2015年浙江省温州市十校联合体高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年浙江省温州市十校联合体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U （A ∩B ）=（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1，4}D ．{1，3，4}2．（5分）已知复数z 满足，则|z |=（ ）A ．B ．C ．D ．2 3．（5分）点P （cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ）A ．若β⊥α，l ⊥α，则l ∥βB ．若l ∥β，l ∥α，则α∥βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β5．（5分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=7﹣a 2，则S 4=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．126．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（ ）A ．y=sin （+） B ．y=cos （x +） C ．y=cos （2x ﹣） D ．y=sin （2x ﹣）8．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或19．（5分）已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m＜B．m＜5 C．m＜4 D．m≤510．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为13．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为．14．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为．15．（4分）函数f（x）=的定义域为．16．（4分）已知f（x）=asinx++5，若f[lg（lg2）]=3，则f[lg（log210）]=．17．（4分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f （a）]=的实数a的个数为个．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+），﹣1），⊥，a=，b=1．（1）求角B的大小；（2）求c的值．19．（14分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9．数列{b n}满足b n=a n•．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．21．（15分）已知函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，g （x）=f（x）+|x﹣t|，其中a，b，t均为常数．（1）求实数a，b的值；（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；（3）若﹣≤t≤，求函数y=g（x）的最小值．22．（15分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．2014-2015学年浙江省温州市十校联合体高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，3，4}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，∴A∩B={2}，∴∁U（A∩B）={1，3，4}，故选：D．2．（5分）已知复数z满足，则|z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，∴=，所以|z|=故选：A．3．（5分）点P（cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若P（cosα，tanα）在第二象限，则，即，则α位于第三象限，则点P（cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的充要条件，故选：C．4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若β⊥α，l⊥α，则l∥βB．若l∥β，l∥α，则α∥βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：A：若β⊥α，l⊥α，则l∥β或者l⊂β，所以A错误．B：若l∥β，l∥α，则α∥β或者α与β相交，所以B错误．C：根据线面垂直的定义可得：若l⊥α，α∥β，则l⊥β是正确的，所以C正确．D：若l∥α，α⊥β，则l⊥β或者l∥β或者l与β相交，所以D错误．故选：C．5．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．6．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选：C．7．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（x+）C．y=cos（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：A、y=sin（+），∵ω=，∴T=4π，不合题意；B、y=cos（x+），∵ω=1，∴T=2π，不合题意；C、y=cos（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=0，即x=，不合题意；D、y=sin（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=，即x=，即图象关于直线x=对称，符合题意，故选：D．8．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m＜B．m＜5 C．m＜4 D．m≤5【解答】解：令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5=+5﹣＞1在[1，3]上恒成立，故有g min（t）＞1．①当＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6﹣m，由6﹣m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．②当∈[1，3]时，函数g（t）在[1，]上单调递减，在（3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（）=5﹣＞1，由此求得﹣4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．③当＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14﹣3m，由14﹣3m＞1，求得m＜，综合可得m无解．综上可得，m＜4，故选：C．10．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3【解答】解：由题意可知几何体是底面是底面为2的等边三角形，高为3的直三棱柱，所以几何体的体积为：=3．故答案为：3．13．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为1．【解答】解：f（x）=，则f（2）=log33=1，f（f（2））=f（1）=e1﹣1=1．故答案为：1．14．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为±2．【解答】解：由题意可得直线的方程y=x+a根据直线与圆相切的性质可得，∴a=±2故答案为：±215．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．16．（4分）已知f（x）=asinx++5，若f[lg（lg2）]=3，则f[lg（log210）]=7．【解答】解：由题意可得，f[lg（lg2）]=f[﹣lg（log210）]=3，∵f（x）=asinx++5，∴f（x）+f（﹣x）=10．∴f[lg（log210）]=10﹣f[lg（lg2）]=7，故答案为：7．17．（4分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f （a）]=的实数a的个数为8个．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=，变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+或1﹣或﹣1﹣或﹣1+．当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+），﹣1），⊥，a=，b=1．（1）求角B的大小；（2）求c的值．【解答】解：（1）根据已知，有，则则所以，又B∈（0，π），则或又a＞b，所以B=（2）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB故有1=3+c2﹣3c解得c=2或c=1．19．（14分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9．数列{b n}满足b n=a n•．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a7=4，a19=2a9，所以，解得a1=1，d=，所以等差数列{a n}的通项公式为；（2）由（1）得b n=a n•=（n+1）2n，所以数列{b n}的前n项和S n=2•21+3•22+4•23+…+n•2n﹣1+（n+1）2n，2S n=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减得﹣S n=2•21+（22+23+…+2n）﹣（n+1）2n+1=4+=4+22（2n﹣1﹣1）﹣（n+1）2n+1=﹣n2n+1．20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S==，△BCD=V C1﹣BCD=••6=9．∴V C﹣BC1D21．（15分）已知函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，g （x）=f（x）+|x﹣t|，其中a，b，t均为常数．（1）求实数a，b的值；（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；（3）若﹣≤t≤，求函数y=g（x）的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，∴，解得．（2）由（1）可得f（x）=x2+1得g（x）=f（x）+|x﹣t|=x2+|x﹣t|+1，x∈[﹣1，1]．当t=0时，函数y=g（x）为偶函数．）当t≠0时，函数y=g（x）为非奇非偶函数．（3）g（x）=f（x）+|x﹣t|=，﹣≤t≤，当x≥t时，函数y=g（x）在[﹣1，1]上单调递增，则g（x）≥g（t）=t2+1．当x＜t时，函数y=g（x）在[﹣1，1]上单调递减，则g（x）＞g（t）=t2+1．综上，函数y=g（x）的最小值为1．22．（15分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．【解答】解：（1）由题意得2+=3，得p=2，∴抛物线C和圆E的方程分别为：y2=4x；（x+2）2+（y﹣2）2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程，整理得y2﹣4my+4t=0，由韦达定理得…①则，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即（m2+1）y1y2﹣mt（y1+y2）+t2=0，将①代入上式整理得t2+4t=0，由t ≠0得t=﹣4．故直线AB 过定点N （4，0）．∴当MN ⊥l ，动点M 经过圆心E （﹣2，2）时到直线l 的距离d 取得最大值．由k MN ==﹣，得k l =3．此时的直线方程为l ：y=3（x ﹣4），即3x ﹣y ﹣12=0．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。