华师大版九年级数学上典中点第二十一章整合提升专训三

解码专训三：思想方法荟萃

分类讨论思想

名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式．

1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．

数形结合思想

名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．

2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.

(第2题)

类比思想

名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．

3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．

转化思想

名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想．

4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016.

解码专训三

1．解：（a＋2）2－（a－1）2＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论：

当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3；

当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1；

当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3.

点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．

2．解：由m，n在数轴上的位置可知：m＞n，0＜m＜1，n＜－1.

∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0.

∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2.

方法点拨：在利用a2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．

3．解：(72＋26－3)(26－72＋3)

＝[26＋(72－3)][26－(72－3)]

＝(26)2－(72－3)2

＝24－(98＋3－146)

＝146－77.

4．解：(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝[(3＋2)(3－2)]2 015·(3－2) ＝1×(3－2)＝3－ 2.