关于两个单形的几何不等式及应用

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关于单形及内接单形的几何不等式及应用

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（．ｃｏｌｆｔｅａｉｌｃｎｅ，ｎｕＵｉｅｓｙｅｉ２００；．ｅａｔｅｔｆｔｅａｃ，１ＳｈｏｏＭａｍｔａＳｉｃｓＡｈｉｎｖｒｔ，Ｈｆ３６１２ＤｐｒｎｏｈｍｔｓｈｃｅｉｅｍＭａｉＨｆｏｌｎｖｒｔ，ｅｉ２００；．ｎｕｉｈａＵｉｅｉ，ｅｅ２０８，ｈｎ）ｅｉｒｉｓｙＨｆ３６１３ＡｈｉｎｕｎｒｔＨｆｉ３０８ＣｉａｅＮｍａＵｅｉｅＸｖｓｙ
关于单形及内接单形的几何不等式及应用
孙玉婷齐继兵杨世国，，，，２３
（．徽大学数学科学学院，肥１安合２００；．肥师范学院数学系，肥３６１２合合２０８）３０８２００；３６１３安徽新华学院，肥．合
摘要：运用代数方法和几何不等式理论，究了有关单形内点及其内接单形的极值问题，研建立了涉及单形及其
内接单形的外接球半径以及内点到侧面距离之间的几何不等式．为特例，著名的ｎ维Ｅｌ不等式作了新的作对ｕｅｒ
形的内接单形．的棱长为Ｐ＝ＡＡ，１≤ ｉ＜ ≤ 凡＋１，接球半径为尺．ｌＩ（）外
Ｒ ≥ ｎ２ｎＩ～ｎ－－ｒ

一个涉及两个单形的几何不等式

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联系两个高维单形的几何不等式定理

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安徽教育学院学报自然科学版
年第
期总挤期ຫໍສະໝຸດ 联系两个高维单形的几何不等式定理
杨世国
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不等式的解法与应用

不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了数值之间的大小关系。

解不等式是数学中的基本技能之一，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨不等式的解法和一些实际应用。

一、基本不等式的解法解不等式的方法可以分为两类：代数法和图像法。

代数法是通过代数运算来求解不等式。

以一元一次不等式为例，我们可以利用加减乘除的性质来推导出不等式的解集。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将等式2x + 3 = 7求解得到x = 2，然后根据不等式的性质，将x = 2代入原不等式，得到2 × 2 + 3 = 7，显然成立。

因此，不等式的解集为x > 2。

图像法是通过绘制不等式的图像来求解不等式。

以一元一次不等式为例，我们可以将不等式转化为方程，然后绘制出方程的图像。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将不等式转化为方程2x + 3 = 7，得到x = 2。

然后我们绘制出方程2x + 3= 7的图像，发现x > 2的部分对应的是图像上方的区域。

因此，不等式的解集为x > 2。

二、不等式的应用不等式在实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍不等式在经济学、物理学和生物学中的应用。

1. 经济学中的应用经济学中常常用不等式来描述供需关系、利润最大化等问题。

例如，在市场经济中，供应商希望以最高的价格卖出商品，而消费者希望以最低的价格购买商品。

这就形成了一个不等式的关系，供应商的期望价格大于等于消费者的期望价格。

通过解这个不等式，我们可以得到供需平衡的价格区间。

2. 物理学中的应用物理学中的许多问题可以用不等式来描述。

例如，运动物体的速度与位移之间的关系可以用不等式来表示。

根据物理学的定律，速度等于位移除以时间，因此可以得到不等式v ≥ s/t，其中v表示速度，s表示位移，t表示时间。

通过解这个不等式，我们可以得到速度的最小值。

3. 生物学中的应用生物学中的种群增长问题可以用不等式来描述。

2.4.1基本不等式及其应用

2
x2 3 x＋ 2
2
(1-6)
的最小值时，
y＝ x 2 2
1
2
x2 2
1 x＋ 2
2
2.
请问：这个同学的解答过程对吗？如果错误，请指出错在哪里？
答案：错在等号成立的条件不存在。注：1.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。积定和小。 2.不可忽视等号成立的条件。
导入一
目标与要求准备与导入探究与深化
导入二
练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
〔准备与导入一〕情景：有个农场经理雇一个小木工用竹子围建一个400平方米的长方形鸭舍，报酬从优。但经理要求必须用料最少，否则报酬减半。但小木工只有初中毕业，不知如何建。请问你能帮助他吗？
转化：设长方形的长和宽分别为a米和b米，周长为L米，则问题转化为求当ab=400时,求 L=2(a+b)的最小值 . 问题：如何求解呢？a+b和ab有什么关系呢？
2.4.1基本不等式及其应用
目标与要求准备与导入探究与深化
练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
教学目标
学习要求
目标与要求准备与导入探究与深化
练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
〔教学目标〕知识与技能
1. 掌握两个基本不等式，并能运用它们解决简单的问题。
2.理解两个不等式的几何意义，并能适当地变形运用它们。
x 1 x 1 x 1 x , 2 2
2 2 2
由x 1 x 2 , 得x
2 时, 等号成立. 2
所以，原代数式的最大值为1/2.
目标与要求准备与导入探究与深化
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不等式的求解与应用

不等式的求解与应用一、不等式的概念与性质1.不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”等不等号表示两个数之间大小关系的式子称为不等式。

2.不等式的性质：a)不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变；b)不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；c)不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

二、不等式的解法1.解一元一次不等式：a)去分母；b)合并同类项；c)化系数为1。

2.解不等式组：a)分别求出每个不等式的解集；b)确定不等式组的解集。

三、不等式的应用1.应用不等式解决实际问题：a)线性不等式问题；b)线性不等式组问题。

2.不等式在生活中的应用：a)合理安排时间；b)优化资源配置；c)制定合理的价格策略等。

四、不等式的拓展1.不等式的分类：a)线性不等式；b)非线性不等式。

2.不等式与其他数学概念的关系：a)不等式与函数的关系；b)不等式与方程的关系；c)不等式与数列的关系。

五、不等式的注意事项1.解不等式时要遵循“不等式两边同时加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变”的原则。

2.在解决实际问题时，要正确理解不等式的意义，将实际问题转化为不等式问题，从而求解。

3.注意不等式解集的表示方法，如用区间表示、用集合表示等。

以上是对不等式的求解与应用的知识点总结，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：一、不等式的概念与性质习题1：判断下列各式是否为不等式，若为不等式，请写出其正确的不等号。

a)3x + 2 = 7b)x^2 - 4 = 0c)不是不等式d)正确的不等号为：5 ≥ 2e)不是不等式f)正确的不等号为：7 > 4习题2：已知不等式 2x - 3 < 7，求 x 的取值范围。

将不等式两边加3得：2x < 10再将不等式两边除以2得：x < 5所以 x 的取值范围为：x < 5二、不等式的解法习题3：解一元一次不等式 3x + 4 > 7。

n维单形的两个不等式

n维单形的两个不等式
维单形是一个代数几何中最基本的概念。

它一般指在空间中由一组不等式定义的地方。

不等式可以是一元或多元函数，比如二次不等式、线性不等式等。

维单形的两个不等式是什么呢？
首先，维单形的两个不等式之一就是所谓的“线性不等式”。

线性不等式是指一元函数或多元函数的不等式。

比如，线性不等式可能是这样的形式：x+2y≤5，其中x和y分别表示两个变量。

另外，还有一种线性不等式，叫做“限制不等式”，它出现在非线性规划中，比如：x+2y≤5,x≥0,y≥0，其中x和y分别表示两个变量，并且有着两个限制条件。

第二，维单形的另一个不等式就是“二次不等式”。

它的定义是：x的二次方+y的二次方+……=c，其中x和y分别代表n个变量，c
是常量，比如：x2+y2≤25，其中，x和y表示两个变量，25是常量。

二次不等式的几何意义是指：圆形的面积被不等式所限制。

比如，x2+y2≤25，它描述的是一个圆形的面积被限制在25个单位内。

维单形的两个不等式是线性不等式和二次不等式。

维单形通常是表示n维数学空间的一种几何模型，也是很多应用中应用程序优化中常用的数学工具。

它可以用来解决优化问题，比如最小化或最大化给定的函数值，并可以帮助我们在实际应用中更加有效地求解给定的问题。

此外，维单形的两个不等式还可以用来表示有限集合的性质。

比如，用不等式定义的n维集合，它的性质可以表示为开集或闭集，也
可以用来表示无穷集合。

综上所述，维单形的两个不等式是用来描述许多数学模型的基本概念。

它们可以用来解决优化问题，也可以用来表示有限或无穷的集合的性质。

不等式、不式性质及简单应用

不等式、不等式性质及简单应用￡定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式￡性质;1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变． 2：当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；3：当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变．￡应用：一：用不等式表示1．x 与－3的和是负数．2．x 与5的和的28%不大于－6．3．m 除以4的商加上3至多为5．4．a 与b 两数和的平方不小于3．5．三角形的两边a 、b 的和大于第三边c ．6. x 与8的差的32不大于0．二：由实际问题题意列出某个量应满足的关系式： 1. 如图1－1，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆．图1－1（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm 2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积不小于100 cm 2,那么绳长l 应满足怎样的关系式？2. 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出她的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。

某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少生长多少年起树围才能超过2.4m ？3. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全的区域。

已知导火线每秒燃烧2㎝，人离开的速度为4m/s ，导火线的长x （㎝）应满足怎样的关系式？4. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天要完成的土方数x 应满足的不等式三：不等式的性质的简单应用：1. 用不等号填空1．x 为任意有理数，x －3________x －4．2．若a ＜0，b ＜0，则a ·b ________ab 2．3．若a ＜b ，则a +5________b +5．4．若a ＞b ，c ＜0，则a +c ________b +c ．5．若a ＞b ，则ac 2________bc 2．2. 同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a ＞4a ”，乙同学说：“这不可能”，请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为什么？举例说明．3. 已知a ＞0，b ＜0，且a +b ＜0，试将a ，－b ，－|a |，－|b |用“＜”号按从小到大的顺序连接起来．达标练习一、选择题1．a 是非负数的表达式为 _________．[ ]A ．a ＞0B ．｜a ｜≥0C ．a ＜0D ．a ≥02．若a ＜b ，下列式子正确的是 _________．[ ]A ．a +5＞b +5B ．3a ＞3bC ．－5a ＞－5bD ．3a ＞3b 二、填空题1．如果a ＜b ，那么a +5________b +5．2．a 与b 的和的31大于5,用不等式表示是______________． 3．若a ＞b ，要使ac ＜bc ，则c ____0。

基本不等式几何证明方法

基本不等式几何证明方法宝子，今天咱来唠唠基本不等式的几何证明方法，可有趣啦。

咱先说说基本不等式是啥哈，就是对于正实数a、b，有(a + b)/(2) ≥ √(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

那它的几何证明可形象了呢。

想象一个直角三角形，设直角边为a和b。

我们以a + b为边长构造一个正方形。

这个正方形的面积就是(a + b)^2。

然后呢，我们把这个正方形进行分割。

在这个正方形里，有四个直角三角形，每个直角三角形的直角边就是a和b。

那这四个直角三角形的面积总和就是4×(1)/(2)ab = 2ab。

中间还剩下一个小正方形，这个小正方形的边长就是a - b（假设a>b哈），它的面积就是(a - b)^2。

所以整个大正方形的面积(a + b)^2就等于四个直角三角形面积加上中间小正方形面积，也就是(a + b)^2=4×(1)/(2)ab+(a - b)^2。

化简一下就得到(a + b)^2≥4ab，两边同时除以4，就有((a + b)^2)/(4)≥ ab，再开个方，就得到(a + b)/(2) ≥ √(ab)啦。

你看，当中间小正方形面积为0的时候，也就是a = b的时候，这个等号就成立了呢。

就好像这个正方形被分割得特别规整的时候。

还有一种几何证明也很有意思哦。

我们画一个半圆，直径是a + b。

然后在直径上取一点，把直径分成a和b两段。

从这点作一条垂直于直径的弦。

根据圆的性质，这条弦长的一半就是√(ab)。

而半圆的半径就是(a + b)/(2)。

因为弦长的一半肯定小于等于半径呀，所以又一次证明了(a + b)/(2) ≥ √(ab)。

当这条弦刚好是直径的时候，也就是a = b的时候，等号就成立啦。

宝子，这么看基本不等式的几何证明是不是超级好理解，就像看一幅画一样，一下子就明白这个不等式为啥是成立的啦。

不等式的解法与应用

交通流量控制：利用不等式理论优化交通流量分配，提高道路通行效率。
资源分配问题：通过不等式模型合理分配有限资源，满足各方需求并实现公平性。
不等式与其他数学知识的联系
不等式与函数图像的关系
不等式与数列的联系
不等式在概率统计中的应用
不等式在几何学中的应用
THANKS
汇报人：XX
注意事项：在应用加法性质时，要确保不等式两边的数都是正数、负数或零，以避免出现错误的不等号方向。
乘法性质
定义：当两个正数相乘时，其乘积大于任何一个因数。
推论：当两个负数相乘时，其乘积小于任何一个因数。
应用：在解决不等式问题时，可以利用乘法性质进行变形和化简。
注意事项：在使用乘法性质时，需要注意不等号的方向是否发生变化。
购物优惠：利用不等式比较不同商家的价格，选择最优惠的进行购买。
投资理财：通过不等式分析不同投资方案的收益与风险，选择最优方案。
生产安排：在生产过程中，利用不等式合理安排生产计划，提高生产效率。
资源分配：根据不等式原理，合理分配资源，确保资源的有效利用。
Part Three
不等式的性质
传递性
注意事项：在应用传递性时需要注意前提条件，即a、b、c必须是同一种类型的不等式
定义：通过代数运算求解不等式的方法
步骤：移项、合并同类项、化简、求解
几何法
步骤：先画出不等式的图形，再根据图形判断解集
优点：直观易懂，易于理解
定义：通过图形直观表示不等式的解集
适用范围：适用于一次或二次不等式
三角函数法
参数法
定义：通过引入参数，将不等式转化为等式，再求解参数的值
步骤：设定参数、建立等式、求解参数、验证解的合理性
XX,a click to unlimited possibilities

用统一的代换证明两个著名的几何不等式

用统一的代换证明两个著名的几何不等式曹嘉兴【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2017(000)003【总页数】1页(P74)【作者】曹嘉兴【作者单位】浙江省开化县第二中学 324300【正文语种】中文在△ABC中，记各边长AB=c，BC=a，CA=b，半周长为p=(a+b+c)，面积为△.设(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，则a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c)=(2p-2c)(2p-2b)=4(p-b)(p-c)=4y，同理可得b2-(c-a)2=4(p-c)(p-a)=4z，c2-(a-b)2=4(p-a)(p-b)=4x.由海伦公式可得△=.下面就用统一的代换(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，给出两个著名的几何不等式的新证法.定理1 (Finsler―Hadwiger不等式)设△ABC的各边长分别为a、b、c，面积为△，则a2+b2+c2≥4△+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明设(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，则a2-(b-c)2=4y，b2-(c-a)2=4z，c2-(a-b)2=4x，△=.所以原不等式等价于⟺4y+4z+4x≥4⟺x+y+z≥⟺(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)⟺x2+y2+z2≥xy+yz+zx⟺故原不等式成立.由最后的不等式不难看出当且仅当x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c时，等号成立，故当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.定理2 (Tsintsifas不等式)设△ABC的各边长分别为a、b、c，它的面积为△，则ab+bc+ca≥4△，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明设(p-a)(p-b)=x，(p-b)(p-c)=y，(p-c)(p-a)=z，则a2-(b-c)2=4y，b2-(c-a)2=4z，c2-(a-b)2=4x，△=.不难验证等价于我们所熟知的不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca，故该不等式成立. 所以只要证明而该不等式又等价于4y+4z+4x≥4⟺x+y+z≥⟺(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)⟺x2+y2+z2≥xy+yz+zx⟺故原不等式成立.由最后的不等式不难看出当且仅当x=y=z，也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c时，等号成立，故当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.注由上述两个著名几何不等式的证明可以看出，把△ABC的面积写成△=的形式，其中x=(p-a)(p-b)，y=(p-b)(p-c)，z=(p-c)(p-a)，不仅结构对称，形式优美，而且还能简化计算(或证明)的过程，值得我们重视.。

涉及两个单形的几何不等式

涉及两个单形的几何不等式
杨世国;陈胜利
【期刊名称】《数学研究及应用》
【年(卷),期】2003(023)003
【摘要】本文建立了涉及两个单形一个几何不等式,并应用它得到单形的一些几何不等式.
【总页数】4页(P567-570)
【作者】杨世国;陈胜利
【作者单位】安徽教育学院数学系,安徽,合肥,230061;福建省南安市五星中学,福建,南安,362341
【正文语种】中文
【中图分类】O184
【相关文献】
1.涉及两个单形的几何不等式及应用 [J], 杨世国
2.一个涉及两个单形的几何不等式 [J], 苏化明;狄成恩
3.涉及单形外心的两个几何不等式 [J], 杨世国
4.涉及两个单形的一类几何不等式 [J], 杨世国;王佳
5.涉及单形的中线长的两个几何不等式 [J], 无
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不等式的应用与证明

不等式的应用与证明不等式作为数学中一个重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念，以及在实际问题中的应用和一些常见的证明方法。

一、不等式的基本概念不等式是数学中比较大小的一种关系，用不等号表示。

一般地，我们把形如f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)的关系式称为不等式，其中f(x)和g(x)可以是任意的函数表达式或数值。

不等式的解集是一组满足不等式的值的集合。

例如，对于不等式3x+2≥5，它的解集为{x|x≥1}，表示所有大于等于1的实数x都是这个不等式的解。

二、不等式在实际问题中的应用1. 利润分配问题假设某公司的总利润为P万元，要按照一定比例将利润分配给三个部门A、B和C。

已知部门A分得的利润为总利润的20%，部门B分得的利润比部门A多2万元，而部门C分得的利润比部门A少3万元。

问三个部门分得的利润各是多少？设部门A分得的利润为x万元，则部门B的利润为x+2万元，部门C的利润为x-3万元。

根据题意，我们可以列出不等式：x + (x+2) + (x-3) = P简化得到：3x - 1 = P这个不等式告诉我们，在给定总利润的情况下，部门A的利润是多少。

通过解这个不等式，我们就可以得到部门A、B和C的利润。

2. 几何问题不等式在几何问题中也有重要的应用。

例如，我们经常需要证明一些几何关系，比如某两角的大小关系或某两边的长度关系。

对于这些问题，可以利用不等式来进行证明。

例如，证明三角形中任意两边之和大于第三边这一定理。

假设三角形的三边分别为a、b和c，我们可以得到以下不等式：a +b > cb +c > aa + c > b通过这些不等式，我们可以得到任意两边之和大于第三边的结论，从而证明了这一定理。

三、不等式的证明方法1. 数学归纳法数学归纳法是常见的一种证明方法，适用于证明有序数集中的命题。

在利用数学归纳法证明不等式时，需要先证明基本情况成立，然后假设某一特定情况成立，再利用这个假设证明下一情况也成立。

专题几何不等式

专题几何不等式(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除专题：几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y 点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常着名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。

不等式(组)实际应用例析

不等式(组)实际应用例析
不等式（组）在日常生活和工作中有广泛的应用。

下面是一些常见的不等式（组）实际应用的例子：
•用不等式分析矩形的长宽关系：如果长大于宽，则长的平方大于长乘宽；如果宽大于长，则长的平方小于长乘宽。

•用不等式解决三角形面积的限制：如果三角形的两边之和大于第三边，则该三角形存在；如果三角形的两边之和小于第
三边，则该三角形不存在。

•用不等式解决线性规划问题：如果有多个变量，则可以用不等式来描述限制条件，并使用数学软件解决线性规划问题。

这些例子只是不等式（组）在实际应用中的一小部分，它还有很多其他应用，例如分析统计数据、判断函数单调性等。

高中数学两个经典不等式的应用(学生版).docx

高中数学两个经典不等式的应用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．1．对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e x>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用．考点一两个经典不等式的应用1．对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【例题选讲】[例1](1)已知对任意x，都有x e2x－ax－x≥1＋ln x，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝e x－ax－1，g(x)＝ln x－ax－1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)>0，则实数a的取值范围是________．[例2]函数f(x)＝ln(x＋1)－ax，g(x)＝1－e x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[例3]已知函数f(x)＝e x－a．(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－ln x>0恒成立，求整数a的最大值．[例4]已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－a ln x(a∈R)．(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋e x>x2＋x＋2．[例5]已知函数f(x)＝x－1－a ln x．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n．【对点训练】1．已知函数f(x)＝e x，x∈R．证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝1x2＋x＋1有唯一公共点．22．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝a e x－ln x－1．(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；(2)求证：当a＝1e时，f(x)≥0．3．(2020·山东)已知函数f(x)＝a e x－1－ln x＋ln a．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．4．已知函数f(x)＝a e x＋2x－1(其中常数e＝2．71828…是自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x＋a e)x．5．已知函数f(x)＝a ln x＋1(a∈R)．(1)若g(x)＝x－f(x)，讨论函数g(x)的单调性；(2)若t(x)＝1x2＋x，h(x)＝e x－1(其中e是自然对数的底数)，且a＝1，x∈(0，＋∞)，求证：2h(x)>t(x)>f(x)．6．已知函数f (x )＝kx －ln x －1(k >0)．(1)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值；(2)证明：当n ∈N *时，1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)．考点二经典不等式的变形不等式的应用【例题选讲】[例1]证明下列不等式(1)e x －1≥x ；(2)ln(x ＋1)≤x ；(3)x 1＋x <ln(1＋x )(x >0)；(4)e x －ln(x ＋2)>0．[例2](1)已知函数f (x )＝1ln(x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为()[例3]设函数f (x )＝ln x －x ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ．[例4]已知函数f (x )＝ln(1＋x )．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，x<f(x)<x；1＋x(2)已知e为自然对数的底数，证明：∀n∈N*，e<．【对点训练】1．已知函数f(x)＝ln x＋ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥2a－1a．2．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝x－1．(1)求F(x)＝g(x)－f(x)的单调区间和最值；(2)证明：对大于1的任意自然数n，都有12＋13＋14＋…＋1n＜ln n．。

2.4(1)基本不等式及其应用

2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab ba ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.二、新课讲授1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立.（1）基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+. 当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.朱实中黄实abc“弦图”的现代数学图示（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）.已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立.② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即()222222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+abM HFD ABC这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.我们把2ba +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为20a b +-=≥，所以ab ba ≥+2. 当a b =时，20=.当a b ≠时，20>.所以，当且仅当a b =时，ab ba ≥+2的等号成立. 另证：因为a 、b .由基本不等式1，得22+≥=号成立. 即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.例1 已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>ba .所以，22=⋅≥+baa b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式b a a b+的取值范围是什么？（2b a a b+≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为a 、b （a 、b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为2a b+. 矩形面积S ab =，正方形面积22a b S +⎛⎫'= ⎪⎝⎭由基本不等式2，得ab ba ≥+2，又由不等式的性质得222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即S S '≥.由题意，a b m +=（定值），所以2224m mS ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（定值）.当且仅当a b =，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.[说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若01x <<时，有()114x x -≤，当且仅当12x =时等号成立.（事实上，由()2211124y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时等号成立.）b中点CM'BM A BM三、课堂小结略四、作业布置1、练习2.4（1）2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释. （2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。

不等式的几何解释与公式的直接应用

基本不等式的解题规律与技巧————由基础到拔高一、基础知识1. 重要不等式：：a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；2.基本不等式：ab ≤a ＋b 2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b .22()24 22a b S a b S ab ab P a b ab P++=⇒==⇒+=(3)若（定值）若(定值)简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：设0b a <：a ≥√a 2+b 22⩾a+b 2⩾√ab ⩾2ab a+b =21a +1b≥b 二、基本不等式的两种几何解释（1）2222112a b ab a b a b +++（2）以a 为上底b 为下底作一梯形ABCD ,再作四条直线均平行于两底，分别交两腰于(1,2,3,4).i i A B i =其中11A B 平分梯形的面积，有 22112a b A B =+ 22A B 为中位线，有 222a b A B += 33A B 分梯形为两个相似的梯形，有33A B ab =44A B 过两对角线的交点，有44211A B a b =+有34421132CD AB A A B B A B A B <<<<<得2222211a a a b b b a a b b <<+<++<< 梯形变为平行四边形即a=b 时四条线段重合.三、解题规律技巧(1)公式的直接应用例1.求1x x+的最小值解：11112.2,1x x x x x x x x x+=+==⇔=±当时等号成立故1x x+的最小值为2. 例2.0,0a b >>证明：11()()4a b a b++ 证明：1112,2a b ab a b ab ++，所以111()()22 4.a b ab a b ab++⨯=当且仅当a=b时等号成立.222.,3, ,, 3,,4120,62 6.2, 33,230,31()9.x y x y xy x y xy x y x y xy x y x y xy t x y t t t t x y xy xy x y x y xy t t t t t xy ++=++++⎛⎫++=≤=+--≥∴≥≤-+≥ ⎪⎝⎭+++=≥=--≥∴≥≤-≥3例正实数满足求及的最小值.求的最小值那么就保留利用不等式转化的形式解：或（舍）即同理求最小值就保留利用不等式转化的形式或舍故注：基本不等式的实质就是一种放缩.例4若0x >，0y >，则1122x y x y +++的最小值是（） A．B．C ．4 D ．2解：由基本不等式得1122x y x y +++≥==当且仅当x =y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为故选A. 例5.已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（） A ．19 B ．16C ．13D ．3 解：∵a >0，∴196a a +≥=，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C 例6.若实数11, a b a b a b+=+满足求的最小值解：依题意0,0,1112,.a b a b a b ab >>=+==当且仅当解得2222ab a b ab ⇒+a b ==当且仅当例7. 已知 a,b ∈R , 且 2a −b −2=0, 则 9a +13b 的最小值为 ( )A. 2B. 4C. 6D. 8解：由指数的运算法则, 可得 9a +13b =32a +13b , 再结合已知等式与基本不等式, 即可得解由 2a −b −2=0, 知 2a −b =2,所以 9a +13b =32a +13b ≥2√32a ⋅13b =2√32a−b =2√32=6, 当且仅当9a =13, 即 a =12,b =−1 时, 等号成立, 所以 9a +13b 的最小值为 6 .选: C . 例8.若 m >0,n >0, 则 n+1m +4m n 2 的最小值为________. 解：若 m >0,n >0,则 n +1m +4mn 2≥n +2√1m ⋅4m n 2=n +4n ≥2√n ⋅4n =4, 当且仅当 n =2m =2 时, 原式取得最小值 4 .例9. 设 a >2b >0, 那么 a 4+1b (a−2b )的最小值是 ________ 解: 由于 a >2b >0,故a 4+1b (a−2b )=2(a 4+1)2b (a−2b ) ≥2(a 4+1)(2b+a−2b 2)2 =2（a 4+1）a 24 =8(a 4+1)a 2=8(a 2+1a 2)≥16,当且仅当 a =1,b =14 时, 等号成立, 故 a 4+1b (a−2b )的最小值为 16 . 评注：例8例9均两次直接运用均值不等式，构造出积为定值的情况,属于一般性技巧，也是处理双字母变量的行之有效的方法.。

关于两个单形的几何不等式及应用

关于单形及内接单形的几何不等式及应用

一个涉及两个单形的几何不等式

联系两个高维单形的几何不等式定理

不等式的解法与应用

2.4.1基本不等式及其应用

不等式的求解与应用

n维单形的两个不等式

不等式、不式性质及简单应用

基本不等式几何证明方法

不等式的解法与应用

用统一的代换证明两个著名的几何不等式

涉及两个单形的几何不等式

不等式的应用与证明

专题几何不等式

不等式(组)实际应用例析

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2.4(1)基本不等式及其应用

不等式的几何解释与公式的直接应用

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