Banach代数中的拓扑循环表示
数学中的“拓扑”到底是什么？
数学中的“拓扑”到底是什么？“拓扑”是我们常常会听见一个数学名词，乍听起来，它好像是一个很“玄”的东西，但实际上它并不神秘，“拓扑”已经成为一种再基本不过的数学结构和数学语言，没有这样的基本结构，就不可能有今天的数学。
那么，“拓扑”到底是一种怎样的数学概念呢？拓扑结构从定义上来说，拓扑是赋予在集合上的数学结构，在满足规定的三条公理后，这个集合连同这个结构就成为一个拓扑空间，这个结构就被称为“拓扑”。
也就是说，“拓扑”是人为规定出来的一种结构，它的基本组成元素是所谓的“开集”。
可以看到，这样原始的拓扑是非常宽松的，它并没有给集合太强的约束，在这种情况下，集合上的拓扑结构往往非常多，其中最简单的拓扑由两个元素组成，也就是空集和集合本身，这种拓扑称为“最粗”的拓扑，相对的，就有“最细”的拓扑，它由集合的所有子集组成。
显而易见的是，这两种拓扑都是满足拓扑公理的。
欧式空间是我们非常熟悉的空间，它带有一个普通的欧式距离结构，这种距离也就是平常我们所接触的空间距离。
欧式空间这样重要的空间显然应该成为一个拓扑空间，那么它的拓扑结构是怎么样的呢？对于距离空间而言，它拥有一个由距离所诱导出来的拓扑结构，以一维欧式空间直线为例，它在距离拓扑下的开集就是开区间，闭集就是闭区间，这样的拓扑对于距离空间而言是非常自然的，它常常被称为距离拓扑。
对于一个集合来说，如果它没有任何附加的结构，那么就很难在上面进行数学操作，因为这样的集合太松散了，以至于几乎无法讨论。
所以我们需要对集合赋予结构，也就是加上一些约束条件，使得它可以成为数学活动的舞台，而拓扑就是这样一种基本的结构。
除了拓扑之外，当然还有其他许多重要数学结构，例如群结构，对集合规定运算并使得元素满足一些条件后，它就成为了一个群。
给定一个拓扑空间后，我们就要研究它的性质，因而有了紧集，稠密性，连通性等概念。
而仅仅研究一个拓扑空间显然是不够的，有了不同的拓扑空间之后，首先关心的问题是它们有什么区别。
入是无限维的 banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集 -回复
入是无限维的banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集-回复题目：叉不能分解成可数个列紧集的并集引言：Banach空间是数学分析中的一个重要研究对象，具有丰富的性质和应用。
本文通过引入叉的概念，结合列紧集的性质，从单个列紧集到可数个列紧集的并集，一步一步进行论证，证明了叉不能分解成可数个列紧集的并集。
一、Banach空间的基本概念与性质首先我们要理解Banach空间及其相关概念。
Banach空间是指一种完备的赋范向量空间，其上的范数满足三角不等式，并且支持度量的完备性。
根据泛函分析的基本定理，Banach空间有着丰富的性质，如可分性和逼近性。
二、列紧集的定义与性质接下来我们来讨论列紧集的概念及其性质。
在拓扑空间中，列紧集是一种很特殊的集合，它的每个序列都有收敛子列。
具体来说，一个集合在拓扑空间中是列紧的，当且仅当它的每个序列都有一个收敛子列。
列紧集是一种很重要的性质，可以用来刻画紧致性和有界性。
三、叉的定义与性质在介绍叉的定义之前，我们先回顾一下笛卡尔积的概念。
设有一系列集合A1,A2,⋯,An，它们的笛卡尔积定义为由所有n元组(ai1,ai2,⋯,ain)，其中aij属于集合Aij，所组成的集合。
现在，我们可以定义叉为一种特殊的集合，即通过将原本集合的元素重新组合，形成带有完备范数的向量空间。
四、证明思路与方法在开始证明叉不能分解成可数个列紧集的并集之前，我们先给出一个引理。
引理1：若Banach空间中存在一个列紧集的可数个极限点不同的并集，那么该空间本身是可分的。
证明：设A是一个列紧集的可数个极限点不同的并集，我们将构造一个可数个元素的有理数集合B，来证明该空间是可分的。
首先，我们选择一个无理数x1和A中的任意一个极限点x1'，然后再从A中选择一个不等于x1和x1'的极限点x2，再依次进行下去。
这样我们可以得到一个无理数序列{x1,x2,⋯,xn,⋯}。
由于A是一个可数个极限点不同的并集，我们可以将每个极限点都表示为{x_n}_n ∈N。
代数拓扑 讲义
代数拓扑讲义
以下是一份代数拓扑的讲义提纲，供您参考：
一、绪论
1.代数拓扑的定义和研究对象
2.代数拓扑与其他数学分支的关系
3.代数拓扑的应用和发展历程
二、拓扑空间与基本群
1.拓扑空间的定义和性质
2.连续映射和同胚
3.道路和路径
4.基本群的定义和性质
5.连通性、分离性和紧致性
三、同调论基础
1.同调群的定义和性质
2.闭链、边界和循环
3.同调群的计算和应用
4.同调维数和同调群的关系
5.同调论的基本定理
四、流形与微分形式
1.流形的定义和性质
2.微分形式和外微分
3.Stokes定理和Green定理
4.流形的体积和表面积
5.流形上的积分和流形上的积分公式
五、纤维丛与纤维化
1.纤维丛的定义和性质
2.纤维丛的构造和分类
3.纤维丛的微分形式和积分公式
4.纤维化的定义和性质
5.纤维化的构造和分类
六、代数拓扑中的一些重要问题
1.Poincare猜想和Thurston几何化猜想
2.几何化定理及其应用
3.代数曲线和曲面上的几何结构
4.代数拓扑中的一些未解决的问题。
布尔巴基代数结构、序结构、拓扑结构
布尔巴基代数结构、序结构、拓扑结构
【实用版】
目录
1.布尔巴基代数结构
2.序结构
3.拓扑结构
正文
1.布尔巴基代数结构
布尔巴基代数结构是一种代数结构，其基础是布尔代数，即逻辑代数。
布尔巴基代数结构包括以下元素：并（∨）、交（∧）、非（）。
这些元素满足分配律、结合律、交换律和幂等律。
在布尔巴基代数结构中，可以定义许多有趣的数学概念，例如布尔函数、布尔方程和布尔变量。
布尔巴基代数结构在计算机科学、逻辑学和数学等领域具有广泛的应用。
2.序结构
序结构是一种代数结构，其基础是偏序关系。
序结构包括以下元素：序（≤）、小于等于（≤）、大于等于（≥）、严格小于（<）、严格大于（>）。
这些元素满足偏序关系的性质，例如反对称性、传递性和有序性。
在序结构中，可以定义许多有趣的数学概念，例如序数、序函数和序集合。
序结构在数学、计算机科学和经济学等领域具有广泛的应用。
3.拓扑结构
拓扑结构是一种代数结构，其基础是拓扑空间。
拓扑结构包括以下元素：开集（O）、闭集（C）、极限（lim）、连续（cont）等。
这些元素满足拓扑空间的性质，例如开集的并集、闭集的交集、开集和闭集的差集等。
在拓扑结构中，可以定义许多有趣的数学概念，例如拓扑不变量、拓扑同伦和拓扑空间分类。
拓扑结构在数学、物理学和计算机科学等领域具有广
泛的应用。
总结：布尔巴基代数结构、序结构和拓扑结构是三种不同类型的代数结构，它们在各自的领域具有广泛的应用。
拓扑结构 代数结构
拓扑结构代数结构拓扑结构和代数结构是数学中两个重要的概念。
拓扑结构研究的是空间的性质和变换，而代数结构则研究的是集合中元素之间的运算规则和性质。
本文将分别介绍拓扑结构和代数结构的基本概念，并探讨它们之间的关系。
一、拓扑结构拓扑结构研究的是空间的性质和变换。
在数学中，拓扑学是研究空间中的连续性质的学科。
拓扑学的基础是拓扑空间，它是一种具有拓扑结构的集合。
拓扑结构包括开集、闭集、连续映射等概念。
1.1 开集与闭集在拓扑结构中，开集是指满足一定条件的集合。
具体而言，对于一个拓扑空间，如果一个集合的每个点都有一个邻域，使得邻域完全包含在该集合内部，则该集合被称为开集。
闭集则是开集的补集。
1.2 连续映射在拓扑结构中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
具体而言，对于两个拓扑空间，如果一个映射将一个开集映射到另一个拓扑空间的开集上，则称该映射是连续映射。
1.3 拓扑等价在拓扑结构中，拓扑等价是指两个拓扑空间具有相同的拓扑性质。
具体而言，如果两个拓扑空间上的开集和连续映射相同，则称这两个拓扑空间是拓扑等价的。
二、代数结构代数结构研究的是集合中元素之间的运算规则和性质。
常见的代数结构包括群、环、域等。
代数结构的研究旨在描述和研究集合中元素之间的运算性质和规律。
2.1 群群是一种代数结构，它是一个集合和一个二元运算构成的。
具体而言，对于一个群，集合中的元素满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
2.2 环环是一种代数结构，它是一个集合和两个二元运算构成的。
具体而言，对于一个环，集合中的元素满足封闭性、结合律、交换律、单位元存在性和分配律。
2.3 域域是一种代数结构，它是一个集合和两个二元运算构成的。
具体而言，对于一个域，集合中的元素满足封闭性、结合律、交换律、单位元存在性、逆元存在性和分配律。
三、拓扑结构与代数结构的关系拓扑结构和代数结构在数学中有着密切的关系。
通过引入拓扑结构，可以为代数结构提供更加丰富的几何直观。
Banach-代数谱的超空间
收稿日期:2020-12-20基金项目:陕西学前师范学院高层次人才科研启动项目(2015DS01);校级一般项目(2016YBKJ078)作者简介:杨㊀鎏(1986-),男,陕西商洛人,副教授,博士,主要从事无限维拓扑学㊁泛函分析㊁算子理论研究㊂Banach -代数谱的超空间杨㊀鎏(陕西学前师范学院数学与统计学院,陕西西安710100)摘㊀要:超空间理论是无限维拓扑学的热点问题之一,为了研究带有线性结构的底空间所对应的超空间的拓扑结构,尤其是Banach -代数上谱的超空间结构,先建立了Banach -代数上广义的谱映射定理,再分别讨论了Banach -代数上,由有限集全体㊁紧致集全体㊁紧凸集全体谱的超空间的拓扑结构㊂关键词:Banach -代数;谱;超空间;拓扑结构中图分类号:O189.1㊀文献标志码:A㊀文章编号:1008-3871(2021)02-0042-03DOI :10.16752/ki.jylu.2021.02.010㊀㊀超空间理论是无限维拓扑的重要组成部分和经典的研究对象㊂许多学者在超空间理论中又做了很多有意义的工作,但这些超空间的研究并没有涉及到底空间的线性结构问题㊂1979年,Nadler,Quinn 以及Stavrokas [1]考虑了局部凸的可度量空间紧凸集的超空间的拓扑结构㊂2011年,Banakh 和Hetman [2]研究了Banach 空间上非空闭凸集的全体赋予Hausdorff 度量,其超空间连通分支的拓扑结构㊂2013年,他们又联合Sakai [3]考虑了Banach 空间超空间在广义Hausdorff 度量下其度量分支的拓扑结构㊂Antonyan,Jonard 以及Natalia [4]还研究了仿射群作用在紧凸集上的超空间的拓扑结构㊂在考虑Banach 空间的有关凸集构成的超空间时,由于底空间涉及到了线性结构,其研究的问题和方法也不同于经典的超空间理论㊂本文首先给出了Banach -代数上一个广义的谱映射定理,其次研究了其谱集构成的超空间的拓扑结构㊂1预备知识本节所涉及到的定义和定理,都可以在专著[5]中找到㊂定义1㊀1设是复数域C 上的向量空间,A 上的二元运算""如果满足下面的条件,则称A 为复代数(1)x㊃(y㊃z)=(x㊃y)㊃z (2)(x +y)㊃z㊀㊀x㊃z㊀y㊃z,x㊃(y㊃z)=x㊃y㊀y㊃z(3)α(x㊃y)=(αx)㊃y =x㊃(ay)其中x,y,zɪA,αɪC㊂一般地,我们用xy 代替x㊃y㊂进一步,如果(A, ㊃ )是Banach 空间,若上述二元运算满足乘法不等式(4) xy ⩽ x ㊃ y ㊀㊀(x,yɪA)且A 包含一个单位元e 使得xe =ex =x xe =ex =x (5) e =1则A 称为一个Banach -代数㊂定理1㊀1设A 为一个Banach -代数,如果存在M<ɕ使得x y NM xy (x,y,A),则A 等距同构于C㊂定义1.2设A 为一个Banach -代数,xɪA,若存在yɪA 使得xy =e 且yx =e,则称x 在A 中可逆,记G(A)为中所有的可逆元㊂定理1.2设A 是一个Banach -代数,则(G (A),㊃)是一个群且G(A)是A 中的开集㊂定理1.3设A 是一个Banach -代数且G(A)=A /{0},则A 等距同构于复平面C㊂定理1.4设A 是一个Banach -代数,xɪA 且y ɪ x <1,则e -xɪG(A)㊂定义1.3设A 是一个Banach -代数,则A 中的元素的谱定义为,σ(x)={λɪC ʒλe -x 不可逆}㊀2021年03月第31卷㊀第2期榆林学院学报JOURNAL OF YULIN UNIVERSITYMar.2021Vol.31No.2定理1.5设A 是一个Banach -代数,xɪA,则σ(x)是C 中的非空紧子集㊂2Banach -代数上广义的谱映射定理首先我们给出Banach -代数上的谱映射定理㊂定理2.1[18]设A 是一个Banach -代数,xɪA ,Ω是中C 的开集,σ(x)⊂Ω,则存在δ>0,使得对任意的yɪA,若 y ⩽δ,则δ(x +y)⊂Ω㊂下面把Banach -代数上谱的定义推广到更一般的情况㊂定义2.1令C⊂A,定义集合C 上的谱集为δ(C)=ɣcɪCσ(c)设xɪA,δ>0,记B(x,δ)={aɪA ʒ x -a <δ}㊂定理2.2设C 是Banach -代数A 上的紧集,则σ(C)=ɣcɪCσ(c)是C 中的紧集㊂证明㊀设序列{λn }⊂σ(C),lim n ңɕλn =λ,由σ(C)的定义知,存在序列{C n }⊂C 使得λn ɪσ(C n ),n =1,2, ,即λn e -c N 是不可逆的,由C 的紧性知,存在一点cɪC 及{c n }的一个子列{c n k },使得lim k ңɕc n k =c,因此,lim k ңɕλn k e -c n k =λe -c 且λe -c 是不可逆的,所以λɪσ(C),故证得σ(C)是闭集㊂下面证明σ(C)有界,对任意的cɪC,由定理1.5知Ωc =B(σ(c),1)有界㊂由定理2.1,存在σc >0使得ɣ{σ(c +y)ʒ y <δc }⊂Ωc (6)令U ={B(c,δc )ʒcɪC}㊂则U 是C 的一个开覆盖,由C 的紧性,存在一个正整数N 和{c j |j =1,2, ,N}⊂C 使得C⊂ɣNj =1B(c j ,δc j )则由(6)式知σ(C)⊂ɣNj =1B(c j ,δc j )⊂ɣNj =1σ(B(c j ,δc j ))⊂ɣNj =1Ωcj 故σ(C)是有界的,即σ(C)是中的紧子集㊂命题2.1设A 是Banach -代数且存在正数M 使得 x y NM xy ,(x,y㊀A),设B 是A 中的闭(闭凸)集,则σ(B)是闭(闭凸)的㊂证明㊀由定理1.1显然㊂为了研究Banach -代数谱的超空间,下面给出广义的谱映射定理㊂定理2.3设A 是Banac -代数,C 是A 中的紧子集,Ω是C 中的开集且σ(C)⊂Ω,则存在正数σ使得对任意的yɪA,若 y <σ,则σ(C +y)⊂Ω,其中C +y ={c +yɪA ʒcɪC}㊂证明㊀假设这样的σ不存在,则对任意的正整数n,存在c n ɪC 及y n ɪA 使得 y n <1n且σ(c n +y n )⊄Ω,由于C 是紧集,不妨设lim k ңɕc n =cɪC 存在,则由谱映射定理2.1知,对于充分大的nσ(c n +y n )=σ(c +(c +(c n -c +y n )))⊂Ω,矛盾㊂3Banach -代数谱的超空间首先引入下面的记号㊂Fin(X):空间X 中所有的有限点集构成的集族;Comp(X):空间X 的所有非空闭集构成的集族;cc(X):空间X 的所有非空紧凸集构成的集族;设(X,d)是度量空间,E,F 是X 中的非空有界闭集,它们之间的Hausdorff 定义为:d H (E,F)=max{sup㊀infd(a,b),sup b ㊀E,a inf F的(a,b)}记C 上通常的度量为ρ,它所诱导的Hausdorff 度量记为㊂令σA ʒ(A,d)ң(Comp(C),ρH ),σA (x)=σ(x)以及σH ʒComp(A,d H )ңComp(C),ρH ),Fin H (X),Comp H (X)以及cc H (X)分别表示其超空间定理3.1[6]设A 是Banach -代数,则σA ʒ(A,d)ң(Comp(C),ρm H ),连续当且仅当对任意的xɪA,σ(x)是完全不连通的㊂命题3.2σH ʒComp(A,d H )ңComp(C),ρH )是连续的㊂证明㊀设Comp H (X)⊃{D n }ңC,对任意的ε>0,令Ω=B(σ(C),ε),由命题2.2和定理2.3,存在δ1>0使得对任意的yɪA,当 y <δ1时σ(C +y)⊂Ω㊂令δ=δ12,对任意的D n ɪB d B (C,δ)ɘComp(A),则D n ⊂B(C,δ),故σ(D n )⊂σ(B(C,δ))⊂Ω,则对任意的λɪσ(D n ),ρ(λ,σ(C))<ε,任意的λɪσ(C),则存在cɪC 使得λɪσ(c),现不妨假定{d n }ңc,d n ɪD n ,由定理2.1,σA 在c 连续,则存在充分大的n 使得ρ(λ,σ(d n )<ε,显然ρ(λ,σ(D))<ε㊂所以ρH (σ(D),σ(C))<ε,故连续㊂引理3.1[1]cc H (R n )同胚于Q /{0},nȡ2㊂引理3.2[7]Fin H (X)同胚于-维的线性度量空间l 2f 当且仅当X 是连通的,局部道路连通的,可数个有限维紧集的并的度量空间,其中l 2f ={(t i )ɪl 2ʒ除了有限个i 外,t i =0}㊂引理3.3[1]Comp H 同胚于Q \{0},当且仅当X㊃34㊃杨㊀鎏:Banach -代数谱的超空间是非紧的,局部紧的,连通的,局部连通的度量空间㊂下面,将考虑Banach-代数上谱集的超空间㊂令σ(A)=({σ(x)ʒxɪA},ρH),σ(φ(A)=({σ(F)ʒFɪFin(A)},p H)),σ(K(A))=({σ(K)ʒKɪComp(A),p H}),σ(X(A)=({σ(C)ʒCɪcc(A)},p H)㊂定理3.2如果A是Banach-代数,M>0,对任意的x,y, x y M xy 则(1):σ(A)同胚于实平面R2㊂(2):σ(φ(A))同胚于l2f㊂(3):σ(K(A))同胚于Q\{0}㊂(4):σ(X(A))同胚于Q\{0}㊂证明(1)显然,由定理1.1,A等距同构于复平面C,而对任意的子集C⊂ℂ,σ(C)=C,故由引理3.2,引理3.3和引理3.1可得同胚于σ(φ(A))同胚于l2f,σ(K(A))和σ(X(A))同胚于Q\{0}㊂下面考虑无限维的Banach-代数A=lɕ谱的超空间㊂命题3.3σ(A)=σ(Φ(A))=σ(K(A))=σ(X(A))同胚于Q\{0}㊂证明㊀设x=(x1,x2, ,x n, )ɪlɕ,λɪcl ({x n}),则λe-x=λ(1,1, ,1 )-(x1,x2, ,x n )=(λ-x1,λ-x2, ,λ-x n )故必存{λ-x n}在的子列收敛到0,故x不可逆,即cl{x n}⊂σ(x),反过来σ(x)⊂cl{x n}显然成立,故cl{x n}=σ(x)下面说明σ(A)=Comp H(ᶋ)=σ(φ(A))=σ(K(A))“σ(X(A))对任意的KɪComp(lɕ),由K的可分性,存在{k n}⊂K使得cl({k n})=K,因此σ(A)⊃Comp (C),另一方面,由定理1.5,对任意的xɪlɕ,σ(x)ɪComp(C).所以σ(Aᶄ)⊂Comp(C).因此σ(A)=Comp H(R2)=σ(K(A),从而σ(φ(A))= Comp H(C),则σ(A)=σ(σφ(A)=σ(K(A)))同胚于Q\ {0},再由引理3.1命题得证㊂参考文献:[1]Nadler S,Quinn J E,Stavrokas N M.Hyperspaces of compact convex sets[J].Pacific.J.of Math.,1979, 83,411-462.[2]Banakh T,Hetman I.A hidden characterization of polyhedral convex sets[J].Studia Math.,2011,206: 63-74.[3]Banakh T,Hetman I,Sakai K.Recognizing the topology of the space of closed convex subsets of a Banach space[J].Studia Math.,2013,216(1):17-33.[4]Antonyan S A,Jonard P,Natalia.Affine group acting on hyperspaces of compact convex subsets of[J]. Fund.Math.,2013,223(2):99-136.[5]Rudin W.Functional Analysis[M].New York:International Series in Pure and Applied Mathematics,1991.[6]Murphy J G.Continuity of the spectrum and spectral radius[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1981,82(4): 619-621.[7]Curtis D W,Nguyen To Nhu.Hyperspaces of finite subsets which are homeomorphic to-dimensional linear metric spaces[J].Topology Appl.,1985,19:251-260.(责任编辑:杨㊀飞)Hyperspaces of Spectra on Banach AlgebraYANG Liu(School of Mathematics and Statistics,Shaanxi Xueqian Normal University,Xi an710100,China) Abstract:Hyperspace theory is one of the hot topics in infinite dimensional topology,in order to study the topologi-cal structure of hyperspace corresponding to the space endowed with linear structure,especially the hyperspace structure of spectrum on Banach algebra,the generalized spectra mapping theorem is given and investigated.The topological structures of hyperspaces of spectra on Banach algebra with all the finite sets,compact sets and compact convex sets are discussed.Key words:Banach algebra;spectra;hyperspace;topological structure㊃44㊃榆林学院学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀2021年第2期(总第154期)。
banach 代数
Banach代数是一种特殊的线性代数结构，由波兰数学家Stefan Banach在20世纪30年代引入。
它们在现代数学中有着广泛的应用，包括在函数分析、算子理论、量子力学等领域。
Banach代数是一种赋范线性代数，其中的元素和运算满足一定的条件。
一个Banach代数是一个具有加法和标量乘法的线性空间，其中加法满足交换律和结合律，标量乘法满足分配律，并且存在一个范数，使得所有元素的模都满足三角不等式。
Banach代数的一个重要性质是它们的谱性质。
对于一个Banach代数中的元素A，其谱表示为σ(A)，它是所有与A可交换的元素的集合。
谱性质表明，对于Banach代数中的任何元素A，都可以找到一个唯一的谱分解，使得A可以表示为一系列幂级数的和。
Banach代数在函数分析和算子理论中有着广泛的应用。
例如，在函数分析中，傅里叶变换可以看作是在复数域上的Banach代数上的一个自同构。
在算子理论中，算子代数是Banach代数的一个特殊类型，它们在量子力学和量子信息理论中有重要的应用。
此外，Banach代数还可以用于研究数学物理中的一些问题。
例如，在量子力学中，波函数可以看作是在复数域上的Banach代数上的一个元素。
在数学物理中，Banach代数还可以用于研究无穷维系统、偏微分方程等。
总之，Banach代数是一种重要的线性代数结构，在数学、物理和其他领域有着广泛的应用。
banach代数的例子
Banach代数的例子1.引言B a na ch代数是数学领域中一个重要的研究对象，它在函数分析、算子代数等领域中得到了广泛的应用。
本文将通过几个具体的例子来介绍B a na ch代数的基本概念、性质和应用。
2. Ba nach代数的定义B a na ch代数是一个复线性空间，同时还是一个C o mp le te no rm ed alg e br a。
即它既是一个线性空间，又是一个完备的非交换代数。
代数上的乘法满足结合律，并且存在一个范数满足||ab||≤||a||||b||对于任意的a,b∈A，其中A是Ba na ch代数。
3.例子1：C(X)空间中的复值连续函数代数考虑一个紧拓扑空间X，我们定义C(X)为X上的复值连续函数组成的线性空间。
在C(X)上定义函数的乘法运算为逐点乘积，并给出L∞范数作为范数。
可以证明C(X)是一个Ba nac h代数。
4.例子2：L^1(G)空间中的可积函数代数给定一个局部紧拓扑群G，考虑G上可积函数的集合L^1(G)。
在L^1(G)上定义函数的乘法运算为卷积运算，并给出L^1范数作为范数，也可以证明L^1(G)是一个B an ac h代数。
5.例子3：算子代数中的厄米特算子代数在H il be r t空间H上，考虑所有厄米特（自伴随）算子构成的集合B(H)。
在B(H)上定义算子的乘法运算为复合运算，并给出算子范数作为范数，同样可以证明B(H)是一个Ba nac h代数。
6. Ba nach代数的性质-闭性：Ba na ch代数在乘法和加法下都是封闭的；-成员的支配关系：对于任意的a,b∈A，若a≤b，则||a||≤||b||；-幂等元素：在B an ac h代数中，存在非零元素a，使得a^2=a；-有幺元：对于B an ac h代数A，存在单位元1∈A，使得对于任意的a∈A，有1a=a1=a；-在理想下的商代数：若I是Ba na c h代数A的一个理想，则商空间A/I也是一个B an ach代数。
banach空间范数
banach空间范数
（原创实用版）
目录
1.范数的定义与性质
2.Banach 空间的概念
3.Banach 空间的范数
4.范数的作用与重要性
5.举例说明
正文
1.范数的定义与性质
范数是一种数学概念，用于衡量向量空间的大小。
在向量空间中，范数可以赋予向量一个非负实数，表示该向量的“长度”。
同时，范数还满足一些基本性质，例如齐次性、三角不等式和范数恒等式等。
2.Banach 空间的概念
Banach 空间是一种拓扑线性空间，其上的范数具有一些额外的性质，例如连续性、完备性和凸性等。
Banach 空间的概念是由波兰数学家Stefan Banach 在 20 世纪初提出的，它在数学分析、线性代数和泛函分析等领域具有广泛的应用。
3.Banach 空间的范数
在 Banach 空间中，范数是满足一些特定性质的实数函数。
这些性质包括：齐次性、三角不等式、范数恒等式和连续性等。
Banach 空间的范数可以有多种选择，但同一空间中的不同范数之间存在一定的关系，例如等价范数和等距范数等。
4.范数的作用与重要性
范数在 Banach 空间中具有重要的作用，它可以用于衡量向量的大小、表示距离、计算极限和求解最优化问题等。
同时，范数还与空间的结构和性质密切相关，例如完备性、凸性和有界性等。
5.举例说明
一个经典的 Banach 空间例子是欧几里得空间，其中向量的范数定义为其欧几里得长度。
另一个重要的例子是希尔伯特空间，它是一个具有内积结构的 Banach 空间，其上的范数通常称为希尔伯特范数。
代数拓扑——精选推荐
代数拓扑代数拓扑(Algebraic topology)是使⽤抽象代数的⼯具来研究拓扑空间的数学分⽀。
代数不变量⽅法 这⾥的⽬标是取拓扑空间然后把它们进⼀步分成范畴或分类。
该课题的旧称之⼀是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。
现在应⽤于代数拓扑的基本⽅法是通过代数不变量，把空间映射到不变量上，例如，通过⼀种保持空间的同胚关系的⽅式映射到群上。
实现这个的两个主要⽅法是通过基本群，或者更⼀般的同伦理论，和同调及上同调群。
基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是⾮交换的，可能很难使⽤。
（有限）单纯复形的基本群的确有有限表⽰。
另⼀⽅⾯来讲，同调和上同调群是可交换群，并且在许多重要情形下是有限⽣成的。
有限⽣成交换群有完整的分类，并且特别易于使⽤。
同调的结果 通过使⽤有限⽣成可交换群可以⽴刻得出⼏个有⽤的结论。
单纯复形的n-阶同调群的⾃由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使⽤单纯复形的同调群来计算它的欧拉特征数。
作为另外⼀个例⼦，闭流形的最⾼维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。
这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使⽤光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或?ech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分⽅程的可解性。
德拉姆证明所有这些⽅法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是⼀样的。
在范畴论中 ⼀般来讲，所有代数⼏何的构造都是函⼦式的：概念范畴, 函⼦和⾃然变换起源于此。
基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；⽽且空间的连续映射可以导出所相关的群的⼀个群同态，⽽这些同态可以⽤于证明映射的不存在性（或者，更深⼊的，存在性）。
代数拓扑的问题 代数拓扑的经典应⽤包括： ▲Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到⾃⾝的连续映射存在⼀个不动点。
拓扑学公式大全
拓扑学公式大全拓扑学公式主要用于描述和分析各种拓扑结构，包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等。
以下是部分常见的拓扑学公式：1. 欧拉公式：V - E + F = 2，其中V是顶点数，E是边数，F是面数。
2. 德·摩根定律：(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)3. 贝蒂定理：如果P是平面图G的一个顶点，那么对于任意一个顶点x，有 deg(x) = k，其中k是G中与x相邻的与P相邻的顶点的个数。
4. 欧拉路径和欧拉回路：在平面图G中，如果存在一条路径，使得每个边恰好经过一次，则称这条路径为欧拉路径。
如果这条路径的起点和终点是同一点，则称这条路径为欧拉回路。
欧拉证明了任意一个连通平面图都存在欧拉回路。
5. 弗赖尔定理：在连通平面图G中，如果存在一条路径，使得每个边恰好经过一次，则该路径的长度（边的数量）等于G的边数。
6. 施莱夫利符号：对于一个平面图G，如果将其所有顶点按照某种顺序排列，则可以用施莱夫利符号表示为{a, b, c, ...}，其中a表示第一个顶点的度数，b表示第二个顶点的度数，以此类推。
7. 连通度：对于一个图G，如果存在k个两两相连的顶点，则称图G的连通度为k。
8. 图的同构：如果存在一个一一映射f，使得对于任意两个顶点x和y，都有f(x)和f(y)相邻当且仅当x和y相邻，则称图G和H是同构的。
9. 中国邮递员问题：给定一个邮政路线图和每条街道的交叉点数量（这些交叉点作为节点），找到最短路线让邮递员能够遍历所有节点一次。
10. 四色定理：任何地图都可以用四种颜色填充，使得相邻区域的颜色不同。
以上公式和定理是拓扑学中的一部分，对于更深入的研究和应用需要更多的背景知识和理论支持。
banach空间中的弱拓扑和范数拓扑
banach空间中的弱拓扑和范数拓扑Banach空间是数学中一种重要的概念，是定义在完备的线性空间上的范数空间。
范数拓扑和弱拓扑是Banach空间中的两个重要的拓扑结构。
在这篇文档中，我将会针对这两个拓扑结构进行详细的解释和讨论。
一、Banach空间Banach空间的定义是一个完备的线性空间E，配有一个范数||·||，使其成为一个完备的赋范线性空间。
其中，范数是由实数域上的一个映射p：E→[0,∞)确定的，它满足以下条件：1. |x| = 0当且仅当x = 0;2. |λx| = |λ|·|x|;3. |x+y| ≤ |x| + |y|；其中λ∈R，x，y∈E。
Banach空间中的一个最重要的定理是Banach定理。
它指出：相对于某个特定的范数||·||，任何一个无穷维的线性空间都不是完备的，但可以构造出一个等价的范数，使该空间成为完备的。
在建立Banach空间的数学理论中，重要的一部分是关于线性函数的理论，它建立了线性函数集合对于一些特殊的拓扑结构的数学表述。
这些线性函数在许多应用中都是重要的，例如有限元法、函数分析和运筹学等。
二、范数拓扑在Banach空间中，范数定义了它的拓扑结构，即范数拓扑。
其中，此时规范用于替换“距离”，因为在范数空间中它们是等价的。
一个开集合U是球形Bε(x)的并集，其中ε>0，球形B的半径以矢量x为中心。
球形中的所有点在规范距离下与中心距离不超过ε。
这种拓扑结构是一种自然的拓扑，它可以在空间中定义邻域和收敛性。
对于Banach空间中的范数拓扑，以下是一些重要的性质：1. 开集的任意非空交集仍是开集；2. 集合的补集是闭集；3. 连通性：两点之间的连线都在该空间上；4. 紧性：如果一个序列有一个收敛子序列，那么这个序列的极限一定在限制的空间中。
此外，范数拓扑还满足所有伴随空间之间的拓扑同构。
三、弱拓扑在Banach空间中，有另一个拓扑结构，称为弱拓扑，也被称为弱微分拓扑。
banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方程解的关系
banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方
程解的关系
Banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方程解的关系：
1.Banach空间的含义：
Banach空间是一类模式空间，它被引入到几何空间的代数结构中，用于处理泛函分析、函数拓扑以及更复杂的物理理论。
它们是线性的、具有正定的距离函数的完备的空间，通常被广泛应用于几何分析、物理学和工程学中。
2. Banach空间常微分方程的存在定理：
Banach空间常微分方程存在定理指的是关于存在解的结果，它确定在Banach空间中存在一个微分方程的具有内在满足性的解集。
首先，定义称Banach空间X上的具有Lipschitz连续梯度的局部Lipschitz函数f 称为C-Lipschitz函数，用f表示，C-Lipschitz函数f(t，u)满足条件：它存在bounded set K 这标量K，只要u ,v∈ K，都有：|f(t,u)-f(t,v)|
≤CL|u-v|,其中C是定数。
3.Banach空间常微分方程解与纯量方程解的关系：
Banach空间常微分方程解与纯量方程解之间存在着相关性。
纯量方程是一种特殊的微分方程，它只含有某一变量的函数表达式，这变量满足所给的微分方程。
而Banach空间常微分方程作为普通的微分方程，
它的解需要满足常微分方程的某种形式的局部Lipschitz函数；纯量方程的解仅仅可以从一个内在参数出发，它通过一个连续的基本表达式满足局部Lipschitz不变条件，从而在Banach空间上获得解集，而这个表达式只是纯量变量的函数表达式。
因此，纯量方程解和Banach空间常微分方程解之间存在着相关性。
入是无限维的 banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集 -回复
入是无限维的banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集-回复题目：无限维的Banach空间中叉不能分解成可数个列紧集的并集引言：在函数空间理论和泛函分析中，Banach空间是一种重要的研究对象。
其中，可数个列紧集的并集是常见的一种集合形式。
然而，对于无限维的Banach空间来说，存在一个令人惊讶的事实：它的叉（笛卡尔积）不能分解成可数个列紧集的并集。
本文将以Banach空间中叉的性质为基础，逐步证明这个结果。
第一步：Banach空间的定义和基本性质首先，我们回顾一下Banach空间的定义。
一个实数或复数的线性空间V 称为Banach空间，如果它对于范数（或者称为度量）是完备的。
这就意味着，在这个空间中任何一个柯西序列都收敛于一个空间内的元素。
第二步：向量空间的笛卡尔积和拓扑现在，考虑两个Banach空间X和Y，我们可以定义它们的笛卡尔积（记为X ×Y）为所有由X中元素和Y中元素组成的有序对的集合。
这个笛卡尔积可以进一步推广到任意个Banach空间的情况下。
我们可以给Banach空间的笛卡尔积定义一个拓扑结构。
具体来说，笛卡尔积上的一个拓扑是由一族范数定义的。
这个族的范数被称为积范数，并满足一些性质：联合生效，同样合理，以及它使得笛卡尔积是一个Banach 空间。
第三步：列紧集的定义和性质在继续我们的讨论之前，我们需要回顾一下列紧集的定义。
在拓扑空间中，一个集合称为列紧的，如果对于这个集合中的任意序列，都存在一个收敛子序列。
另外，我们还可以证明以下结论：1. 一个Banach空间中的有界闭集是列紧的。
2. 列紧集的闭子集仍然是列紧的。
第四步：叉不能分解成可数个列紧集的并集现在，我们准备证明叉不能分解成可数个列紧集的并集。
假设存在一个这样的分解，即叉是可数个列紧集的并集。
让我们假设集合{K_n}是这个分解的列紧集。
我们的目标是找到一个矛盾。
我们选择了一个无限维的Banach空间，所以我们可以找到一个序列{x_n}，它在每个坐标上都不收敛。
数学中的代数拓扑与格上拓扑
数学中的代数拓扑与格上拓扑在数学领域中，拓扑学是一门研究空间性质和结构的学科，而代数拓扑与格上拓扑则是拓扑学的两个重要分支。
本文将对这两个概念进行介绍和解释，并探讨它们在数学研究中的应用。
一、代数拓扑代数拓扑结合了代数学和拓扑学的方法和工具，研究的对象是代数结构在拓扑空间上的运算和变换。
它主要关注拓扑空间及其映射的代数性质和结构。
1.1 拓扑群和拓扑环拓扑群是指一个既是群又是拓扑空间的结构。
在拓扑群中，群运算与拓扑空间的连续性相一致。
代数拓扑中的一个重要研究对象就是拓扑群及其性质，如紧群和Lie群等。
拓扑环则是一种同时具有环结构和拓扑结构的代数结构。
拓扑环的构建使得代数运算和拓扑性质能够相互影响和补充，例如在代数方程中引入拓扑环的概念，能够更好地描述方程的解集的性质。
1.2 同伦论同伦论是代数拓扑的一个重要分支，它研究的是拓扑空间下的连续映射和同伦等价的性质。
同伦论通过代数方法研究了拓扑空间的形变，揭示了不同拓扑空间之间的联系。
1.3 代数拓扑在几何学中的应用代数拓扑在几何学中有着广泛的应用。
通过代数拓扑的方法，可以研究几何结构的性质，如流形的特征类、拓扑不变量等。
此外，代数拓扑还与流形的概念和性质、奇点理论等课题密切相关。
二、格上拓扑格上拓扑是指定义在格上的拓扑结构，其中格是一种偏序集合。
格上拓扑结合了格论和拓扑学的方法与概念，研究的对象是格上的拓扑性质和结构。
2.1 点集拓扑与格上拓扑的联系点集拓扑是拓扑学中最基础的一部分，而格上拓扑则是点集拓扑的一种推广。
格上拓扑结构能够保留点集拓扑中的一些重要性质，如开集、闭集等概念。
2.2 格上拓扑的应用格上拓扑在离散数学和最优化等领域具有广泛的应用。
在离散数学中，格上拓扑可用于描述格的结构和等价关系；在最优化问题中，格上拓扑可用于描述边界约束条件和最优解集合等。
三、代数拓扑与格上拓扑之间的联系代数拓扑和格上拓扑之间存在着许多联系。
例如，代数拓扑中的同伦等价关系可以通过格上拓扑的概念进行描述和研究；拓扑群结构也可以通过格的结构来刻画。
banach alaoglu定理
banach alaoglu定理概述Banach–Alaoglu定理是泛函分析中的一个重要定理，它描述了复数域上的有界闭单位球在泛函空间的弱拓扑下的性质。
该定理由研究泛函空间中的弱收敛性质而得名，是巴拿赫空间理论中的重要结果之一。
弱拓扑和弱收敛性在讨论Banach-Alaoglu定理之前，我们首先需要了解两个概念：弱拓扑和弱收敛性。
弱拓扑在泛函分析中，给定一个Banach空间X，我们可以通过与该空间的对偶空间X上的元素相对应的泛函来定义弱拓扑。
对于X*中元素的任意有限集合，我们可以通过限制其在X上的作用，获得一个拓扑，这就是弱拓扑。
弱收敛性在弱拓扑下，我们可以定义序列 {xn} 中的元素 x 弱收敛到另一个元素 y，如果对于任意的 X* 中的泛函φ，有lim(n→∞)φ(xn) = φ(y)。
这意味着序列 {xn} 中的元素以弱方式收敛到 y。
Banach–Alaoglu定理的陈述现在我们就来叙述Banach–Alaoglu定理。
该定理的陈述如下：定理：设 X 是一个非空的Banach空间，则 X* 中的单位球弱闭。
这个定理的意思是，X* 中任一序列 {xn} 的弱闭包中都存在一个弱收敛到某个元素的子序列，且该元素仍属于 X中的单位球。
Banach–Alaoglu定理的证明下面我们来给出Banach–Alaoglu定理的证明。
这个证明是基于Tychonoff定理的，它是一个关于紧致性的定理。
1. Tychonoff定理的陈述Tychonoff定理陈述如下：定理：设 {Xi} 是一系列的紧致空间，其中 i 属于某个索引集合 I，那么直积空间Π Xi 是紧致的。
2. Banach–Alaoglu定理的证明现在我们来证明Banach–Alaoglu定理。
证明：设 X 是一个非空的Banach空间，令 Y = X，我们需要证明 Y 中的单位球B_Y 是弱闭的。
由于X是Banach空间，根据伴随空间的定义，我们知道 X也是Banach空间。
代数 拓扑
代数拓扑
代数拓扑是数学的一个分支领域，主要研究代数结构与拓扑结构之间的关系。
它的基本思想是通过代数的方法来研究拓扑空间，将拓扑空间转化为代数对象，从而更深入地理解拓扑空间的性质和结构。
在代数拓扑中，最基本的概念是同胚和同调。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续的映射，使得该映射保持点与点之间的相对关系，即点之间的邻近关系和连通关系。
同调则是指两个代数对象之间存在一个同态映射，使得该映射保持结构与结构之间的关系。
代数拓扑的研究内容包括拓扑空间的性质、拓扑变换、拓扑空间的分类、同胚和同调等。
其中，拓扑空间的分类是代数拓扑中最为重要的研究问题之一。
通过分类，可以深入理解拓扑空间的本质，同时也可以为其他领域的研究提供基础和工具。
在代数拓扑中，有一个非常重要的定理，即庞加莱定理。
该定理主要讲述了任意一个有限生成的拓扑空间都可以被转化为一个球面的并集。
这个并集中的每个子集都是一个球面，而且这些球面之间可以通过一个同胚映射相互转化。
这个定理在代数拓扑中具有重要的意义，它为代数拓扑的发展提供了基础。
代数拓扑作为数学的一个分支领域，其研究方法和成果不仅可以为数学本身提供基础和工具，同时也可以应用于其他领域。
随着数学和其他学科的发展，代数拓扑的应用将更加广泛和深入。
在未来的研
究和应用中，我们需要更深入地理解代数结构与拓扑结构之间的关系，进一步发展代数拓扑的理论和方法，为其他领域的研究提供更丰富和深入的工具和思路。
同时，也需要结合其他学科的知识和方法，促进代数拓扑的交叉和应用，为人类认识和改造自然和社会提供更多的手段和方法。
Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系
Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系摘要本文讨论了Banach空间中闭线性算子的三种广义逆，并进一步讨论三者关系问题。
关键词Banach空间；闭线性算子；闭凸集；自反严格凸；度量广义逆1 基本概念定义1.1[1]设X,Y为Banach空间，为线性算子，集值映射定义为：，的集值度量广义逆，其中若单值算子满足称为（集值）度量广义逆的一个单值选择。
定义1.2[1]集值映射的对偶映射，如果集值映射被称为具有闭凸值的，是指对任意的闭凸集。
引理1.1[2]设X,Y都是线性赋范空间，为了线性算子T连续必须且仅须T 有界。
引理1.2设X,Y为自反Banach空间且Y严格凸，为具有闭值域的稠定线性算子或定义在X上的有界线性算子，则X可以赋等价的严格凸的范数使得唯一存在满足为集值度量广义逆的单值选择。
2 主要结果定理1.1设X为有穷维Banach空间，Y为自反严格凸且具有性质的Banach 空间具有闭值域的稠定闭线性算子或定义在X上的有界线性算子则X可以赋等价的范数使得唯一存在满足为集值度量广义逆的连续单值选择此处上与欧式范数等价的范数取为引理1.2中证明：因为n维Banach空间在范数下等距同构n维欧式空间Rn而n维欧式空间范数具有严格凸性质，由引理1.2知为集值度量广义逆的单值选择。
下面仅需证为连续算子。
由的定义，知有在范数下且在原范数下现证：任取往证在上引进图像范数：由T的闭性，知为Banach空间，因为R(T)为Y的闭子空间，从而R(T)在Y的诱导拓扑下为Banach空间再由T的闭性，知为连续线性的满射，应用开映射定理[3]存在,使得对任意存在满足令，得到于是有应用闭值域定理[5]，有,因此换言之，有因为在范数下是弱下半连续的，有又因为，得所以得因为为有穷维严格凸Banach空间，为闭凸子集，从而为子集因此，这与假设矛盾因此由于Y为具有H性质的自反严格凸的Banach空间，由引理1.1知，为连续的，于是，对于使得有取及于是即任取因此为连续算子参考文献[1]王玉文.巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用.北京：科学出版社，2005，1.[2]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义.北京：北京大学出版社，2003.[3]Y.Y.Tseng.Sur les solutions des equations operatrices functionnelless enter les espaces.Unitaires. C.R.Acad.Sci.Paris, 1949，228: 640-641.[4]Y.Y.Tseng.Virtual solutions and genenal pehi.Mat.Nauk.(N.S.), 1956,11:213-215.[5]G.W.Groetsch.Generalized inverse of Linear Operators.New York: Marcel Dekker, 1997.[6]Y.Y.Tseng.Properties and classification of generalized inverses of closed oprators.Dokl.Akad.Nauk.SSSR(N.S.).1949，67: 607-610.注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
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空 间 格 。如 果 是 全 序 集 ， 称 ｎ 是 套 ；如 果 对 于 任 意 的 Ｌ 则 ，
子 空 间 格 （ 记 为 ｃｓ 。易 知 套 一 定 是 Ｃ 简 Ｌ） ＳＬ 。 于 任 意 Ｌ ∈ ｎ ， 义 ： 一 Ｖ ｛ ∈ ｎ ： Ｌ） 易 知 若 对 定 Ｌ一 Ｍ Ｍ ； ｎ 是 套 ， Ｖ Ｌ ∈ ｎ ，有 Ｌ一 Ｌ 。 则 ≤ 设 Ａ Ｈ ）， 义 ： ｔ 一 ｛ Ｊ 是 Ｈ 的 闭 子 空 间 且 丁 （ ｃ Ｂ（ 定 ＬａＡ Ｌ Ｌ Ｌ）
ＶＯ ． ６ ＮＯ １ １１ ．
Ｂ ｎｃ 代数中的拓扑循环表示 ａａｈ
胡 永模 ， 周其 生 ， 春 燕 桂
（ 庆 师 范 学 院 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 徽 安 庆 ２ ６ ３ ） 安 安 ４ １３
摘
要 ：设 Ｈ 是 一 个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ代数 ， Ｘ 的 一 个 表示 。本 文 证 明 如果 Ｘ 含有 一 组逼 近 单位 元 ， 是 则 是 Ｘ 的 一 个 拓 扑
Ｘ 是 一 个 Ｂａ ａ ｈ代 数 ， ）ｃ ， 此 ｌ ∈ Ｘ ， 以 Ｉ一 （ｉ ｎｃ ｛ Ｘ 因 ｉ ｍｐ 所 １
ｎ ｎ
） ∈ 丌 Ｘ） （ 。
定 理 １ 设 ｘ 是 一 个 Ｂａ ａ ｈ代 数 ， ：ｘ — Ｂ（ ）是 ｘ 的 一 个 表 示 ，如 果 Ｘ 含 有 一 组 逼 近 单 位 元 ｎｃ Ｔ Ｃ Ｈ ｛ ） ，则 丌是 Ｘ 的 一 个 拓 扑 循 环 表 示 。
循环表示 。
关键 词 ：Ｂ ｎ ｃ 数 ； 空 间 格 ； 扑 循 环表 示 ａ ａｈ代 子 拓 中 图分 类号 ：Ｏ１ ７ １ ７ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ： １Ｏ —４ ６ （０ ０ Ｏ 一０ １ —０ Ｏ７ ２０２１）ｌ ００ １
设 Ｈ 是 Ｈｉ ｅ ｔ 间 ， Ｈ ）表 示 Ｈ 上 所 有 有 界 线 性 算 子 作 成 的 集 合 ， 是 一 个 Ｂａ ａ ｈ代 数 ，如 果 ｌ ｒ空 ｂ Ｂ（ ｘ ｎｃ
存 在 ｘ 到 Ｂ（ Ｈ）的 一 个 同 态 映 射 丌， 称 是 ｘ 的 一 个 表 示 ， 一 步 地 ， 果 存 在 ｅ∈ Ｈ ， 得 ［ （ 臼 则 进 如 使 丌 ｘ）
一
ｌ ｅ ｒ ｐ ｎ｛ ｘ） ）一 Ｈ ， 称 是 Ｘ 的 一 个 拓 扑 循 环 表 示 。 于 算 子 代 数 表 示 理 论 的 研 究 ， 近 几 年 ｉ ａ ｓ ａ （ ｅ ｎ 则 对 是
来 一个 热点 ［ ， 文 给 出了 Ｂ ｎ ｃ １ 本 ］ ａ ａ ｈ代 数 中 拓 扑 循 环 表 示 的 一 个 充 分 条 件 。 此 ， 给 出 一 些 基 本 概 念 ， 为 先 其 中 大 部 分 来 自 于 文 ［ ］。 ５ 设 ｎ 是 Ｈ 的 一 族 闭 子 空 间 ， 果 Ｑ 满 足 下 列 条 件 ： １ （ ）， ∈ ｎ ； ２ 如 （ ）Ｏ Ｈ （ ）对 ｎ 的 任 一 族 子 空 间 ｛ ∈ Ｌ ｎ： ｉ∈ Ａ ） 总 有 Ｖ ， Ｌ ，＾ ＾ ∈ ｎ ， 中 Ｖ 表 示 子 空 间 的 闭 线 性 扩 张 ，＾ 表 示 集 合 交 ， 称 ｎ 是 子 Ｌ 其 则 ∈ ｎ， Ｌ Ｌ 一 Ｌｚ 我 们 称 ｎ 是（ｉ ， １￣ ）又 ｎ
‘ ｎ
：是 ｘ 的 一 个 表 示 ， 是 丌 ｚ）一 丌 （ｉ ￣ ） ・ ｒ ｇ 于 （ （ １ｎ ｒ ｚ）一 （ｉ ￣ ） ｚ） 由 Ｘ 的 任 意 性 可 知 ， １ ｎ （ 。 ｒ Ｉ一 ７ １ ， ｒ ｉ （ ｍｐ ） 而
证 明
因 为 ｘ 含 有 一 组 逼 近 单 位 元 ｛ ｝ 于 是 由 弓 理 １可 知 ， Ｘ ）含 有 单 位 算 子 Ｉ 所 以 对 于 任 意 ， Ｉ （ ， 。 引 言 Ｌａｅ Ｘ ）是 Ｈ 中 的 一 个 子 空 间 格 ，则 由 ｔ（ ｒ
Ｈ ）一 Ｖ ｛ ∈ Ｌａ Ｔ（ Ｌ ｔｒ Ｘ） ：Ｌ ） ｃ Ｈ
的 ∈ Ｈ ， 亭∈ ［ ｘ ） 一 雨 品 有 丌（ 臼
Ｈ 一一 Ｖ ｛ ∈ Ｌａ ｅ（ Ｌ ｔｒ Ｘ） ：Ｌ
所 以 Ｈ一 Ｈ ， 面 分 两 种 情 况 证 明 ： ≤ 下
（ 转第 ２ 下 ５页 ）
＊ 收 稿 日期 ：２ ０ — ０ —０ ０９ ８ ５ 基 金 项 目 ：安 徽 省 高 校 重 点 自然 科 学 基 金 （ ２Ｏ Ａ３Ｚ ） 助 。 ＫＪｏ ８ ６ Ｃ 资 作 者 简 介 ：胡 永模 ， ， 徽 无 为人 ， 庆 师 范 学 院 数 学 与 计 算 科 学 学 院 教 师 。 男 安 安
一
Ｌ ， ∈ Ａ ） 容 易 验 证 ＬａＡ 是 ＶＴ ， ｔ
个子 空 间格 。
设 Ｘ 是 一 个 Ｂａ ａ ｈ代 数 ， ）ｃ ，如 果 对 于 任 意 的 Ｘ ∈ Ｘ ， Ｘ 一 （ｉ ￣ ）・ｚ — Ｘ ・（ｉ ￣ ） ｎｃ ｛ ｘ 有 １ ｍ／ １ｎ ， ｒ
”
则 称 ｛ ）是 Ｘ 的 一 组 逼 近 单 位 元 。
２１ ０ ０年 ２月 第 １ ６卷 第 １期
安庆 师范学 院学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓｃ Ｉｇ （ ａｕａ Ｓ ｉｎｅＥ ｉ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｑｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ Ｎ ｔｒＩ ｃｅ ｃ ｄｔ ） Ａ ｇ ｅ ｉ ｏ
Ｆ ． １ ｅｂ ２０ ０
下 面 给 出主要结 果 ：
引 理 １ 设 ｘ 是 一 个 Ｂａ ａ ｈ代 数 ， ：Ｘ — Ｂ（ ）是 ｘ 的 一 个 表 示 ， 果 Ｘ 含 有 一 组 逼 近 单 位 元 ｎｃ Ｈ 如 ｛ ） 则 ７（ ）含 有 单 位 算 子 Ｉ ， ｆｘ 。 证 明 因 ｛ ）是 ｘ 的 一 组 逼 近 单 位 元 ， 对 于 任 意 ｚ ∈ Ｘ ， Ｘ ： １ 故 有 ＝ ｉ ＝（