线性代数第三套满分

考研数学三(线性代数)-试卷15.doc

考研数学三（线性代数）-试卷15(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设A为3阶非零矩阵，且满足a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij为a ij的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A+B可逆；④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.已知 2.00）A.t=6时P的秩必为1B.t=6时P的秩必为2C.t≠6时P的秩必为1D.t≠6时P的秩必为25.设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.若｜A｜＞0，则｜B｜＞0B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=EC.如果A≌E，则｜B｜≠0D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B6.设 2.00）A.1B.3C.1或3D.无法确定7. 2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B8.设 2.00）A.A －1 P 1 P 2B.P 1 A －1 P 2C.P 1 P 2 A －1D.P 2 A －1 P 19.设A是n 2.00）A.(－2) n｜A｜nB.(4｜A｜) nC.(－2) 2n｜A *｜nD.｜4A ｜n10.设(P －1 ) 2016 A(Q 2011 ) －1 2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知A 2－2A+E=O，则(A+E) －1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设A是n阶矩阵，｜A｜=5，则｜(2A) *｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.设 2.00）填空项1:__________________14.设 2.00）填空项1:__________________15.已知A,B均是3阶矩阵，将A中第3行的－2倍加到第2行得矩阵A 1，将B中第1列和第2列对换得到B 1，又A 1 B 1 2.00）填空项1:__________________16.设 2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(三).doc

考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(三)(总分：108.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.已知随机变量X服从参数为λPX+Y=0=______；PY2.00）填空项1:__________________2.已知(X，Y)的联合密度函数f(x，PX+Y≤1=______；PX-Y≤-1=______ 2.00）填空项1:__________________3.如果用X，Y分别表示将一个硬币接连掷8次正反面出现的次数，则t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是______．（分数：2.00）填空项1:__________________4. 2.00）填空项1:__________________5.已知随机变量X的概率分布为(k=1，2，3)，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即2.00）填空项1:__________________6.设随机变量X1和X2相互独立，它们的分布函数分别F1(x)和F2(x)，已知2.00）填空项1:__________________7.Y的联合分布函数F(x，y) 2.00）填空项1:__________________8.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数F(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________9.已知(X，Y) 2.00）填空项1:__________________10.设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则Pmax(X，Y)＞μ-Pmin(X，Y)＜μ=______．（分数：2.00）填空项1:__________________11.设相互独立两个随机变量X和Y均服从标准正态分布，则随机变量X-Y的概率密度函数的最大值等于______．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设(X，Y)～N(μ1，μ20)，其分布函数为F(x，y)，已知F(μ， 2.00）填空项1:__________________13.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y-1)，其中Φ(x)为标准正态分布函数，则(X，Y)服从正态分布N______．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，Y的概率分布为2.00）填空项1:__________________15.设随机变量X的密度函数＜a＜b)，且EX2=2，则P|X| 2.00）填空项1:__________________16.已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，已知PX1+X2＞0=1-e-1，则E(X1+X2)2=______．（分数：2.00）填空项1:__________________17.将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则EX=______．（分数：2.00）填空项1:__________________18.假设随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，a是区间[-1，1]上的一个定点，Y为点X到a的距离，当a=______时，随机变量X与Y不相关．（分数：2.00）填空项1:__________________19.已知编号为1，2，3，4的4个袋中各有3个白球，2个黑球．现从1，2，3袋中各取一球放入第4号袋中，则4号袋中白球数X的期望EX=______；方差DX=______．（分数：2.00）填空项1:__________________20.已知随机变量X1，X2，X3相互独立且都服从正态分布N(0，σ2)，如果随机变量Y=X1X2X3的方差（分数：2.00）填空项1:__________________21.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1的出现次数为Z，则E(Z2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________22.已知随机变量X1，X2…，X n相互独立，且有相同的方差σ2(≠0)，；X1（分数：2.00）填空项1:__________________23.已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布则E(XY)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________24.设随机变量X和Y 2.00）填空项1:__________________25.设随机变量X服从分布E(1)，记Y=min|X|，1，则Y的数学期望E(Y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________26.设连续型随机变量X 2.00）填空项1:__________________27.相互独立的随机变量X1和X2 2.00）填空项1:__________________28.E(X，Y)～N(μ1，μ2ρ)，(σ1＞0，σ2＞0) 2.00）填空项1:__________________29.设随机变量X和Y 2.00）填空项1:__________________30.设随机变量X1，X2…，X n(n＞1)独立同分布，且方差为σ2＞0，记Y1Y n 2.00）填空项1:__________________31.设随机变量X在[-1，b]上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有P|X-1|＜ε 2.00）填空项1:__________________32.将一个骰子重复掷n次，各次掷出的点数依次为X1，…，X n则当n 2.00）填空项1:__________________33.设随机变量列X1，X2…，X n，…相互独立且同分布，则X1，X2…，X n，…服从辛钦大数定律，只要随机变量X1 1．（分数：2.00）填空项1:__________________34.假设随机变量X1，X2…，X2n独立同分布，且EX i=DX i=1(1≤i≤2n)，如果Y n 2.00）填空项1:__________________35.已知随机变量X1，…，X n相互独立且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y2=X2 2.00）填空项1:__________________填空项1:__________________36.已知X1，X2…，X n为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本．记X=min(X1，…，X n-1)和Y=X n则X的分布函数F X(x)=______，Y的分布函数F Y(y)=______和(X，Y)的联合分布G(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________37.已知总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，X n与Y1，…，Y n为分别来自总体X与Y的两个相互2.00）填空项1:__________________38.已知(X，Y)的概率密度为f(X， 2.00）填空项1:__________________39.设X1，X2…，X n为来自总体X．(0≤k≤n)2.00）填空项1:__________________40.设总体X的概率密度为 2.00）填空项1:__________________41.设X1，X2…，X2n是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本(n≥2)(X i+X n+i 2.00）填空项1:__________________42.设X1，X2…，X n来自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差S2，则D(S2)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________43.设X1，X2…，X6是来自正态分布N(0，σ2) 2.00）填空项1:__________________44.设X1，X2…，X6是来自正态总体N(0，σ2) 2.00）填空项1:__________________45.假设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2…，X2n是来自总体X容量为2n的一组简单随机样本，统计2.00）填空项1:__________________46.设总体X 2.00）填空项1:__________________47.设总体X是在原点为中心，长度为a的闭区间上均匀分布，X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，则未知参数a 2.00）填空项1:__________________48.设X1，X2…，X n是来自X～P(λ)S2分别为样本均值和方差，则统计量2.00）填空项1:__________________49.设X1，X2…，X n来自正态分布N(0，σ2)总体X S2，2.00）填空项1:__________________50.设X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，X则未知参数λ（分数：2.00）填空项1:__________________51.设X1，X2…，X n是来自区间[-a，a]上均匀分布的总体X的简单随机样本，则参数a的矩估计量为______．（分数：2.00）填空项1:__________________52.设X1，X2…，X n是来自总体为区间[θ，θ+2]上均匀分布的X未知参数θ 2.00）填空项1:__________________53.设X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为-∞＜x＜+∞，λ＞0则λ 2.00）填空项1:__________________54.设X1，X2…，X n为来自正态总体N(μμ未知，则参数μ的2.00）填空项1:__________________。

第三套线性代数综合测试练习题

第三套线性代数综合测试练习题一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式123456789D =，ij A 表示它的元素ij a 的代数余子式，则与212223aA bA cA ++对应的三阶行列式为。

2、,A B 均为n 阶方阵，3A B ==，则112AB -= 。

3、A = 300140003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(2)A E --= 。

4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)ααα==--=线性关。

5、设6阶方阵A 的秩为5，,αβ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不相等的解，则Ax b = 的通解为。

6、已知111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，则;a b ==。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、1112132122232122231112131313233311132123313010,,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则。

A ．B P AP =21 B ．B P AP =12C ．B A P P =12D ．B A P P =21 8、n 元齐次线性方程组0AX =有非零解的充分必要条件是。

A ．()R A n ≤B ．()R A n <C ．()R A n ≥D ．()R A n >9、已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k为任意常数，则方程组0AX =的通解为。

A ．1k αB ．2k αC ．12()k αα+D ．12()k αα- 10、矩阵A 与B 相似,则下列说法不正确的是。

A .秩(A )=秩(B ) B . A =BC . B A =D . A 与B 有相同的特征值 11、若n 阶方阵A 的两个不同的特征值12,λλ所对应的特征向量分别是1x 和2x ，则。

线性代数试卷三L_参考答案与评分标准

七、（10分）
设3阶矩阵满足，其中，，，给出求矩阵的主要步骤.
解：由题意知，矩阵的特征值为-2,-2,4,对应的特征向量分别为，且这3个特征向量线性无关，故矩阵可与对角矩阵相似.……………… 4分
令，则有
,…………………………………………………… 4分
所以 .…………………………………………………………………… 2分
……………………………………………………………… 1分
对于，解齐次方程得基础解系
，，…………………………… 2分
正交化、标准化得
……………… 4分
令
所求正交变换为
……………………… 1分
原方程组的同解方程组为，
即(或一般解) ( 为自由未知量)，………………………… 3分
令，得非齐次方程组的一特解，………………… 1分
令，得对应的齐次方程组的基础解系
，………………………… 2分
方程组的通解为 ………………………………………………… 1分
( 为任意实数) ……………………………………………… 2分
四、（10分）
解齐次线性方程组 .
解：系数矩阵为 …………………………………… 2分
，…………………………………… 4分
因为，所以方程组只有零解，即 .…………… 4分
五、（10分）
求下列向量组的一个极大线性无关组，其中 , ,
, , .
解：令 ………………………… 3分
…………………………………………………………………… 5分
1．设向量组线性无关，而线性相关，则（B）．
(A) 必可由线性表示；(B) 必可由线性表示；
(C) 必不可由线性表示；(D) 必不可由线性表示.

2023年考研数学（三）考试大纲内容（线性代数部分）

2023年考研数学（三）考试大纲内容（线性代数部分）2023年的全国硕士研究生招生考试距离正式开考只剩下两个月左右的时间了，两个月后考生们就要正式开始初试考试了，下面小编就为大家带来2023年考研数学（三）考试大纲中线性代数部分的内容，供大家参考学习，欢迎大家前来阅读！线性代数一、行列式【考试内容】行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理【考试要求】1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.二、矩阵【考试内容】矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算【考试要求】1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法.5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.三、向量【考试内容】向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法【考试要求】1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法.四、线性方程组【考试内容】线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组基础解系和通解非齐次线性方程组的通解【考试要求】1.会用克拉默法则解线性方程组.2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量【考试内容】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵【考试要求】1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型【考试内容】二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性【考试要求】1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.考研初试各科分数组成：政治：马原24分，毛特30分，史纲14分，思修与法律基础16分，当代世界经济与形势与政策16分，满分100分。

2024研究生入学考试数学三

有关“研究生入学考试”数学三的考试内容
有关“研究生入学考试”数学三的考试内容如下：
研究生入学考试数学三的考试内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。

具体来说，高等数学部分占总分的约56%，线性代数部分占总分的约22%，概率论与数理统计部分占总分的约22%。

在高等数学部分，主要考察极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程等方面的知识和能力。

在线性代数部分，主要考察行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等方面的知识和能力。

在概率论与数理统计部分，主要考察随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征等方面的知识和能力。

总体来说，研究生入学考试数学三的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。

同时，考生还需要掌握各种题型的解题方法和技巧，以便在考试中灵活应对各种题目。

线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

线性代数同济第三版答案

线性代数同济第三版习题答案习题一答案(1-16)习题二答案(17-37)习题三答案(38-58)习题四答案(59-86)1利用对角线法则计算下列三阶行列式20 1(1)1 4 118 320 1解 1 4 118 32( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 80 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)24 8 16 4 4a b c(2)b c acaba b c解 b c acabacb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b3 c3x y x y (4) y x y xx y x y x y x y解 y x y xx y x yoo ox(x y)y yx(x y) (x y)yx y 3 4(x y)3x 33xy(x y) y 33x 2y x 3y 3x 32(x 3y 3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 23 34 2 1解逆序数为5 4 2 4 1 3 解逆序数为3(5)1 3(2n 1) 2 4 (2n)2ba2ca解逆序数为4 41 43 42 323 2 3 14 2 4 1, 212 1 4 1 4 3解逆序数为n(; °3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 74 7 6(3 个)(6) 1 3(2n 1) (2n) (2n 2) 2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个) 5 2 54 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 4 2(1 个) 6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana 23的项解含因子ana 23的项的一般形式为(1)tana 23a 3r a 4s其中rs 是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子ana 23的项分别是(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个) (2n 1)(2n 2) (n 1 个)3421) a ii a 23a 34a 42 a ii a 23a 34a 42(1)ta ii a 23a 34a 42 (4计算下列各行列式4207 202 1 125141 w o102M12341 oX — o 4121020211230 41100 q 7742 07o24d i d 9O 1790仃024 d i d i12311224236 112023152)o200 4 2 3411212312qn r0 2 024236 1120 23156q1122 4236 1120 2315 角0200 423 01120 2310aedeefg cd fa cb J J a d ccb b bfadaede efac1adfbce 114abcdef1 ab a (1)( 1)2 11 c 0 1°3 dc21 ab a ad1 c 1 cd 0 1 05证明:a 2ab b 2(1) 2a a b 2b (a b)3;1 1 1证明ax by ay bz az bx (2) ay bz az bx ax by azbx ax by ay bz证明O O 1 dO 1 c 1 1b 1o o1 d a 1 C 1 ba b1OO 1o oao o(1)( 1)3 21ab ad 1 1 cdabcd ab cd ad 1a 2 ab b22a a b 2b 1 1 1c2c3c1c1a 2a 1ab a2b a 0 b 2 a 22b 2a 0a22ab2b (b a)(b a)? b 2a (a b)3x y z (a 3 b 3)y z xz x yax by a y bz az bx ay bz a z bx ax by azbx a x by ay bzx y zy z x a 3 y z x b 3z x y z x yx y zx y zx y z a 3 y z x b 3y z xz x yz x yx y z (a 3 b 3)y z xz x yx ay bz az bx y az bx ax by bz y bz ay az bz azbx ax by ay x ay bz zy z az bxy az bx x b 2 z x ax by z ax by yx y ay bzby ay z ax ax x a 2a b e d /(%2222x \71111222 2 a b e d cca b e dr —l a be d2222x \7 x \7 11112 2 22 a b e da)1 d b b)(db a) 1b a) d(d b a)8855552a 2b 2c 2d33 332a 2b 2c 2d 1111a b c d2 2 2 222 2ao2 22 2 2 22 21111 ab e d2 22 2・2 41dd d 1 C C 24C 1b241d d d 1 C C 241b b2b41 1 0 b a 1 c a 1 d a 0 b(b a) c(c a) d(d a) 0 b(ba) e(c a ) d(da)11(b a)(c a)(d a) b cb(b a) c(c a1 1 (b a)(c a)(d a)0 c b0 c(c b)(c ba) d(d (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(cd 2(d =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a bed)假设对于(n 1)阶行列式命题成立D n 1 x n 1a 1 x n 2则D n 按第一列展开有xD n 1 a n x n a 1X n 1因此对于n 阶行列式命题成立n(n 1)证明 D 1 D 2 ( 1)丁D D 3 D证明因为D det(a ij )所以x ooox n a i x n 1a n 1X a n证明 o anoanX2a T —用数学归纳法证明当n 2时 D 2x 1 a 2 x a 1 x 2a 1x a 2命题成立6设n 阶行列式Ddet(a j ),把D 上下翻转、或逆时针旋转an1anna1nannannainD 2D 3a11aina11an1an1ai1依次得D 1a n 2X a n 1D n XD n 1 a n ( 1)n 1ooa n 1X a n90、或依副对角线翻转同理可证7计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)D na11 a,其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是0解aD n0 a（按第n 行展开）0 0 0 a 01 0 0 0 aan1anna11 aln D 1(1)n1an1anna11a1na21a2nal1 a21 a n1a1na2n ann1)n 21)n1(1)1 2(n 2) (n 1)D a3nn(n 1)丁 D (1)D 2 ( n(n 1) 1) 2aiin(n 1) 1) 丁 D Tn(n 1)(1) 丁 Dainann D 3 ( n(n 1)1) 丁 D 2n(n 1)1)丁( n(n 1)1) 丁 D (1)n(n 1)D D(n 2)(n 2)x a(2) D na Xa a解将第一行乘（1）分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得⑶D n 1解根据第6题结果有0 0(1)n1a 0(1)2naa0 aa0 0 0a 0 (n 1) (n 1)(n 1) (n 1)a (1)n1( 1)na na na n 2a n 2(a 21)aao o X o a ao o X a a o o X XX X X a a an OOa a o X a a o X aa OO[X (n 1)a](x a)n 10 0 x aa n(a 1)na n 1 (a 1)n 1(a n)n(a n)n 1n(n 1)D n1 ( 1) 2a n1a n 此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)1) 丁n 1 in(n 1)1) 丁n 1n(n 1)1) 丁D n1 (( i j 1 j )a n⑷D2na nD2n a1qc1(a(a[(aj 11)n 11)ni1)[(ij 1n (n 1) 11) —2j)]b nd nb nd n(a(a(an)n 1n)nj1)](i j)j 1（按第1行展开）a 1b 1 (1)2nh C 1 d 1C n 1 C n再按最后一行展开得递推公式D 2n a n d n D 2n 2 b n C n D 2n 2 即 D 2n (a n d n b n C n ) D 2n 2于是 D2nn(期 bC)D 2i 2而D 2a 1 $ C 1 da 〔d 1 b|C [n所以 D 2n(晌bc)i 1(5) D det(a ij )其中 a j |i j|; 解 a j |i j|n 1 n 2 n 3 n 4a ncn 1q biC i d id n 1 0 0 d n0 d n 1b n 1d n 1 012 3 4 nn n n321021011012dnD1111o X — X —X —X —X —X —4n3 n2 n o o oono oo002252n4n 2 3n 2Xn)2T — nnaT —T2 a T —a1TT — T — T —25o oonaT —T —oooaa ona1330 003233oo1 a — oo o 1 503q c20 0 q 10 0 a 210 0 a 310 1a n 11n 0 0 1 a ii 1尿3.)(18用克莱姆法则解下列方程组解因为n1 0 00 0 aj1 1 0 0 0 a ?10 1 1 0 0 a ?10 0 0 1 1 a n 110 0 0 0 1 1 a n 1a X!(1)2；3为 x2X32x 2 3x 2 X2 x 4 5X 3 X 3 2x3 4x4 5x 411x 40 0 1 014214 511123a n5 1 1 5 1 13 45142 D2450 1 11 0 11 D142522X12X —11234261451X —5220T —2DX4D33DX4R DX4dIDT —54X —00065 0065 1065101000 1 5100 0651 0001 0 6510 6 5100 5 100066X46冷5 2)00065 00651 06510 65100 51000 为因D0750006 5 00651 0651003O65O 0651 1 0001 6 5100 5 10002X — 2 1OOO100651 06510 65100 51000所以X1145 X2665703 X 3 X 43 665 M395 665212 X 4 4 665X X 2 X 3 09问取何值时齐次线性方程组 X ] X 2 X 3 0有非X! 2 X 2 X 3 0零解？解系数行列式为1 1D 1 11 2 1令DO 得0或 1(1 )x 1 2x 2 4X 3 010问取何值时齐次线性方程组 2X 1 (3 )X 2 X 3 0N X 2 (1 )X 3 0有非零解？解系数行列式为12 41 3 4 D3 12 1 11 11 0 1(1 )3( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )32(1 )23令D 0得于是当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解于是当 0 2 或 3 时该齐次线性方程组有非零解1 已知线性变换x 1 2y 1 2y 2 y 3 x 2 3 y 1 y 2 5y 3 x 3 3y 1 2 y 2 3y 3求从变量x i X 2 X 3到变量y i y 2 y 3的线性变换解由已知y 1 7x 1 4x 2 9x 3 y 2 6x 1 3x 2 7x 3 y3 3x1 2x2 4x3求从Z 1 Z 2 Z 3到X 1 X 2 X 3的线性变换解由已知12y 1y 2y 4312 y1y y 153x 1x 2x153212 233x 1x 2x 3y1y 2yx 1x 2xz 2z 33z3z z 1z 2y 1y 2yyy 1 y 12y 241 1 1 1 233设 A 11 1 B124 求 3AB 2A 及 A T B 1 1 10 511 11 1 2311 1 解 3AB 2A31 11 1 24 2 11 11 11 0 5111 10 5 8 1 1 12 13 2230 5 62 11 1 2 17 202 9 0 1 1 14 29 21 11 123 0 5 8A TB1 11 12 4 0 5 61 110512 9 04 计算下列乘积4317f(1 1 2 32570143 1 7 47 3 21 1 35解12 3 2 17( 2) 23 1 657 0 1 57 7 20 1 49z 1z 2zy 1y 2y125 031 224z 1z 2z394 3z 39z 3163 z 24z 2z z z 1z 10 6211x 1x 2x12 033 (2)(1 2 3) 21解(1 2 3) 2 (1 32 23 1) (10)12(3) 1 ( 1 2)32 2 ( 1) 22 24 解 1 ( 1 2) 1 ( 1) 12 123 3 ( 1) 32 361 3 1(A\ 2 1 4 0 0 1 2(4) 1 1 3 4 1 3 14 0 21 31解2 1 4 0 0 12 6 78 解 1 134 1 31 20 564 0 2a11 a12 a13 x1(5) (x1x2x3) a12a22 a23 x2a13 a23 a33 x3解a11 a12 a13 x1(x1 x2 x3) a12 a22 a2 x2a13 a23 a33 x3(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1x1 a23x2 a33x3) x25 设 A 1123B 11 2问(1) AB BA 吗? 解 AB BA因为 AB 4364BA 13 82所以 AB BA(2) (A B)2 A 2 2AB B 2吗?解 (A B)2 A 2 2AB B 2因为 A B2 2(A B)2 22 52 22 25 184 1249所以 (A B)2 A 2 2AB B 2(3)(A B)(A B) A 2 B 2 吗? 解 (A B)(A B) A 2 B 2因为 A B22 25A B 222510 34故 (A B)(A B) A 2 B 26 举反列说明下列命题是错误的(1) 若 A 20 则 A 0解取 A 01 则 A 20 但 A 0(A B)(A B) 而A 2B238 4 11 222 a 11x 1 a 22x 2 a 33x 32a12x 1x 2 2a 13x 1x 32a23x 2x 3A 2 2AB B 2431816 8 1 0 10 16 8 12 3 4 15 27(2) 若A2 A 则 A 0 或 A E解取 A 0101则A2 A 但 A 0 且 A E (3)若AX AY 且 A 0 则X Y解取A 10X11 111 1 00 11 01则AX AY 且 A 0 但X Y7 设 A 101 求A2A3A k解A21011011021A3A2A10211011031Ak1 k1108 设 A 0 1 求A k0 0解首先观察1 01 0 22 1A 210 1 0 220 00 00 0 233 23A A 2A0 33 20 0344 3 6 2A 4A A0 44 30 0455 4 10 3A A 4A0 55 40 05k(k 1) k 2A k用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，kk k 1 k(k 〔) k 220 k k k 10 0 kk 1(k 1) k1(k 1)k k12 0 k 1(k 1) k10 0k 1A k 1A kA由数学归纳法原理知k(k 1) k2A k9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵证明因为A T A所以(B T AB)T B T(B T A)T B T A T B B T AB从而B T AB是对称矩阵10设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A T A B T B且AB BA所以(AB)T(BA)T A T B T AB即AB是对称矩阵必要性因为A T A B T B且(AB)T AB所以AB (AB)T B T A T BA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解A 12 |A| 1故A1存在因为A* A11 A21 A12 A22故A 1丄A*5 2|A|2 1(2)cos sinsin cos解 A cossin Al 1 0故A 1存在因为sincosA An A21cos sinA2 A22sin cos 所以A 1丄A*cos sin|A|sin cos1 2 1⑶ 3 4 25 4 11 2 1解 A 3 42 |A| 2 0故A 1存在因为5 4126M4113212 3AAS f12 312 3A 1- 21 13 74—A2 a aao an32 q o1 a i 丄 a212解下列矩阵方程 (i)13 x 216i解 x 152162 1 1(2)X 2 1 01 1 1a ia2由对角矩阵的性质知1 3 1 4 1 3 3 22 3 3 3 2 02 512 34 2 X2 1 0 13 0 1 1T —A 13 54 6 2 23 12 2 1 0 811 4 3 12 01 2 0 1 111 2 43 112 1 10 11 6 6 1 012 3 0 1 20 1 0 1 0 0 1⑷1 0 0 X 0 0 120 0 1 0 1 01解 Xioo 1.l o o3 1040 2.1211 0 1 21-0 4 3 0 1 2 0110 0 10 1 4 1 0 0 2 0 0 0 1 1 2 3 1 0 02 1 0 1001 134 0 0 10 1 0 213利用逆矩阵解下列线性方程组为 2x 2 3X 3 1(1) 2X( 2X 2 5X 3 2 3X 1 5X 2X 331 2 312 2 5 X 22 3 5 1 X33X 121故X22X35解方程组可表示为x1 1从而有x2 0x3 0x1 x2 x3 2 (2)2x 1x2 3x3 13x12x25x 3 0解方程组可表示为x1 5故有 x 2 0x3 314设A kO (k 为正整数)证明(E A) 1E A A 2A k 1证明因为 A k O 所以 E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1) 所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆且(E A) 1E A A 2A k 1证明一方面有 E (E A) 1(E A) 另一方面由 A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1 (A k 1 A k)(E A A A k 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)21x 1x 2x135 12 502113X — X —12x 1x 2x两端同时右乘(E A) 1就有(E A) 1(E A) E A A2A k 115设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆并求 A 1及(A 2E) 1证明由A2 A 2E O得A2 A 2E 即A(A E) 2E或A2(A E) E由定理2推论知A可逆且A1 *A E)由A2 A 2E O得A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E1或(A 2E) 4(3E A) E由定理2推论知(A 2E)可逆且(A 2E) 1 *3E A)证明由A2 A 2E O得A2 A 2E两端同时取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0所以A 可逆而A 2E A 2 A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆A 1A(A E) 2A 1E A 11(A E)A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E(A 2E)(A 3E)4 E16设A 为3阶矩阵|A|号求|(2A) 15A*|解因为A 1-1,A*所以|A||(2A) 15A*| ||A 1 5|A|A 1| |^A 1|A 1|| 2A 1| ( 2)3A 1| 8|A| 18 2 1617设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆 (A*) 1(A 1)*|A*| |A|n|A 1| |A|n 1从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1 |A| 1A 又 A ^(A 1)* |A|(A 1)* 所以|A |(A*) 1 |A| 1A A| 1|A|(A 1)* (A 1)* 18设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*证明A 2A 2E OA(A E) 2E又由所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E) 1(A 2E)4(3E A)证明由A 11寸*得A* |A|A 1所以当A 可逆时(1)若|A| 0 则|A*| 0(2)|A*| |A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*| 0则有A*(A*) 1 E由此得A A A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O所以A* O这与A*| 0矛盾，故当|A| 0时有|A*| 0(2)由于A 1占A*则AA* |A|E取行列式得到|A||A|A*| |A|n若|A| 0 则|A*| A|n 1若|A| 0由(1)知|A*| 0此时命题也成立因此|A*| |A|n 10 3 319 设 A 110 AB A 2B 求 B1 2 3解由AB A 2E可得(A 2E)B A 故2 3 3 0 3 3 0 3B (A 2E)1A 1 1 0 1 1 0 1 21 2 1 1 2 3 1 11 0 120 设 A 0 2 0 且AB E A2 B 求B1 0 1解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)0 0 1因为|A E| 0 1 0 1 0 所以（A E）可逆从而1 0 02 0 1B A E 0 3 01 0 221 设 Adia ig(1 2 1) A* BA 2BA 8E求B解由A* BA 2BA 8E得(A* 2E)BA 8EB 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A) 18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A) 14[diag(2 1 2)] 11 14diag(2，1,12diag(1 2 1)22已知矩阵A的伴随阵A*且ABA 1 BA 1 3E 求B0 0 0 8 nu o 1 o解由 |A*| |A|3 8 得 |A| 2 由 ABA 1 BA 13E 得AB B 3AB 3(A E)1 A 3[A(E A1)] 1A3(E 2A *) 16(2E A*) 11 0 0 16 0 0 060 611 00 6 0 00 16 0 6 00 3 060 3 0 123 设 P 1AP 其中P 1 1 411 00求A 1 解由 P 1AP得 A P P 1所以 A 11A=P 11P 1.|P| 3P* 1 4 1 1P 11 3 1 1 4 1111 0 111 00 20 2111 4A 111 4 1 03 3 2731 27321 1 0 2111 1 683 684331 1 1124 设AP P其中P 1 0 211 1 15(A) A 8(5E 6A A 2)解()8(5E i 62)而故求 idiag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 00) (A) P ()P 11P()P*|P|1 1 1 1 0 02 2 2 2 1 0 2 0 0 03 0 3 11 1 0 0 0 12 11 11 4 111 1 1 125设矩阵A 、B 及AB 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A 1B 1可逆A E EB 1 A AB 〔 B 2 O A ^ O B 2 O A 2B 2113126 计算0 0 2 1 0 0 0 2 2 1 30 0 3 0 03解设A1 02 1A 2 0 1 3B 12 1B 2(A 1 B 1) 1 [A 1(A B)B 1] 1 B(A B) 1A2 3 0 3AB1 B 212 3 10 12 1AB 21 2 3 4 3A2B?0 3 0 3 0 9|A| |B||C| ID|A| |B|C| ID求|A8及A4解令A 3 43厲2 2A8 AO8 A8 OA O A2 O A 82 0 0 00 2 0 01 0 1 0 0 1 0 110 100 10 110 10 0 1 0 1 2 010 0 20 1所以A E E $O A2 O B2A A|B i B2O A2B212 5 20 12 40 0 4 30 0 0 912 10 10 10 103 1 12 5 22 1 0 12 43 32oooo o132oooo o394oooo o27 取 A B 验证A D|A||B28设ALifoL8L<0-8 oCOuoSS<O ?S88T —T —<C O o 8m O CXI寸Q QCO寸L4o o o oo<LCOQ Q山O o 山 T —<oT —O co CO寸L4o o o o < < co co O co 厂<O O coQ OCXI寸Q QLCOQ QeAT)L1J o 08CJ 8 寸 o d O H o L1J o <o <00< oeAT)(L)KI KIO KI C9寸9 0OWNC O L92』V _<二鲨一一N=<1A O 1 A 1OC B B 1CA 1 B 130 求下列矩阵的逆阵5200(1) 2 1 0 0 (1)0 0 8 3 0052设A 52 21 B 8 5 3 2 则A11 5 21212 5 B13212 5 3852 21 1 A 1 A12 5设A 1 12 B3 1 04 C 21 12则1 12 1 0 2 1 2 0 03 1 1 01 0 0 4 A C O B 1A 1B 1CA 1OB1解032 085 000 100 003 200 021 112 2320 0 0 0 10 3 1 1 12 41 12 1 2 1 8o 1 2 1 6 5 241 把下列矩阵化为行最简形矩阵1 02 1(1) 2 0 3 13 04 31 02 1~ 0 0 1 3 (下一步 r 3 r 2 ) 0 0 1 0( 下一步 r 3 3 )1 02 1~ 0 0 1 3 (下一步 r 2 3r 3 ) 0 0 0 12 1 1 0 0 01 0 (下一步 r 1 ( 2)r2 r 1 r3 ) ~ 0 0 1 0 0 1 0 0 0 110 2 1 解20 3 1 (下一步 r 2 ( 2)r 1 r 330 4 31 02 11 3 ( 下一步 r2 ( 1) r3 ( 2) )20~ 0 0 000 2 3 1(2) 0 3 4 30 4 7 102 3 1解0 3 4 3 ( 下r2 2 ( 3)r1 r3( 2)r)0 47 15)0 2 3 10 0 1 3 （下一步 r 3 r 2 r 1 3r 2 ） 0 0 1 353 01 10 0021r步下3 1 0 0 310 442 353 132 1323 4 r 1 r 2 3 1 3 2 r 步下310 442353 132132解3)oX — 23rX —X — XX —3)XXX740 323 108 322 213 )2 3 1 3 7解 332 3 40(下一步 r 1 2r 2 r 3 3r 2 r 4 2r 2 )2 3 7 4 30 1 1 1 11 2 0 2 4~0 8 8 9 12(下一步 r 2 2r 1 r 3 8r 1 r 4 7r 1 )0 7 78 111 1 1 10 2 0 2~0 0 0 1 4( 下一步 r 1 r 2 r 2 ( 1) r 4 r 3 )0 0 0 1 41 02 0 2 1 020 20 1 1 1 0 11 0 3 ~0 01 41 (下一步 r2 r3 )~ 0 00 1 4 0 00 00 000 00 1 0 1 0 12 设 1 0 0 A 0 1 00 0 1 0 0 10101 0 0 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身001 1010 1 0 是初等矩阵 E(1 2(1)) 其逆矩阵是 0013 0 1E(1 2( 1)) 0 1 00 0 11234 5 6 求 A 7891001 1036 25 1400 104 5 6 1 0 1 4 5 1 2 3 0 1 0 1 2 7 8 9 0 0 1 7 83 2 1 (1) 3 1 53 2 33 2 0 3/2 0 1/23 0 0 7/2 29/2〜0 1 0 11 0 1 0 1 12 0 0 2 1 00 0 1 1/2 01/21 0 0 7/6 2/3 3/2〜0 1 0 1 1 20 0 1 1/2 0 1/230 10 2 1(2) 123 20 12 12 0 1 1 0 0 02 2 1 0 1 0 0 解2 3 2 0 0 1 00 1 2 1 0 0 0 13试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵o O 1 O1 OT — T —1422 10 30 0 o O1 O 1 O1 o O1532 123 3 3角3一 221- 22 3107- 611- 2故逆矩阵为1 00 01 2 4 ~0 10 01 0 1 ~0 01 0 1 1 3 6 0 00 1 2 16101 12 4故逆矩阵为0 11 0 3 1 61 6 10412 134 (1) 设 A 2 21 B2 2 求X 使AX B 311 3解因为010 103 000 001 215 329 214 014 103 000 001 211 321 210 014103000 001 211 321210216 di101000 001 2104 1 2 1r 1 0 010 2 (A, B) 2 2 1 2~0 1 0 15 3 3 1 1 30 0 112 410 2所以 X A 4B 15 312 42 13 B21 5361求 X 使 XA B3 3 42 3 1解考虑 A T X TB T因为2324从而 X BA1 2 1 11 1 00 1 1 AX 2X A 求 X 101解原方程化为 (A 2E)X A 因为1 1 0 1 1 0( A 2E, A) 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 14 0 0 0 1 1 ~ 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0所以X T (A T ) 1B T17 14(2) 设 A24 (A T ,B T)13170 1 1所以X (A 2E) 1A 10 11 1 06在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r 1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r阶子式10 0 0例如 A 0 10 0 R(A) 30 0 100 00 0 00 0是等于0的2阶子式1 0 0是等于0的3阶子式0 00 1 07从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样？解R(A) R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵1 0 0 0 01 1 0 0 01 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式310 2（1） 1 1 2 1 ;13 4 43 1 0 2解 1 1 2 1 （下一步/ r1 r2 )1 3 4 4 1 12 1〜3 1 0 2 （下一步F r2 3r1 r3 r1 )1 3 4 41 12 1 1 1 2 1〜0 4 6 5 （下一步r3 r2 ) ~ 0 4 6 50 4 6 5 0 0 0 0 矩阵的秩为2 7 14是一个最高阶非零子式3 2 1 3 1⑵2 1 3 1 37 0 5 1 87 2 13 2解 2 13 13 (下一步门r2 r2 2门r3 7r1 )7 0 5 1 81 3 4 4 10 7 11 9 5 （下一F r 33r ) 0 21 33 27 153 4 1 (1 7 11 9矩阵的秩是23 2 7是一个最咼阶非零子式2 13r3r 247 5 0 03 7 8 2 8 0 5 3 13 2 0 2 2 3 13)3 7 8 2 8 0 5 3 13 2 0r 212r步(T-7 5 0 013 2 2 2 6 4 313 2 02 6r141步(T-7 6 4 0 x — X — 10 0 2 2 0 0 3 1 o o o7 10 0 10 0 2 2 0 0 3 1 o o o o o o 10 7 10 2 10 0 3 2 0 0 o 1 o o 1 o o o。

线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料

习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。

(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。

考研数学三-线性代数(三).doc

考研数学三-线性代数(三)(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设向量组(Ⅰ)(Ⅱ)A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，则4.00）A.B.C.D.2.设5×5矩阵A的列向量依次为α1，α2，α3，α4，α5，即A=(α1，α2，α3，α4，α5)，若A经过若干次初等行变换后化为4.00）A.B.C.D.3.设A，B，C，D是四个4阶矩阵，其中A≠0，|B|≠0，|C|≠0，D≠0，且满足ABCD=0，若r（分数：4.00）A.+rB.+rC.+rD.=r，则r的取值范围是(A) r＜10．(B) 10≤r≤12．(C) 12＜4.设A=(α1，α2，…，αn)是m×n矩阵，b是m维列向量，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.如果非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，则m=n且|A|≠0．B.如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C.如果α1，α2，…，αn线性无关，则Ax=b有唯一解．D.如果对任何b，方程组Ax=b恒有解，则A的行向量组线性无关．5.设A是n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记为B，则下列五个关系①|A|=|B| ②r4.00）A.=rB.C.①，③，⑤．D.①，②，③，④，⑤．6.设A是三阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是三个非零特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，若kA+E是正定矩阵，则参数k应满足4.00）A.B.k＞a．C.k＞b．D.7. 4.00）A.B.C.D.8.下列二次型中属于正定二次型的是（分数：4.00）A.f1(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2．B.f2(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．C.f3(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2．D.f4(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．9.4.00）A.B.C.D.10.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列不能用正交变换化为对角矩阵的是（分数：4.00）A.AB-BA．B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设α1，α2，…，αn是n维列向量，又A=(α1，α2，…，αn)，B=(αn，α1，…，αn-1)，若|A|=3，则|A+B|=______．（分数：4.00）填空项1:__________________12.已知α1=(1，0，1)T，α2=(0，4，-1)T，α3=(-1，2，0)T，且Aα1=(2，1，1)T，Aα2=(-3，0，4)T，AαT，则A=______．3=(1，-1，1)（分数：4.00）填空项1:__________________13.设αi(i=1，2，…，s) 4.00）__________________________________________________________________________________________14.已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=0，其中 4.00）填空项1:__________________15.设A是3阶实对称矩阵，A的每行元素的和为5，则二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax在x0=(1，1，1)T的值f(x1，x2，x3)=x T Ax|x0=(1，1，1)T=______．（分数：4.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：9，分数：90.00)16.(Ⅰ) 利用初等变换消A中元素a21，a31，a32，a34为零；(Ⅱ) 求可逆阵P3×3，Q4×410.00）__________________________________________________________________________________________ 17.设n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，其中s为大于2的偶数．以α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1作为列向量构作矩阵A=(α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1)，求非齐次线性方程组(Ⅰ)：Ax=α1+αs的通解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 18.已知线性方程组(Ⅰ(Ⅱ10.00）__________________________________________________________________________________________ 19.已知2维非零向量α不是2阶方阵A的特征向量．(Ⅰ) 证明：α，Aα线性无关；(Ⅱ) 若α，A满足A2α+Aα-6α=0，求A的全部特征值，并由此判定A能否与对角矩阵相似．若能，请写出一个这样的对角矩阵．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 20.设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α2-α3，Aα2=3α1-2α2+α3，Aα3=3α1+2α2-3α3．(Ⅰ) 求矩阵A的特征值；(Ⅱ) 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵；(Ⅲ) 求矩阵A的矩阵向量．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 21.设3阶方阵A满足Aα1=0，Aα2=2α1+α2，Aα3=-α1+3α2-α3，其中α1=(1，1，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，0，1)T．(Ⅰ) 试证矩阵A能与对角矩阵Λ相似，且写出对角矩阵Λ；(Ⅱ) 求出行列式|A4-2A3-4A2+3A+5E|；(Ⅲ) 求出矩阵A．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 22.已知A是n阶方阵，A T是A的转置矩阵，(Ⅰ) 证明：A和A T有相同的特征值；(Ⅱ) 举二阶矩阵的例子说明A和A T的特征向量可以不相同；(Ⅲ) 如果A～Λ，证明A T～Λ．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________23.已知α=(1，k，-2)T10.00）__________________________________________________________________________________________24.设A是n阶正定矩阵，α1，α2，α3是非零的n10.00）__________________________________________________________________________________________。

线性代数第3版习题全解(上海交通大学)

分享以下“线性代数第3版习题全解(上海交通大学)”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解习题1.11.计算下列行列式：c o s x -s i x ; (1)；(2)s i n x c o x 1574xy x +y xx +y x yx y x zy；(4)x2cos x 1012cos x 1012cos x(3)zy；(5)解：y x +y。(1)7415=7×5−1×4=31；(2) D =1；x +y +zy x z y z -yz x zy zz yx(3) D =x +y +zx +y +z10y =(x +y +z )x=(x +y +z )0x -yy -z =x 3+y 3+z 3-3xyz。x -z2cos x (4)12cos x 1012cos x01-4cos 2x -2cos x =102cos x 112cos x 10=-1-4cos 2x -2cos x12cos x=8cos 3x -4cos x。x y x +y xx +y x y(5) y x +y=x (x +y ) y +yx (x +y ) +yx (x +y ) -(x +y ) 2(x +y )-y 3-x 3=-2x 3-2y 32.用行列式方法求解下列线性方程组：⎧2x 1-x 2+3x 3=1⎧3x +y =-1⎪(1) ⎨；(2) ⎨4x 1+2x 2+5x 3=4。⎩5x +2y =8⎪x +x 3=3⎩1解：1上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解2(1) 123111311, 10, 2

考研数学三(线性代数)-试卷12

考研数学三（线性代数）-试卷12(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：中x 3的系数为 ( )（分数：2.00）A.2B.－2 √C.3D.－3解析：解析：由行列式展开定理，只有a 12A 12这一项有可能得到x 3项，又a 12A 12=－(－－1)(－2x+1)=－2x 3+…．所以行列式中x 3项的系数就是－2．故应选(B)．3. ( )（分数：2.00）A.c －2 mB.m √C.cmD.c 3 m(B)．4.设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜α1，α2，β2，α3｜=n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1 +β2｜等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.－(m+n)C.n－m √D.m－n解析：解析：因｜α3，α2，α1，β1 +β2｜=｜α3，α2，α1，β1 +｜α3，α2，α1，β2｜ =－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜ =－｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜ =n－m，应选(C)．5. ( )（分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式｜A ｜=0 √B.若方程组有解，则必有系数行列式｜A ｜≠0C.系数行列式｜A ｜=0，则方程组必无解D.系数行列式｜A ｜≠0是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析：方程组无解=｜A｜=0(反证，若｜A｜≠0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，｜A｜可能为零，也可能不为零；(C)｜A｜=0，方程组也可能有解；(D)｜A｜≠0=>方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解=>｜A｜一定不为零．6. ( )（分数：2.00）A.当a，b，c为任意实数时，方程组均有解√B.当a=0时，方程组无解C.当b=0时，方程组无解D.当c=0时，方程组无解解析：解析：因a=0或b=0或c=0时，方程组均有解，abc≠0时，由克拉默法则知，方程组有解，且当abc=0时也有解，故a，b，c为任意实数时，方程组均有解．7.设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.AB=O<=>A=O且B=OB.｜A｜=0<=>A=OC.｜AB ｜=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0 √D.A=E<=>｜A｜=1解析：解析：因｜AB｜=｜A｜｜B｜=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0，故(C)正确；(A)不正确，例：A= ≠O，但AB=O； (B)不正确，例：≠O； (D)不正确，例：≠E，但｜A｜=1．8.设A是n阶方阵，X是任意的n维列向量，B是任意的n阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=O=>A=OB.B T AB=O=>A=OC.AX=0=>A=OD.X T AX=0=>A=O √解析：解析：对任意的X，有X T AX=0，可推出A T=－A，不能推出A=O．例，对任意的[x 1，x 2] T，均有但≠O．9.设n维行向量αA=E－αTα，B=E+2αTα，则AB= ( )（分数：2.00）A.OB.－EC.E √D.E+αTα解析：解析：AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αTααTα=E+αTα－2αT (ααT )α，其中故AB=E+αTα－αTα=E．10.A，B是n阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) －1 =(A －1 ) 2√B.(A+B) －1 =A －1 +B －1C.(A+B)(A－B)=A 2－B 2D.(kA) －1 =kA －1(k≠0)解析：解析：(A 2 ) －1 =(AA) －1 =A －1 A －1 =(A －1 ) 2；(B)不成立，例：B=－A，A+B不可逆；(C)中，AB≠BA，BA－AB≠O；(D)中，(kA) －1 A －1≠kA －1．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(x 2－y 2 )(b 2－c 2 )）解析：解析：2－y 2 )(b 2－c 2 )．12.设a，b，a+b均非0．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－2(a 3 +b 3 )）解析：解析：将第2,3行加到第1行，提出公因子2(a+b)后，再将第1列的－1倍加到第2．3列，得到=2(a+b)(－a 2 +ab－b 2 )=－2(a 3 +b 3 )．13.已知A，B为3阶相似矩阵，λ1 =1，λ2 =2为A的两个特征值，｜B｜=2，则行列式．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，｜A｜=｜B｜=2，且λ1λ2λ3 =｜A｜=2，可见λ3 =1，从而A，B有相同的特征值λ1 =1，λ2 =2，λ3 =1．于是有｜A+E｜=(λ1 +1)(λ2 +1)(λ3 +1)=12，｜(2B) *｜=｜2 2 B *｜=4 3｜B *｜=4 3｜B｜2 =256，故14.设n阶矩阵A｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(－1) n－1 (n－1)）解析：解析：－1) n－1 (n－1)．15.设A=[α1，α2，α3 ]是3阶矩阵，｜A｜=4，若B=[α1－3α2 +2α3，α2－2α3，2α2 +α3 ]，则｜B｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质．｜B｜=｜α1－3α2 +2α3，α2－2α3，5α3｜ =5｜α1－3α2 +2α3，α2－2α3，α3｜ =5｜α1－3α2，α2，α3｜ =5｜α1，α2，α3｜ =20．16.设a=[1，0，1] T，A=ααT，n是正数，则｜aE－A n｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a 2 (a－2 n )）解析：解析：A=ααT = αTα=[1，0，1] =2， A n =(ααT ) n =ααTααT…ααT=α(αTα)(αTα)…(αTα)αT=2 n－1 A，=a[(a－2 n－1 ) 2－(－2 n－1) 2 ] =a(a 2－a2 n )=a2 (a－2 n )．三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数(向量)-试卷1

考研数学三线性代数（向量）-试卷1(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs =0．√C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：选项A的条件即齐次线性方程组x 1a 1+x 2a 2+…+x s a s=0 只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确．对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组 x 1α1 +x 2α2+…+x sαs =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．3.设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A的列向量线性无关．√B.A的列向量线性相关．C.A的行向量线性无关．D.A的行向量线性相关．解析：解析：齐次线性方程组Ax=0的向量形式为x 1α1+x 2α2+…+x nαn=0，其中α1，α2，…，αn为A的x个m维的列向量．由Ax=0只有零解α1，α2，…，αn线性无关．可知选项A 正确．对于选项C、D，只要m＜n，不管A的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故C、D均不正确．所以应选A．4.设则三条直线a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 1 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.α1，α2，α3线性相关B.α1，α2，α3线性无关C.r(α1，α2，α3 )=r(α1，α2 )．D.α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．√解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 xα1 +yα2 +α3， (2) 有唯一解．由(2)式可得α3 =-xα1 -yα2而方程组(2)(或(1))有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．5.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A.α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1√B.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α1C.α1 -2α2，α2 -2α3，α3 -2α1D.α1 +2α2，α2 +2α3，α3 +2α1解析：解析：利用向量组线性相关的定义，令 x 1 (α1 -α2 )+x 2 (α2 -α3 )+x 3 (α3 -α1 )=0，(x 1，x 2，x 3为不全为零的实数) 可得(x 1 -x 3 )α1 +(-x 1 +x 2 )α2 +(-x 2 +x 3 )α3 =0 又已知α1，α2，α3线性无关，则则齐次线性方程组(母)有非零解，故α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1线性相关．故应选A．6.若α1，α2线性无关，β是另外一个向量，则α1 +β与α2 +β( )（分数：2.00）A.线性无关．B.线性相关．C.即线性相关又线性无关．D.不确定．√解析：解析：例如，令α1=(1，1)，α2=(0，2)，β=(-1，-1)，则α1，α2线性无关，而α1+β=(0，0) 与α2 +β=(-1，1)线性相关．如果设β=(0，0)，那么α1 +β与α2 +β却是线性无关的．故选D7.已知向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大无关组为( )（分数：2.00）A.α1，α3B.α1，α2C.α1，α2，α5D.α1，α3，α5√解析：解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵作初等行变换，有α1，α3，α5是一个极大无关组，且α2 =α1 +3α5，α4 =α1 +α3 +α58.设α1 =(1，2，3，1) T，α2 =(3，4，7，-1) T，α3 =(2，6，0，6) T，α4 =(0，1，3，a) T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件．B.充分而非必要条件．√C.必要而非充分条件．D.既不充分也非必要条件解析：解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α1，…αn｜是否为零去判断．因为｜α1，α1，…，α4｜因此，当a=8时，行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件．9.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )（分数：2.00）A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．√C.αm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．D.αm可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．解析：解析：按题意，存在组实数k 1，k 2，…，k m使得 k 1α1 +k 2α2+…+k mαm =β (*) 且必有k m≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l 1，l 2，…，l m-1，使得αm =l 1α1 +l 2α2+…+l m-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k 1 +k m l 1 )α1 +(k 2 +k m l 2 )α2+…+(k m-1 +k m l m-1 )αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.10.已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1 =α1 +α3 +α4，β2 =α2 -α4，β3 =α3 +α4，β4 =α2 +α3，β5 =2α1 +α2 +α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5 )=( )（分数：2.00）A.1．B.2．C.3．√D.4．解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 (β1，β2，β3，β4，β5 )=(α1，α2，α3，α4) 因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5故知r(β1，β2，β3，β4，β5 )=r(C)=3，因此应选C.11.设A是n阶方阵，且｜A｜=0，则A中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为0．B.必有两列元素对应成比例．C.必有一列向量是其余列向量的线性组合．√D.任一列向量是其余列向量的线性组合．解析：解析：对于方阵A(列)向量组的秩小于n，所以A的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．选项A、B仅是｜A｜=0的充分条件，故均不正确．由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D也不正确．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.如果β=(1，2，t) T可以由α1 =(2，1，1) T，α2 =(-1，2，7) T，α3 =(1，-1，-4) T线性表示，则t的值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x 1α1+x 2α2 +x 3α3 =β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t-5=0，即t=5．13.设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E—xx T的秩为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵xx T的特征值为0，0，1，故E-xx T的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xx T )=2．14.向量组α1 =(1，0，0)，α2 =(1，1，0)，α3 =(-5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为0的行向量的个数就是向量，因此秩是2．15.已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：已知r(α1，α2，…，αs )=r(α1，α2，…，αs，β)=r，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得 (α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r+1．16.设α1 =(1，2，1) T，α2 =(2，3，a) T，α3 =(1，a+2，-2) T，若β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：根据题意，β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β1有解，β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，满足方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β有解，方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β2无解的条件，故a=-1．17.已知α1 =(1，4，2) T，α2 =(2，7，3) T，α3 =(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则a 的取值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a≠1）解析：解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1 =(1，0，0) T，ε2 =(0，1，0) T，ε=(0，0，1) T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．18.与α1 =(1，2，3，-1) T，α2 =(0，1，1，2) T，α3 =(2，1，3，0) T都正交的单位向量是 1 （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：已知，若向量α，β正交，则内积αTβ=0，设β=(x 1，x 2，x 3，x 4 ) T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1，1，0) T，将这个向量单位化得，即为所求向量．三、解答题(总题数：7，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

线性代数第三套满分

单选题1.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：2.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：3.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：4.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：5.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：6. 下列说法正确的是（）(A)(B)(C) (D)难度：较易分值：7.(A) (B)(C) (D)难度：较易分值：8.(A) 全不非负(B) 不全为零 (C) 全不为零(D) 全大于零难度：较易分值：9.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：10.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：11.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：12.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：13.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：14.(A) (B)(C)(D)难度：较易分值：15.下列命题正确的是（） (A )(B )(C )(D )难度：较易分值：16.(A) -4 (B) 4 (C) -1 (D) 1难度：较易分值：17.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：18.(A) 再增加一个向量后也线性无关(B) 其中只有一个向量不能被其余向量线性表出(C) 再去掉一个向量后仍然线性无关(D) 以上都不对难度：较易分值：19.(A) 每一向量不(B) 每一向量 (C) 存在一个向量(D) 仅有一个向量难度：较易分值：20.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：21.(A)线性相关 (B)线性无关(C)对应分量成比列(D)难度：较易分值：22. 下列结论正确的是（）(A)奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为非奇异阵 (B)非奇异阵经过若干次初等变换可以化为奇异矩阵 (C) 非奇异等价于单位阵 (D)难度：较易分值：23.(A)(B) (C) (D)难度：较易分值：24.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：25.(A)(B) (C)(D)难度：较易分值：26.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：27.(A)(B)(C)(D) 以上都不对难度：较易分值：28.(A)(B) 5 (C)(D)难度：较易分值：29.(A) (B)(C) (D)难度：较易分值：30.(A) (B)(C)(D)难度：较易分值：31.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：32.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：33.(A) 其中必有一个零向量(B)(C)(D)难度：较易分值：34.(A) 线性无关(B) 仅有一个向量可由其余的向量线性表示(C) 至少有2个向量可由其余的向量线性表示(D) 至少有4个向量可由其余的向量线性表示难度：较易分值：35.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：36.(A) 上三角(B) 下三角 (C) 对角形(D) 即非上三角也非下三角难度：较易分值：37.(A) (B)(C)(D)难度：较易分值：38.(A )(B)(C) Array(D) Array难度：较易分值：39.(A) -1(B) 1(C)(D)难度：较易分值：40.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：41.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：42.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：43.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：44.(A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 难度：较易分值：45.(A) 线性相关(B) 线性无关 (C) 难以确定(D) 以上都不对难度：较易分值：46.(A )(B )(C )(D )以上都不对难度：较易分值：47.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：48.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：49.(A)(B)(C)(D)难度：较易分值：50.(A) -1(B) 1(C)(D)难度：较易分值：。

高升本课程复习资料-线性代数-第三套练习题目

第三套练习1、设α=（a 1，a 2，…，a n ）T ，（a 1≠0，n ＞1），A ＝ααT 求 A 的特征值和特征向量.2、设三阶方阵A 的特征值为1，－2，3，矩阵B ＝A 2－2A ，求 ① B 的特征值；② B 是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；③ 求 |B |3、设n 阶方阵A 有n 个特征值0，1，2，…，n －1且方阵B 与A 相似，求 | E +B | .4、设有3阶方阵A 满足A 3-5A 2+6A =O ，且Tr A =5，|A |=0，试求A 的特征值，并判定A 能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.5、设 A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32020002a 与 B ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b 00020001 相似，求a ，b ；6、设矩阵22082006a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A=相似于∧,求①a ；②可逆矩阵P 和对角矩阵∧，使P -1AP =∧ .7、证明题设实方阵A 满足A T A =E ，试证明A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.8、设A 为n 阶实方阵，α为A 的对应于特征值λ的特征向量，β为A T的对应于特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交.9、设A 是n 阶正交矩阵，且|A |＝－1，证明－1是A 的一个特征值.10.求矩阵的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010特征值和特征向量.11.设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32020002a 与B ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b 00020001相似，1）求a ，b ；2)求一个可逆矩阵C ，使C －1AC ＝B .12.试求三阶正交矩阵Q ，使正交变换x=Qy 能将二次型()312232,12x x x x x x f +=化成标准形.13设二次型f = 4x 12+3x 22+2x 2x 3+3x 32① 求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换； ② 用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.14.问λ取何值时，二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型？15设方阵A 满足A T A =E ，试证明A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.16设A 为n 阶方阵，α为A 的对应于特征值λ的特征向量，β为A T的对应于特征值μ的特征向量，且λ ≠ μ，证明α与β正交.17设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=－1，证明: －1是A 的一个特征值.18设A 、B 是两个n 阶矩阵，BA AB =且A 有n 个两两不相等的特征值，试证：（1）A 的每个特征向量必是B 的特征向量，（2）B 一定可对角化.第三套练习1、解由定义A α＝ααT α=（ a 12+a 22+…+a n 2）α，而R （A ）=1，所以A 的特征值为λ1=a 12+a 22+…+a n 2和λ2=λ3=…=λn =0。

考研数学三(线性代数)-试卷40.doc

考研数学三（线性代数）-试卷40(总分：76.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．（分数：2.00）A.｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B.若｜AB｜=0，则A=0或B=0C.｜A—B｜=｜A｜—｜B｜D.｜AB｜=｜A｜｜B｜3.设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1 =m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α1，α2，α3，β1 +β2｜为( )．（分数：2.00）A.m+nB.m一nC.一(m+n)D.n一m4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．（分数：2.00）A.当m＞n时，必有｜AB｜≠0B.当m＞n时，必有｜AB｜=0C.当n＞m时，必有｜AB｜≠0D.当n＞m时，必有｜AB｜=05.设A，B，A+B，A -1 +B -1皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1等于( )．（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -16.设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(A—B) * =A *一*D.(A+B) *一定可逆7.设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA) *等于( )．（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n-1 A *D.k n(n-1) A *8.设A为n阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )．（分数：2.00）A.A=0B.A=EC.若A不可逆，则A=0D.若A可逆，则A=E9.设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．（分数：2.00）A.A的任意m个列向量都线性无关B.A的任意m阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多个解D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E m｜0)10.设P 1 2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=211.设 2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 112.设 2.00）A.当t=6时，r(Q)=1B.当t=6时，r(Q)=2C.当t≠6时，r(Q)=1D.当t≠6时，r(Q)=2二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设 2.00）填空项1:__________________14.设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E一A｜=｜E一2A｜=｜E一3A｜=0，则｜B -1+2E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________15.设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B｜—｜A｜=一4，则｜E—AB T｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________16.设A为n阶矩阵，且｜A｜一a≠0，则｜(kA) *｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________17.设A，B都是三阶矩阵， 2.00）填空项1:__________________18.设矩阵A，B满足A * BA=2BA一8E，且 2.00）填空项1:__________________19.= 1 2.00）填空项1:__________________20.设 2.00）填空项1:__________________21.设 2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(线性代数)-试卷36

考研数学三（线性代数）-试卷36(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则|B+E|=（）（分数：2.00）A.—6B.6√解析：解析：化简矩阵方程，构造B+E，用因式分解法，则有 A（B+E）+（B+E）=—E，即（A+E）（B+E）=—E，两边取行列式，由行列式乘法公式得 |A+E|．|B+E|=1因此选C。

3.设A，B均为n阶可逆矩阵，且（A+B）2 =E，则（E+BA —1）—1 =（）（分数：2.00）A.（A+B）BB.E+AB —1C.A（A+B）√D.（A+B）A解析：解析：因为（E+BA —1）—1 =（AA —1 +BA —1）—1 =[（A+B）A —1 ] —1 =（A —1）—1（A+B）—1 =A（A+B），所以应选C。

注意，由（A+B）2=E，即（A+B）（A+B）=E，按可逆矩阵的定义知（A+B）—1=（A+B）。

4.已知 A *是A的伴随矩阵，若r（A *）=1，则a=（）（分数：2.00）A.3B.20C.1D.1或3 √解析：解析：伴随矩阵秩的公式为a=1或3时，均有r（A *）=1。

因此应选D。

5.设α1 =（1，2，3，1）T，α2 =（3，4，7，—1）T，α3 =（2，6，a，6）T，α4 =（0，1，3，a）T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的（）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件√C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：n个n维向量的线性相关性一般用行列式|α1，α2，…，αn|是否为零判断。

线性代数同济第三版答案

线性代数同济第三版习题答案习题一答案(1-16)习题二答案(17-37)习题三答案(38-58)习题四答案(59-86)1利用对角线法则计算下列三阶行列式20 1(1)1 4 118 320 1解 1 4 118 32( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 80 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)24 8 16 4 4a b c(2)b c acaba b c解 b c acabacb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b3 c3x y x y (4) y x y xx y x y x y x y解 y x y xx y x yoo ox(x y)y yx(x y) (x y)yx y 3 4(x y)3x 33xy(x y) y 33x 2y x 3y 3x 32(x 3y 3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 23 34 2 1解逆序数为5 4 2 4 1 3 解逆序数为3(5)1 3(2n 1) 2 4 (2n)2ba2ca解逆序数为4 41 43 42 323 2 3 14 2 4 1, 212 1 4 1 4 3解逆序数为n(; °3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 74 7 6(3 个)(6) 1 3(2n 1) (2n) (2n 2) 2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个) 5 2 54 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 4 2(1 个) 6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana 23的项解含因子ana 23的项的一般形式为(1)tana 23a 3r a 4s其中rs 是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子ana 23的项分别是(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个) (2n 1)(2n 2) (n 1 个)3421) a ii a 23a 34a 42 a ii a 23a 34a 42(1)ta ii a 23a 34a 42 (4计算下列各行列式4207 202 1 125141 w o102M12341 oX — o 4121020211230 41100 q 7742 07o24d i d 9O 1790仃024 d i d i12311224236 112023152)o200 4 2 3411212312qn r0 2 024236 1120 23156q1122 4236 1120 2315 角0200 423 01120 2310aedeefg cd fa cb J J a d ccb b bfadaede efac1adfbce 114abcdef1 ab a (1)( 1)2 11 c 0 1°3 dc21 ab a ad1 c 1 cd 0 1 05证明:a 2ab b 2(1) 2a a b 2b (a b)3;1 1 1证明ax by ay bz az bx (2) ay bz az bx ax by azbx ax by ay bz证明O O 1 dO 1 c 1 1b 1o o1 d a 1 C 1 ba b1OO 1o oao o(1)( 1)3 21ab ad 1 1 cdabcd ab cd ad 1a 2 ab b22a a b 2b 1 1 1c2c3c1c1a 2a 1ab a2b a 0 b 2 a 22b 2a 0a22ab2b (b a)(b a)? b 2a (a b)3x y z (a 3 b 3)y z xz x yax by a y bz az bx ay bz a z bx ax by azbx a x by ay bzx y zy z x a 3 y z x b 3z x y z x yx y zx y zx y z a 3 y z x b 3y z xz x yz x yx y z (a 3 b 3)y z xz x yx ay bz az bx y az bx ax by bz y bz ay az bz azbx ax by ay x ay bz zy z az bxy az bx x b 2 z x ax by z ax by yx y ay bzby ay z ax ax x a 2a b e d /(%2222x \71111222 2 a b e d cca b e dr —l a be d2222x \7 x \7 11112 2 22 a b e da)1 d b b)(db a) 1b a) d(d b a)8855552a 2b 2c 2d33 332a 2b 2c 2d 1111a b c d2 2 2 222 2ao2 22 2 2 22 21111 ab e d2 22 2・2 41dd d 1 C C 24C 1b241d d d 1 C C 241b b2b41 1 0 b a 1 c a 1 d a 0 b(b a) c(c a) d(d a) 0 b(ba) e(c a ) d(da)11(b a)(c a)(d a) b cb(b a) c(c a1 1 (b a)(c a)(d a)0 c b0 c(c b)(c ba) d(d (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(cd 2(d =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a bed)假设对于(n 1)阶行列式命题成立D n 1 x n 1a 1 x n 2则D n 按第一列展开有xD n 1 a n x n a 1X n 1因此对于n 阶行列式命题成立n(n 1)证明 D 1 D 2 ( 1)丁D D 3 D证明因为D det(a ij )所以x ooox n a i x n 1a n 1X a n证明 o anoanX2a T —用数学归纳法证明当n 2时 D 2x 1 a 2 x a 1 x 2a 1x a 2命题成立6设n 阶行列式Ddet(a j ),把D 上下翻转、或逆时针旋转an1anna1nannannainD 2D 3a11aina11an1an1ai1依次得D 1a n 2X a n 1D n XD n 1 a n ( 1)n 1ooa n 1X a n90、或依副对角线翻转同理可证7计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)D na11 a,其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是0解aD n0 a（按第n 行展开）0 0 0 a 01 0 0 0 aan1anna11 aln D 1(1)n1an1anna11a1na21a2nal1 a21 a n1a1na2n ann1)n 21)n1(1)1 2(n 2) (n 1)D a3nn(n 1)丁 D (1)D 2 ( n(n 1) 1) 2aiin(n 1) 1) 丁 D Tn(n 1)(1) 丁 Dainann D 3 ( n(n 1)1) 丁 D 2n(n 1)1)丁( n(n 1)1) 丁 D (1)n(n 1)D D(n 2)(n 2)x a(2) D na Xa a解将第一行乘（1）分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得⑶D n 1解根据第6题结果有0 0(1)n1a 0(1)2naa0 aa0 0 0a 0 (n 1) (n 1)(n 1) (n 1)a (1)n1( 1)na na na n 2a n 2(a 21)aao o X o a ao o X a a o o X XX X X a a an OOa a o X a a o X aa OO[X (n 1)a](x a)n 10 0 x aa n(a 1)na n 1 (a 1)n 1(a n)n(a n)n 1n(n 1)D n1 ( 1) 2a n1a n 此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)1) 丁n 1 in(n 1)1) 丁n 1n(n 1)1) 丁D n1 (( i j 1 j )a n⑷D2na nD2n a1qc1(a(a[(aj 11)n 11)ni1)[(ij 1n (n 1) 11) —2j)]b nd nb nd n(a(a(an)n 1n)nj1)](i j)j 1（按第1行展开）a 1b 1 (1)2nh C 1 d 1C n 1 C n再按最后一行展开得递推公式D 2n a n d n D 2n 2 b n C n D 2n 2 即 D 2n (a n d n b n C n ) D 2n 2于是 D2nn(期 bC)D 2i 2而D 2a 1 $ C 1 da 〔d 1 b|C [n所以 D 2n(晌bc)i 1(5) D det(a ij )其中 a j |i j|; 解 a j |i j|n 1 n 2 n 3 n 4a ncn 1q biC i d id n 1 0 0 d n0 d n 1b n 1d n 1 012 3 4 nn n n321021011012dnD1111o X — X —X —X —X —X —4n3 n2 n o o oono oo002252n4n 2 3n 2Xn)2T — nnaT —T2 a T —a1TT — T — T —25o oonaT —T —oooaa ona1330 003233oo1 a — oo o 1 503q c20 0 q 10 0 a 210 0 a 310 1a n 11n 0 0 1 a ii 1尿3.)(18用克莱姆法则解下列方程组解因为n1 0 00 0 aj1 1 0 0 0 a ?10 1 1 0 0 a ?10 0 0 1 1 a n 110 0 0 0 1 1 a n 1a X!(1)2；3为 x2X32x 2 3x 2 X2 x 4 5X 3 X 3 2x3 4x4 5x 411x 40 0 1 014214 511123a n5 1 1 5 1 13 45142 D2450 1 11 0 11 D142522X12X —11234261451X —5220T —2DX4D33DX4R DX4dIDT —54X —00065 0065 1065101000 1 5100 0651 0001 0 6510 6 5100 5 100066X46冷5 2)00065 00651 06510 65100 51000 为因D0750006 5 00651 0651003O65O 0651 1 0001 6 5100 5 10002X — 2 1OOO100651 06510 65100 51000所以X1145 X2665703 X 3 X 43 665 M395 665212 X 4 4 665X X 2 X 3 09问取何值时齐次线性方程组 X ] X 2 X 3 0有非X! 2 X 2 X 3 0零解？解系数行列式为1 1D 1 11 2 1令DO 得0或 1(1 )x 1 2x 2 4X 3 010问取何值时齐次线性方程组 2X 1 (3 )X 2 X 3 0N X 2 (1 )X 3 0有非零解？解系数行列式为12 41 3 4 D3 12 1 11 11 0 1(1 )3( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )32(1 )23令D 0得于是当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解于是当 0 2 或 3 时该齐次线性方程组有非零解1 已知线性变换x 1 2y 1 2y 2 y 3 x 2 3 y 1 y 2 5y 3 x 3 3y 1 2 y 2 3y 3求从变量x i X 2 X 3到变量y i y 2 y 3的线性变换解由已知y 1 7x 1 4x 2 9x 3 y 2 6x 1 3x 2 7x 3 y3 3x1 2x2 4x3求从Z 1 Z 2 Z 3到X 1 X 2 X 3的线性变换解由已知12y 1y 2y 4312 y1y y 153x 1x 2x153212 233x 1x 2x 3y1y 2yx 1x 2xz 2z 33z3z z 1z 2y 1y 2yyy 1 y 12y 241 1 1 1 233设 A 11 1 B124 求 3AB 2A 及 A T B 1 1 10 511 11 1 2311 1 解 3AB 2A31 11 1 24 2 11 11 11 0 5111 10 5 8 1 1 12 13 2230 5 62 11 1 2 17 202 9 0 1 1 14 29 21 11 123 0 5 8A TB1 11 12 4 0 5 61 110512 9 04 计算下列乘积4317f(1 1 2 32570143 1 7 47 3 21 1 35解12 3 2 17( 2) 23 1 657 0 1 57 7 20 1 49z 1z 2zy 1y 2y125 031 224z 1z 2z394 3z 39z 3163 z 24z 2z z z 1z 10 6211x 1x 2x12 033 (2)(1 2 3) 21解(1 2 3) 2 (1 32 23 1) (10)12(3) 1 ( 1 2)32 2 ( 1) 22 24 解 1 ( 1 2) 1 ( 1) 12 123 3 ( 1) 32 361 3 1(A\ 2 1 4 0 0 1 2(4) 1 1 3 4 1 3 14 0 21 31解2 1 4 0 0 12 6 78 解 1 134 1 31 20 564 0 2a11 a12 a13 x1(5) (x1x2x3) a12a22 a23 x2a13 a23 a33 x3解a11 a12 a13 x1(x1 x2 x3) a12 a22 a2 x2a13 a23 a33 x3(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1x1 a23x2 a33x3) x25 设 A 1123B 11 2问(1) AB BA 吗? 解 AB BA因为 AB 4364BA 13 82所以 AB BA(2) (A B)2 A 2 2AB B 2吗?解 (A B)2 A 2 2AB B 2因为 A B2 2(A B)2 22 52 22 25 184 1249所以 (A B)2 A 2 2AB B 2(3)(A B)(A B) A 2 B 2 吗? 解 (A B)(A B) A 2 B 2因为 A B22 25A B 222510 34故 (A B)(A B) A 2 B 26 举反列说明下列命题是错误的(1) 若 A 20 则 A 0解取 A 01 则 A 20 但 A 0(A B)(A B) 而A 2B238 4 11 222 a 11x 1 a 22x 2 a 33x 32a12x 1x 2 2a 13x 1x 32a23x 2x 3A 2 2AB B 2431816 8 1 0 10 16 8 12 3 4 15 27(2) 若A2 A 则 A 0 或 A E解取 A 0101则A2 A 但 A 0 且 A E (3)若AX AY 且 A 0 则X Y解取A 10X11 111 1 00 11 01则AX AY 且 A 0 但X Y7 设 A 101 求A2A3A k解A21011011021A3A2A10211011031Ak1 k1108 设 A 0 1 求A k0 0解首先观察1 01 0 22 1A 210 1 0 220 00 00 0 233 23A A 2A0 33 20 0344 3 6 2A 4A A0 44 30 0455 4 10 3A A 4A0 55 40 05k(k 1) k 2A k用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，kk k 1 k(k 〔) k 220 k k k 10 0 kk 1(k 1) k1(k 1)k k12 0 k 1(k 1) k10 0k 1A k 1A kA由数学归纳法原理知k(k 1) k2A k9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵证明因为A T A所以(B T AB)T B T(B T A)T B T A T B B T AB从而B T AB是对称矩阵10设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A T A B T B且AB BA所以(AB)T(BA)T A T B T AB即AB是对称矩阵必要性因为A T A B T B且(AB)T AB所以AB (AB)T B T A T BA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解A 12 |A| 1故A1存在因为A* A11 A21 A12 A22故A 1丄A*5 2|A|2 1(2)cos sinsin cos解 A cossin Al 1 0故A 1存在因为sincosA An A21cos sinA2 A22sin cos 所以A 1丄A*cos sin|A|sin cos1 2 1⑶ 3 4 25 4 11 2 1解 A 3 42 |A| 2 0故A 1存在因为5 4126M4113212 3AAS f12 312 3A 1- 21 13 74—A2 a aao an32 q o1 a i 丄 a212解下列矩阵方程 (i)13 x 216i解 x 152162 1 1(2)X 2 1 01 1 1a ia2由对角矩阵的性质知1 3 1 4 1 3 3 22 3 3 3 2 02 512 34 2 X2 1 0 13 0 1 1T —A 13 54 6 2 23 12 2 1 0 811 4 3 12 01 2 0 1 111 2 43 112 1 10 11 6 6 1 012 3 0 1 20 1 0 1 0 0 1⑷1 0 0 X 0 0 120 0 1 0 1 01解 Xioo 1.l o o3 1040 2.1211 0 1 21-0 4 3 0 1 2 0110 0 10 1 4 1 0 0 2 0 0 0 1 1 2 3 1 0 02 1 0 1001 134 0 0 10 1 0 213利用逆矩阵解下列线性方程组为 2x 2 3X 3 1(1) 2X( 2X 2 5X 3 2 3X 1 5X 2X 331 2 312 2 5 X 22 3 5 1 X33X 121故X22X35解方程组可表示为x1 1从而有x2 0x3 0x1 x2 x3 2 (2)2x 1x2 3x3 13x12x25x 3 0解方程组可表示为x1 5故有 x 2 0x3 314设A kO (k 为正整数)证明(E A) 1E A A 2A k 1证明因为 A k O 所以 E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1) 所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆且(E A) 1E A A 2A k 1证明一方面有 E (E A) 1(E A) 另一方面由 A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1 (A k 1 A k)(E A A A k 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)21x 1x 2x135 12 502113X — X —12x 1x 2x两端同时右乘(E A) 1就有(E A) 1(E A) E A A2A k 115设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆并求 A 1及(A 2E) 1证明由A2 A 2E O得A2 A 2E 即A(A E) 2E或A2(A E) E由定理2推论知A可逆且A1 *A E)由A2 A 2E O得A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E1或(A 2E) 4(3E A) E由定理2推论知(A 2E)可逆且(A 2E) 1 *3E A)证明由A2 A 2E O得A2 A 2E两端同时取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0所以A 可逆而A 2E A 2 A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆A 1A(A E) 2A 1E A 11(A E)A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E(A 2E)(A 3E)4 E16设A 为3阶矩阵|A|号求|(2A) 15A*|解因为A 1-1,A*所以|A||(2A) 15A*| ||A 1 5|A|A 1| |^A 1|A 1|| 2A 1| ( 2)3A 1| 8|A| 18 2 1617设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆 (A*) 1(A 1)*|A*| |A|n|A 1| |A|n 1从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1 |A| 1A 又 A ^(A 1)* |A|(A 1)* 所以|A |(A*) 1 |A| 1A A| 1|A|(A 1)* (A 1)* 18设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*证明A 2A 2E OA(A E) 2E又由所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E) 1(A 2E)4(3E A)证明由A 11寸*得A* |A|A 1所以当A 可逆时(1)若|A| 0 则|A*| 0(2)|A*| |A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*| 0则有A*(A*) 1 E由此得A A A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O所以A* O这与A*| 0矛盾，故当|A| 0时有|A*| 0(2)由于A 1占A*则AA* |A|E取行列式得到|A||A|A*| |A|n若|A| 0 则|A*| A|n 1若|A| 0由(1)知|A*| 0此时命题也成立因此|A*| |A|n 10 3 319 设 A 110 AB A 2B 求 B1 2 3解由AB A 2E可得(A 2E)B A 故2 3 3 0 3 3 0 3B (A 2E)1A 1 1 0 1 1 0 1 21 2 1 1 2 3 1 11 0 120 设 A 0 2 0 且AB E A2 B 求B1 0 1解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)0 0 1因为|A E| 0 1 0 1 0 所以（A E）可逆从而1 0 02 0 1B A E 0 3 01 0 221 设 Adia ig(1 2 1) A* BA 2BA 8E求B解由A* BA 2BA 8E得(A* 2E)BA 8EB 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A) 18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A) 14[diag(2 1 2)] 11 14diag(2，1,12diag(1 2 1)22已知矩阵A的伴随阵A*且ABA 1 BA 1 3E 求B0 0 0 8 nu o 1 o解由 |A*| |A|3 8 得 |A| 2 由 ABA 1 BA 13E 得AB B 3AB 3(A E)1 A 3[A(E A1)] 1A3(E 2A *) 16(2E A*) 11 0 0 16 0 0 060 611 00 6 0 00 16 0 6 00 3 060 3 0 123 设 P 1AP 其中P 1 1 411 00求A 1 解由 P 1AP得 A P P 1所以 A 11A=P 11P 1.|P| 3P* 1 4 1 1P 11 3 1 1 4 1111 0 111 00 20 2111 4A 111 4 1 03 3 2731 27321 1 0 2111 1 683 684331 1 1124 设AP P其中P 1 0 211 1 15(A) A 8(5E 6A A 2)解()8(5E i 62)而故求 idiag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 00) (A) P ()P 11P()P*|P|1 1 1 1 0 02 2 2 2 1 0 2 0 0 03 0 3 11 1 0 0 0 12 11 11 4 111 1 1 125设矩阵A 、B 及AB 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A 1B 1可逆A E EB 1 A AB 〔 B 2 O A ^ O B 2 O A 2B 2113126 计算0 0 2 1 0 0 0 2 2 1 30 0 3 0 03解设A1 02 1A 2 0 1 3B 12 1B 2(A 1 B 1) 1 [A 1(A B)B 1] 1 B(A B) 1A2 3 0 3AB1 B 212 3 10 12 1AB 21 2 3 4 3A2B?0 3 0 3 0 9|A| |B||C| ID|A| |B|C| ID求|A8及A4解令A 3 43厲2 2A8 AO8 A8 OA O A2 O A 82 0 0 00 2 0 01 0 1 0 0 1 0 110 100 10 110 10 0 1 0 1 2 010 0 20 1所以A E E $O A2 O B2A A|B i B2O A2B212 5 20 12 40 0 4 30 0 0 912 10 10 10 103 1 12 5 22 1 0 12 43 32oooo o132oooo o394oooo o27 取 A B 验证A D|A||B28设ALifoL8L<0-8 oCOuoSS<O ?S88T —T —<C O o 8m O CXI寸Q QCO寸L4o o o oo<LCOQ Q山O o 山 T —<oT —O co CO寸L4o o o o < < co co O co 厂<O O coQ OCXI寸Q QLCOQ QeAT)L1J o 08CJ 8 寸 o d O H o L1J o <o <00< oeAT)(L)KI KIO KI C9寸9 0OWNC O L92』V _<二鲨一一N=<1A O 1 A 1OC B B 1CA 1 B 130 求下列矩阵的逆阵5200(1) 2 1 0 0 (1)0 0 8 3 0052设A 52 21 B 8 5 3 2 则A11 5 21212 5 B13212 5 3852 21 1 A 1 A12 5设A 1 12 B3 1 04 C 21 12则1 12 1 0 2 1 2 0 03 1 1 01 0 0 4 A C O B 1A 1B 1CA 1OB1解032 085 000 100 003 200 021 112 2320 0 0 0 10 3 1 1 12 41 12 1 2 1 8o 1 2 1 6 5 241 把下列矩阵化为行最简形矩阵1 02 1(1) 2 0 3 13 04 31 02 1~ 0 0 1 3 (下一步 r 3 r 2 ) 0 0 1 0( 下一步 r 3 3 )1 02 1~ 0 0 1 3 (下一步 r 2 3r 3 ) 0 0 0 12 1 1 0 0 01 0 (下一步 r 1 ( 2)r2 r 1 r3 ) ~ 0 0 1 0 0 1 0 0 0 110 2 1 解20 3 1 (下一步 r 2 ( 2)r 1 r 330 4 31 02 11 3 ( 下一步 r2 ( 1) r3 ( 2) )20~ 0 0 000 2 3 1(2) 0 3 4 30 4 7 102 3 1解0 3 4 3 ( 下r2 2 ( 3)r1 r3( 2)r)0 47 15)0 2 3 10 0 1 3 （下一步 r 3 r 2 r 1 3r 2 ） 0 0 1 353 01 10 0021r步下3 1 0 0 310 442 353 132 1323 4 r 1 r 2 3 1 3 2 r 步下310 442353 132132解3)oX — 23rX —X — XX —3)XXX740 323 108 322 213 )2 3 1 3 7解 332 3 40(下一步 r 1 2r 2 r 3 3r 2 r 4 2r 2 )2 3 7 4 30 1 1 1 11 2 0 2 4~0 8 8 9 12(下一步 r 2 2r 1 r 3 8r 1 r 4 7r 1 )0 7 78 111 1 1 10 2 0 2~0 0 0 1 4( 下一步 r 1 r 2 r 2 ( 1) r 4 r 3 )0 0 0 1 41 02 0 2 1 020 20 1 1 1 0 11 0 3 ~0 01 41 (下一步 r2 r3 )~ 0 00 1 4 0 00 00 000 00 1 0 1 0 12 设 1 0 0 A 0 1 00 0 1 0 0 10101 0 0 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身001 1010 1 0 是初等矩阵 E(1 2(1)) 其逆矩阵是 0013 0 1E(1 2( 1)) 0 1 00 0 11234 5 6 求 A 7891001 1036 25 1400 104 5 6 1 0 1 4 5 1 2 3 0 1 0 1 2 7 8 9 0 0 1 7 83 2 1 (1) 3 1 53 2 33 2 0 3/2 0 1/23 0 0 7/2 29/2〜0 1 0 11 0 1 0 1 12 0 0 2 1 00 0 1 1/2 01/21 0 0 7/6 2/3 3/2〜0 1 0 1 1 20 0 1 1/2 0 1/230 10 2 1(2) 123 20 12 12 0 1 1 0 0 02 2 1 0 1 0 0 解2 3 2 0 0 1 00 1 2 1 0 0 0 13试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵o O 1 O1 OT — T —1422 10 30 0 o O1 O 1 O1 o O1532 123 3 3角3一 221- 22 3107- 611- 2故逆矩阵为1 00 01 2 4 ~0 10 01 0 1 ~0 01 0 1 1 3 6 0 00 1 2 16101 12 4故逆矩阵为0 11 0 3 1 61 6 10412 134 (1) 设 A 2 21 B2 2 求X 使AX B 311 3解因为010 103 000 001 215 329 214 014 103 000 001 211 321 210 014103000 001 211 321210216 di101000 001 2104 1 2 1r 1 0 010 2 (A, B) 2 2 1 2~0 1 0 15 3 3 1 1 30 0 112 410 2所以 X A 4B 15 312 42 13 B21 5361求 X 使 XA B3 3 42 3 1解考虑 A T X TB T因为2324从而 X BA1 2 1 11 1 00 1 1 AX 2X A 求 X 101解原方程化为 (A 2E)X A 因为1 1 0 1 1 0( A 2E, A) 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 14 0 0 0 1 1 ~ 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0所以X T (A T ) 1B T17 14(2) 设 A24 (A T ,B T)13170 1 1所以X (A 2E) 1A 10 11 1 06在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r 1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r阶子式10 0 0例如 A 0 10 0 R(A) 30 0 100 00 0 00 0是等于0的2阶子式1 0 0是等于0的3阶子式0 00 1 07从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样？解R(A) R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵1 0 0 0 01 1 0 0 01 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式310 2（1） 1 1 2 1 ;13 4 43 1 0 2解 1 1 2 1 （下一步/ r1 r2 )1 3 4 4 1 12 1〜3 1 0 2 （下一步F r2 3r1 r3 r1 )1 3 4 41 12 1 1 1 2 1〜0 4 6 5 （下一步r3 r2 ) ~ 0 4 6 50 4 6 5 0 0 0 0 矩阵的秩为2 7 14是一个最高阶非零子式3 2 1 3 1⑵2 1 3 1 37 0 5 1 87 2 13 2解 2 13 13 (下一步门r2 r2 2门r3 7r1 )7 0 5 1 81 3 4 4 10 7 11 9 5 （下一F r 33r ) 0 21 33 27 153 4 1 (1 7 11 9矩阵的秩是23 2 7是一个最咼阶非零子式2 13r3r 247 5 0 03 7 8 2 8 0 5 3 13 2 0 2 2 3 13)3 7 8 2 8 0 5 3 13 2 0r 212r步(T-7 5 0 013 2 2 2 6 4 313 2 02 6r141步(T-7 6 4 0 x — X — 10 0 2 2 0 0 3 1 o o o7 10 0 10 0 2 2 0 0 3 1 o o o o o o 10 7 10 2 10 0 3 2 0 0 o 1 o o 1 o o o。

考研数学3考试评分细则及考试范围

4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．
6．会用洛必达法则求极限．
7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．
考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．
3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．
4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．
5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．
5.了解分块矩阵的概念，掌握ຫໍສະໝຸດ 块矩阵的运算法则．三、向量
考试内容
向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．
9．会描述简单函数的图形．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用