您的位置：360文档中心› 基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质

基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质

合集下载

模糊粗糙集理论介绍和研究综述

模糊粗糙集理论介绍和研究综述

Ξ　收稿日期:2006-03-10作者简介:姚红霞(1979-),女,硕士研究生,主要从事粗糙集理论和模糊集理论研究.【数理科学】模糊粗糙集理论介绍和研究综述Ξ姚红霞(西北师范大学数学与信息科学学院,兰州　730070)摘要:回顾了粗糙集理论,引出了模糊粗糙集的产生背景,介绍了模糊粗糙集模型的一些主要概念和性质,并给出了模糊粗糙集属性重要性的定义,探讨了模糊粗糙集合的应用和发展现状.关　键　词:粗糙集;模糊集;模糊粗糙集中图分类号:TH164 文献标识码:A 文章编号:1671-0924(2006)08-0132-04I ntroduction to and Survey for the Studies of Fuzzy R ough Sets TheoryY AO H ong-xia(Department of Mathematics and In formation Sciences ,N orthwest N ormal University ,Lanzhou 730070,China )Abstract :This paper firstly reviews the theory of rough set and brings out the generation background aboutfuzzy rough sets ,secondly ,introduces the main concept and property of fuzzy rough sets and proposes its significance ,and finally ,discusses the application and recent studies for this theory.K ey w ords :rough sets ;fuzzy sets ;fuzzy rough sets0　引言 粗糙集(R ough Sets )理论最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年[1]提出的,是一种处理不完整和不确定性知识的数学工具[1-2].经过多年的发展,该理论已被成功的用于决策支持系统、人工智能、模式识别与分类、故障检测、金融、医学、知识发现、数据挖掘和专家系统等领域.但由于其严格的等价关系,限制了粗糙模型的发展和应用.针对这个问题,Dub ois 和Prade [3-4]提出模糊粗糙集的概念,作为粗糙集的一个模糊推广.模糊集理论首先是由美国控制论专家L ・A ・扎德(L.A.Z adeh )教授于1965年[5]提出的.也是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,它已成功的应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.虽然2者都可以用来处理模糊和不确定问题,但2者的着眼点不同.粗糙集理论在处理模糊和不确定性问题方面着眼于知识的粗糙性,强调的是集合对象间的不可分辨性;而模糊集在处理不确定性问题时,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.由于这2种理论在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性,因此把它们结合起来的研究前景或许更有实际价值,Dubois 和Prade 是最早研究粗糙模糊集和模糊粗糙集问题的代表人物之一.当知识库中的知识模块是清晰概念,而被近似的概念是一个模糊概念时,就得到粗糙模糊集;当知识库中的知识模块是模糊概念,而被近似的概念是模糊概念时,则可得到模糊粗糙集.粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情况,因此一般只讨论模糊粗糙集.于是根据问题的实际需要,在文献[3-4]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.第20卷　第8期Vol.20　No.8重　庆　工　学　院　学　报Journal of Chongqing Institute of T echnology2006年8月Aug.20061　粗糙集理论的发展 自1992年在波兰召开了RS理论的第一届国际学术会议以来,现在每年都召开以RS为主题的国际会议,大大推动了RS理论的发展.参加的成员主要来自波兰、美国、加拿大、日本、俄罗斯等国家.在Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键概念,等价类是构成上下近似结构的构造性知识块,用任意的二元关系取代等价关系,就得到Pawlak粗糙集模型的不同推广,即一般关系下的RS模型、变精度RS模型、概率RS模型、基于随机集的RS模型[9],而且在一个分明的,自反和传递关系下,一对上下近似算子正好是一个拓扑空间的内部封闭的算子[10-12].在RS集理论中,基本的运算符是近似的.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.在构造性方法下,论域上的二元关系、论域的划分、领域体系、布尔代数都是最原始的概念.文献[1,13-15]用这些概念构造了下近似和上近似算子,构造性方法尤其对RS的实际应用有重要的实用价值.另一方面,公理化方法,是一种研究粗糙代数结构近似的,用上下近似算子作为最初的概念,在这种方法下,用一个公理化集合刻画的近似算子和用构造性方法产生的算子是一样[15-16].比较构造性和公理化这2种方法,对分明粗糙集最典型的公理化研究是文献[15],在文献[17]中,用不同的公理化集合刻画了不同类型的粗糙集代数.2　模糊粗糙集的产生背景 粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,文献[12-13,18]用非等价二元关系推广了粗集近似算子,这一成果的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用U上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个推广的概念,称为粗糙模糊集[4,17,19],相反的,用模糊相似关系代替等价关系,就得到模糊粗糙集合[4-8,19].因此后来有很多模糊粗糙集合的类型,如基于模糊T相似关系的一般结构[21],基于U上弱模糊划分的结构[22-23],以及基于模糊集合上的布尔子代数[7],等等.3　模糊粗糙集合的基本概念和理论3.1　等价关系下的模糊粗糙集定义定义1[9]　设(U,R)是Pawlak近似空间,R是论域U 上的一个等价关系,若A是U上的一个模糊集合,则A关于(U,R)的一对下近似A R和上近似 A R定义为U上的一对模糊集合,其隶属度函数分别定义为:A R(x)=in f{A(y)|y∈[x]R},x∈U,A R(x)=sup{A(y)|y∈[x]R},x∈U,其中[x]R为元素x在关系R下的等价类.若A R= A R,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集(Fuzzy rough set).称A R是A关于(U,R)的正域,称 A R是A关于(U,R)的负域,称 A R∩( A R)为A的边界.3.2　一般关系下的模糊粗糙集合及其属性重要性定义2[24]　称I=(U,A)是一个决策表信息系统,若有:①U是一个非空对象集合;②A={C,D}是一个有限非空属性集合,其中C是条件属性的非空集合,D是决策属性的非空集合;③对每个属性a∈A,定义了一个从U到V a的映射: a:U→V a,其中V a是属性a的值集.定义3[25]　设U是一个非空集合,称U上的模糊二元关系是相似关系,当且仅当R是:①自反的:R(x,x)=1对所有x∈U;②对称的:R(x,y)=R(y,x),对所有x,y∈U,U上的每个条件属性子集决定了一个U上的相似关系;③传递的:R(x,y)∧R(y,z)ΦR(x,z),对所有x, y,z∈U.则称R是U上的一个等价关系.在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,粗糙集合研究对象是分明的等价类,而模糊粗糙集合研究对象是模糊等价类.将论域U上的元素在相似关系下划分模糊等价类,以下记论域U上的模糊关系为S,对象x和y之间的相似度记为u s(x,y)=u s(y,x),它同样满足定义3的条件,即自反性:u s(x,x)=1;对称性u s(x,y)=u s(y,x);传递性u s (x,z)Εu s(x,y)∧u s(y,z).因此对对象x∈U的等价类[x]s定义为:u[x]s(y)=u s(x,y)定义4[26]　模糊P上近似和P下近似定义为:uP X(F i)=sup x min{u Fi(x),u X(x)}Πi. uPX(F i)=in f x max{1-u Fi(x),u X(x)}Πi.其中F i是属于U/P的模糊等价类,PΑA,XΑU,u X (x)是对象x属于U上的任意模糊集合X的程度,则称序对(u P X(F i),u PX(F i))为模糊粗糙集合.由于模糊上下近似的定义和分明的定义有一些差异,个体对象的隶属度的近似不是十分有用的,由于这个原因,模糊上下近似可以定义为:uP X(x)=sup F∈U/P min(u F(x),sup y∈U min{u F(y),u x (y)})uPX(x)=sup F∈U/P min(u F(x),in f y∈U max{1-u F(y),u x (y)})定义5[26]　条件属性C关于决策属性D的正域为:uPOSC(D)(x)=sup u CX(x) X∈U/D定义6[26]　根据模糊正域的定义,可以求出模糊粗糙集合条件下决策属性D对条件属性集合C的依赖性:331姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述γC (D)=∑x∈U uPOSC(D)(x)|U|定义7　令C和D分别为模糊粗糙集的条件属性和决策属性集,属性子集C′ΑC关于D的重要性定义为:σCD(C′)=γC(D)-γC-C′(D)特别当C′={a}时,属性a∈C关于D的重要性为σCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D).4　模糊粗糙集属性约简 为了对模糊粗糙集合进行属性约简,必须先对属性模糊化.在粗糙集合中,属性对应的等价类是普通集合,而在模糊粗糙集合中,属性对应的等价类是模糊集,因此,往往把属性的等价类划分过程称为属性模糊化过程.在粗糙集中,每个对象属于且仅属于一个等价类,在模糊粗糙集中,每个对象可以属于多个模糊等价类.为了进行属性约简,必须求出复合属性的模糊等价类,具体模糊化的过程见文献[26].在文献[17]中给出了模糊粗糙集基于属性依赖性的属性约简的降维算法和例子,在文献[24]中研究了一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简算法.5　模糊粗糙集发展现状 在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.在RS集理论中,基本的运算符是近似.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.因此对模糊粗糙集的研究很多也是建立在这2种方法上的.在文献[17]中研究了模糊粗糙集上的一系列公理化集合,但他们的研究局限与用模糊T相似关系定义的模糊T 粗糙集上,而当模糊关系退化为分明关系时,就是一般的等价关系.然而,到目前为止,对一般关系下模糊粗糙集公理化方法的研究还不是很多,在文献[21]中给出了公理化的模糊粗糙集模型,在文献[25]中运用构造性和公理化方法,给出了模糊粗糙集研究的一般结构.在构造性方法下,基于一个任意的模糊关系定义了一对一般关系下的模糊粗糙集上下近似算子,在公理化方法下,用不同的公理集合刻画了不同类型的模糊粗糙近似算子,这些公理保证了确定类型的模糊关系的存在产生相同的算子.在文献[28]中,应用扩展原理,定义了依靠模糊关联和模糊隐含算子的模糊粗糙集合,并考虑了3个常用的算子,即S-,R-,Q L-算子,用其定义了3种类型的模糊粗糙集,并讨论了各自的性质,使其更好的用于不完全和不确定信息系统.在文献[27]中,讨论了在有限论域上模糊粗糙集模型和模糊拓扑空间之间的关系,提出了模糊拓扑空间上的T C 公理,并证明了所有基于自反和对称模糊关系的上下近似集合包含了一个满足T C公理的模糊拓扑空间,并且相反的,一个满足T C公理的模糊拓扑空间正好是在自反和对称模糊关系下的所有的上下近似集合.即在所有自反和对称模糊关系下的集合和所有满足T C公理的模糊拓扑空间之间,存在一个一对一的关系.但这只是在有限论域情况下的结论,在无限论域上的还不确定成立,需要进一步探讨.粗糙集理论已经被广泛和成功的应用许多领域,主要是由于它能发现隐藏在数据中的事实,而不需要额外的如专家系统或者阈值之类的信息,能在无监督条件下,挖掘出数据库里的最小知识表示.但粗糙理论在应用过程中,主要的载体是信息表,信息表中的对象是处理和挖掘的对象,而信息表中的对象的属性值要么是分明的,或者是实值的,虽然连续的属性值可以通过属性离散化方法离散,但势必会丢失一些重要信息,而且在粗糙理论下,无法判断2个属性值是相似的,或者在某种扩展意义下是相同的.因此,针对这个问题,文献[29-30]用模糊粗糙集来解决这些不确定问题,并将这个理论用于网络数据分类和挖掘上,收到了很好的效果.文献[26]将其进行了推广和完善.目前,国外学者主要从不同角度考虑模糊粗糙集的性质,根据模糊集近似推理方式的不同,主要形成了从3种不同角度研究的模糊粗糙集:基于形式逻辑的模糊粗糙集,基于三角模的模糊粗糙集,基于-截集的模糊粗糙集.6　模糊粗糙集发展展望 虽然模糊粗糙集已经发展了十几年,但作为一种理论,它还有很多的不完善,尤其是目前研究属性约简的算法还是相当少,而属性约简在实际生活中具有重要的意义.今后,模糊粗糙集还有很大的发展空间,它可能更广泛的应用于数据挖掘,知识发现等重要领域.参考文献:[1]　Pawlak Z.R ough[J].International Journal of C omputerand in formation Science,1982,11:341-356.[2]　Pawlak Z.R ough sets:theoretical aspects of reas oning aboutdata[M].Boston:K luwer Academic Publishers,1991:66-90.[3]　Dubois D,Prade H.R ough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of G eneral System,1990,17:191-208.[4]　Dubois D,Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets to2gether[C]∥S lowinski R,Intelligent Decision Support.[S.l.]:K luwer Academic,D ordrecht,1992:203-232. [5]　Z adeh L A.Fuzzy sets[J].In formation and C ontrol,1965(8):338-353.[6]　Nakamura A.Fuzzy rough sets[J].N ote on Multiple-Val2ued Logic in Japan,1988,9(8):1-8.[7]　Nanda S.fuzzy rough sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1992(45):157-160.[8]　Thiele H.on the definition of m odel operators in fuzzy logic[C]∥Proc.IS M V L-93.Sacramento,C A:[s.n.],1993:62-67.431重庆工学院学报[9]　张文修.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[10]K ortelainen J.on the relationship beween m odified sets,topological spaces and rough sets[J].Fuzzy Sets and Sys2tem,1994(61):91-95.[11]Y ao Y Y.T w o views of the theory of rough sets in finiteuni2verses[J].InternetJ.Approx.Reas ons,1996(15):291-317.[12]Y ao Y Y,Lin T Y.G eneralization of rough sets using m odallogics[J].Intell.Automat.S oft C omputer,1996(2):103-120.[13]K ryszkiewicz M.R ough set approach to incomplete in forma2tion systems[J].In formation Sciences,1998(112):39-49.[14]P omykala J A.Approximation operations in Approximationspaces[J].Bullerin of the P olish Academy of sciences:Mathmatics,1987(35):653-662.[15]Y ao Y Y.C onstrctive and algebraic methods of the theory ofrough sets[J].Journal of In formation Sciences,1998(109):21-27.[16]Lin T Y,Liu Q.R ough approximate operators:axiomaticrough sets theory[M]∥Z iarko W,R ough Sets,Fuzzy Setsand K nowledge Discovery.Berlin:S pringer,1994:256-260.[17]Pal S K.R oughness of a fuzzy set[J].In formation Sciences,1996(93):235-246.[18]Y ao Y Y.Relational interpretations of neighborhood opera2tors and rough set approximation operators[J].In formationSciences,1998(111):239-259.[19]Chakrabarty K,Biswas R,Nanda S.Fuzziness in rough sets[J].Fuzzy Sets And Systems,2000(110):247-251. [20]Y ao Y Y.C ombination of rough and fuzzy sets based on-level sets[C]∥Lin T Y,Cercone N.R ough Sets and DataMining:Analysis for Imprecise Data.Boston:K luwer Aca2demic Publishers,1997:301-321.[21]M orsi N N,Y akout M M.Axiomatics for fuzzy rough sets[J].Fuzzy sets And Systemss,1998(100):327-342. [22]Bodjanova S.Approximation of a fuzzy concepts in decisionmaking[J].Fuzzy Ses and Systems,1997(85):23-29.[23]K uncheva L I.Fuzzy rough sets:Application to feature selec2tion[J].Fuzzy Sets and System,1992(51):147-153. [24]聂作先,刘建成.一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简[J].计算机工程,2005,31(6):88-90.[25]WeiZhi Wu,JuSheng Mi,WenX iu Zhang.G eneralized fuzzyrough sets[J].In formation Sciences,2003(151):263-282.[26]Richard Jensen,Qiang Shen.Fuzzy rough attribute reductinwith application to web categ orization[J].Fuzzy sets andSystem,2004(141):469-485.[27]K eyun Qin,Zheng Pei.On the topological properties of fuzzyrough sets[J].Fuzzy Sets and System,2005(151)601-613.[28]K erre E,E tienne A.Anna Maria Radzikowska[J].C om2parative study of fuzzy rough sets,2002(126):137-155.[29]Jensen R,Shen Q.A rough set-aided system for s ortingWWW bookmarks[M]∥Zhong N.Web Intelligence:Re2search and Development.[S.l.]:[s.n.],2001:95-105.[30]Jensen R,Shen Q.Fuzzy-rough sets for descriptive dimen2sionality reduction[C]∥Proc,11th Internat.C on f.onFuzzy Systems.[S.l.]:[s.n.],2002,29-34.(责任编辑　刘　舸)(上接第129页)systems with product recovery[J].C omputers&IndustrialEngineering,2004,46:431-441.[4]　陈秋双,刘东红.再制造系统的库存控制研究[J].南开大学学报:自然科学版,2003,36(3):67-72. [5]　Inderfurth K.Optimal policies in hybrid manu facturing/re2manu facturing systems with product substitution[J].Inter2 national Journal of Production economics,2004,90:325-343.[6]　赵昱卿,王东,奚立峰.制造与再制造决策的优化[J].工业工程与管理,2003,8(2):18-21.[7]　厉以宁.西方经济学[M].北京:高等教育出版社,2000,33-37.[8]　Petruzzi N,Dada M.Pricing and the new-vendor problem:A review with extension[J].Operations Research,1999,47(2):183-194.[9]　Jinn-Tsair T eng,Chun-T ao Chang.Economic productionquantity m odels for deteriorating items with price and stock-dependent demand[J].C omputers&operations research, 2005(32):297-308.[10]G upate D,Arthur V H,T atiana Bouzdine-Chameeva.Apricing m odel for clearing end-of-seas on retail inventory [J].European Journal of Operational Research,2006(170):518-540.(责任编辑　刘　舸)531姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述。

直觉模糊信息集成理论及应用

直觉模糊信息集成理论及应用

徐泽水
2007 年 10 月于北京
前
言
前
言
v
符 号 说 明
X, Θ , Θ , R, R+ , Ω , Δ , Λ x, xi f, g 集合 元素 函数 隶属函数 非隶属函数 犹豫函数 模糊集 直觉模糊集 区间直觉模糊集 直觉模糊数 区间直觉模糊数 得分函数 精确函数 权重向量 数据 方案 方案集 属性 属性集 关联矩阵 决策矩阵 区间决策矩阵 关联测度 距离测度 相似性测度 直觉模糊矩阵当代杰出青年科学直觉模糊信息集成理论及应用
徐泽水 著
科 学 出 版 社
北 京
2
前
言
内
容
简
介
直觉模糊集是传统的模糊集的一种拓展, 它同时考虑了隶属度、 非隶 属度和犹豫度这三个方面的信息, 因而比传统的模糊集在处理模糊性和 不确定性等方面更具灵活性和实用性. 自保加利亚学者 Atanassov 于 1983 年提出直觉模糊集的概念以来, 有关直觉模糊集理论的研究已受到国内 外相关领域学者的极大关注, 并且已被应用于决策、 医疗诊断、 逻辑规划、 模式识别、机器学习和市场预测等诸多领域. 本书主要介绍近年来国内外 学者特别是作者本人在直觉模糊信息的集成方式、直觉模糊集的关联测 度、距离测度和相似性测度、直觉模糊集的聚类算法, 以及基于上述信息 处理工具的直觉模糊决策模型和方法等方面的最新研究成果. 本书可作为模糊数学、运筹学、信息科学和管理科学与工程等领域的 研究人员和工程技术人员的参考书, 以及高等院校有关专业高年级本科 生和研究生的教学用书.
μ
v π F A
Α
α α
s h
ω, w, ξ
a j , bj
Yi Y Gj
G C D

粗糙集理论与模糊集理论的比较分析

粗糙集理论与模糊集理论的比较分析

粗糙集理论与模糊集理论的比较分析近年来，粗糙集理论和模糊集理论作为数据挖掘和决策支持系统中的重要工具，受到了广泛关注。

粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性和模糊性问题的数学工具，但它们在处理方式和应用领域上存在一些差异。

首先，粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的，它通过将数据集划分为等价类来处理不确定性问题。

粗糙集理论假设数据集中的每个对象都可以用一个决策属性集来描述，而对于其他属性，可能存在不同的取值。

通过将相似的对象划分为等价类，粗糙集理论可以找到数据集中的规则和模式。

粗糙集理论的一个重要应用是特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性，从而减少数据集的维度。

相比之下，模糊集理论是由日本学者石井敏行于1965年提出的，它通过引入隶属度函数来处理模糊性问题。

模糊集理论假设每个对象都有一定程度上属于某个集合的可能性，而不是仅仅属于或不属于。

模糊集理论可以用来描述模糊的概念和模糊的关系。

模糊集理论的一个重要应用是模糊推理，它可以帮助我们处理模糊的决策问题，例如模糊控制系统和模糊决策树。

粗糙集理论和模糊集理论在处理不确定性和模糊性问题上有一些共同之处。

它们都可以用来处理不完全信息和不确定性的数据，帮助我们做出决策。

然而，它们在处理方式和应用领域上也存在一些差异。

首先，粗糙集理论更注重数据集的划分和等价类的构建，它通过找到相似的对象来发现数据集中的规则和模式。

而模糊集理论更注重隶属度函数的构建和模糊关系的描述，它通过模糊的概念和关系来处理模糊性问题。

其次，粗糙集理论更适用于处理离散型数据，而模糊集理论更适用于处理连续型数据。

粗糙集理论通过等价类的划分来处理离散型数据中的不确定性问题，而模糊集理论通过隶属度函数的构建来处理连续型数据中的模糊性问题。

此外，粗糙集理论更注重数据的削减和特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性。

而模糊集理论更注重模糊推理和决策，它可以帮助我们处理模糊的决策问题。

粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用

粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用

粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用引言：在现实生活和学术研究中，我们经常面临着信息不完备、模糊和不确定的情况。

为了更好地处理这些问题，粗糙集理论和模糊集理论应运而生。

本文将探讨粗糙集理论和模糊集理论的异同，并探讨它们如何结合应用于实际问题中。

一、粗糙集理论粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的一种数学工具，用于处理信息不完备和不确定的问题。

粗糙集理论的核心思想是通过分析决策属性和条件属性之间的关系，进行信息的粗糙度度量和信息的约简。

粗糙集理论的主要特点是能够处理不完备和不确定的信息，具有较强的可解释性和可操作性。

二、模糊集理论模糊集理论是由日本学者石原和田原于1973年提出的，用于处理模糊和不确定的问题。

模糊集理论的核心思想是引入隶属度函数来描述事物的模糊性，通过模糊集的运算和推理，对模糊信息进行处理和分析。

模糊集理论的主要特点是能够处理模糊和不确定的信息，具有较强的灵活性和适应性。

三、粗糙集理论与模糊集理论的异同1. 异同之处：（1）描述方式：粗糙集理论通过信息的分区和约简来描述信息的粗糙度，而模糊集理论通过隶属度函数来描述事物的模糊性。

（2）处理方式：粗糙集理论通过分析属性之间的关系来进行信息的约简，而模糊集理论通过模糊集的运算和推理来进行信息的处理和分析。

（3）可解释性：粗糙集理论具有较强的可解释性，能够直观地描述信息的粗糙度，而模糊集理论具有较强的灵活性，能够处理更加复杂的模糊信息。

2. 结合应用：粗糙集理论和模糊集理论在实际问题中可以相互结合，以充分发挥各自的优势。

例如，在医学诊断中，可以使用模糊集理论来描述病情的模糊性，同时使用粗糙集理论来进行信息的约简，从而提高诊断的准确性和可解释性。

在金融风险评估中，可以使用粗糙集理论来处理不完备的信息，同时使用模糊集理论来描述风险的模糊性，从而更好地评估风险的大小和影响。

结论：粗糙集理论和模糊集理论是两种有效的数学工具，用于处理信息不完备、模糊和不确定的问题。

基于直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性

基于直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性

基于直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性惠小静;井美;王蓉【摘要】本文基于直觉模糊集,研究了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法解的表达形式和分解形式.其次,利用直觉模糊集间的自然距离定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,给出了直觉Lukasiewicz蕴涵、直觉G(o)del蕴涵以及它们各自对应三角模的灵敏度,在此基础上,证明了直觉Lukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子.最后,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性,并且针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法解的灵敏度.结论表明,直觉模糊推理算法的鲁棒性完全取决所选择的直觉模糊连接词.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2019(047)002【总页数】7页(P410-416)【关键词】鲁棒性;直觉模糊推理;泛三Ⅰ算法;解的灵敏度【作者】惠小静;井美;王蓉【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O1421 引言1965年,Zadeh提出了模糊集[1].针对模糊集理论,诸多学者进行了大量的研究,并已将模糊集理论广泛运用到模式识别、医疗诊断、模糊控制等领域[2,3].模糊推理是模糊集理论研究的重要方面,它的核心问题是模糊假言推理(FMP)问题和模糊拒取式推理(FMT)问题:FMP:给定规则A→B,且输入A*,输出B*;FMT:给定规则A→B,且输入B*,输出A*.这里的A,A*是论域X上的模糊集,B,B*是论域上Y的模糊集.1973年,Zadeh提出了著名的CRI算法[4],但是由于它缺乏严格的逻辑基础且不具有还原性,于是,王国俊教授提出了全蕴涵三I算法[5],有效地弥补了CRI算法的不足,并将其纳入模糊逻辑系统之中.虽然三I算法具有还原性、较强逻辑根据、逐点优化等诸多优点,但是从整体模糊逻辑系统的角度考虑,三I算法在响应性能、实用价值等方面并不理想.基于上述问题,文献[6]首次提出了基于不同蕴涵的模糊推理,文献[7]进一步将一般的推理算法模型中的后两个模糊蕴涵保持一致,而第一个取不同的模糊蕴涵,进而形成新的模糊推理模型,称之为(1,2,2)型异蕴涵泛三I算法.直觉模糊集[8]是由Atanassov提出的,它是模糊集的推广,而且能更好地反映日常事物的模糊性和不确定性.有关直觉模糊集的理论已经广泛应用到聚类分析、模式识别、群决策等领域[9,10],但是直觉模糊集在模糊推理方面却没有得以迅速地发展.主要是因为直觉模糊蕴涵的运算法则比较复杂.首先文献[11]对直觉模糊蕴涵算子的相关理论进行了初步的研究,文献[12,13]对直觉模糊推理作了深入研究,文献[14]提出了剩余型直觉蕴涵算子,从而为直觉模糊集与模糊推理之间建立了内在联系,在此基础上,文献[15,16]研究了剩余型直觉模糊推理的三I算法,文献[17]研究了直觉模糊推理的三I约束算法.目前,关于直觉模糊推理算法的研究甚少,为此,本文将直觉模糊集与(1,2,2)型异蕴涵泛三I算法结合起来,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的表达形式和分解形式.人类的行为具有不确定性,由此引发了一个有趣的问题,在直觉模糊控制系统中,往往输入的微小扰动会造成推理结果有很大偏差,那么如何有效地避免和消除这种偏差？考虑到以上问题,因此,本文研究了直觉模糊推理算法的鲁棒性.文献[18]借助直觉模糊连接词的灵敏度,分析了直觉模糊推理系统的鲁棒性,文献[19]定义了直觉模糊集间的自然距离和Hamming距离,研究了ukasiewicz型直觉模糊推理三I算法的鲁棒性,文献[20]给出了直觉模糊集间的相似度,并以此作为扰动参数,讨论直觉模糊推理的鲁棒性,文献[21]提出了直觉模糊推理SIS算法,并证明了ukasiewicz型直觉模糊推理的SIS算法具有鲁棒性.本文基于直觉模糊集间的自然距离,定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,给出了直觉ukasiewicz蕴涵、直觉Gödel蕴涵以及它们各自对应的三角模的灵敏度,进一步,证明了直觉ukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子.最后,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的鲁棒性,而且针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的灵敏度.2 预备知识定义1[8] 设X是论域,x∈X,X上的直觉模糊集A是指函数At(x)、Af(x)、Aπ(x)满足下列条件的三元组:A={<x,At(x),Af(x)>|x∈X} At(x):X→[0,1],x→At(x); Af(x):X→[0,1],x→Af(x);At(x)+Af(x)∈[0,1]; Aπ(x)=1-At(x)-Af(x).其中,对于任意的x∈X,称At(x)为隶属度函数,Af(x)为非隶属度函数,Aπ(x)为犹豫度函数,也称为不确定度函数.特别地,∀x∈X,At(x)+Af(x)=1,则直觉模糊集A退化为模糊集.定义2[15] 设X,Y为非空论域,X,Y上的直觉模糊集分别为IFS(X),IFS(Y).令IFS={(t,f)|t,f∈[0,1],0≤t+f≤1},定义IFS上的一个偏序关系≤如下:∀α，β∈IFS,α=(a1,a2),β=(b1,b2),α≤β当且仅当a1≤b1,a2≥b2.α∧β=(a1∧b1,a2∨b2),α∨β=(a1∨b1,a2∧b2),最小元0*=(0,1),最大元1*=(1,0).显然可知,(IFS,≤)是完备的分配格.本文中,A(x)=(At(x),Af(x)),B(y)=(Bt(y),Bf(y)),A*其中是X上的模糊集,是Y上的模糊集. 定义3[22] L=[0,1],⊗是L上的三角模,若二元运算⊕满足:a⊕b=1-(1-a)⊗(1-b),则⊕是L上的三角余模,称⊕为与⊗对偶的三角余模.反之,⊕是L上的三角余模,若二元运算⊗满足:a⊗b=1-(1-a)⊕(1-b),则⊗是L上的三角模,称⊗为与⊕对偶的三角模.注在本文中出现的运算优先如下:⊗，⊕，⊖→，∧，∨高于+,-.定义4[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),⊗是L上的三角模,⊕是L上与⊗对偶的三角余模,在IFS上定义二元运算⊗*,⊕*:α⊗*β=(a1⊗b1,a2⊕b2);α⊕*β=(a1⊕b1,a2⊗b2).定理1[15] 设⊗*是由左连续三角模⊗生成的直觉三角模,则IFS上存在二元运算→*使得α⊗*β≤γ⟺α≤β→*γ并且β→*γ=∨{η∈IFS|η⊗*β≤γ}.例1[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),下面是两种常见的剩余型直觉蕴涵及对应的三角模.(1)直觉ukasiewicz蕴涵及其对应的三角模:a⊗*Lβ=((a1+b1-1)∨0,(a2+b2)∧1));a→*Lβ=((1-a1+b1)∧(1-a2+b2)∧1, (b2-a2)∨0).(2)直觉Gödel蕴涵及其对应的三角模:a⊗*Gβ=(a1∧a2,b1∨b2);定理2[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),→*是由IFS上左连续的直觉三角模⊗*生成的剩余型蕴涵算子,则下列结论成立.(1)α→*β=((a1→b1)∧(1-(b2⊖a2)),b2⊖a2);(2)α→*β=((a1→b1)∧((1-a2)→(1-b2)),1-(1-a2)→(1-b2)).3 直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的基本思想:设A(x),A*(x)∈IFS(X),B(y)∈IFS(Y),α∈IFS,(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2B*(y))≥α(1)若B*(y)是IFS(Y)中对一切x∈X,y∈Y都满足式(1)的最小直觉模糊集,则称B*(y)为IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.定理3 设→*1,→*2分别是由左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解可表示为:B*⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)},y∈Y证明由B*(y)的表达式知,∀x∈X,A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)≤B*(y),y∈Y.由→*1,→*2是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀x∈X,(A(x)→*1B(y))⊗*2α≤A*(x)→*2B*(y),y∈Y.即∀x∈X,α≤(A(x)→*1B(y)→*2(A*(x)→*2B*(y)),y∈Y.假设存在C(y)∈IFS(Y),使得C(y)满足式(1),即(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2C(y))≥α恒成立.由→*1,→*2分别是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀x∈X,A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)≤C(y),y∈Y.因此B*(y)≤C(y).所以B*(y)为IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.推论1 设(⊗*1,→*1),(⊗*2,→*2)分别是IFS上的直觉伴随对,B*则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的B*(y)可分解如下:⊗2(((At(x)→1Bt(y))∧ (A-f(x)→1B-f(y)))⊗2a1)}, y∈Y.⊕2((1-A-f(x)→1B-f(y))⊕2a2)}, y∈Y.IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的基本思想:设A(x)∈IFS(X),B(y),B*(y)∈IFS(Y),α∈IFS,若A*(x)是IFS(X)中对一切x∈X,y∈Y都满足式(1)的最大直觉模糊集,则A*(x)称为IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.定理4 设→*1,→*2分别是由左连续的⊗*1,⊗*2直觉三角模所诱导的剩余型直觉蕴涵,则IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解如下:A*⊗*2α)→*2B*(y)},x∈X证明由A*(x)的表达式知,∀y∈Y,A*(x)≤((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y),x∈X.由→*1,→*2是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀y∈Y,α⊗*2(A(x)→*1B(y))≤A*(x)→*2B*(y),x∈X.即∀y∈Y,α≤(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2B*(y)),x∈X.假设存在D(x)∈IFS(X),使得D(x)满足式(1),即(A(x)→*1B(y))→*2(D(x)→*2B*(y))≥α恒成立.由→*1,→*2分别是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀y∈Y,D(x)≤((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y),x∈X.因此D(x)≤A*(x).所以A*(x)为IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.推论2 设(⊗*1,→*1),(⊗*2,→*2)分别是IFS上的直觉伴随对,A*则IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的A*(x)可分解如下:⊖2((Bf(y)⊖1Af(x))⊕2a2))}, x∈X.⊕2a2)},x∈X注推论1,推论2中的(⊗*1,→*1)是由⊗1生成,(⊗*2,→*2)是由⊗2生成.4 直觉模糊连接词的灵敏度定义5[19] 设X={x1,x2,…,xn}是非空论域,A,A′∈IFS(X),则称d∞为A,A′之间的自然距离.定义6 设f:IFSn→IFS是一个n元直觉映射,∀(x,y)=((xt1,yf1),(xt2,yf2),…(xtn,yfn))∈IFSn,ε∈[0,1],函数f在点(x,y)处的ε灵敏度定义如下：Δf((x,y),ε) =∨d∞(f(x,y),f(x′,y′))|(x′,y′)∈IFSn,d∞((x,y),(x′,y′))≤ε其中定义7 f的最大ε灵敏度定义如下:定义8 设f,f′是任意的两个n元直觉模糊连接词,∀ε>0,有Δf(ε)≤Δf′(ε)成立,则称f 至少与f′一样鲁棒,进一步来说,∃ε>0,使得Δf(ε)<Δf′(ε)成立,则称f比f′更鲁棒. 定理5 对于二元直觉模糊连接词:f:IFS×IFS→IFS,有(1)当f是IFS上的直觉三角模,则:Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)(2)(2)当f是IFS上的直觉蕴涵,则:Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)(3)这里f((xt1,yf1),(xt2,yf2))=(f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t,f((xt1,yf1),(xt2,yf2))f);证明令m设则即由定义2知,令则:⟺对以上进行分类讨论:⟺≥⟺(c)f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t≥≥结论与(a)类似.(d)f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t≥结论与(a)类似.因此,m总是小于或等于式(2)的右端,从而Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)等于式(2)的右端.特别地,当时,则m等于式(2)右端.(2)的证明与(1)类似.定理6下面给出两种常见剩余型直觉模糊蕴涵及对应三角模的灵敏度.(1)直觉ukasiewicz蕴涵及对应三角模的灵敏度：(ⅰ)Δ⊗*L(ε)=2ε∧1;(ⅱ)Δ→*L(ε)=2ε∧1.(2)直觉Gödel蕴涵及对应三角模的灵敏度:(ⅰ)Δ⊗*G(ε)=ε;(ⅱ)Δ→*G(ε)=1.证明(1),(2)的证明类似.下面只对(2)进行证明.设(2)(ⅰ)由例1可知,≤|xt1∧xt2-((xt1-ε)∨0)∧((xt2-ε)∨0)|∨|yf1∨yf2-((yf1-ε)∨0)∨((yf2-ε)∨0)|≤|xt1-(xt1-ε)∨0|∨|xt2-(xt2-ε)∨0|∨|yf1-(yf1-ε)∨0|∨|yf2-(yf2-ε)∨0|≤ε且由定理5知,Δ⊗*G(((0,1),(0,1)),ε)=Δ⊗*G(((1,0),(1,0)),ε)=Δ⊗*G(((0,1),(1,0)),ε)=Δ⊗*G(((1,0),( 0,1)),ε)=ε因此,Δ⊗*G(ε)=ε.(ⅱ)由定理2知,=d(((xt1→Gxt2)∧((1-yf1)→G(1-yf2)),1-(1-yf1)≤1且由定理5可知,Δ→*G(((1,0),(0,1)),ε)=∨{Δ→*G(((0,1),(0,1)),ε),Δ→*G(((0,1),(1,0)),ε),Δ→*G(((1,0),(0,1)),ε),Δ→*G(((1,0),(1,0)),ε)}=1因此,Δ→*G(ε)=1.定理7 直觉ukasiewicz蕴涵是IFS上最鲁棒的剩余型蕴涵算子.证明令→*是IFS上任意的剩余型蕴涵算子,由定理5可知,Δ→*((ε,1-ε),(ε,1-ε)),ε)={((1,0)t-((2ε∧1,1-2ε∧1)→(0,1))t)∨(((0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1))t-(0,1))t)∨((1,0)f-((0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1))f)∨(((2ε∧1，1-2ε∧1)→(0,1))f-(1,0)f)}由定理2知,(2ε∧1,1-2ε∧1)→*(0,1)=(1-2ε∧1,2ε∧1),(0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1)=(1,0),则:Δ→*((ε,1-ε),(ε,1-ε)),ε)={(1,0)t-(1-2ε∧1,2ε∧1)t)}∨{(1-2ε∧1,2ε∧1)f-(1,0)f)}=2ε∧1.且由定理6知,Δ→*L(ε)=2ε∧1,则:Δ→*(ε)≥2ε∧1=Δ→*L综上所述,直觉ukasiewicz蕴涵是IFS上最鲁棒的剩余型蕴涵算子.5 直模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的鲁棒性定义9 设X是非空论域,X={x1,x2,…xn},A,A′∈IFS(X),∀x∈X,有:≤ε则称A′为A的灵敏度不超过ε的近似逼近.引理1 设f:IFS×IFS×IFS→IFS,若:f((xx1,yf1),(xx2,yf2),(xx3,yf3))=(xx1,yf1)⊗*((xx2,yf2)→*(xx3,yf3))则Δf(ε)≤Δ⊗*(Δ→*(ε)).特别地,(ⅰ)若⊗*=⊗*G,则Δf(ε)=Δ→*(ε).(ⅱ)若⊗*=⊗*L,且→*=→*L或者→*=→*G,则Δf(ε)=(Δ→*(ε)+ε)∧1.证明与定理6的证明类似.定理8 设A,A′,A*,A*′∈IFS(X),B,B′∈IFS(Y),若‖A*且B*与B*′分别是由定理3给出的IFMP(A,B,A*)和IFMP(A′,B′,A*′)问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I 算法的解的灵敏度为:证明B*⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2((A′(x)→*1B′(y))⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)),(A*′(x)⊗*2((A′(x)→*1B′(y))⊗*2α)))=Δ⊗*2((A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)),Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))推论3 若⊗*1=⊗*L,→*1=→*L,⊗*2=⊗*G,→*2=→*G,则推论4 若⊗*1=⊗*G,→*1=→*G,⊗*2=⊗*L,→*2=→*L,则定理9设A,A′∈IFS(X),B,B′,B*,B*′∈IFS(Y),若‖B*且A*与A*′分别是由定理4给出的IFMT(A,B,B*)和IFMT(A′,B′,B*′)问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解的灵敏度为:证明⊗*2α)→*2B*(y)}),⊗*2α)→*2B*′(y)})⊗*2α)→*2B*(y)),(((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y)))=Δ→*2((((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y)),Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))≤Δ→*2(Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))推论5 若⊗*1=⊗*G,→*1=→*G,⊗*2=⊗*L,→*2=→*L,则6 结束语本文讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的表达形式和分解形式.然后,基于直觉模糊集间的自然距离定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,并给出了直觉ukasiewicz蕴涵、直觉Gödel蕴涵以及它们各自对应三角模的灵敏度,特别是证明了直觉ukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子,最后,讨论了直觉模糊推理型泛三I算法的鲁棒性,并针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的灵敏度.结果表明,直觉模糊推理算法的鲁棒性完全依赖于所选择的直觉模糊连接词.本文的研究结果一方面,提供了更广泛的选择空间,能获得更多、更实用的直觉模糊系统,另一方面,更是为直觉模糊推理的实际应用提供了理论基础.参考文献【相关文献】[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3):338-353.[2]Dubois D,Prade H.Fuzzy Sets in approximate reasoning[J].Fuzzy Sets and Systems,1991,40(1):143-244.[3]Zadeh L A.Toward extended fuzzy logic-A first step[J].Fuzzy Sets andSystems,2009,160(21):3175-3181.[4]Zadeh L A.Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision and process[J].IEEE Transaction on Systems,Man,and Cybernetics,1973,3(1):28-44.[5]Wang G J.Full implicational triple I methods for fuzzy reasoning[J].Science inChina(Series E),1999,29(1):43-53.[6]李洪兴.Fuzzy系统的概率表示[J].中国科学(E辑),2006,36(4):359-366.Li H X.Probability representation of Fuzzy systems[J].Science in China(SeriesE),2006,36(4):359-366.(in Chinese)[7]唐益明.(1,2,2)型异蕴涵泛三I算法及其应用研究[D].合肥工业大学,2011.Tang Y M.Research on differently implicational universal triple I method of(1,2,2)type and its applications[D].Hefei University of Technology,2011.(in Chinese)[8]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.[9]Das S,Dutta B,Guha D.Weight computation of criteria in a decision-making problem by knowledge measure with intuitionistic fuzzy set and interval-valued intuitionistic fuzzy set[J].Soft Computing,2016,20(9):3421-3442.[10]王毅,刘三阳,张文.属性权重不确定的直觉模糊多属性决策的威胁评估方法.[J]电子学报, 2014,42(12):2510-2514.Wang Y Y,Liu S Y,Zhang W.Threat assessment method with uncertain attribute weight based on intuitionistic fuzzy multi-Attribute decision[J].Acta ElectronicaSinica,2014,42(12):2510-2514.(in Chinese)[11]Deschrijver G, Cornelis C, Kerre E E.On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms[J].IEEE Transaction on Fuzzy Systems,2004,12(1):45-61.[12]Cornelis C, Deschrijver G, Keer E E.Implication in intuitionistic fuzzy and interval-valued fuzzy set theory:construction,classsification,application[J].Internal Journal of Approximate Reasoning,2004,35(1):55-95.[13]Liu H W,Wang G J.Multi-criteria decision-making methods based on intuitionistic fuzzy sets[J].European Journal of Operational Research,2007,179(1):220-233.[14]郑慕聪.剩余型直觉蕴涵算子的统一形式[J].模糊系统与数学,2013,27(2):15-22.Zheng M C.Unified form of residual intuitionistic fuzzy implicators[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2013,27(2):15-22.(in Chinese)[15]郑慕聪.剩余型直觉模糊推理的三I方法[J].中国科学(信息科学),2013,43(6):810-820. Zheng M C.Triple I Method of intuitionistic fuzzy reasoning based on residual implicator[J].Science inChina(Information Science),2013,43(6):810-820.(in Chinese) [16]Zheng M C, Shi Z K, Liu Y.Triple I methods of approximate reasoning on Atanassov’s intuitionistic fuzzy sets[J].International Journal of ApproximateReasoning,2014,55(6):1369-1382.[17]井美,惠小静,王蓉.直觉模糊推理的三I约束算法[J].计算机工程与应用,2018,54(15):53-56. Jing M, Hui X J, Wang R.Triple I restriction methods of intuitionistic fuzzyinference[J].Computer Engineering and Application,2018,54(15):53-56.(in Chinese) [18]于祥雨,李得超.直觉模糊推理系统的鲁棒性[J].模糊系统与数学,2014,28(2):111-119.Yu X Y,Li D C.Robustness of atanassov’s intuitionistic fuzzy reasoning system[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2014,28(2):111-119.(in Chinese)[19]刘岩.几种度量下ukasiewicz型直觉模糊推理三I算法的性质分析[D].兰州理工大学,2017. Lui Y.Property analysis of the triple I method for ukasiewicz intuitionistic fuzzy reasoning based on several distances[D].Lanzhou University of Technology,2017.(in Chinese) [20]段景瑶.基于模糊逻辑等价的直觉相似度[J].模糊系统与数学,.2017,31(1):110-122.Duan J Y.Intuitionistic similarities based on the fuzzy logical equivalenceoperators[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2017,31(1):110-122.(in Chinese)[21]许小芾.直觉模糊推理SIS算法的统一形式及其性质研究[D].兰州理工大学,2017.Xu X F.Research on the unified form and property of the SIS methods for intuitionistic fuzzy reasoning[D].Lanzhou University of Technology,2017.(in Chinese)[22]Klement E P, Mesiar R, Pap E.Triangular Norms[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2000.。

基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型

基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型

收稿日期:20210707基金项目:国家自然科学基金资助项目(12001088);黑龙江省自然科学基金联合指导项目(L H 2019A 002)㊂作者简介:翟 忱(1996),男,河南济源人,硕士研究生㊂通信作者:曲智林(1965),男,黑龙江哈尔滨人,教授㊂E -m a i l :q _z h i l i n @n e f u .e d u .c n ㊂第33卷第6期2021年 12月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .33,N o .6D e c .2021文章编号:2095-5456(2021)06-0523-07基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型翟 忱,曲智林*(东北林业大学理学院,黑龙江哈尔滨 150040)摘 要:基于L R 型直觉模糊数,研究了一类模糊线性回归模型,此模型的输入为精确数据,输出为直觉模糊数据,回归系数为L R 型直觉模糊数,并通过模糊最小二乘法给出了估计直觉模糊参数的方法㊂将判定系数扩展到直觉模糊环境中,通过模糊判定系数来检验模型的拟合优度㊂最后通过算例验证了该方法是可行的㊂关 键 词:直觉模糊集;模糊回归模型;L R 型直觉模糊数;模糊最小二乘法;模糊判定系数中图分类号:O 212.1 文献标志码:AF u z z y R e g r e s s i o n M o d e lo fP r e c i s eI n p u ta n d F u z z y O u t pu t B a s e d o n I n t u i t i o n i s t i cF u z z y Se t Z HA I C h e n ,Q UZ h i l i n(C o l l e g e o f S c i e n c e ,N o r t h e a s tF o r e s t r y U n i v e r s i t y,H a r b i n150040,C h i n a )A b s t r a c t :A f u z z y l i n e a rr e g r e s s i o n m o d e lb a s e do n L Ri n t u i t i o n i s t i cf u z z y nu m b e r s w a s s t u d i e d .T h e i n p u t s o f t h i sm o d e l a r e a c c u r a t e d a t a ,t h e o u t p u t s a r e i n t u i t i o n i s t i c f u z z y da t a ,a n d t h e r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s a r e L R i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u mb e r s .T h e m e t h o d o f e s t i m a t i n g i n t u i t i o n i s t ic f u z z y p a r a m e t e r s i s g i v e n b y f u z z y l e a s t s qu a r em e t h o d .T h e d e c i s i o n c o e f f i c i e n t sa r ee x t e n d e dt o i n t u i t i o n i s t i c f u z z y en v i r o n m e n t ,a n dt h e g o o d n e s so f f i to f t h e m o d e l i st e s t e db y f u z z y d e c i s i o nc o e f f i c i e n t s .F i n a l l y ,a ne x a m p l ei s g i v e nt ov e r i f y th e f e a s i b i l i t y of t h i sm e t h o d .K e y w o r d s :i n t u i t i o n i s t i c f u z z y s e t s ;f u z z y r eg r e s s i o n m o d e l ;L R i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u m b e r s ;f u z z y l e a s t s q u a r em e th o d ;f u z z y d e ci s i o n c o e f f i c i e n t 回归分析是一种用于研究因变量与自变量之间关系的方法,而模糊回归模型中涉及到的变量有模糊变量㊂模糊回归模型首先由T a n a k a 等[1]提出,并通过最小化模糊性准则,采用线性规划的方法求解模型的模糊参数㊂P h i l [2]提出了模糊最小二乘法准则,从最小二乘法的角度研究了模糊回归模型,根据模糊数之间的各种距离测度,通过最小化预测模糊值和给定模糊数据之间的总平方误差来估计模型的参数㊂模糊最小二乘法因可以提供一个更精确的估计结果而被广泛应用㊂H o s s e i n z a d e h 等[3]基于高斯模糊数,研究了精确输入高斯模糊输出的模糊回归模型,采用非线性规划的方法求解模糊参数㊂G o n g 等[4]基于三角形模糊数,提出了模糊输入㊁模糊输出的模糊线性回归模型,采用模糊最小二乘法求解模糊参数,并将模型应用到员工绩效评价中㊂H a s s a n po u r 等[5]研究了基于梯形模糊数的模糊输入㊁模糊输出的模糊线性回归模型㊂A t a n a s s o v [6]引入了直觉模糊集的概念㊂经典模糊集通过隶属度来确定模糊集合,直觉模糊集合同时考虑隶属度㊁非隶属度和犹豫度这3方面信息,更适用于处理一些模糊性问题,更符合实际情况㊂直觉模糊集合的提出拓展了模糊集理论,将模糊回归模型扩展到直觉模糊环境中也是一个重要的课题㊂A r e f i 等[7]针对对称三角直觉模糊数建立了模糊输入㊁模糊输出的模糊回归模型,基于直觉模糊集的加权距离,通过模糊最小二乘法求解模型的直觉模糊参数㊂P a r v a t h i 等[8]同样针对对称三角直觉模糊数建立了模糊输入㊁模糊输出的模糊回归模型,采用线性规划的方法求解模糊参数㊂C h e n 等[9]采用三角直觉模糊数,基于最小绝对偏差准则建立数学规划问题,研究了模糊输入模糊输出的模糊回归模型㊂在实际情况中,经常会遇到精确输入模糊输出的模糊回归问题㊂如,树木的生长状态的 好 与 坏 是模糊信息,而温度㊁降水量㊁太阳辐射等影响因素是精确数据㊂因此,研究精确输入㊁模糊输出的模糊回归问题是有意义的㊂本文将基于L R 型直觉模糊数,建立精确输入模糊输出的模糊回归模型,来处理更符合实际情况的模糊性问题㊂1 直觉模糊集合定义1[6] 设X 是一个非空集合,将X 上形如췍A ={<x ,μ췍A (x ),υ췍A (x )>|x ɪX }的三重组称为X 上的一个直觉模糊集,记为I F (X ),其中μ췍A :X ң[0,1]和υ췍A :X ң[0,1],且0ɤμ췍A (x )+υ췍A (x )ɤ1,这里μ췍A (x )和υ췍A (x )分别为X 中元素x 属于췍A 的隶属度和非隶属度㊂此外,π췍A(x )=1-μ췍A (x )-υ췍A (x )表示X 中元素x 属于췍A 的犹豫度㊂如果μ췍A(x )+υ췍A (x )=1,则直觉模糊集췍A 即为普通模糊集㊂定义2[10] 称췍A (α)={x :μ췍A (x )ȡα,1-υ췍A (x )ȡα}是直觉模糊集췍A 的α-截集㊂对于直觉模糊集췍A ,定义如下集合:췍A L μ(α)=i n f {x ɪℝ∣u (x )ȡα},췍A R μ(α)=s u p {x ɪℝ∣u (x )ȡα},췍A L v (α)=i n f {x ɪℝ∣v (x )ɤ1-α},췍A R v (α)=s u p{x ɪℝ∣v (x )ɤ1-α}㊂ 定义3[10]若直觉模糊数췍A的隶属度函数和非隶属度函数的形式如下:μ췍A (x )=L m -x æèçöø÷l ,m -l ɤx <m ;1,x =m ;R x -m æèçöø÷r ,m <x <m +r ;0,其他ìîíïïïïïïïï㊂ υ췍A (x )=1-L m -x æèçöø÷s ,m -s ɤx <m ;0,x =m ;1-R x -m æèçöø÷t ,m <x <m +t ;1,其他ìîíïïïïïïïï㊂则称췍A 为L R 型直觉模糊数㊂其中L (㊃)和R (㊃)是从ℝ+到[0,1]的严格递减函数,且L (0)=R (0)=1㊂l ,s ɪℝ+ɣ0(l ɤs )称为直觉模糊数的左扩散,r ,t ɪℝ+ɣ0(r ɤt )称为直觉模糊数的右扩散㊂将L R 直觉模糊数表示为췍A =(m ;l ,r ,s ,t )L R ㊂定义4[11] 两个L R 直觉模糊数췍A =(m ;l 1,r 1,s 1,t 1)L R ,췍B =(n ;l 2,r 2,s 2,t 2)L R 之间的运算定义为췍A 췍췍B =(m +n ;l 1+l 1,r 2+r 2;s 1+s 2,t 1+t 2)L R ;λ췍췍A =(λm ;λl 1,λr 1;λs 1,λt 1)L Rλ>0㊂ 定义5[12] 直觉模糊数췍A ,췍B之间的距离为d (췍A ,췍B )=14ʏ1췍A L μ(α)-췍B L μ(α[])2d α+14ʏ10췍A R μ(α)-췍B R μ(α[])2d æèçα+14ʏ10췍A L ν(α)-췍B L ν(α[])2d α+14ʏ10췍A R ν(α)-췍B R ν(α[])2d öø÷α12㊂ 若췍A =(m ;l 1,r 1,s 1,t 1)L R ,췍B =(n ;l 2,r 2,s 2,t 2)L R ,췍A ,췍B 之间的距离为d 2(췍A ,췍B )=(m -n )2+a 2[(l 1-l 2)2+(s 1-s 2)2]+b 2[(r 1-r 2)2+(t 1-t 2)2]-425沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷a 1(m -n )[(l 1-l 2)+(s 1-s 2)]+b 1(m -n )[(r 1-r 2)+(t 1-t 2)]㊂其中,a 1=12ʏ1(L -1(α))d α,a 2=14ʏ1(L -1(α))2d α,b 1=12ʏ1(R -1(α))d α,b 2=14ʏ10(R -1(α))2d α㊂2 直觉模糊回归模型及其参数估计设(x i 1,x i 2, ,x i p ;췍y i ),i =1,2, ,n 表示样本的第i 组观测值,x i j ,j =1,2, ,p 是随机观测值,췍y i =(y m i ;y l i ,y r i ,y s i ,y t i )是直觉模糊观测值,直觉模糊回归模型如下:췍y ^i =췍a 0췍x i 1췍췍a 1췍x i 2췍췍a 2췍 췍x i p 췍췍a p ㊂(1)其中,췍a 0=(a m 0;a l 0,a r 0,a s 0,a t 0)是直觉模糊数,췍a j =(a m j ;a l j ,a r j ,a s j ,a t j)是直觉模糊参数㊂根据定义4,可得췍y ^i =a m 0+ðpj =1a m j x i j ;a l 0+ðpj =1a l j x i j ,a r 0+ðpj =1a r j x i j ,a s 0+ðpj =1a s j x i j ,a s 0+ðpj =1a tjx i ()j ㊂(2) 采用模糊最小二乘法来估计模型参数㊂通过样本观测值来确定直觉模糊参数,使其在距离d 下满足观测值췍y i 与估计值췍y ^i 的误差平方和S S E =ðni =1d 2(췍yi -췍y ^i )最小㊂根据定义5,可得S S E =ðn i =1y mi-a m-ðpj =1a mj x i()j 2-a 1ðn i =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y li-al 0-ðpj =1a ljx i ()j -a 1ðn i =1y m i-a m 0-ðp j =1a mj xi()j y si-as 0-ðpj =1a sjx i ()j +b 1ðni =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y ri-ar 0-ðpj =1a rjx i ()j +b 1ðni =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y ti -at 0-ðpj =1a tjx i ()j +a 2ðni =1y l i-a l 0-ðpj =1a lj xi()j 2+a 2ðni =1y si-a s 0-ðpj =1asj x i ()j 2+b 2ðni =1y r i-a r 0-ðpj =1a rj xi()j 2+b 2ðni =1y ti-a t 0-ðpj =1atj x i ()j 2㊂(3)令췍S S E 췍a m 0=0,췍S S E 췍a l 0=0,췍S S E 췍a r 0=0,췍S S E 췍a s 0=0,췍S S E 췍a t 0=0,可得a m=-y m-ðpj =1a m j -x j ,a l 0=-y l -ðp j =1a l j-x j ,a r 0=-y r -ðpj =1a r j-x j ,a s 0=-y s -ðpj =1a s j-x j ,a t 0=-y t-ðpj =1a t j -x j üþýïïïïïïïïïïïïïï㊂(4)式中:-ym =ðni =1ymin ,-yl =ðni =1ylin,-yr =ðni =1yrin,-yt =ðni =1ytin,-ys =ðni =1ysin,-xj =ðni =1xi jn㊂将式(4)代入式(3),可得525第6期 翟 忱等:基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型S ᶄS E =ðni =1(y mi--y m )-ðpj =1a m j(x i j --x j [])2-a 1ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y l i --y l )-ðpj =1a l j (x i j --x j ))-a 1ðn i =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j(x i j --x j )()(y s i--y s)-ðpj =1a s j (x i j --x j ))+b 1ðni =(1(y m i --y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y r i --y r )-ðpj =1a r j (xi j --x j ))+b 1ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y t i --y t )-ðpj =1a t j (x i j --x j ))+a 2ðn i =(1(y l i--y l )-ðpj =1a l j (x i j --x j ))2+a 2ðni =(1(y s i --y s )-ðpj =1a s j (x i j --x j ))2+b 2ðni =(1(y ri--y r)-ðpj =1a r j(x i j --x j ))2+b 2ðni =(1(y ti--y t)-ðpj =1a t j (x i j --x j ))2㊂(5)令췍S ᶄS E 췍a m j =0,췍S ᶄS E 췍a l j =0,췍S ᶄS E 췍a r j =0,췍S ᶄS E 췍a s j =0,췍S ᶄS E 췍a t j=0,可得2ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j )+a 1ðni =(1(y l i --y l )-ðp j =1a lj (x i j --x j ))(x i j --x j )+a 1ðni =(1(y s i --y s )-ðpj =1a s j (x i j --x j ))(x i j --x j )-b 1ðn i =(1(y r i--y r)-ðpj =1a r j(x i j --x j ))(x i j --x j )-b 1ðni =(1(y t i --y t )-ðpj =1a t j (x i j--x j ))(x i j --x j )=0,2a 2ðni =(1(y li--y l )-ðp j =1a l j (x i j --x j ))(x i j --x j )=a 1ðn i =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2a 2ðni =(1(y si--y s)-ðpj =1a s j (x i j --x j ))(x i j --x j )=a 1ðn i =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2b 2ðni =(1(y r i--y r )-ðpj =1a r j (xi j --x j ))(x i j --x j )=-b 1ðni =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2b 2ðni =(1(y t i --yt )-ðpj =1a t j (x i j --x j ))(x i j --x j )=-b 1ðni =(1(y m i--y m )-ðp j =1a m j (xi j --x j ))(x i j --x j )㊂引入如下符号:a m=a m 1︙a m æèçççöø÷÷÷p ,a l =a l 1︙a l æèçççöø÷÷÷p ,a r =a r 1︙a r æèçççöø÷÷÷p ,a s =a s 1︙a s æèçççöø÷÷÷p ,a t =a t1︙a t æèçççöø÷÷÷p ;Y m =y m 1︙y m æèçççöø÷÷÷n ,Y l =y l 1︙y l æèçççöø÷÷÷n ,Y r =y r 1︙y r æèçççöø÷÷÷n ,Y s =y s 1︙y s æèçççöø÷÷÷n ,Y t=y t 1︙y t æèçççöø÷÷÷n ;625沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷Y m c =y m 1--y m ︙y m n --y æèçççöø÷÷÷m ,Y l c =y l 1--y l ︙y l n --y æèçççöø÷÷÷l ,Y r c =y r 1--y r ︙y r n --y æèçççöø÷÷÷r ,Y s c =y s 1--y s ︙y s n --y æèçççöø÷÷÷s ,Y t c=y t 1--y t ︙y t n --y æèçççöø÷÷÷t ;X =x 11 x 1p ︙︙︙x n 1 x n æèçççöø÷÷÷p ,X c =x 11--x 1 x 1p --x p ︙︙︙x n 1--x 1 x n p --x æèçççöø÷÷÷p ,췍X =(-x 1,-x 2, ,-x p )㊂若X c TX 是非奇异矩阵,可得a m =(X c T X c )-1X c T Y mc ,a l =(X c T X c )-1X c T Y l c ,a r=(X c T X c )-1X c T Y rc ,a s=(X c T X c )-1X c T Y sc ,a t =(X c T X c )-1X c T Y t c ìîíïïïïïï㊂则参数估计的结果为^a m =(X c T X c )-1X c T Ym c ,^a l =(X c T X c )-1X c T Y l c ,^a r =(X c T X c )-1X c T Y r c ,^a s =(X c T X c )-1X c T Y s c ,^a t =(X c T X c )-1X c T Y t c ,a m 0=-y m -췍X ^a m ,a l 0=-y l -췍X ^a l ,a r 0=-y r -췍X^a r ,a s 0=-y s -췍X ^a s ,a t 0=-y t -췍X ^a t üþýïïïïïïïï㊂(6)3 模糊回归模型的检验A r e f i 等[7]基于直觉模糊集合之间的相似度定义了平均相似度来检验模型的拟合程度㊂该方法通过计算预测值与观测值之间的相似度来检验模型的拟合程度,计算过程中需要计算预测值与观测值的隶属度与非隶属度,计算过程较为复杂㊂本文根据定义5,定义了模型(1)的离差平方和以及回归平方和,建立了模型(1)的模糊判定系数,可通过模糊判定系数来检验模型的拟合优度㊂定义7 称S S T =ðni =1d 2(췍y i ,췍y -)为离差平方和,S S R =ðni =1d 2(췍y ^i ,췍y -)为回归平方和㊂其中췍y -=(-y m ;-yl ,-y r,-y s,-yt)㊂记췍Y m ,췍Y l ,췍Y r ,췍Y s ,췍Y t 为-y m ,-y l ,-y r ,-y s ,-yt 构成的n ˑ1维列向量,则有S S T =(Y m -췍Y m )T (Y m -췍Y m )+a 2(Y l -췍Y l )T (Y l -췍Y l )+b 2(Y r -췍Y r )T (Y r -췍Y r )+a 2(Y s -췍Y s )T (Y s -췍Y s )+b 2(Y t -췍Y t )T (Y t -췍Y t )-a 1(Y m -췍Y m )T (Y l -췍Y l )+b 1(Y m -췍Y m )T (Y r -췍Y r )-a 1(Y m -췍Y m )T (Y s -췍Y s )+b 1(Y m -췍Y m )T (Y t -췍Y t )㊂令(Y m -췍Y m )=(Y m -^Y m +^Y m -췍Y m ),(Y l -췍Y l )=(Y l -^Y l +^Y l -췍Yl ),(Y r -췍Y r )=(Y r -^Y r +^Y r -췍Y r ),(Y s -췍Y s )=(Y s -^Y s +^Y s -췍Y s ),(Y t -췍Y t )=(Y t -^Y t +^Y t -췍Yt )㊂可得S S T =S S E +S S R +2(Y m -^Y m )T (^Y m -췍Y m )+2a 2(Y l -^Y l )T (^Y l -췍Y l )+2b 2(Y r -^Y r )T (^Y -췍Y r )T +2a 2(Y s -^Y s )T (^Y s -췍Y s )T +2b 2(Y t -^Y t )T (^Y t -췍Y t )-a 1(Y m -^Y m )T (^Y l -췍Y l )-a 1(^Y m -췍Y m )T (Y l -^Y l )+b 1(Y m -^Y m )T (^Y r -췍Y r )-b 1(^Y m -췍Y m )T (Y r -^Y r )-a 1(Y m -^Y m )T (^Y s -췍Y s )-a 1(^Y m -췍Y m )T (Y s -^Y s )+b 1(Y m -^Y m )T (^Y t -췍Y t )-b 1(^Y m -췍Y m )T (Y t -^Y t )㊂由于^a m =(X c T X c )-1X c T Y m c ,^Y m =X ^a m +1^a m 0,1为n 维单位列向量,则有(Y m -^Y m )T (^Y m -췍Y m )=(Y m -X ^a m -1^a m 0)T (X ^a m +1^a m 0-췍Ym )=(Y m -X ^a m -췍Y m +1췍X ^a m )T (X ^a m +췍Y m -1췍X ^a m -췍Y m )=(Y m c -X c ^a m )T (X c ^a m )=0㊂725第6期 翟 忱等:基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型重复以上步骤,可得S S T =S S E +S S R ,则有如下定义定义8 直觉模糊回归模型的模糊判定系数췍R 2为췍R 2=1-S S E S S T =S S R S S T㊂ 由S S T =S S E +S S R 可知췍R 2的取值范围是0到1㊂当췍R 2=1时,S S E =0,所有观测点都落在回归直线上,模型完美地拟合了所有的观测值;当췍R 2=0时,预测值等于观测值的均值,自变量无法解释因变量的任何变化㊂所以췍R 2越接近1,表明回归平方和占离差平方和的比例越大,回归曲线与各观测点越接近,模型拟合程度就越好;反之,췍R2越接近0,模型的拟合程度就越差㊂4 算 例假设模型为췍y =x 췍(0.55;0.2,0.4)췍(0.7;0.5,1)췍(εm ;εl ,εs ),其中췍y 是对称三角直觉模糊样本,其隶属度与非隶属度函数为L (x )=R (x )=1-x ,且l =r 和s =t ,εm ,εl ,εs是随机误差,服从标准正态分布㊂随机生成一组数据,如表1所示㊂表1 随机数据T a b l e1 R a n d o md a t aymylysx 17.634328.09097314.617183026.869328.54660019.024454726.9964610.45167019.759584825.207079.06086318.145184519.749427.18002915.705153520.574457.82975315.185233319.253717.57519913.388583323.2494310.49692017.503414119.387836.93308012.928953228.9393911.03894022.333545027.4505910.84918019.839344821.653228.45708215.738793726.216069.25967320.616014626.5223710.52221022.562644927.5689210.52361021.103795023.314059.09373720.334114424.202428.13756517.338364023.479318.10379816.360134021.004139.49821816.796323728.3470510.43138020.5462148︙︙︙︙图1 拟合图像F i g .1 F i t t i n g i m a ge 根据式(6),通过模糊最小二乘法,求出模糊回归模型为췍y =x 췍(0.5502;0.2016,0.4087)췍(0.7945;0.4901,0.7456)㊂ 根据定义8,可以求出模型的模糊判定系数为췍R 2=0.87024,说明模型的拟合效果很好㊂模型拟合效果如图1所示㊂5 结 论本文提出了基于L R 型直觉模糊数的模糊线性回归模型,讨论了模糊最小二乘法在直觉模糊环境中的扩展,构建了精确输入㊁模糊输出的模糊回归模型㊂给出了模型参数的具体表达形式,且参数估计825沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷的结果不受直觉模糊样本的隶属度㊁非隶属度函数形状的影响,所以本文提出的模型适用于不同类型的直觉模糊样本㊂直觉模糊集同时考虑了隶属度和非隶属度,比经典模糊集更符合实际情况,相较于基于经典模糊集合的模糊回归模型,本文提出的模型能更好的处理现实中的模糊问题㊂为了检验模型拟合程度的好坏,本文定义了模糊判定系数,扩展了模型检验的方法㊂模糊判定系数无需考虑观测值与预测值的隶属度与非隶属度,计算方法简单易行㊂本文不足之处在于没有考虑直觉模糊变量分布,不能对参数进行假设检验,只能通过模糊判定系数来检验模型拟合度㊂参数的假设检验以及计算参数的置信区间是笔者未来的研究内容㊂参考文献:[1]T A N A K A H ,U E J I MA S ,A S A IK.L i n e a r r e g r e s s i o na n a l y s i sw i t hf u z z y m o d e l [J ].I E E E T r a n s a c t i o n so nS y s t e m s M a na n d C yb e r n e t ic s ,1982,12(6):903907.[2]P H I LD.F u z z y l e a s t s qu a r e s [J ].I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,1988,46(3):141157.[3]H O S S E I N Z A D E H E ,HA S S A N P O U R H.E s t i m a t i n g t h e p a r a m e t e r so ff u z z y l i n e a rr e g r e s s i o n m o d e lw i t hc r i s p i n p u t sa n d G a u s s i a n f u z z y o u t p u t s :a g o a l p r o g r a mm i n g a p p r o a c h [J ].S o f tC o m p u t i n g,2021,25(4):27192728.[4]G O N G Y B ,Y A N G S X ,MA H L ,e ta l .F u z z y r e g r e s s i o n m o d e lb a s e do ni n c e n t r ed i s t a n c ea n da p p l i c a t i o nt oe m p l o y e e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f F u z z y S y s t e m s ,2018,20(8):26322639.[5]H A S S A N P O U R H ,MA L E K IH R ,Y A G H O O B IM A.F u z z y l i n e a r r e g r e s s i o nm o d e lw i t h c r i s p c o e f f i c i e n t s :a g o a l p r o g r a mm i n g a p p r o a c h [J ].I r a n i a nJ o u r n a l o f F u z z y S ys t e m s ,2010,7(2):1939.[6]A T A N A S S O V K T.I n t u i t i o n i s t i c f u z z y s e t s [J ].F u z z y S e t s a n dS ys t e m s ,1986,20(1):8796.[7]A R E F I M ,T A H E R IS M.L e a s t -s q u a r e sr e g r e s s i o n b a s e do na t a n a s s o v si n t u i t i o n i s t i cf u z z y i n p u t s -o u t p u t sa n da t a n a s s o v s i n t u i t i o n i s t i c f u z z yp a r a m e t e r s [J ].I E E ET r a n s a c t i o n s o nF u z z y S ys t e m s ,2015,23(4):11421154.[8]P A R V A T H IR ,MA L A T H IC ,A K R AM M ,e ta l .I n t u i t i o n i s t i cf u z z y l i n e a rr e g r e s s i o na n a l y s i s [J ].F u z z y O p t i m i z a t i o na n d D e c i s i o n M a k i n g,2013,12(2):215229.[9]C H E NL H ,N I E N S H.M a t h e m a t i c a l p r o g r a mm i n g a p p r o a c ht o f o r m u l a t e i n t u i t i o n i s t i c f u z z y r e g r e s s i o n m o d e lb a s e do n l e a s t a b s o l u t e d e v i a t i o n s [J ].F u z z y O p t i m i z a t i o na n dD e c i s i o n M a k i n g ,2020,19(2):191210.[10]G UH A D ,C H A K R A B O R T Y D.At h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t o f d i s t a n c em e a s u r e f o r i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u m b e r s [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s a n d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,2010,2010:125.[11]D E S C H R I J V E R G.A r i t h m e t i co p e r a t o r s i ni n t e r v a l -v a l u e df u z z y s e tt h e o r y [J ].I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,2007,177(14):29062924.[12]P R Z E MY S ŁAW G.D i s t a n c e s a n do r d e r i n g s i n a f a m i l y o f i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u m b e r s [C ]ʊP r o c e e d i n gs o f t h e 3r dC o n f e r e n c e o f t h eE u r o p e a nS o c i e t y f o rF u z z y L o g i c a n dT e c h n o l o g y ,Z i t t a u ,G e r m a n y ,S e p t e m b e r 10-12,2003:213217.ʌ责任编辑:肖景魁ɔ925第6期 翟 忱等:基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型。

直觉模糊微积分

直觉模糊微积分

直觉模糊微积分引言微积分是数学中的一门重要学科，涉及到函数、极限、导数和积分等概念。

微积分的发展与应用已经深入到各个领域，包括物理学、工程学、经济学等等。

然而，传统的微积分理论在处理模糊问题时存在局限性。

直觉模糊微积分（Intuitionistic Fuzzy Calculus）是一种新兴的数学工具，能够有效地处理模糊问题。

本文将介绍直觉模糊微积分的基本概念、运算规则以及应用领域。

直觉模糊集在介绍直觉模糊微积分之前，我们先来了解直觉模糊集的基本概念。

直觉模糊集是一种扩展的模糊集，它的隶属度函数不仅可以表示模糊程度，还可以表示不确定度。

直觉模糊集的隶属度函数是一个三元组，包括模糊度、确定度以及不确定度三个维度，分别用数值表示。

直觉模糊集可以用来描述人类的直觉认知，更符合人类对不确定性问题的处理方式。

直觉模糊微积分的基本概念直觉模糊微积分通过引入直觉模糊数和直觉模糊函数的概念，将传统微积分理论推广到模糊环境中。

直觉模糊数是一个具有隶属度函数的数值，可以用来表示直觉模糊集合。

直觉模糊函数是一个从直觉模糊集到直觉模糊集的映射，可以看作是一种模糊函数关系。

在直觉模糊微积分中，我们定义了直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算规则。

直觉模糊导数可以看作是直觉模糊函数的斜率，它表征了函数在某一点上的变化情况。

直觉模糊积分是直觉模糊函数在某一区间上的累积效应，可以用来计算函数曲线下的面积。

直觉模糊微积分的运算规则直觉模糊微积分的运算规则包括直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算性质。

直觉模糊导数具有线性性、乘法性以及链式法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行求导。

直觉模糊积分具有线性性、区间性以及换元法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行积分。

直觉模糊微积分的应用领域直觉模糊微积分在多个领域具有广泛的应用。

在工程学中，直觉模糊微积分可以用于模糊控制系统的设计与优化。

在经济学中，直觉模糊微积分可以用于风险分析与决策制定。

直觉模糊集的性质及应用

直觉模糊集的性质及应用

直觉模糊集的性质及应用[摘要]：美国学者L.A.Zadeh于1965年提出模糊集合的概念以来，大量处理不确定性的理论陆续开始提出，其中多数是对Zadeh的模糊集合理论的推广。

学者K.T.Atanassov在1984年推广了这一理论，提出了直觉模糊集和区间值直觉模糊集两个概念，接着于1999年又给出了格上的直觉模糊集理论。

本文以直觉模糊集为研究对象，对广义区间值直觉模糊集的相关概念和性质进行了研究，推广了熵和子集度的概念，讨论了熵、子集度以及相似度三者之间的关系。

[关键词]：直觉模糊集；区间值；熵；子集度；相似度Properties and Applications ofIntuitionistic Fuzzy Sets[Abstract]: Since L.A.Zadeh introduced fuzzy sets in 1965, a lot of new theories treating imprecision and uncertainty have been introduced. Some of them are extensions of fuzzy set theory. K.T.Atanassov extended this theory, proposed the definition of intuitionistic fuzzy sets and interval-valued intuitionistic fuzzy sets (IVIFS, for short). And then, in the year 1999, Atanassov defined a Lattice-intuitionistic fuzzy set.This dissertation focuses on intuitionistic fuzzy sets, which covers conception and properties of VIFS, extends entropy and subsethood onto VIFS and discusses the relation among entropy, subsethood and similarity. [Keywords]: Intutionistic fuzzy sets；Interval valued ；Entropy；Subsethood；Similarity1、引 言在十九世纪末，德国数学家Cantor 创立了集合论[1]。

基于粗糙集理论的知识发现与推理技术研究

基于粗糙集理论的知识发现与推理技术研究

基于粗糙集理论的知识发现与推理技术研究随着信息技术的飞速发展，我们所接触到的数据越来越庞大，如何从这些数据中提取出有价值的信息，成为了信息学界的一个重要研究方向。

其中，基于粗糙集理论的知识发现与推理技术，成为了近年来研究的热点之一。

本文将对该领域的研究现状和前沿做一个总结和介绍。

一、粗糙集理论粗糙集理论是Polkowski和Skowron于1982年提出的，是一种从不完备和模糊的数据中提取知识的方法。

其主要思想是在给定的数据集中寻找属性间的约简，以建立一个简化后的数据模型，用来代表原始数据的识别需求。

粗糙集理论的应用广泛，在数据挖掘、模式识别、决策分析等领域都有重要应用。

粗糙集理论的关键概念包括：等价类、下近似集和上近似集等，这些概念的具体解释和使用在不同的应用场景下各有侧重。

二、基于粗糙集理论的知识发现基于粗糙集理论的知识发现是指从粗糙集的等价类中发现存在的规律、模式和特征。

这些规律和模式则可以进一步用于分类、聚类和数据降维等，从而在更广泛的应用中得到具体的应用。

在知识发现的过程中，粗糙集理论可以用在数据特征选择和数据分类等场景下。

以特征选择为例，基于粗糙集理论可以解决多特征冗余的问题。

对于每个特征，可以计算它对分类结果的影响程度，从而保留对分类结果有较大影响的特征，使特征的维度不至于过高，在减少计算复杂度的同时，尽可能保证分类准确率。

三、基于粗糙集理论的知识推理基于粗糙集理论的知识推理是指根据已知的规则和模式，对新数据进行分类或预测等，以逐渐完善数据模型。

知识推理可以采用分类规则、决策树等多种方式来实现，而采用粗糙集理论的知识推理方式，通常使用下近似集和上近似集等概念来进行分类。

在基于粗糙集理论的知识推理中，一般存在两种方式：一种是确定性知识推理，另一种是不确定性知识推理。

其中确定性知识推理通常采用约简算法，用于对数据进行二元分类，而不确定性知识推理则涉及模糊分类和模糊决策等模糊理论中的概念。

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门1. 刖言Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全，不确定问题的两种方法，是经典集合论的推广，它们各自具有优点和特点，并且分别在许多领域都有成功的应用，如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等•模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型，隶属函数多数是凭经验给出的，带有明显的主观性；粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想，作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具，它无需任何先验信息，能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息，对不确定集合的分析方法是客观的• 两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性，同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合，产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论，并且发挥着不同的优势•本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上，分析和总结了模糊集和粗糙集理论，对二者进行了全面的比较.2. 基本概念这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质•2.1模糊集模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法•模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求，一个对象对应于一个集合,要么属于，要么不属于，二者必居其一；而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.2.1.1模糊集合的基本定义定义1设X是有限非空集合，称为论域，X上的模糊集A用隶属函数表示如下：A: X > [0,1], x > A(x)其中A(x)表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F(X).模糊集合的数学表示方式为A ={( x, A(x)) | x X}, where A(x) [0,1]2.1.2模糊集合的运算设代B为X上的两个模糊集，它们的并集，交集和余集都是模糊集，且其隶属函数分别定义为A B = max{ A(x), B(x)} - x XA B 二min{ A(x), B(x)} ~x X_A =1 _ A2.1.3模糊集合的关系模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数A(x), B(x)作为集合之间的关系表示的.(1) 模糊集合之间的相等：rw nr rvA = B= A(x)二B(x) —x X(2) 模糊集合之间的包含：A B= A(x)乞B(x) —x X2.1.4截集与支集定义2 对于 A F(X)和任意■ ■ [0,1],定义={x A(x) > 人}A； = {x A(x) > 人}分别为A的■截集和A的■强截集.特别的,当，=1时,A为A的核；当‘ =0 时,A为A的支集.表示为如下：core( A) = A ={x A(x) =l}support (A)=兀={x A(x) =0}则根据上面截集的概念，模糊子集通过■截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法，截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.2.2粗糙集2.2.1粗糙集合的基本定义(1) 粗糙集合提出的背景由于经典逻辑只有真假二值之分，而在现实生活中存在许多含糊的现象，并不能简单的用真假值来表示.于是，在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege提出了含糊(vague) 一词，他把含糊现象归结到边界线上.1965年丄.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念，试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh的FS方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.1982年，波兰华沙理工大学乙Pawlak教授针对G. frege的边界线区域思想提出了Rough Sets理论.Pawlak的RS方法：把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.(2) 粗糙集合的定义粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述，直接从给定的问题的描述集合出发，通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域找出问题内在规律•定义2设K =(X,A,V, f)是一个知识库,其中X是一个非空集合,称为论域.A=C D是属性的非空有限集合，C为D的决策属性，C D-：，，V a是属性a A 的值域，f : X A > V是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值•定义3设X是一个有限的非空论域，R为X上的等价关系,等价关系R把集合X划分为多个互不相交的子集，每个子集称为一个等价类，用[X]R来表示，[X]R二{y・X xRy},其中x・X ,称x,y为关于R的等价关系或者不可分辨关系.论域X上的所有等价类的集合用X / R来表示.2.2.2上、下近似集,粗糙度(1) 上下近似集的定义定义4对于任意的丫 X,Y的R上、下近似集分别定义为R(Y) = {Z X / R|Z 丫=门}R(Y)二{Z X / R| Z Y}集合posR(Y)称为集合丫的正域，posR(Y) =R(Y);集合negR(Y) = X -貝X) 称为集合Y的负域；集合bnR(Y)二R(Y) -R(Y)称为Y的R边界域.集合的不确定性是由于边界域的存在，集合的边界域越大，精确性越低,粗糙度越大.当R(Y)=R(Y)时，称Y为R的精确集；当R(Y)=R(Y)时，称Y为R的粗糙集, 粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.(2) 粗糙度粗糙度是表示知识的不完全程度，由等价关系R定义的集合X的粗糙度为：门|RX|：R(X)十一RX其中X学①,X表示集合X的基数.3研究对象、应用领域及研究方法3.1模糊集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 模糊集的研究对象模糊集研究不确定性问题，主要着眼于知识的模糊性，强调的是集合边界的不分明性•(2) 模糊集的应用领域模糊集理论⑸广泛应用与现代社会与生活中，主要有以下几个方面：消费电子产品、工业控制器、语音辨识、影像处理、机器人、决策分析、数据探勘、数学规划以及软件工程等等•(3) 研究方法模糊集理论的计算方法是知识的表达和简化.从知识的“粒度”的描述上来看,模糊集是通过计算对象关于集合的隶属程度来近似描述不确定性；从集合的关系来看,模糊集强调的是集合边界上的病态定义，也即集合边界的不分明性；从研究的对象来看，模糊集研究属于同一类的不同对象间的隶属关系，强调隶属程度；从隶属函数来看，模糊集的隶属函数反映了概念的模糊性，而且模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的，带有强烈的主观意志.3.2粗糙集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 粗糙集的研究对象[6]粗糙集理论研究不确定性问题，基于集合中对象间的不可分辨性思想，建立集合的子集边缘的病态定义模型•(2) 粗糙集的应用领域粗糙集理论在近些年得到飞速发展，在数据挖掘，模式识别,粗糙逻辑方面取得较大进展•与粗糙集理论相关的学科主要有以下几方面：人工智能，离散数学, 概率论,模糊集理论，神经网络,计算机控制，专家系统等等[7].(3) 粗糙集的研究方法粗糙集理论的研究方法就是对知识的含糊度的一个刻画，其计算方法主要是连续特征函数的产生•粗糙集理论研究认知能力产生的集合对象之间的不可分辨性,通过引入一对上下近似集合，用它们的差集来描述不确定的对象•从集合的关系来看,粗糙集强调的是对象间的不可分辨性，与集合上的等价关系相联系；从研究的对象来看，粗糙集研究的是不同类对象组成的集合关系，强调分类；从隶属函数来看,粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得，是客观的[8] .4.基本研究内容4.1模糊集理论研究的主要内容模糊集理论研究的内容很广泛，主要包括以下几方面：模糊控制，模糊聚类分析,模糊模式识别，模糊综合评判，模糊集的扩展•4.1.1模糊控制自从Zadeh发展出模糊集理论之后，对于不明确系统的控制有极大的贡献，自七十年代以后，便有一些实用的模糊控制器相继的完成，使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步，在此将对模糊控制理论做一番浅介[6].模糊控制利用模糊集理论的基本思想和理论的控制方法•在传统的控制领域里，控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键，系统动态的信息越详细,则越能达到精确控制的目的•然而,对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以正确的描述系统的动态，于是工程师便利用各种方法来简化系统动态，以达成控制的目的，但却不尽理想.换言之，传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力，但对于过于复杂或难以精确描述的系统，则显得无能为力了.所以,模糊集理论便被用来处理这些控制问题.4.1.2模糊聚类分析模糊聚类分析的研究是基于模糊等价关系和以及模糊分类上的[4].主要有以下的定理以及定义.定理1令R是一个模糊等价关系,并且0 —〉：：：: -1,则对- y • X有[y]"=[y]R：..定义5设数据集X二{X1,X2，…,X n},且A1,A2,…，A c是其一个分类,若该分类满足以下条件：⑴ 对- k ,存在i 使得X k 三A ；(2) 对所以i 均有A =门;则称该分类是X 的一个模糊划分.基于上面的理论，我们可以用一个划分矩阵D = (d ik )cn 来刻画数据集的分类 其中0 , X k 「A 定义6对于上面的矩阵 (1) d ik ©"；c⑵' dik =1, -k ;i ni(3) ' d ik 0, -i ；k 4则称D 是X 上的一个精确的 定义7设c 和n 时两个给定的正整数若模糊矩阵 D = (d ik )cn 满足以下三个条件：(1) d ik〔0,1〕； c(2) 二.d ik = 1, _ k ;i 吕 n(3) 0 ；二 d ik :: n, -i ;k 丝则称D 为X 上的一个模糊的c-划分矩阵.定义 8 设 X 二{X 1,X 2, ,X n }R m , V 二{V 1,V 2, ,V c } R m , D=(d ik )cn (CE n) 是X 上的一个模糊的c-划分矩阵,则c n J(D,V) 乂乂 [d ik 卩 M —X k 彳(p R )^4 k z!称为模糊划分上的一个聚类准则函数，这里m 2丄|x |[送(X ⑴)]2i 7 定义9如果对于任意的X ={X ,,X 2，…,X n }R m ,存在V\{v ；,v 2,…，v ；}5 R m 以及模糊的c-划分矩阵D *使得J(D,V^i J(D *,V *)对所有的X 二{X 1,X 2，…，X n } R m 以及模糊的c-划分矩阵D 都成立，则称D *为最 优模糊c-划分矩阵，V *为一个模糊聚类中心.d ik 二D,若其满足以下三个条件：c-划分矩阵.4.1.3模糊模式识别模糊模式识别是利用模糊集理论对行为的识别 .根据识别模式的性质，可以 将模式识别分为两类：具体事物的识别，如对文字，音乐,语言等周围事物的识别； 抽象事物的识别，如对已知的一个论点或者一个问题的理解等 .下面介绍一些基 本的定理及定义.定义10清晰度增强因子：令A F(X)是X 上的一个模糊集,定义另外一个模糊集I ⑵(A) • F(X),其中I ⑵(A)(x) 称I ⑵(A)(x)为清晰度增强因子4.1.4模糊综合评判模糊综合评判是利用模糊集理论对一个事物进行评价.具体的过程为：将评 价目标看成是由多种因素组成的模糊集合 X,再设定这些因素所能选取的评审 等级,组成评语的模糊集合(称为评判集V ),分别求出各单一因素对各个评审等 级的归属程度(称为模糊矩阵D),然后根据各个因素在评价目标中的权重分配，通过计算(称为模糊矩阵合成),求出评价的定量解值.定义11设f ：[0,1]n > [0,1]满足以下几个条件：(1) 花=X 2 二 二X n =X= f(X 1,X 2, ,X n )二 X ；(2) X j ⑴兰 X j ⑵二 f (捲，…,X ij , X (1),X+"^ 必)兰 f (洛，…,X i 』，X (2),Xy , X n ),W ；(3) f(X 1,X 2/ ,X n )对每个变量都是连续的；则称f 为n-维综合函数.常用的n-维综合函数主要有加权平均函数，几何平均函数，单因素决策函数 显著因素准则函数等等.4.2粗糙集理论研究的主要内容粗糙集理论作为一种数据分析处理理论 ，无论是在理论方面还是在应用实践方面都取得2A(x)2 , 1-2(1-A(x)) A(x) [0,0.5] A(x) (0.5,1]了很大的进展，展示了它光明的前景，因而其研究内容以及领域也是非常广泛的，主要包括以下几方面：变精度粗糙集，集值信息系统，粗糙集理论的应用，支持向量基等.421变精度粗糙集变精度粗糙集模型［9］是Pawlak粗糙集模型的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入了'(^ - :：: 0.5),即允许一定的错误分类率存在，这一方面完善了近似空间的概率，另一方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据集中发现相关的数据.当然,变精度粗糙集模型的主要任务是解决属性间无函数或不确定关系的数据分类问题.当1 =0时,Pawlak粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例.4.2.2集值信息系统集值信息系统⑸是信息系统的一般化模型，在实际应用中信息系统随着对象的变化而不断地动态变化.S = (X ,AT)是信息系统,其中X是对象的非空有限集合,AT是属性的非空有限集合,对于每个AT有a:X > V a,其中V a称为a的值域.每个属性子集A AT决定了一个不可区分关系ind(A):ind(A)={(x, y) X X|~a・代a(x)二a(y)}.关系ind (A)( AT)构成了X的划分,用X/i nd (A)来表示.对于一个对象，一些属性值可能是缺省的.为了表明这种情况，通常给定一个区分值(即空值null value)给出这些属性定义12如果至少有一个属性a・AT使得V a含有空值,则称S是一个不完备信息系统［5］,否则称它是完备的，我们用*表示空值.设S是一个不完备信息系统，a • AT使得V a含有空值*时，并且该空值*的取值为一个集合，该集合的元素是这个属性中其他所有可能值的集合，则S就是集值信息系统.423支持向量基支持向量机(Support Vector Machine,SVM)[10][11] 是Corinna Cortes 和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是广泛应用在神经信息处理系统(Neural Information Processing Systems,NIPS),但是，现今,SVM 已经在所有的机器学习研究领域中起着重要作用•SVM 是一种学习系统，他利用高维空间中的线性分类器，在这个空间中建立一个最大的间隔超平面，这里的最大是基于最优化理论的.广义的SVM起源于统计学习理论[12].5.模糊集与粗糙集的结合由上面的讨论可知，模糊集理论与粗糙集理论各具特点，两种理论有着很强的联系与互补性，因此将两者的特点结合起来形成研究不完全数据集的有效方法.此外,通过模糊聚类和粗糙集两种方法进行属性的对象约简和属性约简，可以使数据得到横向和纵向两个方向上的约简，对象约简是引入了相似性的概念进行模糊聚类的过程，对象约简改变了标准粗糙集模型的不可分辨关系的确定条件由于粗糙集所处理的都是离散数据，所以在数据分析中需要应用模糊聚类或隶属函数离散化，进而应用粗糙集理论属性约简、提取规则.所以结合模糊集、粗糙集理论能够有效地分析数据，提高生成规则的可信性和和合理性，倒出可信的规则集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集结合模糊集和粗糙集两种理论可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型，当知识库中的知识模块是清晰的概念，而被描述的概念是一个模糊的概念，人们建立粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理；当知识库中的知识模块是模糊知识而被近似的概念是模糊概念时，则需要建立模糊粗糙集模型，也有人将普通关系推广称模糊关系或者模糊划分而获得模糊粗糙集模型•定义13设R是X上的一个等价关系,A F(X) , • • [0,1],模糊集A、A以fij 及A s的上下近似分别为：R(A,)={X・X|[X]R A, *}, R(A,)二{x X|[X]R A,}— s c s . S sR(A )二{x X |[X]R A, -：」}, R(AJ ={X X |[X]R A,} R(A)二{x X |[X]R A—：，},R(A)二{X X|[X]R』A}可以验证，当A是X上的经典集合时，上面所介绍的上下近似就是Pawlak意义下的上下近似.定义14设R是X上的等价关系，A是X的一个模糊集合，A- F(X),则A 关于R 的上下近似分别定义如下：A R(X) =sup{A(y) | y [X]R},企(x) =inf{ A(y)|y [X]R}可以看出，模糊集A F(X)关于等价关系R的上下近似仍为模糊集合，若A R =A R ,则称A是可定义的，否则称A是粗糙集，称A是A关于近似空间(X , R) 的正域，称~ A R是A关于(X , R)的负域，称A R (~ A R)为A的边界• A R可以理解为对象X 肯定属于模糊集A的隶属程度；A R理解为对象X可能属于模糊集A的隶属程度，同样可以验证，当A时X上的经典集合时，就是Pawlak意义下的上下近似•在标准粗糙集模型中引入变精度，提高了相对近似精度，而在粗糙模糊集引入变精度,得到新定义：A R(X)二sup{A(y) | y [X]R A(y) 1 - ：}A R(X)，inf{A(y)|y [X]R A(y) 一J这样下近似集合中元素隶属度降低，而上近似的隶属度提高，提高了相对精度•5.2粗糙隶属函数粗糙隶属函数式借助模糊理论来研究粗糙集理论的方法，通过粗糙隶属度函数可以将粗糙集理论与模糊集理论联系起来，建立一种粗糙集理论与模糊集理论的关系,并得到一些性质.定义15设R是论域X上的一个相似关系，若A是X上的一个模糊集合，则A关于R的一个下近似R(A)和上近似R(A)分别定义为X上的一个模糊集合，称隶属函数A(x)表示的是x 的等价类[X ]R 隶属于A 的程度.由定义14和定义15可以得到：模糊集A 的下近似且关于等价关系R 的等价 类隶属于A 的程度为1;模糊集A 的上近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为大于0小于1,因此有：性质 1 Core(A)二 & ={x| A(x) =1,x X/R}二RAs support(A) =A 0 ={x| A(x)》0,x E X / R}bnR(A)二R A —RA 二{x|0 ：： A(x) ：：：1,x X / R}negR(A) =X — R A ={X | A(x) =0,x X / R} 性质 2 y [X ]R 二 A(x)二 A(y)[X ]R 』A= A (x ) =1[X ]R A - '」一A(x) = 0[X ]R 二 A a nd [x]R 二 A(x) (0,1)6总结本文系统的介绍了模糊集理论与粗糙集理论，二者研究的主要内容，以及二者 的结合的相关理论•是对本学期所学的模糊计算和粗糙计算的一个简单的小结，也 是我本人对该学科的一个简单的入门•为粗糙隶属度函数⑸，定义为A(x) 粗糙隶属函数表示的是一个模糊概念 |A [X ]R |般不是Zadeh 意义下的隶属函数.粗糙参考文献[1] L.A.Zadeh, Fuzzy sets[J], I nformation and Con trol, 1965,8:338-353.[2] Pawlak Z, Rough sets[J], I ntern ati onal Jour nal of Computer andIn formation scie nee, 1982,1(11):341-356.[3] 胡宝清,模糊理论基础，武汉:武汉大学出版社,2010.[4] 张文修,模糊数学基础，西安:西安交通大学出版社，1984.⑸张文修,粗糙集理论与方法，北京:科学出版社,2001[6] http://baike.baidu.eom/view/87377.htm[7] K. Y. Cha n, C.K. Kwo ng, B.Q. Hu, Market segme ntation and ideal poi ntidentification for newproduet design using fuzzy data eompression andfuzzy clusteri ng methods[J], Applied Soft Computi ng, 2012, 12, 1371-1378.[8] Z.Pawlak, Rough sets and fuzzy sets [J], Fuzzy sets and Systems,1985,17,99-102.[9] Beynon M.Reducts within the variable precision rough sets model: afurther investigation[J], European Journal of Operational Research,2001,134:592-605.[10] 邓乃扬，田英杰，数据挖掘中的新方法：支持向量基，北京：科学出版社,2004.[11] 邓乃扬，田英杰，支持向量基-理论、算法与拓展，北京：科学出版社,2009.[12] V.Vap nik, Statistical Learni ng Theory, Joh n Wiley & Son s, 1998.。

基于覆盖的直觉模糊粗糙集_张植明

基于覆盖的直觉模糊粗糙集_张植明
本文用 IF(U × U ) 表示 U 上直觉模糊子集的全 体. 2.2 直觉模糊逻辑算子
定义 4[9] 设 L = {(α, β)|α ∈ [0, 1], β ∈ [0, 1], α + β 1}, 在 L 上定义如下关系 L:
∀(α, β), (ξ, η) ∈ L, (α, β) L (ξ, η) ⇔ α ξ, β η.
河北丰宁人, 讲师, 硕士, 从事模糊统计与决策分析等研究.
1370
控
制
与
决
策
第 25 卷
2 预备知识
2.1 直觉模糊集 定义 1[8] 设 U 是一个非空集合, U 上的一个直
觉模糊集 A 具有如下形式:
A = { x, µA(x), νA(x) |x ∈ U }. 其中: µA : U → [0, 1], νA : U → [0, 1], 且满足条件 0 µA(x) + νA(x) 1, ∀x ∈ U . 这里 µA(x) 和 νA(x) 分别 表示U 中元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度. 本文 用 IF(U ) 表示 U 上直觉模糊集的全体.
张植明1a, 白云超1b, 田景峰2
(1. 河北大学 a. 数学与计算机学院，b. 经济学院，河北 保定 071002； 2. 华北电力大学 科技学院，河北 保定 071051)
摘 要: 通过直觉模糊覆盖概念将覆盖粗糙集模型进行推广, 提出一种基于直觉模糊覆盖的直觉模糊粗糙集模型.
首先, 介绍了直觉模糊集、直觉模糊覆盖和直觉模糊逻辑算子等概念; 然后, 利用直觉模糊三角模和直觉模糊蕴涵,
假设t是l上连续直觉模糊t模i是定义在l上的直觉模糊蕴涵对于任意的aifua关于近似空间ur的t上近似和i下近似是定义在u上的一对直觉模糊集其中rtax?yutrxyayriax?yuirxyay?xu32基于直觉模糊覆盖的直觉模糊粗糙集定义14假设c是u的一个直觉模糊覆盖称二元组uc是一个推广的直觉模糊近似空间

直觉模糊粗糙集的公理化

直觉模糊粗糙集的公理化

种处理不完备 和不精确信息 的重要方 法Ｌ 是 ３
Ｚｄ ｈ 糊集 思 想 的推 广 ， 保 留模 糊 集 隶 属 度 ａｅ 模 在
的基础 上 ， 加 了一 个 新 的 属 性参 数—— 非 隶 属 增
系。本文在文献［ ］ ６ 公理组的基础上 ， 出直觉模 提
糊 集 的 ２ 运算 ， 出 直觉 模 糊 粗 糙 集 的 另一 组 种 给
ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｅ ａ ｉｍａ ｉ ｓ ｓｅ ｏ ｎ ｕｔ ｎｓｉ ｕ ｚ ｏ ｇ ｅ ｓｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ｅ １ ｔ ｅｏ ～ ｈ ｓ ａ ｅ ，ａ ｄ ａｎ ｗ ｘｏ ｔ ｙ ｔｍ ｆｉ ｔ ｉｉ ｉｔ ｆ ｚ ｙｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ｓ ｒ ｐ ｓ ｄ ｂ ｓ ｄ Ｏ１ ｈ ｐ ｃ ｏ ｃ
第３ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ４月
合 肥 工 业 大 学 学 报 （自然科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ Ｈ ＥＦ ＥＩＵＮＩ ＲＳＴＹ ＣＨＮＯＬＯＧＹ ＶＥ Ｉ ＯＦ ＴＥ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ４ １３ ． Ａｐ ． ２ １ ｒ ００
直 觉 模 糊 粗 糙 集 的公 理 化
［］ ６基于直觉模糊关系将粗糙集 和直觉模 糊集有 机地 结合 起来 ， 出 了一 种 全新 的直 觉 模 糊 粗糙 提 集概 念 ， 富和发 展 了模 糊 粗 糙 集 理论 ［ ］在 不 丰 ７ ， 确定信息系统建模和处理上更具灵活性 ，、 过程控制、 模式识别与
Ａｘ ｏ ａ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｎｔ ｉｉｎｉｔｃ ｆ ｚ ｙ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ｉｍ ｔｚ ｔｏ ｆｉ ｕ ｔｏ ｓｉ ｕ ｚ ｏ ｇ ｅ ｓ
ＹＡＮＧ ｎ ＺＨ Ｕ ａ — ｈ ｎ Ｙｏ ｇ ， Ｘｉｏ ｚ ｏ ｇ ， ＬＩＬｉ ｎ ａ。

不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集

不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集

㊀第53卷第2期郑州大学学报(理学版)Vol.53No.2㊀2021年6月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Jun.2021收稿日期:2020-08-06基金项目:国家自然科学基金项目(61573127);河北省自然科学基金项目(A2018210120,A2020208004);河北省人才工程培养项目(A2017002112);河北省高等学校科学技术研究项目(QN2019062)㊂作者简介:张利亭(1994 ),女,硕士研究生,主要从事粗糙集和粒计算研究,E-mail:152****8753@;通信作者:冯涛(1980 ),女,教授,主要从事粗糙集和粒计算研究,E-mail:fengtao_new@㊂不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集张利亭,㊀冯㊀涛,㊀李㊀欢(河北科技大学理学院㊀河北石家庄050018)摘要:在不完备信息系统中把缺失值视为已知属性值集合的幂集,根据集合的性质定义了不完备信息系统中对象间的相似度和相异度,它们可以分别看作直觉模糊关系的隶属度和非隶属度,由此可以得到新的直觉模糊相似关系以及直觉模糊相似关系的截关系㊂用直觉模糊相似关系的截关系代替经典决策粗糙集模型中的等价关系,得到一种基于不完备信息系统的直觉模糊三支决策方法,并分别讨论了悲观者㊁中立者㊁乐观者的决策规则㊂最后通过实例验证了该方法的合理性和有效性㊂关键词:不完备信息系统;直觉模糊数;直觉模糊相似关系;直觉模糊决策粗糙集;三支决策中图分类号:O235㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2021)02-0057-09DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20202430㊀引言在日常生活中,有很多客观或主观的因素导致信息系统中某些对象的属性值缺失㊂或许是人为所致,或许是系统所含缺陷所致,各种因素直接或间接地影响信息系统中所含对象的属性值的不完整性㊂在一个信息系统中,如果对象的某些属性值是未知或部分已知,那么这一信息系统将被定义为不完备信息系统(incomplete information system,IIS)[1]㊂不完备信息系统中的缺失属性值有三类:第一类是该属性值是存在的,但是我们不知道,为此,文献[2-4]对容差关系㊁等价关系以及限制容差的关系进行了讨论[5];第二类是不能确定属性值是否存在,为此,文献[6]提出了一种新的限制相似关系,文献[7]依据新建立的非对称相似关系得到了近似集的概念;第三类是属性值不存在㊂在已知的针对不完备信息系统的处理方法中包含数学统计法㊁模糊集理论法以及粗糙集理论法三种㊂在以往的粗糙集理论中,对于上下近似的定义是基于概念之间的相交或者包含关系,而没有对概念之间相交的程度进行考量,其定义方式不够细致完善,会影响决策方案的选择㊂为了解决这一问题,文献[8]在经典粗糙集理论中引入了具有容错能力的阈值,用阈值来描述概念之间相交的程度㊂为了处理决策粗糙集的方法在决策过程中产生风险损失的问题,文献[9]引入了损失函数,并将损失函数与贝叶斯决策理论相结合提出了三支决策理论,给出了三支决策理论模型中正域㊁负域㊁边界域的语义描述㊂目前针对三支决策的研究分为三大类:第一类是对理论模型的扩展[10-13];第二类是对属性约简等方法的研究[14-16];第三类是三支决策在医学㊁信息学和管理学等领域的应用[17-18]㊂该理论的核心问题之一是三支模型的确定,已有的三支模型方法大多是处理完备信息的,对一些信息不完备的情况,需要对决策粗糙集模型中已存在的模型进行拓展补充㊂文献[19-20]在处理不完备信息时引入区间数;文献[21]考虑到区间内概率取值相同会对决策结果产生误差,进而引入三角模糊数,提出不完备信息系统的三角模糊数决策粗糙集模型;文献[22]结合梯形模糊数比三角模糊数更具一般性㊁灵活性和易于计算等特点,提出不完备信息系统的梯形模糊数三支决策㊂在此基础上,考虑到直觉模糊数同时具有隶属度与非隶属度两方面的信息,能更好地刻画事物的 非此非彼 的模糊本质,其在理论方面也有一些扩展[23-24]㊂上述研究在处理不完备信息时,将缺失值视为与系统中已知属性值的类型一样或者是进行填补㊂本文郑州大学学报(理学版)第53卷将缺失值视为每个属性上已知属性值集合的幂集,利用幂集的特点,借助直觉模糊关系引入两个对象的相似关系和相异关系,得到直觉模糊信息粒,为不完备信息系统的直觉模糊三支决策打下基础㊂在此基础上,与三支决策思想相结合,可以进一步研究直觉模糊决策粗糙集模型的三支决策方法,并针对不同决策者给出不同的决策分析㊂1㊀基础知识1.1㊀直觉模糊集的相关知识定义1[25]㊀设U 为给定的论域,则称A ={(x ,μA (x ),νA (x ))x ɪU }为U 上的直觉模糊集,其中μA (x )称为x 属于A 的程度,νA (x )称为x 不属于A 的程度,简称为隶属度和非隶属度㊂∀x ɪU ,0ɤμA (x )+νA (x )ɤ1,称πA (x )=1-μA (x )-νA (x )为x 属于A 的犹豫度,πA (x )ɪ[0,1]㊂定义2[26]㊀设A ㊁B 为U 上的任意两个直觉模糊集,其运算如下:①A ⊆B 当且仅当∀x ɪU ,μA (x )ɤμB (x )且νA (x )ȡνB (x );②A ɘB ={x ,min(μA (x ),μB (x )),max(νA (x ),νB (x ))x ɪU };③A ɣB ={x ,max(μA (x ),μB (x )),min(νA (x ),νB (x ))x ɪU };④A C ={(x ,νA (x ),μA (x ))x ɪU }㊂定义3[26]㊀设A ={(x ,μA (x ),νA (x ))x ɪU }是直觉模糊集,∀x ɪU ,(μA (x ),νA (x ))是直觉模糊数,简记为x =(μx ,νx )㊂基于直觉模糊集的定义和运算,文献[25]定义了直觉模糊相似度的概念㊂定义4[25]㊀称sim (A ,B )为A 和B 的直觉模糊相似度,若满足如下条件:①sim (A ,B )为直觉模糊数;②sim (A ,B )=(1,0)当且仅当A =B ;③sim (A ,B )=sim (B ,A );④若A ⊆B ⊆C ,则sim (A ,C )ɤL sim (A ,B )且sim (A ,C )ɤL sim (B ,C )㊂1.2㊀概率粗糙集的相关知识定义5[27]㊀设R 为U 上的等价关系,∀x i ,x j ɪU ,[x i ]R ={x j (x i ,x j )ɪR }称为x i 关于R 的等价类㊂定义6[28]㊀设U 为非空有限论域,R 为U 上的等价关系,对于∀X ⊆U ,定义R X ={x ɪU [x ]R ⊆X };㊀R X ={x ɪU [x ]R ɘX ʂ∅}㊂㊀㊀R X 称为X 的下近似集,R X 称为X 的上近似集㊂当R X =R X 时,称X 为R 上可定义的,即X 是精确集;当R X ʂR X 时,称X 为R 上不可定义的,即X 是粗糙集㊂定义7[28]㊀设(U ,R ,P )为概率近似空间,对于任意实数θ㊁η满足0ɤη<θɤ1,X ⊆U ,定义集合X依参数θ㊁η的概率上㊁下近似为R ηX ={x ɪU P (X [x ]R )>η};R θX ={x ɪU P (X [x ]R )ȡθ}㊂㊀㊀当R θX =R ηX 时,称X 依参数θ㊁η关于概率近似空间(U ,R ,P )是概率可定义的;当R θX ʂR ηX 时,称X 依参数θ㊁η关于概率近似空间(U ,R ,P )是概率不可定义的㊂表1㊀决策代价损失Table 1㊀Decision cost lossΛX (P )¬X (P )a P λPP λPN a BλBPλBNa N λNP λNN 1.3㊀决策理论粗糙集模型决策理论粗糙集模型[19]利用两种状态集和三种行动集来描述决策过程㊂状态集Ω={X ,¬X },其中X 和¬X 分别表示对象属于X 和对象不属于X ㊂行动集Λ={a P ,a B ,a N },其中a P 表示接受决策,a B 表示延迟决策,a N 表示拒绝决策㊂考虑到采取不同的行动会产生不同的损失,表1给出了对应的决策代价损失㊂其中λPP ㊁λBP ㊁λNP 分别表示对象x 属于状态X 时,采取行动a P ㊁a B ㊁a N 下的损失;λPN ㊁λBN ㊁λNN 分别表示对象x 不属于状态X 时,采取行动a P ㊁a B ㊁a N 下的损失㊂因此,采取三种不同行动a P ㊁a B ㊁a N 下的期望损失可表示为R (a P [x ]R )=λPP P (X [x ]R )+λPN P (¬X [x ]R ),R (a B [x ]R )=λBP P (X [x ]R )+λBN P (¬X [x ]R ),R (a N [x ]R )=λNP P (X [x ]R )+λNN P (¬X [x ]R ),85㊀第2期张利亭,等:不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集式中:[x ]R 表示对象x 的等价类;条件概率P (X [x ]R )=X ɘ[x ]R[x ]R,P (¬X[x ]R )=1-P (X [x ]R )㊂基于常识可知,做出一个正确决策产生的损失小于做出错误决策产生的损失,故有0ɤλPP ɤλBP <λNP ,0ɤλNN ɤλBN <λPN ㊂依据贝叶斯最小风险决策规则,可以获得如下决策规则㊂接受规则(P):若R (a P [x ]R )ɤR (a B [x ]R )且R (a P [x ]R )ɤR (a N [x ]R ),则x ɪPOS (X );延迟规则(B):若R (a B [x ]R )ɤR (a P [x ]R )且R (a B [x ]R )ɤR (a N [x ]R ),则x ɪBND (X );拒绝规则(N):若R (a N [x ]R )ɤR (a P [x ]R )且R (a N [x ]R )ɤR (a B [x ]R ),则x ɪNEG (X )㊂2㊀不完备信息系统的直觉模糊相似关系2.1㊀不完备信息系统定义8[1]㊀令四元组IS =(U ,AT ,V ,f )为信息系统,U 为非空有限的对象集合;AT 为非空有限的属性集合;V =ɣa ɪAT V a 为属性值值域,V a 为属性a 的值域;f :U ˑAT ңV 为信息函数㊂对于∀a ɪAT ,x ɪU 有f (x ,a )ɪV a ㊂若f (x ,a )=∗为未知值,则V =ɣa ɪAT Vᶄa ,Vᶄa=V a ɣ{∗},此时(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统[1]㊂若有f (x ,a )=∗,规定f (x ,a )⊆2V a-{∅}㊂本文不完备信息系统中的 ∗ 被认为是遗漏的㊂2.2㊀直觉模糊相似关系定义9[29]㊀设U 和V 为非空有限论域,定义在直积空间U ˑV 上的直觉模糊子集R 称为从U 到V 之间的二元直觉模糊关系,记为R (x ,y )=(μR (x ,y ),νR (x ,y )),∀x ɪU ,y ɪV ,其中:μR :U ˑV ң[0,1],νR :U ˑV ң[0,1]满足0ɤμR (x ,y )+νR (x ,y )ɤ1㊂IFR (U ˑV )表示U ˑV 上的直觉模糊关系的全体㊂定义10[29]㊀R ɪIFR (U ˑU ),称R 为相似关系,若R 满足:①自反性㊂∀x ɪU ,μR (x ,x )=1,νR (x ,x )=0㊂②对称性㊂∀(x ,y )ɪU ˑU ,μR (x ,y )=μR (y ,x ),νR (x ,y )=νR (y ,x )㊂不完备信息系统IIS =(U ,AT ,V ,f )中,∀a ɪAT ,当f (x ,a )=f (y ,a )时,认为x 和y 在属性a 下不可区分㊂当f (x ,a )ɘf (y ,a )=∅时,认为x 和y 在属性a 下完全可区分㊂定义11㊀令IIS =(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统,x 和y 为论域U 中的任意两个对象,∀a ɪAT ,则x ㊁y 关于属性a 的相似度S a (x ,y )和相异度D a (x ,y )分别为S a (x ,y )=1,f (x ,a )=f (y ,a )ʂ∗,0,f (x ,a )ʂf (y ,a )ɡ(f (x ,a )ʂ∗ɡf (y ,a )ʂ∗),12V a -1,(f (x ,a )=∗ɡf (y ,a )ʂ∗)ᶱ(f (x ,a )ʂ∗ɡf (y ,a )=∗),2V a-1(2V a -1)2,f (x ,a )=∗ɡf (y ,a )=∗,ìîíïïïïïïïïïïD a (x ,y )=0,f (x ,a )=f (y ,a )ʂ∗,1,f (x ,a )ʂf (y ,a )ɡ(f (x ,a )ʂ∗ɡf (y ,a )ʂ∗),2V a -1-12V a-1,(f (x ,a )=∗ɡf (y ,a )ʂ∗)ᶱ(f (x ,a )ʂ∗ɡf (y ,a )=∗),3V a -2Va+1+1(2V a -1)2,f (x ,a )=∗ɡf (y ,a )=∗㊂ìîíïïïïïïïïïï㊀㊀定理1㊀令IIS =(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统,x 和y 为论域U 中的任意两个对象,∀a ɪAT ,S a (x ,95郑州大学学报(理学版)第53卷y )㊁D a (x ,y )分别为对象x ㊁y 关于属性a 的相似度和相异度㊂sim a (x ,y )=(S a (x ,y ),D a (x ,y ))则为对象x ㊁y 关于属性a 的直觉模糊相似度㊂性质1㊀设IIS =(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统,sim a (x ,y )=(S a (x ,y ),D a (x ,y )),∀a ɪAT ,则1)f (x ,a )=f (y ,a )当且仅当sim a (x ,y )=(1,0)㊂2)f (x ,a )ʂf (y ,a )ɡ(f (x ,a )ʂ∗ɡf (y ,a )ʂ∗)当且仅当sim a (x ,y )=(0,1)㊂基于定理1,定义了一种新的直觉模糊相似关系来描述论域U 中对象x 与y 的相似度㊂定义12㊀设IIS =(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统,U ={x 1,x 2, ,x m },AT ={a 1,a 2, ,a n }㊂∀x ,y ɪU ,∀a ɪAT ,直觉模糊相似关系SR (x ,y )定义为SR (x ,y )=(ða ɪATS a (x ,y )n,ða ɪATD a (x ,y )n)㊂㊀㊀定义13㊀设U ={x 1,x 2, ,x m },AT ={a 1,a 2, ,a n },SR (x ,y )是U 上的直觉模糊相似关系,∀λ1,λ2ɪ[0,1],0ɤλ1+λ2ɤ1,1)定义SR 的(λ1,λ2)-截关系SR (λ1,λ2)为SR (λ1,λ2)={(x ,y )ɪU ˑUða ɪATS a (x ,y )nȡλ1,ða ɪATD a (x ,y )nɤλ2}㊂2)∀x ɪU ,定义(λ1,λ2)-截直觉模糊相似类为[x ]SR (λ1,λ2)={y ɪU (x ,y )ɪSR (λ1,λ2)}㊂㊀㊀接下来定义直觉模糊关系SR 的(λ1,λ2)-截关系的近似和三支决策㊂定义14㊀令IIS =(U ,AT ,V ,f )为不完备信息系统,SR (λ1,λ2)为直觉模糊相似关系SR 的(λ1,λ2)-截关系,∀λ1,λ2,p ,q ɪ[0,1]满足0ɤp <q ɤ1,0ɤλ1+λ2ɤ1,X ⊆U ,定义集合X 关于(λ1,λ2)的直觉模糊决策粗糙集的上㊁下近似分别为SR p (λ1,λ2)(X )={x ɪU P (X [x ]SR (λ1,λ2))>p };SR q (λ1,λ2)(X )={x ɪU P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡq },其中:P (X [x ]SR (λ1,λ2))=X ɘ[x ]SR (λ1,λ2)[x ]SR (λ1,λ2)㊂对象x 的(λ1,λ2)-截直觉模糊相似类至少包含x ,所以[x ]SR (λ1,λ2)ʂ0㊂由定义14生成的正域㊁负域㊁边界域分别为POS (X )=SR q (λ1,λ2)(X )={x ɪU P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡq };NEG (X )=U -SR p (λ1,λ2)(X )={x ɪU P (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤp };BND (X )=SR p (λ1,λ2)(X )-SR q (λ1,λ2)(X )={x ɪU p <P (X [x ]SR (λ1,λ2))<q }㊂㊀㊀正域代表接受决策,负域代表拒绝决策,边界域代表延迟决策㊂当p =0,q =1时,此时退化为经典粗糙集㊂3㊀基于不完备信息系统的直觉模糊三支决策贝叶斯决策过程由两种状态和三种行动组成,设不同状态采取不同行动所带来的损失以直觉模糊值的形式给出,则不同状态下对应的直觉模糊损失值如表2所示㊂表2㊀不同状态下对应的直觉模糊损失值Table 2㊀Corresponding intuitionistic fuzzy loss value in different statesΛX (P )¬X (P )a P λPP =(μ(λPP ),ν(λPP ))λPN =(μ(λPN ),ν(λPN ))a BλBP =(μ(λBP ),ν(λBP ))λBN =(μ(λBN ),ν(λBN ))a N λNP =(μ(λNP ),ν(λNP ))λNN =(μ(λNN ),ν(λNN ))㊀㊀实际决策时,不同的决策者对同一件事物进行决策往往会有不同的态度,有的决策者持乐观态度,有的6㊀第2期张利亭,等:不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集决策者持悲观态度,有的决策者保持中立的态度㊂通过对表2的分析可得:1-ν(λkl )(k =P ,B ,N ;l =P ,N )表示乐观决策者的损失值,μ(λkl )表示悲观决策者的损失值,(μ(λkl )+1-ν(λkl ))/2则表示中立决策者的损失值㊂为了把三种决策者的损失值统一到一个模型里,引入风险系数h 来表示不同决策者的风险态度[30],其中0ɤh ɤ1㊂于是给出定义15㊂定义15[30]㊀设λkl =(μ(λkl ),ν(λkl ))为决策者在两种状态下采取不同行动的直觉模糊损失值,h 为决策者的风险系数,则不同风险态度的决策者在不同状态下采取不同行动的风险损失E h (λkl )定义为E h (λkl )=(1-h )μ(λkl )+h (1-ν(λkl ))㊂㊀㊀当h 为0㊁0.5㊁1时,分别代表悲观型㊁中立型㊁乐观型的决策者㊂因此,采取三种不同行动a P ㊁a B ㊁a N 下的期望损失可表示为R (a k [x ]SR (λ1,λ2))=E h (λkP )P (X [x ]SR (λ1,λ2))+E h (λkN )P (¬X [x ]SR (λ1,λ2)),k =P ,B ,N ,式中:[x ]SR (λ1,λ2)表示对象x 的(λ1,λ2)-截直觉模糊相似类;P (¬X [x ]SR (λ1,λ2))=1-P (X [x ]SR (λ1,λ2))㊂依据贝叶斯最小风险决策规则,可以获得如下决策规则㊂接受规则(P1):若R (a P[x ]SR (λ1,λ2))ɤR (a B [x ]SR (λ1,λ2))且R (a P [x ]SR (λ1,λ2))ɤR (a N [x ]SR (λ1,λ2)),则x ɪPOS (X );拒绝规则(N1):若R (a N[x ]SR (λ1,λ2))ɤR (a P[x ]SR (λ1,λ2))且R (a N[x ]SR (λ1,λ2))ɤR (a B [x ]SR (λ1,λ2)),则x ɪNEG (X );延迟规则(B1):若x ɪU -POS (X )-NEG (X ),则x ɪBND (X )㊂考虑到实际情况,做出一个正确决策产生的损失小于做出错误决策产生的损失,故有μ(λPP )<μ(λBP )<μ(λNP ),ν(λNP )<ν(λBP )<ν(λPP ),μ(λNN )<μ(λBN )<μ(λPN ),ν(λPN )<ν(λBN )<ν(λNN )㊂㊀㊀那么由(P1)㊁(N1)㊁(B1)可以获得如下决策规则㊂(P2):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡα且P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡγ,则x ɪPOS (X );(N2):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤβ且P (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤγ,则x ɪNEG (X );(B2):若x ɪU -POS (X )-NEG (X ),则x ɪBND (X )㊂其中:α=(1-h )(μ(λPN )-μ(λBN ))+h (ν(λBN )-ν(λPN ))(1-h )(μ(λPN )-μ(λBN )+μ(λBP )-μ(λPP ))+h (ν(λBN )-ν(λPN )+ν(λPP )-ν(λBP ));β=(1-h )(μ(λBN )-μ(λNN ))+h (ν(λNN )-ν(λBN ))(1-h )(μ(λBN )-μ(λNN )+μ(λNP )-μ(λBP ))+h (ν(λNN )-ν(λBN )+ν(λBP )-ν(λNP ));γ=(1-h )(μ(λPN )-μ(λNN ))+h (ν(λNN )-ν(λPN ))(1-h )(μ(λPN )-μ(λNN )+μ(λNP )-μ(λPP ))+h (ν(λNN )-ν(λPN )+ν(λPP )-ν(λNP ))㊂㊀㊀若满足β<γ<α,那么由(P2)㊁(N2)㊁(B2)可以获得如下决策规则㊂(P3):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡα,则x ɪPOS (X );(N3):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤβ,则x ɪNEG (X );(B3):若βɤP (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤα,则x ɪBND (X )㊂否则,由(P2)㊁(N2)㊁(B2)可以获得如下决策规则㊂(P3ᶄ):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ȡmax{α,γ},则x ɪPOS (X );(N3ᶄ):若P (X [x ]SR (λ1,λ2))ɤmin{γ,β},则x ɪNEG (X );(B3ᶄ):若x ɪU -POS (X )-NEG (X ),则x ɪBND (X )㊂对λ1㊁λ2和h 的取值进行分析,可得在定义13中λ1㊁λ2的值决定着决策偏好的粒度㊂λ1值越大㊁λ2值越小,表示不可区分关系越强㊂在定义15中h 为决策者的风险系数,风险规避者讨厌高风险并将更高的成本用于错误的损失,因此风险规避者选择的h 值较小㊂风险爱好者追求高风险㊁高回报,他们通过错误的决策来降低成本,因此风险爱好者选择的h 值较大㊂1626郑州大学学报(理学版)第53卷4㊀实例分析以不完备医学流感诊断决策表[21]为例,U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}为病人编号;条件属性集C={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}表示病人的7种症状:体温㊁咳嗽㊁流鼻涕㊁头疼㊁恶心㊁痰多㊁肌肉疼痛;决策属性集D={X,¬X},其中X表示病人得流感,¬X表示病人未得流感㊂根据医生的经验,X={x1,x4,x5,x7, x8}时,这些病人更容易得流感,病人患病的实际情况如表3所示㊂表3㊀病人患病的实际情况Table3㊀The㊀㊀为了方便描述,在表3中根据医生的经验和每个属性的属性值有如下定义:对于a1,1㊁2㊁3分别代表高㊁较高㊁正常;对于a2㊁a3㊁a5㊁a6,1㊁2分别代表是㊁不是;对于a4㊁a7,1㊁2㊁3分别代表很严重㊁有点严重㊁不严重;∗代表缺失值㊂对象U中任意两位患者x i㊁x j的直觉模糊相似关系为:SR(x i,x i)=(1,0),i=1,2, ,10㊂SR(x1,x2)= SR(x2,x5)=SR(x9,x10)=(0.068,0.823),SR(x1,x3)=SR(x5,x7)=SR(x5,x10)=(0.238,0.667),SR(x1,x4)= SR(x1,x9)=SR(x2,x10)=SR(x5,x9)=(0.639,0.252),SR(x1,x5)=SR(x3,x7)=SR(x3,x10)=SR(x7,x10)= (0.381,0.524),SR(x1,x6)=(0.088,0.741),SR(x1,x7)=SR(x3,x5)=(0.667,0.238),SR(x1,x8)=(0.810, 0.079),SR(x1,x10)=(0.190,0.746),SR(x2,x3)=SR(x2,x7)=SR(x3,x9)=SR(x7,x9)=(0.354,0.537), SR(x2,x4)=(0.184,0.694),SR(x2,x6)=(0.612,0.239),SR(x2,x8)=(0.116,0.728),SR(x2,x9)=(0.020, 0.892),SR(x3,x4)=SR(x4,x5)=SR(x4,x7)=(0.497,0.395),SR(x3,x6)=SR(x6,x10)=(0.517,0.313), SR(x3,x8)=(0.286,0.571),SR(x4,x6)=(0.327,0.525),SR(x4,x8)=SR(x8,x9)=(0.544,0.299),SR(x4, x9)=(0.612,0.265),SR(x4,x10)=(0.211,0.680),SR(x5,x6)=(0.231,0.599),SR(x5,x8)=(0.381, 0.508),SR(x6,x7)=(0.374,0.440),SR(x6,x8)=(0.136,0.646),SR(x6,x9)=(0.184,0.668),SR(x7,x8)= (0.714,0.143),SR(x8,x10)=(0.238,0.651)㊂假设给定λ1=0.5,λ2=0.5,则直觉模糊相似关系SR(x,y)的(λ1,λ2)-截直觉模糊相似类[x i]SR(λ1,λ2) (i=1,2, ,10)为:[x1]SR(λ1,λ2)=[x8]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x7,x8,x9},[x2]SR(λ1,λ2)=[x10]SR(λ1,λ2)={x2,x6,x10}, [x3]SR(λ1,λ2)={x3,x5,x6},[x4]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x8,x9},[x5]SR(λ1,λ2)={x3,x5,x9},[x6]SR(λ1,λ2)={x2,x3,x6, x10},[x7]SR(λ1,λ2)={x1,x7,x8},[x9]SR(λ1,λ2)={x1,x4,x5,x8,x9}㊂条件概率P(X[x i]SR(λ1,λ2))(i=1,2, ,10)为:P(X[x1]SR(λ1,λ2))=P(X[x8]SR(λ1,λ2))= P(X[x9]SR(λ1,λ2))=0.8,P(X[x2]SR(λ1,λ2))=P(X[x6]SR(λ1,λ2))=P(X[x10]SR(λ1,λ2))=0, P(X[x3]SR(λ1,λ2))=P(X[x5]SR(λ1,λ2))=0.33,P(X[x4]SR(λ1,λ2))=0.75,P(X[x7]SR(λ1,λ2))=1㊂设λPP=(0.1,0.9),λPN=(0.9,0.1),λBP=(0.3,0.5),λBN=(0.3,0.6),λNP=(0.8,0.2),λNN=(0.1, 0.8)㊂当h=0时,得出悲观决策者的阈值为α=0.75,β=0.29,γ=0.53,可得POS(X)={x1,x4,x7,x8, x9},BND(X)={x3,x5},NEG(X)={x2,x6,x10};当h=0.5时,得出中立决策者的阈值为α=0.65,β=0.33,γ=0.52,可得POS(X)={x1,x4,x7,x8,x9},NEG(X)={x2,x3,x5,x6,x10};当h=1时,得出乐观决策者的阈值为α=0.56,β=0.40,γ=0.50,可得POS(X)={x1,x4,x7,x8,x9},NEG(X)={x2,x3,x5,x6,x10}㊂从结果中可以得出,乐观决策者认为x3是不患病的;悲观决策者认为x3有可能患病,需要做进一步诊断,符合认知规律㊂悲观决策者和乐观决策者所取的阈值α㊁β有所不同,悲观决策者的α值比乐观决策者的α值偏大,㊀第2期张利亭,等:不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集但β值偏小,这说明悲观决策者厌恶风险,可以通过较大的α值和较小的β值来避免生病被延误的概率;而乐观决策者通过较小的α值和较大的β值获取无病的概率㊂下面讨论λ1㊁λ2取不同值时对应的悲观㊁中立㊁乐观决策者的决策,结果如表4所示㊂在表4中,随着决策偏好粒度(λ1,λ2)的变化,决策者的选择也会发生变化㊂当(λ1,λ2)=(0.5,0.3)时,悲观㊁中立㊁乐观决策者认为x3需要做进一步诊断;当λ2ɤ0.2时,悲观㊁中立㊁乐观决策者认为x3不需要做进一步诊断㊂当λ2ɤ0.2时,与文献[21]中Lȡ0.8的结果相同㊂本文方法在粒度较细时,直觉模糊相似关系的截关系中的元素将发生变化,产生新的决策结果,可以在一定程度上纠正实际经验值产生的误差㊂表4㊀λ1㊁λ2取不同值时对应的决策结果Table4㊀The different decision results corresponding toλ1,λ2values(λ1,λ2)决策区域悲观决策者h=0中立决策者h=0.5乐观决策者h=1(0.1,0.5) (0.2,0.5) (0.3,0.5) (0.4,0.5)POS(X)BND(X)NEG(X){x1,x7,x8,x9}{x3,x4,x5}{x2,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}{x3,x5}{x2,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}{x3,x5}{x2,x6,x10}(0.5,0.5) (0.5,0.4)POS(X)BND(X)NEG(X){x1,x4,x7,x8,x9}{x3,x5}{x2,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}∅{x2,x3,x5,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}∅{x2,x3,x5,x6,x10}(0.5,0.3)POS(X)BND(X)NEG(X){x1,x4,x7,x8,x9}{x3,x5}{x2,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}{x3}{x2,x5,x6,x10}{x1,x4,x7,x8,x9}{x3}{x2,x5,x6,x10}(0.5,0.2) (0.5,0.1)POS(X)BND(X)NEG(X){x1,x4,x5,x7,x8}∅{x2,x3,x6,x9,x10}{x1,x4,x5,x7,x8}∅{x2,x3,x6,x9,x10}{x1,x4,x5,x7,x8}∅{x2,x3,x6,x9,x10}5㊀结束语本文在不完备信息系统中,从决策粗糙集出发,利用直觉模糊数来设定损失函数,采用新定义的直觉模糊相似关系的截关系代替等价关系来进行分类㊂然后结合贝叶斯决策过程,在不完备信息系统中应用直觉模糊决策粗糙集,提出了一种基于不完备信息系统的直觉模糊数的决策粗糙集模型,给出了该模型的三支决策规则和方法㊂通过一个实例说明决策过程,并对该模型中的参数进行了分析㊂本研究为不完备信息系统中三支决策理论模型拓展提供了一种新方法㊂参考文献:[1]㊀KRYSZKIEWICZ M.Rough set approach to incomplete information systems[J].Information sciences,1998,112(1/2/3/4):39-49.[2]㊀赵卫东,曹文彬,戴伟辉.不完全信息下的粗集拓展[J].系统工程学报,2002,17(6):481-485.ZHAO W D,CAO W B,DAI W H.Extension of rough set theory under incomplete information[J].Journal of systems engineer-ing,2002,17(6):481-485.[3]㊀张宏宇,梁吉业.不完备信息系统下的变精度粗糙集模型及其知识约简算法[J].计算机科学,2003,30(4):153-155.ZHANG H Y,LIANG J Y.Variable precision rough set model and a knowledge reduction algorithm for incomplete information system[J].Computer science,2003,30(4):153-155.[4]㊀王国胤.Rough集理论在不完备信息系统中的扩充[J].计算机研究与发展,2002,39(10):1238-1243.WANG G Y.Extension of rough set under incomplete information systems[J].Journal of computer research and development, 2002,39(10):1238-1243.[5]㊀杨习贝,杨静宇,於东军,等.不完备信息系统中的可变精度分类粗糙集模型[J].系统工程理论与实践,2008,28(5):116-121.3646郑州大学学报(理学版)第53卷YANG X B,YANG J Y,YU D J,et al.Rough set model based on variable parameter classification in incomplete information systems[J].Systems engineering-theory&practice,2008,28(5):116-121.[6]㊀罗珺方,秦克云.不完备信息系统中对象的相似性刻画[J].计算机科学,2016,43(1):242-245.LUO J F,QIN K Y.Similarity of objects in incomplete information systems[J].Computer science,2016,43(1):242-245.[7]㊀STEFANOWSKI J,TSOUKIÀS A.Incomplete information tables and rough classification[J].Computational intelligence,2001,17(3):545-566.[8]㊀YAO Y Y,WONG S K M,LINGRAS P.A decision theoretic rough set model[J].Methodologies for intelligent systems,1990,5:17-24.[9]㊀YAO Y Y.Three-way decisions with probabilistic rough sets[J].Information sciences,2010,180(3):341-353.[10]GRECO S,MATARAZZO B,SŁOWIN'SKI R.Parameterized rough set model using rough membership and Bayesian confirma-tion measures[J].International journal of approximate reasoning,2008,49(2):285-300.[11]王旭生.基于序贯三支决策的多类分类研究[D].合肥:安徽大学,2019.WANG X S.Research on multi-category classification based on sequential three-way decision[D].Hefei:Anhui University, 2019.[12]李帅,王国胤,杨洁.基于云综合方法的三支群决策模型[J].计算机应用,2019,39(11):3163-3171.LI S,WANG G Y,YANG J.Three-way group decisions model based on cloud aggregation[J].Journal of computer applica-tions,2019,39(11):3163-3171.[13]岳文琦,张楠,童向荣,等.混合决策信息系统的模糊效用三支决策模型[J].郑州大学学报(理学版),2020,52(1):24-32.YUE W Q,ZHANG N,TONG X R,et al.Fuzzy utility three-way decisions model in hybrid decision information systems[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2020,52(1):24-32.[14]王宇,杨志荣,杨习贝.决策粗糙集属性约简:一种局部视角方法[J].南京理工大学学报,2016,40(4):444-449.WANG Y,YANG Z R,YANG X B.Local attribute reduction approach based on decision-theoretic rough set[J].Journal of Nanjing university of science and technology,2016,40(4):444-449.[15]方宇,高磊,刘忠慧,等.基于三支决策的广义代价敏感近似属性约简[J].南京理工大学学报,2019,43(4):481-488.FANG Y,GAO L,LIU Z H,et al.Generalized cost-sensitive approximate attribute reduction based on three-way decisions[J].Journal of Nanjing university of science and technology,2019,43(4):481-488.[16]彭莉莎,钱文彬,王映龙.面向特定类的三支概率属性约简算法[J].小型微型计算机系统,2019,40(9):1851-1857.PENG L S,QIAN W B,WANG Y L.Algorithms of three-way probabilistic attribute reducts for class-specific[J].Journal of Chinese computer systems,2019,40(9):1851-1857.[17]王保敏,王睿,潘洪志,等.三支决策在中文贴吧观点句识别中的应用[J].电脑知识与技术,2019,15(10):164-166.WANG B M,WANG R,PAN H Z,et al.The application of three way decision in the sentence recognition of Chinese tieba[J].Computer knowledge and technology,2019,15(10):164-166.[18]王宁,刘小伟,杨新,等.三支决策方法在高校学科竞赛人才选拔与培养中的应用[J].南昌大学学报(理科版),2018,42(6):611-616.WANG N,LIU X W,YANG X,et al.Application of three-way decision approach in selecting and training talents for discipline competition in universities[J].Journal of Nanchang university(natural science),2018,42(6):611-616.[19]LIU D,LIANG D C,WANG C C.A novel three-way decision model based on incomplete information system[J].Knowledge-based systems,2016,91:32-45.[20]张鑫,李续武,路艳丽,等.基于不完备区间值信息系统的决策粗糙集[J].计算机应用研究,2017,34(1):110-113,122.ZHANG X,LI X W,LU Y L,et al.Decision-theoretic rough set based on incomplete interval-valued information system[J].Application research of computers,2017,34(1):110-113,122.[21]李亚鸽,杨宏志,徐久成.基于不完备信息系统的三角模糊数决策粗糙集[J].智能系统学报,2016,11(4):449-458.LI Y G,YANG H Z,XU J C.Triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets under incomplete information systems[J].CAAI transactions on intelligent systems,2016,11(4):449-458.[22]刘杰,薛占熬.不完备信息系统的梯形模糊数三支决策模型[J].山西大学学报(自然科学版),2017,40(4):683-689.LIU J,XUE Z A.Trapezoidal fuzzy number three-way decision model for incomplete information systems[J].Journal of Shanxi56㊀第2期张利亭,等:不完备信息系统的直觉模糊决策粗糙集university(natural science edition),2017,40(4):683-689.[23]袁芳,周小强,胡满佳.广义直觉模糊软集及其代数性质[J].郑州大学学报(理学版),2012,44(4):46-49.YUAN F,ZHOU X Q,HU M J.Generalized intuitionistic fuzzy soft set and its algebraic properties[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2012,44(4):46-49.[24]王中兴,陈晶,刘久兵.基于决策者风险偏好的直觉语言数排序方法[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2016,29(1):129-133.WANG Z X,CHEN J,LIU J B.Ranking method of intuitionistic linguistic number based on the risk preferences of decision markers[J].Journal of Xinyang normal university(natural science edition),2016,29(1):129-133.[25]HUNG W L,YANG M S.Similarity measures of intuitionistic fuzzy sets based on Hausdorff distance[J].Pattern recognitionletters,2004,25(14):1603-1611.[26]黄德舜.直觉模糊数的运算法则及其决策模型的拓展研究[D].合肥:安徽大学,2012.HUANG D S.The operation laws of intuitionistic fuzzy values and some studies on relevant decision models[D].Hefei:Anhui University,2012.[27]钱进.多粒度决策粗糙集模型研究[J].郑州大学学报(理学版),2018,50(1):33-38.QIAN J.Research on multigranulation decision-theoretic rough set models[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2018,50(1):33-38.[28]张文修,吴伟志.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2003.ZHANG W X,WU W Z.Rough set theory and method[M].Beijing:Science Press,2003.[29]路艳丽,雷英杰,李兆渊.直觉模糊相似关系的构造方法[J].计算机应用,2008,28(2):311-314.LU Y L,LEI Y J,LI Z Y.Construction of intuitionistic fuzzy similarity relation[J].Journal of computer applications,2008, 28(2):311-314.[30]刘久兵,周献中,李华雄,等.基于直觉模糊相似度的直觉模糊三支决策方法[J].系统工程理论与实践,2019,39(6):1550-1564.LIU J B,ZHOU X Z,LI H X,et al.An intuitionistic fuzzy three-way decision method based on intuitionistic fuzzy similarity degrees[J].Systems engineering-theory&practice,2019,39(6):1550-1564.Intuitionistic Fuzzy Decision Rough Sets for IncompleteInformation SystemsZHANG Liting,FENG Tao,LI Huan(School of Sciences,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang050018,China) Abstract:Missing values were treated as the power set of the set of known attribute values in an incom-plete information system.And according to the properties of sets,the similarity degree and dissimilarity degree between objects were defined in an incomplete information system,which could be regarded as membership degree and non-membership degree of the intuitionistic fuzzy relationship respectively.Then, a new intuitionistic fuzzy similarity relationship and a cut-off relationship of the intuitionistic fuzzy similar-ity relationship were obtained.The cut-off relationship was used to replace the equivalence relationship of the classical decision rough set model.Then,an intuitionistic fuzzy three-way decision method was pro-posed in an incomplete information system.And decision rules of pessimists,neutrals and optimists were discussed respectively.Finally,an example was used to verify the reasonability and effectiveness of the method.Key words:incomplete information system;intuitionistic fuzzy number;intuitionistic fuzzy similarity relationship;intuitionistic fuzzy decision rough set;three-way decision(责任编辑:孔㊀薇㊀王浩毅)。

度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度

度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度

!第"#卷第$期郑州大学学报!理学版"%&’("#)&($!$#*+年,月-./012340&56278.!)9:.;<7.=>."-52.$#*+收稿日期!$#*?@#?@*,基金项目!国家自然科学基金项目!,*??$##$’,*B#$#,B "#重庆市自然科学基金项目!<P :<$#*"O <H O M B##"C "#重庆市研究生创新基金项目!b e ;*?$+*"#重庆理工大学研究生创新基金项目!e b i $#*,$$?".作者简介!杨倩!*AAC &"’女’重庆人’硕士研究生’主要从事人工智能与粒计算研究’=@F 97’(?+$*+CC?"I JJ.<&F #通信作者(徐伟华!*A?A &"’男’山西浑源人’教授’主要从事粗糙集理论与应用和不确定性推理研究’=@F 97’(j 5\17059I<J5:.1>5.<2.度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度杨!倩!!徐伟华!!林冰雁!重庆理工大学理学院!重庆B###"B "摘要!在已有的直觉模糊序信息系统概念的基础上’根据加权得分函数引入度量加权向量’并利用度量加权的概念把直觉模糊等价关系推广为度量加权直觉模糊优势关系’从而建立了度量加权直觉模糊序信息系统.进一步定义了粗糙隶属度’研究了其相关重要性质’并通过实例验证了该模型的可行性和有效性.关键词!粗糙集#粗糙隶属度#度量加权#直觉模糊中图分类号!KL *+文献标志码!M 文章编号!*,?*@,+B*!$#*+"#$@##",@#?!"#!*#(*C?#"N O .7P P 2.*,?*@,+B*($#*?$*?$%引言作为知识处理的重要工具’粗糙集理论**+较其他方法更适合用来处理信息系统中的不确定性问题’并且不会用到任何所需处理数据之外的先验知识.在处理模糊性等方面的信息时’直觉模糊集*$Q B +相较于模糊集*"+更加全面)有效.不少学者越来越关注粗糙集和直觉模糊集的融合与互补’已被应用于决策分析*,+)知识获取*?+)医疗诊断)逻辑规划)模式识别*++)机器学习*A +和市场预测**#+等诸多领域.目前’对直觉模糊序信息系统的研究已颇为成熟.文献***+介绍了直觉模糊环境下的序信息系统’通过准则集定义了直觉模糊信息系统中的优势关系’即根据属性的准则对它进行排序’并探究了其相关性质.决策者在做决策时往往仅考虑专家依据经验给出的隶属度)非隶属度和犹豫度’看似解决了经典信息系统中所需数据过于精确的问题’实则降低了数据的客观性’并使结果的准确性受到了质疑.现实生活中常需要做出正面或负面的决策’做出决策时还需要考虑各种因素’而各因素的偏好程度又有所不同.本文提出了度量加权直觉模糊序信息系统’更适用于探究各类涉及主观判断的实际问题.其优势在于做正面决策时可以着重考虑各因素隶属度的取值’做负面决策时可以更侧重于非隶属度的取值.因此’可以根据不同偏好程度取定度量加权向量对优势类进行优化’进而使结果与实际生活更加贴切.同时’定义了这一背景下的粗糙隶属度**$+及其相关性质’并通过实例验证了该模型的可行性和有效性.&%预备知识传统模糊集理论中的隶属度刻画了$非此即彼%的现象’而直觉模糊集在一定程度上克服了这一难点’增加了非隶属度和犹豫度函数’使其可以形象地表示$亦此亦彼%的情形’在一定程度上提高了描述的准确性.为了方便理解’下面先给出一些相关基本概念.定义&***+!设三元组=-!H ’J ’["为信息系统’H -,3*’3$’/’32-是非空有限对象集’J -,&*’&$’/’&6-是有限条件属性集’[-,A (H "8&’&$J -是H 与J 的关系集’其中8&为条件属性&的有限值域$若对+&$J ’A $[’3$H’都有A !3’&"-43’+&!3"’,&!3"5’ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第$期杨!倩#等$度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度其中(函数+&(H "*#’*+和函数,&(H "*#’*+分别表示H 中元素3在条件属性&下的隶属度和非隶属度’并且满足#’+&!3"N ,&!3"’*’则称=-!H ’J ’["为直觉模糊信息系统$通常用=[!H "表示论域H 上直觉模糊集的全体.定义’**C +!设=-!H ’J ’["为一个直觉模糊信息系统’+3$H’+&$J ’定义一个度量加权向量!-!-*’-$’-C "’其中-*)-$)-C 分别为隶属度和非隶属度以及犹豫度的权重’且度量加权系数满足-*N -$N -C -*!#’-+’*’+-*’$’C "$定义对象3对属性&的度量加权得分函数为(&!3"--*+&!3"4-$,&!3"4-C .&!3"’其中(.&!3"-*4+&!3"4,&!3"’表示对象3在属性&下的犹豫度.注(当评价者越看重隶属度时’-*的取值越大#当评价者越看重非隶属度时’-$的取值越大#当评价者越看重犹豫度时’-C 的取值就越大$所以在进行得分评价时’可以根据实际需求给出相应的权重$由于-*N -$N -C -*’那么在取值时只需给出权重-*和-$’并保证-*N -$’*即可.定义/**C +!设=-!H ’J ’["为一个直觉模糊信息系统’对+A $[’+&$J ’+3+’3G $H’都有A !3+’&",A !3G ’&"1(&!3+",(&!3G"$!!根据加权得分函数’在属性&的值域上存在着递增偏序关系$,%或递减偏序关系$’%.在直觉模糊决策信息系统中’如果某个属性的值域为递增的偏序或递减的偏序’那么称该属性是直觉模糊决策信息系统中的一个准则’并且由若干准则组成的集合叫做准则集.定义0***+!设=-!H ’J ’["为一个直觉模糊信息系统’若直觉模糊信息系统=中所有的属性都为准则’对+&$J ’A $[’3+’3G $H’满足(A !3+’&"’A !3G ’&"1*+&!3+"’+&!3G "’,&!3+",,&!3G "+#A !3+’&",A !3G ’&"1*+&!3+",+&!3G "’,&!3+"’,&!3G"+’则称=,-!H ’J ’["为直觉模糊序信息系统.下面通过具体的例子加以说明.例&%某学校为了对教师进行学年制综合评优’将影响*#位教师评选结果的B 个因素分别记为&*’&$’&C ’&B ’表*为相应的直觉模糊序信息系统$其中论域H -,3*’3$’/’3*#-’条件属性J -,&*’&$’&C ’&B -’显然’对+&$J ’A $[’3$H ’都有A !3’&"-43’+&!3"’,&!3"5’并且满足(A !3*’&*",A !3$’&*"1*+&*!3*",+&*!3$"’,&*!3*"’,&*!3$"+#A !3*’&$"’A !3$’&$"1*+&$!3*"’+&$!3$"’,&$!3*",,&$!3$"+’其余各A !3+’&"之间的关系依此类推.’%度量加权直觉模糊序信息系统为了使研究直觉模糊集序关系的过程变得更简单’引入度量加权的概念来描述基于直觉模糊集的度量加权直觉模糊序信息系统.定义1%设=,-!H ’J ’["为直觉模糊序信息系统’!-!-*’-$’-C "为度量加权向量’则称=,-为度量加权直觉模糊序信息系统’记=,--!H’J ’[’!"$定义2%在度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"中’对+3$H ’+’/J ’’)/’定义属性子集’的优势关系*,’-’称为度量加权直觉模糊优势关系’记为*,’--,!3’5"$H LH (&!3",(&!5"’+&$’-$!!定义3%由度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的*3+,’-’称为度量加权直觉模糊优势类’记为*3+,’--,5$H !5’3"$*,’---,5$H (&!5",(&!3"’+&$’-’其中(&!3"--*+&!3"4-$,&!3"4-C .&!3"’是对象3对属性&的度量加权得分函数’并且-*N -$N -C -*$H R *,’--,*3+,’-3$H -表示论域H 上由度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的度量加权直觉模糊优势类全体$通常’H R *,’-中的优势类不一定构成H 上的一个划分’而仅仅构成H 上的一个覆盖.例’%在例*的基础上给定一个度量加权向量!-!#(?’#($’#(*"’先根据度量加权得分函数的定义’把表*转化为如表$所示的一个度量加权得分序信息系统’再根据度量加权直觉模糊优势类的定义得到?" Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷*3*+,’--,3*’3"’3?’3+’3A ’3*#-’*3$+,’--,3$’3?’3+’3A -’*3C +,’--,3C ’3B ’3"’3?’3+’3*#-$其余各项度量加权直觉模糊优势类可依次计算得出.表&%直觉模糊序信息系统U :J +&%U 2:57:7&27P :7<[544H &S >1S 1>72[&S F 9:7&2P H P :1F P H &*&$&C&B3*4#(*’#(?54#(#’#(?54#(*’#(A 54#($’#(?53$4#(#’#(,54#(C ’#(,54#(C ’#(,54#(*’#(+53C 4#(*’#(A 54#(#’#(+54#(#’#(+54#(C ’#("53B 4#($’#(+54#($’#(+54#(#’#(,54#(B ’#(,53"4#(C ’#("54#(#’#("54#(C ’#("54#(?’#($53,4#(B ’#(B 54#(B ’#(,54#(#’#(C 54#($’#(+534#(?’#($54#("’#(B 54#(+’#(*54#(A ’#(*53+4#(+’#($54#(,’#(C 54#(,’#(B 54#(+’#(*53A 4#("’#("54#(B ’#("54#(B ’#(,54#(C ’#(?53*#4#(C ’#(,54#($’#(+54#(*’#(+54#(B ’#("5表’%度量加权得分序信息系统U :J +’%_1:S 7<\1730:1>P <&S 1&S >1S 1>72[&S F 9:7&2P H P :1F P H &*&$&C &B 3*Q #(#A Q #(*?Q #(**#3$Q #(*,#(#+#(#+Q #(*#3C Q #(**Q #(*+Q #(*+#(#A 3B Q #(#$Q #(#$Q #(*,#(*,3"#(#A Q #(*"#(#A #(BB 3,#(*+#(*,Q #(*C Q #(#$3?#(BB #($,#("C #(,*3+#("$#(C"#(CB #("C 3A #($"#(*?#(*,#(#?3*##(#+Q #(#$Q #(*##(*?/%度量加权直觉模糊序信息系统中粗糙集的粗糙隶属度定义4%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H’J ’[’!"’+0/H ’+’/J ’定义集合*4,’-!0"-,3$H *3+*,’-/0-’*4,’-!0"-,3$H *3+*,’-20)3-分别为0关于度量加权直觉模糊优势关系*,’-的下)上近似.特别地’若满足*4,’-!0"-*4,’-!0"’则称0为可定义的$否则’0为关于*,’-的粗糙集.0的*,’-正域)负域)边界域分别记为(!.:9*,’-!0"-*4,’-!0"##V U M *,’-!0"-H 4*4,’-!0"#$F V *,’-!0"-*4,’-!0"4*4,’-!0"$性质&%0的上)下近似具有以下性质(!*"!夹逼性"*4,’-!0"/0/*4,’-!0"#!$"!两极性"*4,’-!3"-3’*4,’-!3"-3’*4,’-!H "-H ’*4,’-!H "-H #!C "!单调性"0/14*4,’-!0"/*4,’-!1"’0/14*4,’-!0"/*4,’-!1"#!B "!下保交上保并"*4,’-!021"-*4,’-!0"2*4,’-!1"’*4,’-!051"-*4,’-!0"5*4,’-!1"#!""!下弱可加上弱可乘"*4,’-!051"6*4,’-!0"5*4,’-!1"’*4,’-!021"/*4,’-!0"2*4,’-!1"#!,"!对偶性"*4,’-!‘0"-‘*4,’-!0"’*4,’-!‘0"-‘*4,’-!0"#!?"!幂等性"*4,’-!*4,’-!0""-*4,’-!0"’*4,’-!*4,’-!0""-*4,’-!0"$证明!这里仅对下近似进行证明.!*"若3$*4,’-!0"’则*3+*,’-/0$由3$*3+*,’-知3$0’且*4,’-!0"/0$!$"由!*"可知*4,’-!3"/3’因此*4,’-!3"-3$!C "假设3$*4,’-!0"’易得到*3+*,’-/0/1’从而3$*4,’-!1"’因此*4,’-!0"/*4,’-!1"$!B "由定义+中下近似的定义可得(由3$*4,’-!021"可知*3+*,’-/021’于是有*3+*,’-/0$又*3+*,’-/113$*4,’-!0"且3$*4,’-!1"13$*4,’-!0"2*4,’-!1"’因此*4,’-!021"-*4,’-!0"2*4,’-!1"$!""假设3$*4,’-!0"5*4,’-!1"’则对任意的3$*4,’-!0"或3$*4,’-!1"有*3+*,’-/0或*3+*,’-/1$即*3+*,’-/051’于是有3$*4,’-!051"$综上所述’有*4,’-!051"6*4,’-!0"5*4,’-!1"$+" Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第$期杨!倩#等$度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度!,"3$*4,’-!‘0"1*3+*,’-/‘01*3+*,’-20-/137*4,’-!0"13$‘*4,’-!0"$!?"由!*"可得*4,’-!*4,’-!0""/*4,’-!0"’反之’若3$*4,’-!0"’则有*3+*,’-/0$又由!B "可得*4,’-!*3+*,’-"/*4,’-!0"’且由下近似的定义可知*4,’-!*3+*,’-"-*3+*,’-’于是*3+*,’-/*4,’-!0"’从而3$*4,’-!*4,’-!0""’即*4,’-!*4,’-!0""6*4,’-!0"$综上可得*4,’-!*4,’-!0""-*4,’-!0"$定义5%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"’*,’-是=,-的度量加权直觉模糊优势关系’那么由0的下)上近似组成的序对!*4,’-!0"’*4,’-!0""为粗糙集’并且对+3$H ’+0/H ’记3在0上关于*,’-的粗糙隶属度为K 0*,’-!3"’定义其函数关系为K 0*,’-!3"-*3+*,’-20*3+*,’-’显然’对任意3$H ’#’K 0*,’-!3"’*均成立.接下来讨论度量加权直觉模糊序信息系统中粗糙集的粗糙隶属函数的性质.性质’%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"’*,’-是=,-的度量加权直觉模糊优势关系’H R *,’--,*3+*,’-3$H -是由度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的度量加权直觉模糊优势类.粗糙隶属度具有以下性质.!*"K H *,’-!3"-*#!$"K3*,’-!3"-##!C "K 0*,’-!3"-*13$.:9*,’-!0"#!B "K 0*,’-!3"Z#13$V U M *,’-!0"#!""#’K 0*,’-!3"’*13$F V *,’-!0"#!,"K H 40*,’-!3"-*4K 0*,’-!3"$证明!!*"由定义+直接可以得到(K H*,’-!3"-*3+*,’-20*3+*,’--*3+*,’-*3+*,’--*$!$"由定义+’0)3’再根据定义A 可得(K 3*,’-!3"-*3+*,’-23*3+*,’--3*3+*,’--#$!C "由定义+和定义A 可以直接得到K 0*,’-!3"-*1*3+*,’-/013$*,’-!0"13$.:9*,’-!0"$!B "先证必要性(根据定义+和定义A ’由K 0*,’-!3"-#有*3+*,’-20-3’即3$H4*4,’-!0"’因此得3$V U M *,’-!0"$类似地容易证明其充分性.!""由!C "和!B "可以得以验证.!,"KH 40*,’-!3"-*3+*,’-2!H40"*3+*,’--*3+*,’-2H4*3+*,’-20*3+*,’--*3+*,’-4*3+*,’-20*3+*,’--*-*4K 0*,’-!3"$从这一命题可知’K 0*,’!3"表示0相对于*,’的粗糙隶属度.性质/%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"’*,’-是=,-的度量加权直觉模糊优势关系’并且H R *,’--,*3+*,’-3$H -是由度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的度量加权直觉模糊优势类$如果0是H 的一个可定义集’那么!*"K 0*,’-!3"-*当且仅当3$0$!$"K*,’-!3"-#当且仅当370$证明!!*"由于0是H 的一个可定义集’则*4,’-!0"-*4,’-!0"$由*4,’-!0"/0和0/*4,’-!0"’于是有*4,’-!0"-0-*4,’-!0"$据此可得(若3$0’则K 0*,’-!3"-*$若K 0*,’-!3"-*’则3$.:9*,’-!0"’因此3$0$!$"K 0*,’-!3"-#’即*3+*,’-20-3’于是37*4,’-!0"$由于0-*4,’-!0"’故370#反之’若370’则37*4,’-!0"’即*3+*,’-20-3’因此K 0*,’-!3"-#$A" Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷性质0%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"’*,’-是=,-的度量加权直觉模糊优势关系’并且H R *,’--,*3+*,’-3$H -是度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的度量加权直觉模糊优势类$对+0’1/H ’有以下结论.!*"0/14K 0*,’-!3"’K 1*,’-!3"#!$"K 051*,’-!3",F 9j !K 0*,’-!3"’K 1*,’-!3""#!C "K021*,’-!3"’F 72!K*,’-!3"’K1*,’-!3""#!B "K 051*,’-!3"-K 0*,’-!3"NK 1*,’-!3"4K 021*,’-!3"#!""021-34K051*,’-!3"-K*,’-!3"NK 1*,’-!3"$证明!!*"由0/1得*3+*,’-20/*3+*,’-21’所以K 0*,’-!3"’K 1*,’-!3"$!$"由*3+*,’-20/*3+*,’-2!051"和*3+*,’-21/*3+*,’-2!051"可得K 051*,’-!3",F 9j !K*,’-!3"’K1*,’-!3""$!C "由*3+*,’-206*3+*,’-2!021"和*3+*,’-216*3+*,’-2!021"可得K 021*,’-!3"’F 72!K*,’-!3"’K1*,’-!3""$!B "根据定义A ’有K051*,’-!3"-*3+*,’-2!051"*3+*,’--*3+*,’-20N *3+*,’-214*3+*,’-2!021"*3+*,’--K 0*,’-!3"NK 1*,’-!3"4K 021*,’-!3"$!""由于021-3’所以可以根据!B "证明出结论.定理&%已知度量加权直觉模糊序信息系统=,--!H ’J ’[’!"’*,’-是=,-的度量加权直觉模糊优势关系’H R *,’--,*3+*,’-3$H -表示由度量加权直觉模糊优势关系*,’-诱导的度量加权直觉模糊优势类$若0-,0*’0$’/’0V -是一族集’且彼此不相交$那么对+3$H ’有K 50+*,’-!3"-!0+$0K 0+*,’-!3"$特别地’如果0-,0*’0$’/’0V -是H 的子集’然后对+3$H ’!0+$0K 50+*,’-!3"-*$证明!由性质B 中!B "和!""’可得K 50+*,’-!3"-!0+$0K 0+*,’-!3"$当0-,0*’0$’/’0V -是H 的一个子集’对+3$H’有K 50**,’-!3"NK 50$*,’-!3"N /NK 50V*,’-!3"-*3+*,’-20**3+*,’-N*3+*,’-20$*3+*,’-N /N*3+*,’-20V *3+*,’--*3+*,’-2H *3+*,’--*$!!例/%若令0*-,3*’3$’3C ’3B ’3"-’0$-,3,’3?’3+’3A ’3*#-’则可根据粗糙隶属度的定义分别计算出3+在0*’0$中关于*,’-的粗糙隶属度(K 0**,’-!3*"-$"#K 0**,’-!3$"-*B #K 0**,’-!3C "-*$#K 0$*,’-!3*"-C "#K 0$*,’-!3$"-C B #K 0$*,’-!3C "-*$$显然’0-,0*’0$-是H 的一个子集’且K 0**,’-!3+"NK 0$*,’-!3+"-*!3+$H "成立’即定理*得以验证.0%实例分析一种服装是否被顾客喜欢’涉及诸多因素’如款式)质量)价格)舒适度和颜色等’某服装公司在考虑店内服装的评价问题时’随机邀请了*##位顾客对其进行评判.该服装公司的直觉模糊序信息系统=,--!H’J ’#, Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第$期杨!倩#等$度量加权直觉模糊序信息系统的粗糙隶属度%’!"’如表C 所示’其中的属性值是通过顾客对各因素的满意情况来获取的$如对象3*对于质量&$的隶属度及非隶属度的确定方法如下(*##位顾客对&$进行投票’结果有C#人看中这一项’"#人认为这一标准并不重要’另有$#人弃权不表态’也就是有$#人持犹豫态度$可以认为3*对&$的隶属度为#(C ’非隶属度为#("’犹豫度为#($’记为A !3*’&$"-4#(C ’#("5$这里取论域H -,3*’3$’/’3*$-’条件属性J -,&*’&$’&C ’&B -’其中&+!+-*’$’C ’B "分别表示款式)质量)价格)舒适度’并设置度量加权向量!-!#(C ’#("’#($"$若令0*-,3*’3C ’3"’3*$-’0$-,3B ’3,’3*#-’0C -,3$’3?’3+’3A ’3**-’需求出3+在0*)0$)0C 中关于*,’-的粗糙隶属度.考虑到度量加权向量!-!#(C ’#("’#($"’根据度量加权得分函数的定义’把表C 转化为如表B 所示的度量加权得分序信息系统’再根据度量加权直觉模糊优势类的定义可得*3*+,’--,3*-#*3$+,’--,3*’3$’3+’3A ’3*#’3**’3*$-#*3C +,’--,3C ’3*#’3*$-#*3++,’--,3+’3*#’3*$-#*3*#+,’--,3*#-#*3B +,’--,3*’3$’3C ’3B ’3"’3+’3A ’3*#’3**’3*$-#*3"+,’--,3*’3C ’3"’3A ’3*#’3**’3*$-#*3A +,’--,3A -#*3*$+,’--,3*$-#*3,+,’--,3*’3C ’3"’3,’3+’3A ’3*#’3**’3*$-#*3+,’--,3*’3C ’3"’3?’3+’3A ’3*#’3**’3*$-#*3**+,’--,3*#’3**’3*$-$表/%某服装公司的直觉模糊序信息系统U :J +/%U 2:57:7&27P :7<[544H &S >1S 1>72[&S F 9:7&2P H P :1F P [&S 939S F 12:<&F R92HH &*&$&C&B3*4#("’#(B 54#(C ’#("54#(,’#($54#(A ’#(*53$4#(B ’#("54#(C ’#(,54#($’#(+54#("’#("53C 4#(B ’#(,54#(B ’#(B 54#(?’#(C 54#(+’#($53B 4#($’#(?54#($’#(+54#(#’#(A 54#(C ’#(,53"4#(B ’#(,54#(C ’#("54#(,’#(C 54#(?’#(C 53,4#($’#(+54#(*’#(,54#(C ’#(?54#(B ’#("534#(*’#(+54#($’#(?54#(C ’#(?54#(B ’#(,53+4#("’#(B 54#(,’#(B 54#(?’#($54#(B ’#(C 53A 4#(+’#(*54#(?’#($54#(,’#(C 54#(A ’#(#53*#4#(A ’#(*54#(+’#($54#(+’#(*54#(+’#(#53**4#(,’#(C 54#(?’#(*54#("’#(#54#(+’#(*53*$4#(A ’#(#54#(A ’#(*54#(+’#($54#(+’#(*5表0%某服装公司的度量加权得分序信息系统U :J +0%_1:S 7<\1730:1>P <&S 1&S >1S 1>72[&S F 9:7&2P H P :1F P [&S 939S F 12:<&F R92H H &*&$&C &B 3*Q #(#?Q #($##(#B #($$3$Q #(*"Q #($C Q #(CB Q #(*#3C Q #(*+Q #(*$#(#,#(*B 3B Q #(C*Q #(CB Q #(B?Q #($C 3"Q #(*+Q #($##(#*#(#,3,Q #(CB Q #(CC Q #($,Q #(*"3?Q #(CA Q #(C*Q #($,Q #(*+3+Q #(#?Q #(#$#(#A Q #(#A 3A #(*?#(#A #(#*#($"3*##($$#(*B #(*?#($#3**#(#*#(*$#(#"#(*?3*$#($"#($$#(*B#(*?!!由定义A 可分别计算出0*)0$)0C 关于度量加权直觉模糊优势关系*,’-的下)上近似为*4,’-!0*"-,3*’3*$-#*4,’-!0*"-,3*’3$’3C ’3B ’3"’3,’3?’3+’3**’3*$-#*4,’-!0$"-,3*#-#*4,’-!0$"-,3$’3C ’3B ’3"’3,’3?’3+’3*#’3**-#*4,’-!0C "-,3A -#*4,’-!0C "-,3$’3B ’3"’3,’3?’3+’3A ’3**-$!!根据定义A 可得到3+在0*)0$)0C 中关于*,’-的粗糙隶属度为K 0**,’-!3*"-*#K 0**,’-!3$"-$R ?#K 0**,’-!3C "-$R C #K 0**,’-!3B "-$R "#K 0**,’-!3""-B R ?#K 0**,’-!3,"-B R A #K0$*,’-!3*"-##K0$*,’-!3$"-*R?#K 0$*,’-!3C "-*RC #K 0$*,’-!3B "-*R"#K 0$*,’-!3""-*R?#K 0$*,’-!3,"-$RA #K 0C *,’-!3*"-##K 0C *,’-!3$"-B R ?#K 0C *,’-!3C "-##K 0C *,’-!3B "-$R "#K 0C *,’-!3""-$R ?#K 0C*,’-!3,"-C R A #K0**,’-!3?"-B RA #K 0**,’-!3+"-*RC #K 0**,’-!3A "-##K0**,’-!3*#"-##K0**,’-!3**"-*RC #K 0**,’-!3*$"-*#K 0$*,’-!3?"-*R A #K 0$*,’-!3+"-*R C #K 0$*,’-!3A "-##K 0$*,’-!3*#"-*#K 0$*,’-!3**"-*R C #K 0$*,’-!3*$"-##K0C*,’-!3?"-B RA #K 0C*,’-!3+"-*RC #K 0C*,’-!3A "-*#K0C*,’-!3*#"-##K0C*,’-!3**"-*RC #K 0C*,’-!3*$"-#$1%结束语在引进度量加权直觉模糊序信息系统的基础上’重点探究了度量加权直觉模糊序信息系统中粗糙集的*, Copyright©博看网 . All Rights Reserved.$,郑州大学学报!理学版"第"#卷粗糙隶属度’进而对粗糙隶属度进行了公理化研究.基于加权直觉模糊集的直觉模糊序信息系统的研究克服了直觉模糊序信息系统研究过程中的局限性.本文虽然对各属性之间加权处理的情形进行了讨论’但并没有对属性和属性之间的权重予以考虑.而由于不同对象之间的相互影响以及不同对象对不同影响因素存在各种主观判断’所以不仅应该对属性进行加权’属性和属性之间也应该进行加权处理后再深入探讨.因此’下一步工作将对此问题进行更深入的探索.参考文献!**+!L M^a M g/.V&530P1:P(:01&S1:7<9’9P R1<:P&[S19P&27239T&5:>9:9*_+.E&P:&2(g’5\1S M<9>1F7<L5T’7P01S P’*AA*.*$+!刘华文.直觉h544H集的基本定理*-+.工科数学’$###’*,!*"(""Q,#.*C+!雷英杰’王宝树’胡军红.直觉模糊等价矩阵构造方法*-+.系统工程理论与实践’$##?’$?!?"(*$?Q*C*.*B+!徐泽水.直觉模糊信息集成理论及应用*_+.北京(科学出版社’$##+.*"+!张小红’裴道武’代建华.模糊数学与V&530集理论*_+.北京(清华大学出版社’$#*C.*,+!张爱平’张小红.一种应用V&530集的多属性决策方法*-+.计算机工程与应用’$##A’B"!C#"($$#Q$$C.*?+!张文修’梁怡’吴伟志.信息系统与知识发现*_+.北京(科学出版社’$##C.*++!王珏’苗夺谦’周育健.关于V&530P1:理论与应用的综述*-+.模式识别与人工智能’*AA,’A!B"(CC?Q CBB.*A+!周志华.机器学习*_+.北京(清华大学出版社’$#*,.**#+朱永明.基于粗糙集理论的股市预测研究*-+.郑州大学学报!理学版"’$##A’B*!B"(B#Q BB.***+徐伟华.序信息系统与粗糙集*_+.北京(科学出版社’$#*C.**$+徐伟华’刘士虎’张文修.一般二元关系下基于粗糙隶属函数的程度粗糙集*-+.重庆理工大学学报!自然科学版"’$#*#’$B!*#"(*#*Q*#+.**C+胡猛’郭艳婷’徐伟华.优势关系下直觉模糊信息系统的变精度与程度$逻辑或%粗糙集*-+.运筹与模糊学’$#*,’,!$"( ,,Q??..CP*9E<I J<>G9)B!<*><<CQ E<D>);W<)*9D<=#7D P)D)C7)G D);(P Z Z@">=<><=#7Q C>I:D)C7M@G D<Ie M)D‘792’i6^17059’a U)E723H92!9>?@@#@A9>+E2>E’J?@2Da+2D H2+I E B,+%5@A;E>?2@#@D5’J?@2Da+2D B###"B’J?+2&"6J G D>:;D(E9P1>&2:011j7P:723<&2<1R:&[72:57:7&27P:7<[544H&S>1S1>72[&S F9:7&2P H P:1F’:01F1:S7< \1730:1>81<:&S\9P72:S&>5<1>9<<&S>723:&\1730:1>P<&S1[52<:7&2.E H5P723:01<&2<1R:&[F1:S7< \1730:1>’:0172:57:7&27P:7<[544H1J5789’12<1S1’9:7&2\9P1j:12>1>:&F1:S7<\1730:1>72:57:7&27P:7<[544H >&F7292<1S1’9:7&2’92>9F1:S7<\1730:1>72:57:7&27P:7<[544H&S>1S1>72[&S F9:7&2P H P:1F\9P9’P&1P:9T@’7P01>.c2:07P T9P7P’:01S&530F1F T1S P07R>13S11\9P>1[721>’92>:01S1’9:1>RS&R1S:71P\1S11j@ R’&S1>.U29>>7:7&2’:01[19P7T7’7:H92>89’7>7:H&[:01P1RS&R1S:71P\1S181S7[71>TH1j9F R’1P.K<@L C>=G(S&530P1:#S&530F1F T1S P07R>13S11#F1:S7<\1730:1>#72:57:7&27P:7<[544H!责任编辑(孔!薇"Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

直觉模糊三角模的剩余蕴涵及其性质

直觉模糊三角模的剩余蕴涵及其性质

Ｖ（ － ） ，２ ＥＬ 则称（ ， ＊） ｚ ， ｚ ，（ ｙ ） ， ｚ Ｌ ≤Ｌ 为完备格 。 显然 ， 论域 【 上 的直觉 模糊集 合 Ａ 是完 备格 。Ｌ ， 上 的
０ ＊一 （ １ ， Ｌ Ｌ ０， ） １ ＊一 （ Ｏ 。 １， ）
此， 研究直觉模糊 三角模 的剩 余蕴涵及 其性质具 有重要 的理 论与应用价值 。文献Ｅ ］ １研究 了直觉模糊三角模 的构造 ， 文献 ［］ ２研究 了区间模糊集上 的三 角模 的剩余 蕴涵 ， 文献 ［ ］ ３ 研究
１ 弓 言 ｌ
在 Ｚ ｄ ｈ模糊集 中， ａｅ 模糊 三角模 的剩余 蕴涵 占有重要 的
地位 ， 是模 糊逻 辑 、 模糊推理和模糊粗糙集等的理论基础 。而
Ａｔｎ ｓｏ 直 觉 模 糊 集 （ｎｕｔ ｎｓｉ ｆｚｙｓｔ，Ｉ Ｓ 是 对 模 ａ ａｓ ｖ Ｉｔｉｏ ｉ ｃ ｕｚ ｅ ｉ ｔ ｓ Ｆ）
（ ｉｓｌ ｎｓｉｕ ｅ Ａｉ ｏ ｃ ｇｎ ｅｉｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ， ａ ｙ ａ １ ８ ０， ｉａ Ｍ ｓｉｅＩ ｔｔ ｔ ， ｒＦ ｒ ｅＥｎ ｉｅ ｒｎ ｉｅ ｓｔ Ｓ ｎ ｕ ｎ ７ ３ ０ Ｃｈｎ ）
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｒｅ ｉ ｕ ｌ ｍｐ ｉａ ｉｎ ｏ ｎ ｕ ｔｏ ｉｔ ｕ ｚ ｒａ ｇ ｅｎ ｒ ａ ｄ ｉ ｒ ｐ ｒ ｉｓｗｅ ｅ ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ．Ｒｅ ｉ ｕ ｌ ｍｐ ｉａ ｓｒ ｃ ｓｄ ａ ｉ ｌ ｔ ｆ ｔ ｉ ｎ ｓ ｉ ｆ ｚ ｙ ｔ ｉｎ ｌ ｏ ｍ ｎ ｓｐ ｏ ｅ ｔ ｒ ｅ ｅ ｒ ｈ ｄ ｃ ｏ ｉ ｉ ｃ ｔ ｅ ｓｄ ａ ｉ ｌ — ｃ
计算机科学 ２０ Ｖｏ． ５ ｏ １ ０ ８ １ Ｎ ． ３ １
直 觉模 糊 三角 模 的剩余 蕴 涵及 其性 质

粗糙集_学习笔记

粗糙集_学习笔记

例子： （1） U/P={{x1,x5},{x2,x8},{x3},{x6},{x4},{x7}} U/Q={{x1,x5},{x2,x8,x7},{x3,x6,x4}} U/P U/Q, P Q （2） U={1,2,3,4,5,6,7,8}; U/Q={X1,X2,X3,X4,X5},其中 X1＝{1}, X2={2,7}, X3={3,6}, X4={4}, X5={5,8}; U/P={Y1,Y2,Y3,Y4,Y5}; 其中 Y1＝{1,5}, Y2={2,8}, Y3={3}, Y4={4}, Y5={6};Y6={7} POSp(Q)={3}U{4}U{6}U{7}={3,4,6,7} rp(Q) =card(POSP(Q))/card(U) = 4/8 =0.5
where -X denotes U - X. 三、例子：
。 。。 四、知识的约简 （一）一般约简 1、定义 1
设 R 是等价关系的一个族集，且设 R' R。若 IND(R)=IND(R–R')，则称关系 R'在族集 R 之中 是可省的(dispensable)﹐否则就是不可省的。若族集 R 中的每个关系 R 都是不可省的﹐则称族集 R 是独立的(independent)﹐否则就是依赖的或非独立的。 2、定义 2
大概 起源 概念 例子 知识的约简 决策表的约简
一、起源 含糊--模糊集--粗糙集 1、在 1904 年谓词逻辑的创始人 G.Frege 就提出了含糊(Vague)一词，他把它归结到边界线上， 也就是说在全域上存在一些个体既不能在其某个子集上分类，也不能在该子集的补集上分类。 2、1965 年，Zadeh 提出了模糊集，不少理论计算机科学家和逻辑学家试图通过这一理论解决 G.Frege 的含糊概念，但模糊集理论采用隶属度函数来处理模糊性，而基本的隶属度是凭经验或者 由领域专家给出，所以具有相当的主观性。 3、20 世纪 80 年代初，波兰的 Pawlak 针对 G.Frege 的边界线区域思想提出了粗糙集（Rough Set）﹐他把那些无法确认的个体都归属于边界线区域，而这种边界线区域被定义为上近似集和下 近似集之差集。由于它有确定的数学公式描述，完全由数据决定，所以更有客观性 。粗糙集理论 的主要优势之一是它不需要任何预备的或额外的有关数据信息。
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
收稿 日期 ：２ １ ．２０ ０ ００ ．５
通讯作者：秦克￣（９２ ， 西南交通大学数学学院教授， １６－ 男， ） 博士生导师
１Ｏ ９
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ６
定义 ３ 令 ＝［， ， Ｏ１ 二元函数 Ｔ： Ｌ Ｌ， ］ ＬＸ 若满足下列条件
（） １ 两极律 ：Ｔ ａ１＝ａａ∈ ； （， ） ， （） ２交换律 ：Ｔ ａ６ ＝ｒ ｂ ， （，） （，） ａ∈三； （） ３结合律：Ｔ Ｔ ａ６，） （， （，） ａ （ （，）Ｃ ＝Ｔ ａＴ ｂｃ） ∈Ｌ； ， ． （） ４单调率：ａ ， ｄ＝ Ｔ ａ６ ≤Ｔｃ ，，，， ， ｃｂ ＝ （，） （， ａｂｃｄ∈ ＞ ） 则称 为 Ｌ＝【， 上的三角模．当 Ｔａ１＝ａ时称为 模，当Ｔ ａ０ ＝ａ时称为 模 ， 模和 模是对偶的， ０１ 】 （， ） （，）
即 Ｓ ａ６ ＝１ Ｔ １ ａ １ ｂ ，， ． （ ，） － （一 ，－ ）ａｂ∈ 定义 ４设 是 上下半连续三角模，三上的二元算子 ： 三 Ｌ定义如下 ： ＬＸ
（，） ｕ ｛ ∈ＬＩ（，） ６ ，， ∈ ， ｂ ＝ｓｐ ｃ Ｔ ａｃ ）ａｂ
称 是 的剩余蕴涵． ，
基于直觉模糊剩余蕴马立珍
（ 南交通大学数 学学院，四川成都 ６ ０ ３ ） 西 １０ １ 摘 要：本文主要研究直 觉模糊剩余蕴涵下的直觉模糊粗糙 集的构造和性质．定义 了直 觉模糊 集上 的剩余 蕴涵， 于该 基
剩余 蕴涵构造 了直觉模糊粗糙 集的上、下近似算子，并给 出了基 于不同二元 关系下近似算子 的性质． 关键 词；直觉模糊 集；直觉模糊粗糙 集；直 觉模糊剩余蕴涵
’ ，） ｍｉ（ （Ｉ 一 ） （ｌ － ２） ｎ１ （ １ ２，一Ｔ ｙ，一 ） （ Ｙ ＝（ ｎＴ ｘ， ， ｙ， ｘ） ｍｉ（一 ，一 ） １ Ｔ ｌ ， １ （ｌ ） １ ） 均是是 ｒ上 模． ‘ ， ＝（（ ） （２ ）是 ｒ上 模． （ ） ， ， ｘ， ） ｘ Ｔ
（ ＵＢ＝ ＜ ，Ａｘ ｖ ￣（） Ａｘ 八 （） ｌ ∈ ） ２ ） ｛ ｘ， （） ／ ｘ， （） ｘ ＞ ； ｕ Ｂ ｙ
（ ＜ （） （） Ｉ ∈ ｝ ３ ）Ａ ＝｛ ， ， ｘ ＞ ； （ ４ ） Ｂ§ Ｖ ｘ∈Ｕ， （） ｘ （） ｘ且 （） （） ｘ．
第 ６第 期 ３ ２ 卷
Ｊ ａ Ｓｈｓｎｒ学Ｎｏ然・ｕＳｎＥｉ ｏ ｏｗ壹ｖｉ 学ｔｌ 版 ｅ ｄｎ ｕｌ ｕ西 民ｓｆ报ｎｉ学ｒｃｃ ｉ ｍｏ ｔ ｔｉ大ｏａ自ｅａ ｅ ｔ ｅ 族ｙｒｉｉ ａｉ ｏ ｆ Ｕｅ ｔ ・ｔＮ ｌ ａ ｔ ｓ
Ｍｒｏ ａ２ｏ ． 。 １ 。
文 章编 号 ：０３２４ （０００－１９０ １０—８３２ １）２０８ －４
中 图 分 类号 ： ５ Ｏ１ ９ 文献标识码： Ａ
波兰数学家Ｚ Ｐ ｗａ 于 １８ 年首先提出粗糙集理论【 为处理模糊的和不确定性知识提供了新 的理论工具， ．ａ ｌ ｋ ９２ ｌ ｌ ，
已经成功用于专家系统 、 决策分析和数绝挖掘等领域． 许多学者将粗糙集理论进一步推广、 不断的加 以完善， 产 生了基于一般二元关系的粗糙集模型 、变精度粗糙机模型 、概率粗糙机模型和模糊粗糙集模型等等． 在对 Ｐｗ ａ ａｌ ｋ粗糙集理论进行推广中， 将粗糙集和模糊集【 ２ 】 相结合的模糊粗糙集模型得到了许多研究人员的 关注， 并对模糊粗糙集模型进行了更加深入的研究． 特别是逻辑算子的引入， 为模糊粗糙集模型理论的研究开 辟了新 的研究领域， 并产生了很多新的成果， 为非经典逻辑的研究提供了新的工具． 本文在 已有研究成果的基础上， 研究了基于直觉模糊剩余蕴涵算子 的直觉模糊粗糙集， 主要对在不同二元 关系下的近似算子进行 了讨论．
定理 １ 令 ｒ＝｛ ）（ ） 【， ￣ Ｉ （ ， Ｉ ， ∈ ０１ Ｊ． ＋ 】 １ ｘ
（ ） ， ｒ（ ） ， § 则 （ ， 是完备的格． ， 。 ）
１ 对（ ） ， ） ） ， ， ∈ （
且 Ｙ， ２
对 于 论 域 上 直 觉 模 糊 集 也 可 看 做 Ａ： ｒ ： ’ （） （） Ｕ Ｉ （ ， ）， Ｖ ｘ∈Ｕ ， 其 中 （） Ｏ１ （） １Ｏ． ｘ ＝（， ， ＝（ ） ） ，
１ 直觉模糊集（ （ ） ）
定义 １ 】 设 是非空的论域， 上的直觉模糊集 定义如下形式 ： 【 ３
Ａ＝ ＜ ， （） Ａｘ ＞ ∈ ） ｛ ｘ， （） Ｉ ， ｙ
其中 （）Ｕ ［， 和 （）Ｕ ［， 是 对 论域 的隶属函数和非隶属函数， ： ０ｌ 】 ： ０１ 】 且对 中任意 恒有 ０ （ ＋ （ １ 成立． 当 （） 一 （） 直觉模糊集 就是通常的模糊集． ＝１ ， 定义 ２Ｊ 设 ，Ｂ是论域 Ｕ上的直觉模糊集即 ， Ｆ（ ， 【 ３ Ｂ∈Ｉ Ｕ） 则有 （） ｎＢ＝｛ ，Ｇ（） 口 ， （） （） Ｉ ∈ ） １ ＜ ／ ｘ 八 （） Ｖ ＞ ； －
定义 ５】 上的映射 Ｔ ： × 【 ‘ ‘ ，ｃ ＝ａ时称 ｒ上的 模 ． （０）
ｒ， 满足交换律 、结合律 、单调率． 当 ‘ ，， ＝ａ称 ｒ上的 Ｔ模 、 （ １） ．
任意的Ｘ＝（ ｘ） ，２，Ｙ＝（ ） ， ∈ｒ，Ｔ、Ｓ分别为 上的 模和 Ｓ模， 则 ’ ，） ， ）Ｓｘ，２） （ Ｙ ＝（ （ ，（２Ｙ），
相关文档
最新文档