辽宁省实验中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题++Word版含答案

2018届 数学学科(理) 高三年级一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 121234,23,z i z i z z =-=-++设则在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限 2．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 （ ） A. 2,10x R x ∀∈+< B. 2,10x R x ∀∈+≤ C. 2,10x R x ∃∈+≤ D. 2,10x R x ∃∈+<3．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（ ）C. 4D. 134．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s = （ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 165．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所 示，且min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最小值，则2⊗min{1，log 0.30.1，30.1}的值为 （ ）A ．-1B ．C ．1D ．2﹣30.16．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=3S n （n ≥1）， 则a 6= （ ） A ．44+1 B ．3×44+1 C ．45D ．3×447．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是 （ ） A ．)3,0( B ．)4,1( C ．),2(+∞ D ．)2,(-∞ 8．已知函数B x A y ++=)sin(ϕω的图象一部分如图2,0πω>>A ），则A. B.=ω4= D.9θ()1,4，则sin 2θ 10R ()f x =， b ， cb c >a c >>a c >c a >>11ABC 中，，A120，+f ）﹣lnx]=1， （x （ ） A ） B （，1） C ，）（520 13y 8y ，则f =14x ，y ，则的最大值为 115.已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=__________．16．．设直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2的三个交点分别为A （a ，t ），B （b ，t ），C （c ，t ），且a ＜b ＜c ．现给出如下结论： ①abc 的取值范围是（0，4）； ②a 2+b 2+c 2为定值； ③a+b+c=6其中正确结论的为三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣（x ∈R ）．（Ⅰ）求f （2π3）的值． （Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．18．已知数列{a n }满足a 1=3，且a n+1﹣3a n =3n，（n ∈N *），数列{b n }满足b n =3﹣na n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n 的值．19．已知等差数列{a n }中，a 2=5，S 5=40．等比数列{b n }中，b 1=3，b 4=81， （1）求{a n }和{b n }的通项公式（2）令c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且222a cb +=， 32a b = （1）求sin C 的值；（2）若6b =，求ABC ∆的面积.21．已知函数()xf x e =， ()22a g x x x =--，（其中a R ∈， e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）.（1）令()()()h x f x g x =+'，若()0h x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ， 1nni i m n =⎛⎫< ⎪⎝⎭∑，求m 的最小值.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分） 在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分） 已知函数()1f x x a x =-+-， a R ∈ （1）当3a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若不等式()2f x <的解集为空集，求实数a 的取值范围.参考答案一、DCACC DCDDB AD二、13.2 14. 1 15．7 16. ①②③三、17解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．18.（1）证明：由b n=3﹣n a n得a n=3n b n，则a n+1=3n+1b n+1．代入a n+1﹣3a n=3n中，得3n+1b n+1﹣3n+1b n=3n，即得．所以数列{b n}是等差数列．（2）解：因为数列{b n}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，则，则a n=3n b n=（n+2）×3n﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n＜127，得1＜n≤4．故满足不等式的所有正整数n 的值为2，3，4．19.（1）设公差为d ，则由a 2=5，S 5=40，得：，解得，则a n =3n ﹣1…∵∴q=3…（2）①∴②①﹣②：∴…20：（1）由222cos 2a c b B ac +-===6B π=， 由32a b =及正弦定理可得出： 3sin 2sin A B =，所以21sin sin 363A π==，再由32a b =知a b <，所以A 为锐角， cos 3A ==，所以()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π⎡⎤=-+=+=+=⎣⎦ （2）由6b =及32a b =可得出4a =，所以11sin 462226S ab C ==⨯⨯⨯=.21（1）因为()1g x ax =--' 所以()e 1xh x ax =--，由()0h x ≥对任意的x R ∈恒成立，即()min 0h x ≥， 由()e xh x a '=-，（i ）当0a ≤时， ()e 0xh x a ='->， ()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞，所以(),0x ∈-∞时， ()()00h x h <=， 所以不满足题意.(ii)当0a >时，由()e 0xh x a ='-=，得ln x a =(),ln x a ∈-∞时， ()0h x '<， ()ln ,x a ∈+∞时， ()0h x '>，所以()h x 在区间(),ln a -∞上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增， 所以()h x 的最小值为()ln ln 1h a a a a =-- . 设()ln 1a a a a ϕ=--，所以()0a ϕ≥，① 因为()ln a a ϕ'=-令()ln 0a a ϕ'=-=得1a =，所以()a ϕ在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 所以()()10a ϕϕ≤=，②由①②得()0a ϕ=，则1a =. （2）由（1）知e 10x x --≥，即1e x x +≤，令k x n =-（*n N ∈， 0,1,2,,1k n =- ）则01e kn k n-<-≤，所以1e e nn k kn k n --⎛⎫⎛⎫-≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12211121()ee e e 1n n n nnn n n i i n n nn n n n ------=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯++≤++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 111e 1e 1121e 1e e 1e 1n ----=<==+<----， 所以1()2nni i n=<∑， 又3331231333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以m 的最小值为2.22.（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=（2）设()11,ρθP ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得11ρ=，13πθ= 设()22Q ,ρθ，则由()sin 3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得23ρ=，23πθ=所以Q 2P =23.（1）当a=3时，f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣1|，即有f （x ）=，不等式f （x ）≤4即为或或，即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3， 则为0≤x≤4， 则解集为[0，4]；（2）依题意知，f （x ）=|x ﹣a|+|x ﹣1|≥2恒成立， ∴2≤f（x ）min ；由绝对值三角不等式得：f （x ）=|x ﹣a|+|x ﹣1|≥|（x ﹣a ）+（1﹣x ）|=|1﹣a|， 即f （x ）min =|1﹣a|，∴|1﹣a|≥2，即a ﹣1≥2或a ﹣1≤﹣2， 解得a≥3或a≤﹣1．∴实数a 的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．。