济大学线性代数第二章习题课件
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《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第二章 2.1
a32
（3）
a11 a12 a13 1 0 0 a11 a13 a12
a21
a22
a23
0
0
1
a21
a23
a22
a31 a32 a33 0 1 0 a31 a33 a32
由此例可看出，初等矩阵左（右）乘一个矩阵的 结果是对这个矩阵作相应的初等行（列）变换。例
如在（2）式中，E(1,3(k))A 即为把 A 的第三行的
的 B 就变成了 A1B ，即为所求的 X 。
例 2.3 设
2 1 3 1 1
A
1
2
2
,
B
2
0
1 3 2 2 5
求矩阵 X ，使 AX B 。
解 由于 A 5 0 ，故 A 可逆， X A1B 。
2 1 3 1 1
1 2 2 2 0
A,
B
1
2 2
2
0
r 1r2
2
0 1 3 2
1 0 0 4 2
r1 r2 (2)r32
0
1
0
0
1
0 0 1 3 2
所以，
4
X
A1 B
0
3
2 1 。 2
例 2.4 已知矩阵 X 满足 2 X AX B ，求 X ，其中
1 1 0
1 1
A 1 2 1 , B 2
0
。
1 0 0
5 3
解 由 2 X AX B ，有 (2E A)X B
k 倍加到第一行上去。
二、初等矩阵的性质
性质 1. 由定理 2.1 给出。
定理 2.1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一次 初等行变换，相当于在 A 的左边乘一个相应的 m 阶
第二章线性代数.ppt
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从 参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间 每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参 数为0.69的泊松分布。
泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一 点由下面的泊松定理所阐述。
泊松定理 设随机变量X n ~ B(n, pn )(0 pn 1),
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其 一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同 维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小.
解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻 发生故障的台数,则 X~B(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2 ) F(x1)
即有
P{x1 X x2} F(x2) F(x1)
因此可以认为
分布函数完整地描述了 随机变量的统计规律性.
如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标,则 F(x) 就 是 X 落在区间(, x] 上的概率.
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
,k
0,1,2,, n
此时我们称X 服从超几何分布。
例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02, 独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为
X ，则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为
泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一 点由下面的泊松定理所阐述。
泊松定理 设随机变量X n ~ B(n, pn )(0 pn 1),
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其 一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同 维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小.
解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻 发生故障的台数,则 X~B(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2 ) F(x1)
即有
P{x1 X x2} F(x2) F(x1)
因此可以认为
分布函数完整地描述了 随机变量的统计规律性.
如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标,则 F(x) 就 是 X 落在区间(, x] 上的概率.
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
,k
0,1,2,, n
此时我们称X 服从超几何分布。
例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02, 独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为
X ，则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为
线性代数第二章课件2-2
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
18
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
19
2
b1
k 1
s
s
s
(cij )
a2k bk1
a2k bk 2 a2k bkn
k 1
k 1
k 1
s
s
s
amk bk1 amk bk2 amk bkn m n
k 1
k 1
k 1
12
2. 矩阵乘法不满足下面两条性质
(1) 矩阵乘法不满足消去律。
例 A 1 1 B 1 1
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
29
AX B
30
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
线性变换
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
可表示为：
并把此乘积记作 C AB .
8
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
线性代数第二章课件2-3
P55-习题二 17
14
三、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A12 3
3, 3
15
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
133 0 1
2 3 1
B
1
3
5
.
1 5 3
3
4 3
4 4 0,
0 10
所以A可逆.
17
1 2 3
A 2 1 2,
1 3 3
12
A11 3
3, 3
22
A12 1
4, 3
21
A13 1
5, 3
同理可求得 A21 3, A22 0, A23 1, A31 1,
解 P 2 0,故P可逆,
AP PΛ
P 1
1 2
4 1
12
A PP 1
A2 PP 1 PP 1 P(P 1 P)P 1 P2 P 1
同理可得
An Pn P 1 11
42
1 0
0 2
n
1 1
2 4
1
1 2
11
42
1 0
0 2n
4 1
12
2 2n 2 2n1
22nn111
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由定理1得 A1 A A ,
29
2 3 4 5 0
14
三、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A12 3
3, 3
15
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
133 0 1
2 3 1
B
1
3
5
.
1 5 3
3
4 3
4 4 0,
0 10
所以A可逆.
17
1 2 3
A 2 1 2,
1 3 3
12
A11 3
3, 3
22
A12 1
4, 3
21
A13 1
5, 3
同理可求得 A21 3, A22 0, A23 1, A31 1,
解 P 2 0,故P可逆,
AP PΛ
P 1
1 2
4 1
12
A PP 1
A2 PP 1 PP 1 P(P 1 P)P 1 P2 P 1
同理可得
An Pn P 1 11
42
1 0
0 2
n
1 1
2 4
1
1 2
11
42
1 0
0 2n
4 1
12
2 2n 2 2n1
22nn111
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由定理1得 A1 A A ,
29
2 3 4 5 0
同济大学出版社 线性代数课件完整版)
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
在中学，我们接触过二元、三元等简 单的线性方程组.但是，从许多实践或理 论问题里导出的线性方程组常常含有大量 的未知数，并且未知数的个数与方程的个 数也不一定相等.
我们先讨论未知数的个数与方 程的个数相等的特殊情形.在讨论 这一类线性方程组时，我们引入 行列式这个计算工具.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 逆序
3 2 5 1 4 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序.
21
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 的逆序数通常记为 in
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”. 数表 a
a11
21
a12 a22
a11 a12 记号 a a22 21
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
线性代数
主 讲： 韩 信 专 业：运筹学与控制论
1．用消元法解二元线性方程组 (1) a11 x1 a12 x2 b1 , (2) a21 x1 a22 x2 b2 .
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
线性代数第2章课件
a11 a 21 am 1 a12 a 22 am 2 a1 n a2 n a mn
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
线性代数第二章作业答案与提示.ppt
BZ, X
ABZ; AB
6 12
1 4
3 9
10 1 16
1 1 1 1 2 3
2.设A
1
1
1, B 1
2
4
,求3AB 2A及AT B
1 1 1 0 5 1
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A＝ 1 2
4 ;
AT
B
0
5
6
0 5 1
2 9 0
作业及其提示
1 0 1
XA
B,
X
BA1
2 8
3
2 5
1 2
3
; 其中A1
3 2
3 1
1 1
3
2 3
0
1（1 2） 10
1 0
0 1 0X 0
0 0
0 1 1 2
4 0
3 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
AXB C : X A1CB1
2 1 0 X 1 3 4
0
kk 1 k
0 2 6 2 1 k(k 1) 2
0
0
1 k(k 1)k2
2
kk 1
,
k
其中，k 2
作业及其提示
第二章：矩阵及其运算
6.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是：AB BA
证：必要性：若AB对称，则( AB)T AB
A、B对称，( AB)T BT AT BA,即AB BA
答案：Y
A1 X
, 其中A1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
y1 7x1 4x2 9x3
y2
6x1
同济大学线性代数课件__第二章
2 4 4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由 m n 个数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
排成的m行n列的数表，
a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
13
y1 1 x1 y x 2 2 2 yn n x n
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b m 1 m 1 am 2 bm 2
12
线性变换与矩阵之间的对应关系. 恒 等 变 换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
1 0 0 0 1 0 单 位 阵 0 0 1
1 2 n
23
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3
16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A O A 4 A A O .
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
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cij
ai1b1j
ai2b2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
(i 1,2,,m; j 1,2,n),
记作 C AB.
10
运算规律 (A)C B A (B)C ;
(A ) B (A )B A (B ),(其 为 中 );数
A(BC)ABAC , (BC)ABA CA ; E m A m n A m n A m n E n .
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
23
解
n 1 1 1 2
n 1
n n1
n 1
n n
n
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
1n11
n
1
1 n1
1
1 1
2
n1
24
n1
1 n2
1 1
1 n1 1
1 2 1 n1
n(n1) n n
行矩阵.
5
３ 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵．
如果 A(aij)与B(bij)是同型矩 ,并阵 且它 们的对应元,素 即相等
aijbij (i 1,2,,m;j1,2,,n). 那么就称A矩 与阵 矩B阵 相等 ,记作 AB.
6
４ 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩 零阵 矩,称 阵 记为 作 O. 主对角线上的 1,其 元余 素元 都素 是都是 n阶方,叫 阵做 n阶单位 ,简阵 记E.作
元素是实数的矩 实阵 矩叫 .阵做 元素是复数的矩 复阵 矩叫 .阵做 (1)式可简记为
A(aij)mn或A(aij), mn矩阵 A也记作 Amn.
4
２ 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1 )式 ,当 m n 时 ,A 称 n 阶 为.方阵
a1
只有一列的矩A阵
a2
叫做
列矩阵 ;
am
只有一行的矩A阵 (a1 a2 an)叫做
ABA(B).
8
６ 数乘矩阵
数 与矩 A的 阵 乘积 A或 记 A,规 作定为 AA(ai)j .
运算规律
()A (A );
( )A A A ; (A B ) A B .
9
７ 矩阵相乘
设A (aij)ms , B (bij)sn,规定A与B的乘积
是一个mn矩阵C (cij)mn,其中
n12
n n
n(n1)
n
n n(n1)
25
n 1
n 1
n
1 n
1 n
n1 n 1 n
1
n 1
n
n 1 n
在此 ,A 2例 A ,所 中 A 是 以幂.等矩阵
26
例２ 设 Aa b,试f将 ()EA写成 的
c d
多项 ,并式 验 f(A )证 0.
解
f()EAa
(A) B 1B 1A 1.
20
１１ 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
21
典型例题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
22
一、矩阵的运算
例１ 计算
n1
n 1
1 n
n1
n n
1 2
n 1
n
7
５ 矩阵相加
设A(aij)mn,B(bij)mn为两个同型 , 矩阵加法定 A义 B为 (aijbij)mn,AB称为 A与B的和 . 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
设 A(aij),记A(aij) , A称为矩 A的阵 负矩,从 阵而A 有 (A)O,并规定
11
８ 方阵的运算
n阶方阵的幂 设 A是 n阶方 ,定 阵义 A1A,A2A1A1,,Ak1AkA1,
其k中 是正.整数 AkAlAkl, (Ak)lAk,l
其k中 ,l为正. 整数 一般 (A 地 )kB A kB k.
12
方阵的行列式 由n阶方A阵 的元素所构成的 ,叫行 做列 方
阵A的行列 ,记 式作 A或deA t. 运算规律
设 A 为 n 阶,如 方 A T A 果 阵 A A T E ,则 A 为 称 正交 . 矩阵 对角矩阵
设A为n阶方,如 阵果除了主对,其 角余 线元 以 素全为 ,则零 称 A为对角.矩阵
16
上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三
角矩阵．
下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三
若 A有逆,矩 则 A的 阵逆矩阵,A 是 的唯 逆 矩阵A 记 1. 作
19
相关定理及性质
方阵 A可逆的充分必要A条 0件 . 是 若矩 A可 阵,逆 则 A1A.
(A1)1A;(A)11A A 1(0);
(AT)1(A1)T. 若同A 阶 与 B 都 方可 ,那 阵A 逆 么 也 B 可 ,且逆
第二章矩阵及其运算 习题课
➢主要内容 ➢典型例题 ➢测 验 题
1
１ 矩阵的定义
由mn个数aij(i 1,2,m; j 1,2,n)排成m
行n列的数表
a11
A
a21
a12a22 Fra biblioteka1n a2n
( 1)
am1 am2 amn
叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵.
3
其中 mn个数叫做A矩 的阵 元,素 aij叫做矩 阵A的第 i行第 j列元.素
设为数, A,B为n阶方阵,则 A n A;
AB AB.
13
９ 一些特殊的矩阵
转置矩阵
把矩A的 阵行换成同序 到数 一的 个列 新 阵,叫做 A的转置,记 矩作 A 阵 T.
( AT )T A; ( A B )T AT B T ; (A )T AT ; ( AB )T B T A T .
角矩阵．
17
伴随矩阵
行列式A的各元素的代数余子式 Aij 所构成的
方阵
A11
A
A12
A21 An1 A22 An2
A A A 1n
2n
nn
叫做方阵A的伴随矩阵.
伴随矩阵具有 :A重 A要 AA性 A质 E.
18
１０ 逆矩阵
定义 设A为n阶方阵 ,如果存在矩 B,使 阵 ABBAE
则称矩A阵 是可逆(或 的非奇异的、非、 退满 化的 秩的),且矩阵 B称为A的逆矩. 阵
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对称矩阵 设 A 为 n 阶,如 方A T 果 阵 A ,则 A 为 称对 . 称
反对称矩阵 设 A 为 n阶方 ,如阵 A 果 TA ,则A 称 为反对
矩.阵 幂等矩阵
设 A 为 n 阶,如 方A 2 果 阵 A ,则 A 为 称幂 . 等
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对合矩阵
设 A 为 n 阶,如 方A 2 果 阵 E ,则 A 为 称对 . 合 正交矩阵