2018丰台高三数学二模考试试题文科
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北京市丰台区2018年高三二模 2018.5数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A)–1(B) 35-(C) i - (D) 3i 5-2．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是(A)若a b =，则a b =- (B) 若a b =-，则a b ≠ (C)若a b ≠，则a b ≠-(D) 若a b ≠-，则a b ≠3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 (A)152(B)516(C) 516-(D) 52-4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④5．函数()sin ()f x x x x =+∈R(A) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (B) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 (C) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数(D) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) -7(B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b=+的图象可能是P 1A(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2A ，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合A =｛x ｜2x -x 2>0｝，B =｛x ｜x >1｝，则AB =______．10．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，则ˆb =______，据此模型可预测2018年该地区的恩格尔系数(%)为______．11．已知cos 2sin θθ=，则cos 2θ 的值为______． 12．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是______．13．已知双曲线2222128x y m m-=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．QPBACD14．在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数1()cos (cos )2f x x x x =--． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点．（Ⅰ）若Q 是P A 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．18.（本小题共13分）14387255511109乙甲已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1N A A M λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．20.（本小题共13分）已知函数f (x )=ln x ，()bg x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当x >1时，f (x )<g (x )成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2018年高三二模数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{}12x x << 10． -2，31.25 11．3512． 63 13．5414．1 注：第10题第一个空答对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：因为1()cos (cos )2f x x x x =--＝21cos cos 2x x x -＝1cos 23222x x +-＝1cos 222x x ＝cos(2)3x π+． （Ⅰ）()6f π＝cos(2)63ππ⨯+＝12-． ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以 42333x πππ≤+≤．当 23x π+=π，即3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当 3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分16．解：（Ⅰ）由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：95+102+105+107+111=1045， 方差为2222221=[(95104)+(102104)+(105104)+(107104)+(111104)]=28.85S -----甲．乙种棉花的平均亩产量为：98+103+104+105+110=1045， 方差为2222221=[(98104)+(103104)+(104104)+(105104)+(110104)]=14.85S -----乙．因为 22>S S 乙甲，O Q P BAC D所以乙种棉花的平均亩产量更稳定． ……………………8分（Ⅱ）从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，107)，(105，111)，(107，111) 共10种， 设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A ， 包括的基本事件为(105，107)，(105，111)，(107，111)共3种．所以3()=10P A ． ……………………13分 答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点．因为 Q 是P A 的中点， 所以 OQ // PC ， 因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC //平面BDQ ． ……………………5分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形， 所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点．因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ．因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面P AC ．因为 CQ ⊂平面P AC ，所以 BD ⊥CQ ． ……………………10分 （Ⅲ）因为 P A =PC ，所以 △P AC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点， 所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º，所以所以所以13P ABCD V -=⨯=P ABCD V -= ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为35232S a S a =⎧⎨=⎩ 所以112123()43()a d a d a d a +=+⎧⎨+=⎩，即122223a da a =⎧⎨=⎩．因为252a a =，0d ≠， 所以20a ≠．所以112a d =⎧⎨=⎩．所以21n a n =-． ……………………6分 （Ⅱ）因为*12()n an n b b n N +-=∈，所以1212ab b -=，2322a b b -=，……112n a n n b b ---=．相加得 1121222n a a an b b --=+++=1323222n -+++=12(41)3n -- ……………………13分即21213n n b -+=．19．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=．因为焦距为c当点P 在短轴的顶点时，P 到F 1F 2的距离最大，所以此时△PF 1F 2的面积最大，所以121222PF F Sc b =⋅⋅=， 所以b = 因为2224a b c =+=， 所以24a =，椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在，可设为k ，则直线l ：(1)y k x =-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22240(1)x y y k x ⎧+-=⎨=-⎩ 消y 得 2222(21)4240k x k x k +-+-=．显然0∆>，且 2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+．因为直线l 交y 轴于点N ，所以(0,)N k -．所以 11(1,)AM x y =--，11(,)NA x k y =+，且1NA AM λ= 所以 1111x x λ=-，同理2221x x λ=-． 所以12121212121212()28111()3x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 即12λλ+为定值是83-. ……………………14分 20．解：（Ⅰ）因为()f x 与()g x 的图象在x 轴上有公共点(1，0)，所以(1)0g =，即0a b +=． 又因为1()f x x '=，2()bg x a x'=-， 由题意(1)(1)1f g ''==，所以12a =，12b =-． ……………………4分 （Ⅱ）设11()()()ln ()22F x f x g x x x x=-=--， 则2211111()(1)0222F x x x x'=--=--<．所以()F x 在1x >时单调递减．由(1)0F = 可得当1x >时，()0F x <即()()f x g x <． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得，11()ln 2x x x-> (1)x >． 令1k x k +=，则111111111ln ()(1)(1)()212121k k k k k k k k k k ++⎡⎤<-=+--=+⎢⎥+++⎣⎦， 所以111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3...,k n =． 将上述n 个不等式依次相加得 11111ln(1)(...)2232(1)n n n +<++++++， 所以1111...ln(1)ln(1)232(1)nn n n n ++++>++>++． ……………………13分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2018北京丰台高三一模数学【文】答案
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）{|23}x x -≤≤ （10） 22(1)2x y -+= （11） 14- （12）12（13）[1,0]-；1,0+-∞（）（1,）U （14）34-；2注：第13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2s in c o s 2c o s 1f x x x x =+- ……………………1分sin 2co s 2x x =+ ……………………3分πin (2)4x =+． ……………………5分所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………………6分（Ⅱ）由πππ2π22π242k x k -+≤+≤+()k ∈Z ， ……………………8分得3ππππ88k x k -+≤≤+()k ∈Z ．……………………10分 当[]0,πx ∈时，单调递增区间为π[0,]8和5π[,π]8． ……………………13分（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为12n n a a +-=，且1=1a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． ……………………2分 所以1(1)221n a n n =+-⋅=-，即21n a n =-． ……………………4分 因为13b =，27b =，且11a =，23a =， ……………………5分 所以111=2c b a =-，222=4c b a =-． ……………………7分 因为数列{}n c 是等比数列，所以数列{}n c 的公比212c q c ==， ……………………8分所以111222n n n n c c q--=⋅=⨯=，即2nn c =． ……………………9分 （Ⅱ）因为2nn n b a -=，21n a n =-，所以221nn b n =+-． ……………………10分所以662261=75b =+⨯-． ……………………11分令21=75m -， 得=38m ． ……………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为90D A B ∠=︒，所以A D ⊥A B ． ……………………1分因为平面P A B ⊥平面A B C D ， ……………………2分 且平面P A B I 平面=A B C D A B ， ……………………3分 所以A D ⊥平面P A B ． ……………………4分（Ⅱ）证明：由已知得A D ⊥A B因为A D B C ∥，所以B C ⊥A B ． ……………………5分 又因为90A B P ∠=︒，所以P B ⊥A B ． ……………………6分因为=P B B C B I ……………………7分 所以A B ⊥平面P B C ……………………8分 所以A B ⊥P C ． ……………………9分（Ⅲ）解：过E 作E F A D ∥交P A 于F ，连接B F ． ……………………10分因为A D B C ∥， 所以E F B C ∥．所以E ，F ，B ，C 四点共面． ……………………11分 又因为C E ∥平面P A B ， 且C E ⊂平面B C E F ，且平面B C E F I 平面=P A B B F ，B所以C E B F ∥， ……………………13分 所以四边形B C E F 为平行四边形， 所以=E F B C ．在△P A D 中，因为//E F A D ， 所以1===2P E E F B C P D A DA D， ……………………14分即1=2P E P D．（18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3,5)内的人数为0.022100040⨯⨯=；健步走的步数在[5,7)内的人数为0.032100060⨯⨯=； 健步走的步数在[7,9)内的人数为0.0521000100⨯⨯=； 健步走的步数在[9,11)内的人数为0.0521000100⨯⨯=；4060100100300+++=．所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人． …………………4分 （Ⅱ）按分层抽样的方法，在[11,13)内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；在[13,15)内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分；在[15,17)内应抽取1人，记为c ，每人的积分是130分； ……………………5分 从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共15种方法． ……………………7分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法． ……………9分设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则124()155P A ==． ……………………11分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为45．（Ⅲ）中位数为373． ……………………13分（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，c =. ……………………1分点(2,0)A -在椭圆C 上．所以2=a ． ……………………2分 所以2221b a c =-=． ……………………3分所以椭圆C 的方程为1422=+yx． ……………………4分离心率23==ac e ． ……………………5分（Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(,)D m n ，(,)E m n --，(2)m ≠± ……………………6分所以1422=+nm ． ……………………7分直线A D ：(2)2n y x m =++．当0=x 时，22+=m ny ，所以)22,0(+m n M ． ……………………8分直线A E ：(2)2ny x m -=+-+．当0=x 时，22+--=m ny ，所以)22,0(+--m n N ． ……………………9分设以MN 为直径的圆与x 轴交于点0(,0)G x 和0(,0)H x -,（00x >）， 所以，02(,)2n G M x m =-+，02(,)2n G N x m -=--+， ……………………10分所以220244nG M G N x m-⋅=+-．因为点G 在以MN 为直径的圆上， 所以0G M G N ⋅=，即2202404nx m-+=-． ……………………12分因为1422=+nm ，即2244m n-=，所以22202244144nm x mm-===--，所以01x =． ……………………13分所以(1,0)G ，(1,0)H -．所以2G H =．所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值2． ……………………14分（20）（本小题共13分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分导函数1e ()eexxxa a x f x xx -'=-+=． ……………………3分（Ⅰ）当1ea =时，因为11(1)0eef '=-+=，1(1)ef =， ……………………5分所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1ey =． ……………………6分（Ⅱ）e ()(0)exx a x f x x x -'=>，设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a 的取值范围是集合A ； ……………………7分 函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则R A B =ð． 所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立， 等价于e xx a ≤恒成立或exx a ≥恒成立． ……………………8分令()(0)ex x g x x =≥，则1()exx g x -'=， ……………………9分由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增； ……………………10分 由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减． ……………………11分 因为(0)0g =，1(1)eg =，且0x >时，()0g x >，所以1()(0]eg x ∈，． ……………………12分 所以1{|0,}e B a a a =≤≥或，所以1{|0}eA a a =<<．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案
北京市丰台区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x xx =--<，则UA =ð(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x > (D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a = (A) 3(B) 23(C)(D)（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的俯视图侧视图正视图体积为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是 (A)2log ()y x =-(B) xx y -=1(C)21y x =-+ (D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 (A) 25 (B)20(C) 13(D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是(A) 14(B) 12(C) 2(D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京市丰台区高三一模文科数学含答案纯word版
侧视图俯视图丰台区2018年高三年级第二学期统一练习<一） 2018.3数学<文科）第一部分<选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x ∣x2≤9}，B={x ∣x<1}，则A ∩B= (A> {x ∣x ≤3} (B> {x ∣-3<x<1} (C> {x ∣-3≤x<1} (D> {x ∣-3≤x ≤3} 2．设a=0.64.2，，，则a ，b ，c 的大小关系是(A>(B>(C>(D>3．若变量x ，y 满足约束条件 则z=3x+5y 的取值范围是(A>(B>(C>(D>4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A>20-2π (B> (C>(D>等于5．已知向量，，若，则实数m(A> -5 (B> (C>0 (D> 56．若函数 则“a=1”是“函数y=f(x>在R 上单调递减”的(A>充分不必要条件(B> 必要不充分条件(C> 充要条件(D> 既不充分也不必要条件7．设为等比数列的前项和，若a1=1，且，，成等差数列，则数列的前5项和为(A> 341(B>(C> 1023 (D> 1024 8．已知定义在R 上的函数满足，当时，．若函数至少有6个零点，则a 的取值范围是 (A> (1，5>(B>(C>(D>第二部分<非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数对应的点的坐标为____．10．已知抛物线y2=8x 上一点P 到焦点的距离是6，则点P 的坐标是_____． 11．已知函数在x=a 时取到最小值，则a=________．12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图<如图所示）．若在内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是；样本数据在内的频率是．b5E2RGbCAP13．执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为10，则a0=____． 14．定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”．下列函数：①；②；③；④中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为____．<写出所有满足条件的函数的序号）p1EanqFDPw 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.<本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．<Ⅰ）判断△ABC 的形状； <Ⅱ）若，求的最大值．16.<本小题共13分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：<Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率； <Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？DXDiTa9E3d 17.<本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PD ，∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上． RTCrpUDGiT <Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；<Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA // 平面BDQ ；<Ⅲ）若VP-BCDE =2VQ- ABCD ，试求的值．18.<本小题共13分）已知函数．<Ⅰ）若曲线y=f(x>在(1，f(1>>处的切线与直线x+y+1=0平行，求a 的值；<Ⅱ）若a>0，函数y=f(x>在区间(a ，a2-3>上存在极值，求a 的取值范围；<Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x>在(0，2>上恰有一个零点． 19.<本小题共14分）已知椭圆C ：的离心率为，且经过点．<Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；<Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于，两点，连接MA ，MB 并延长交直线x=4于P ，Q 两点，设yP ，yQ 分别为点P ，Q 的纵坐标，且．求△ABM 的面积．5PCzVD7HxA 20.<本小题共13分）DCBQPEA设数列的前项和为，且．数列满足，．<Ⅰ）求数列的通项公式；<Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；<Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．jLBHrnAILg <考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2018年高三年级第二学期数学统一练习<一）数 学<文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．11．12．50，0.1213．314．①④注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：<Ⅰ）<法1）因为，由正弦定理可得． ……………………3分即，所以．……………………4分因为在△ABC中，，所以又，……………………5分所以，．所以△ABC为的直角三角形．……………………6分xHAQX74J0X<法2）因为，由余弦定理可得，……………………4分所以．因为，所以．……………………5分LDAYtRyKfE所以在△ABC中，．所以△ABC为的直角三角形．……………………6分Zzz6ZB2Ltk<Ⅱ）因为，……………………8分所以． (9)分因为△ABC是的直角三角形，所以，……………………10分dvzfvkwMI1所以， (1)1分rqyn14ZNXI所以． (12)分即的最大值为．……………………13分EmxvxOtOco16．解：<Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．SixE2yXPq5……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，……………………3分则，……………………5分6ewMyirQFL．……………………6分kavU42VRUs所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．<Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为<i=1，2），教龄在5至10年的教师为<j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．……………………9分y6v3ALoS89设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，……………………10分包括的基本事件为，，，，，，，共8个，……………………11分M2ub6vSTnP则．……………………13分0YujCfmUCw所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．17．证明：<Ⅰ）因为 E是AD的中点， PA=PD，所以AD ⊥PE ． ……………………1分eUts8ZQVRd 因为 底面ABCD 是菱形，∠BAD =60º，所以 AB=BD ，又因为E 是AD的中点，所以AD ⊥BE ． ……………………2分因为 PE ∩BE=E ，……………………3分 所以 AD ⊥平面PBE ． ……………………4分 <Ⅱ）连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ．……………………5分因为O 是AC 中点， Q 是PC 的中点， 所以OQ 为△PAC 中位线． 所以OQ//PA ． ……………………7分sQsAEJkW5T 因为PA平面BDQ，OQ平面BDQ ． ……………………8分所以PA//平面BDQ ． ……………………9分GMsIasNXkA OD CBAQPE<Ⅲ）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为，，所以VP-BCDE=SBCDE，VQ-ABCD=SABCD．……………………10分因为VP-BCDE =2VQ - ABCD，且底面积SBCDE=SABCD．……………………12分所以，……………………13分因为，所以．……………………14分18．解：<Ⅰ），……………………1分TIrRGchYzg，……………………2分7EqZcWLZNX因为曲线y=f(x>在(1，f(1>>处的切线与直线x+y+1=0平行所以，……………………3分lzq7IGf02E所以．……………………4分<Ⅱ）令，……………………5分zvpgeqJ1hk即，所以或．……………………6分因为a>0，所以不在区间(a，a2-3>内，要使函数在区间(a，a2-3>上存在极值，只需．……………………7分所以．……………………9分<Ⅲ）证明：令，所以或．因为a>2，所以2a>4，……………………10分NrpoJac3v1所以在(0，2>上恒成立，函数f(x>在(0，2>内单调递减．又因为，，……………………11分所以f(x>在(0，2>上恰有一个零点．……………………13分19．解：<Ⅰ）依题意，，所以．……………………2分因为，所以．……………………3分椭圆方程为．……………………5分<Ⅱ）因为直线l的斜率为1，可设l：，……………………6分则，消y得，……………………7分，得．因为，，所以，．……………………8分设直线MA：，则；同理．…………………9分因为，所以，即．……………………10分所以，所以，，，所以，所以．……………………12分所以，．设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N，所以．…………14分所以△ABM的面积为．20．解：<Ⅰ）当时；当时，因为适合通项公式．所以．……………………5分<Ⅱ）因为，所以，即．所以是首项为=1，公差为2的等差数列．所以，所以．……………………9分<Ⅲ）存在常数使得不等式恒成立．因为①所以②由①-②得，化简得．因为=，<1）当为奇数时，，所以，即．所以当=1时，的最大值为，所以只需；<2）当为偶数时，，所以，所以当=2时，的最小值为，所以只需；由<1）<2）可知存在，使得不等式恒成立．……………………13分<若用其他方法解题，请酌情给分）申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018丰台一模文科数学试题及答案!
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（文科）2018.03第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数21i =+ (A) 1i -+(B) 1i -- (C) 1i + (D) 1i -（2）已知命题p ：1x ∃<，21x ≤，则p ⌝为(A) 1x ∀≥，21x > (B) 1x ∃<，21x >(C) 1x ∀<，21x > (D) 1x ∃≥，21x >（3）已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是(A)11a b> (B)<(C) 22a b>(D) 33a b >（4）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 (A) 28y x = (B) 28x y =-(C) 2y =(D) 2x =（5）设不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在D 中任取一点(,)P x y 满足2x y +≥的概率是(A)1112 (B)56(C)2125(D)2325 （6）执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是(A) 12-(B) 1-(C) 2(D)12，是 开始 结束? 输出a侧视图俯视图正视图第6题 第7题 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)43(B) 4 (C)83(D)（8）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是(A)π2(B)3π4 (C) 5π4(D) π 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习
丰台区年高三年级第二学期综合练习（一）数学（文科）第一部分 （选择题 共分）一、选择题共小题，每小题分，共分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（）复数21i =+ () 1i -+() 1i --() 1i + () 1i -（）已知命题p ：1x ∃<，21x ≤，则p ⌝为()1x ∀≥，21x > () 1x ∃<，21x > ()1x ∀<，21x >() 1x ∃≥，21x >（）已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是()11a b> ()<() 22a b > () 33a b >（）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 () 28y x =() 28x y =-() 2y =() 2x =（）设不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在D 中任取一点(,)P x y 满足2x y +≥的概率是()1112 ()56()2125()2325 （）执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是() 12-() 1-() 2()12，是 开始 结束? 输出a侧视图俯视图正视图第题 第题 （）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()43() 4()83（）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是()π2()3π4 () 5π4() π第二部分 （非选择题 共分）二、填空题共小题，每小题分，共分。
（）已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ． （）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是．（）在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =． （）已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则xy 的最大值为． （）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+．①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是． （）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC =，则AB CD ⋅=；①若AP AB AD =+，则||AP 的最大值为．三、解答题共小题，共分。
2018丰台高三数学二模考试试题含答案及解析文科
丰台2018高三二模 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，2{|230}A x x x =--<，则UA =(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x >(D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =(A)33 (B)233(C)3(D) 23（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是(A) 2log ()y x =- (B) xx y -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为(A) 25 (B) 20 (C) 13 (D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b ，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是 (A)14(B)121俯视图侧视图正视图112(C) 2 (D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三数学-2018丰台区二模文 精品
丰台区2018年高三练习（二）数学试卷（文科）第I卷（选择题共40分）一. 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是纯虚数，则z等于（）A. B. C. D.2. 设a>0且，实数x、y满足，则y关于x的函数大致图象可能是（）A. （3）（4）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （1）（2）3. 对于函数有下列命题：（）（1）函数的最小正周期是；（2）函数是偶函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数在上为减函数；其中正确命题的序号是（）A. （2）（3）B. （2）（4）C. （1）（3）D. （1）（2）（3）4. 如图，正方形ABCD，PB=BC，平面ABCD，则PC与BD所成的角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 函数的图象如图所示，为奇函数，其定义域为，则不等式的解集是（）A. B.C. D.6. 分别在椭圆与抛物线上的两动点M、N间的距离的最小值是5，则m的值是（）A. B. C. D.7. 设球的体积为，球的内接等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的体积为，则等于（）A. B. 4：3 C. D.8. 等差数列中，，且，为数列的前n项和，则使的n的最小值为（）A. B. 20 C. 10 D. 11第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9. 直线与的夹角为，则等于________________，过点（0，1）且与垂直的直线方程是_____________________。
10. 等比数列中，，则=_________，表示数列_________________。
11. 从5位同学中选2位同学分别担任班长和学习委员，有_______________种不同的选法；如果甲同学不适合做学习委员，有_______________种不同的选法（用数字作答）。
2018年高三最新 北京丰台2018年高三(下)统一练习(一)(
北京市丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数iiz +-=11化简的结果等于 （ ） A ．-i B ．iC ．-2iD ．2i2．函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是（ ）A ．}6|{>x xB ．}63|{<<-x xC ．}3|{->x xD ．}63|{<≤-x x3．在右面的程度框图中，若x=5，则输出i 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．直线40222=+=++y x y x 截圆所得劣弧所对圆心角为 （ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π 5．若1,0=+<<b a b a 且，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．21 B ．22b a +C ．ab 2D ．b6．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-7．若集合},,0201|),{(},2,1,0{P y x y x y x y x Q P ∈⎩⎨⎧<-->+-==，则Q 中元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 8．在ABC ∆，|"|||"""BC AC BC BA AC AB =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3.10．设等比数列}{n a 的公比为,21=q 前n 项和为44,a S S n 则= . 11．已知向量|2|),3,1(),2,1(),,(y x -=+-==则且等于 . 12．函数x x f ln )(=的图象在点))(,(e f e 处的切线方程是 .13．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则= .14．已知点A （1，-1），点B （3，5），点P 是直线x y =上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由.17．（15分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题.（I ）求全班人数及分数在[)90,80之间的频数；（II ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高；（III ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.18．（13分）设.13)1(23)(23+++-=ax x a x x f （I ）若函数)(x f 在区间（1，4）内单调递减，求a 的取值范围；（II ）若函数a x x f =在)(处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间（1，4）内函数)(x f的单调性.19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线2:+=kx y l 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q. （I ）求轨迹C 的方程；（II ）是否存在常数0,=⋅OQ OP k 使？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成： ①;212++<+n n n a a a②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，,18,43==n S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使.M d k = 求证：.321+++>>k k k d d d参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） ADCDDABC二、填空题（每小题5分，共30分）9．324 10．15 11．512．0=-ey x13．2 14．（2，2） 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a …………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG 平面PAC ， ∴BD ⊥FG …………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ，而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 17．（15分）解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯ 全班人数为.2508.02= …………3分 所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=---- …………5分（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[)80,70之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747； 分数在[)90,80之间的总分约为85×4=340； 分数在]100,90[之间的总分数为95+98=193； 所以，该班的平均分数为.7425193340747456114=++++…………8分估计平均分时，以下解法也给分： 分数在[)60,50之间的频率为2/25=0.18; 分数在[)70,60之间的频率为7/25=0.28； 分数在[)80,70之间的频率为10/25=0.40; 分数在[)90,80之间的频率为4/25=0.16 分数在]100,90[之间的频率为2/25=0.18; 所以，该班的平均分约为8.7308.09516.08540.07528.06508.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高为.016.010254=÷…………10分 （III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6） （4，5），（4，6） （5，6）共15个，…………12分 其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， …………14分 故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159= …………15分 18．解：))(1(33)1(33)('2a x x a x a x x f --=+--= …………2分（1）在区间函数)(x f （1，4）内单调递减，[).,4,0)4('+∞∈∴≤∴a f…………5分（2）a x x f =在函数)( 处有极值是1，,1)(=∴a f即,11232113)1(2323223=++=+++-a a a a a a ,0)3(2=-∴a a 所以a=0或3.…………8分当a=0时，f （x ）在)0,(-∞上单调递增， 在（0，1）上单调递减，所以f （0）为极大值，这与函数f （x ）在x=a 处取得极小值是1矛盾， 所以0≠a…………10分当a=3时，f （x ）在（1，3）上单调递减，在),3(+∞上单调递增， 所以f （3）为极小值，所以a=3时，此时，在区间（1，4）内函数f （x ）的单调性是： f （x ）在（1，3）内减，在[)4,3内增.…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………4分（2）将2+=kx y ，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k ①…………6分设),,(),,(2211y x Q y x P 由方程①，得221221414,4128kx x k k x x +=+-=+ ② …………8分又.2)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ③若,0=⋅ 得,02121=+y y x x…………10分将②、③代入上式， 解得.26±=k …………12分又因k 的取值应满足,0>∆ 即0142>-k （*）， 将26±=k 代入（*）式知符合题意 …………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，当n=1时，,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素，…………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时， 不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+,32433b b b <=+而且有5≤n b ， 显然满足集合W 的条件①②， 故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分 （II ）}{n c 是等差数列，n S 是其前n 项和， ,18,433==S c 设其公差为d ， .182333=+-+-∴c d c d c 2-=∴dn n S n d n c c n n 9,102)3(23+-=+-=-+=∴ …………7分 ,01212<-=-+++n n n S S S;212++<+∴n n n S S S,481)29(2+-=n S nn S ∴的最大值是,2054==S S 即.204=≤S S nW S n ∈∴}{，且M 的取值范围是[)+∞,20 …………9分 （III ）证明：,2,}{12+-<+∴∈k k k n d d d W d整理)()(11112M d d d d d d k k k k k k -+=-+<-++++，;,,121+++<∴≤∴=k k k k d d M d M d 又,)(,221223231++++++++<-+<∴<+k k k k k k k k d d d d d d d d .321+++>>∴k k k d d d…………14分。
丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习(二)高三数学文科
丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科） 2019.05一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．3π10．35 11．412．满足12,0a a >,0d <(答案不唯一) 13．( 14．6； 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）因为11a =，1e n n a a +=⋅()n *∈N ，所以数列{}n a 是1为首项，e 为公比的等比数列，所以1n n a e -=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1ln ln e 1n n a n -==-， ………………5分所以 (1)012(1)2n n n T n -=++++-=， ………………7分 所以23111nT T T +++2222122334(1)n n =++++⨯⨯⨯-11111112[(1)()()()]223341n n =-+-+-++-- ………………10分 12(1)n =-.………………11分 因为10n >，所以111n -<.所以12(1)2n -<即231112nT T T +++< ………………13分16．（共13分）解:（Ⅰ）由已知)(x f 图象得 2.A =3342T π=，则 2T =π. 因为22T ωπ==π，0ω> 所以1ω=. …………2分 因为02ϕπ<<， 所以3ϕπ=. …………4分 所以()2sin(+)3f x x π=． …………6分（Ⅱ）由题可得：()2cos2g x x =． …………8分故()2sin 2y g x x =+2cos22sin2x x =++)4x π=． …………10分因为3+22+2242k x k ππππ+π≤≤， …………11分所以5++88k x k ππππ≤≤. 所以()g x 的单调递减区间为5+,+,88k k k ππ⎡⎤ππ∈⎢⎥⎣⎦Z . …………13分17．（共13分） 解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=. ………………4分（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100]的有0.025404⨯⨯=名，记为1A ，2A ，3A ，4A ，高二年级成绩为[95,100]的有2名，记为1B ，2B . ………………6分 选取2名学生的所有可能为：12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，34A A ，31A B ，32A B ，41A B ，42A B ，12B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12A A ，13A A ，14A A ，23A A ，24A A ，34A A ，12B B ，共7种； ………………8分 设2名学生来自于同一年级为事件A ， 所7()15P A =. ………………10分（Ⅲ）12X X <． ………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点， 所以'OD AO ⊥． ………………1分因为平面⊥'AOD 平面ABCO ， 平面 'AOD 平面AO ABCO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． ………………4分 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． ………………5分（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP ，PM ；因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，所以AB PM //，AB PM 21=． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，DC AB //，所以122aOC CD ==．所以AB OC //，AB OC 21=． ………………6分 所以OC PM //，OC PM =．所以四边形OCMP 为平行四边形， ………………7分 所以OP CM //，因为⊄CM 平面'AOD ，⊂OP 平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ； ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高． ………………11分因为1'3V S OD =⨯⨯==底，所以2a =． ………………14分解：（Ⅰ）由题知22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………3分 所以求椭圆E 的方程为22143x y +=．…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．由221 1.43x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得1213,22k k ==或1213,22k k =-=-；均有1213k k =． 猜测存在13λ=．…………………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由()2211.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．则212221228,43412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………8分故1212121323(2)y y k k x x -=-+-…………………9分2112123(2)(2)3(2)(2)x y x y x x --+=+-()1212122583(2)(2)k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=+- 2222128(3)40843433(2)(2)k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦=+- 0.= …………………13分所以存在常数13λ=使得1213k k =恒成立 …………………14分解：（Ⅰ）当3a =时， 32()3f x x x =-，2'()363(2)f x x x x x =-=-． …………………2分当[0,2]x ∈时，'()0f x ≤，所以()f x 在区间[0,2]上单调递减． …………………4分 所以()f x 在区间[0,2]上的最小值为(2)4f =-． …………………5分（Ⅱ）设过点(1,(1))P f 的曲线()y f x =的切线切点为00(,)x y ，2'()32f x x ax =-，(1)1f a =-， 所以320002000,(1)(32)(1).y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩ 所以320002(3)210x a x ax a -+++-=．令32()2(3)21g x x a x ax a =-+++-， 则2()62(3)2g x x a x a '=-++(1)(62)x x a =--，令()0g x '=得1x =或3a x =， 因为3a >，所以1a>． ()g x 的极小值为()(1)03ag g <=，所以()g x 在(,)3a-∞上有且只有一个零点1x =．因为3222()2(3)21(1)(1)0g a a a a a a a a =-+++-=-+>，所以()g x 在(,)3a+∞上有且只有一个零点．所以()g x 在R 上有且只有两个零点．即方程320002(3)210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． …………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京丰台区丰台第六中学2018年高三数学文月考试题含解析
北京丰台区丰台第六中学2018年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在直角坐标系中，如果不同两点A(a，b)，B(—a一b)都在函数y=h(x)的图象上，那么称[A，B]为函数h(x)的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组).已知定义在上的函数f(x)满足f(x+2)= f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=sin x.则函数的“友好点”的组数为(A) 4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：A略2. 已知向量，，若，则等于A． B． C． D．参考答案：B略3. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B． C．D．参考答案：C4. 已知，且，则下列不等式中，正确的是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为【】A． B． C．D．参考答案：6. 下列函数中，最小值为2的函数是A. B.C. D.参考答案：C7. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（▲ ）A．B．1 C．D．参考答案：C该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.8. （3分）若log a3＜log b3＜0，则（）A． 0＜a＜b＜1 B． 0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 D． b＞a＞1参考答案：考点：对数函数的单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化log a3＜log b3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．解答：∵log a3＜log b3＜0，∴＜＜0，即log3b＜log3a＜0，故0＜b＜a＜1，故选B．点评：本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．9. 已知,向量与的夹角为,则的值为( )A. B. C. D.3参考答案：D略10. 幂函数的图象经过点，则的值为（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知表示不超过的最大整数，如：．定义．给出如下命题：① 使成立的的取值范围是；② 函数的定义域为，值域为；③ 1006；④ 设函数，则函数的不同零点有3个．其中正确的命题的序号是．参考答案：①③④略12. 已知为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为__________.参考答案：略13. 设关于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为．参考答案：（）考点：根与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，在同一坐标系中作出两个函数得图象，继而得出关系式求解即可．解答：解：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，①由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，②由①可得2a=2x﹣，作出函数y=x2﹣x和y=2x﹣的函数图象如下图：∵x1＜x3＜x2＜x4∴x2﹣x=2x﹣整理得：，即，即解得：x=1或x=当x=1﹣时，a=∴点评：本题主要考查函数中零点与系数的关系，在考试中经常作为选择填空出现，属于中档题．14. 已知实数满足，则的最大值为_______________.参考答案：略15. 设等差数列{a n}的前项和为，若，则________，________.参考答案：－4 －20【分析】根据等差中项的性质可得，利用等差数列的前项和公式及等差中项的性质可得的值．【详解】解：依题意，；．故答案为：，．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前项和，主要考查了推理能力和计算能力，属于基础题．16. 从1=1，1－4=－(1+2),1－4+9=1+2+3,1－4+9－16=－(1+2+3+4),…,推广到第个等式为_____________________________________.参考答案：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）17. 的展开式中的系数是.(用数值作答）参考答案：二项式展开式的通项为，令得。
2018年北京市各城区二模数学文科分类汇编之立体几何含答案
2018北京市各城区二模数学（文科）分之立体几何含答案【丰台二模】（17）（本小共14分）如，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，A1D平面ABC，AB=BC，平面BBD与棱AC交于点111A1E（Ⅰ）求：AC A1B；C 1（Ⅱ）求：平面BB1D平面AACC；11B1（Ⅲ）求：B1B∥DE．ADC（17）（本小共14分）B明：（Ⅰ）因A1D平面ABC，因此A1D AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分因△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，因此BD AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因A1DI BDD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分因此AC平面A1BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此AC A1B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）因A1D平面ABC，因BD平面ABC，因此A1D BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由（Ⅰ）知BD AC．因ACI A1D D，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此BD平面A1ACC1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因BD平面BB1D，因此平面BB1D平面AAC11C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）因在三棱柱ABC A1B1C1中，面A1ABB1平行四形，因此B1B∥A1A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因B1B平面A1ACC1，A1A平面A1ACC1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因此B1B∥平面A1ACC1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因B1B平面BB1D，且平面BB1DI平面A1ACC1DE，⋯⋯⋯13分因此B1B∥DE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分【旭日二模】18.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD中,!PBC是等腰三角形,且PBPC 3.四边形ABCD是直角梯形,AB//DC,ADDC,AB5,AD4,DC3.（Ⅰ）求证:AB//平面PDC;（Ⅱ）当平面PBC平面ABCD时,求四棱锥P ABCD的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC垂直,并给出证明.．．分析:（Ⅰ）由于AB//CD,CD平面PDC,AB平面PDC因此AB//平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD中,过点C作CF AB于F,取CD中点E,连结PE,由于PC PB因此在!PCB中,PE BC,由于面PBC面ABCD,面PBCI面ABCD=BC因此PE面ABCD由于AB//CD，AD CD,CF AB,AB 5,AD 4,DC 3因此CF 4,BF 222,在!CFB中,BCCF BF25PEPE2CE22由于S梯形ABCD(AB DC)162132因此VPABCD3S梯形ABCDPE3取BC的中点E,连结PE由于PB PC,因此PB BC,则PE3252由于平面PBC平面ABCD,平面PBCI平面ABCD BC,PB BC因此PB平面ABCD则四棱锥P ABCD的体积为:S1(35)4232323（Ⅲ）点P和点A,连结AC和AE则AC32425AB,AE均分BC,因此AE BCPD CEA B又PE BC,PE平面PAE,AE平面PAE,AEIPE E因此BC平面PAE,PA平面PAE,因此BC PA即证点P和点A所在的直线PA与直线BC垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACBC，AC BCCC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC C1F；C1B1（Ⅱ）求证：BE∥平面AC11F；EA1（Ⅲ）在棱CC1上能否存在一点G，使得平面B1EG平面AC11F？说明原因．FCB （18）（共14分）A解：（Ⅰ）在三棱柱ABCA1B1C1中，由于侧棱垂直于底面，因此CC1平面ABC．因此CC1AC．由于AC BC，CC1IBC C，因此AC平面BCC1B1．由于C1F平面BCC1B1，因此AC C1F．5分（Ⅱ）取A1C1中点H，连结EH，FH．则EH∥B1C1，且EH 1B1C1，H 2A1又由于BF∥B1C1，且BF 1B1C1，2因此EH∥BF，且EH BF．因此四边形BEHF为平行四边形．因此BE∥FH．A又BE平面AC11F，FH平面AC11F，因此BE∥平面ACF．1 1（Ⅲ）在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．连结EG,GB1．C1在正方形BB1C1C中，由于F为BC中点，A1因此△B1C1G≌△C1CF．G因此C1CF B1GC190．C因此B1G C1F．由（Ⅰ）可得AC平面BB1C1C，A由于AC//A1C1，因此A1C1平面BB1C1C．由于B1G平面BB1C1C，因此AC11B1G．由于1111，AC ICF C因此B1G平面AC11F．由于B1G平面B1EG，因此平面B1EG平面AC11F．C1B1ECF B10分B1EFB14分【西城二模】（18．（本小分14分）如，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面相互垂直，AB//CD//EF，AB AD，G AB的中点．CD DA AF FE2，AB4．（Ⅰ）求：DF//平面（Ⅱ）求：平面BCF（Ⅲ）求多面体AFEBCD BCE；平面GCE；的体．18．（本小分14分）解：（Ⅰ）因CD//EF，且CD EF，因此四形CDFE平行四形，因此DF//CE．⋯⋯2分因DF平面BCE，⋯⋯3分因此DF//平面BCE．⋯⋯4分（Ⅱ）接FG．因平面ABCD平面ABEF，平面ABCDI平面ABEF AB，AD AB，因此AD平面ABEF，因此BF AD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因G AB的中点，因此AG//CD，且AG CD；EF//BG，且EF BG，因此四形AGCD和四形BEFG均平行四形．因此AD//CG，因此BFCG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因EFEB，因此四形BEFG菱形，因此BF EG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此BF平面GCE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此平面BCF平面GCE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）BFIGE O．由（Ⅰ）得DF//CE，因此DF//平面GCE，由（Ⅱ）得AD//CG，因此AD//平面GCE，因此平面ADF//平面GCE，因此几何体ADF GCE是三棱柱．⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分由（Ⅱ）得BF平面GCE．因此多面体AFEBCD的体V V ADFGCE V BGCE⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分S GCE1S GCE BO FO34S GCE FO 83．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分33【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的地点，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC平面PCF；（Ⅲ）在线段PD,BC上能否分别存在点M,N，使得平面CFM//平面PEN？若存在，请指出点M,N的地点，并证明；若不存在，请说明原因.17．（本小14分）（Ⅰ）明：折叠前，因四形AECD菱形，因此AC DE；因此折叠后，DE PF,DE CF,又PFICF F,PF,CF平面PCF，因此DE平面PCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）因四形AECD菱形，因此DC//AE,DC AE.又点E AB的中点，因此DC//EB,DC EB.因此四形DEBC平行四形.因此CB//DE.又由（Ⅰ）得，DE平面PCF,因此因CB 平面PCF. CB 平面PBC，因此平面PBC平面PCF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）存在知足条件的点M,N,且M,N分别是PD和BC的中点.如图，分别取PD和BC的中点M,N.连结EN,PN,MF,CM.由于四边形DEBC为平行四边形，1因此EF//CN,EF BC CN.2因此四边形ENCF为平行四边形.因此FC//EN.在PDE中，M,F分别为PD,DE中点，因此MF//PE.又EN,PE平面PEN,PEIEN E,MF,CF平面CFM,因此平面CFM//平面PEN.【昌平二模】18.（本小题14分）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD平面ABEF，AF//BE,AB BE,ABBE2,AF1．（Ⅰ）求证：AC平面BDE；14分EF（Ⅱ）求证：AC//平面DEF；（III）求三棱锥D-FEB的体积.18.（共14分）A B OD C证明：（I）由于正方形ABCD,因此AC BD.又由于平面ABEF平面ABCD,平面ABEF I平面ABCD=AB,AB BE,BE平面ABEF,因此BE平面ABCD.又由于AC平面ABCD.故BE AC.又由于BEIBDB，因此AC平面BDE.--------------------5分（II）取DE的中点G，连结OG,FG，由于四边形ABCD为正方形，因此O为BD的中点．则OG//BE，且OG1BE．2由已知AF//BE，且AF1BE，则AF//OG且AFOG，2EFGA B因此四边形AOGF为平行四边形，因此AO//FG，O 即AC//FG．由于AC平面DEF，FG平面DEF，因此AC//平面DEF．--------------------10分D C（III）由于平面 ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF I平面ABCD=AB,因此AD//BC,AD AB.由（I）知，BE平面ABCD，AD平面ABCD因此BE AD因此AD平面BEF.因此V DBEF1S BEF AD11BE ABAD 4.--------------------14分3323【顺义二模】（本小题满分13分）如图,直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长为1,AB AC 1,BC2,D是BC的中点..（Ⅰ）求证:AD平面B1BCC1;（Ⅱ）求证:A1B//平面ADC1;（Ⅲ）求三棱锥B1ADC1的体积.【房山二模】（18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点.现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的地点，使得平面ABCF平面D1E1FC，如图2.（Ⅰ）证明：D1F平面E1OG；（Ⅱ）求几何体E1-OFAG的体积；（Ⅲ）在直线AB上能否存在点H，使得D1H//平面E1OG？假如存在，求出AH的长；假如不E D存在，请说明原因.F.OC A G BE1D1F COCF （18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG图（2）中，OG CFA G B又面CD1E1F面ABCF，面CD1E1FI面ABCF=CFOG面CD1E1FQD1F面CD1E1FOGD1F又O为CF的中点OF//D1E1，又E1D1E1F四边形E1D1OF为菱形=D1F OE1QOGIOE1=O D1F面E1OG5分E1D1（Ⅱ）图二中，过E1作E1M FO，垂足为MFO CQOG面CD1E1F，E1M面CD1E1FE1MOG MQOGIFOO E1M面AGOF E1M为E1-OFAG的AG B高，E1M=2sin603S四OFAG=(1+2)31=33V 1Sh310分2232（Ⅲ）过C作CH AB,交AB的延伸线于点HCH//OG又OE1//CD1,CD1I CH C面D1CH//面E1OGHD1H//面E1OGQD1H面D1CHQ四形OGHC矩形GH=CO=2AH=3⋯⋯⋯⋯14分。
2018丰台高三数学二模考试答案及解析文科
丰台2018高三二模 2018.5高三数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）25-（10） 5 （11）50x +-=（12）2；π6（13）1-；1,4,2-∞-（）（-1-） （14）①② 注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）在△ADB 中，由余弦定理得222cos2AD BD AB ADB AD BD +-∠=⋅100361962106+-=⨯⨯12=-． …………………2分 因为 (0,π)ADB ∠∈， …………………3分 所以2π3ADB ∠=． …………………5分 （Ⅱ）由 cos DAC ∠=，可知sin DAC ∠=， …………………6分 所以2πsin sin()3C DAC ∠=-∠ …………………8分 12142147=⨯+⨯=． …………………10分 在△ADC 中，由正弦定理得sin sin AC ADADC C=∠∠， …………………12分 所以=所以 AC = …………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为 23n S n =，所以 113a S ==． …………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分 因为当 1n =时，16133a ⨯-==， …………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是 63n a n =-． …………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为 113a b =，所以 11b =． (6)分因为 242b b a ⋅=， 所以 239b =． …………………8分因为 2310b b q =>，所以 33b =，且23q =． (10)分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列． (11)分所以 212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即 1(31)2nn T =-． …………………13分（17）（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以 1A D ⊥AC ． …………………1分 因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点，所以 BD AC ⊥． …………………2分 因为 1A DBD D =， …………………3分所以 AC ⊥平面1A BD ． …………………4分 所以 1AC A B ⊥． …………………5分 （Ⅱ） 因为 1A D ⊥平面ABC ，因为 BD ⊂平面ABC ，所以 1A D BD ⊥． …………………6分 由（Ⅰ）知 BD AC ⊥． 因为 1ACA D D =， …………………7分所以 BD ⊥平面11A ACC ． …………………8分 因为 BD ⊂平面1BB D ，所以 平面1BB D ⊥平面11AAC C ． …………………9分 （Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以 11B B A A ∥． …………………10分 因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分 所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =， (13)分所以 1B B DE ∥． …………………14分（18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；……………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……………2分（Ⅰ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种， …………………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． (7)分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38．（III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分（19）（本小题共13分）解：（Ⅰ）()()sin f x x a x '=--． …………………2分因为 (0,π)x ∈，所以 sin 0x >． .....................3分 由 ()0f x '=得 x a =． (4)分当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,π)上单调递减； …………………5分 当πa ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,π)上单调递增； …………………6分 当0πa <<时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,π)上单调递减； 当πa ≥时，()f x 在(0,π)上单调递增；当0πa <<时，以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ．………9分 （Ⅱ）设 2()21g x x x =--．因为 2()(1)2g x x =--，当1x =时，()g x 有最小值为2-． (10)分因为对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有 2122()21f x x x >--，所以 (0)2(π)2f f ≥-⎧⎨≥-⎩， 即2(π)2a a -≥-⎧⎨--≥-⎩． 所以π22a -≤≤，即a 的取值范围是[π2,2]-． …………………13分（20）（本小题共14分）（Ⅰ）解：依题意 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =， …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=．…………………4分 （Ⅱ）解：椭圆得右焦点(1,0)F ．当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，3MN =，不合题意． (5)分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． (7)分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………8分因为247MN ==， …………………9分247=，所以2212347k k +=+，所以1k =±． …………………10分 （Ⅲ）证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，此时123922233k k +=+=． …………………11分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． 此时21211221221121)(416)4)(3()4)(3(4343x x x x x y x y x y x y k k ++---+--=--+--=+． 分子化为21122121)(4)(324y x y x y y x x +++-+-248))(53(22121++++-=k x x k x kx ．所以222222222143)3(4438416248438)53(43)3(42k k k k k k k k k k k k k +-++⨯-+++⨯+-+-⨯=+ )3(8)43(4)43)(3(2)53(2)3(2222222-+-+++++--⨯=k k k k k k k k k 299181822=++=k k ．综上所述，12k k +为定值2． …………………14分。
2018届丰台区高考数学模拟试卷及答案
2018 届丰台区高考数学模拟试卷及答案目前的数学高考已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型考试，单纯的复习课本是不行的，我们需要多做高考数学模拟试卷来熟悉里面的题型，以下是为你的2018 届丰台区高考数学模拟试卷，希望能帮到你。
一、选择题1. 复数z= 在复平面内对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2. 设为等比数列的前项和，，则(A)2(B)3(C)4(D)53. 执行右边的程序框图，输出k 的值是(A)3(B)4(C)5(D)64. 已知变量满足约束条件，则的最大值是(A)(B)(C)1(D)5. 已知命题p:;命题q:, 则下列命题为真命题的是(A)(B)(C)(D)6. 已知关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3 个整数，则所有符合条件的 a 的值之和是(A)13(B)18(C)21(D)267. 如果函数y=f(x) 图像上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程，那么正确的选项是(A)y=f(x) 是区间(0 ，) 上的减函数，且x+y(B) y=f(x) 是区间(1 ，)上的增函数，且x+y(C) y=f(x) 是区间(1 ，) 上的减函数，且x+y(D) y=f(x) 是区间(1 ，) 上的减函数，且x+y8. 动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积(A) 有最大值8(B) 有最小值2(C) 有最小值3(D) 有最小值4二填空题9. 在平面直角坐标系中，已知直线C:(是参数)被圆C:截得的弦长为;10. 某校从高一年级学生中随机抽取100 名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：［40,50) , ［50,60)，…，［90,100］后得到频率分布直方图(如图所示). 则分数在［70,80) 内的人数是11. 如图，已知直线PD切。
O于点D,直线PO交O O于点E,F. 若，则。
2018年北京市丰台区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤﹣1或x≥3}B．{x|x≤﹣3或x≥1}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x＜﹣3或x＞1}2．（5分）设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则a＝（）A．B．C．D．4．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y＝log2（﹣x）B．C．y＝﹣x2+1D．y＝e|x|6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．25B．20C．13D．67．（5分）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若＝λ+μ，则的值是（）A．B．C．2D．48．（5分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（）A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数的虚部为．10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+4y的最大值是．11．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则过点P（2，）且与圆C相切的直线方程为．12．（5分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω＝；φ＝．13．（5分）设函数①f（2）＝；②若f（x+1）＞1，则x的取值范围是．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点．将△ADE 沿DE翻折，得到四棱锥A1﹣DEBC．设A1C的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM∥平面A1DE；②线段BM的长为定值；③存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝14，BD＝6，AD ＝10，．（Ⅰ）求∠ADB；（Ⅱ）求AC的长．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和，等比数列{b n}满足a1＝3b1，b2b4＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．（Ⅱ）求数列{b2n﹣117．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB＝BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；（Ⅲ）求证：B1B∥DE．18．（13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）分别求出A组客户与B组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A，B两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A组客户的“实际平均续航里程数”不小于B组客户的“实际平均续航里程数”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）19．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，x∈（0，π），（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x1∈（0，π），存在x2∈（0，π），都有，求a的取值范围．20．（14分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，过右焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，点P的坐标为（4，3），记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的斜率；（Ⅲ）求证：k1+k2为定值．2018年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤﹣1或x≥3}B．{x|x≤﹣3或x≥1}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x＜﹣3或x＞1}【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}；∴∁U A＝{x|x≤﹣1，或x≥3}．故选：A．2．（5分）设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于非零向量，，由⇒与方向相同或相反，反之，与方向相同⇒，则“”是“与方向相同”的必要而不充分条件．故选：B．3．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则a＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程y＝x，由题意可得＝tan＝，∴a＝，故选：C．4．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，P A⊥底面ABCD，P A＝2．∴该四棱锥的体积为．故选：A．5．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y＝log2（﹣x）B．C．y＝﹣x2+1D．y＝e|x|【解答】解：对于A，由﹣x＞0，得x＜0，函数的定义域为（﹣∞，0），函数为非奇非偶函数；对于B，y＝的定义域为{x|x≠1}，函数为非奇非偶函数；对于C，y＝﹣x2+1的定义域为R，在（﹣∞，0）上为增函数；对于D，y＝e|x|，定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，∵内函数t＝|x|在（﹣∞，0）上为减函数，而外函数为增函数，由复合函数的单调性可得，y＝e|x|在（﹣∞，0）上为减函数．故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．25B．20C．13D．6【解答】解：第一次执行循环体后，S＝2，k＝2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S＝6，k＝3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S＝13，k＝4，满足退出循环的条件；故输出的S＝13，故选：C．7．（5分）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若＝λ+μ，则的值是（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵D为AB中点，E为CD中点，∴＝+＝+＝，∴λ＝，μ＝，∴＝．故选：B．8．（5分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（）A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关【解答】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了m+n ﹣1次，任意两个精灵相碰，有三种情况：第一种情况：红色+红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；第二种情况：蓝色+蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；第三种情况：红色+蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．∴游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与n的奇偶性有关．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数的虚部为．【解答】解：复数＝＝＝﹣i的虚部为﹣．故答案为：﹣．10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+4y的最大值是5．【解答】解：由实数x，y满足不等式组作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z＝x+4y，由图可知，当直线z＝x+4y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+4＝5．故答案为：5．11．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则过点P（2，）且与圆C相切的直线方程为．【解答】解：由已知得，点P（2，）在圆C：（x﹣1）2+y2＝4上，∵，∴过点P（2，）且与圆C相切的直线的斜率为﹣，则切线方程为y﹣，即．故答案为：．12．（5分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω＝2；φ＝．【解答】解：根据函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝，故答案为：2；．13．（5分）设函数①f（2）＝﹣1；②若f（x+1）＞1，则x的取值范围是．【解答】解：①∵函数∴f（2）＝＝﹣1②若x+1≤0，则f（x+1）＞1可化为：﹣（x+1）﹣2＞1，解得：x＜﹣4；若x+1＞0，则f（x+1）＞1可化为：＞1，解得：﹣1＜x＜﹣；故x的取值范围是：，故答案为：﹣1，14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点．将△ADE 沿DE翻折，得到四棱锥A1﹣DEBC．设A1C的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM∥平面A1DE；②线段BM的长为定值；③存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．其中正确的命题是①②．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：取A1D的中点N，连接MN，EN，则MN为△A1CD的中位线，∴MN CD，又BE为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE CD，∴MN BE，即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，又EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故①正确；由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；取DE的中点O，连接A1O，CO，由A1D＝A1E可知A1O⊥DE，若DE⊥A1C，则DE⊥平面A1OC，∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，∴△OCD为等腰直角三角形，故而CD＝OD，而OD＝DE＝，CD＝4，与CD＝OD矛盾，故DE与A1C所成的角不可能为90°．故③错误．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝14，BD＝6，AD ＝10，．（Ⅰ）求∠ADB；（Ⅱ）求AC的长．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADB中，由余弦定理得＝＝．…………………（2分）因为∠ADB∈（0，π），…………………（3分）所以．…………………（5分）（Ⅱ）由，可知，…………………（6分）所以…………………（8分）＝．…………………（10分）在△ADC中，由正弦定理得，…………………（12分）所以，所以．…………………（13分）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和，等比数列{b n}满足a1＝3b1，b2b4＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．（Ⅱ）求数列{b2n﹣1【解答】解：（Ⅰ）因为，所以a1＝S1＝3．…………………（1分）＝3n2﹣3（n﹣1）2＝6n﹣当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣13．…………………（3分）因为当n＝1时，6×1﹣3＝3＝a1，…………………（4分）所以数列{a n}的通项公式是a n＝6n﹣3．…………………（5分）（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q．因为a1＝3b1，所以b1＝1．…………………（6分）因为b2•b4＝a2，所以．…………………（8分）因为，所以b3＝3，且q2＝3．…………………（10分）因为{b n}是等比数列，}是首项为b1＝1，公比为q2＝3的等比数列．…………………所以{b2n﹣1（11分）所以．即．…………………（13分）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB＝BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；（Ⅲ）求证：B1B∥DE．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AC．…………………（1分）因为△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．…………………（2分）因为A1D∩BD＝D，…………………（3分）所以AC⊥平面A1BD．…………………（4分）所以AC⊥A1B．…………………（5分）（Ⅱ）因为A1D⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以A1D⊥BD．…………………（6分）由（Ⅰ）知BD⊥AC．因为AC∩A1D＝D，…………………（7分）所以BD⊥平面A1ACC1．…………………（8分）因为BD⊂平面BB1D，所以平面BB1D⊥平面AA1C1C．…………………（9分）（Ⅲ）因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A．…………………（10分）因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，…………………（11分）所以B1B∥平面A1ACC1．…………………（12分）因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，…………………（13分）所以B1B∥DE．…………………（14分）18．（13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）分别求出A组客户与B组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A，B两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A组客户的“实际平均续航里程数”不小于B组客户的“实际平均续航里程数”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）A组平均值为：；……………（1分）B组平均值为：．……………（2分）（Ⅱ）将A组客户中实际平均续航里程数为338，340的客户分别记为a1，a2；将B组客户中实际平均续航里程数为338，340，360，380的客户分别记为b1，b2，b3，b4．从A，B两组实际平均续航里程数大于335km的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，共8种，…………………（5分）其中A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数的事件包括：a1b1，a2b1，a2b2，共3种．…………………（7分）设“A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数”为事件M，…………………（8分）则．…………………（10分）所以A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数的概率为．（III）A组数据的方差小于B组数据的方差．…………………（13分）19．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，x∈（0，π），（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x1∈（0，π），存在x2∈（0，π），都有，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，则f'（x）＝﹣（x ﹣a）sin x．因为x∈（0，π），所以sin x＞0．由f'（x）＝0得x＝a．当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，π）上单调递减；当a≥π时，f'（x）＞0，f（x）在（0，π）上单调递增；当0＜a＜π时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）的单调递增区间是（0，a），单调递减区间是（a，π）．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，π）上单调递减；当a≥π时，f（x）在（0，π）上单调递增；当0＜a＜π时，以f（x）的单调递增区间是（0，a），单调递减区间是（a，π）．（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣2x﹣1．因为g（x）＝（x﹣1）2﹣2，当x＝1时，g（x）有最小值为﹣2．因为对于任意x1∈（0，π），存在x2∈（0，π），都有，所以，即．所以π﹣2≤a≤2，即a的取值范围是[π﹣2，2]．20．（14分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，过右焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，点P的坐标为（4，3），记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的斜率；（Ⅲ）求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意2a＝4，所以a＝2．因为，所以c＝1．所以b2＝3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）椭圆得右焦点F（1，0）．当直线l的斜率不存在时，不妨取，，|MN|＝3，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立方程组，消y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，△＞0成立．所以，．因为，即，所以，所以k＝±1．（Ⅲ）证明：当直线l的斜率不存在时，不妨取，，此时．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．此时．分子化为24﹣3（x1+x2）﹣4（y1+y2）+x2y1+x1y2＝2kx1x2﹣（3+5k）（x1+x2）+8k+24．所以＝＝．综上所述，k1+k2为定值2．。
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海淀2018高三数学二模文科 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B =（ ）
．
A ．{}1
B ．{}3,5
C ．{}1,6
D ．{}1,3,5,6
（2）已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ）．
A ．1z +是实数
B ．1z +是纯虚数
C ．i z +是实数
D ．i z +是纯虚数
（3）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为（ ）． A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
（4）已知0x y >>，则（ ）． A ．11x y
>
B ．1122x
y
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．cos cos x y >
D ．ln(+1)ln(1)x y >+ （5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（ ）． A ．m
n B ．n m
C ．
πm n
D ．
πn m
（6）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2
2
14
y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（ ）
． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
(7)某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，，
300表示，并用(),i i x y 表示第i 名学生的选课情况，其中0,1,i i x i ⎧=⎨
⎩第名学生不选历史
第名学生选历史，0,1,i i y i ⎧=⎨⎩
第名学生不选地理
第名学生选地理，根据如图所示的程序框图，下列说法错误的是（ ）．
A ．m 为选择历史的学生人数
B ．n 为选择地理的学生人数
C ．S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数
D ．S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和
【解析】由程序框图可知，m 为选历史的学生人数，n 为选地理的学生人数， S m n =+为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和， 故C 错误．
（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数()F x =()
g x ()f x -（ ）
． A ．有极小值，没有极大值
B ．有极大值，没有极小值
C ．至少有两个极小值和一个极大值
D ．至少有一个极小值和两个极大值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为__________．
（10）已知平面向量a ，b 的夹角为π
3
，且满足=2a ，=1b ，则a b ⋅=__________，2a b +=__________．
（11）将函数π()sin 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2
倍，纵坐标不变，得到函数
()sin()g x x ωϕ=+的图像，则ω=__________，ϕ=__________．
(12)在ABC △中，::4:5:6a b c =，则tan A =__________．
（13）A ，B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动．两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：
37B A 小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有__________人．
（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中， 可能是该几何体左视图的图形是__________． （写出所有可能性的序号）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223
n n a a n +-=+． （1）求数列{}n a 的通项公式．
（2）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和．
（16）（本小题13分）
已知函数()f x π2cos sin 3x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
（Ⅰ）写()y f x =的相邻两条对称轴的距离．
（Ⅰ）若函数()f x 在区间[]0,α上单调递增，求α的最大值．
（17）（本小题14分） 如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为的AB 中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示．
③
②
①
主视图
（1）求证：DE ⊥平面PCF ．
（2）证明：平面PBC ⊥平面PCF ．
（3）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：
90（Ⅰ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率．
（Ⅰ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，2
1s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，2
2s ，试比较1x 与2x ，2
1s 与2
2s 的大小．（只需写出结论） （19）（本小题13分）
已知函数()x a f x x e x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，a ∈R ．
（1）求()f x 的零点．
（2）当5a ≥-时，求证：()f x 在区间()1,+∞上为增函数． （20）（本小题14分）
已知椭圆C ：
2221x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ． （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率．
（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．
图1 图2
B
E
F
C
D
P
F
E
D
C
B
A。