学业水平考试分类汇编---解析几何

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2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（ 2017 课标全国Ⅰ，理 10）已知 F 为抛物线 C ： 24y x 的交点，过F 作两条互相垂直 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点， AB DE 的最小值为（） A ． 16 B ． 14 C ． 12D ． 10【答案】 A 【解析】设A B 倾斜角为．作 AK 1 垂直准线， AK 2 垂直 x 轴 AF cosGFAK（几何关系） 1易知 A KAF 1（抛物线特性）PPGP P2 2 ∴ AF cosP AF同理 PAF，1 cosP 2P2PBF， ∴22AB 1 cos1 cos sin又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 π 2DE2sin2P 2P 2π cos2，而24yx ，即 P 2 ．11ABDE 2P∴22sincos4 2 2 sin cos 2 2sin cos422sin cos1 4 42 sin 2162sin 2≥ 16 ，当π取等号，即 ABDE 最小值为 16 ，故选A42．（ 2017 课标全国Ⅰ，理 15）已知双曲线 C : 2 2x y 2 2a b，（ a 0 ， b 0 ）的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，若 MAN 60 ，则C 的离心率为 _______．2 3【答案】3 【解析】如图，1HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何OA a ，AN AM b∵MAN 60 ，∴ 3AP b ，22 2 23 2 OP OA PA a b4∴tanAPOP32b32 2a b4又∵tanba ，∴3b22 23a b4ba，解得a2 3b2∴ e2b1 12a1 2 33 33．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12 分）已知椭圆 C ：2 2x y2 2 1a ba b 0 ，四点P1 1，1 ，P2 0，1 ，3 3P ，， 41 P ，中恰有三点在椭圆 C 上．1 32 2（1）求C 的方程；（2）设直线l不经过P点且与 C 相交于 A 、B 两点，若直线P2 A与直线P2 B 的斜率的和为1，证明：l 过2定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过P3 、P4 又P4 横坐标为1，椭圆必不过P，所以过P2 ，P3 ，P4 三点13P 0，1 ，P 1，代入椭圆方程得将2 3212b13 ，解得a24 ， 2 1b1 4 12 2a b∴椭圆C 的方程为：2x42 1y ．（2）①当斜率不存在时，设l : x m，A m，y ，B m，yA Ak k P A P B2 2 y 1 y 1 2A Am m m1得m 2 ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l∶y kx b b 1 ，A x ，y ，B x ，y1 12 22HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何y kx b联立 2 2x 4y 4 0 ，整理得 2 2 21 4k x 8kbx 4b 4 08kb x x1 2 21 4k ，24b 4 x x1 2 21 4k，则k kP A P B2 2 y 1 y 11 2x x1 2x kx b x x kx b x2 1 2 1 2 1x x1 22 28kb 8k 8kb 8kb21 4k24b 421 4k8k b 14 b 1 b 1 1，又b 1 b 2k 1，此时64k ，存在k 使得0成立．∴直线l 的方程为y kx 2k 1当x 2 时，y 1，所以l 过定点 2 ， 1 ．2 2x y4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线 C : 1(a 0，b 0) 的一条渐近线被圆2 2a b2 y2(x 2) 4所截得的弦长为 2 ，则C 的离心率为2 3A．2 B． 3 C． 2 D．3【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线2 2x y2 2 1 0, 0a ba b的渐近线方程为bx ay 0 ，圆心2,0 到渐近线距离为 2 2d 2 1 3 ，则点2,0 到直线b x a y 0 的距离为d 2b a 0 2b2 2a bc 3 ，即2 24(c a )2c3，整理可得2 4 2c a ，双曲线的离心率e2c2 4 2a．故选A．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式 e ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，2 2 2 结合 b ＝c －a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．25．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线C : y 8x 的焦点，M 是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N . 若M 为FN 的中点，则FN . 【答案】6【解析】3HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F' ，作MB l 与点B ，NA l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为x 2 ，则A N 2 , F F ' 4，在直角梯形ANFF' 中，中位线AN FF 'BM 3，由抛物线的定义有：2MF MB 3，结合题意，有MN MF 3，故FN FM NM 3 3 6．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2x2 6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12 分）设O为坐标原点，动点M 在椭圆 1C : y 上，2过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP 2NM .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x 3上，且OP PQ 1. 证明：过点P且垂直于OQ 的直线l 过 C 的左焦点 F .2 y2 2 x解：（1）设P( x，y) ，则) ，所以点P的轨迹方程M (x，y ，将点M 代入C中得 12 2 22 y2为x 2.（2）由题可知 F ( 1，0) ，设Q(3，t)，P( m，n)，则OQ ( 3，t)，PF ( 1 m，n)，OP (m，n)，PQ ( 3 m，t n).由OP OQ 1得3m 1 ，由（1）2 tn n2 mm2 n2 ，则有3 3m tn 0，所以OQ PF 3 3m tn 0，即过点有 2P且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A= 2 2(x, y│) x y 1 ，B= (x, y│)y x ，则A B 中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．0【答案】 B4HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何【解析】A表示圆 2 2x y 1 上所有点的集合， B 表示直线y x 上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线 C2 2x y2 2 1a b(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为5y x ,2且与椭圆2 2x y12 31 有公共焦点，则 C 的方程为A.2 2x y8 101 B.2 2x y4 51 C.2 2x y5 41 D.2 2x y4 31【答案】 B5 b 5【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x，则①2 a 2 2 2x y2 2 2又∵椭圆 a b c 9②1与双曲线有公共焦点，易知 c 3，则12 32 2x y由①②解得a 2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为 14 5，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C：2 2x y，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，2 2 1a b且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为A.63B.33C.23D.13【答案】 A【解析】∵以A1 A2 为直径为圆与直线bx ay 2ab 0 相切，∴圆心到直线距离 d 等于半径，∴2abd a2 2a b又∵a 0,b 0 ，则上式可化简为 2 3 2a b∵ 2 2 2b ac ，可得 2 3 2 2a a c ，即22ca23∴ e ca63，故选A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，AB 1 ，AD 2 ，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切5HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何的圆上．若A P AB AD ，则的最大值为（） A ．3 B ． 2 2C ． 5D ．2【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接C E ．以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，AB 为 y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为 (2,1) ． ∵ | CD | 1， | BC | 2 ． ∴ BD12225 ．∵ BD 切 C 于点 E ．y∴ CE ⊥ BD ．P g∴ CE 是 Rt △BCD 中斜边B D 上的高．1 2| BC | | CD | 2222S△ BCD| EC |5| BD | |BD |55即 C 的半径为 2 5 5．P C ∵在上．CBEA O D x( )∴ P 点的轨迹方程为2 24 (x 2)(y 1)5．设 P 点坐标 (x 0 , y 0 ) ，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：x225 cos 5y215 sin 5而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1)， AD (2,0) ． ∵ APAB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴21 5y15 sin ．x1cos ，525两式相加得：251 5 sin1cos5 52 55222 ( ) ( ) sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中sin55，cos2 55)当且仅当π22kπ，k Z时，取得最大值3．6HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P（4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解：（1）设A x ,y,B x , y ,l : x my1 12 2 2由x my2y 2x2可得 2 y 2my 4 0,则y y41 2又22 2y yy y1 2 1 2x1 = ,x2= ,故x1 x2 = =42 2 4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y1 2x x1 2-4= =-14所以OA⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得 2y1+y2 =2m,x1 +x2=m y1+y2 +4=2m 4故圆心M 的坐标为m m ，圆M 的半径2 +2，2 +2，22 2 2 r m m由于圆M 过点P（4，-2），因此AP BP 0 ,故x x y y1 42 4 1 2 2 2 0 即x x x x y y y y1 2 4 1+ 2 1 2 2 1 2 20 0由（1）可得y1 y2 =-4 ，x1x2=4 ，所以 22m m 1 0，解得1 m 1或m .2当m=1 时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 的半径为10 ，圆M 的方程为 2 2x 3 y 1 10当1m 时，直线l 的方程为2x y 4 0，圆心M 的坐标为29 1，-4 2，圆M 的半径为854，圆M 的方程为2 29 1 85+ +x y4 2 162 2x y12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的2 2m n 3m n距离为4，则n 的取值范围是7HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何（A ） ( 1,3 )（B ） ( 1, 3)（C ） (0 ,3)（D ） (0, 3)【解析】：22xy221 mn 3m n表示双曲线，则 2 3 2mn mn，∴2 2m n 3m由双曲线性质知： 223 24 2cm nm n m ，其中 c 是半焦距，∴焦距 2c 2 2 m 4 ，解得 m 1∴ 1 n 3，故选A ．13（. 2016 课标全国Ⅰ，理 10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D ,E两点，已知 AB 4 2 , DE 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 2y px p 0 ，设圆的方程为 2 222x y r ，如图：设 p A x 0,2 2 ， D, 5 ，点 2A x 0,2 2 在抛物线 2 2 y px 上，∴ p 8 2px ⋯ ⋯ ①；点 D, 5 在圆22 2 2x y r 上，2pF∴2A x 0 ,2 2在圆r ⋯ ⋯ ②；点522 2 2x y r上，∴22x r ⋯ ⋯ ③；联立①②③解得： p4 ， 0 8焦点到准线的距离为 p 4 ．故选B ．13.（2016 课标全国Ⅰ，理 20）（本小题满分 12 分）2yx 2设圆 x215 0的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C, D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．（Ⅰ）证明E AEB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1于 M , N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形M PNQ 面积的取值范围． 4 3【解析】：⑴圆 A 整理为 2 2xy，A 坐标 1,0 ，如图，1162CQ BE ∥AC ，则 ∠C ∠EBD ，由 ACAD ,则∠ D ∠C ，1Ax ∠∠，则EB ED ，AEEB AE ED AD 4 | AB |EBD D根据椭圆定义为一个椭圆，方程为2 2x y4 31，( y 0 )；4 2 2 4BE123D48HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何⑵2 2x yC1 : 1；设l : x my 1 ，因为PQ⊥l ，设PQ : y m x 1 ，4 3P 432 2 236m 36 3m 4 12 m 12 22| MN | 1 m | y y | 1 mM N2 23m 4 3m 41Nx my 1A2 23m 4 y 6my 9 0 则4 2 2 4B，1联立l与椭圆C1 ： 2 2x y4 31Q M2圆心A到PQ 距离d| m 1 1 | | 2m |2 21 m 1 m，34所以 2 2| PQ | 2 | AQ | d 2 162 24m 4 3m 42 21 m 1 m，2 2 212 1m m m1 1 4 3 4 24 1 1S | MN | | PQ | 24 12,8 3 MPNQ2 2 212 2 3m 4 1 m 3m 4 32m 114.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆 2 2 2 8 13 0x y x y 的圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，则a= （）（A） 43 （B） 34 （C）3 （D）215.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知F1, F2 是双曲线E2 2x y: 12 2的左，右焦点，点M 在E 上，MF1 与xa b轴垂直，sin1MF F ,则E 的离心率为（）2 13（A） 2 （B）32（C） 3 （D）29HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何16.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12 分）已知椭圆E:2 2x yt 31的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k 0) 的直线交E 于A,M 两点，点N 在 E 上，MA NA．（Ⅰ）当t 4,| AM | | AN | 时，求AMN 的面积；（Ⅱ）当2 AM AN 时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.10HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为. 因此直线的方程为.将代入得. 解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此. 等价于，即. 由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.17.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F 是椭圆C ：2 2x y2 2 1(a b 0)a b 的左焦点，A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，,与y 轴交于点 E .若直线BM 经过OE 的中点，则 C 的离心率为（）1 12 3（A）3（B）2 （C）3 （D）4【答案】A11HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得a,c的值，进而求得 e 的b值；（2）建立a, b,c 的齐次等式，求得置，求出e．a或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位19（. 2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：mx y 3m 3 0 错误！未找到引用源。

高中数学学业水平考试必修部分知识提纲(有部分答案)

必修部分知识点汇总第一部分函数 21、映射2、定义域3、值域4、图像5、解析式6、单调性7、奇偶性8、对称性9、周期性10、指对运算11、指对函数12、幂函数13、反函数第二部分算法 61、算法特征2、算法框图第三部分随机抽样和样本估计总体71、随机抽样2、样本估计总体3、变量相关性第四部分立体几何81、简单几何体2、线面关系3、直观图和三视图第五部分解析几何101、平面直角坐标系基本公式2、直线的几种形式3、两直线位置关系4、点到直线距离5、圆的标准方程6、圆的一般方程7、直线与圆的位置关系8、圆与圆的位置关系第六部分三角函数131、角度值和弧度制2、三角函数基本运算3、三角恒等变换4、三角函数图象第七部分解三角形17 第八部分等差数列、等比数列18 第九部分平面向量201、向量的坐标运算2、向量的坐标运算3、向量的数量积第一部分函数基本知识一、映射1、构成映射的基础条件：A 不余且象唯一。

2、映射的要素：3、构成映射的个数：A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则B A f →:的映射个数是mn 个二、定义域 1。

定义域的求法（1）具体函数的定义域基本原则：①分母；②偶次方根被开方数；③对数的真数，对数的底数；④0的0次幂（2）复合函数的定义域1）)]([x g f 的定义域为[a,b ]指的是 ; 2）已知)(x f 的定义域为[a ,b ],求)]([x g f 的定义域，是指。

3）已知)]([x g f 的定义域为[a ,b ]，求)(x f 的定义域是指三、值域（1）函数法1）直接法（如121--=x x y ）2）配方法（如f (x )=-x 2+x +2, x ∈[-1,5]）3）单调性法（如x x y ++=3）4）复合函数法（如)25(log 221x x y -+=（2）图像法y=|x -2|+|x +1|）（3）方程法（如x x y sin 22sin -+=）（4）均值不等示法（1432-++=x x )x (f ，x >1）（5）换元法（如f (x )=cos2x +3sin x +3）（6）导数法（如()[]()33133,x x x x f -∈+-= 四、图像作图（1）描点法（2）图象变换① 平移变换 )()(a x f y x f y +=→= 向平移个单位；以代换b x f y x f y +=→=)()( 向平移个单位；以代换 )()(b ax f y ax f y +=→= 向平移个单位；② 伸缩变换 )0)(()(>=→=a ax f y x f y 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 )0)(()(>=→=a x Af y x f y 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 )0)(()(>+=→+=a b ax f y b x f y 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 ③ 对称变换 )()(x f y x f y -=↔= 关于对称；以代换)()(x f y x f y -=↔= 关于对称；以代换 )()(x f y x f y --=↔= 关于对称；以代换)()(1x f y x f y -=↔= 关于对称；以代换)(x f y = 关于a x =对称的图象解析式是 )(x f y = 关于b y =对称的图象解析式是 )(x f y = 关于),(b a 对称的图象解析式是④ 翻折问题|)(|)(x f y x f y =→= ： |)(|)(x f y x f y =→=: ||)(||)(x f y x f y =→=:五、函数的解析式（1）换元法：最基本最重要的方法，例如已知(21)21xf x -=-，求函数)(x f 的解析式（2）配凑法：例如已知221)1(xx x x f +=+，求f(x)的解析式（3）待定系数法：已知函数类型如一次函数、二次函数、正比例、反比例函数等常用此法例如二次函数的曲线过原点，且f (1)=3,f (-1)=1,求)(x f 的解析式（4）构造方程组法：当一个表达式中x ,-x ;或x ,x1同时出现时常用此法。

数学解析几何的常见题型解析

数学解析几何的常见题型解析解析几何是数学中的分支学科，通过运用代数和几何的知识，以方程和不等式为工具，研究几何对象的性质和关系。

解析几何的题型主要包括直线方程、曲线方程、平面方程和空间曲面方程等。

本文将对解析几何的常见题型进行解析。

一、直线方程的解析1. 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

2. 斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

3. 点斜式方程直线的点斜式方程为(y - y₁) = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上的一点，k是直线的斜率。

二、曲线方程的解析1. 圆的方程圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

3. 双曲线的方程双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

三、平面方程的解析1. 一般式方程平面的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B和C不同时为0。

2. 法向量和点的关系式平面的法向量为（A，B，C），平面上一点为（x₁，y₁，z₁），则平面方程为A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0。

四、空间曲面方程的解析1. 球的方程球的标准方程为(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²，其中（a，b，c）是球心的坐标，r是球的半径。

2. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程根据不同类型的圆锥曲线而不同，比如椭圆锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²) = 0，双曲锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)= 1等。

2024年高考数学分类汇编七解析几何

2024年高考数学分类汇编七解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（） A．4B ．3C ．2D 3．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++−=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．4．（2024·北京）求圆22260x y x y +−+=的圆心到20x y −+=的距离（）A ．B ．2C ．D 5．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x −=B ．22184x y −=C ．22128x y −=D ．22148x y −=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2−，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =− B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为． 9．（2024·北京）已知双曲线2214x y −=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25−+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . (1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ． (1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．答案详解1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】由题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选：C. 3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =−，代入直线方程0ax by c ++=得 20ax by b a ++−=，即()()120a x b y −++=，令1020x y −=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=−⎩，故直线恒过()1,2−，设()1,2P −，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ==24AB AP ==.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=，则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==，故选：C. 5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=−，求得112PF k =−，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin90PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ==，由1212112822PF F SPF PF m m =⋅=⋅=得m =，则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a −==a b === 所以双曲线的方程为22128x y −=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >−4x a −=，04a −=，解得2a =−，故A 正确.对于B24x +=，而2x >−，()24x +=.当0x y ==()2844=−=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =−−+，取32x =，则2641494y =−，而64164525624510494494494−−−=−=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =−−≤++，故0004422y x x −≤≤++，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x −，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =−是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x −，A 的圆心(0,4)到直线=1x −的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ==B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244PP y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P −，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B −，42201PA k −==−−，4220(1)AB k −==−−，不满足1PA AB k k =−；当(1,2)P −时，(0,4),(1,2)A B −，4(2)601PA k −−==−−，4(2)60(1)AB k −−==−−，不满足1PA AB k k =−；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题， (0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k −=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y −+=， 2164301360∆=−⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t −，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t −+=，2164301360∆=−⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b−=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a −=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y −=，解得y =设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =−，联立()22143x y y k x ⎧−=⎪⎨⎪=−⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k −+−−=，由题意得2140k −=或()()()2222Δ244364140k k k =++−=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意. 故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0. 故答案为：()4,0. 11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25−+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧−+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +−=，故4x =或6x =−（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±−即4340x y −−=或4340x y +−=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4512．【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为故答案为： 13．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=.【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x −=−，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可. 【解析】（1）由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk −==−−，则直线AP 的方程为132y x =−+，即260x y +−=，AP =，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，=6C =或18C =−，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=−⎩或332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，当()0,3B −时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=，当33,2B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，此时12l k =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=，当18C =−时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩得22271170y y −+=，227421172070∆=−⨯⨯=−<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=. 法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B到直线AP 的距离d =设()00,B x y，则22001129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或0003x y =⎧⎨=−⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π=联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=−⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B −，16392PABS=⨯⨯=，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠−，解得0x =或22443kx k −=+，0k ≠，12k ≠−，令22443k x k −=+，则2212943k y k −+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭ 同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B 到直线AP的距离d ==32k =，此时33,2B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则得到此时12l k =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=，综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x −=−，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=−+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +−−+−−=， ()()()2222Δ24124433636270k kk k k =−−+−−>，且AP k k ≠，即12k ≠−，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧−+=⎪⎪+⎨−−⎪=⎪+⎩， A 到直线PB距离192PAB d S ===， 12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=. 法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABPS=⨯⨯=≠不满足条件. 当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =−+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=−+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭， ()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=−−+−−> ⎪⎝⎭，且12k ≠−，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k −−−−==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=−=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意. 则直线l 为12y x =或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=.14．(1)23x =，20y = (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【解析】（1）由已知有22549m =−=，故C 的方程为229x y −=. 当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y −=联立得到22392x x +⎛⎫−= ⎪⎝⎭.解得3x =−或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q −，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =−+，与229x y −=联立，得到方程()()229n n x k x x y −−+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx −−−−−−=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =−+和229x y −=的公共点，故方程必有一根n x x =. 从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k −−−=−=−−，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +−=−+=−. 所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫−−+− ⎪−−⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x−−−−，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+−+− ⎪−−⎝⎭. 这就得到21221n n nn x k x ky x k ++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−. 所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++−+−−=−−− ()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=−=−=−−−−−. 再由22119x y −=，就知道110x y −≠，所以数列{}n n x y −是公比为11k k+−的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =，(),UW c d =，则12UVWSad bc =−.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：211sin ,1cos ,22UVWS UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅−()222211122UV UW UV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅⎪=⋅−=⋅−⋅⎪⋅⎭==12ad bc ==−. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n nn x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=−−−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−，故利用前面已经证明的结论即得 ()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==−−−+−− ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=−−−−− ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=−+−−− 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−+−+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++−+⎛⎫−=−=− ⎪+−⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++−−−=−−−. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++−−+=−−+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++−−=−−.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−. 所以3n n P P +和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P SS+++++=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.15．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b ，故椭圆方程为22143x y +=.（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=，故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−−()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．(1)221,42x y e +==(2)2t =【分析】（1）由题意得b c ==a ，由此即可得解；（2）说明直线AB 斜率存在，设(:,AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k −−+==++，而()121112:y y AD y x x y x x −=−++，令0x =，即可得解.【解析】（1）由题意b c ===2a ==，所以椭圆方程为22142x y +=，离心率为e =（2）显然直线AB 斜率存在，否则,B D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,AB y kx t t =+>，()()1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t +++−=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t =−+−=+−>，即,k t 应满足22420k t +−>，所以2121222424,1221kt t x x x x k k −−+==++，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y −，所以()121112:y y AD y x x y x x −=−++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t−++++++====+==+++−，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+−=−>⎨≠⎩，即k应满足k <或k >，综上所述，2t =满足题意，此时k <k >17．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫−≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =−，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求t 的范围.【解析】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b ，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛− ⎝⎭，故122ABC S c =⨯=△故ca =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =−，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=−⎪⎩可得()223412270k x kx +−−=，故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==−++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =−=−，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+−−=+−−−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯−−+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫−−−−++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+−−++− ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+−−≤⎪⎨⎛⎫+−≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t −≤≤.若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q −或()()0,3,0,3P Q −，此时需33t −≤≤，两者结合可得332t −≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫−≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 18．(1)b(2)(2,P(3)(303,3⎛ ⎝⎦【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my =−，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【解析】（1）由题意得21c cea ===，则2c =，b == （2）当b =时，双曲线22Γ:183y x −=，其中()2,0M −，()21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x =−上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA ==，设(),P x y ，则 2222318(2)9y x x y ⎧−=⎪⎨⎪++=⎩,联立解得2311x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2311x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA >，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ==，设()00,P x y ，其中000,0x y >>，则有()2200220019183x y y x ⎧−+=⎪⎪⎨−=⎪⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P ．综上所述：(2,P .（3）由题知()()121,0,1,0A A −，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P ⋅=，不合题意，则0l k ≠，则设直线:2l x my =−，设点()()1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知()22,R x y −−，联立有22221x my y x b =−⎧⎪⇒⎨−=⎪⎩()222221430b m y b my b −−+=，显然二次项系数2210b m −≠，其中()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =−−−=+>，2122241b my y b m +=−①，2122231b y y b m =−②， ()()1222111,,1,A R x y A P x y =−+−=−，则()()122112111A R A P x x y y ⋅=−+−−=，因为()()1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my =−，222x my =−，即()()2112331my my y y −−−−=，即()()2121213100y y m y y m +−++=，将①②代入有()2222222341310011b b mm m b m b m +⋅−⋅+=−−，即()()2222231341010b m m b m b m +−⋅+−=化简得2223100b m b +−=，所以 22103m b=−, 代入到 2210b m −≠, 得 221031b b =−≠, 所以 23b ≠, 且221030m b =−≥，解得2103b ≤，又因为0b >，则21003b <≤，综上知，()2100,33,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(303,3b ⎛∴∈ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my =−，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。

2021年最新高中数学专题汇编解析几何

2021年最新高中数学专题汇编解析几何2021专题汇编解析几何1.在平面直角坐标系xoy中，如果直线y？在K（x？33）上有一个点P，圆x2？（y？1）2？1押金在一点q，满足op?3oq，则实数k的最小值为▲．2.已知a和B是圆C:x2？y2？1上的移动点ab=2，是一条直线p？许鲁帕？Pb的最小值为▲上的动点，则?y2?03.在平面直角坐标系xoy中，圆O1:x2？y2？9.圈O2:x2？（y？6）2？16.圆圈O2中有一个特定的点m。

通过被圆O1和圆O2切割的M的直线L的弦分别为AB和CD，固定点M 的坐标为4.在平面直角坐标系xoy中，已知ab是圆o：x2?y2?1直径，若直线l：kx?y?3k?1?0上存在点p，连接ap与圆o交于点q，满足bp∥oq，则实数k的取值范围是▲．5.在平面直角坐标系xoy中，圆O:x2？y2？R2（r0）和圆M：（x2）2？（y？23）2ab3?，cd4?4相交于a,b两点，若对于直线ab上任意一点p，均有po?pm?0成立，则r的取值范围为6.在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：(x?1)2?(y?26)2?1和两点A（A，2？A），B（？A，A？2）和A？1.如果圆C上有两个不同的点P，Qapbaqb90，则实数a的取值范围为▲．7.已知直线x+Y-K=0（K>0）和圆x2+y2=4在不同的两点相交，a、B和o为坐标原点，且有| oa3＋ob|≥3|ab|，那么k的取值范围是▲．8.已知点P是圆O:x2？y2？4上的移动点，点a（4,0），如果直线y？kx？1上总有一个点Q，说明了这一点q恰是线段ap的中点，则实数k的取值范围为▲．9.已知点和圆：，是圆的直径，和是线段（），直线和的三等分点，（异交于，则当Yu，）是圆上的移动点，当，为定值．在里面10.已知直线l:y?x?m与圆c：?x?1y?2??9相交于不同的点a、b，且坐标原点以ab为直径的圆外22O，实数m的取值范围为▲2211.已知a,b为直线l：y??x上两动点，且ab?4，圆c：x?y?6x?6y?2?0,22圆c上存在点p，使pa?pb?10，则线段ab中点m的横坐标取值范围为▲x2y2c:2？2.1（a？b？0）222o:x？Y爸爸12岁。

高中数学学业水平测试复习专题四平面解析几何初步

(3)由题意可知过 A，B 两点的直线方程为(a＋b)x－y
|－ab|
－ab＝0，圆心到直线 AB 的距离为 d＝
，
（a＋b）2＋1
而 a＋b＝－ta1n θ，ab＝－sin1 θ，
因此 d＝－2－
1
sin θ －ta1n
2 ，化简后得 θ ＋1
d＝1，故
直线与圆相切．
答案：(1)B
(2)－8
专题四平面解析几何初步
第19讲直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系． d<r ⇔相交；d＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．
>0⇔相交； (2)代数法：Δ＝判b别2－式4ac＝0⇔相切；
<0⇔相离Ｗ.
相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解
内切 d＝|r1－r2| (r1≠r2)
一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2| (r1≠r2)
无解
3.圆的切线方程常用结论
(1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
4．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0 条； ②内切：1 条；③相交：2 条；④外切：3 条；⑤外离：4 条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

高中数学学业水平考知识点大全

高中数学学业水平考知识点大全高中数学学业水平主要考察以下知识点：
1. 数与代数：
- 实数和有理数的性质与运算
- 数的次方与根式
- 四则运算与基本代数式的运算
- 一元一次方程和不等式
- 一元二次方程和不等式
- 二次根式和无理方程
- 平面直角坐标系与图形的性质
- 函数与方程
- 等差数列与等比数列
2. 几何与空间：
- 几何图形的性质与运动
- 三角形与三角函数
- 平面向量和空间向量
- 直线与平面的位置关系
- 空间中的几何体与轨迹
- 空间解析几何
3. 解析几何：
- 向量与坐标
- 直线的方程与性质
- 圆的方程与性质
- 圆锥曲线的方程与性质
4. 概率与统计：
- 随机试验与事件
- 概率及其性质
- 离散型随机变量
- 连续型随机变量
- 统计与统计图表
5. 数学思维与证明：
- 数学思维方法
- 证明与推理
- 逻辑与推理
- 数学问题的解答方法
以上是高中数学学业水平考试中需要掌握的主要知识点，希望对你有帮助。

解析几何例题和知识点总结

解析几何例题和知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，它通过坐标和方程来研究几何图形的性质和关系。

在学习解析几何的过程中，掌握典型的例题和重要的知识点是非常关键的。

接下来，让我们一起深入探讨一些常见的解析几何例题，并对相关知识点进行总结。

一、直线的方程直线是解析几何中最基本的图形之一。

直线的方程有多种形式，如点斜式、斜截式、两点式、一般式等。

例如：已知直线经过点$（1,2)＄，斜率为$3$，求直线方程。

我们可以使用点斜式：＄y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中$（x_1, y_1)＄是已知点的坐标，＄k$是斜率。

代入可得：＄y 2 ＝ 3(x 1)＄，化简得到：＄y ＝ 3x 1$直线方程的一般式为$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，其中$A$、＄B$不同时为$0$。

知识点总结：1、掌握直线斜率的计算方法，若两点坐标为$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。

2、熟练运用各种直线方程的形式，根据已知条件选择合适的形式来求解直线方程。

二、圆的方程圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄是圆心坐标，＄r$是半径。

例题：求以点$（2, －1)＄为圆心，半径为$3$的圆的方程。

答案为：＄（x 2)＾2 ＋（y ＋ 1)＾2 ＝ 9$圆的一般方程为$x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$，通过配方可以转化为标准方程。

知识点总结：1、理解圆的标准方程和一般方程的形式及特点。

2、能根据已知条件求出圆的方程，包括圆心和半径的确定。

三、椭圆椭圆的标准方程有两种形式：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（焦点在$x$轴上）和$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（焦点在$y$轴上），其中$a$和$b$分别表示长半轴和短半轴的长度。

2023年高考文科数学解析分类汇编解析几何(逐题详解)

2023年高考文科数学解析分类汇编解析
几何(逐题详解)
本文档的主要内容包括以下几个方面：
1. 知识点梳理：对解析几何的相关知识点进行梳理和总结，确保学生对所需知识有全面的了解。

2. 题目分类：将解析几何的高考题目进行分类，包括直线与圆的性质、三角形与四边形的性质等，便于学生有针对性地进行研究和练。

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4. 错题讲解：针对学生在解析几何中常犯的错误进行讲解和纠正，帮助学生避免类似错误的发生。

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本文档的编写采用简洁明了的语言，力求清晰易懂，注重解题过程的逻辑性和规范性。

所有内容均经过合法权威渠道确认，确保内容的正确性和准确性。

希望本文档能为考生提供有价值的研究资料，并对2023年高考文科数学解析几何有所帮助。

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山东省学业水平考试试题

山东省学业水平考试试题山东省学业水平考试是对学生在高中阶段学习成果的一次全面评估，它旨在检测学生在各个学科领域的知识掌握和应用能力。

考试通常涵盖语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理、政治等多个学科。

以下是一份模拟的山东省学业水平考试试题内容。

语文1. 阅读下面的文言文，回答后面的问题。

- 文言文选段- 问题一：请解释文中“之”字的用法。

- 问题二：请分析文中所表达的作者情感。

2. 根据所给材料，写一篇不少于800字的议论文，题目自拟。

数学1. 解析几何题目：给定一个椭圆的方程，求其焦点坐标。

2. 函数题目：已知一个函数的表达式，求其导数，并讨论其在特定区间的单调性。

英语1. 阅读理解：阅读一篇英文文章，回答以下问题。

- 问题一：文章的主旨是什么？- 问题二：作者通过哪些论据支持其观点？2. 写作：请根据所给情景，写一封建议信。

物理1. 力学题目：一个物体在斜面上下滑，求其加速度。

2. 电磁学题目：计算一个导体棒在磁场中运动时产生的感应电动势。

化学1. 化学方程式配平：给出一个未配平的化学方程式，要求配平。

2. 化学计算：计算一定质量的化合物中某元素的质量分数。

生物1. 生物学概念解释：解释细胞分裂过程中染色体的行为。

2. 生态系统分析：分析一个特定生态系统中物种之间的相互作用。

历史1. 历史事件分析：分析某一历史事件的原因和影响。

2. 历史人物评价：评价一个历史人物的贡献和局限。

地理1. 地图解读：根据所给地图，分析某一地区的地理特征。

2. 环境问题讨论：讨论当前某个环境问题的成因和可能的解决方案。

政治1. 政治理论论述：论述社会主义核心价值观的内涵和意义。

2. 时事政治分析：分析当前某一国际或国内时事政治事件。

考生们在准备考试时，应重视基础知识的掌握，同时加强实践和应用能力的培养。

希望每位考生都能在学业水平考试中取得优异的成绩。

高三数学学业水平考试范围

高三数学学业水平考试范围主要包括以下内容：
1. 集合与简易逻辑：集合的概念与运算、数轴、区间、特称命题和全称命题等。

2. 函数：函数的概念、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等。

3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，三角函数定理、公式等。

4. 数列：等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质和前n项和公式等。

5. 解析几何：直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程和抛物线方程等。

6. 立体几何：平面几何的性质和定理、空间几何体的表面积和体积，以及空间几何中的线面关系等。

7. 排列组合与概率统计：排列组合的基本计算、随机事件的概率、随机变量的分布和统计学的相关概念等。

8. 复数：复数的概念、复数的运算和复数的三角形式等。

9. 导数及其应用：导数的概念、导数的计算，以及导数在研究函数中的应用等。

具体考试范围可能会根据不同地区和学校的要求有所差异。

建议查阅所在地区或学校的考试大纲，以获取更准确的信息。

高考分类整理汇编之解析几何00002

高考分类整理汇编之解析几何000022011年高考分类汇编之解析几何（十）陕西文C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．【答案】117.（本小题满分12分）设椭圆: 过点（0，4），离心率为．（1）求的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, ∴b=4,又得，即，∴，∴的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，AB的中点坐标，，即所截线段的中点坐标为．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．上海理3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m= .5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为.（结果用反三角函数值表示）23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分.①.②.③.23、解：⑴设是线段上一点，则，当时，。

⑵设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。

高中数学学业水平测试第八章平面解析几何知识点总结

第八章平面解析几何一、复习内容必修2第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式必修2第四章圆与方程4.1 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系二、教学目标①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.三、教学过程（分四个教学单元节完成复习）第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识点】1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）斜截式下，若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔；② 12121l l k k ⊥⇔=-；③1212l l k k ⇔≠与相交（2）一般式下，若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．【典型例题】【巩固练习】第二节直线的交点坐标与距离公式【知识点】5．平面两点距离公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y 则22122121)()(||y y x x P P -+-=．x 轴上两点A,B 间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =), 其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=, 其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程，为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解．【典型例题】【巩固练习】第三节圆的方程【知识点】10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．（4）掌握用待定系数法求圆的方程。

解析几何分类汇编

1、（13年东城一模）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e =所以222222314b ac e a a -==-=，所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.又A ，B 两点在椭圆C 上，所以2200143x x +=，20127x =．所以点O 到直线AB的距离7d ==．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．由已知0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．所以122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．2222:1x y C a b+=(0)a b >>1F 2F 121F l C M N 2MNF 8C O C A B O AB因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．所以1212()()0x x kx m kx m +++=．即221212(1)()0k x x km x x m ++++=．所以22222224128(1)03434m k m k m k k-+-+=++．整理得)1(12722+=k m ，满足0∆>．所以点O 到直线AB 的距离d ==为定值．2、（13年东城二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =点(,0)A a ，(0,)B b的直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 上一动点00(,)P x y 关于直线2y x =的对称点为11(,)P x y ，求2211x y +的取值范围．（Ⅲ）如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．(Ⅰ)因为2c a =，222a b c -=，所以 2a b =. ……………………………………3分因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y+=. ……………………………………5分(Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，所以 0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩解得 001435y x x -=，001345y x y +=. 所以22221100x y x y +=+. ……………………………………7分因为点()00,P x y 在椭圆C :221164x y+=上，所以22222011344x x y x y +=+=+.因为044x -≤≤, 所以2211416x y ≤+≤.所以2211x y +的取值范围为[]4,16. ……………………………………9分 (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>. ……………………………………10分设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则2324214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k=+=+. 所以21M BM M y k x k+==-. 所以20M M x ky k ++=. ……………………………………12分即224201414k k k k k -++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以k =………………………………13分3、（13年西城一模）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设 (,0)F c -，则tan 60bc︒== ………………2分将b = 代入 222a b c =+，解得2a c =． ………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为 GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9+∞． ………………14分4、（13年西城二模）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m （Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M 的坐标为2(5．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以00(21,2)P x y +． ………………7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由①，②消去y ，整理得20020222x x m x +=-． ………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分当且仅当02x =- 所以m的取值范围是1(0,2． ………………13分5、（13年朝阳一模）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C过点(1,2,离心A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围.（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c ca a b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x轴上方，易得(1,(1,22E F -，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4………………………………14分6、（13年海淀二模）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点. （I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以,1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分 (II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆===2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤1||x =时，AOB S ∆………………6分当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+ …………………9分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y k ++=--，化简得到2314k t += ② 代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆= 化简得到3(4A OBS tt ∆…………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S ∆综上，AOB∆面积的最大值为…………………14分。

内蒙古数学学业水平考试范围

内蒙古数学学业水平考试范围
内蒙古数学学业水平考试的范围包括以下内容：
1. 初中数学知识：例如整数、分数、小数的运算，代数表达式与方程式的应用，平方根与立方根的计算，平面图形的性质和变换等。

2. 几何：涉及平面几何与空间几何的概念，例如点、线、面、角的性质，平行线与垂直线的判断，三角形和四边形的性质，圆的性质与应用等。

3. 数据与统计：包括统计图表的读取与分析，数据的整理与归纳，概率的计算与应用等。

4. 三角函数：介绍初等函数的定义与性质，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等，以及它们的图像与性质。

5. 解析几何：涉及平面直角坐标系、直线、圆、双曲线的方程与性质，以及它们之间的方法与应用。

6. 数列与数列的应用：包括等差数列、等比数列的定义与性质，数列的求和与推广等。

需要注意的是，内蒙古数学学业水平考试的具体考点可能根据不同年份和不同学段有所调整，以上仅是一般性的范围。

参加考试的学生应当结合教材和教学大纲进行复习和备考。

专题-解析几何知识点汇总(全)

直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴/y轴/两点式x x1y y1x2x1y2y1(x2x1,y2y1)(y2y1,x1x2)y2y1x2x1点方向式点法向式点斜式截距式斜截式x xy yu va(x x) b(y y) 0(u,v)(v, u)vuab//(b, a)(1,k)( m,n)(1,k)(B, A)(a,b)(k, 1)(n,m)(k, 1)(A,B)//y yk(x x)x y1m ny kx bAx By C 0knm//m/nbCBkAB一般式C A注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围： [0, )；（2）直线的斜率：tan , [0,) (, )22k不存在，2；k 0 0k 2 0 0k tan 在[0, )和 k 不存在 = 2(2, )上单调递增．2k 0 2 y 2 y 1（3）若直线过点(x x ,x 1 x 21,y 1)，(x 2,y 2)，则该直线的斜率k 2 x 1，k R ．不存在，x 1 x 23、两条直线的位置关系：已知l 1:a 1x b 1y c 1 0，l 2:a 2x b 2y c 2 0，则（1）系数法：①l 1 l 2 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l 1与l 2相交 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2重合 a 1:b 1:c 1 a 2:b 2:c 2；④l 与l a 1:b 1 a 2:b 212平行 a ．1:c 1 a 2:c 2或b 1:c 1 b 2:c 2（2）向量法：已知l 的法向量为 n11 (a 1,b 1)，l 2的法向量为n 2 (a 2,b 2)，则①l l12 n 1 n 20 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l l1与2相交 n 1与n 2不平行 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2平行或重合 n 1与n 2平行 a 1b 2 a 2b 1．（3）行列式法：已知Da 1b 1a ，Db 1xc 12b 2c 2b ，D y a 1c 12a 2c ，则21l 1与l2相交 D 0；②l1与l2重合 D D x D y 0；则③1与2平行 l l D 0．D x、D y 不全为零4、两条相交直线l 1:a 1x b 1y c 1 0和l 2:a 2x b 2y c 2 0的夹角：（1）若l 1、l 2的法向量分别为n 1 (a 1,b 2)、n 2 (a 2,b 2)，且l 1、l 2的方向向量分别为d 1、d 2，则n n 2cos 1n 1 n 2a 1a 2b 1b 2a 12 b 12 a 22 b 22d 1 d 2 或cos， [0,]；2d 1 d 2（2）若l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，且l 1到l 2的角为 1，l 2到l 1的角为 2，则tank k 1k k 2k 1 k 2, [0,)；tan 1 2，tan 2 1．1 k 1k 21 k 1k 21 k 1k 225、点到直线的距离公式：（1）点P (x 0,y 0)到直线l :Ax By C 0的距离为dAx 0 By 0 CA B22；（2）直线l 1:Ax By C 1 0与直线l 2:Ax By C 2 0的距离为dC 1 C 2A B22．6、直线l :Ax By C 0同侧/异侧：（1）Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的右侧；Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的左侧．（2）点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 同侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0；点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 异侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0．7、点关于直线的对称问题：点直线P (x 0,y 0)x 轴P (x 0, y 0)y 轴P ( x 0,y 0)y xP (y 0,x 0)y xP ( y 0, x 0)x mP (2m x 0,y 0)y n P (x 0,2n y 0)对称点补充：①点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (yb,xb)；②点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (b y,b x)；A(n y) B(m x)③点P(x0,y)关于直线Ax By C 0的对称点P (m,n)满足 m x．n yA B C 022或者P (m,n)，其中 8、三线共点问题：三条互不平行的直线l1:a1x b1y c10，直线l2:a2x b2y c20，直线l3:a3x b3y c30共m x0 2AD Ax By C,D 022．A Bn y0 2BDa1点的充要条件是a2b1b2b3c1c20．c3a39、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为k0（常数）的直线系：，例：y 2x b；y kx b（b为参数）②平行于直线A0x By 0的直线系：Ax By C 0(C为参数)．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：y y0 k(x x)，直线过定点(x,y)；②以斜率k作为参数的直线系：y kx b0，直线过定点(0,b)．③过两条直线l1:A1x B1y C10，l2:A2x B2y C20的交点的直线系：A 1x B1y C1(A2x B2y C2) 0( 为参数)．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线l2不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PA PB的取值范围．取值范围A、B在l的解答步骤同侧 A B,AB, ①作点A关于l的对称点A ；②联结A B，交l于M；③点M为最小值状态点．①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．异侧（2）定直线上动点与两定点距离差：已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为d1、d2，问题直线AB与直线l的夹角为，求PA PB的取值范围．A、B在l的d1与d2的大小关系d1d2取值范围解答步骤①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．/①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．①作点A关于l的对称点A ；②联结A B并延长交l于M；③点M为最大值状态点．/①作点A关于l的对称点A ；②联结BA 并延长交l于M；2AB cos ,ABAB,ABAB,AB cos同侧d1 d2d 1 d2d 1 d2A B cos ,A BA B,A BA B,AB cos异侧d1d2d1d2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线对称轴曲线F(x,y) 0x轴F(x, y) 0y轴y x y x x m y n F( x,y) 0F(y,x) 0F( y, x) 0F(2m x,y) 0F(x,2n y) 0补充：①曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (y b ,x b ) 0；②曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (b y ,b x ) 0．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线F (x ,y ) 03、轴对称的曲线：曲线对称轴条件(m ,n )F (2m x ,2n y ) 0F (x ,y ) 0y x F (y ,x ) F (x ,y )补充：y x F ( y , x ) F (x ,y )x mF (2m x ,y ) F (x ,y )y nF (x ,2n y ) F (x ,y )a b对称。

【浙江全A计划学业水平复习高中数学】平面解析几何专题测试

22 － a2
32 ＝ b2
1 .②
由①②解得 a 2 ＝ 1 ， b 2 ＝ 3， ∴所求双曲线的标准方程为 x 2 － y 2 ＝ 1 .故选 A . 3
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2
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2 .已
知 F1， F2是
椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的 97
的切线，切点分别为 A ， B，记 A ， B， N 的横坐标分别为 x A， x B， x N ，则
( )
A .x A+x B=2 x N
B
.x
A+x
B=x
2 N
C . 1 +1 = 2 xA xB xN
D .以上都不对
【分析】由 x 2 ＝ 2 p y 得 y =x 2 ，所以 y ′ =x ，所以直线 M A 的方程为
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9.一个动点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上移动，它与定点 ( 3， 0 ) 连线的中点的轨迹方程是
( )
A .( x ＋ 3)2＋ y 2 ＝ 4
B .( x － 3)2＋ y 2＝ 1
C .( 2 x － 3 ) 2 ＋ 4y 2 ＝ 1
D .( x ＋ 3 )2 ＋ y 2＝ 1 2

x
2 1
+y
2 1
=1

【分析】设动点坐标为
( x 1 ， y 1 ) ，中点坐标为

专题05 解析几何(解答题10种考法)讲义(解析版)2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练

专题05 解析几何（解答题10种考法）考法一定点【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点()4,3P 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>上一点，E 的左焦点1F(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y kx t =+与双曲线E 交于,A B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y kx t =+过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)22143x y -=(2)证明见解析，定点为(2,3)-.【解析】（1）设1(,0)F c -(0)c >到渐近线by x a=，即0bx ay -=222+=a b c得b =，又(4,3)P 在双曲线22213x ya -=上，所以216913a -=，得24a =，所以双曲线E 的标准方程为22143x y -=.（2）联立22143y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()2223484120k x ktx t ----=，则2340k -≠，2222644(34)(412)0k t k t ∆=+-+>，即2234t k +>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834kt x x k +=-，212241234t x x k+=--，则12123344PA PB y y k k x x --+=+--12123344kx t kx t x x +-+-=+--()()()()()()122112343444kx t x kx t x x x +--++--=--()()121212122438244()16kx x t k x x t x x x x +--+-+=-++1=，所以()()1212243824kx x t k x x t +--+-+12124()16x x x x =-++，所以()()()12122141880k x x t k x x t -+-++-+=，所以()()()222214124188803434k t t k kt t k k -+-+⋅-+-+=--，整理得22626890t k kt t k -+--+=，所以22(3)2(3)80t k t k -+--=，所以()()32340t k t k ---+=，因为直线y kx t =+不过(4,3)P ，即34k t ≠+，340t k -+≠，所以320t k --=，即23t k =+，所以直线23y kx t kx k =+=++，即3(2)y k x -=+过定点(2,3)-.【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y+>>=()2,0A -在C上．(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)22194y x +=(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得2222b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点(2,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)E y px p =>交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线MN y ⊥轴，垂足为N ，且PM PN ⊥.(1)求抛物线E 的方程；(2)若C 为E 上异于点,A B 的任意一点，且直线,AC BC 与直线2x =-交于点,D R ，证明：以DR 为直径的圆过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】（1）由题意，可设直线l 的方程为2x my =+，将2x my =+代入22y px =，消去x 得2240y pmy p --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122y y pm +=，124y y p =-，M 是线段AB 的中点，21212(42)22M x x m y y x pm +++∴===+，122M y y y pm +==，即2(2,)M pm pm +，又MN y ⊥轴，∴垂足N 的坐标为(0,)pm ，则2(,)PM pm pm = ，(2,)PN pm =-，PM PN ⊥ ，22220PM PN pm p m ∴⋅=-+=对任意的R m ∈恒成立，220p p ∴-+=，又0p >，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.（2）设2(,)4t C t ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，由（1）可知，124y y m +=，128y y =-，则12211444AC y t k y t y t -==+-，直线AC 的方程为214()4t y t x y t -=-+，令2x =-，则211184(24ty t y t y t y t -=+--=++，118(2,ty D y t -∴-+，同理228(2,)ty R y t--+，由抛物线的对称性可知，若以线段DR 为直径的圆过定点，则定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，则118(2,ty DT a y t -=+-+ ，228(2,)ty RT a y t -=+-+ ，且0DT RT ⋅= ，2121288(2)0ty ty a y t y t--∴++⋅=++，22212121222121212888()6483264(2)8()48ty ty t y y t y y t mt a y t y t y y t y y t t mt ---++--+∴+=-⋅=-=-=++++++-，2a ∴=或2a=--，∴以DR为直径的圆过定点2,0)和(2,0)--.【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)-【解析】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T +，由MT TH =得到(5,H -+.求得HN方程：(22y x =-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，上、下顶点分别为A ，B .圆22:2O x y +=与x 轴正半轴的交点为P ，且1PA PB ⋅=- .(1)求E 的方程；(2)直线l 与圆O 相切且与E 相交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过定点.【答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析【解析】（1）由已知得()0,A b ，()0,B b -，)P.则()PA b =，()PB b =- ，221PA PB b ⋅=-=-，所以23b =.因为c e a ==222b c a +=，所以23c =，26a =.故E 的方程为22163x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=.因为直线l 与圆O=2222m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+.由22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理，得12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222646212121m km m k k km m k k k --=⋅-⋅+=+++，所以()2222212122223222660212121m k m m k x x y y k k k ----+=+==+++，故OM ON ⊥，即以MN 为直径的圆过原点O .当直线l 的斜率不存在时，l的方程为xx =.这时M，N或(M，(N .显然，以MN 为直径的圆也过原点O .综上，以MN 为直径的圆恒过原点O .3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，圆224x y +=与椭圆C 恰有两个公共点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知结论：若点()00,x y 为椭圆22221x y a b+=上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．若椭圆C的短轴长小于4，过点(8,)T t 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点．【答案】(1)22154x y +=或22143x y +=(2)证明见解析【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．当圆224x y +=在椭圆C 的内部时，2222,1,5b c a b c ===+=，椭圆C 的方程为22154x y +=．当圆224x y +=在椭圆C 的外部时，2222,1,3a c b a c ===-=，椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）证明：设()()1122,,,A x y B x y ．因为椭圆C 的短轴长小于4，所以C 的方程为22143x y +=．则由已知可得，切线AT 的方程为111,43x x y yBT +=的方程为22143x x y y +=，将(8,)T t 代入,AT BT 的方程整理可得，1122630,630x ty x ty +-=+-=．显然,A B 的坐标都满足方程630x ty +-=，故直线AB 的方程为630x ty +-=，令0y =，可得12x =，即直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12．点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线1PF 、2PF 分别与椭圆C 交于点A 、B ，1PF B △的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若111PF F A λ= ，222PF F B λ=，求证：12λλ+为定值．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】（1）∵1PF B C V 1212224PF PF BF BF a a a =+++=+=，∴48a =，2a =由离心率为12得1c =，从而b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设()()0011,,,P x y A x y ，()22,B x y ，则2200143x y +=，可设直线PA 的方程为1x my =-，其中001x m y +=，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2234690m y my +--=，则0122009934134y y m x y --==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，同理可得，022009134y y x y -=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为111PF F A λ= ，222PF F B λ=．所以001212012121211y y PF PF y AF BF y y y y λλ⎛⎫+=+=+=-+ ⎪--⎝⎭()()222000222000001134343131899x x y y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭++-+⎣⎦==220068624610993x y +++===，所以12λλ+是定值103.【变式】1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C 经过点()2,2P ，(1)求椭圆C 的方程；(2)若,A B 是椭圆上不同于点P 的两个动点，直线,PA PB 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】(1)221205x y +=(2)证明见解析【解析】（1）设椭圆的方程为()222210x ya b a b +=>>根据题意得222441a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22205a b ⎧=⎨=⎩故所求椭圆方程为221205x y +=（2）如下图所示：设直线:l y kx m =+交该椭圆221205x y +=与()()1122,,,A x y B x y 两点．将y kx m =+代入221205x y+=得()2221484200k x kmx m +++-=所以()()2221222122(8)41442081442014km k mkm x x k m x x k ⎧-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩由直线,PA PB 能与x 轴共同围成底边在x 轴上的等腰三角形，可得0PA PB k k +=，即()()()()()()122112121222222202222y x y x y y x x x x --+----+==----整理得()()()()()()()12211212222222242kx m x kx m x kx x m k x x m +--++--=+--+--，即()()22242082224201414m km k m k m k k-⋅---⋅--=++即()24181020k m k k -+-+=，所以当14k =时，不论m 为何值时()24181020k m k k -+-+=都成立，所以直线,PA PB 与x 轴共同围成底边在x 轴上的等腰三角形时直线AB 的斜率为定值142．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为12.点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线12,PF PF 分别与椭圆C 交于点,A B ，1PF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设12PF F △，1PF B △，PAB V 的面积分别为123,,S S S .求证：213221S S S S S S +--为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】（1）解：因为1PF B △的周长为8，即1212228PF PF BF BF a a +++=+=所以48a =，可得2a =，由椭圆的离心率12c e a ==，可得1c =，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，则2200143x y +=，可设直线PA 的方程为1x my =-，其中001x m y +=，联立方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则0122009934134y y m x y --==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，同理可得，022009134y y x y -=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为112112111212212132211112122111sin sin 2211sin sin 22∠∠+=+=+--∠∠V V V V PF B PF F AF B BF F PF F B PF B PF F F PF F S S S S S S S S S S AF F B AF B BF F F BF F 1212PF PF AF BF =+，所以213221S S S S S S +=--1212PF PF AF BF +0012y y y y =+--01211y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭222000001134349x x y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2220003(1)3(1)89x x y ++-+=220068624610993x y +++===，所以213221S S S S S S +--是定值．3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过()2,1-，11,4⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2--，()3,2-四点中的两点.(1)求抛物线T 的方程：(2)已知圆()2223xy +-=，过点()(,1P m m -≠作圆的两条切线，分别交抛物线T 于()11,A x y ，()22,B x y 和()33,C x y ，()44,D x y 四个点，试判断1234x x x x 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.【答案】(1)24x y =(2)是定值16．【解析】（1）抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过()2,1-，11,4⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2--，()3,2-四点中的两点，由对称性，点()2,1-和点()2,2--不可能同时在抛物线T 上，点()2,2--和点()3,2-也不可能同时在抛物线T 上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，设()2:20T x py p =>，若过点()2,1-，则42p =，得2p =，∴24x y =，抛物线过点11,4⎛⎫⎪⎝⎭，∴24x y =符合题意；设()2:20T y px p =>，若过点11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1216p =，得132p =，∴2116y x =，但抛物线不过点()3,2-，不合题意．综上，抛物线T 的方程为24x y =．（2）(),1P m -，设直线()1:1AB y k x m =--，即1110k x y k m ---=，由AB∴()22113660m k mk -++=，设()2:1CD y k x m =--，同理可得()22223660m k mk -++=，∴12,k k 是方程()223660m k mk -++=的两根，12122266,33m k k k k m m -+==--．联立()1214y k x m x y ⎧=--⎨=⎩，消y 得2114440x k x k m -++=，∴12144x x k m =+，同理34244x x k m =+，∴()()()212341212124444161x x x x k m k m k k m k k m ⎡⎤=++=+++⎣⎦2222661611633m m m m ⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭所以1234x x x x 为定值16．考法三定直线【例3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-，离心率为(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.【答案】(1)221416x y -=(2)证明见解析.【解析】（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由焦点坐标可知c =，则由ce a==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得，即，据此可得点P 在定直线上运动.【变式】1．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A 为圆上任意一点，点B 的坐标为，线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D ．(1)求点D 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴分别交于两点（1A 在2A 的左侧），过的直线l 与轨迹E 交于,M N 两点，直线与直线的交于P ，证明：P 在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由得，其半径为4，因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D，故，则,而，故点D的轨迹E为以,B C为焦点的双曲线，则，故点D的轨迹E的方程为.（2）证明：由题意知，若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，联立，得，，故，设，则直线的方程为，直线的方程为，故，则，即，解得，故直线与直线的交点P 在定直线上.2．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点的动直线l 与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，在线段AB 上取点，满足，证明：点总在某定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意可知，因为，所以解得2a =，．所以所求椭圆的方程为（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，，，直线AB 的斜率显然存在，设为，则AB 的方程为．因为A ，P ，B ，四点共线，不妨设，则，，，，由，可得，化简得．（*）联立直线和椭圆的方程，得，消去y ，得，，得，由韦达定理，得，．代入（*）化简得，即．又，代入上式，得，化简得．所以点总在一条定直线上．考法四最值【例4】（2023·全国·统考高考真题）已知直线与抛物线交于,A B 两点，且．(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，，求面积的最小值．【答案】(1)2p =(2)【解析】（1）设，由可得，，所以，所以，即，因为0p >，解得：2p =．（2）因为，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：，()()1122,,,M x y N x y ，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线MN 的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积．【变式】1．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C 上任意一点满足.(1)化简曲线C 的方程；(2)已知圆（O 为坐标原点），直线l 经过点且与圆O 相切，过点A 作直线l 的垂线，交C 于,M N 两点，求面积的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】（1），由得．所以曲线C的方程是；（2）设，直线MN方程是，则直线l方程为，即,直线l与已知圆相切，所以，则，由得，，由题意（∵），，，∴或，，又原点O到直线MN的距离为，∴，由或得，设，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，∴时，，∴，即时，．2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆，点，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点,A B ，与圆N 相切且切点为为AB 中点.(1)求圆N 的半径的取值范围；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）如图所示，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y kx m =+（），11(,)A x y ，22(,)B x y ，设圆N的半径为r ，，，，，所以，又因为M 为AB 的中点，所以，又因为圆N与直线l相切于点M，所以，且，所以，所以，解得，所以，，解得：，所以（），所以，即，所以圆N的半径r的取值范围为.（2）由（1）知，，所以（），令，则（），所以，显然在上单调递减，所以，所以，即，故的取值范围为.3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线C有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）设点，点，则直线PQ的方程为，与渐近线by x a=联立，得，解之得，即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为，又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为，所以，即，因此双曲线方程为.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，把代入，得，则，，，点O 到直线的距离，所以的面积为，令，所以，令，则，因为，所以，由，得，由，得，由，得，即当时，等号成立，此时满足，所以面积的最小值为.考法五轨迹问题【例5】（2023·湖南·校联考二模）已知12,F F为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线C的标准方程；(2)设直线和的交点为P，求点P的轨迹方程．【答案】(1)221 43x y-=(2)【解析】（1）设双曲线C的焦距为，由及双曲线的定义，得，解得，由可得，又恒成立，所以，解得．因为该双曲线离心率小于等于，所以，即，解得，所以，则，所以双曲线C的标准方程为221 43x y-=．（2）因为，所以点只能在双曲线的右支上，设，则，因为在双曲线上，所以，易得，所以直线的斜率为，直线的方程为①，同理可求得直线的方程为②，由①×②得③，将代入③得，化简得，令①=②即，化简得，因为，所以，即点P的轨迹方程为．【变式】1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线C的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．(1)求曲线C的方程；(2)如图，点关于原点的对称点为点P，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，又222a b c，则，曲线C的方程为；+=,k k，直线为，（2）设直线的斜率分别为12由，得，，，则，，由于点关于原点的对称点为点P，，则直线为，直线为，显然，由，得，即，则直线的方程为，由得，即，当时，由对称性可知在y轴上，此时直线平行于直线，不符合题意，故的轨迹方程为．,x y作椭圆C的切线，则切线2．（2023·江西·校联考二模）已知过曲线上一点()00的方程为.若P为椭圆上的动点，过P作的切线交圆于，过分别作的切线，直线交于点.(1)求动点的轨迹E的方程；(2)已知R为定直线上一动点，过R的动直线与轨迹E交于两个不同点,A B，在线段上取一点，满足，试证明动点的轨迹过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设点，由题意知切线的方程为，同理，设点，则切线的方程分别为：，又点Q在直线上，所以，所以直线的方程为：，和比较可得，又在曲线上，即，所以，即点Q的轨迹E的方程为；（2）设点，则由知，设，则且，则：，即，，整理可得且，又在曲线E 上，则，故，所以，所以，即，由于,故时，，所以动点T 的轨迹过定点.3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C ：，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)点为椭圆C 上的动点（与点A ，B 不重合），若直线PA ，直线PB 的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l 是否过定点，并说明理由；(2)若．过点O 作，垂足为点Q ，求点Q 的轨迹方程．【答案】(1)直线l 过定点；(2)【解析】（1）直线过定点，下面证明：设()11,A x y ，，，又，，∴，∴直线过原点满足．又当PA 两点固定时为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为，则直线重合，则重合，∴直线l 过定点．（2）设，，，不妨设，∴，，又点A，B在椭圆上，∴，，∴，，两式相加得，由，得，∴点Q的轨迹是以点O为半径的圆，∴点Q的轨迹方程为．考法六长度比值【例6】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比p 为一给定的实数.例的结论．如图所示，抛物线，其中0(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；(2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【解析】（1）焦点为，准线为；（2）将代入，化简得（*），方程（*）的判别式，化简得，解得；（3）设，设抛物线在A点处的切线方程为，由，消去y并化简得，，，，解得，故切线方程为，，，即，同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：，，联立，解得，即，同理可得，，因为，，，所以．【变式】1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为P和相交于点A，过N作直线交x轴的正半轴于B点，交椭圆于C 点，连接交于点D.(1)求的方程；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）依题意可得，，又，解得，所以的方程为.（2）在椭圆中，，所以，，设直线（），直线（），因为直线与直线相交于点C，由，解得，所以，又点C在椭圆上，所以，整理得，y=得，即，因为直线交x轴正半轴于B点，令0又因为，所以，，所以，因为直线交于点D，令2x=得，故，又，所以，，所以，又，所以，所以，所以.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为1F，2F.过2F的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，将代入C的方程有，，所以M ，N 到直线的距离之和为，所以，C 的方程为.（2）方法1：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l 不垂直于x 轴时，由双曲线的定义可知，，故.设，代入C 的方程有：，设()11,M x y ，()22,N x y ，则，，所以，所以.综上，的值为6.方法2：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l 不垂直于x 轴时，设，代入C 的方程有：.设()11,M x y ，()22,N x y ，则，，所以.综上，的值为6.考法七存在性【例7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P ，两点.(1)求面积的最大值，并求此时直线PQ 的方程；(2)若直线PQ 与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)PQ 的方程为或；(2)存在，【解析】（1）将代入椭圆方程，得到，故，故椭圆方程为22143x y +=.当直线PQ 的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；当直线PQ 的斜率不为0时，设直线PQ 的方程为，与椭圆方程22143x y+=联立，得，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故此时直线PQ的方程为或.（2）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：因为，所以，即，整理得，即，所以，则，解得，故在x轴上存在点，使得恒成立.【变式】1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点，若存在实数m ，使得，求m 的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1，在方程22221x y a b+=中，令，解得，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有，由可得：，所以椭圆的方程为；（2）当直线l 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为，所以直线l 的方程设为y kx m =+，于是有，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，化简，得，设()()1122,,,A x y B x y ，于是有，因为，所以，代入中，得，于是有，化简，得，代入中，得.2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点M 到定点的距离与动点M 到定直线2x =的距离之比为(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)对，曲线C 上是否始终存在两点A ，B 关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）设，则，即，整理得，所以点M 的轨迹C 的方程为．（2）假设曲线C 上始终存在两点A ，B 关于直线对称，当时，设直线AB 方程为，()11,A x y ，()22,B x y ，联立，整理得，则，所以，．设AB的中点为()00,x y，则，，将()00,x y代入，则，所以，所以对恒成立，即对恒成立，因为，所以，则．易知当时，曲线C上存在两点，关于直线0y=对称．所以的取值范围为．3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的中心为O，左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点1F，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.【答案】(1)(2)【解析】（1）连接，则，因为N为的中点，O为的中点，所以，故，，，解得，由椭圆定义可知，，解得，由勾股定理得，即，解得，故，故椭圆方程为；x=-，（2）由题意得，当直线AB的斜率不存在时，即2此时，解得，设，=，由对称性可知，P为椭圆左顶点D，但，故不合要求，舍去，由于OA OB当直线AB的斜率存在时，设为，联立得，，，设()()1122,,,A x y B x y ，则，，则AB 中点坐标为，假设存在点P ，使得四边形是平行四边形，则，将代入椭圆中，得，解得，此时直线AB 的方程为.考法八角度关系转斜率【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若，求的面积．【答案】(1)1-；(2)．【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．=+，，易知直线l的斜率存在，设:l y kx m联立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，当,A B均在双曲线左支时，，所以，即，解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B均在双曲线右支时，因为，所以，即，即，解得（负值舍去），于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点A到直线PQ的距离，故的面积为．［方法二］：设直线AP的倾斜角为，，由，得，由，得，即，联立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【变式】1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知点P是平面直角坐标系异于O的任意一点过点P作直线及的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)在x轴正半轴上取两点，且，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意，设点P坐标为()00,x y，则根据题意，得，由得：，化简得：2200143x y+=，所以轨迹C的方程为：（2）由题意，当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，成立．当直线l的斜率存在，由题意，设直线l的方程为：、、，由得：，有得：，且，，则，又，因为，所以，则．综上所述，．2．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的三个顶点所确定的三角形的面积为（是C的离心率）是C上一点.(1)求C的方程；(2)若直线与C交于,P Q两点，设，直线与C分别交于,M N（不同于,P Q）两k>时，记直线的倾斜角分别为，，求的最大值.点，当0【答案】(1)(2)【解析】（1）依题意可得，得，得，得，得，得，得26a=，则，所以椭圆C的方程为.（2）设，，联立，消去y并整理得，因为在椭圆内，所以判别式恒大于，，，当时，直线：，联立，消去y并整理得，因为，即，所以，所以，因为B在椭圆内，所以判别式恒大于，，，，所以，当11x =时，直线：1x =，易得，也满足，故，同理可得，所以，所以，因为0k >，所以，当且仅当，又0k >，即时，等号成立，所以的最大值为.考点九三点共线【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线C 于,A B 两点，当AB 平行于y 轴时，.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线于点D ，过点A 作直线的垂线与抛物线C 的另一交点为的中点为，证明：三点共线.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）抛物线C 的焦点为，当AB 平行于y 轴时，设直线AB 的方程为，设点、，，解得，所以，抛物线C 的方程为.（2）设直线AB 的方程为，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立可得，由韦达定理可得，，又因为直线的方程为，将代入直线的方程可得，可得，即点，所以，，因为，则，所以，直线的方程为，联立可得，则，故，则，由的中点为，可得，故、B、D三点共线．【变式】1．（2022秋·云南昆明）过抛物线：24上一动点P作x轴的垂线，记垂足为H，设线段的中点y x为M，动点M的轨迹为曲线C，设O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)过抛物线的焦点作直线与曲线C交于,A B两点，设抛物线的准线为l，过点A作直线l的垂线，记垂足为D，证明：B、D、O三点共线，【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：设，则，，因为M是的中点，所以，即，所以，即，所以曲线C的方程；（2）证明：由题意得，准线，设点，，则设过抛物线的焦点的直线为当时，则，，，所以直线的方程为，即，因为过原点O ，所以B 、D 、O 三点共线；当时，联立方程，化简得，则，且，直线的方程为，将代入的方程，即当成立时，B 、D 、O 三点共线.下面证明成立：因为，欲证成立，只需证成立，即证成立，即证成立，又，所以所以成立，所以B 、D 、O 三点共线.2．（2023·江苏镇江）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点()11,A x y 、()22,B x y ，其中，且.（1）求该抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B 、O 、C 三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，故直线AB 的方程为，联立，可得.∵，0p >，，解得.∴经过抛物线焦点的弦，解得.∴抛物线方程为；（2）由（1）知A点的坐标为，B点的坐标为，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，则C点的坐标为，，又直线与直线有一个公共点O，所以B、O、C三点共线.3．（2023·江苏南京）在平面直角坐标系中，已知抛物线E：的准线方程为l：.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E的焦点作直线与抛物线相交于A，B两点，过点B作直线l的垂线，交l于点C，求证：A，O，C三点共线.【答案】(1)；(2)证明见详解.【解析】（1）因为抛物线的准线方程为l：，故可得，解得.故抛物线方程为.（2）由（1）中抛物线方程可得，设坐标分别为，故可设直线方程为，联立抛物线方程可得：，；又根据抛物线定义可知C点坐标为，。