣ ∞，﹣ 2 ）时， t=x 2﹣ 2x ﹣ 8 为减函数；x ∈（ 4 ，+∞）时， t=x 2﹣2x﹣ 8 为增函数； y=lnt 为增函数，故函数 f （ x ） =ln （ x 2﹣ 2x ﹣8）的单调递增区间是（4 ， +∞），故选： D ．【 2017 新课标 3 】7. 函数 y 1x的部分图像大致为（x sin 2D ）xB ．C ．D ．【新课标】已知函数() 22( x1x1)2017 3 12. fxxxa ee有唯一零点，则 a（）1B11D 1A3C22【解析】'() 22( x1e x 1)0 ，得1fxxa ex即 x1 为函数的极值点，故f (1)则 122a0 ， a12【 2016 新课标 1 】（ 8）若 a>b>0 ， 0<c<1 ，则（ B）（A ） log a b c ccc （ D ） c ab c<logc （ B ） log a<log b （ C ） a <b >c【 2016 新课标 1 】（ 9）函数 y=2x 2–e|x|在 [–2,2] 的图像大致为（D ）A. B. C.D.31【2016 新课标 1】（ 12 ）若函数 f ( x)x -sin2 x a sin x 在,单调递增，则 a 的取值范围是（ C）31（C ）11（D ）1（ A ）1,1（B ）1,,1,3333y=10lgx【 2016 新课标 2】10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ D）（ A ） y=x（ B ） y=lg x（ C ） y=2x（ D ） y1x【解析】 y10lg xx ，定义域与值域均为0,，只有 D 满足，故选D ．【 2016 新课标 2】12. 已知函数 f(x) （ x ∈R ）满足 f(x)=f(2-x) ，若函数 y=|x 2-2x-3|与 y=f(x) 图像的交点为（ x 1 ,y 1）， (x 2 2m,y )， ?，（ x ,ymm ），则x i= （B）i 1(A)0(B) m(C) 2m(D) 4 m1 对称，当 m| x 2【解析】因为 yf ( x), y 2 x 3| 都关于 x 1 对称，所以它们交点也关于x 为偶数时，其和为2mm ，当 m 为奇数时，其和为2m 1 1 m ，因此选 B. 22421【 2016 新课标 3 】（ 7 ）已知 a 23, b33, c25 3，则（ A）(A)b<a<c(B) a<b<c(C) b<c<a(D) c<a<b【 2016 新课标 3】（ 4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 .图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃， B 点表示四月的平均最低气温约为5℃ .下面叙述不正确的是（D ）（ A ）各月的平均最低气温都在0℃以上（ B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（ C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（ D）平均最高气温高于20 ℃的月份有 5 个【 2015 新课标 1】（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=(A) 7531（ A）-（B）-（C）-（D）-4444【 2015新课标 1】（ 12）设函数 y=f （ x）的图像关于直线y=-x 对称，且f（ -2 ） +f （ -4） =1 ，则a= （C）（ A）-1（B）1（C）2（D ）411) 成立的x的取 1 + x 2【 2015新课标 2 】12.设函数 f ( x) = ln(1 + x ) -，则使得 f ( x) > f (2x -值范围是（A）41B. (,1(1,)1111A. ( ,1)) C. (, ) D.(,)( ,)333333[解析 ]因为函数f ( x)ln(1x )12 ,是偶函数，x[ 0,)时函数是增函数1x(2x 1)2,解得1f ( x) f ( 2x 1)x2x1,x 2x 1. 故选A.3【 2015 新课标 2 】11. 如图，长方形的边AB=2 ， BC=1,O 是 AB 的中点，点P 沿着边 BC,CD, 与 DA 运动，记∠ BOP=x，将动点P 到 A,B 两点的距离之和表示为函数 f （x），则 f(x) 的图像大致为（B）P C DxO B AY Y YY2222O π π3 ππX O π π3π ππ π 3ππXπ π3ππXO O2X 42442424444 A B C D[解析 ]如图，当点P 在 BC 上时，∵DBOP= x,PB= tan x,PA= 4 + tan2 x ,PA+ PB= tan x + 4 + tan2 x , 当 x时取得最大值1 5 ，以A,B为焦点C,D为椭圆上两4定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 1 5 .又函数 f ( x)不是一次函数，故选B.【 2014 新课标 1 】5. 设函数 f (x), g( x) 的定义域为R ，且f (x)是奇函数，g (x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（C）A. f (x)g ( x)是偶函数B. | f ( x) | g( x)是奇函数C. f ( x) | g( x) |是奇函数D. | f ( x) g (x) |是奇函数【参考答案】：设 F ( x) f ( x) g ( x)，则 F ( x)f( x) g( x) ，∵f ( x)是奇函数，g( x) 是偶函数，∴ F (x) f (x) g(x) F ( x) ，F ( x)为奇函数，选 C.【解题方法】：①把四个选项逐一分析，②利用性质f ( x) 奇， | f ( x) | 为偶，奇奇 =偶，奇偶 =奇。

浙江省2019届高考数学总复习专题03 导数优质考卷分项解析

专题03 导数一．基础题组1。

【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】设为正数，，若在区间不大于0，则的取值范围是( ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求导得到函数在区间递增，只要满足就可以算出结果【详解】【点睛】运用导数求得函数的单调性,然后满足题意列出不等式即可算出结果，本题较为基础。

2。

【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数，则函数的最小的极值点为___________;若将的极值点从小到大排列形成的数列记为，则数列的通项公式为______。

【答案】或【解析】【分析】求导后令导函数等于零求出最小极值点，结合三角函数的零点分类求出数列的通项公式【详解】，或，显然数列的，当为偶数时，当为奇数时，综上所述,【点睛】本题考查了含有三角函数的极值问题,运用导数求导后结合三角函数的周期性求出极值，按照要求分类讨论出极值点的通项，还是需要探究出其规律。

3.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（）A．是的极大值点B．是的极小值点C．不是的极值点D．是的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看,在上,为增函数，在上,是减函数，故可判断为的极小值点．点睛：函数的极值刻画了函数局部性质,它可以理解为函数图像具有“局部最低"的特性,用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．4。

．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】函数的图象大致是（ ) A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函数的零点个数,排除错误答案即可【详解】【点睛】本题主要考查了函数的图像，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案5。

【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：先转化为，再转化为，再求g（x)的最大值得解.详解：原不等式可以化为，设f(x）=,所以,所以只有a+4〉0，才能有恒成立.此时，设g(x)=所以所以故答案为：A点睛:（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2)解答本题的关键有两点，其一是原不等式可以化为，求，其二是设g(x)=求g（x)的最大值。

2019版高考数学(浙江专用)二轮复习(优编增分)：专题五函数与导数规范答题示例8Word版含答案

典例8 (15分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图求f ′(x )―――――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给3分；(4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给3分；(5)通过分类讨论得出a 的范围，给3分．跟踪演练8 (2018·天津)已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2lnln a ln a；(3)证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线． (1)解由已知得h (x )＝a x －x ln a ，则h ′(x )＝a x ln a －ln a ．令h ′(x )＝0，解得x ＝0. 由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：所以函数h (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)证明由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为1xa ln a . 由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，所以有1xa ln a ＝1x 2ln a ，即x 21xa (ln a )2＝1，两边取以a 为底的对数，得 log a x 2＋x 1＋2log a ln a ＝0，所以x 1＋g (x 2)＝－2lnln aln a.(3)证明曲线y ＝f (x )在点(x 1，1xa )处的切线为l 1：y －1xa ＝1xa ln a ·(x －x 1)．曲线y ＝g (x )在点(x 2，log a x 2)处的切线为l 2：y －log a x 2＝1x 2ln a(x －x 2)．要证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线，只需证明当a ≥1ee 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得l 1与l 2重合．即只需证明当a ≥1ee 时，下面的方程组有解⎩⎨⎧1x a ln a ＝1x 2ln a ， ①1x a－x 11x a ln a ＝log a x 2－1ln a，②由①得，x 2＝11x a (ln a )2，代入②，得1x a －x 11xa ln a ＋x 1＋1ln a ＋2lnln a ln a＝0.③因此，只需证明当a ≥1ee 时，关于x 1的方程③存在实数解．设函数u (x )＝a x －xa x ln a ＋x ＋1ln a ＋2lnln a ln a，即要证明a ≥1ee 时，函数u (x )存在零点．u ′(x )＝1－(ln a )2xa x ，可知当x ∈(－∞，0)时，u ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，u ′(x )单调递减，又u ′(0)＝1>0，u ′⎝⎛⎭⎫1(ln a )2＝1－()1ln a a <0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u ′(x 0)＝0，即1－(ln a )2x 00xa ＝0.由此可得u (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． u (x )在x ＝x 0处取得极大值u (x 0)．因为a ≥1ee ，所以lnln a ≥－1，所以u (x 0)＝0x a －x 00xa ln a ＋x 0＋1ln a ＋2lnln a ln a＝1x 0(ln a )2＋x 0＋2lnln a ln a ≥2＋2lnln aln a ≥0.下面证明存在实数t ，使得u (t )<0. 由(1)可得a x ≥1＋x ln a ，当x >1ln a 时，有u (x )≤(1＋x ln a )(1－x ln a )＋x ＋1ln a ＋2lnln a ln a ＝－(ln a )2x 2＋x ＋1＋1ln a ＋2lnln aln a，所以存在实数t ，使得u (t )<0.因此当a ≥1ee 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，使得u (x 1)＝0.所以当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线.。

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2011 年— 2019 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数一、选择题（ 2019·4） 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1M 2(R r )M 1.设r 的值(R r ) 2r 23，由于RR很小，因此在近似计算中333 453 3 ，则 r 的近似值为(1)2A ．M2RB ．M 2 RM 12M 1C ． 3 3M 2 RD ． 3M 2 RM 13M 1（ 2019·6）若 a>b ，则A ． ln(a- b)>0B ． 3a <3bC ．a 3- b 3>0D ． │a │ >b ││（2019·12）设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x 1)2 f (x) ，且当 x (0,1] 时，f (x)x(x 1) ．若对任意 x ( , m] ，都有 f ( x)8，则 m 的取值范围是9A ．,9B ．,743C ．,5D ．,823（2018·3）函数 e x e xf ( x)2的图象大致为x（2018·11）已知f (x) 是定域 ( ,) 的奇函数，足f (1 x) f (1 x) ．若 f (1)2 ，f (1) f (2) f (3) Lf (50)A ． 50B ． 0C ． 2D ． 50（2017·11）若 x2 是函数 f ( x) ( x 2 ax1)e x 1` 的极点， f ( x) 的极小（）A. 1B. 2e 3C. 5e 3D.1（ 2016·12）已知函数f ( x)( x R ) 足 f ( x)2 f (x) ，若函数 yx 1与 yf (x) 像的x交点 ( x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，⋯， ( x m , y m ) ，m( x i y i )（）i 1A ． 0B ．mC ． 2mD ．4m（2015·5）函数 f ( x)1 log2 (2x) ( x1) 2) f (l og 2 12) （）2x1( x， f (1)A ． 3B ． 6C ．9D ． 12（ 2015·10）如，方形 ABCD 的 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着 BC ，CD 与DA 运， ∠ BOP=x. 的像大致（将点 P 到 A ， B 两点距离之和表示 x 的函数 f （ x ）， f （ x ））A ．B ．C ．D ．（ 2015·12）函数f ( x) 是奇函数f (x)(xR) 的函数， f (1)0 ，当x>0，xf ( x)f (x)0 ，使得f (x) >0 成立的x 的取范是（）A ． ( , 1) U (0,1)B ． (1,0)U (1, )C ． (, 1)U ( 1,0)D ． (0,1)U (1,)（ 2014·8）设曲线 y=ax- ln(x+1)在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x ，则 a=（）A ． 0B ． 1C ．2D ． 3（2014·12）设函数 f ( x)3 sinx，若存在 f (x) 的极值点 x 0 满足 x 02[ f ( x 0 )] 2 m 2 ，则mm 的取值范围是（）A ． ( , 6) U (6,+ )B ． (, 4) U (4,+ )C ．( , 2) U (2,+)D ． (, 1)U (4,+)（2013·8）设 a log 3 6 ， b log 5 10 ， c log 7 14 ，则（）A. c b aB. b c aC. a c bD. a b c（2013·10）已知函数 f (x)32bxc ，下列结论中错误的是（）xaxA. x 0R, f (x 0 )B. 函数 y f (x) 的图像是中心对称图形C. 若 x 0 是 f ( x) 的极小值点，则 f (x) 在区间 ( , x 0 ) 单调递减D. 若 x 0 是 f ( x) 的极值点，则f ( x 0 ) 0（2012·10）已知函数 f ( x)1，则 yf ( x) 的图像大致为（）ln( x 1)xy y y y 1111o 1xo 1xo 1xo 1xA.B.C.D.（2012·12）设点 P 在曲线 y1 e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A. 1 ln 2B.2 (1 ln 2)C. 1 ln 2D. 2(1 ln 2)（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在（ 0，+ ））x 2单调递增的函数是（． y x 3 ． y | x | 1 ． y 1 ． y 2 |x|A B CD（2011·9）由曲线 yx ，直线 y x2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）A ．10B ． 4C ．16D ． 633（2011·12）函数 y1 的图像与函数 y2sin x,( 2 x4) 的图像所有交点的横坐标之x 1和等于（）A ． 2B ． 4C ．6D ． 8二、填空题（· ）已知 f ( x) 是奇函数，且当 x 0时，ax8 ，则 a2019 14f (x)e . 若 f (ln 2)__________．（2018·13）曲线 y 2ln( x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________ ．（2014·15）已知偶函数 f (x)在[0, +∞)单调递减， f (2)=0. 若 f (x- 1)>0，则 x 的取值范围是_________.（2016·16）若直线 y = kx+b 是曲线 y = lnx+2 的切线，也是曲线 y = ln(x+1)的切线，则 b =.三、解答题（2019·20）已知函数x1 f x ln x.x 1（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（ 2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y e x的切线 .（2018·21）已知函数 f (x)e x ax2 ．（ 1）若 a 1 ，证明：当x ≥ 0时， f ( x) ≥ 1；（ 2）若 f(x) 在 (0, )只有一个零点，求 a ．（2017·21）已知函数f ( x)ax2ax x ln x, 且 f (x)0 .（ 1）求 a；（ 2）证明：f ( x)存在唯一的极大值点x0，且 e 2 f (x0 ) 2 2.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数f (x)x 2 e x的单调性，并证明当 x >0时，( x 2) e x x 2 0 ；x2e x ax a( x 0)有最小值 .设 g (x)的最小值为h( a) ，（Ⅱ）证明：当 a [0,1) 时，函数 g( x)=x2求函数 h( a) 的值域.（2015·21）设函数 f (x) e mx x2mx .（Ⅰ）证明： f (x)在（ - ∞， 0）单调递减，在（0， +∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意 x1,， x2∈ [- 1，1]，都有｜ f(x1)- f (x2)｜≤e- 1，求 m 的取值范围．（2014·21）已知函数 f (x)e x e x2x .（Ⅰ）讨论 f ( x)的单调性；（Ⅱ）设 g ( x) f (2 x)4bf (x) ，当x0 时，g( x)0 ，求b的最大值；（Ⅲ）已知 1.41422 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到0.001） .（2013·21）已知函数 f (x)e x ln( x m) .（Ⅰ）设 x0 是 f (x) 的极值点，求m ，并讨论 f ( x)的单调性；（Ⅱ）当 m 2 时，证明 f (x)0 .x 112（2012·21）已知函数f ( x) f (1)e f (0) x x .（Ⅰ）求 f (x) 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若 f (x) 1 x2ax b ，求 (a1)b 的最大值.2（ 2011·21）已知函数f ( x)a ln x b，曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为x 1 xx 2 y 30 .（Ⅰ）求a、 b 的值；（Ⅱ）如果当 x0 ，且 x 1 时， f (x)ln x k，求 k 的取值范围 .x 1x。

2019年高考数学(理)真题汇编：专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．e,1a b ==-B ．e,1a b ==C ．1e 1,a b -==D ．1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈，函数3()f x ax x =-，若存在R t ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f （x ）=e x+a e −x（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；2.设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性；2.是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间；2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时，证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭；3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点，其中N n ∈，证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数．1.若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；2.若,a b b c ≠=，且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；3.若0,01,1a b c =<≤=，且()f x 的极大值为M ，求证:427M ≤． 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：详解：'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2答案及解析：答案：D解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．3答案及解析：答案：C解析：首先(0)0f ≥，即0a ≥，当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x =，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点，故max()()g x g e e ==，所以a e ≤。

2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版文档：第三章

基础巩固题组一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D3．(2018·舟山质检)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C4．(2018·宁波调研)曲线y ＝sin x 在x ＝0处的切线的倾斜角是( ) A.π2 B.π3C.π6D.π4解析 y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1.∵α∈[0，π)，∴α＝π4. 答案 D5．若函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数为f ′(x )，则函数y ＝f ′(x )的图象大致为( )解析由题意得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，则f ′(x )为偶函数，排除选项A ，又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上f ′(x )<0，排除选项B ，C ，故选D. 答案 D6．(2018·北京东城区调研)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题7．(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，∴x ＞0时，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝08．(2018·台州调考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为__________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________．解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0.答案 3 3x －y －3＝09．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为__________．解析 f ′(x )＝g ′(x )＋2x .∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4. 答案 410．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案 (1，1) 三、解答题11．(2018·南京月考)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 2·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组13．(2018·萧山月考)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C. 答案 C14．(2018·绍兴一中适应性考试)已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，3e 2 解析令f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x ，而f (x )＝kx ＋1与y ＝|ln x |的图象在(0，1)上一定有1个交点，那么根据题目条件只需f (x )＝kx ＋1，y ＝ln x 在(1，e 3)上有2个交点即可，作函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 的图象如下，设两者相切于点(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1a ，b ＝ln a ，b ＝ka ＋1，解得k ＝1e 2，且对数函数g (x )＝ln x 的增长速度越来越慢，直线f (x )＝kx ＋1过定点(0，1)，方程|ln x |＝kx ＋1中取x ＝e 3得k ＝2e 3，则2e 3＜k ＜1e 2，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2.答案 C15．(2016·全国Ⅱ卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 216．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.17．如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k－1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e xk ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.。

2019版高考数学(浙江专用)二轮复习(优编增分)：专题五函数与导数规范答题示例9Word版含答案

典例9 (15分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知f (x )min＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1―→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1―→构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1―→研究g (t )的单调性―→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件―→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练9 (2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a >2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．(2)证明由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a >2. 由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2，则x 2>1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0.设函数g (x )＝1x－x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0. 所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——8.函数与导数

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编8．函数与导数一、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理3)已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<(2019·全国卷Ⅰ，理5)函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为（） A ．B ．C ．D ．(2019·全国卷Ⅱ，理6)若a b >，则（）A ．ln()0a b ->B ．33a b <C ．330a b ->D ．a b >(2019·全国卷Ⅱ，理12)设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线ln xy ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2019·全国卷Ⅲ，理7) 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ． (2019·全国卷Ⅲ，理11)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>(2018·新课标Ⅰ，理5)设函数()32(1)f x x a x ax =+-+，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =(2018·新课标Ⅰ，理9)已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，（2018·新课标Ⅱ，3）函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）（2018·新课标Ⅱ，10）若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．2πB ．2π C ．34π D ．π（2018·新课标Ⅱ，11）已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（） A ．50-B ．0C ．2D ．50（2018·新课标Ⅲ，理7）函数422y x x =-++的图像大致为（）（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+（2017·新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[2,2]- B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]（2017·新课标Ⅰ，11）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z （2017·新课标Ⅱ，11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 （2017·新课标Ⅲ，11）已知函数()()2112ee x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．12-B ．13C ．12D ．1（2016·新课标Ⅰ，7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（）C ．D ．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <（2016·新课标Ⅱ，12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2016·新课标Ⅲ，6）已知4213332,3,25a b c ===，则（）A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<（2015·新课标Ⅰ，12）设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2015·新课标Ⅱ，5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12（2015·新课标Ⅱ，10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）A．B．C．D．（2015·新课标Ⅱ，12）设函数()f x'是奇函数()()f x x R∈的导函数，(1)0f-=，当x>0时，()()0xf x f x'-<，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)-∞-B．(1,0)(1,)-+∞C．(,1)(1,0)-∞--D．(0,1)(1,)+∞（2014·新课标Ⅰ，3）设函数()f x，()g x的定义域都为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()f x()g x是偶函数B.|()f x|()g x是奇函数C.()f x|()g x|是奇函数D.|()f x()g x|是奇函数（2014·新课标Ⅰ，11）已知函数()f x=3231ax x-+，若()f x存在唯一的零点x，且x＞0，则a的取值范围为（）A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）（2014·新课标Ⅱ，8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3（2014·新课标Ⅱ，12）设函数()3xf xmπ=，若存在()f x的极值点x满足22200[()]x f x m+<，则m 的取值范围是（）A．(,6)(6,+)-∞-∞B．(,4)(4,+)-∞-∞C．(,2)(2,+)-∞-∞D．(,1)(4,+)-∞-∞（2013·新课标Ⅰ，11）已知函数f(x)＝220ln(1)0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]（2013·新课标Ⅱ，8）设3log6a=，5log10b=，7log14c=，则（）A.c b a>> B.b c a>> C.a c b>> D.a b c>>（2013·新课标Ⅱ，10）已知函数32()f x x ax bx c=+++，下列结论中错误的是（）A.00,()0x f x∃∈=RB.函数()y f x =的图像是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= （2012·新课标Ⅰ，10）已知函数1()ln(1)f x x=+，则()y f x =的图像大致为（）（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（） A ．3y x = (B) 1y x =+ C ．21y x =-+ (D) 2xy -=（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 （2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理13)曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．(2019·全国卷Ⅱ，理14)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e a x f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．（2018·新课标Ⅱ，理13）曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．（2018·新课标Ⅲ，理14）曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．（2017·新课标Ⅲ，15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，，，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是________.（2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = . （2016·新课标Ⅲ，15）已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处A ．B ．D ．的切线方程是______（2015·新课标Ⅰ，13）若函数f (x )=x ln （x a =（2014·新课标Ⅱ，15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. （2013·新课标Ⅰ，16）若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为_____．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数()11ln x f x x x -=-+．（1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线e xy =的切线．(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数32()2f x x ax b =-+．（1）讨论f (x )的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．（2018·新课标I ，理21）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.（2018·新课标Ⅱ，理21）已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞，只有一个零点，求a ．（2018·新课标Ⅲ，理21）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（2017·新课标Ⅰ，21）已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2017·新课标Ⅲ，）21.已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1，求m 最小值.（2016·新课标Ⅰ，12）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．（2016·新课标Ⅱ，21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.（2015·新课标Ⅰ，12）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.（2016·新课标Ⅲ，21）设函数()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+，其中0a >，记()f x 的最大值为A .(1)求()'f x ；(2)求A ；(3)证明：()'2f x A ≤.（Ⅰ）证明：f (x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤ e-1，求m的取值范围．（2014·新课标Ⅰ，21）设函数1(0lnxxbef x ae xx-=+，曲线()y f x=在点（1，(1)f处的切线为(1)2y e x=-+.(Ⅰ)求,a b；（Ⅱ）证明：()1f x>.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.（2013·新课标Ⅰ，理21）设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，21）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．（1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编8．函数与导数（解析版）一、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理3)已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 解析：2log 0.20a =<；0.221b =>，0.300.21c <=<，得a c b <<. (2019·全国卷Ⅰ，理5)函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 解析：因为()2(sin )()cos x x f x f x x x -+-==-+故函数为奇函数，排除A ；又2()01f πππ=>-，排除B ，C 。

2011-2019高考数学函数与导数分类汇编(理)

2011-2019新课标高考《函数与导数》分类汇编一、选择题【2019新课标1】3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．【2019新课标1】5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为（） A.B.C. D.【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．【2019新课标2】4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。

实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。

设地球的质量为，月球质量为，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程121223()()M M M R r R r r R +=++。

高考数学全国卷2011-2019导数分类汇编(文科)

高考数学全国卷2011-2019导数分类汇编（文科）【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，f (x )>ln xx -1【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

（2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2(2ln x -x 2-1x )，考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='，所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得，从而当，且时，.【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间（2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值【解析】（1）f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)(1)x x k x x e +<+>-①.令1()(1)x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)xx x x x xe e e x g x e e ----'=+=--. ln ()1x f x x >-ln ()1xf x x >-0x >1x ≠ln ()1xf x x >-由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈.当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．【解析】(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝x 2e －x . (1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x －t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝2x x+(x≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞]．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[223+，＋∞]．【2014新课标1】21．设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。

7.函数与导数(2011-2019高考数学全国二卷分类汇编)

2011年—2019年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数三、解答题（2019-20）已知函数()11ln x f x x x -=-+．（1）讨论f (x ）的单调性，并证明f (x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x ）的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0）处的切线也是曲线e x y =的切线．（2018-21）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求a ．（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax a g x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.41422 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. （2011·21）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围.。

2019年【浙江】高考数学(文)二轮：压轴大题突破练函数与导数(1)(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5压轴大题突破练——函数与导数(一)1． (20xx·北京)设l 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解由y ＝ln x x ，得y ′＝1－ln x x 2，x >0. ∴k ＝y ′|x ＝1＝1－ln 112＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)证明要证明，除切点(1,0)外，曲线C 在直线l 下方．只要证明，对∀x >0且x ≠1时，x －1>ln x x. 设f (x )＝x (x －1)－ln x ，x >0，则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x. 因此f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴f (x )>f (1)＝0，即x (x －1)>ln x .故当x >0且x ≠1时，x －1>ln x x成立．因此原命题成立．2．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a 3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a 3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a 3，此时f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )<0，得a 3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a 3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )，单调递增区间为(－∞，a 3)和(－a ，＋∞)．综上：当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3，＋∞)．当a <0时，f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )，单调递增区间为(－∞，a 3)和(－a ，＋∞)． (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2 ＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.当x 变化时，h∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，∴a ≥－2，∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．3．如图所示，四边形ABCD 表示一正方形空地，边长为30 m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 的距离分别为9 m ，3m.某广告公司在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9，线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解 (1)因为点P 到边AD ，AB 的距离分别为9 m,3 m ，所以由平面几何知识，得AM －3AM ＝9x，解得AM ＝3x x －9(10≤x ≤30)． (2)由勾股定理，得MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x 2(x －9)2. 因为MN ∶NE ＝16∶9，所以NE ＝916MN . 所以S ＝MN ·NE ＝916MN 2＝916⎣⎡⎦⎤x 2＋9x 2(x －9)2，定义域为[10,30]．(3)S ′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x (x －9)2－9x 2(2x －18)(x －9)4 ＝98·x [(x －9)3－81](x －9)3，令S ′＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝9＋333.当10≤x ≤9＋333时，S ′<0，S 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 为增函数．所以当x ＝9＋333时，S 取得最小值．4．已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求证：f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f (x )在[1，e]上的最小值．(1)证明当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝2(x 2－1)x>0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)解 f ′(x )＝2x 2－a x(x >0)，当x ∈[1，e]时，2x 2－a ∈[2－a,2e 2－a ]．若a ≤2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[1，e]上是增函数，又f (1)＝1，故函数f (x )在[1，e]上的最小值为1.若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[1，e]上是减函数，且最小值为e 2－a .若2<a <2e 2，则当1≤x < a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当 a 2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数．又f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2，所以f (x )在[1，e]上的最小值为a 2－a 2ln a 2；综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；当a≥2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a；当2<a<2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为a2－a2lna2.。

(浙江专版)2019版高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第十一节第二课时导数与函数的

∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增． ∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－ 4ln 2，无极大值．
(2)∵f′(x)＝a＋x2x，∴当 a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即 f(x)在 x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
C．12，＋∞
D．(0,1)
解析：∵y＝ex－2mx，∴y′＝ex－2m.
由题意知 ex－2m＝0 有小于 0 的实根，
所以 m＝12ex，且 x<0，∴0<12ex<12.
∴0<m<12.故选 B.
答案：B
[通法在握]
1．利用导数研究函数极值问题的一般流程
2．已知函数极值点或极值求参数的 2 个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
当 3 12<x≤1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增．
所以 f(x)有极小值点 x＝
3
1，但不存在极大值点． 2
角度三：已知函数极值情况求参数值(范围) 3．(2018·湖州期末)若函数 y＝ex－2mx 有小于零的极值点，则
实数 m 的取值范围是
()
A．－∞，12
B．0，12
[由题悟法]
利用导数研究函数零点、方程根的步骤 (1)求导，确定单调区间，求极值点； (2)画出草图； (3)数形结合，挖掘隐含条件，确定参数取值范围等．
[即时应用]
若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．

2019高考二轮练习——浙江各地11年试题分类大汇编第3部分函数与导数2

2019高考二轮练习——浙江各地11年试题分类大汇编第3部分函数与导数2【二】填空题：13、(浙江省温州市2017年高三第一次适应性测试理科)直线是曲线的一条切线，那么符合条件的一个的值为▲、13.【解析】,设切点为那么切线方程为，即与对比知，所以，，显然是其中一个满足的结果，所以15、(浙江省温州市2017年高三第一次适应性测试文科)某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40％、该公司预计2018年经营总收入要达到1690万元，且计划从2017年到2018年，每年经营总收入的年增长率相同，2017年预计经营总收入为▲万元、15.【解析】设每年经营总收入的年增长率为，那么12、(浙江省温州市2017年高三第一次适应性测试文科)根据表格中的数据，可以判定函数12.15、(浙江省宁波市2017年高三“十校联考”理科)关于的方程有且只有一个实根，那么实数的取值范围是.17、(浙江省宁波市2017年高三“十校联考”理科)，其导函数为，那么13、(浙江省台州市2017年高三调考理科)函数的定义域为.12、(浙江省嘉兴市2017届高三下学期教学测试二理科)假设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=)0()1()0(1)(2x x f x x x f ，那么=)25(f ▲、4514、(浙江省金华十校2017年高三模拟考试理科函数的图象关于对称，那么a 的值为4；15、(浙江省金华十校2017年高三模拟考试理科函数为奇函数，函数为偶函数，=-1；【三】解答题：22、(浙江省温州市2017年高三第一次适应性测试理科)〔此题总分值15分〕函数，假设存在使得恒成立，那么称是的一个“下界函数”、〔I 〕如果函数〔为实数〕为的一个“下界函数”，求的取值范围；〔II 〕设函数，试问函数是否存在零点，假设存在，求出零点个数；假设不存在，请说明理由、21、(浙江省温州市2017年高三第一次适应性测试文科)〔此题总分值15分〕函数，〔I〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔II〕在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围、21、【解析】〔I〕当时，，，………………2分曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为、……5分〔II〕解1：当，即时，，在上为增函数，故，所以，，这与矛盾……………8分当，即时，假设，；假设，，所以时，取最小值，因此有，即，解得，这与矛盾；………………11分当即时，，在上为减函数，所以，所以，解得，这符合、综上所述，的取值范围为、………………15分解2：有得：，………………7分设，，………………9分，，所以在上是减函数、………………12分，所以、………………15分22、(浙江省嘉兴市2017届高三下学期教学测试二理科)〔此题总分值15分〕设0>a ，ax x x f -=)(，)()(x f e x g x =〔其中e 是自然对数的底数〕，〔Ⅰ〕求证：曲线)(x f y =与)(x g y =在0=x 处有相同的切线；〔Ⅱ〕设函数)(x g 的极大值为)(t g ，是否存在整数m ，使m t g <)(恒成立？假设存在，那么求m 的最小值；假设不存在，那么说明理由、22、〔Ⅰ〕2)()('a x ax f --=，22)()()](')([)('a x e a ax x x f x f e x g xx ---=+=、…4分a f 1)0('-=，ag 1)0('-=、又0)0(=f ，0)0()0(==f g 、所以，曲线)(x f y =与)(x g y =在0=x 处有相同的切线a x y -=、…6分〔Ⅱ〕设a ax x x h --=2)(，那么042>+=∆a a ，方程0)(=x h 有两个不同实根1x ，2x 、〔事实上，2421a a a x +-=，2422a a a x ++=〕不妨设21x x <，因为0)(<-=a a h ，所以a x <1，a x >2、…8分 x )('x g )(x g所以1x t =，函数)(x g 的极大值是ax e x x g x -=1111)(、…12分又因为0)0(<-=a h ，01)1(>=-h ，所以011<<-x 、从而101<<x e ，1011<-<ax x 、〔事实上，1x ，2x 是02=--a ax x 的两根，所以021<-=a x x ，又21x x <，所以01<x ，从而就有101<<x e ，1011<-<ax x 〕所以1)(0<<t g 、因此，这样的整数m 存在，且m 的最小值为1、…15分22.(浙江省衢州市2017年4月高三教学质量检测理科)〔此题总分值15分〕函数.(I)求函数在上的最大值.(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，假设正常数满足.求证：.22、解：(Ⅰ)由得到：，，故在有唯一的极值点，，，，且知，所以最大值为、…………………6分(Ⅱ)，又有两个不等的实根，那么，两式相减得到:…………………8分于是，…………………10分要证：，只需证：只需证：①令，只需证：在*u上恒成立，又∵∵，那么，于是由可知，故知在*u上为增函数，那么，从而知，即①成立，从而原不等式成立.………15分。