线面角的三种求法ppt课件
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第十讲线面角的求解方法完整版课件
知识回顾 ——线面角求解方法
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
《线面角以及面面垂直的判定定理》PPT
M
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
《线面角与面面角》课件
如何计算
1
线面角
选择一条线和一个平面，找到线与平面交点，计算交点处平面上的两条不同切线 之间的角度。
2
面面角
选取两个平面，找到它们的交线，计算交线处两个平面的切线之间的角度。
3
计算示例
通过实际例子演示如何计算线面角和面面角，加深对概念和计算方法的理解。
总结
线面角由一条线和一个平面组成，可以用来计算体积和表面积。 面面角由两个平面的交线组成，同样可以用于计算体积和表面积。 它们的概念和计算方法在几何学、工程学和科学研究中具有重要性。
线面角与面面角
本PPT将介绍线面角与面面角的概念，以及它们在几何学中的重要性。
线面角
定义：线面角是一个平面角，由一条线与一个平面的交点及该交点上平面的 两条不同的切线组成。
计算：线面角的度数等于其对应的平面角的度数。
应用：线面角在计算体积和表面积时经常用到，并且在水力学、物理学和化 学等领域中也有广泛应用。
重要性与应用
建筑设计
利用线面角和面面角的计算，可以优化建筑设 计，提高建筑空间的利用效率。
科学研究
线面角和面面角在物理学、化学等科学研究中 有广泛应用，帮助科学家理解分子结构和物质 特性。
工程计算
在结构工程和机械工程等领域，线面角和面面 角的计算常用于设计和分析复杂系统。
计算机图形学
通过立体几何的概念，可以在计算机图形学中 模拟和渲染复杂的三维场景。
面面角
定义：面面角是由两个平面的交线及其相应的切线所构成的平面角。 计算：面面角的度数等于其对应的空间角（即三维角度）的度数。 应用：面面角同样在计算体积和表面积时经常用到，且在物理学、数学建模 和工程领域中起着重要的作用。
计算体积和表面积
高中数学 线面角 精品ppt课件
3.在正四面体ABCD中，已知M是棱AB的中点，求CM 与底面BCD所成角的正弦值。
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距 离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ C）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D .线在面内
3
M为BB1的 中 点
找线面角
15 5
找线线角(射影) 找线面垂直
2.已知 PA、PB、PC两两垂直，
P
H为P在平面ABC内的射影
(1)求证：AH⊥BC (2)H是△ABC的
垂 心。
B C
H
A
3.已知 PA=PB=PC，O为P在平面ABC内的射影
(1)求证：AO=BO=CO
P
外 心 (2)O是△ABC的______
斜线在平面上的射影
P
A
O
B
（3）垂线段比任何一条斜 线段都短
斜线段 Ａ
Ｐ
垂线段
直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平 面内的射影所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面 所成的角
Ｏ
斜线在平面上的射影
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的 角是0 直线和平面所成角的范围是 [0,90] 斜线和平面所成角的范围是 (0,90)
6、平行同一直线的两条直线平行；
7、平行同一平面的两条直线平行； 8、平行同一平面的两个平面平行；
错 对
例1、如图，已知 l , CA 于点A， CB 于点B，a , a AB, 求证：a // l
β
B l A a C
α
思考:我们可以用什么来度量比萨斜塔的倾斜程度 第２ 个空 间角
线面角课件
6
3
分析：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
D'
C'
A'
B'
G
D
C
A
B
例题分析
变式3：在正方体AC'中，求直线BB'与平面ACD'
所成角的余弦值
6
3
分析1：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
分析2：能否不求垂线段长？ 转化为在 D'DO中求解
D'
C'
ABCD-A'B'C'D'
例题分析
例2：已知在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长
等于2的等边三角形，SA垂直与底面ABC，SA=3， 求直线AB与平面SBC所成角的正弦值
分析1：垂线段AG即为A点到 平面SBC的距离，可用等体
S
积法求解
分析2：能否直接找出垂线呢？
G C
A
D
B
2021/6/25
（2）求线面角步骤 一“作”二“证”三“求"
（3）方法 定义法 求线面角，关键找射影，找射影关键找平面的垂 线，确定垂足，然后在某三角形中求解此角
思考：如图，OA是平面的斜
O
线，OB⊥平面 于B，AC是
内不与AB重合的任意直线，
OAB 1, BAC 2 ,
1
OAC
A θ 2 B
求证：cos cos1 cos2 25
知识回顾：
直线与平面位置关系
在空间过平面 外 一点p所作的所有直线中，
与平面 的位置关系有哪些？
A
线面角的求法
线面角的求法xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•线面角的定义•线面角的求法•线面角的应用01线面角的定义直线与平面的交点是求解线面角的关键，可以通过向量数量积的运算求得交点。
直线与平面的交点与平面内的点构成有向线段，可以表示为$\overset{\longrightarrow}{n} \cdot\overset{\longrightarrow}{r}$，其中$\overset{\longrightarrow}{n}$是平面法向量，$\overset{\longrightarrow}{r}$是直线上的向量。
两个平面相交于一条直线，这条直线可以用两个平面的法向量求解。
设两个平面分别为$\alpha$和$\beta$，其法向量分别为$\overset{\longrightarrow}{n1}$和$\overset{\longrightarrow}{n2}$，则两个平面的交线为$\overset{\longrightarrow}{n1} \times\overset{\longrightarrow}{n2}$。
线面角的范围是$\lbrack 0,\frac{\pi}{2}\rbrack$，其中$0$表示直线与平面重合，$\frac{\pi}{2}$表示直线与平面垂直。
当直线与平面平行时，线面角为$0$；当直线与平面垂直时，线面角为$\frac{\pi}{2}$。
线面角的范围02线面角的求法首先确定直线和平面的向量，通常用向量表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
夹角公式通过向量数量积和向量模长的计算，得到线面角的正弦值，即$\sin\theta =|\frac{\mathbf{a} \cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
确定向量利用向量求线面角VS1利用坐标系求线面角23建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
建立坐标系通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向量。
线线角-线面角的向量求法--
线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。
它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。
线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。
利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。
（2）转换为线线角的求法。
首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。
（3）空间坐标描述求解法。
空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。
线面角的三种求法
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
线面所成角的求法
线面所成角的求法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊线面成角那些事儿。
你想想看啊，一条线和一个平面碰到一块儿，它们之间形成的那个角，就好像两个人站在一起，有个特别的“姿势”一样。
这可不是随随便便就能搞定的哦！
那怎么求这个角呢？这就好比你要找到进入一个神秘城堡的钥匙。
有时候啊，你得动点小脑筋。
比如说，咱可以先找到这条线在平面上的投影。
这就好像是这条线在平面上留下的影子，嘿，是不是有点神奇？然后呢，再去看看这条线和它的投影之间的夹角，这个夹角往往就和线面成角有着密切的关系。
你说这像不像侦探破案呀？一点点地找线索，最后解开谜团。
还有哦，有时候我们可以借助一些特殊的图形或者模型来帮忙。
就好比你有个超级厉害的工具，一下子就能把问题变得简单明了。
举个例子吧，一个正方体，那里面的线面关系可多了去了。
你就可以在那里面找啊找，看看能不能找到我们想要的那个角。
哎呀呀，这线面成角的求法可真是有趣又充满挑战呢！就好像你在玩一个智力游戏，每解开一个难题，就会特别有成就感。
有时候可能会遇到一些复杂的情况，线弯弯绕绕的，平面也奇奇怪怪的，但别怕呀！咱就一步一步来，慢慢地分析，总能找到答案的。
你说，要是生活中的问题都像线面成角这么明确就好了，哈哈！不过呢，也正是因为有这些挑战，我们才会不断进步，变得更聪明嘛。
反正啊，我觉得线面成角这玩意儿，就像是一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现，去探索。
只要我们有耐心，有方法，就一定能把它拿下！这就是我对线面成角求法的看法，你们觉得呢？。
高三数学线线角线面角(PPT)5-2
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
护林～住风沙。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。 【馝】［馝馞］（）〈书〉形形容香气很浓。 【箅】［箅子］（?）名有空隙而能起间隔 作用的器具，如蒸食物用的竹箅子，下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 【弊】①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。②害处；毛病（跟“利”相 对）：兴利除～｜切中时～。 【弊病】名①弊端：管理；广东海绵厂 广州海绵厂 广东海绵厂 广州海绵厂 ；混乱，恐有～。②缺点或毛 病：制度不健全的～越来越突出了。 【弊端】名由于工作上有漏洞而发生的损害公益的事情：消除～。 【弊害】名弊病；害处。 【弊绝风清】ī形容社会风 气好，没有贪污舞弊等坏事情。也说风清弊绝。 【弊政】〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 【髲】〈书〉假发。 【獘】〈书〉同“毙”。 【薜】 ①［薜荔］（）名常绿藤本植物，茎蔓生，叶子卵形。果实球形，可做凉粉，茎叶可入。②（）名姓。 【觱】［觱篥］（）名古代管乐器，用竹做管，用芦 苇做嘴，汉代从西域传入。也作觱栗、??篥、筚篥。 【篦】动用篦子梳：～头。 【篦子】?名用竹子制成的梳头用具，中间有梁儿，两侧有密齿。 【壁】① 墙：～报｜～灯｜家徒四～◇铜墙铁～。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。③像墙那样直立的山石：绝～｜峭～。④壁垒：坚～清 野。⑤二十八宿之一。 【壁报】名机关、团体、学校等办的报，把稿子张贴在墙壁上。也叫墙报。 【壁布】名贴在室内墙上做装饰或保护用的布。 【壁橱】 名墙体上留出空间而成的橱。也叫壁柜。 【壁灯】名装置在墙壁上的灯：一盏～。 【壁挂】名挂在墙壁上的装饰物：毛织～｜印染～｜木雕～。 【壁柜】 名壁橱。 【壁虎】名爬行动物。身体扁平，四肢短，趾上有吸盘，能在壁上爬行。吃蚊、蝇、蛾等小昆虫，对人类有益。也叫蝎虎。旧称守宫。 【壁画】名 绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。 【壁垒】名①古时军营的围墙，泛指防御工事。②比喻对立的事物和界限：两种观点～分明｜唯物主义和唯 心主义是哲学中的两大～。 【壁垒森严】比喻防守很严密或界限划得很分明。 【壁立】动（山崖等）像墙壁一样陡立：～千仞｜～的山峰。 【壁炉】名就 着墙壁砌成的生火取暖的设备，有烟囱通到室外。 【壁球】名①球类运动项目之一。场地一端是一面墙，比赛时一方向墙击球，球弹回落地后由另一方回击。 分单打和双打。也叫壁式网球。②壁球运动使用的球，用纯橡胶或合成橡胶制成。 【壁上观】见页〖作壁上观〗。 【壁虱】ī名①蜱（）。②〈方〉臭虫。 【壁式网球】
《线面角的求法》课件
通过解直线方程和平面方程的联立方程组，可以求出交点的 坐标。
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述
线线角-线面角的向量求法
04 向量求法在解题中的应用
解题思路
向量表示
首先，将线线角或线面角用向 量表示出来，通常是通过两个
向量的点乘或叉乘来表示。
建立方程
根据向量的性质和题目条件， 建立关于这些向量的方程。
求解方程
解方程以找到未知数，这通常 涉及到向量模长、角度等。
得出结论
根据解得的向量，计算出线线 角或线面角。
实例解析
线线角-线面角的向量求法
目录
• 引言 • 线线角的向量求法 • 线面角的向量求法 • 向量求法在解题中的应用 • 结论
01 引言
主题简介
01
02
03
线线角
两条直线之间的夹角，通 常用角度或弧度表示。
线面角
一条直线与一个平面之间 的夹角，通常用角度或弧 度表示。
向量求法
利用向量的数量积、向量 的点积等性质来求解线线 角和线面角的方法。
解题步骤 2. 根据点乘结果，确定$theta$的范围并求出其值。
问题描述：求两条直线$l_1$和$l_2$之间的线 线角，已知两直线的方向向量分别为$vec{a}$ 和$vec{b}$。
1. 计stheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$。
理论完善
深入研究向量求法的理论基础，完 善相关定理和推论，为未来的研究 提供更有力的支撑。
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向量表示法
直线向量的表示
直线的方向向量可以用两个非共线向 量的线性组合来表示。
平面向量的表示
平面的法向量可以用三个非共线向量 的线性组合来表示。
计算方法
• 公式法：利用向量的点积和叉积，可以推导出线面角的计算公式。具体公式为 cosθ=∣∣→a⋅→n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→ a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅ →n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n| → | → | → | → | → | → |→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→| →|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→ | → | →| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT|| · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || ·||
线面角的求法
03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一 个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高 线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一 个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在 三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积 和体积
通过线面角，可以确定一个几何 体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面 直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面 角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定 光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面 角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和 圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求 出两个向量的夹角，进而 求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求 出两个向量的外积，进而 求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出 线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线 段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计 算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线 段或平面上的点到原点的距离。
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5 ∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
；.
5
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内 的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角， θ2为OB与OC所成的角，那么 cosθ=cosθ1·cosθ2 ，它揭示了斜线和平面所 成的角是这
线面角的三种求法
；.
1
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常 是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段 是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
；.
2
四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的 中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
条斜线和这个平面内的直线 所成的一切角中最小的角 （常称为最小角定理）
；.
6
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
O
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB
上的射影，
∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面
的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂
直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
；.
3
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出 垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱 锥的体积自等来求垂线段的
C
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
；.
7
；.
4
长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的 角。
设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1 ∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB， 易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／
；.
5
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内 的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角， θ2为OB与OC所成的角，那么 cosθ=cosθ1·cosθ2 ，它揭示了斜线和平面所 成的角是这
线面角的三种求法
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1
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常 是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段 是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
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2
四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的 中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
条斜线和这个平面内的直线 所成的一切角中最小的角 （常称为最小角定理）
；.
6
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
O
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB
上的射影，
∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面
的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂
直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
；.
3
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出 垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱 锥的体积自等来求垂线段的
C
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
；.
7
；.
4
长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的 角。
设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1 ∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB， 易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／