【湘教考】2016届高三数学(文)一轮复习课件：5.3等比数列及其前n项和
高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项
d 1, d 3, (舍去)或 q 2. q 0
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
an1 表示,定义的表达式为 =q(n∈N*). an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤ a1qn-1 .
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,则G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· ⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3.
解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
2 4
2.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B பைடு நூலகம்a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
高中一轮复习文数课件：第六章第三节等比数列及其前n项和
01
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的比等于 同一常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数 列．这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定
an＋1 ＝q a n 义的表达式为_________.
1＋q＋q2 1 2 ＝3，整理得 2q －q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . q2 2
[答案]
(1)4
1 (2)1 或－ 2
求通项或特定项
[例 2] (1)(2017· 全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝
－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________. (2)在等比数列{an}中，若公比 q＝4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an＝________.
求等比数列的前 n 项和
[例 3] 设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若数列{bn}满足 bn＝a ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 [解] (1)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3
[例 1] (1)(2017· 无锡模拟)已知等比数列{an}单调递减，
5 若 a3＝1，a2＋a4＝ ，则 a1＝________. 2 (2)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公 比 q 的值为________．
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第5章-第3课时 等比数列及其前n项和
第十二页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
1．(2013·高考福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n－1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以 下结论一定正确的是( ) A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
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第十三页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 等比数列的判定及证明
计算出 bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型． bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1 ＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·11－－qqm， ∴bbn＋n 1＝a1aq1mqmn－n·111·－1－1－－qqmqqm＝qm， ∴{bn}是等比数列，公比为 qm.
第三页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
2(1.或等)等比aq比1>数<数10列列时的{，a性n}{质满an}足是递aq1>>减10数或列．a0<1<q0<1时，{an}是递增数列；满足a0<1>q0<1 (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积 相等 ．特别地，若 项数为奇数时，还等于 中间项 的平方． (3)对任意正整数 m、n、p、q，若 m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地， 若 m＋n＝2p，则 ap2＝am·an .
2016高考数学(新课标)一轮复习配套课件：第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和
栏目 第二十页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
(3)∵2an＋1＋an＝0，∴aan＋n 1＝－12. 又 a2＝1，∴a1＝－2，∴{an}是首项为－2，公比为 q＝－12 的等比数列，∴S10＝a1（11－－qq10）＝－2（11＋－212－10） ＝43(2－10－1)，故选 C.
栏目 第十六页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
[规律方法] 等比数列运算的通法：
与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想 和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1
na1，q＝1 (a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn＝a1（11－－qqn），q≠1中共有五
栏目 第十三页，编辑于星期六：点 四十导六分引。
第五章 数列
(2)设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
∵a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴a221（·1q＋8＝q2a）1·＝q59，q， ②
①
由①得 a1＝q，
由②知 q＝2 或 q＝12，
又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而 an＝2n.
(2)等比中项： 如果 a、G、b 成等比数列，那么__G_____叫做 a 与 b 的等比 中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列 ⇒__G_2_＝__a_b___．
栏目 第二页，编辑于星期六：点 四十六导分。引
第五章 数列
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_q_n－__1 ___．
栏目 第六页，编辑于星期六：点 四十六导分。引
第五章 数列
2．等比数列的三种判定方法 (1)定义：aan＋n 1＝q(q 是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比 数列． (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q 均是不为零的常数，n∈N*) ⇔{an}是等比数列． (3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*) ⇔{an}是等比数列．
高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和课件
三 等比数列的判定与证明
• (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用 于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证 明存在连续三项不成等比数列即可．
• (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
【例 3】
数列 a 的前 n
1．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R 且 λ≠0)，若数列an－1是等比数 列，则 λ 的值等于( D )
A．1
B．－1
C．21
D．2
解析 由 an＋1＝λan－1，得 an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数
列，所以2λ＝1，得 λ＝2.
• 解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．
• (2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正 确．
• (3)错误．当q＝0时，{an}不是等比数列，故错误． • (4)错误．当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项，故错误．
• (5)错误．等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，故错误． • (6)错误．当a＝1时，Sn＝n，故错误． • (7)错误．当q>1，a1<0时，等比数列递减，故错误． • (8)错误．若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．
• 2数．列设，数3则4列a{1＋an}a的5＝前__n_项__和__S_n满. 足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差 • 解析 由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， • 即成等an＝差2数an列－1，(n所≥以2)．a1＋从a而3＝a22＝(a22a＋1，1)a，3＝所2以a2a＝1＋4a41a.又1＝因2为(2aa11＋，1a)2，＋1，a3
高考数学一轮复习 53 等比数列及其前n项和课件 文
a1>0，q>1或者a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1或者a1<0，q>1
a1≠0，q＝1 q<0
5.在性质(5)中，当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 不是等比数列．
6．在运用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、 下标的对应关系．
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝41，则公比 q 等于(
列{ban}，{pan·qbn}和
(其中b，p，q是非零常
4．Sm＋n＝Sn＋ qn Sm＝Sm＋ qm Sn. 5．当 q≠－1，或 q＝－1 且 k 为 奇 数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 是等比数列．
6．若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，TT2nn，TT32nn，…成 等比 数列． 7．若数列{an}的项数为 2n，则SS偶 奇＝ q ；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1 ＝ q.
等比数列的性质及应用(师生共研)
• 例2 (1)(2015年潍坊四县一区联考)设等比数列{an}中， 前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于 ()
解析：由等比数列的性质，得 a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得 q＝aa32＋＋aa54＝2， 又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2，∴Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
等比数列的基本运算(自主探究)
• 例1 (1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8， 则a1＋a10等于( )
)
A．－12
B．－2
C．2
D.12
解析：由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12.
高考数学一轮复习 等比数列及其前n项和课件
＞50，即2n＋1－2＞50，∴2n＋1＞52，
又当n≤4时，2n＋1≤25＝32＜52，
当n≥5时，2n＋1≥26＝64＞52. 故使Sn＋n· 2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.
2.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn，数列{an}为等差
还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.
【注意】
在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公
比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求
和公式.
(2009· 临沂教学质量检查)已知单调递增的等比 数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中
项.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n· 2n
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的 连续三项不成等比即可.
已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝ bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数. (1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列.
＝－
(－1)n· (an－3n＋21)＝－
bn.
又λ≠－18，∴b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0， ∴ (n∈N*)． 为公比
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项， 的等比数列.
1.(2009· 全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1， Sn
＋1＝4an＋2.
＋1＞50成立的正整数n的最小值.
由已知条件，列出关于a1、q的方程，求得a1、q，从 而得出an和bn，由bn求Sn时注意bn通项公式的特点.
高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课件
A．a1，a3，a9 成等比数列
B．a2，a3，a6 成等比数列
C．a2，a4，a8 成等比数列
D．a3，a6，a9 成等比数列
(2)(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1＝1，a列，并求{an}的通项公式；
②证明：a11＋a12＋…＋a1n<32.
归纳升华
解决等比数列有关问题的常见思想方法 1．方程的思想 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列 方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解． 2．数形结合的思想 通项 an＝a1qn－1 可化为 an＝aq1qn，因此 an 是关于 n 的函数，点(n，an)是 曲线 y＝aq1qx 上一群孤立的点．
②由①知a1n＝3n－2 1. 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1，所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1 ＝321－31n<32.所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
跟踪训练
1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn ＋2n(n∈N*)． (1)求 a2，a3 的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
示，公比的表达式为_a_an_＋n_1＝__q___.
2．5 等比中项
如果 a，G，b 成等比数列，那么G__叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的 等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G__2_＝___a. b
知识点 2 等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝__a_1_q__n_－＝1amqn－m.
【答案】 B
2．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128. (1)求通项 an； (2)若 bn＝log2an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝360，求 n 的值．
2016届高考数学复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和课件 理
[点评]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在证明本题时，首先利用转化的思想，把 Sn＋1＝4an＋2
bn＋1 bn 转化为 an＋1 与 an 的关系，然后作商 b 或 ，在作商时，无论 bn－1 n bn＋1 bn b2 使用 b ，还是 ，都要考虑比值中是否包含了 这一项，这是 b1 b n n－ 1 很容易被忽视的地方.
方法3 等差与等比数列的综合问题 (1)在等差数列中蕴含等比关系，由等差数列设出数列的项(突出
2 2
－1
＝5· 2n－3.
(2)证明
数列{bn}的前 n 项和
5 （1－2n） 4 5 n－2 Sn＝ ＝5· 2 － ， 4 1－2 5 即 Sn＋ ＝5· 2n－2. 4 5 Sn＋1＋ 5·2n－1 4 5 5 所以 S1＋ ＝ ， ＝ ＝2. 4 2 5 5·2n－2 Sn＋ 4
5 5 因此 Sn＋4 是以 为首项，2 2
* (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2 ＝ a · a ( n ∈ N )， ＋ ＋ n 1 n n 2
则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c· qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k· qn－k(k 为常数 且 k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、 填空题中的判定.
第三节
等比数列及其前n项和
考点梳理
考纲速览
命题解密
以等比
热点预测
1.理解等比数列的概念 . 综合等比数列 数列的定义 2.掌握等比数列的通项 的通项公式、前n项 1. 等比数列 及等比中项 公式与前n项和公式. 和以及利用性质解 的计算. 为背景，考 3.能在具体的问题情境 题仍将是命题的热 2. 等比数列 查等比数列 中识别数列的等比关 点，非“标准”的 的前n项和. 的判定及通 系，并能用有关知识 等比数列可能成为 3. 等比数列 项公式、前 n 解决相应的问题. 命题的新生长点 . 此 的性质. 项和公式以 4.了解等比数列与指数 外，与其他知识的 及性质的应 函数的关系. 综合也值得关注. 用.
高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件 文 湘教版
n 成等差数列，且 am－1，as－1，an－1 成等比数列？ 如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．
a
9
(1)证明：因为 1 2 1
an1 3 3an
所以
. 1 1 1
an1
3an
1313a1n1
又因为
1 1 a1
≠0，所以
1 1 an
≠0(n∈N*)，
所以数列
1
a
n
(2)由(1)可得
【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，
∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴ 1
即数列
1
a
2 n
是首项为
1 4
1
，公比为
4
a
2 n
的等比数列，
1 n 4
∴
1 a12
a122
... a1n2
1411141n13141n
4
【答案】2
1 3
1
1 4n
N*），则{an}是等比数列.
（4）前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·qn-k（k 为常数且 k≠0，q≠0，1），
则{an}是等比数列.
【提醒】 （1）前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、
填空中的判定.
（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.
列，且 b7 ＝ a7 ，则 b6b8 等于
()
A.2
B.4
C.8
D.16
【解析】由题意可知， b6b8 ＝ b72 ＝ a72 ＝2( a3 a11)＝4 a7 .
∵2 a3－ a72 ＋2 a11＝0,4 a7 a72 =0.∵ a7 ≠0，∴ a7 ＝4，∴b6b8 =16.
五经典真题(湘教 文数)备考高考一轮复习：第5章 第3节 等比数列及其前n项和.DOC
2009~2013年高考真题备选题库第5章 数列第3节 等比数列及其前n 项和考点一 等比数列的通项公式1．（2013广东，5分）设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：本题主要考查等比数列通项等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.答案：152．（2013北京，5分）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：本题主要考查等比数列的基础知识，意在考查考生的计算能力．由题知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，故S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－23．（2011辽宁，5分）若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1， 两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16，∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4. 答案：B4．（2010辽宁，5分）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2 ①3S 2＝a 3－2 ②，①－②得：3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.答案：B5．（2012新课标全国，5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.答案：－26．（2011广东，5分）已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 答案：27．(2011新课标全国，12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)． 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 考点二 等比数列的前n 项和1．（2013江西，5分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：本题主要考查等比数列的概念与前n 项和等基础知识，考查实际建模的能力以及分析、解决问题的能力．设每天植树的棵数组成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得2(1－2n )1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6.答案：62．（2013辽宁，5分）已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列得，a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：633．（2013湖北，13分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n 项和公式，也考查了分类讨论思想．(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 4．（2010广东，5分）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．（2010浙江，5分）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意知8a 1q ＋a 1q 4＝0，a 1≠0，则q 3＝－8，故q ＝－2，所以S 5S 2＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝－11.答案：A6．（2010辽宁，5分）设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172 解析：显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314.答案：B7．（2012江西，5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，所以S 5＝1×[1－(－2)5]1－(－2)＝11.答案：118．（2011北京，5分）在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－129．(2009·浙江，4分)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：a 4＝a 1(12)3＝18a 1，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1，∴S 4a 4＝15. 答案：1510．（2012陕西，12分）已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×[1－(－12)n ]1－(－12)＝2＋(－12)n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k＋1成等差数列．11．(2009·山东，12分)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·＋b n ＋1b n ＞n ＋1成立．解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ， 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：法一：由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) ＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时， 不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．法二：由(1)知：a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)， 所证不等式为32·54·76·…·2n ＋12n ＞n ＋1.事实上，32·54·76·…·2n ＋12n＝2＋422·4＋624·6＋826·…·2n ＋(2n ＋2)22n＞2×42·4×64·6×86·…·2n (2n ＋2)2n＝22·2n ＋2＝n ＋1.故对一切n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．考点三 等比数列的性质及应用1．（2013江苏，5分）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q >0)．由a 5＝12，a 6＋a 7＝3，可得12(q ＋q 2)＝3，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，所以a n ＝2n －6，数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －5－2－5，所以a 1a 2…a n ＝(a 1a n )n2＝2n (n －11)2，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 可得2n －5－2－5>2n (n －11)2，由2n －5>2n (n －11)2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5>213不成立，所以n 的最大值为12.答案：122．（2012新课标全国，5分）已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.答案：D3．（2012北京，5分）已知{a n }为等比数列．下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2解析：设公比为q ，对于选项A ，当a 1<0，q ≠1时不正确；选项C ，当q ＝－1时不正确；选项D ，当a 1＝1，q ＝－2时不正确；选项B 正确，因为a 21＋a 23≥2a 1a 3＝2a 22.答案：B4．（2010山东，5分）设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设数列{a n }的公比为q ，因为a 1＜a 2，且a 1＞0，所以有a 1＜a 1q ，解得q ＞1，所以数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则公比q ＞1且a 1＞0，所以a 1＜a 1q ，即a 1＜a 2，所以“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．答案：C5．(2011新课标全国，12分)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＝13×(13)n －1＝13n ，S n ＝13(1－13n )1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)因为b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列
32
5
=
31
.
32
=
31
,求公比
32
q.
6. 如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列
的公比等于多少?
解 设公比为 q,依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=10,a6+a7+a8+a9+a10=50-10=40,
因此
5 6 + 7 + 8 + 9 + 10
3.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和
Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n
项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
4.若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数
第六章
第三节 等比数列
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解等比数列的概念.
课标解读
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列
的有关知识解决相应的问题.
强基础 固本增分
1.等比数列的概念
(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第
(2)(方法1)设等比数列的公比为q,由题意知q≠-1.根据等比数列的性质可
知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,
∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.
2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件：5-3等比数列及其前n项和
第十页，编辑于星期六：点 十七分。
4．设{an}是由正数组成的等比数列，a1，a9 是方程 x2－8x＋12 ＝0 的两根，则 a4a5a6＝__________.
解析：因为 a25＝a1·a9＝12，an＞0，所以 a5＝2 3，所以 a4a5a6 ＝a35＝24 3.
答案：24 3
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第二十七页，编辑于星期六：点 十七分。
解析：(1)证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则 有 a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即 9 ＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列．
(2) 因 为 bn ＋ 1 ＝ ( － 1)n ＋ 1[an ＋ 1 － 3(n ＋ 1) ＋ 21] ＝ ( － 1)n ＋ 123an－2n＋14＝－23(－1)n(an－3n＋21)＝－23bn.
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变式探究 3 (1)已知 x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3 成等
比数列，则 xyz 的值为( )
A．－3
B．±3
C．－3 3 D．±3 3
(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝ 2 －1，a5＝ 2＋1，则 a32＋2a2a6＋a3a7＝( )
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1．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若 a2＝2,2a3＋
a4＝16，则 an 等于( )
A．2n－2
B．23－n
C．2n－1
D．2n
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解析：设该等比数列的公比为 q，则 a3＝2q，a4＝2q2，由此得 4q＋2q2＝16，即 q2＋2q－8＝0，解得 q＝2 或者 q＝－4(舍去)，所 以 an＝a2qn－2＝2n－1.
高三数学一轮总复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件.ppt
第三节 等比数列及其前n项和
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
2
1.理解等比数列的概念。 考 纲 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式。 导 学 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解
决相应的问题。 4.了解等比数列与指数函数的关系。
3
课前学案 基础诊断
17
(2)根据题意得aa11qq34＋×aa11qq65＝＝－2，8，
即aa11qq33＋×aa11qq66＝＝－2，8 ⇒aa11qq36＝＝－4 2， 或aa11qq36＝＝4－，2。 ⇒
qa31＝＝－1，2
a1＝－8， 或q3＝－12。
所以当 a1＝1，q3＝－2 时， a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7； 当 a1＝－8，q3＝－21时，
______a_k·_a_l＝__a_m_·a_n________。 (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{a1n}，{an2}，{an·bn}{abnn}
仍是等比数列。
6
5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn。
□ 9 na1 ，q＝1
□ Sn＝
a11－qn
10 1－q
□ ＝ 11 a11－－aqnq(q≠1)
。
6．等比数列前 n 项和的性质
若公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
□ qn
比数列，其公比为 12 ____________。
7
解析：(1)设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，则由 a5＝9，得 a1＝9，此时 S3＝27， 而 a2＋10a1＝99，不满足题意，因此 q≠1。
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数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2（n∈N ）. （1）设 bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列； （2）设 cn=
*
an ，求证：{cn}是等比数列. 3n 1
1.等比数列{ a n }的公比为 q ，则“ q ＞1”是“对于任意正整数 n，都有 a n ＋1＞ a n ” 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
【解析】当 a1 ＜0 时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 【答案】 D
2
2.已知各项不为 0 的等差数列{ a n }，满足 2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0，数列{ bn }是等比数 列，且 b7 ＝ a 7 ，则 b6b8 等于 ( )
【解析】∵{ an }是等比数列， ∴ an 2 ＋ an1 ＝6 an 可化为 a1q
n 1
＋ a1q ＝6 a1q
n
n 1
，∴ q q 6 0 .
2
1 (1 2 4 ) 4 1 a (1 q ) 2 15 ∵q＞0，∴ q＝ 2, a2 ＝ a1q ＝1，∴ a1 . ∴ S 4 1 . 2 1 q 1 2 2
【答案】
15 2
5．(2014·北京西城区期末)已知{an}是公比为 2 的 1 1 等比数列， 若 a3－a1＝6， 则 a1＝________； 2＋ 2＋… a1 a2 1 ＋ 2＝________． an
【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6， ∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴
(q 1), na1 n Sn= a1 (1 q ) a1 an q 1 q 1 q (q 1).
2.等比数列的性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.
1 2 （1）数列{c·an}（c≠0）,{|an|}，{an·bn}（{bn}也是等比数列） ，{ an }， 等 an
【解析】由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
S9 于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝ 1 S3代入得 .
2
【答案】C
3 S3 4
4.等比数列{ a n }的公比 q＞0.已知 a 2 ＝1， a n 2 ＋ a n 1 ＝6 a n ，则{ a n }的前 4 项和 S 4 ＝_____.
1 1 1 2 即数列 a 是首项为 ，公比为 的等比数列， n 4 4
∴
1 1 2 an 4
n
1 1 1 n 1 1 1 4 4 1 1 ... 1 2 2 2 n 1 a1 a2 an 3 4 1 4
A.2 B.4 C.8 D.16 2 2 【解析】由题意可知， b6b8 ＝ b7 ＝ a 7 ＝2( a3 a11)＝4 a 7 .
2 2 ∵2 a3 － a 7 ＋2 a11＝0,4 a7 a 7 =0.∵ a 7 ≠0，∴ a 7 ＝4，∴ b6b8 =16.
【答案】D
3 ．设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，若 S6 ∶ S3 ＝1∶2，则 S9∶S3＝( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
1 1 1 n 3 4
【答案】2
等比数列的判定与证明
等比数列的判定方法 a a （1）定义法：若 n 1 =q（q 为非零常数）或 n =q（q 为非零常数且 n≥2） ，则{an} an an 1 是等比数列.
2 （2）中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 an an+2（n∈N ） ， 则数列{an}是等比数列. 1 =an· n （3）通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q （c，q 均为不为 0 的常数，n∈ * N） ，则{an}是等比数列. （4）前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k（k 为常数且 k≠0， q≠0， 1） ， 则{an}是等比数列. 【提醒】 （1） 前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、 填空中的判定. （2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.
5.3 等比数列及其前n项和
1.等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义 一般地, 如果一个数列从 第2项 起, 每一项与它的 前一项 的比等于 同一个 常数 ,那么这个 数列叫做等比数列 ,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 q （ q≠ 0）表示. （2）等比数列的通项公式 n 1 设等比数列 {an} 的首项为 a1,公比为 q, 则它的通项 an= a1q . （3）等比中项 如果三个数 a、 G、 b 成 等比数列 ， 则 G 叫做 a 和 b 的等比中项， 那么 G b ， 即 G2= ab . a G 【思考探究】 b2=ac 是 a, b, c 成等比数列的什么条件 ? 提示： b2= ac 是 a, b, c 成等比数列的必要不充分条件, ∵当 b=0,a,c 至少有一个为零时 ,b2=ac 成立 ,但 a, b, c 不成等比数列;反之 ,若 a,b,c 成等比数列, 则必有 b2=ac. （4）等比数列的前 n 项和公式
也是等比数列. （2）数列 am，am+k，am+2k，am+3k，…，仍是等比数列.
an a p · aq ， （3）若 m+n=p+q,则 am ·
2 a · a a m n p 特别地，若 m+n=2p，则
.
反之，若 am·an=ap·aq,不一定有 m+n=p+q. （4）a1an=a2an-1=…=aman-m+1. （5）数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…，仍是 等比 数列（此时{an}的公比 q≠-1）. （6）当 n 是偶数时,S 偶=S 奇·q；当 n 是奇数时，S 奇=a1+S 偶·q.