华师大版九年级数学上典中点第二十一章整合提升专训三
华中师范大学第一附属中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》提高练习(含答案解析)
一、选择题1．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-C 解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．2．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．5．方程()55x x x +=+的根为（ ）A ．15=x ，25x =-B ．11x =，25x =-C ．0x =D ．125x x ==-B 解析：B【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】 ()55x x x +=+，()()550+-+=x x x ，()()510x x +-=，11x =，25x =-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．6．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝7B解析：B【分析】根据长方形的周长可以用x 表示另一边，然后根据面积公式即可列出方程.【详解】解：设矩形的一边为x 米，则另一边为（20-x ）米，∴x （20－x ）＝75，故选：B.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键.7．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >B 解析：B【分析】 由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得．【详解】解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0，解得：14m， 故选：B ．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 8．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ）A ．(x ﹣2)2＝1B ．(x ﹣2)2＝5C ．(x ﹣4)2＝1D ．(x ﹣4)2＝5B 解析：B【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】解：x 2﹣4x ﹣1＝0x 2-4x=1x 2-4x+4=1+4（x-2）2=5，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是会用配方法解答方程．9．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8D 解析：D【分析】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，解得t ＝4，c ＝8．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 10．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020A解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解解析：-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．【详解】解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．故答案为：－2．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 13．方程230x -=的解为___________．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x =【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】移项得，23x =，解得：x =故答案为：x =【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.14．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得（舍去）即每轮传解析：729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人，由题意可列得，()1181x x x +++=，解得18x =，210x =-（舍去），即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，经过三轮传染后患上流感的人数为：81881729+⨯=（人）.故答案为：729.【点睛】本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．16．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．【详解】解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．17．一元二次方程x 2=2x 的解为__________0或2【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可【详解】解：x2=2xx2-2x=0x （x-2）=0x=0x-2=0x=0或2故答案为：0或2【点睛】本题考查了解一元二次方程的应 解析：0或2．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x 2=2x ，x 2-2x=0，x （x-2）=0，x=0，x-2=0，x=0或2．故答案为：0或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．18．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 19．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降解析：48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30，由此即可求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为48(1-x)，第二次降价后的价格为48(1-x)(1-x)，由题意，可列方程为：48(1-x)2=30．故答案为：48(1-x)2=30．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．20．已知关于x 的方程x 2﹣px +q ＝0的两根为﹣3和﹣1，则p ＝_____，q ＝_____．-43【分析】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程解之即可得出结论【详解】解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p﹣3×（﹣1）＝q所以p＝﹣4q＝3故答案为﹣43【点睛】本题考查了根与系数的关系解析：-4 3【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p，﹣3×（﹣1）＝q，所以p＝﹣4，q＝3．故答案为﹣4，3．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出-3+（-1）=-p,（-3）⨯（-1）=q是解题的关键．三、解答题21．已知，关于x的一元二次方程2210-+-=有两个不相等的实数根．求m的取x x m值范围．解析：m<2．【分析】根据方程有两个不相等的实数根列得4-4（m-1）>0，求解即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴4-4（m-1）>0，解得m<2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．22．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m下降到10月份的/m．40500元2（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m？请说明理由．解析：（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均/m，见解析价不会跌破30000元2【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x，那么9月份的房价为50000（1-x），10月份的房价为50000（1-x）2，然后根据10月份的40500元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x ，根据题意得：()250000140500x -=解得：1210% 1.9x x ==，（不合题意，舍去）答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%（2）不会跌破30000元2/m ． ()22405001405000.93280530000x -=⨯=>∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．23．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a %，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a %，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a 的值．解析：（1）至少有1000人选择清汤火锅；（2）a 的值为10【分析】（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍列出一元一次不等式，然后解不等式取其最小值即可； （2）根据第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等列出关于a 的一元二次方程，然后解方程取其正值即可解答．【详解】解：（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据题意， 得：2500﹣x≤1.5x ，解得：x≥1000，答：至少有1000人选择清汤火锅；（2）根据题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+15a%）×1000=80×（2500﹣1000）+60×1000，整理，得：12x 2﹣120a=0，解得：a 1=10，a 2=0（不合题意，舍去），答：a 的值为10．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答的关键是理解题意，找准数量间的关系，正确列出不等式和方程．24．解方程：2420x x ++=．解析：12x =-22x =-【分析】方程利用配方法求出解即可．【详解】∵2420x x ++=，∴242x x +=-，∴24424x x ++=-+，∴()222x +=，∴2x =-±∴12x =-22x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（2）12+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（13 3=+3 =；（2|11)=-1=12=+；（3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x+-=，移项得：2(1)9x+=，∴13x+=或13x+=-，12x=，24x=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．26．解方程：22350x x--=（请用两种方法解方程）解析：152x=，21x=-【分析】采用公式法和因式分解法求解即可．【详解】解：方法1：∵a=2，b=-3，c=-5，∴2449b ac∆=-=，∴x=∴152x =，21x =-； 方法2：()()2510x x -+=∴ 152x =，21x =-． 【点睛】 本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键． 27．解答下列各题．（1）解方程：2(1)90x --=．（2）已知21x =+，求225x x -+的值．解析：（1）14x =，22x =-；（2）6．【分析】（1）方程整理后，直接开平方即可求解；（2）代数式225x x -+配方整理成()214x -+后，把x 的值代入计算即可．【详解】（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，解得：14x =，22x =-；（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，将21x =+代入得： 原式()22114=+-+ 24=+6=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．28．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x1=45，x2=30．当x1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x的值．。
2016年秋华师大版九年级数学上典中点第二十一章整合提升专训三.doc
解码专训三：思想方法荟萃分类讨论思想名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式．1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．数形结合思想名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.(第2题)类比思想名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．转化思想名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想．4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016.解码专训三1．解：（a＋2）2－（a－1）2＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论：当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3；当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1；当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3.点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．2．解：由m，n在数轴上的位置可知：m＞n，0＜m＜1，n＜－1.∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0.∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2.方法点拨：在利用a2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．3．解：(72＋26－3)(26－72＋3)＝[26＋(72－3)][26－(72－3)]＝(26)2－(72－3)2＝24－(98＋3－146)＝146－77.4．解：(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝[(3＋2)(3－2)]2 015·(3－2) ＝1×(3－2)＝3－ 2.。
华师大版九年级数学上典中点第二十二章整合提升专训一
解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解码专训一1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34. (1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3. (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0. 3．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－2m ＋12. ∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0.解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k≥0，∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k. 又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32， ∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95. 又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立． 方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．。
华师大版九年级上册数学第21章 二次根式含答案
华师大版九年级上册数学第21章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A.x＞﹣2B.x≥﹣2C.x≠﹣2D.x≤﹣22、若在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.3、要使式子有意义，则x的取值范围是（）A.x≠2B.x＞﹣2C.x＜﹣2D.x≠﹣24、下列计算正确的是（）A. B.C. D.5、若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A.2B.3C.4D.56、下列运算正确的是（）A. B. C. D.7、下列二次根式中能与合并的二次根式是（）.A. B. C. D.8、如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（）A.x≤10B.x≥10C.x＜10D.x＞109、已知x是实数，则的值是（）A. B. C. D.无法确定的10、使下列式子有意义的实数x的取值都满足的式子的是（）A. B. C. D.11、若式子有意义，则x的取值范围为（）A.x≥2B.x≠3C.x≥2或x≠3D.x≥2且x≠312、下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.13、函数y=的自变量的取值范围是（）A. x≥2B. x＜ 2C. x＞2D. x≤ 214、要使式子有意义，则x的取值范围是（）A.x＞0B.x≥﹣2C.x≥2D.x≤215、若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、使函数有意义的的取值范围是________.17、若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．18、（）2=________，=________．19、若式子有意义，则x的取值范围是________.20、化简：＝________．21、（3+ ）（3﹣）=________．22、在函数中，自变量的取值范围是________．23、计算：________ ；________。
华师大版九年级上册数学第21章 二次根式 含答案
华师大版九年级上册数学第21章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列计算正确的是（）A. B. C. D.2、下列二次根式中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3、下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.4、下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的函数是( )A. B. C. D.5、下列各式中，运算正确的是（）A.（x 4）3=x 7B.a 8÷a 4=a 2C.D.6、下列计算正确的是（）A. B. C. D.7、在代数式和中，x均可以取的值为（）A.9B.3C.0D.－28、下列运算错误的是（）A. B. C. D.9、估计的值应在（）A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间.10、下列二次根式中为最简二次根式的是（）A. B. C. D.11、二次根式有意义，则的取值范围是（）A.x＞5B.x＜5C.x≤5D.x≥512、代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A. B. C.D.13、下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.14、下列根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.15、若化成最简二次根式后，能与合并，则的值不可以是（）A. B.8 C.18 D.28二、填空题(共10题，共计30分)16、计算: = ________ .17、若实数x、y满足|x﹣5|+ =0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为________．18、若, ,则=________.19、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．20、代数式有意义，则x的取值范围是________．21、若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．22、当x________时，有意义．23、计算：5 ﹣=________．24、计算：（+ ）×=________．25、要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+π0﹣|1﹣|+ ．27、计算（1）（﹣4）﹣（3﹣2）；（2）（﹣）2+2×3；（3）5•（﹣4）（a≥0，b≥0）．28、已知实数x、y满足x2﹣12x+ +36＝0，求的值．29、若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．30、计算：|1﹣sin30°|+cot30°•tan60°+．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、A4、C5、D6、A8、A9、B10、D11、D12、A13、C14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
华师版九年级数学上册《二次根式》全章整合与提升
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1．下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A. －3
B. x
C. x2＋1
D. x－1
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2．下列二次根式中，是最简二次根式的是( C )
A. 18 C. 5
B. 0.5
D.
1 5
A．4
B．5
C．6
D＝3 7n，且 7n是整数， ∴3 7n是整数，即 7n 是完全平方数，∴正整数 n 的最小值为 7.
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11．化简： (1) 00..0396××112010；解：原式＝00..63××1110＝2110.
(2)
2xy x2（m＋n）2
解：设 x＝ 3＋ 5＋ 3－ 5， 两边平方得：x2＝( 3＋ 5)2＋( 3－ 5)2＋ 2 （3＋ 5）（3－ 5）， 即 x2＝3＋ 5＋3－ 5＋4，x2＝10. ∴x＝± 10. ∵ 3＋ 5＋ 3－ 5＞0， ∴ 3＋ 5＋ 3－ 5＝ 10.
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请利用上述方法求 4＋ 7＋ 4－ 7的值． 解：设 x＝ 4＋ 7＋ 4－ 7， 两边平方得：x2＝( 4＋ 7)2＋( 4－ 7)2＋ 2 （4＋ 7）（4－ 7）， 化简得，x2＝14，∴x＝± 14. ∵ 4＋ 7＋ 4－ 7＞0， ∴ 4＋ 7＋ 4－ 7＝ 14.
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第21章 二次根式
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1C 2C
3D 45 5A
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6 (x＋ 3)(x－ 3)(x2＋3) 7A 8 x≥8 9C
【新华东师大版】九年级数学上册第21~25章检测试卷(含答案)
第二十一章检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1．关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数 B．m≠1C．m≠－1 D．m＞12．方程x2－9＝0的解是（）A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝9C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝9，x2＝－93．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是（）A．－10 B．10C．－16 D．164．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．(x＋1)2＝2(x＋1) B.1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－15．用配方法解方程x2＋4x＝3，配方正确的是（）A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝4C．(x＋2)2＝7 D．(x＋1)2＝46．将方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a、b、c的值分别为（）A．1、2、－15 B．1、－2、－15C．－1、－2、－15 D．－1、2、－157．一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根8．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥19．某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．25(1＋x)2＝64 B．25(1＋x2)＝64C．64(1－x)2＝25 D．64(1－x2)＝2510．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（）A．10 B．11C．60 D．1211．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确12．若两个不相等的实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，则mn的值为（）A．6 B．－6C．4 D．－4二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．已知关于x的一元二次方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 .14．若a是方程x2－2x－1＝0的解，则代数式2a2－4a＋2016的值为 .15．若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是 .16．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x21＋x22＝4，则m的值为 .17．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m(可利用的围墙长度超过6m)．18．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝时，P2＝5P1.三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)解下列方程：(1)x2＋4x－5＝0; (2)x(x－4)＝2－8x.20．(10分)已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，求m的值及另一根．21．(10分)一个长方体的一种表面积展开图如图所示，已知它的长与宽的比为2∶1，高为3cm ，表面积为22cm 2，试求这个长方体的长与宽．22．(10分)已知关于x 的方程3x 2－(a －3)x －a ＝0(a >0)． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．23．(12分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－ca，……第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，……第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，……第三步 x ＋b2a＝b 2－4ac4a2，……第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.……第五步(1)嘉淇的解法从第________步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是__________________________；(2)用公式法解方程：x2－2x－24＝0.24．(12分)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？25．(12分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．26．(14分)如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：(1)P、Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33cm2?(2)P、Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10cm?答案1．C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10．A 11.C 12.D13．－3 14.2018 15.5 16.－1或－3 17.118．12 解析：观察图形可知：n 为奇数时，黑色小正方形的个数为：1，5，9，13，…；n 为偶数时P 1的值为4，8，12，16，….由上可知n 为偶数时P 1＝2n ，白色与黑色的总数为n 2，∴P 2＝n 2－2n ，根据题意假设存在符合条件的n ，则n 2－2n ＝5×2n ，n 2－12n ＝0，解得n ＝12，n ＝0(不合题意，舍去)．故存在偶数n ＝12，使得P 2＝5P 1.故答案为12.19．解：(1)x 1＝1，x 2＝－5；(5分) (2)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(10分)20．解：∵(m ＋1)x 2－x ＋m 2－3m －3＝0有一根为1，∴(m ＋1)×12－1＋m 2－3m －3＝0，整理得m 2－2m －3＝0，∴(m －3)(m ＋1)＝0.(4分)又∵方程(m ＋1)x 2－x ＋m 2－3m －3＝0为一元二次方程，∴m ＋1≠0，(5分)∴m －3＝0，∴m ＝3.(8分)∴原方程为4x 2－x －3＝0，两根之积为－34，∴另一根为－34.(10分)21．解：设这个长方体的长、宽分别为2x cm 、x cm ，(1分)依题意有2(3×2x ＋3x ＋2x ·x )＝22，(5分)整理得2x 2＋9x －11＝0，解得x 1＝1，x 2＝－112(舍去)．(9分)答：这个长方体长为2cm ，宽为1cm.(10分)22．(1)证明：Δ＝(a －3)2－4×3×(－a )＝(a ＋3)2.(2分)∵a >0，∴(a ＋3)2>0，即Δ>0，∴方程总有两个不相等的实数根．(5分)(2)解：解方程，得x 1＝－1，x 2＝a 3.(8分)∵方程有一个根大于2，∴a3>2.∴a >6.(10分)23．解：(1)四(2分) x ＝－b ±b 2－4ac2a(4分)(2)a ＝1，b ＝－2，c ＝－24，∴Δ＝b 2－4ac ＝4＋96＝100>0，(8分)∴x 1＝2＋102×1＝6，x 2＝2－102×1＝－4.(12分)24．解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x ，根据题意得150(1＋x )2＝216，(3分)解得x 1＝－2.2＝－220%(不合题意，舍去)，x 2＝0.2＝20%.(5分)答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%；(6分)(2)二月份的销量是150×(1＋20%)＝180(辆)，(8分)所以该经销商1～3月共盈利(2800－2300)×(150＋180＋216)＝273000(元)．(11分)答：该经销商1至3月共盈利273000元．(12分)25．解：(1)△ABC 是等腰三角形；(1分)理由如下：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2－2b ＋(a －c )＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形；(4分)(2)△ABC 是直角三角形．(5分)理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形；(8分)(3)当△ABC 是等边三角形，方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0，∵a ≠0，∴x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1.(12分)26．解：(1)设P 、Q 两点从开始经过x s ，四边形PBCQ 的面积为33cm 2.(1分)则由题意得(16－3x ＋2x )×6×12＝33，(3分)解得x ＝5.∵16÷3＝163>5，∴x ＝5符合题意．(5分)答：出发5s 时四边形PBCQ 的面积是33cm 2；(6分)(2)设P 、Q 两点从开始出发y s ，点P 与点Q 之间的距离是10cm.(7分)过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∴∠QHA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形ADQH 是矩形，∴AH ＝DQ ＝(16－2y )cm ，QH ＝AD ＝6cm ，∴PH ＝|16－2y －3y |＝|16－5y |(cm)．(9分)在Rt△PQH 中，有(16－5y )2＋62＝102，(11分)解得y 1＝1.6，y 2＝4.8.(13分) 答：出发1.6s 或4.8s 时，点P 与点Q 之间的距离是10cm.(14分)第二十二章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝1x2 B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝x 2＋x －2D ．y 2＝x 2＋3x2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是（ ） A ．(2，1) B ．(0，1) C ．(1，0) D ．(1，2)3．二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是（ ） A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．34．抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴的交点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．下列函数中，当x >0时，y 随x 值的增大而先增大后减小的是（ ） A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y ＝－(x －1)26．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 3 … y…5－3－4－3…A ．直线x ＝1B ．y 轴C ．直线x ＝12D ．直线x ＝－127．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞48．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图象大致是（ ）9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60)B ．y ＝－12x 2－10x ＋1200(0＜x ＜60)C ．y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0＜x ＜60)D ．y ＝－12x 2－10x ＋1250(x ≤60)10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16第10题图11．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x 轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（）A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0)12．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a ＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤第12题图二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．当a＝时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．14．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式为 .15．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y1y2.16．若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 .17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－112(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是 m.18．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)二次函数的图象如图所示，求这条抛物线的解析式(结果化成一般式)．20．(10分)已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长．21．(10分)已知二次函数y ＝x 2－6x ＋8.(1)将y ＝x 2－6x ＋8化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；(2)当0≤x ≤4时，y 的最小值是 ，最大值是 ； (3)当y <0时，根据函数草图直接写出x 的取值范围．22．(10分)已知在平面直角坐标系内，抛物线y ＝x 2＋bx ＋6经过x 轴上两点A ，B ，点B 的坐标为(3，0)，与y 轴相交于点C .(1)求抛物线的表达式； (2)求△ABC 的面积．23．(12分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x 元(x 为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y 与x 的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为w 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？24．(12分)已知抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14.(1)若抛物线与y 轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x 轴交点的坐标； (2)证明：无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．25．(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．26．(14分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案1．C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A10．B 11.D12．C 解析：对于抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，①正确；由抛物线图象可知a＜0，c＞0，x＝－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，②错误；由抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象与y ＝3只有一个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，③正确；设抛物线与x 轴的另一个交点是(x 2，0)，由抛物线的对称性可知4＋x 22＝1，∴x 2＝－2，即抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)，④错误；通过函数图象可直接得到当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，⑤正确．故选C.13．－1 14.y ＝(x －6)2－36 15.> 16.y ＝x 2－1 17．10 18.－1或2或119．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，(1分)设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4.(3分)把点(3，0)代入解析式，得4a ＋4＝0，即a ＝－1.(7分)所以此函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(10分)20．解：y ＝12x (20－x )＝－12x 2＋10x .(4分)解方程48＝－12x 2＋10x ，得x 1＝12，x 2＝8，(9分)∴△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8.(10分)21．解：(1)y ＝(x －3)2－1；(3分) (2)－1(5分) 8(7分) (3)2<x <4.(10分)22．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋6得0＝9＋3b ＋6，解得b ＝－5，(3分)∴抛物线的表达式为y ＝x 2－5x ＋6；(4分)(2)∵抛物线的表达式y ＝x 2－5x ＋6，令y ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.令x ＝0，则y ＝6.∴A (2，0)，B (3，0)，C (0，6)．(8分)∴AB ＝1，OC ＝6，S △ABC ＝12×1×6＝3.(10分)23．解：(1)y ＝50－x (0≤x ≤50，x 为整数)；(4分)(2)w ＝(120＋10x －20)(50－x )＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000.(8分)∵a ＝－10＜0，∴当x ＝20时，w 取得最大值，最大值为9000.此时每个房间定价为120＋10x ＝320(元)．(11分)答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．(12分)24．(1)解：对于抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14，将x ＝0，y ＝1代入得p 2－14＝1，解得p ＝52，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－52x ＋1.(2分)令y ＝0，得x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝2.(5分)则抛物线与x 轴交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0与(2，0)；(6分) (2)证明：∵Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－14＝p 2－2p ＋1＝(p －1)2≥0，∴无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．(12分)25．解：(1)根据题意，得(30－2x )x ＝72，解得x 1＝3，x 2＝12.∵30－2x ≤18，∴x ≥6，∴x＝12；(4分)(2)设苗圃园的面积为y ，则y ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x .由题意得30－2x ≥8，∴x ≤11.由(1)可知x ≥6，∴x 的取值范围是6≤x ≤11.(6分)∵a ＝－2＜0，对称轴为直线x ＝－b2a＝－302×（－2）＝152，∴当x ＝152时，y 取最大值，最大值为－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＋30×152＝112.5；(9分)当x ＝11时，y 取最小值，最小值为－2×112＋30×11＝88.(11分)答：当平行于墙的一边长不小于8米时，这个苗圃园的面积的最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．(12分)26．解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －5)，(1分)把点A (0，4)代入上式，得a ＝45，∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165，(3分)∴抛物线的对称轴是直线x ＝3；(4分)(2)存在．(5分)理由如下：∵点A (0，4)，抛物线的对称轴是直线x ＝3，∴点A 关于对称轴的对称点A ′的坐标为(6，4)．(6分)如图①，连接BA ′交对称轴于点P ，连接AP ，此时△PAB的周长最小．(7分)设直线BA ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把A ′(6，4)，B (1，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝6k ＋b ，0＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝45，b ＝－45，∴y ＝45x －45.(8分)∵点P 的横坐标为3，∴y ＝45×3－45＝85，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，85；(9分)(3)在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．(10分)设N 点的横坐标为t ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(0＜t ＜5)．如图②，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ，作AD ⊥NG 于D .(11分)由点A (0，4)和点C (5，0)可求出直线AC 的解析式为y ＝－45x ＋4.则G (t ，－45t ＋4)，此时NG ＝－45t ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2－245t ＋4＝－45t 2＋4t .∵AD ＋CF ＝CO ＝5，∴S △ACN ＝S △ANG ＋S △CGN ＝12AD ·NG ＋12NG ·CF ＝12NG ·OC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45t 2＋4t ×5＝－2t 2＋10t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋252.∴当t ＝52时，△CAN 面积的最大值为252.(13分)当t ＝52时，y ＝45t 2－245t ＋4＝－3，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3.(14分) 第二十三章检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1．以下现象：①荡秋千；②转呼啦圈；③跳绳；④转陀螺．其中是旋转的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．下列A、B、C、D四幅“阿宝”图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转180°得到的是（）3．下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）4．如图所示，△ABC绕点A旋转至△AEF，其旋转角是（）A．∠BAE B．∠CAEC．∠EAF D．∠BAF第4题图第5题图5．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′.已知BC＝4，则E′D′等于（）A．2 B．3 C．4 D．1.56．图中的阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是（）A．30° B．45° C．120° D．90°第6题图第7题图7．如图所示的两个三角形是经过什么变换得到的（）A．旋转 B．旋转和平移C．轴对称 D．平移和轴对称8．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点对称的点的坐标为（）A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)9．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是（）A．(4，－2) B．(－4，－2)C ．(－2，－3)D ．(－2，－4)10．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6，D 是BC 上一点，且BC ＝3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2第9题图 第10题图11．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）A ．① B．② C．③ D．④第11题图 第12题图12．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A.12B.33 C ．1－33 D ．1－34二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： ．14．如图，将△OAB 绕着点O 逆时针连续旋转两次得到△OA ″B ″，每次旋转的角度都是50°.若∠B ″OA ＝120°，则∠AOB ＝ .第14题图 第15题图15．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4cm.若以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B 落在B ′处，则BB ′＝ cm.16．如图，将等边△ABC 绕顶点A 按顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数为 .第16题图 第17题图17．如图所示，已知抛物线C 1，抛物线C 2关于原点中心对称．若抛物线C 1的解析式为y ＝34(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为____________________．18．如图所示，将图形①以点O为旋转中心，每次旋转90°，则第2015次旋转后的是图形(在下列各图中选填正确图形的序号即可)．三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)已知|2－m|＋(n＋3)2＝0，点P1、P2分别是点P(m，n)关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．20．(10分)如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，求BB′的长．21．(10分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．(1)指出它的旋转中心；(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A、B、C的对应点．22．(10分)请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分(保留作图痕迹)．23．(12分)直角坐标系内的点P(x2－3x，4)与另一点Q(x－8，y)关于原点对称，试求2014(2x －y)的值．24．(12分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F.(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．25．(12分)如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.(1)求点P与点P′之间的距离；(2)求∠APB的大小．26．(14分)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H.(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.C 9.B10．D 11.B 12.C13．平行四边形(答案不唯一) 14．20° 15.4 5 16.60° 17．y ＝－34(x －2)2＋118．④ 解析：观察图形，将图形①以点O 为旋转中心，每次顺时针旋转90°，得到下一个图形，每旋转四次回到原来的位置，而2015＝503×4＋3，所以第2015次旋转后的图形与图形④一样．故答案为④.19．解：由|2－m |＋(n ＋3)2＝0，得m ＝2，n ＝－3.(3分)∴P (2，－3)．(4分)∵点P 1是点P 关于y 轴的对称点，∴P 1的坐标为(－2，－3)．(7分)∵点P 2是点P 关于原点的对称点，∴P 2的坐标为(－2，3)．(10分)20．解：设AC ＝x ，∵∠B ＝30°，则AB ＝2x ，∴BB ′＝2AB ＝4x .(3分)在Rt△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x )2＝x 2＋12，解得x ＝±33(负数舍去)．(8分)∴BB ′＝433.(10分) 21．解：(1)它的旋转中心为点A ；(3分)(2)它的旋转方向为逆时针方向，(5分)旋转角是45度；(7分) (3)点A 、B 、C 的对应点分别为点A 、E 、F .(10分) 22．解：如图所示．(10分)23．解：由题意得y ＝－4，(2分)x 2－3x ＝8－x ，解得x 1＝4，x 2＝－2.(4分)当x ＝4，y ＝－4时，2014(2x －y )＝2014×(2×4＋4)＝24168；(8分)当x ＝－2，y ＝－4时，2014(2x －y )＝2014×(－4＋4)＝0.(12分)24．解：(1)△AEF 如图所示．(3分)∵AO ⊥AE ，AO ＝AE ，∴点E 的坐标是(3，3)，∵EF ＝OB ＝4，∴点F 的坐标是(3，－1)；(7分)(2)∵点F 落在x 轴的上方，∴EF ＜AO .(9分)又∵EF ＝OB ，∴OB ＜AO ，∵AO ＝3，∴OB ＜3.(11分)∴一个符合条件的点B 的坐标是(－2，0)．(12分)25．解：(1)由旋转的性质知AP ′＝AP ＝6，∠P ′AB ＝∠PAC ，(4分)∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△P ′AP 是等边三角形，∴PP ′＝6；(6分)(2)∵P ′B ＝PC ＝10，PB ＝8，∴P ′B 2＝P ′P 2＋PB 2，∴△P ′PB 为直角三角形，且∠P ′PB＝90°，(10分)∴∠APB ＝∠P ′PB ＋∠P ′PA ＝90°＋60°＝150°.(12分)26．(1)解：FG ⊥ED .(1分)理由如下：∵△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，∴∠DEB ＝∠ACB .∵把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，∴∠GFE ＝∠A .(4分)∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ACB ＝90°，∴∠DEB ＋∠GFE ＝90°，∴∠FHE ＝90°，∴FG ⊥ED ；(7分)(2)证明：根据旋转和平移的性质可得，∠GEF ＝90°，∠CBE ＝90°，CG ∥EB ，CB ＝BE .(9分)∵CG ∥EB ，∴∠CGE ＝∠BEG ＝∠BCG ＝90°，∴四边形BCGE 是矩形．(12分)∵CB ＝BE ，∴四边形CBEG 是正方形．(14分)第二十四章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1．⊙O 的半径为3cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝4cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点A 在⊙O 上 B ．点A 在⊙O 内 C ．点A 在⊙O 外 D ．无法确定2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ACB ＝40°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．20° B．40° C．60° D．80°第2题图 第3题图3．如图，弦AB ⊥OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC ＝2，AB ＝4，则OA 等于（ ） A ．2 2 B ．2 3 C ．3 2 D ．2 54．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是（ ） A ．40° B．30° C．20° D．15°第4题图第5题图5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B ＝75°，∠C ＝85°，则∠D －∠A ＝（ ） A ．10° B．15° C．20° D．25°6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC ，使其斜边AB ＝c ，一条直角边BC ＝a ，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（ ）A ．勾股定理B ．勾股定理的逆定理C ．直径所对的圆周角是直角D ．90°的圆周角所对的弦是直径第6题图 第7题图7．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线与过点B 的⊙O 的切线交于点C ，如果∠ABO ＝20°，则∠C 的度数是（ ）A ．70° B．50° C．45° D．20°8．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ） A ．12mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm9．如图，若△ABC 的三边长分别为AB ＝9，BC ＝5，CA ＝6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB ，BC ，AC 于点D ，E ，F ，则AF 的长为（ ）A ．5B ．10C ．7.5D ．4第9题图 第10题图 第11题图10．如图为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是（ ） A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心11．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）A ．175πcm 2B ．350πcm 2 C.8003πcm 2 D ．150πcm 212．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD ＝30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm.如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么多少s 后⊙P 与直线CD 相切（ ）A ．4sB ．8sC ．4s 或6sD ．4s 或8s二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．已知弦AB 把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB 所对的圆心角的度数为 . 14．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝ °.第14题图 第15题图15．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是 °.16．已知一条圆弧所在圆的半径为9，弧长为52π，则这条弧所对的圆心角是 .17．如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上．若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为 .第17题图第18题图18．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是 (只需填写序号)．三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(10分)如图，已知CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点M ，点P 是AB ︵上一点，且∠BPC ＝60°.试判断△ABC 的形状，并说明你的理由．20．(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求∠ABE 的度数．21．(10分)如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．22．(10分)如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，连接EC.求证：CE是△CGF的外接圆⊙O的切线．23．(12分)已知等边△ABC和⊙M.(1)如图①，若⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证：AM∥BC；(2)如图②，若⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM 是平行四边形．24．(12分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE.(1)求证：∠A＝∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD.求证：△ABE是等边三角形．25．(12分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．26．(14分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．答案1．C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A 9.A10．B 11.B12．D 解析：①由题意CD与⊙P1相切于点E，∴P1E⊥CD，又∵∠AOD＝30°，r＝1cm，∴在△OEP1中，OP1＝2cm.又∵OP＝6cm，∴P1P＝4cm，∴⊙P到达⊙P1需要时间为4÷1＝4(秒)；②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝6＋2＝8(cm)，∴⊙P到达⊙P2需要时间为8÷1＝8(秒)，综上可知，⊙P与直线CD相切时，时间为4秒或8秒，故选D.13．60°14.60 15.35 16.50°17.π18．②③ 解析：如图，连接OD .∵DG 是⊙O 的切线，∴∠GDO ＝90°.∴∠GDP ＋∠ADO ＝90°.在Rt△APE 中，∠OAD ＋∠APE ＝90°，∵AO ＝DO ，∴∠OAD ＝∠ADO .∴∠GPD ＝∠APE ＝∠GDP ，∴GP ＝GD .∴结论②正确．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAQ ＋∠AQC ＝90°.∵点C 是AD ︵的中点，∴∠CAQ ＝∠ABC .又∵∠ABC ＋∠BCE ＝90°.∴∠AQC ＝∠BCE ，∴PC ＝PQ .∵∠ACP ＋∠BCE ＝90°，∠AQC ＋∠CAP ＝90°，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP ，∴AP ＝CP ＝PQ ，∴点P 是△ACQ 的外心．∴结论③正确．∵不能确定BD ︵与CD ︵的大小关系，∴不能确定∠BAD 与∠ABC 的大小关系．∴结论①不一定正确．故答案是②③.19．解：△ABC 是等边三角形．(2分)理由如下：∵CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴AC ︵＝BC ︵，∴AC ＝BC .(6分)又∵∠A ＝∠P ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(10分)20．解：如图，连接OE .(1分)∵EF ∥AB ，OC ⊥AB ，∴EF ⊥OC .(3分)∵点D 是OC 的中点，∴OD ＝12OC ＝12OE ，∴∠OED ＝30°.(7分)∵EF ∥AB ，∴∠EOA ＝30°，∴∠ABE ＝12∠EOA ＝15°.(10分)21．解：∵∠A ＝30°，OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°.(3分)∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°，∴∠D ＝30°.(6分)∵OD ＝30cm ，∴OC ＝12OD ＝15cm ，∴AB ＝2OC ＝30cm.(10分)22．证明：如图，连接OC ，则OG ＝OC ，∴∠G ＝∠OCG .(2分)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ＝45°.(4分)又∵BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)，∴∠BAE ＝∠BCE .(6分)∵∠BAE ＋∠G ＝90°，∴∠BCE ＋∠OCG ＝90°，(8分)∴∠ECO ＝90°，∴EC 是△CGF 的外接圆⊙O 的切线．(10分)23．证明：(1)∵⊙M 与AK 、AC 相切，∴AM 平分∠KAC .(2分)又∵△ABC 是等边三角形，∴∠KAC ＝120°，(4分)∴∠KAM ＝∠B ＝60°，∴AM ∥BC ；(6分)(2)由(1)得AM ∥BC ，同理CM ∥AB ，(10分)∴四边形ABCM 是平行四边形．(12分) 24．证明：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.(2分)∵∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCE .∵DC ＝DE ，∴∠DCE ＝∠AEB .(4分)∴∠A ＝∠AEB ；(6分)(2)∵OE ⊥CD ，∴CF ＝DF ，∴OE 是CD 的垂直平分线，∴ED ＝EC .(8分)又∵DC ＝DE ，∴DC ＝DE ＝EC ，∴△DCE 是等边三角形．∴∠AEB ＝60°.(10分)∵∠A ＝∠AEB ，∴△ABE 是等腰三角形．∴△ABE 是等边三角形．(12分)25．(1)证明：∵∠PBC ＝∠D ，∠PBC ＝∠C ，∴∠C ＝∠D ，∴CB ∥PD ；(4分)(2)解：如图，连接OC 、OD .(5分)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴BC ︵＝BD ︵.(7分)∵∠PBC ＝∠BCD ＝22.5°，∴∠BOC ＝∠BOD ＝2∠BCD ＝45°，∴∠AOC ＝180°－∠BOC ＝135°，(10分)∴劣弧AC 的长为135×π×2180＝3π2.(12分)26．(1)证明：如图，连接OC .(1分)∵⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，∴AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵∠B ＝2∠A ，∴∠B ＝60°，∠A ＝30°.(3分)∵EM ⊥AB ，∴∠EMB ＝90°.在Rt△EMB 中，∠B ＝60°，∴∠E ＝30°.又∵EF ＝FC ，∴∠ECF ＝∠E ＝30°.又∵∠ECA ＝90°，∴∠FCA ＝60°.(5分)∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝30°，∴∠FCO ＝∠FCA ＋∠ACO ＝90°，∴OC ⊥CF ，∴FC 是⊙O 的切线；(7分)(2)解：在Rt△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝12AB ＝2，AC ＝AB 2－BC 2＝3BC ＝2 3.(9分)∵AC ＝CE ，∴CE ＝23，∴BE ＝BC ＋CE ＝2＋2 3.(11分)在Rt△BEM 中，∠BME＝90°，∠E ＝30°，∴BM ＝12BE ＝1＋3，∴AM ＝AB －BM ＝4－1－3＝3－ 3.(14分)第二十五章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．两条线段可以组成一个三角形B ．400人中有两个人的生日在同一天C ．早上的太阳从西方升起D ．打开电视机，它正在播放动画片2．“遵义地区明天降水概率是15%”，下列说法中，正确的是（ ） A ．遵义地区明天降水的可能性较小 B ．遵义地区明天将有15%的时间降水 C ．遵义地区明天将有15%的地区降水 D ．遵义地区明天肯定不降水3．一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）A.13B.12C.34D.234．东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，她选中创新能力试题的概率是（ ）A.15B.310C.25D.125．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A.12 B.13 C.14 D.156．有一新娘去商店买新婚礼服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裙子3条，则搭配衣服所有可能出现的结果为（ ）A ．2种B ．3种C ．5种D ．6种7．两道单选题都含A 、B 、C 、D 四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是（ ） A.12 B.14 C.18 D.1168．某口袋中有20个球，其中白球x 个，绿球2x 个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．当游戏对甲、乙双方公平时，x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．如图的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）A.825B.625C.425D.192510．在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为B （ ）A ．12B ．15C ．18D ．2111．小明从家里出发到学校共经过3个路口，每个路口都有红绿灯，如果红灯亮的时间为20秒，绿灯亮的时间为40秒，那么小明从家里出发到学校一路通行无阻的概率是（ ）A.23B.49C.827D.2912．一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字－2、0、1、2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a 、b ，将其作为M 点的横、纵坐标，则点M (a ，b )落在以A (－2，0)、B (2，0)、C (0，2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是（ ）A.38B.716C.12D.916二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其他都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”“小于”或“大于”)．14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为偶数的概率是 ． 15．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，则指针指向红色的概率为 ．第15题图16．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，记录杯口朝上的次数，获得如下数据：抛掷总次数 100 150 200 300 杯口朝上的频数21324466。
2022华师版九年级数学上册 点拨 第21章 习题课件
3. 计算 a2一般有两步：
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
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例 5 在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；
(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( a ) 2=a 分解因式.
警示误区： 逆用二次根式的性质时，必须先确定该
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
特别提醒： 公式中的a，b 既可以是一个数，也可以是一个式子. 积
中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化
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知2－讲
2. 性质的应用 (1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法
则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用； (2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因
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解：(1)x2－5=x2－( 5 )2 ( x＋ 5 )( x－ 5 ).
(2) x4－4 x2＋4=( x2－2)2 ( x＋ 2 )2( x－ 2 )2 .
知2－练
课堂小结
a 0
a0
定义
二次根式
( a )2 a(a 0)
二次 根式
性质
a2 |a|
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充: 请完成《典中点》对应习题
于它本身；
应用提醒：
1. 正用公式：( a )2=5，( m2＋1 )2=m2+1;
1 1 2
2. 逆用公式：若a ≥ 0，则a=( a )2，如2=( 2 )2，2 2 .
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a(a 0), (2) a2=|a|= －a(a 0),
华东师大九年级数学上册 版第21章《二次根式》章节测试题(含解析答案)
华东师大版九年级上册第22章《二次根式》章节测试题本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间100分钟。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
） 1、下列各式中，是二次根式的是（ ）A 、1B 、4-C 、38D 、π-3 2、若式子2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2 xB 、2 xC 、2≥xD 、2≤x3、下列计算正确的是（ ）A 、2312=÷B 、652535=⋅C 、523=+D 、228=- 4、下列属于最简二次根式的是（ ） A 、8 B 、5C 、12D 、315、下列二次根式中，与3能合并的是（ ）A 、6B 、24C 、32D 、43 6、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则2a b a --的结果为（ ） A 、bB 、b a -2C 、b -D 、a b 2-7、已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m ，则（ ） A 、56-- m B 、65 m C 、67-- m D 、76 m 8、若xx x x -+=-+3333成立，则x 的取值范围是（ ） A 、33 x ≤- B 、3 x C 、3- x D 、33≤-x 9、若最简二次根式b a +7与36+-b b a 是同类二次根式，则b a +的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、1- D 、1 10、如果0 ab ，0 b a +，那么下列各式：①ba ba=，②1=⋅a b b a ，③b ba ab -=÷，其中正确的是（ ）学校： 考号： 姓名： 班级：※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※A 、①②B 、②③C 、①③D 、①②③11、如果()3322b a +=+，a ，b 为有理数，那么=-b a （ ） A 、3B 、34-C 、2D 、2-12、把()aa --212根号外的因式移入根号内，结果（ ） A 、a -2 B 、a --2 C 、2-a D 、2--a二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、如果144+-+-=x x y ，则y x +2的值是_______； 14、已知32+=a ，32-=b ，则_________22=+ab b a ； 15、若12-=x ，则2019323+-+x x x 的值为 ； 16、化简：()()________252520182019=+-.三、解答题：（本大题共6个小题，共56分。
华师大版九年级数学上典中点第二十五章整合提升专训二
解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________．2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x，y满足xy>6，则小明胜；若x，y满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14.4．解：(1)方法一：列表如下：(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13.方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平． 公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.。
华师大版九年级数学上典中点第二十一章整合提升专训一
解码专训一：巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值 名师点金：本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中所有因数(或因式的幂的指数都小于2)；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子不一定是二次根式的是( ) A .3a 2 B .x 2＋1 C .－3x (x≤0) D .－x 2＋8x －16利用二次根式有意义的条件求字母的范围2．无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义，化简式子（m －3）2＋（4－m ）2.利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？412－402，8－x 2，22，x 2－4x ＋4(x>2)，－x12x，0.75ab ，ab 2(b>0，a>0)，9x 2＋16y 2，（a ＋b ）2（a －b ）(a>b>0)，x 3，x 3.4．把下列各式化成最简二次根式：(1) 1.25； (2)4a 3b ＋8a 2b (a≥0，b≥0)； (3)－n m 2(mn ＞0); (4)x －y x ＋y(x≠y)．利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值5．如果最简根式b －a 3b 和2b －a ＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么( ) A ．a ＝0，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－26．若最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，则代数式－3a 2b ＋(3a ＋2b)2的值为________． 7．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围．8．若m ，n 均为有理数，且3＋12＋34＝m ＋n 3，求(m －n)2＋2n 的值．解码专训一 1．D 点拨：3a 2、x 2＋1、－3x (x≤0)是二次根式，－x 2＋8x －16可化为－（x －4）2，只有当x ＝4时，才是二次根式，故－x 2＋8x －16不一定是二次根式．2．解：∵x 2－4x ＋m ＝（x －2）2＋m －4，且无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义，∴m －4≥0，∴m≥4.当m≥4时，（m －3）2＋（4－m ）2＝(m －3)＋(m －4)＝2m －7.3．解：8－x 2，22，9x 2＋16y 2，x 3是最简二次根式． ∵412－402＝（41－40）×（41＋40）＝81＝9，x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝x －2(x>2)，－x 12x ＝－x 2x 2x·2x＝－122x ， 0.75ab ＝0.25×3ab ＝123ab ，ab 2＝b a(b>0，a>0)， （a ＋b ）2（a －b ）＝(a ＋b)a －b(a>b>0)，x 3＝3x 3， ∴412－402，x 2－4x ＋4(x ＞2)，－x 12x，0.75ab ，ab 2(b ＞0，a ＞0)，（a ＋b ）2（a －b ）(a ＞b ＞0)，x 3不是最简二次根式． 4．解：(1) 1.25＝54＝52. (2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b (a≥0，b≥0)．(3)由－n m 2≥0，mn ＞0知：m ＜0，n ＜0，∴－n m 2＝－n m 2＝－n －m＝－－n m . (4)x －y x ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋y x －y (x≠y)． 5．A 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2.故选A . 6．1 点拨：∵最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，∴5a ＋b ＝2a －b ，∴3a ＋2b ＝0，∴3a ＝－2b.∴－3a 2b＋(3a ＋2b)2＝1＋0＝1. 7．解：由题意得3a －8＝17－2a.∴a ＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可．∴20－2x≥0，∴x≤10.8．解：∵3＋12＋34＝3＋23＋32＝723＝m ＋n 3， ∴m ＝0，n ＝72. ∴(m －n)2＋2n ＝⎝⎛⎭⎫0－722＋2×72＝494＋7＝774.。
华东师大版九年级数学上册《第二十一章总复习》练习题教学课件PPT初三公开课
数学·华东师大版·九年级上册第21章二次根式21.1 二次根式1.[2020湖北十堰期末]下列式子一定是二次根式的是( )A.2B.-C.3D.−1答案1.A 【解析】 2的被开方数是a2,无论a取何值,a2≥0,故2一定是二次根式,选项A符合题意;当a<0时,-的被开方数a是负数,故-不一定是二次根式,选项B不符合题意;3的根指数是3,故3不是二次根式,选项C不符合题意;当a<1时,−1的被开方数a-1是负数,故−1不一定是二次根式,选项D不符合题意.故选A.2.小明在作业本上写出了以下几个式子,你认为一定是二次根式的是 .(填序号)①25;3;③(+p2;④2+2;⑤−225.答案2.①③④ 【解析】 在中,只有当被开方数a是非负数时,才是二次根式,因为25>0,(a+b)2≥0,x2+y2≥0,-225<0,所以25,(+p2,2+2是二次根式,−225不是二次根式.当a<0时,3不是二次根式.故一定是二次根式的是①③④.3.[2020湖北武汉中考]式子−2在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )A.x≥0B.x≤2C.x≥-2D.x≥2答案3.D 【解析】 要使−2在实数范围内有意义,只需x-2≥0,解得x≥2.故选D.4.[2021浙江嘉兴期末]下列各数中,能使二次根式2−3有意义的是( )A.-1B.0C.2D.1答案4.C 【解析】 由题意得2x-3≥0,解得x≥32,符合条件的数是2.故选C.5.[2020安徽芜湖三模]下列二次根式中,无论x取什么值都有意义的是( )A.2−5B.−−5C. D.2+1答案5.D 【解析】 A项,当x=1时,2−5无意义,故此选项不符合题意;B项,当x=1时,−−5无意义,故此选项不符合题意;C项,当x<0时,无意义,故此选项不符合题意;D项,无论x取什么值,2+1都有意义,故此选项符合题意.故选D.6.[易错题] 若代数式+1B有意义,则在平面直角坐标系中,点(x,y)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案6.A 【解析】 由题意,得≥0,B>0,解得>0,>0,所以点(x,y)在第一象限.故选A.7.[易错题][2020湖南常德中考]若代数式22−6在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .答案7.x>3 【解析】 由题意得2x-6>0,解得x>3.8.[易错题][2021江苏苏州期中]当代数式有意义时,x要满足的条件是 .答案8.x>0 【解析】 由可知,x≥0,由x为分母可知,x≠0,所以x要满足的条件是x>0.9.若−2+1有意义,则m能取得的最大整数值是 .答案9.0 【解析】 ∵−2+1有意义,∴-2m+1≥0,解得m≤12,则m能取得的最大整数值是0.10.x是怎样的实数时,下列二次根式有意义?(1)−2; 22−3.答案10.【解析】 (1)由题意,得-x2≥0,解得x2≤0,又因为x2≥0,所以x=0,所以当x=0时,−2有意义.(2)由题意,得22−3≥0且2-3x≠0,解得x<23,所以当x<23时,22−3有意义.11.[2021安徽芜湖期末]当二次根式+1取得最小值时,x= .答案11. -1 【解析】 要使二次根式+1取得最小值,只需x+1=0,解得x=-1.12.[2020广东中考]若−2+|b+1|=0,则(a+b)2 020= .答案12. 1 【解析】 由二次根式和绝对值的非负性,得−2≥0,|b+1|≥0,又∵−2+|b+1|=0,∴−2=0,|b+1|=0,∴a=2,b=-1,∴(a+b)2 020=(2-1)2 020=12 020=1.13.[2021贵州铜仁期末]计算(2)2的结果是( )A.-2B.2C.±2D.4答案13.B14.[2021四川宜宾翠屏区期中]实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简(−4)2-(−11)2的结果是( )A.7B.-7C.2a-15D.15-2a答案14.C 【解析】 由题图可知5<a<10,∴a-4>0,a-11<0,∴(−4)2−(−11)2=|a-4|-|a-11|=a-4-(11-a)=a-4+a-11=2a-15.故选C.15.(1)[2020湖北武汉中考]计算(−3)2的结果是 ;(2)若()2=3,则m= .答案15. (1)3;(2)3 【解析】 (1)解法一 (−3)2=9=3.解法二 (−3)2=|-3|=3.(2)∵()2=m,()2=3,∴m=3.16.[2021广西玉林期末]若(3−p2=x-3成立,则x的取值范围是 .答案16.x≥3 【解析】 ∵(3−p2=x-3成立,∴x-3≥0,解得x≥3.17.计算:(1)(5)2; 52)2;(3)94; (4)25(−1)4.答案17.【解析】 (1)(5)2=5.(2)(52)2=52.(3)94=(32)2=32.(4)25(−1)4=5(a-1)2.1.[2021四川遂宁期末]在式子2(x>0),2,+1(y=-2),−2(x<0),33,x2+1,x+y中,二次根式有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案1.C 【解析】 y=-2时,y+1=-2+1=-1<0,+1无意义,33是三次根式,x+y是整式,所以y+1,33,x+y都不是二次根式;2(x>0),2,−2(x<0),2+1是二次根式,共4个.故选C.2.[2021四川巴中恩阳区月考]若-1<a<0,则(+1)2−4+(−1)2+4的化简结果为( )A.2aB.2a+2C.2D.-2答案2.D 【解析】 ∵-1<a<0,∴(+1)2−4+(−1)2+4=2+12+2−4+2+12−2+4= (−1)2+(+1)2=a-1-(a+1)=-2.故选D.3.若化简|1-x|-2−8+16的结果是2x-5,则x的取值范围是( )A.x为任意实数B.1≤x≤4C.x≥1D.x<4答案3.B 【解析】 ∵|1-x|-2−8+16=|1-x|-(−4)2=2x-5,∴1-x≤0,x-4≤0,∴1≤x≤4.故选B.4.[2021江苏扬州市梅岭中学月考]x2-3在有理数范围内不能进行因式分解,但3=(3)2,故x2-3=x2-(3)2=(x-3)(x+3),这就把x2-3在实数范围内进行了因式分解.按照这个思路,2a2-14在实数范围内因式分解的结果是 .答案4. 2(a-7)(a+7) 【解析】 2a2-14=2(a2-7)=2(a-7)(a+7).5.[2021江苏常州市正衡中学天宁分校月考]实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则2-|a-c|+(−p2-|-b|= .答案5. -2a 【解析】 观察题中数轴可得,c<a<0<b,所以a-c>0,c-b<0,所以2-|a-c|+(−p2-|-b|=-a-a+c+b-c-b=-2a.6.[2021黑龙江哈尔滨松北区期末]已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=4+3−6+32−,则此三角形的周长为 .答案6. 10 【解析】 由题意得,3a-6≥0,2-a≥0,∴a=2,则b=4.∵2+2=4,∴以2,2,4为边长不能组成三角形,∴此三角形的边长分别为2,4,4,周长为2+4+4=10.7.[2021河北邯郸市育华中学期中] 直线y=(m-3)x+n-2(m,n是常数)如图所示,则化简|m-n|+2−4+4的结果为 .答案7.m-2n+2 【解析】 由题图可得−3>0,−2<0,解得>3,<2,所以m-n>0,n-2<0,所以|m-n|+2−4+4=m-n+(−2)2= m-n+|n-2|=m-n-(n-2)=m-2n+2.8.已知实数a满足(2 020−p2+−2 021=a,那么a-2 0202的值是 .答案8. 2 021 【解析】 由题意得a-2 021≥0,∴a≥2 021,∴2 020-a≤-1<0,∴(2 020−p2+−2 021= a-2 020+−2 021=a,−2 021=2 020,∴a-2 021=2 0202,∴a-2 0202=2 021.9.[2021山西晋中期中]求代数式a+1−2+2的值,其中a=1 011.如图是小亮和小芳的解答过程:(1) 的解法是错误的.(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:2= = .(3)求代数式a+22−6+9的值,其中a=-2 021.答案9.【解析】 (1)小亮∵a=1 011,∴1-a<0,∴(1−p2=|1-a|=a-1,∴原式=a+(1−p2=a+a-1=2 021.故小亮的解法是错误的.(2)|a| s≥0−s<0(3)当a=-2 021时,a-3<0,故a+22−6+9=a+2(−3)2=a+2|a-3|=a-2(a-3)=a-2a+6=-a+6=2 021+6=2 027.10.[2020湖南张家界中考]先化简,再求值:(4−1-2−22−2r1)÷2−1−1,其中x=3.答案10.【解析】 (4−1−2−22−2r1)÷2−1−1=[4−1−2(−1)(−1)2]÷(r1)(−1)−1=(4−1−2−1)·−1(r1)(−1)=2−1·1r1=22−1.当x=3时,原式=2(3)2−1=1.素养提升11.[2021山东烟台芝罘区期中]阅读下列解题过程.例:若代数式(−1)2+(−3)2的值是2,求a的取值范围.解:原式=|a-1|+|a-3|,当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合题意;当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).所以a的取值范围是1≤a≤3.上述解题过程主要运用了分类讨论的思想,请你根据上述方法,解答下列问题.(1)当2≤a≤5时,计算(−2)2+(−5)2的值;(2)若等式(3−p2+(−7)2=4成立,求a的取值范围;(3)若(+1)2+(−5)2=8,求a的取值.答案11.【解析】 (1)∵2≤a≤5,∴a-2≥0,a-5≤0,∴(−2)2+(−5)2=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3.(2)(3−p2+(−7)2=|3-a|+|a-7|.当a<3时,3-a>0,a-7<0,则|3-a|+|a-7|=3-a-(a-7)=4,解得a=3(舍去);当3≤a≤7时,3-a≤0,a-7≤0,则|3-a|+|a-7|=-(3-a)-(a-7)=4,符合题意;当a>7时,3-a<0,a-7>0,则|3-a|+|a-7|=-(3-a)+(a-7)=4,解得a=7(舍去).综上所述,3≤a≤7.(3)(+1)2+(−5)2=|a+1|+|a-5|.当a<-1时,a+1<0,a-5<0,则|a+1|+|a-5|=-a-1-(a-5)=8,解得a=-2;当-1≤a≤5时,a+1≥0,a-5≤0,则|a+1|+|a-5|=(a+1)-(a-5)=6≠8,故-1≤a≤5不符合题意;当a>5时,a+1>0,a-5>0,则|a+1|+|a-5|=a+1+a-5=8,解得a=6.综上所述,a=-2或a=6.21.2 二次根式的乘除课时1 二次根式的乘法、积的算术平方根1.计算24×16的结果是( )A.4B.6C.2D.2答案1.C 【解析】 24×16=24×16=4=2.故选C.2.[2021陕西西安交大附中期中]下列各数中,与2的积仍为无理数的是( )A.8B.118C.13D.32答案2.C 【解析】 2×8=2×8=16=4,故A选项不符合题意;2×118=2×118=19=13,故B选项不符合题意; 2×13=26,故C选项符合题意;2×32=2×32=64=8,故D选项不符合题意.故选C.3.如果·−3=o−3)成立,那么( )A.x≥0B.0≤x≤3C.x≥3D.x为任意实数答案3.C 【解析】 由题意得≥0,−3≥0,解得x≥3.故选C.4.[2020湖南益阳中考]若计算12×m的结果为正整数,则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可).答案4.3(答案不唯一)5.若规定两数a,b通过运算“※”得到4ab,即a※b=4ab,例如2※6=4×2×6=48,则5※3= .答案5. 415 【解析】 5※3=4×5×3=4×5×3=415.6.计算:(1)5×20; (2)132×(-65); (3)114×225×3.答案6.【解析】 (1)5×20=5×20=100=10.(2)132×(-65)=-13×6×2×5=-2×2×5=-210.(3)114×225×3 =54×125×3 =54×125×3 =9=3.7.[2020甘肃武威中考]若一个正方形的面积是12,则它的边长是( )A.23B.3C.32D.4答案7.A 【解析】 因为正方形的面积是12,所以它的边长是12=23.故选A.8.若(+3)(−2)=+3·−2,则x的取值范围是( )A.x≥-3B.x≥2C.x>-3D.x>2答案8.B 【解析】 因为(+3)(−2)=+3·−2,所以x+3≥0,x-2≥0,所以x≥2.故选B.9.下列运算正确的是( )A.48=43B.(−2)2×3=-23C.124=x(x≥0)D.(−4)×(−9)=−4×−9=6答案9.A 【解析】 48=42×3=42×3=43,A正确;(−2)2×3=(−2)2×3=23,B错误;124= 12×22×=,C错误;−4和−9无意义,D错误.故选A.10.计算下列各式,并将所得的结果化简.(1)3×15; 25×125; 649×169144;(4)32×43×52.答案10.【解析】 (1)3×15=3×3×5=32×5=35.25×125 =25×2 =25×2 =52.649×169144 649×169144 =83×1312 =269.(4)32×43×52 =32×43×52 =3×64×5 =3×82×5 =3×8×5=120.知识点2 积的算术平方根的性质11.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,则铁桶底面的边长是多少厘米?(结果保留根号)答案11.【解析】 设铁桶底面的边长是x cm(x>0),则10x2=30×30×20,所以x2=30×30×2,所以x=30×30×2=302×2=302.答:铁桶底面的边长是302 cm.1.[2021湖北随州期中]计算25×310的结果为( )A.615B.630C.302D.305答案1.C 【解析】 25×310=650=625×2=625×2=302.故选C.2.[2021河南洛阳期末]若3=a,5=b,则45可以表示为( )A.BB.a2bC.aD.ab答案2.B 【解析】 ∵45=3×3×5=3×3×5=(3)2×5,且3=a,5=b,∴45可以表示为a2b.故选B.3.等式(4−p(−2)2=(a-2)4−成立的条件是( )A.a≤2B.a≤4C.2≤a≤4D.a≥2答案3.C 【解析】 由(4−p(−2)2=(a-2)4−成立,得−2≥0,4−≥0,解得2≤a≤4.故选C.。
初三九年级数学华师版 第21章 二次根式习题课件全章热门考点整合应用
第21章 二次根式
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16 2C 3B 4 0；2 5A
答案显示
6 (x2＋3)(x＋ 3)(x－ 3)
78
8A
9 32c－6.
10 乙的解答正确．理由略
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11 B
16 4
12 5
2 10 11b2 b 13 (1) 3 (2) －4a 14 (1)－5.(2)2 2.
2 021）
＝（
2
2 022＋ 2 022）2－（
0221021）2＝
2 022＋
2 021，
1 2 021－ 2 020
＝（
2 021－
2 021＋ 2 020 2 020）×（ 2 021＋
2 020）
＝（
2
2 021＋ 2 021）2－（
0220020）2＝
2 021＋
2 020，
而 2 022＋ 2 021> 2 021＋ 2 020，
12c－42＝c－2－4－12c＝32c－6.
10．先化简再求值：当 a＝5 时，求 a＋ 1－2a＋a2的 值，甲、乙两人的解答如下．
甲的解答：原式＝a＋ （1－a）2＝a＋(1－a)＝1；
乙的解答：原式＝a＋ （1－a）2＝a＋(a－1)＝2a －1＝9. 请问谁的解答正确？请说明理由． 解：乙的解答正确．理由如下：∵ （1－a）2 ＝|1－a|，且 a＝5.∴1－a<0.∴|1－a|＝a－1. 甲在去绝对值符号时忽略了 1 与 a 的大小关系， 导致错误．
32)×( 27－ 32)＝27－32＝－5. (方法 2：先化简，再计算)原式＝(3 3＋4 2)×(3
华师大版2020九年级数学上册第21章二次根式自主学习能力提升训练题3(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第21章二次根式自主学习能力提升训练题3（附答案详解）1．下列各式正确的是（ ） A ．±0.36＝0.6B ．9=±3C ．2a =aD ．()2a -=-a2．若点()2P 1a,2b +--，则点P 所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列二次根式中，与3相乘结果为无理数的是（ ） A ．48B ．27-C ．43D ．184．估计84813÷-的值在（ ）之间． A ．4至4.5之间B ．4.5至5之间C ．3至3.5之间D ．3.5至4之间5．下列二次根式中，与()0,0ab a b >>是同类二次根式的是（ ）.A ．b aB ．224a b C ．23a bD ．2ab6．下列计算中正确的是（ ） A ．B ．÷=2C ．D ．7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 13B 22C 2x yD ．422x x y ++8．下列式子中，a 不可以．．．取1和2的是（ ） A 5aB 21a -C 3a -+D 2a-9．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a += B ．3133273⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭C ．22122mm-=D ．()22223222961a aa a a ÷=-+10．下列运算正确的是（ ） A 321=B 1243=C 235=D 12=2211．下列根式中，最简二次根式为（ ）A ．4xB ．24x -C ．4x D ．2 (4)x +12．下列与2是同类二次根式的是( ) A ．4B ．12C ．0.2D ．1213．函数2y x=中自变量x 的取值范围是________．14．（3+2）（3﹣2）＝_____． 15．当x___________时，31x -有意义. 16．计算：18﹣212等于__． 17．函数2x y -=的自变量 x 的取值范围是________． 18．若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2()a b c b a c +-++-=____．19．()1计算：5525+=________；()2已知方程：210x -=，则x =________．20．分母有理化：_____________.5-3= 21．计算33223352+--=__________． 22．使代数式x 1-有意义的x 的取值范围是_______． 23．若2,,4m 为三角形三边，化简()()2226m m -+-=___________．24．（3分）（3+7）（3﹣7）= ． 25．琪琪的作业中出现了如下解题过程：解答下列问题：（1）以上解题过程中，从第几步开始出现了错误？（2）比较1169与143的大小，并写出你的判断过程.26．计算：（1）232⨯；（2）16272⨯÷27．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和n ，使m 2+n 2=a 且 mn=，则a +2可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2，从而使得化简．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）．28．已知223130x x y -+--=，求x ＋y 的值．29．计算()2112123232π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭30．（7分）已知a=3，求22221211a a a a a a a的值（先化简，再求值）．31．计算：（1）(3-)0﹣|﹣3|+(﹣1)2017+(12)﹣1 （2）93-712+54832．把下列根式化成最简二次根式：（1）12； （2）40； （3） 1.5； （4）43. 33．计算： （1） （2）||+||+．34．（本题10分）（1）解分式方程：11322xx x-=---；（2）先化简，再求值：221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭，其中1,1a b ==．35．若一个等边三角形的高为，求此等边三角形的面积.36．设a 、b 1=，求a 、b 的值.参考答案1．C 【解析】 【分析】利用平方根、算术平方根以及二次根式的性质与化简判断即可． 【详解】A ．原式=±0.6，错误；B ．原式=3，错误；C ．正确；D ．原式=|a |，错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键． 2．D 【解析】 【分析】先判断出点的横、纵坐标的符号，继而判断出所在象限即可. 【详解】，b 2≥0，∴，-2-b 2<0，∴点P ()212b --所在的 象限为第四象限，故选D. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握是解题的关键. 各象限内点的坐标的符号特征：一象限（+，+），二象限（-，+），三象限（-，-），四象限（+，-）. 3．D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则逐项计算即可.【详解】==，结果是有理数，不符合题意；解：A. 12B. 9=-=-，结果是有理数，不符合题意；==，结果是有理数，不符合题意；C. 2D. ==故选：D.【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键.4．C【解析】【分析】【详解】÷111=-=，∵1.4 1.5，∴4.2＜ 4.5，∴3.21 3.5＜＜．1的值在3至3.5之间．故选C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，也考查了算术平方根．5．A【分析】根据0,0a b >>将各选项二次根式进行化简后看被开方数是否相同. 【详解】 A.=b aba a，与ab 被开方数相同，所以它们是同类二次根式； B.22=42a b ab，化简之后不是二次根式，所以它们不是同类二次根式； C. 23=a b ab b ，与ab 被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；D.22=ab ab ,与ab 被开方数不同，所以它们不是同类二次根式； 故选A. 【点睛】本题考查同类二次根式，判断同类二次根式时，需要化成最简二次根式之后再看被开方数是否相同，若相同则是同类二次根式，反之则不是. 6．B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】 A. 与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；B. ÷=2，故此选项正确； C. ，故此选项错误；D. ，故此选项错误；故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 7．D【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的应用，注意：判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母，分母中不含有根号．8．D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】中a≥0，所以a可以取1和2，故选项A不符合题意；210a-≥即a≥1或a≤-1，所以a可以取1和2，故选项B不符合题意；-a+3≥0，即a≤3，所以a可以取1和2，故选项C不符合题意；D，当a取1和2时，二次根式无意义，故选项D符合题意.故选D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．9．D【解析】【分析】根据合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算求出每个式子的值，再根据结果判断即可． 【详解】A 、2a 与3a 不是同类项，故本选项错误；B 、()331333332433⎛⎫-÷-⨯=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，故本选项错误；C 、2222mm -=，故本选项正确；D 、()22222961a a a ÷=-+，故本选项正确．故选D ． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 10．D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A 、C 进行判断；根据二次根式的性质对B 进行判断；根据二次根式的除法对D 进行判断． 【详解】解：A 、C 被开方数不同，不能进行减法、加法运算；B 、原式B 选项不正确； D 、原式=2，所以D 选项正确． 故选D. 【点睛】本题考查二次根式的化简和计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减乘除运算，然后合并同类二次根式． 11．B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、被开方数含能开得尽方的因式b2，不是最简二次根式，故本选项错误；B、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；D、被开方数含能开得尽方的因式(x+4)2，不是最简二次根式，故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12．B【解析】【分析】先将4是同类二次根式的选项．【详解】A. 2=的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；=的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；B.2C.=5D. =的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误.故本题选B.【点睛】本题考查同类二次根式，能对各个选项中的根式化简，将其化简为最简二次根式是解决此题的关键.13．x≠0【解析】【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可得出结果.【详解】 解：∵y =20x >，0≠，∴x ≠0，∴自变量x 的取值范围是x ≠0.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键.14．7．【解析】【分析】利用平方差公式计算．【详解】解：原式＝32）2＝9﹣2＝7．故答案为:7．【点睛】本题考查了二次根式的计算，一般情况下，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．15．≥13【解析】 解：根据二次根式的定义可知，3x -1≥0，解得：13x ≥．故答案为13≥．16．【解析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．解：原式故答案为17．2x ≥【解析】【分析】根据二次根式的定义得出x −2≥0，求解即可．【详解】解：根据二次根式的定义可得：x −2≥0，解得：2x ≥，故答案为：2x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数．18．222a b c +-【解析】【分析】先根据三角形的三边关系定理得出a+b ＞c ，再根据二次根式的性质及绝对值的性质去掉根号和绝对值符号合并即可．【详解】∵a ，b ，c 是三角形的三边长，∴a+b ＞c ，∴a+b-c ＞0，222b a c a b c b a c a b c +-=+-++-=+-故答案为：222a b c +-【点睛】本题考查了三角形三边关系，二次根式及绝对值的性质，解此题的关键是能正确去掉根号和绝对值符号．19． 1x =±【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；（2）移项后直接开方．【详解】（1）原式=52+（（2）x 2﹣1=0x 2=1x =±1．【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和二次根式的加法运算．（1）合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变；（2）利用了直接开方法解方程，就是依据平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．20．【解析】【分析】.【详解】原式4=故答案为【点睛】本题考查了分母有理化，在进行二次根式的运算时，往往需要把分母有理化，而分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式.21．-【解析】【分析】先找同类二次根式进行合并，再计算加减即可.【详解】原式==0-=-故答案为-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.22．x 1≥．【解析】在实数范围内有意义，必须x 10x 1-≥⇒≥．23．4【解析】【分析】根据三角形的三边关系得到m 的取值范围，根据取值范围化简二次根式即可得到答案.【详解】∵2，m ，4是三角形三边，∴2<m<6，∴m-2>0，m-6<0，∴原式=26m m -+-=m-2-（m-6）=4，故答案为：4.【点睛】此题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，化简二次根式，根据三角形的三边关系确定绝对值里的数的正负是解题的关键.24．2.【解析】试题分析：根据平方差公式可得原式=9—7=2. 考点：平方差公式.25．（1）从第二步开始出现了错误；（2143<，判断过程见解析【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质可判断出第二步开始出现了错误；（2）把143平方后做为被开方数，然后比较被开方数，被开方数越大，则算术平方根越大.【详解】（1）以上解题过程中，从第二步开始出现了错误（21 43 <.理由如下：14516999<，<143.【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键. 26．（1）8，（2）,18【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）根据二次根式的乘除法法则运算即可.【详解】⨯（1）原式=232=64=8；⨯⨯（2）原式=6272=324=18.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法.27．（1）1+；（2）.【解析】【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.28．-1【解析】【分析】根据二次根式与绝对值的非负性即可求解.【详解】依题意得x-2=0,x2-3y-13=0解得x=2,y=-3,∴x＋y=-1【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的性质.29．6【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简．分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】()20111142π-⎛⎫-++++ =⎪⎝⎭ 6=.【点睛】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．30 1. 【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可． 试题解析：原式=a ﹣1+1a，当时，原式﹣1． 考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值31．（1）﹣1；（2）【解析】【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】（1）原式=1﹣3﹣1+2=﹣1；（2）原式=．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．32．（1）23；（2）210；（3）62；（4）23【解析】【分析】根据二次根式的性质,a aab a bb b=⋅=对（1）——（4）逐一进行化简即可. 【详解】（1）124323=⨯=．（2）40410210=⨯=.（3）33326 1.522222⨯====⨯.（4）423 333==.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，将二次根式化成最简二次根式的步骤：（1）根号下有带分数或小数的要把根号下的带分数化成假分数，小数化成分数.（2）将被开方数中能开得尽方的因数或因式开方后移到根号外.（3）若根号内的分母是一个完全平方数，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方；若分母不是完全平方数，则被开方数中的分子、分母同乘一个适当的不为0的数，使分母成为一个完全平方数.33．（1）-3（2）4﹣【解析】试题分析:（1）原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．解：（1）原式=4﹣3﹣4=﹣3；（2）原式=﹣+2﹣+2=4﹣．考点：实数的运算．34．（1）原方程无解；（2）化简：1a b+，24．【解析】 试题分析：（1）方程两边同时乘以最简公分母x-2，把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x 值，最后进行检验．（2）首先化简代数式，先计算括号内的分式的减法运算，再进行分式的除法运算，完成化简后把a 和b 的代入，进行计算．试题解析：（1）解：方程两边同时乘以x-2，得 1=x-1-3（x-2），解得x=2，检验：把x=2代入x-2，得x-2=0， 所以x=2不是原方程的解，所以原方程无解．（2）解：原式=()()bb a b a b a b ÷+--= ()()b a b a b a b b -⨯+-=1a b+， 当21,21a b =-=+时，原式=2121-++=24． 考点：分式方程的解法；代数式的化简求值．35．S △ABC=83cm 2.【解析】【分析】由等边三角形的高可将其边长求出，然后代入三角形面积公式可将其面积求出．【详解】如图，设AD 是等边三角形ABC 的一条高，且6cm. 设等边△ABC 的边长为xcm ，则BD=CD=12xcm. ∵AB 2=BD 2+AD 2，∴x 2= (221262x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴23244x =， x 2=32. ∵x ＞0，∴.∴S △ABC =12×× cm 2）. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质．36．10a b =⎧⎨=⎩【解析】【分析】首先按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤把含有字母的式子整理到等式的左边，然后根据a 、b 为有理数，则让等式两边的有理数部分和无理数部分分别对应相等，得到关于a ，b 的方程组即可．【详解】1=∴)(13b =-∴33a b -+=+∴331a b a -=⎧⎨=⎩ ∴10a b =⎧⎨=⎩【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和方程组的求解．一个有理数和一个无理数不可能相等，此题中的等式两边相等，注意它们的对应关系．。
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解码专训三：思想方法荟萃
分类讨论思想
名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式．
1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．
数形结合思想
名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．
2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.
(第2题)
类比思想
名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．
3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．
转化思想
名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想．
4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016.
解码专训三
1．解：（a＋2）2－（a－1）2＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论：
当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3；
当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1；
当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3.
点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．
2．解：由m，n在数轴上的位置可知：m＞n，0＜m＜1，n＜－1.
∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0.
∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2.
方法点拨：在利用a2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．
3．解：(72＋26－3)(26－72＋3)
＝[26＋(72－3)][26－(72－3)]
＝(26)2－(72－3)2
＝24－(98＋3－146)
＝146－77.
4．解：(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝[(3＋2)(3－2)]2 015·(3－2) ＝1×(3－2)＝3－ 2.。